Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Relevanta dokument
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

TMS136. Föreläsning 4

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Demonstration av laboration 2, SF1901

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Statistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

1 Mätdata och statistik

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik

Hur måttsätta osäkerheter?

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

SF1911: Statistik för bioteknik

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Kap 3: Diskreta fördelningar

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Grundläggande matematisk statistik

Stokastiska processer med diskret tid

4 Diskret stokastisk variabel

1. Lära sig beräkna kon densintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera centrala gränsvärdessatsen

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

7-III. Analys av osäkerhet

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Datorövning 1: Fördelningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Kontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)

histogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid 1

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Ulrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys

FÖRELÄSNING 4:

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Ulrik Söderström 19 Jan Signalanalys

Föreläsning 7: Punktskattningar

17.1 Kontinuerliga fördelningar

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler

Markovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013

Grundläggande matematisk statistik

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

TMS136. Föreläsning 10

Väntevärde och varians

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Sannolikheter och kombinatorik

Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Föresläsningsanteckningar Sanno II

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Transkript:

Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning med samma indata. En deterministisk metod ger alltid samma lösning givet vissa indata. Alla tidigare metoder i den här kursen (och i Bervet I) har varit deterministiska metoder. En Monte Carlo-metod är en stokastisk metod som använder samplade slumptal för att genomföra upprepade experiment och sedan ta medelvärdet av resultaten. 2 Exempel Brownsk rörelse från labben. Vid varje tidpunkt t k = k t slumpar vi fram en förflyttning som hämtas från en normalfördelning N (0, t ). Om vi har d dimensioner så använder vi d oberoende Brownska rörelser. Kör X=brown(1,[ 0 0],0.1,1) MATLAB tillhandahåller slumptal från standardnormalfördelningen. Medelvärde 0 och varians 1. N (0, 1) : f 0,1 (x) = 1 e x2 2 2π Hur får vi normalfördelade slumptal från en annan fördelning N (µ, σ 2 ) : f µ,σ 2(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 1 Rita

Om X N (0, 1) så gäller Y = µ + σx N (µ, σ 2 ) Vi skiftar och skalar x. f µ,σ 2(y) = 1 σ f (0,1)( y µ σ ) Skalningen med 1 behövs för att totala sannolikheten σ f(x)dx ska vara 1. Åter till exemplet µ = 0 och σ 2 = t. Vi ska alltså skala våra slumptal med t. Jämför brown.m Visa cool ppt-bild? MC.ppt 3 Pseudokod för MC-metod Indata: N (antal försök) for i=1:n Gör en stokastisk simulering resultat(i)=resultat av simulering ovan end slutresultat = mean(resultat) Slutresultatet är inte alltid medelvärdet. Kan vara andra funktioner av resultaten, t.ex. sannolikhet för kritisk händelse. Exempel : Ensemble-prognoser inom meteorologi Osäkerheter i indata och icke-linjära modeller gör att resultat blir osäkra. Störningar i indata kan förstärkas, dvs illa-konditionerade problem. for i=1:ensemblestorlek 1. Slumpa fram störningar av indata från lämplig fördelning. 2. Beräkna en prognos utgående från det tillståndet. Använd ensemblen av prognoser för att uppskatta osäkerheten. Ex, Sannolikheten för mer än 20 mm nederbörd under morgondagen. Kolla websida med väderprognosbild. http://www.mittvaeder.se/se/home/vaeder/ensembleprognos.html Rita bild. Kritiskt om större än visst värde. Area av detta. 4 Integralberäkning med MC-metoder Idé: I = b a f(x)dx = (b a)f medel 2 Rita bild med funktion och dess medelvärde

Medelvärden kan räknas ut med Monte Carlo-metoder. Alla funktionsvärden bidrar på samma sätt till medelvärdet Använd slumptal x från en likformig fördelning över (a, b). Beräkna ett stokastiskt värde på integralen function I=MCint(f,a,b,n); % Funktion, intervall, antal värden x = a + (b-a)*rand(n,1); % Likf (a,b) fx = feval(f,x); % Evaluera funktionen I = (b-a)*mean(fx); % Approx av I Indata: N (antal integrationer) for i=1:n Använd MC för att beräkna integralen resultat(i)=integralvärde end slutresultat = mean(resultat) Slumpvariabeln som är det uppskattade integralvärdet har väntevärde/medelvärde µ = I och det förväntade felet kan visas vara O(1/ (N)) Jämför Trapets och MC, skillnader Trapetsregeln: I = h N 1 2 (f(x 0) + 2 f(x i ) + (x N )), i=1 h = (b a)/n, x i = a + ih. Regelbundet nät. Monte Carlo: I = (b a)/n N 1 i=0 f(x i ) där x i är slumptal från likformig fördelning över (a b) Hur beror felet av N i de två fallen Beräkningskostnad i d dimensioner. Felet i trapetsmetoden: R = b a 12 h2 f (ξ) = (b a)3 12N f (ξ) 2 I en dimension avtar felet i trapetsregeln som 1/N 2 = N 2 d dimensioner M = N 1/d punkter per dimension. I d dimensioner avtar felet som (N 1/d ) 2 = N 2/d 3

d Fel 1 N 2 2 N 1 4 N 1/2 8 N 1/4 Monte Carlo-metoder konvergerar som N 1/2 i alla dimensioner. Långsamt i få dimensioner, men jämförelsevis snabbt i höga dimensioner. 5 Återkoppling till målen 0 Målen för föreläsningen 1 Definitioner En diskret stokastisk variabel kan bara anta vissa specifika värden (ändligt antal). Ex) Utfallet av ett tärningskast kan anta värdena {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden (i ett intervall). Ex) Mätfel, vikten av 2 kg potatis. En sannolikhetsfunktion p X (x) ger sannolikheten att en diskret stokastisk variabel X antar ett visst värde x. Ex) Dra ett kort ur en Kortlek. Utfall x = 1: 2,3,..., 10 Utfall x = 2: Ess Utfall x = 3: Knekt, Dam, Kung p X (x) = 9/13, x = 1 1/13, x = 2 3/13, x = 3 0 annars. En kumulativ sannolikhetsfunktion F X (x) beskriver sannolikheten att en diskret stokastisk variabel X x. Ex) Korten 0 fram till 1, 9/13 fram till 2, 10/13 fram till 3 sedan 1. En täthetsfunktion f X (x) visar hur sannolikheten för at en kontinuerlig stokastisk variabel X ska anta olika värden är fördelad. Rita en normalfördelning och en likformig fördelning (höjd). f(x)dx = 1 4 Rita spikes med olika höjd, summan 1. Rita

Sannolikheten att X hamnar i intervallet [a, b] ges av b a f(x)dx Rita in i bilden. En (kumulativ) fördelningsfunktion F X (x) beskriver sannolikheten att den kontinuerliga stokastiska variabeln X x. F X (x) = x f(t)dt lim F (x) = 0 x ingen sannolikhet lim F (x) = 1 x all sannolikhet. 0 F (x) 1 Sannolikheten att X hamnar i intervallet [a, b] ges av F X (b) F X (a). 2 Exempel Exempel : Fördelnings funktion för likformig sannolikhetsfördelning över (a b) F X (x) = x 0, x < a x 1 x a f(t)dt = a dt = (b a) 1, x > b b a, a x b 3 Deterministiska resp stokastiska modeller Samma fenomen kan ofta modelleras antingen med en stokastisk eller deterministisk modell. En deterministisk modell har en entydig lösning och oavsett vilken typ av metod man använder ska den konvergera mot den lösningen. Ex) ODEer, integraler, kemiska reaktioner med så stort antal molekyler att reaktioner alltid sker. En stokastisk modell beskriver en verklighet där utfallet inte är givet utan det blir olika realisationer varje gång. Ex) Partikelrörelse, kemiska reaktioner med så låga antal molekyler att reaktioner bara sker med en viss sannolikhet (i celler). Valet av modell kan ge kvalitativt olika resultat för samma problem. 5 Vilket svar är rätt?

4 Kort om Gillespies algoritm Kemiskt system med tre typer av molekyler. A, B, C beskriver antalet av varje sort. Reaktioner ses som enskilda händelser A + B k 1AB C A k 2A B Benägenheterna k 1 AB och k 2 A säger hur många gånger per tidsenhet händelsen förväntas inträffa. Initialt: Initialtillstånd x = x 0, t = t 0, sluttid T while t < T do Sampla τ, tid till nästa reaktion Hitta vilken reaktion r som ska hända Uppdatera tillståndet x = x + n r t = t + τ end while x = [ABC] n r beskriver förändringen av antal molekyler. n 1 = [ 1, 1, 1] Vi behöver veta hur vi ska sampla τ och r. En variabel för något som händer slumpmässigt ett visst antal ggr/tidsenhet är exponentialfördelad. Reaktionen är en diskret stokstisk variabel med given sannolikhetsfunktion. Rita system med A och B som blir C, två tillstånd t 0 och t + τ. 5 Behovet av sampling i stokastiska metoder För att kunna göra stokastiska simuleringar måste man kunna sampla slumptal från alla tänkbara sorters fördelningar. Vi har likformiga eller normalfördelade slumptal. Kan de användas i en generell algoritm? 6 Algoritmen Inverse Transform Sampling Idé: Vi vill generera slumptal med täthetsfunktion f X (x) Rita bild med icke normal bubbla till höger 0 i origo t.ex. (log-normal) Fördelningsfunktion F X (x) = x f(t)dt Rita bild 0 vid origo blending upp till 1 asymptotiskt. Sannolikheten att hamna i intervallet [a,b] är F X (b) F X (a). 6

Rita på x-axeln och visar hur det motsvarar y-axeln. Om vi slumpar likformigt fördelade y så får vi motsvarande x för aktuell täthetsfunktion genom att lösa y = F X (x) Om den inversa funktionen känd, x = F 1 (y) (därav namnet). Ex) Generera likformigt fördelade slumptal i [a,b] Rita fördelningsfunktionen igen. x a b a = y x = a + (b a)y Ex) Nu ska vi göra samma sak för kortleksexemplet Rita igen 0 fram till 1, 9/13 fram till 2, 10/13 fram till 3 och sedan 1. Visa på y-axeln intervallen. Hitta F X (i 1) < y F X (i) Det diskreta utfallet i motsvarar det samplade y:et 7