ProDevelopment Teknisk utveckling & expertstö Teknisk Rapport 009:0 Hanlening för sannolikhetsteoretisk imensionering enligt Euroko 0 8 Observationer Normalför. LogNormalför. Gumbelför. Antal 6 4 0 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 Mätväre Claes Fahleson Sofia Utsi ProDevelopment i Sverige AB Storgatan 7 97 38 LULEÅ www.proevelopment.se
(3) Föror För verifikation av bärverks säkerhet använs iag uteslutane partialkoefficientmetoen, et gäller såväl en nationella regelsamlingen Boverkets konstruktionsregler, BKR, som e europeiska beräkningsreglerna för bärane konstruktioner, Eurokoerna. I båe BKR och eurokoerna är huvuregeln att en byggnas eller ett konstruktionselements säkerhet mot brott eller olägenhet ska verifieras me partialkoefficientmetoen, men som alternativ ges även möjlighet att använa sannolikhetsteoretiska metoer. Denna hanlening sammanfattar e gällane svenska och europeiska regelverk som behanlar imensionering me sannolikhetsteoretiska metoer. Viare ges en komprimera sammanfattning av grunerna till metoen och en presentation av typiska karakteristika för e ingåene stokastiska (slumpmässiga) variablerna. I kapitel 4 presenteras e elar från SS-EN 990 som behanlar imensionering genom provning. Hanleningen har tagits fram på upprag av Skanska Sverige AB som en el i SBUF-projekt 809, Robustare och kostnaseffektivare stomkonstruktioner genom sannolikhetsteoretisk imensionering. Luleå 009-05-04 Claes Fahleson & Sofia Utsi ProDevelopment i Sverige AB
(3) INNEHÅLL INLEDNING...3. Regelverk...3 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI...5 3 LASTER, MATERIAL, GEOMETRI OCH OSÄKERHETER...9 3. Laster...9 3. Material... 3.3 Geometri... 3.4 Moellosäkerheter... 4 TILLÄMPNING AV SS-EN 990...4 4. Allmänt...4 4. Dimensionering genom provning...5 4.. Bestämning av enstaka statistisk egenskap...5 4.. Statistisk bestämning av bärförmågemoeller...8 5 SAMMANFATTNING... REFERENSER...3
3(3) INLEDNING Konstruktionsberäkningar är ett növänigt hjälpmeel vi utformning av en konstruktion. I första han använs beräkningarna som en verifikation av att konstruktionen uppfyller e krav som ställs i gällane nationella regelverk. Beräkningarna utgör även uner konstruktionens hela använningsti en viktig el av okumentationen av tankegången bakom konstruktionens utformning. Regelverkens krav är satta så att konstruktionen ska vara säker uner hela använningstien. Detta krav kan även beskrivas av en komplementära hänelsen, att risken för allvarliga skaor eller brott ska vara mycket liten.. Regelverk I Sverige är et Boverket som på upprag av regeringen hanhar ansvaret för verksamhet koppla till byggnation. Boverket är en förvaltningsmynighet unerställ Miljöepartementet. De övergripane lagarna ges i Plan- och bygglagstiftningen och regleras genom ett antal författningssamlingar (regelverk), blan annat BBR och BKR. Parallellt me essa regelverk kan nu e europeiska konstruktionsstanarerna, Eurokoerna, använas. Då EU-melemsstaternas övergripane bygglagstiftning inte ännu är harmonisera kan man inte i Eurokoerna anges vilka säkerhetsnivåer som ska gälla. De föreskrivane mynigheterna åläggs emellerti att anpassa sina regler så att Eurokoerna kan använas genom att ange vären för e nationellt vala parametrarna, NDP. I flertalet Eurokoer anges essa i en nationella bilagan, NA. Boverket och Vägverket ansvarar för genomföranet. Plan- och bygglagstiftningen (Miljöepartementet) Plan och bygglagen, PBL (987) ) Byggnasverkslagen, BVL (994) ) Miljöbalken, (998) 3) Författningssamlingar 4) (Boverket) BBR, Boverkets byggregler 5) BKR, Boverkets konstruktionsregler 6) Hanböcker (Boverket) BSV, Snö- och vinlast (007) BSK, Boverkets hanbok om stålkonstruktioner (007) m.fl. Alt. Europeiska konstruktionsstanarer, Eurokoer, SS-EN 990 SS-EN 999 (CEN) EKS, Boverkets föreskrifter och allmänna rå om tillämpning av europeiska konstruktionsstanarer (eurokoer) 7) Vägverkets föreskrifter om tillämpningen av europeiska beräkningsstanarer, VVFS 004:43 8) ) Me änringar t.o.m. SFS 008:366 (Svensk författningssamling) ) Me änringar t.o.m. SFS 007:457 3) Me änringar t.o.m. SFS 008:406 4) Författningar är ett gemensamt namn för lagar, förorningar och föreskrifter. 5) Me änringar t.o.m. BFS 008:0 6) Me änringar t.o.m. BFS 008:7 7) Me änringar t.o.m. BFS 009:6 8) Me änringar t.o.m. VVFS 008:400 Figur : Svenska regelverk för byggnaskonstruktion
4(3) Eurokoerna innehåller metoer för att verifiera byggnasverks och enskila byggnaers bärförmåga, staga och bestänighet samt eras funktionsuglighet å e utsätts för bran. Iag är et alltså tillåtet att använa antingen BKR s eller Eurokoernas beräkningsregler. Från årsskiftet 00-0 tillåts enast Eurokoerna. Eurokoen SS-EN 990 [] ger grunläggane imensioneringsregler för bärverk och är tänkt att tillämpas tillsammans me e övriga eurokoerna. Stanaren innehåller binane principer, som består av allmänna utsagor och efinitioner är et inte finns något alternativ samt krav och analytiska moeller är inga alternativ tillåts såvia etta inte särskilt anges, och vägleane rå, som består av allmänt veertagna regler som harmonierar me principerna och som uppfyller kraven i essa. Kravet är att bärverket ska kontrolleras för bruksgräns- och brottgränstillstånet. I Eurokoen ges etaljerae anvisningar för hur essa verifikationer kan ske me partialkoefficientmetoen. SS-EN 990 ger även möjlighet att imensionera me hjälp av sannolikhetsteoretiska metoer, se figur. SS-EN 990:00: Principer för imensionering m.h.t. Bruksgränstillstån. - eformationer - vibrationer och svängningar - skaor som verkar menligt på utseene, bestänighet eller funktion Brottgränstillstån - förlora jämvikt (stjälpning) - materialbrott, förlora stabilitet - utmattning eller anra tisberoene effekter Bakgrunsokument: ISO 394:00 General principles on reliability for structures Diverse material från JCSS Joint Committee on Structural Safety m.fl. Alternativt Verifiering me partialkoefficientmetoen enligt principen E R är E E F ; a i och R { } γ F, i rep, i γ k, i R η i ; a i γ M, i F, i γ S γ f, i M, i γ R γ m, i γ Verifiering basera på sannolikhetsteoretiska metoer me kraven 3 Bruksgränstillstån: β.9 P 0 f 6 Brottgränstillstån: β 4.7 Pf 0 Anm.: Säkerhetsinex avser referensperioen ett år. För perioen 50 år gäller β.5 respektive β 3.8 Kalibrering av partialkoefficienter Figur : Principer för imensionering och metoer för verifiering enligt SS-EN 990. De säkerhetskrav som ska uppfyllas vi en sannolikhetsteoretisk imensioneringsmeto ges av figur. Huvukraven är i stort sett ientisk me BKR s krav och är kravet på säkerhetsinexet för brottgränstillstånet motsvarar säkerhetsklass 3. I bilagor till SS-EN 990 behanlas imensionering genom provning, vs. metoer för bestämning av enskil statistisk egenskap och för statistisk bestämning av bärförmågemoell Viare ges en meto för kalibrering av partialkoefficienter.
5(3) GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Vi sannolikhetsteoretisk imensionering betraktas lasteffekt, E, och bärförmåga, R, som stokastiska (slumpmässiga) variabler efinierae av eras frekvensfunktioner. Det innebär sålees att et inte finns någon övre eller nere gräns för varken lasteffekt eller bärförmåga, utan enast en sannolikhet att variabeln antar ett väre. Gränsfunktionen, g, efinieras av hänelsen å lasteffekten E är lika stor som bärförmågan R g R - E g är en stokastisk variabel och sannolikheten att etta gränstillstån uppnås ges av P f Prob(g 0) Väret P f benämns vanligtvis brottsannolikheten och tar i e flesta fall ett mycket litet väre. För att illustrera sannolikheten på ett tyligare sätt så använs me förel et ekvivalenta säkerhetsinexet β som ges av β Φ ( P f ) Där Φ () är inversen av en stanariserae kumulativa normalförelningen. Normalt är båe lasteffekten, E, och bärförmågan, R, funktioner beståene av flera variabler, båe stokastiska och eterministiska, och kan uttryckas som är E f E {F, F, a, a, θ, θ, } R f R {,, a, a, θ, θ, } f E {} och f R {} är lasteffekt- respektive bärförmågefunktion F är en last är en materialegenskap a är en geometrisk egenskap θ är en moellosäkerhet I många fall blir gränsfunktionen g en komplicera ickelinjär stokastisk funktion me många variabler vilket gör et mycket komplicerat att finna exakta analytiska lösningar. En allmänt acceptera beräkningsmeto som innebär en el förenklingar är första orningens tillförlitlighetsmeto, FORM. Denna meto presenteraes först av Hasofer och Lin [4] och metoen sammanfattas i et följane. För att enklare illustrera beräkningsmetoen antas att gränsfunktionen g enast består av två stokastiska variabler är är normalförela (last) och är lognormalförela (bärförmåga) enligt g ( σ ) N m, ln Viare gäller att ( m σ ) N ln, ln
6(3) V V m σ m ln σ m ln m V ( V ) σ ln ln + + Vi anra typer av förelningar som t.ex. gumbelförelning måste förelningsfunktionen transformeras till normalförelning me avseene på en aktuella brottpunkten på gränsytan. För förjupning inom etta områe hänvisas till litteraturen, t.ex. [7]. Först normaliseras e stokastiska variablerna genom att i gränsfunktionen ersätta e me i m Ζi σ i i i σ i Ζ + m Den normaliserae stokastiska gränsfunktionen ges av m Z ln( V + ) g e σ Z V + i i Z i N( 0,) Funktionen innehåller nu två normalförelae stokastiska variabler me meelväret 0 och stanaravvikelsen. Genom normaliseringen erhålls en ickelinjär funktion för gränsfunktionen, även benämn brottytan. I figur 3 illustreras sambanet mellan e normaliserae variablerna och gränsfunktionen. Den icke linjära brottfunktionen kan approximeras som en linjär funktion g * (z,z ) 0 som tangerar en verkliga funktionen i brottpunkten (z, z ), se figur 3. I e flesta fall ger enna approximation ett resultat som ligger mycket nära en brottrisk som ges av en exakta funktionen. Me antaganet om att gränsytan ges av en linjär funktion kan man me geometriska villkor irekt bestämma säkerhetsinex β och ärme även brottrisken. Säkerhetsinex β motsvarar i figuren et kortaste avstånet från origo till brottpunkten är Z och Z tar värena z respektive z. Dessa brottvären motsvaras av z α β z α β är α och α komposanterna till enhetsvektorn α. Viare gäller att α α i i I etta sammanhang kallas komposanterna för känslighetsfaktorer och e beskriver inirekt vilket väre en aktuella stokastiska variabeln tar å brottet sker, vs. variabelns imensioneringsväre. m
7(3) z g(z, z ) verklig olinjär (exakt) brottyta g * (z, z ) approximera linjär brottyta Brott g < 0 z Brottpunkt, (z, z ) β Ej brott g > 0 z z g(z, z )0 f Z (z ) g * (α β, α β)0 f Z (z ) Stanarnormalförela Ζ N ( 0,) Brottpunkt z α β α β z Figur 3: Normaliserae variabler me en ickelinjär brottfunktion samt en approximera linjär funktion. Dimensioneringsvärena för e två stokastiska variablerna och ges sålees av m ( + α β V ) V m e + α β ln ( V + ) om α β V m e V < 0. För normalfallet i gränstillstånet är båe lasteffekten, E, och bärförmågan, R, funktioner beståene av flera variabler, båe stokastiska och eterministiska, och kan uttryckas som E f E {F, F, a, a, θ, θ, } R f R {,, a, a, θ, θ, } Dock gäller samma principer för et tvåimensionella fallet. Att analytiskt beräkna säkerhetsinex och känslighetsfaktorer blir snabbt mycket komplicerat å antalet variabler ökar och om gränsfunktionen samtiigt är en ickelinjär funktion. Iag finns et ock en hel el beräkningsprogram att tillgå som unerlättar arbetet, t.ex. VaP.3 (Petschacher Software un Project, Lt) eller Comrel V.8 (RCP Consult GmbH). I figur 4 ges ett exempel på en FORM analys av en stålbalk. Exemplet är hämtat från JCSS, Probabilistic Moel Coe, [6]. I tabellen för inata framgår att några av e variabler som beskriver geometriska storheter har antagits eterministiska. De två högra kolumnerna anger vilken fraktil e nyttiga lasternas
8(3) förelningsfunktion representerar (5-års maximum och -års maximum) och vilken varaktighet e har å e uppträer. Observera att e nyttiga lasterna har antagits ha förelningsfunktioner representerae av gammaförelning samt exponentialförelning. Figur 4: Inata till beräkningsexempel för en stålbalk, från [6]. I analysen varieraes en eterministiska variabeln W så att olika β-vären erhölls. I figur 5 visas resultaten för känslighetsfaktorerna å β 3.8 vilket motsvarar eurokoens krav för en aktuella referensperioen 50 år. Figur 5: Beräkningsresultat till beräkningsexempel hämtat från [6]. De känslighetsfaktorer som kan kopplas till balkens bärförmåga tar positiva vären mean e som hör till lastsian tar negativa vären. Variablerna me störst påverkan är en nyttiga lasten (långti) och osäkerheten på lastsian. På bärförmågesian birar till viss el variationen i sträckgräns. Känslighetsfaktorn för betongens ensitet är mycket liten. Om man hae antagit ensiteten som eterministisk och utfört samma analys skulle säkerhetsinex förbli i stort sett oföränrat.
9(3) 3 LASTER, MATERIAL, GEOMETRI OCH OSÄKERHETER 3. Laster Laster klassificeras me hänsyn till eras variation i tien enligt följane: Permanenta laster, t.ex. egentyng, förspänning, krympning, krypning. Variabla laster, t.ex. nyttig last, vinlast, snölast, trafiklast, temperaturlast. Olyckslaster, t.ex. explosion, påkörningslast. I tabellen nean ges en sammanställning av några vanliga lasters statistiska egenskaper. Tabell : Typiska statistiska egenskaper för några vanliga laster. Informationen är främst hämta från [6] och [8]. Last Fraktil för karakt. väre ) Passane förelning ) Var.koef., V m/σ Anm. Egentyng, G Normalt 50 % N 0.05-0.0 Se ref. [] Nyttig last (kontor) > 98 % GU, LN 0.40-0.70 Snölast 98 % GU 0.5-0.40 Vinlast 98 % GU 0.40 Den lägre V gäller i områen me större snölast Iblan använs frechetförelning ) ) Fraktil för förelning av årsmaximum N avser normalförelning, LN lognormalförelning och GU gumbelförelning (typ-i-förelning) Den anra kolumnen anger på vilket sätt en aktuella lastens karakteristiska väre presenteras i Eurokoen. En last kan ha statistiska egenskaper som gör att en beskrivs väl av flera olika typer av förelningar. I en treje kolumnen ges en förelning som vanligtvis använs för att beskriva en aktuella lasten. Permanenta laster som egentyng brukar vanligtvis antas ha en normalförelning. För variabla laster är lasten beskrivs av frekvensfunktion för lastens maxväre använs ofta gumbelförelning. Det gäller t.ex. frekvensfunktionen för snölastens maxväre. Denna typ av förelning, även benämn typ- förelning, tillhör en familj förelningar som kallas extremväresförelningar. De har en gemensamma egenskapen att e är skeva förelningar och att e bilas av extremvären från anra förelningar å e i sin tur beskriver en ny förelning. Frechetförelning (typ-ii förelning) är också en såan extremväresförelning som iblan använs för att beskriva vinlast. Det finns metoer för att analysera vilken förelning som beskriver statistiska ata på bästa sätt. I et följane ges ett exempel. EEMPEL: Uner en lång ti har lastvären kontinuerligt registrerats. Hela mätserien elas in i lämpliga och lika långa tisintervall och maxväret för varje intervall bestäms. Totalt erhålls 80 lastvären, varierane mellan 3 och 45 kn, se histogrammet i figur 6.
0(3) 0 8 Observationer Normalför. LogNormalför. Gumbelför. Antal 6 4 0 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 Mätväre Figur 6: Analys av mätata ger Histogram av mätta lastvären och exempel på frekvensfunktioner. n skattat meelväre: µ Q Q i 3. 9 kn n n skatta stanaravvikelse: s ( ) Q Q i µ Q 4. 5 kn n i i sq och variationskoefficient: VQ 0. 33 µ Q Mätvären sorteras i stigane orning och meianrang för varje observation beräknas enligt i m i, 0 < m i < n + Där i är en aktuella observationen i storleksorning och n antalet observationer. För meianrang beräknas inversen för en kumulativa förelningen. Det beräknae väret motsvarar ett förväntat lastväre på en aktuella förelningen. Genom att plotta e förväntae lastvärena mot e observerae lastvärena får man en go uppfattning av en antagna förelningsfunktionens överensstämmelse me observationerna, se figur 7. Observationerna har kontrollerats mot två olika förelningar, els mot normalförelning och els mot gumbelförelning vars förelningsfunktion och frekvensfunktion beskrivs av följane uttryck. F ( q) e Q a ( q U ) e är f Q ( q) ae a( q U ) 0.577 U µ Q a a s Q π 6 e a ( q U ) e
(3) Linjärisera plott Normalförelning Linjärisera plott Gumbelförelning 45 45 40 40 Förväntat väre 35 30 Förväntat väre 35 30 5 5 0 0 5 30 35 40 45 Uppmätt väre 0 0 5 30 35 40 45 Uppmätt väre Figur 7: Uppmätt väre plottat mot förväntat väre för normalförelning och för gumbelförelning. Överensstämmelsen mot gumbelförelningen är bra mean normalförelningen har sämre överensstämmelse. För låga och höga lastvären i normalförelningsplotten avviker e uppmätta värena mot e förväntae. Om lasten representeras av normalförelningsfunktionen blir resultatet att e extrema lastvärena unerskattas, vilket även framgår av figur 6 är frekvensfunktionerna för essa två förelningar samt för en lognormalförelning har lagts in i histogrammet. 3. Material Det är svårt att ge allmängiltig statistisk information för materialegenskaper å en materialtyp kan ha extremt olika egenskaper, t.ex. beroene på tillverkningsförutsättningar eller materialets strukturella uppbyggna. I tabell ges ock egenskaper för några typiska material. Tabell : Några typiska materialegenskaper, se bl.a. [], [6] och [8] Material/ materialparameter Limträ Passane förelning Meelväre, m ) Var.koeff. V böjspänning LN - 0.5 Stål Anm. sträckgräns ) LN k R eh nom - 0 0.07 k. till. brottgräns ) LN B R m nom elasticitetsmoul LN E nom 0.03 Betong tryckhållfasthet LN 0.85 f c,cube 0.05 0.5 Armering tvärsnittsarea N A nom 0.0 0.04 B. till.5 sträckgräns N R eh nom + σ σ / m σ 30 MPa ) ) Inex nom. avser nominella vären. För stål enlig SS-EN 005. Enhet i MPa, meelväret är beräknat enligt e gränser som ges i [6]
(3) Normalt är et enkelt att bestämma egenskaper hos ett material och et finns ärför mycket statistisk information att hämta från tiigare gjora provningar. Dessvärre finns inte enna information samla gemensamt utan en måste hittas från fall till fall, t.ex. hos tillverkare. Generellt gäller för ett materials hållfasthetsegenskap att en för et mesta beskrivs bra av en lognormalförelning. För material me en stor variationskoefficient har enna skeva förelning förelen att en inte kan ta negativa vären, vilket för en hållfasthet är en orimlighet. 3.3 Geometri I tabell 3 ges statistisk information för geometriska egenskaper för stål, betong samt för excentricitet, krokighet och sneställning för pelare. Ofta kan statistisk information rörane geometriska avvikelser uppskattas hyfsat me ingenjörsmässiga beömningar. Tabell 3: Geometriska egenskaper. Informationen är främst hämta från [6] och [8]. ) Dimension Betong Passane förelning Meelväre, m Var.koeff. V Anm yttre imensioner N.003 nom 0.006 + 4/ nom nom 000 mm effektiv höj N nom + 0 0/ nom Valsa stålbalk höj (IPE 80-00) N h nom / nom area N A nom 0.03 böjmotstån N W nom 0.04 Excentricitet, krokighet och sneställning för en tryckt pelare excentricitet, e N 0 0.00 krokighet, f N 0 0.00 sneställning, φ N 0 0.005 Inex nom avser nominella vären. I många fall har enna typ av variabel liten påverkan på en konstruktions säkerhet. Vi sannolikhetsteoretiska analyser erhåller vanligtvis e variabler som beskriver geometriska egenskaper känslighetsfaktorer som är väligt små. Därför låter man, i sannolikhetsteoretiska analyser, ofta geometriska egenskaper representeras av eterministiska storheter. 3.4 Moellosäkerheter En gränsfunktion som använs för sannolikhetsteoretisk verifiering är en matematisk funktion, beräkningsmoell, beståene av flera variabler som beskriver sambanet mellan last, material och geometriska storheter. Denna funktion ger i normalfallet inte en helt exakt överensstämmelse me verkligheten vilket beror på moellosäkerheter. Moellosäkerheter kommer av slumpmässiga variationer som försummats i moellen samt av förenklingar mellan e matematiska sambanen. I vissa fall kopplas även osäkerheterna samman me brottyp och kontroll, se t.ex. [9].
3(3) Vanligtvis elas moellosäkerheterna in i osäkerheter för beräkning av lasteffekt, θ E, och osäkerheter för beräkning av bärförmåga, θ R, och kopplas till respektive funktion enligt uttrycken E R θ E + θ R + fe{ F, F,... a, a,...} fr{,,... a, a,...} för normalförelae osäkerhetsvariabler. Vanligtvis antas osäkerhetsvariabler representeras av lognormalförelning vilket ger funktionerna E R θ E θ R f E{ F, F,... a, a,...} fr{,,... a, a,...} I tabell 4 ges rekommenerae moellosäkerheter för olika beräkningsmoeller, från [6]. Tabell 4: Rekommenerae moellosäkerheter enligt JCSS, se [6] Beräkningsmoell Förelning Meelväre Var.koeff. För beräkning av lasteffekt moment i bärverkselement LN.0 0. normalkraft i bärverkselement LN.0 0.05 skjuvkraft i bärverkselement LN.0 0. moment i plattelement LN.0 0. krafter i plattelement LN.0 0. spänningar i D solielement (FEM) N 0.0 0.05 spänningar i 3D solielement (FEM) N 0.0 0.05 För beräkning av bärförmåga, stålkomponenter böjmoment inkl normal- och tvärkraft LN.0 0.05 tvärkraft LN.0 0.05 svetsförban LN.5 0.5 skruvförban LN.5 0.5 För beräkning av bärförmåga, betongkomponenter böjmoment inkl normal- och tvärkraft LN. 0.5 tvärkraft LN.4 0.5 förban LN.0 0. I SS-EN 990 ges en meto att bestämma och kalibrera bärförmågemoeller genom att beräkna en korrektionsfaktor b och en variationskoefficient för feltermen, V δ. Denna faktor och enna koefficient kan jämföras me moellosäkerhetens meelväre och variationskoefficient å osäkerhetsvariabeln är lognormalförela.
4(3) 4 TILLÄMPNING AV SS-EN 990 4. Allmänt I en informativa bilagan C i SS-EN 990 ges en översiktlig sammanfattning av bakgrunen till och grunerna för partialkoefficientmetoen. Blan annat ges en förenkla meto att bestämma imensioneringsvären för lasteffekter och bärförmågor. Denna meto är på säkra sian å en generellt ger något för stora ingångsvären för känslighetsfaktorerna. I stanaren sägs att en imensionerane lasteffekten och en imensionerane bärförmågan får bestämmas me antaganet att α E -0.7 α R 0.8, ock me förutsättningen att 0.6 < σ E /σ R < 7.6. Uppfylls inte etta villkor gäller att α +/- för en me störst stanaravvikelse och α +/- 0.4 för en me minre stanaravvikelse. För fallet me flera variabla laster kan en anra lastens (inte huvulast) känslighetsfaktor antas vara α E -0.4 0.7-0.8. Dimensioneringsväret beror av aktuell förelningsfunktion. I tabellen nean sammanfattas e vanligaste förelningarna. Tabell 5: Formler för bestämning av imensioneringsväre för olika förelningar. Förelning Dimensioneringsväre Anm. N m αβ V ) ( LN m αβ ln ( V + ) e V + GU om m V < 0. e αβ V U ln{ ln( Φ( αβ ))} a Φ är en kumulativa stanarnormalförelningsfunktionen U m a π σ 0.577 a För känt meelväre och stanaravvikelse använs beteckningarna m och σ mean för skattat meelväre och skatta stanaravvikelse använs beteckningarna µ och s. 6
5(3) EEMPEL: Bestäm imensioneringsväret för en last som analyseraes i kapitel 3.. Antag viare att varje observation av e 80 mätvärena motsvarar lastens årsmaximum. Vi analysen av e 80 mätvärena fann vi att µ 3.9 kn s 4.5 kn V s / µ 0.33 För e tre olika förelningarna erhålls me en beskrivna metoen följane imensionerane last baserat på säkerhetsinex β 4.7 (årsbasis) N: E 3.9 ( + 0.7 4.7 0.33) 45. 5 kn (0.7 0.33) LN: 3.9 4.7 E e 48. 9 kn GU: {U 30.0, a 0.30}, E 30.0 ln[ ln( Φ(0.7 4.7))] 55. kn 0.30 Skillnaerna är ganska stora, cirka 0 %. Vår tiigare analys av överensstämmelsen mot normalförelning och gumbelförelning visae ock att gumbelförelningen var ett bättre val. 4. Dimensionering genom provning Denna bilaga i SS-EN 990 beskriver metoer att els bestämma en enskil statistisk egenskap och els bärförmågemoeller som normalt består av flera statistiska egenskaper och som bilar en sk. bärförmågefunktion. Denna funktion kan vara mer eller minre empiriskt konstruera vilket gör att själva funktionen i sig innehåller en hel el osäkerheter. 4.. Bestämning av enstaka statistisk egenskap Detta avsnitt ger principerna för hur man utifrån provningsresultat kan bestämma en enstaka egenskap (t.ex. hållfasthet). Två metoer ges är en första metoen använs för att bestämma karakteristiskt väre och en anra för att irekt bestämma ett imensioneringsväre. Skillnaen är att i en anra metoen inklueras e osäkerheter som i imensioneringen representeras av partialkoefficienten γ m för materialvären eller γ f för lastvären. Partialkoefficienterna för moellosäkerheter, γ R eller γ S inklueras inte. Sambanet mellan osäkerheter och partialkoefficienter som e förhåller sig i Eurokoerna illustreras av figur 8. Osäkerheter i representativa lastvären γ f γ F Moellosäkerheter hos laster och lasteffekter γ S Moellosäkerheter hos bärförmågan γ R γ M Osäkerheter hos materialegenskaper γ m Figur 8: Samban mellan enskila partialkoefficienter, [].
6(3) SS-EN 990 ger grunerna för själva utväreringsmetoen. Ytterligare information om utvärering kan finnas i en Euroko som behanlar själva egenskapen. En provnings- eller mätningsserie resulterar i statistisk information om variabeln på formen i {,,, n } Det skattae meelväret, en skattae stanaravvikelsen och variationskoefficienten ges av µ s V n i n i i n i s µ n ( µ ) För en normalförela variabel beräknas et imensionerane väret enligt η γ k m Där η är imensioneringsväret för omräkningsfaktorn som tar hänsyn till volym och skaleffekter, fukt och temperatureffekter samt anra relevanta parametrar. Det karakteristiska väret k ges av k µ ( knv ) Där k n beror av aktuell fraktil, i etta fall 5 %, antal mätvären n och om V är kän, se tabell 6. Generellt kan sägas att ju större statistiskt unerlag som man har esto bättre. För ett mycket stort antal observationer, säg n > 00, är osäkerheterna för et skattae meelväret och en skattae stanaravvikelsen små och förelningen kan antas vara representera av en normalförelning, se en svarta kurvan i figur 9. Figur 9: Princip för att bestämma karakteristiskt väre me hänsyn till osäkerhet i et statistiska unerlaget. Vanligtvis är antalet observationer begränsae vilket resulterar i en osäkerhet för et skattae meelväret och en skattae stanaravvikelsen. Genom att ange en konfiensnivå som beror av antalet observationer och aktuell fraktil erhålls ett k-väre som allti är större än motsvarane fraktil för normalförelning, i figur 9 representera av en blå kurvan.
7(3) Koefficienten k n tar även hänsyn till om V är kän eller inte. Ofta kan man på ingenjörsmässiga gruner, vs. tiigare erfarenhet från jämförbara situationer, förutsätta att V är kän. Tabell 6: SS-EN 990 tabell D - Vären på k n för 5 % karakteristiska vären. n 3 4 5 6 8 0 0 30 V kän,3,0,89,83,80,77,74,7,68,67,64 V okän 3,37,63,33,8,00,9,76,73,64 Om variabeln är lognormalförela gäller att µ s ln i n i n ln n ln (ln i µ ) n i k kns e ( µ ln ln ) µ e knv Som ett alternativ till bestämning av karakteristiskt väre kan imensioneringsväret bestämmas me irekt meto enligt följane η µ ( k, nv ) I etta fall bestäms k,n enligt tabell 7. För ett stort antal prov motsvarar faktorn k,n proukten α R β 0.8 3.8 3.04. Tabell 7: SS-EN 990 tabell D Vären på k,n för imensioneringsvären i brottgränstillstån. n 3 4 5 6 8 0 0 30 V kän 4,36 3,77 3,56 3,44 3,37 3,33 3,7 3,3 3,6 3,3 3,04 V okän,40 7,85 6,36 5,07 4,5 3,64 3,44 3,04 Vi lognormalförelning bestäms imensioneringsväret enligt ( ln k, nsln ) k, n η e η µ e µ EEMPEL: Antag att en gammal stålkonstruktion ska byggas om och stålsorten är okän, misstanke finns att stålet är av sorten som tiigare benämnes SS3. För att bestämma ett ingångsväre (karakteristiskt väre) på et gamla stålets sträckgräns tas fyra representativa provstavar ut. Dragprovningen av essa ger µ R 86 MPa s R 5 MPa V R s R / µ R 0.05 V
8(3) Där R representerar övre sträckgränsen R eh. Då materialet är ett stål kontrolleras va som sägs i SS-EN 993-- [3]. I kapitel.5 anges att et karakteristiska väret ska bestämmas enligt formeln R k R γ Mi är R är imensioneringsvären enligt bilaga D i SS-EN 990 γ Mi är rekommenerae partialkoefficienter. För materialets sträckgräns kan antas att sträckgränsen har en lognormalförelning, vs. är [ k V ] R η mr exp, n R η osäkerheter som inte omfattas av provningar, i etta fall antas. k,n en normaliserae brottpunkten som me aktuellt konfiensintervall motsvarar proukten αβ 0.8 3.8 3.04. Då et finns en hel el statistisk information angåene sträckgränser för materialet SS3 så kan vi på ingenjörsmässig grun påstå att variationskoefficienten är kän, vs. en är i en storleksorning som man kan förvänta sig. Därme kan väret k,n 3.44 irekt tas ur tabell D i SS-EN 990 och sträckgränsens imensioneringsväre beräknas R För γ M.0 blir [ 3.44 0.05] 4.0 86exp R k 4 MPa MPa 4.. Statistisk bestämning av bärförmågemoeller I SS-EN 990 ges en meto för att kalibrera bärförmågemoeller och bestämma imensioneringsvären genom provning. Metoen är beskriven i sju steg och i et följane ges en sammanfattning av metoen me ett exempel. Steg : Utveckla en imensioneringsmoell Först antas en bärförmågemoell, en funktion, på formen r t g rt ( ) är representerar alla ingåene stokastiska variabler, i SS-EN 990 benämna grunparametrar. För varje prov som utförts har alla ingåene grunparametrar mätts, et kan t.ex. vara materialegenskaper (hållfasthetsvären) eller geometriska parametrar. EEMPEL: För att illustrera metoen ges ett fiktivt exempel. Antag att bärförmågefunktionen för en tryckt profil me komplicerat geometriskt tvärsnitt ska bestämmas. För etta syfte har 30 provkroppar tillverkats. Den karakteristiska bärförmågan beräknas enligt funktionen N κ A Rk f yk är κ är en empiriskt beräkna reuktionsfaktor som beror av tvärsnittets geometri, A representerar tvärsnittsarea och f yk sträckgräns.
9(3) I fortsättningen betraktas A och f yk som stokastiska variabler mean κ antas vara en eterministisk variabel. Innan provningen mäts grunvariablerna f yk och A. Faktorn κ beräknas och en teoretiska bärförmågan r t bestäms för varje provkropp enligt en antagna bärförmågefunktionen. Steg : Jämför experimentella och teoretiska vären I tabellen nean reovisas vären på e ingåene variablerna, resultat av e teoretiska, r t, och experimentella, r e, bärförmågevärena. Tabell 8: Uppmätt inata och bärförmåga, r e, samt teoretiskt beräkna bärförmåga, r t. fy A κ rt re nr. [MPa] [mm] [-] [kn] [kn] 399 3 0.665 98.0 85.6 396 060 0.665 79.3 303.4...... 9 398 73 0.90 68.7 698. 30 404 605 0.90 585.4 66.6 Stålsorten är S355 och mätningarna ger följane statistiska ata för grunvariablerna f y och A. m fy. f yk V fy 0.07 m A.0 A V A 0.0 Ett enkelt sätt att analysera beräkningsmoellen är att plotta e teoretiska beräkningsvärena mot e experimentella värena, se tabell 0. 700 600 500 re [kn] 400 300 00 00 0 0 00 00 300 400 500 600 700 r t [kn] Figur 0: r t - r e iagram. I etta fall bilar punkterna en hyfsat rak linje me jämn sprining. Är spriningen ojämn eller stor bör bärförmågemoellen ses över och justeras.
0(3) Steg 3: Uppskatta sannolikhetsmoellens korrektionsfaktor Den probabilistiska beräkningsmoellen kan beskrivas av uttrycket r b r t δ är δ är feltermen och b meelväret på förhållanet mellan r t och r e. Detta förhållane bestäms me minsta-kvaratmetoen enligt uttrycket b r r e t rt Steg 4: Uppskatta felens variationskoefficient För varje experimentellt väre bestäms feltermen δ i enligt rei δ i b r ti Feltermen kan antas lognormalförela me meelväret och variationskoefficienten som bestäms genom att efiniera i ln( δ i ) n Den skattae variansen bestäms från s i i n ( ) Vilket ger följane variationskoefficient för feltermen V δ s e I tabellen nean ges resultatet av beräkning av korrektionsfaktorn b och feltermen δ för exemplet. Tabell 9: Inata och beräkningsmall för prover. f y A κ r t r e r e r t r t nr. [MPa] [mm ] [-] [kn] [kn] [kn ] [kn ] [-] [-] [-] 399 3 0.665 98.0 85.6 850 8889 0.887-0.9 0.0 396 060 0.665 79.3 303.4 84764 7803.006 0.006 0.000........... 9 398 73 0.90 68.7 698. 43958 38843.045 0.044 0.003 30 404 605 0.90 585.4 0.0 66.6 0.0 366840 3470 0.99-0.009 0.000 Σ 6746 643538-0.008 δ i b.080 Σ 0.58 i ( ) i s 0.005 V δ 0.074
(3) Steg 5: Analysera överensstämmelsen Överensstämmelsen mellan provningspopulationen och e antaganen som gjorts för bärförmågefunktionen bör analyseras. Är spriningen för stor för att erhålla ett ekonomiskt imensioneringsväre för bärförmågefunktionen så kan spriningen reuceras på olika sätt. Mer om etta finns beskrivet i SS-EN 990. Steg 6: Bestäm variationskoefficienterna för grunvariablerna Om et kan påvisas att provningspopulationen är helt representativ för en verkliga variationen kan variationskoefficienterna V i för grunvariablerna i bärförmågefunktionen bestämmas från provningsata. Eftersom etta i allmänhet ock inte är fallet måste vanligtvis variationskoefficienterna V i bestämmas på grunval av någon tiigare kän kunskap. Steg 7: Bestäm et karakteristiska väret r k för bärförmågan I exemplet är bärförmågefunktionen en prouktfunktion på formen r b r t δ b { fy A }δ Meelväret kan erhållas från mr b grt ( i ) b m fy ma.08. f yk.0a. f Om variationskoefficienterna är små gäller att bärförmågefunktionens variationskoefficient är Vr Vδ + Vrt V rt Vi V fy + VA 0.074 + 0.073 0.04 0.07 + 0.0 0.073 För mer komplexa bärförmågefunktioner hänvisas till SS-EN 990. Den karakteristiska bärförmågan ges av r ( k rtqrt kn Q 0,5Q e α α δ ) δ k mr k n är en karakteristiska fraktilfaktorn från tabell D för fallet V okän i SS-EN 990. För n 30 gäller att k n.73. k är k n -väret för n, vilket ger att k.64. Q representerar en logaritmerae stanaravvikelsen och α viktfaktorn enligt följane Q Q rt δ ln rt ln δ Q ln r α rt Q Q rt ( V + ) 0. 073 ( V + ) 0. 074 ( V + ) 0. 03 0.073 0.03 0.70 yk A
(3) vilket i exempel ger Q 0.074 α δ δ Q 0.03 r k.f A e 0.7 m e ( k rtqrt kn Q 0,5Q α α δ δ ) r yk (.64 0.70 0.073.73 0.7 0.074 0.5 0.03 ).0 f yk A Det beräknae karakteristiska bärförmågeväret representerar 5 % fraktilen. En irekt jämförelse me en funktion som beskriver en karakteristiska bärförmågefunktionen för N Rk visar en avvikelse på %. Vi kan sålees konstatera att en antagna bärförmågefunktionen uppfyller kraven och kan använas för imensionering me partialkoefficientmetoen. 5 SAMMANFATTNING Sannolikhetsteoretiska metoer kan använas för irekt kontroll i ett givet gränstillstån, vs. genom att betrakta alla ingåene variabler och osäkerheter på båe last- och bärförmågesian som statistiska variabler och beräkna brottrisken. Metoen i sig är ganska matematiskt komplicera och kräver ett omfattane statistiskt unerlag. I e flesta fall är et inte lönt å en eventuella förtjänsten i e flesta fall är liten mot en arbetsinsats som krävs. För imensionering av stora och komplicerae anläggningar kan i vissa fall en sannolikhetsteoretiskt basera meto vara ekonomiskt förelaktig. Men som sagt, metoen är komplicera och et återstår en el utvecklingsarbete innan e sannolikhetsteoretiska metoerna blir så tillgängliga att e finner en mer allmän tillämpning för irekt imensionering av byggkonstruktioner. En annan tillämpning för sannolikhetsteoretiska metoer är att använa em för kalibrering av faktorer och koefficienter som ingår i eterministiska beräkningsmoeller som bygger på partialkoefficientmetoen. I bilaga C till eurokoen SS-EN 990 [] ges anvisningar för hur kalibreringen kan utföras. Denna euroko ger även en hel el anra informativa anvisningar för metoer kopplae till sannolikhetsteoretiskt synsätt, bl.a. hur karakteristiska eller imensionerane bärförmågevären kan bestämmas me provning. Vi arbete me sannolikhetsteoretiskt baserae metoer ställs stora krav på utföraren. Många val ska göras rörane moellernas funktioner, statistisk information och osäkerheter. Ofta är et brist på information och valen måste ärför baseras på ingenjörsmässiga beömningar. Det kan till exempel gälla hur stor spriningsparameter som ska antas för en variabel är en tillgängliga informationen är bristfällig. Det kan i essa fall vara enkelt att lägga sig på mycket säkra sian vilket resulterar i oförelaktiga resultat. Me en go ingenjörsmässig beömning kan valet av spriningparameter baseras på annan jämförbar information och eventuella osäkerheter beaktas genom tiigare erfarenheter. En annan svårighet kan vara att välja en representativ förelning för en aktuella stokastiska variabeln. Valet kan även i etta fall göras på en ingenjörsmässig beömning basera på tiigare statistisk erfarenhet av lasten, egenskapen eller osäkerheten
3(3) REFERENSER [] Cajot, L.G., Haller, M., Conan, Y., Selacek, G., Kraus, O., Ronla, J., Cerfontaine, F., Lagerqvist, O., Johansson, B., Probailistic quantification of safety of a steel structure highlighting the potential of steel versus other materials. Final report RFCS-Contract No 70-PR/35, Report EUR 695 EN, Brussels, 005. [] Euroko SS-EN 990:00 Euroko Grunläggane imensioneringsregler för bärverk. [3] Euroko SS-EN 993--:005 Euroko 3 el - Dimensionering av stålkonstruktioner. [4] Hasofer, A.M., Lin, N.C., Exact an Invariant Secon Moment Coe Format. Journal of engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 00, 974, pp. -. [5] ISO 394:00 General principles on reliability for structures. [6] Joint Committee on Structural Safety, JCSS Probabilistic Moel Coe, part I-IV. th raft. Se även http://www.jcss.ethz.ch/publications/publications_pmc.html [7] Thoft-Christensen, P., Baker, M.J., Structural Reliability Theory an its Applications, Springer-Verlag, Berlin, 98. [8] NKB Committee an Work Reports 999:0 E, Basis of Design of Structures Proposals for Moification of Partial Safety Factors in Eurocoe. [9] NKB-rapport nr. 35, Retningslinier for last- og sikkerhesbestemmelser for baerene konstruktioner., Noriska kommittén för byggbestämmelser, 978. [0] Stenström H., Sannolikhetsteoretisk imensionering av stomkonstruktioner. Examensarbete LTU-E-08/043- -SE, Luleå Tekniska Universitet, 008.