för ED, KTS, MT till föreläsningarna VT2 2017
TNA004 FÖ 1 Kap 7.1 7.2. Kommentarer 7.1 Plan area Area mellan funktionskurvor. Figurerna och texten på sid. 311 313 är viktigt för förståelsen av hela detta kapitel. Här anges principen för hur vi med hjälp av smådelar (areaelement, bågelement, volymelement etc.) kan beräkna en storhet via en summering av smådelarna med hjälp av en bestämd integral. Ex 7.1 - Beräkning av arean av en cirkelskiva. Ex 7.2 Exempel på areaberäkning där vi först måste finna skärningspunkter (integrationsgränser). Area på polär form Areaelementet fås via en indelning i cirkelsektorer vars area lätt kan bestämmas. Ex 7.3 Exempel på hur en area på polär form beräknas Ex 7.4 Visar hur linjen x 1 kan skrivas om som en kurva på polär form. Detta utnyttjas sedan för att beräkna den halva kvadratens area. 7.2 Kurvlängd Figur 7.11 och texten sid. 317-318 anger principen att dela in en funktionskurva i små bågelement, vars längd sedan summeras i en bestämd integral för att få hela kurvans längd. Denna princip används sedan på ett motsvarande sätt för att härleda uttrycket för bågelementet då kurvan är skriven på parameterform (sid. 319 320) och för kurva på polär form (sid. 320). Ex 7.5 Längden av en funktionskurva (i detta fall en halvcirkelbåge). Ex 7.6 Tar upp en tolkning av en kurva på parameterform (där parametern t väljs som tiden). Ex 7.7 Längden av en kurva på parameterform.
TNA004 FÖ 2 Kap 7.3 7.5. Kommentarer 7.3 Volym Figurerna och texten på sid. 321-322 är viktigt. Här anges principen för hur vi med hjälp av tunna skivor som volymelement kan beräkna volymen av vissa kroppar via en bestämd integral. Ex 7.8 - Beräkning av volymen av en pyramid. Här är volymelementet tunna kvadratiska skivor vars area ändras med x (= höjden). Rotationsvolym Metod 1: Skiva kroppen. Detta är ett specialfall av det som tas upp i inledningen. Volymelementet består av tunna cirkulära skivor (ev. med hål), vars area beror på det givna funktionsuttrycket. Metod 2: Dela in kroppen i cylindriska skal (rör). Studera fig. 7.16 och texten bredvid. Den klargör på ett bra sätt hur ett volymelement med form av ett cylindriskt skal bildas vid rotationen. Idén är att klippa upp det cylindriska skalet så att ett ungefärligt rätblock bildas. Detta rätblock kan vi finna volymen till på ett ganska enkelt sätt. Ex 7.9 Exemplifierar volymberäkning av en rotationskropp via indelning i volymelement som cylindriska skal. Ex 7.10 Beräkning av volymen av ett klot beräknas med hjälp av att låta en halvcirkelskiva rotera ett varv kring x-axeln och sedan skiva kroppen. Volymelementet är tunna cylindriska skivor. 7.4 Rotationsarea Inledningen visar hur man finner ett areaelement i form av ett cirkelsegment (band) med arean 2 f ( x) ds. Observera att denna idé kan användas även om kurvan är given på parameterform. Ex 7.14 Beräkning av arean av en sfär genom att man låter en halvcirkel med radie R rotera ett varv kring x-axeln. Ex 7.15 Visar något som till synes är en paradox: Struten kan fyllas med en ändlig mängd färg medan dess area är oändlig. (Struten kallas ibland Gabriels horn.)
TNA004 FÖ 3 Kap 9.1: Kommentarer 9.1 Inledning, terminologi Läs noggrant! Du har tre bra exempel som visar vad som avses med differentialekvationer och i vilka sammanhang de kan dyka upp. Ex 9.1: Fritt fall (d.v.s. utan luftmotstånd). Kulans höjd y vid tiden t kan beräknas ur differentialekvationen y ( t) g, med begynnelsevillkoren y( 0) h och y ( 0) 0. Ex 9.2: Exemplet handlar om radioaktivt sönderfall. Den återstående mängden material y (t) efter tiden t kan beräknas via sambandet (differentialekvationen) y ( t) ky( t), y( 0) M. Ex 9.3: Exemplet handlar om den fysikaliska situation som gäller då en kropp med massan m hängs upp i en fjäder och sätts i svängning genom att tänja ut fjädern och därefter släppa kroppen. Den differentialekvation som beskriver kroppens rörelse med tiden t är (med de förutsättningar som anges i exemplet) my ( t) ky( t) cy( t), med begynnelsevillkoren y( 0) h, y ( 0) 0 (vad betyder dessa begynnelsevillkor?). Den fortsatta texten på sid. 380 tar kort upp vad som menas med ordningen av en differentialekvation samt vad som avses med en lösning och linjär ekvation.
TNA004 FÖ 4 Kap 9.2: Kommentarer 9.2 Differentialekvationer av ordning 1 Läs texten på sid. 381 noga. Ex. 9.4 - Visar vad som avses med ett riktningsfält och ger en god uppfattning om hur lösningskurvorna kan se ut. Sid. 382 386 behandlar linjära differentialekvationer av ordning 1 och som löses med integrerande faktor. Ex 9.5 Visar hur metoden går till i ett enkelt fall. Fig. 9.2 är värd att studera! Ex 9.6, 9.7 LÄS OCH STUDERA! Sid. 387 394 behandlar separabla differentialekvationer Inledningen visar hur metoden fungerar generellt. Ex 9.8 Separabel ekvation med bivillkor (som gör att vi kan bestämma konstanten som dyker upp i allmänna lösningen). Ex 9.9 Bra exempel som också visar hur viktigt det är att även specialstudera lösningar som utesluts (tillfälligt) under lösningens gång. Se även kommentaren längst ned på sid. 389. Ex 9.19 Bra tillämpning (fallskärmshopp) Ex 9.11 Exemplet visar bl.a. på att vi ibland (och förstås) måste tillämpa gamla kända verktyg vid bestämning av primitiva funktioner! Ex 9.12 Exemplet (svårt) visar bl.a. på hur vi kan tolka situationer som inträffar under lösningens gång då vi t.ex. (tillfälligt) måste utesluta vissa lösningar (konstanta). Även egenskaper som handlar om fysikaliska rimliga lösningar tas upp till diskussion här.
TNA004 FÖ 5 Kap 9.3: Kommentarer 9.3 Linjära differentialekvationer av ordning 2 (konstanta koefficienter) Linjäritetsegenskaperna superposition och homogenitet är viktigt samt Sats 9.1, som anger hur man principiellt skall lösa en differentialekvation av andra ordningen. Avsnittet sid. 394 399 visar hur man finner de homogena lösningarna. Det är helt nödvändigt att du kan innehållet i Sats 9.2 samt resultatet om den karakteristiska ekvationen har komplexa rötter (längst ner på sid. 398 samt Ex 9.15) Ex 9.13 Exempel där K.E. har två skilda rötter Ex 9.14 - Exempel där K.E. har dubbelrot. Ex. 9.16 - Ett bra exempel från fysiken där en homogen ekvation av andra ordningen dyker upp. Den motsvarande karakteristiska ekvationen har komplexa rötter. Avsnittet på sid. 400 409 visar hur man finner partikulärlösningar i några olika fall, dels då högra ledet är ett polynom och dels då högra ledet är en kombination av polynom, exponentialfunktion och sinus- och cosinustermer. Det är helt nödvändigt att du förstår principerna och kan använda dem i olika situationer. I tur och ordning tas följande upp: 1) HL = polynom - Ex 9.17 och 9.18. Studera principiella lösningsgången - punkt (a), (b) och (c) längst ned på sid. 401) kx kt 2) HL = p ( x) e - Ex 9.19. Observera att ansatsen är y ze. är Observera att vi via superpositionsprincipen även kan lösa ekvationer som har HL som en summa av ett polynom och kx ( x e. Se Ex 9.20 p ) 3) HL innehåller sinus och cosinustermer. Alt 1 Ex 9.21 del 1 Ansats Acoswx Bsinwx y p i2x Alt 2 Ex 9.21 del 2 Utnyttjar att (i detta fall) HL = 2x Ime sin och vi löser då 2ix först hjälpekvationen (i detta fall) u 2u u e och där partikulärslösningen y utgörs av imaginärdelen u, d.v.s. Im( u ). p Observera att Alt 2 (komplexa metoden) är mera generell men lite mera omständlig i just detta fall. Ex 9.22 visar just på att Alt 2 är kraftfullare och kan användas i ett mera komplicerat sammanhang. Studera sammanfattningen (punkterna (a) (d)) på sid. 407. 4) HL är en summa av olika typer av termer Ex 9.23, som visar hur linjäritetsegenskaperna (superposition och homogenitet) används vid lösningen av ekvationen. kx 5) Ex 9.24 - HL = e cosinusterm (eller sinusterm).
TNA004 FÖ 6 Kap 9.4 9.6: Kommentarer 9.4 Linjära differentialekvationer av högre ordning ( n) ( n1) Ekvationer av typen c n y ( x) c n 1 y ( x)... c 1 y( x) c 0 y( x) f ( x)... (1) skall studeras. etc. Sid. 409 411 behandlar den s.k. förskjutningsregeln. Den anger ett förenklat sätt att ax az derivera f ( x) e flera gånger. Om vi t.ex. skall derivera y z( x) e får vi ax 2 ax, y ( z az) e 2 3, ax y ( z 2az a z) e y z 3az 3a z a z e Detta är uttryckt i Sats 9.3 på ett lite annorlunda sätt, vilket alltså kan ersättas av ovanstående idé. Homogena lösningar erhålls via den karakteristiska ekvationen på liknande sätt som för andra ordningens ekvation. Detta beskrivs i Sats 9.4. o Ex. 9.26 Visar lösningen av en 4:e ordningens homogena ekvation där K.E. har en trippelrot (multiplicitet 3) och en enkelrot. o Ex 9.27 4:e ordningens homogena ekvation vars K.E. har komplexa lösningar (dubbelrötter). Partikulärlösningar o Ex 9.28 4:e ordningens ekvation med högra ledet = polynom. Ansatsen är ett polynom av samma grad som polynomet i höger led och detta beror på att ekvationen innehåller en oderiverad y-term. o Ex 9.29 Ekvation av ordning tre och vars homogena lösning innehåller samma exponentialfunktion som finns i den givna ekvationens högra led. Giv akt på hur detta påverkar räkningarna. Observera även att förskjutningsregeln kan ersättas x med att du helt enkelt deriverar ansatsen y z( x) e tre gånger. Förskjutningsregeln anger ( bara ) ett sätt att systematisera (och förenkla) denna derivering. p 9.5 Integralekvationer Studera Ex 9.30 noggrant! Detta exempel är väsentligt för hur man principiellt går tillväga då man löser en integralekvation. Ex 9.31 visar en teknisk tillämpning. 9.6 Andra slags differentialekvationer Ex 9.32 Bernoullis ekvation y Ex 9.33 Ekvation av typen y ( x) f som löses genom att sätta y( x) xz( x) och x därmed överförs den givna ekvationen till en separabel ekvation i z. Ex 9.34 Eulerekvationer (På föreläsningen tar vi upp homogen av andra ordningen.)
FÖ 7 - Kap 8.1 3 Maclaurin- och Taylorutvecklingar 8.1 Inledning Texten på sid. 349-350 är viktig för förståelsen av vad som avses med Maclaurin- och Taylorutvecklingar. Här förs speciellt ett resonemang som visar hur vi i närheten av x x 0 kan approximera f ( x) e med ett polynom, s.k. Maclaurin-polynom. På sid. 351 diskuteras resttermens egenskaper. Dessa är väsentliga och kommer att användas senare. 8.2 Maclaurin- och Taylorutveckling med restterm i ordoform Def 8.1 måste du kunna! Def 8.2 (och texten ovanför) hanterar ordobegreppet, vilket vi kommer att använda ofta. Sats 8.1 Maclaurinutveckling med restterm i ordoform. Ex 8.1 Visar hur vi kan beräkna vissa gränsvärden genom att använda oss av Maclaurinutvecklingar. Detta är ett viktigt användningsområde och kommer att tas upp ännu mera noggrant senare (se t.ex. sid. 361 364) Sid. 353-354 (Sats 8.2) visar hur man kan härleda den allmänna Taylorutvecklingen. Hjälpsatsen på sid. 354 används till beviset av sats 8.1 (sid. 355). 8.3 Elementära Maclaurinutvecklingar I inledningen härleds Maclaurinutvecklingen av sin x. Illustrationen i fig. 8.2 är väsentlig för förståelsen. Sid 357 358: Härledning av Maclaurinutvecklingen av ln( 1 x) och f ( x) (1 x). Sid. 359-360: Härledning av Maclaurinutvecklingen av arctan x. Sats 8.3 Elementära Maclaurinutvecklingar - Sammanställning
FÖ 8 - Kap 8.4 Maclaurinutvecklingar Tillämpningar Ex 8.2 Visar en gränsvärdesberäkning där vissa termer ersätts med motsvarande Maclaurinutveckling (eftersom x 0). Vid beräkningen används ordokalkyl, som också förklaras på ett bra sätt. Ex 8.3 Gränsvärdesberäkning med hjälp av Maclaurinutvecklingar. Observera hur ordokalkylen går till vid multiplikationen. På sid. 363 364 sammanfattas räknereglerna för stort ordo. Dessa är viktiga att förstå om beräkningarna skall kunna utföras och skrivas på ett smidigt sätt. Ex 8.4 Ytterligare en gränsvärdesberäkning med hjälp av Maclaurinutvecklingar. Observera att uttrycket först skrivs om genom att göra liknämnigt. Notera hur resonemanget för att få ett ändligt gränsvärde går till i slutfasen (d.v.s. hur konstanten a bestäms). Ex 8.5 Visar hur vi med Maclaurinutvecklingar kan avgöra en stationär punkts karaktär. Ge även här akt på hur ordokalkylen går till. Bl.a. är det viktigt att du förstår hur vi på sid. 366 kan skriva om g(x) genom att samla alla termer av grad 5 eller högre i en enda ordoterm O ( x 5 ). 1 Ex 8.6 Asymptotbestämning med hjälp av Maclaurinutveckling. Observera att t.ex. O 0 x då x. Sats 8.4 Entydighet för Maclaurinutveckling. Satsen garanterar t.ex. att vi i exemplen ovan där vi sätter samman funktioners Maclaurinutvecklingar verkligen får samma utveckling som vi skulle fått om vi använt Sats 8.1 direkt.
FÖ 9 - Kap 8.5 Utveckling med restterm i Lagranges form Läs inledningen på sid. 369 noga så att du får en överblick om vad kapitlet handlar om. Sats 8.5 är viktig. Den ger oss en möjlighet att uppskatta resttermens storlek. Den tidigare ordoformen har inte givit den möjligheten. Lägg märke till att motsvarande sats för Taylorutveckling finns längst ned på sid. 373. Beviset till sats 8.5 finns på sid. 374 och bör läsas noggrant. Observera att resttermen kan skrivas på integralform. 1 Ex 8.7 Visar hur vi kan beräkna ett närmevärde till e med önskat antal korrekta decimaler genom att använda Maclaurinutveckling med restterm i Lagranges form. Ex 8.8 Approximation av en funktion med ett polynom sådant att en viss noggrannhet uppnås. Ex 8.9 Numerisk integration i ett fall där vi inte kan finna en primitiv funktion till 2 integranden. Notera hur utvecklingen av sin x används för att få resttermen för sin x.
FÖ 10 - Kap 10.2 Generaliserade integraler Inledningen repeterar kortfattat vad som avses med att en integral är generaliserad på olika sätt. Positiva integrander Sats 10.11 Jämförelsekriteriet. Observera olikheternas betydelse för att kunna avgöra konvergens. Den integral vi jämför med kommer ofta att vara som de i 10.12 nedan. Sats 10.12 Jämförelseintegraler. Dessa är mycket viktiga då vi i fortsättningen skall avgöra konvergens/divergens UTAN att först bestämma en primitiv funktion (som kan vara omöjligt!). Ex 10.12 Ett bra exempel på hur jämförelsekriteriet kan användas. Notera att vi behöver dela integralen eftersom den är generaliserad på två sätt! Sats 10.13 - Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform. Detta används ofta eftersom det är lättare att använda (d.v.s. passar in på fler situationer) än jämförelsekriteriet. Ex 10.13 Löses med hjälp av Jämförelsekriteriet men påvisar även att Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform också går att använda. Ex 10.14 Användning av jämförelsekriteriet på gränsvärdesform. Var noga med att förstå de två sista raderna i exemplet! Ex 10.15 visar att Maclaurinutvecklingar ibland kan användas för att studera (skriva om) integranden. Absolutkonvergenta integraler Sats 10.14 En absolutkonvergent integral är konvergent. Notera att definitionen av absolutkonvergent integral finns i satsens formulering. Ex 10.16 Bra exempel på absolutkonvergent integral och hur detta undersöks.
FÖ 11 - Kap 10.1 - inledningen Numeriska serier Inledningen tar upp vad som avses med en serie och seriens partialsummor (delsummor). Def. 10.1. Definitioner av konvergens för en numerisk serie. Sats 10.1 Benämns även divergenstestet. Observera att villkoret a 0 är ett nödvändigt villkor för konvergens men att det inte är tillräckligt! Ex 10.1 - Direkt undersökning med delsummor Sats 10.2 Geometriska serier Sats 10.3. Geometriska serier och konvergensvillkor. Ex 10.2 Beräkning av summan av en konvergent geometrisk serie (kvoten = ). Positiva serier Läs texten i början av detta avsnitt (sid. 440-441). Där konstateras bl.a. att en positiv series partialsummor utgör en växande talföljd! Hjälpsats sid 441 Anger att en uppåt begränsad och växande talföljd är konvergent, vilket innebär att en positiv serie är konvergent om och endast om följden av dess partialsummor är uppåt begränsad. Sats 10.4 Integralkriteriet Viktigt och användbart! Sats 10.5 Jämförelseserier av typen. Villkoren på α för konvergens/divergens är mycket viktiga! Sats 10.6 Jämförelsekriteriet för positiva serier. Ex 10.4 Serie vars konvergens avgörs med hjälp av Jämförelsekriteriet genom jämförelse med en konvergent jämförelseserie i sats 10.5. Ex 10.5 Seriens undersöks med hjälp av Jämförelsekriteriet genom jämförelse med en jämförelseserie. Sats 10.7 Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Ex 10.7 Tillämpning av Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Ex 10.8 - Tillämpning av Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform där termerna för stora värden på k, skrivs om med hjälp av Maclaurinutveckling.
FÖ 12 - Kap 10.1 forts Absolutkonvergenta serier Notera att definitionen och Sats 10.8 är motsvarade som för generaliserade integraler. Ex 10.9. Ett enkelt exempel som belyser vad det handlar om. Rot- och kvotkriteriet Sats 10.9 Observera att dessa båda kriterier i första hand kommer att användas i Kap 10.3, som handlar om potensserier. Alternerande serier, Leibniz kriterium Inledningen tar upp definition av en alternerande serie. Ex 10.10 Exemplet är viktigt bl.a. eftersom resonemanget, som leder fram till att serien är konvergent, kan användas allmänt på dessa s.k. Leibniz-serier. Observera att k1 ( 1) är den alternerande harmoniska serien (som alltså visar sig vara konvergent k k1 till skillnad från den harmoniska serien 1 som är divergent). k1 k Ex 10.11 Pekar på att det kan vara lönsamt att först undersöka om serien är absolutkonvergent (vilket i så fall direkt betyder att serien är konvergent). Sedan undersöks om serien är en Leibniz-serie genom att speciellt undersöka avtagandet. I avslutningen tas upp att det kan vara lämpligt (effektivt) att avgöra avtagandet genom x 1 att undersöka derivatan till funktionen f ( x). x 2 1
FÖ 13-14 - Kap 10.3 Konvergens av potensserier Studera definitionen av potensserier i inledningen sid. 461. Ex 10.18 Visar att e kan uttryckas som en potensserie (Maclaurinserie) och att denna är konvergent för alla reella x. Ex 10.19 Visar hur man undersöker för vilka reella tal x som en potensserie är konvergent. Sats 10.15 Handlar om existens (och entydighet) av konvergensradie för en potensserie. Termvis derivering och integrering. Sats 10.16. Anger att vi kan derivera och integrera en potensserie termvis samt att potensserierna för derivatan och integralen har samma konvergensradie som den ursprungliga serien. Ex 10.20 Med utgångspunkt från den geometriska serien x, som är konvergent för x < 1 1 < x < 1, visas hur derivering och integration möjliggör att vi kan uttrycka vissa funktioner som potensserier. Potensserielösningar till differentialekvationer. Ex 10.21 Lösning av differentialekvation med potensserieansats. Observera att vi inte kan avgöra konvergensintervall (konvergensradie) förrän i slutfasen av lösningen! Maclaurinserier Sats 10.17 elementära funktioners Maclaurinserier Ex 10.18 (igen) Utgående från differentialekvationen y y, y(0) 1 tas en x potensserie fram för e.