Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk variabel (X, Y) Simultan fördelningsfunktion: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) Simultan sannolikhetsfunktion: p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) Simultan täthetsfunktion: f X,Y (x, y) = Några egenskaper: P[(X, Y) A] = (j,k) A P[(X, Y) A] = p X (j) = k A p X,Y (j, k) p X,Y (j, k) f X,Y (x, y) dxdy 2 x y F X,Y(x, y) Marginell slh.funkt. för X f Y (y) = f X,Y (x, y) dx Marginell täthet för Y Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 2/16
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians 2D stokastisk variabel Fler egenskaper (för täthetsfunktioner) Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y X och Y är oberoende f X Y (x y) = f X,Y(x, y) f Y (y) f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) för alla (x, y) Satsen om total sannolikhet f X (x) = f X Y (x y)f Y (y)dy Bayes sats f Y X (y x) = f X Y (x y)f Y (y) f X Y(x z)f Y (z)dz Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 3/16
Summa av två oberoende, Z = X + Y Diskret: p Z (k) = i+j=k p X (i) p Y (j) = k p X (i)p Y (k i) i=0 Kontinuerlig: F Z (z) = f X (x) f Y (y) dxdy = f Z (z) = x+y z f X (x)f Y (z x) dx f X (x)f Y (z x) dx Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 4/16
Summor av tärningskast Summa av tärningar 0.2 p X (k) 0.1 0 1 2 3 4 5 6 Antal tärningar 7 8 0 10 20 k 30 40 50 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 5/16
Exempel: Summa av diskreta stokastiska variabler Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Geometriska stokastiska variabler X och Y? p X (k) = p Y (k) = p(1 p) k, k = 0, 1,..., Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 6/16
Exempel: Summa av kontinuerliga stokastiska variabler Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y Exp(λ), där X och Y är oberoende? { λe λx x > 0 f X (x) = f Y (x) = 0 f.ö. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 7/16
Maximum Störst av två oberoende Z = max(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(max(X, Y) z) = P(X z Y z) =F X (z)f Y (z) Störst av fler oberoende Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F X1 (z)... F Xn (z) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 8/16
Minimum Minst av två oberoende Z = min(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(min(X, Y) z) = 1 P(min(X, Y) > z) =1 P(X > z Y > z) = 1 [1 F X (z)][1 F Y (z)] Minst av fler oberoende Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 [1 F X1 (z)]... [1 F Xn (z)] Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 9/16
Exempel: Tid tills maskin går sönder Vi har en komplicerad maskin som består av n stycken delsystem. Maskinen fungerar så länge varje delsystem fungerar. Antag att tiden till att delsystem k går sönder är T k, där T k Exp(λ k ), för k = 1, 2,..., n. Delsystemen går sönder oberoende av varandra. Vad är fördelningen för tiden tills maskinen går sönder? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 10/16
2 Täthetsfunktioner för min och max av exponentialfördelning X, Y max(x,y) min(x,y) 1 0 0 1 2 3 x Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 11/16
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Täthetsfunktioner för max av 1,10,50,100,250,500 Exp(1) fördelningar 0 0 2 4 6 8 10 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 12/16
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Väntevärden 6 Succesiva medelvärden för 6 tärningar 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Antal tärningskast Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 13/16
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Väntevärde, E(X), μ, μ X, m,... Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = xf X(x) dx Kont. k kp X(k) Diskr. Väntevärde av Y = g(x) { E(Y) = g(x)f X(x) dx Kont. k g(k)p X(k) Diskr. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 14/16
Varians, V(X), σ 2, σ 2 X Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Variansen är alltid positiv. Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Standardavvikelsen har samma dimension som X och E(X). Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 15/16
Exempel Vad blir E(X) och V(X) om X Exp(λ)? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 16/16