VIII. Fermi-Dirac-statistik

VIII. Fermi-Dirac-statistik Viktiga målsättningar med detta kapitel Kunna härleda Feri-Dirax-distributionen och känna till dess fysikaliska innebörd Känna till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt kall, och förstå deras fysikaliska innebörd Känna till begreppen Fermi-energi, -temperatur, och -hastighet Veta att många praktiskt viktiga Fermisystem är i praktiken helt degenererade. Förstå begreppet elektrongas i metaller Förstå hur Fermigasers paramagnetism fungerar. ε k n k ε n ε n ε n Alltså fås vidare n Betrakta det subsystem som bildas av partiklarna i det k:te kvanttillståndet med energin ɛ k. Sannolikheten för att detta delsystem innehåller n k ( =,) partiklar är då P nk = e (Ω k +µn k n k ɛ k )/k B T () Summan över alla sannolikheter är givetvis, så { P nk = = e Ω/kBT + e (µ ɛ k )/k B T () n k där vi använt oss av det faktum att då n k =, kan man lätt skriva ut all termer i summan! { Ω k = k B T ln + e (µ ɛ k )/k B T (3) Den kemiska potentialen kan vara positiv eller negativ (i motsats till Bose-Einstein distributionen där den ju måste vara negativ). Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 3 VIII.. Fermi-Dirac fördelningen Vi betraktar ett idealgassystem av partiklar så beskaffade att varje kvanttillstånd högst kan ockuperas av en enda partikel (exklusionprincipen). Sådana partiklar kallas Fermi- partiklar eller fermioner. Alla partiklar vars impulsmomentkvanttal antar halva heltalsvärden är fermioner. Medelockupationen är < n k >= Ω k µ = k BT + e (µ ɛ k )/k B T e(µ ɛ k )/k B T k B T = e (ɛ k µ)/k B T + (4) (5) Viktiga exempel är elektroner, protoner, neutroner. n k = e (ɛ k µ)/k B T + Detta är Fermi-Dirac-fördelningsfunktionen! (6) Gränsfallet < n k ><< motsvarar e (µ ɛ k )/k B T >> och vilket är Boltzmann-fördelningen (som väntat) n k e (µ ɛ k )/k B T (7) Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 4

Tillståndsekvationen ges som vanligt av Ω = k Ω k = k B T k ] ln + e (µ ɛ k )/k B T (8) Vi beräknar nu Fermi-idealgasers egenskaper VIII... Fermi-idealgaser Ω = k B T k ( ) ln + e (µ ɛ k )/k B T () Vid T = är e (ɛ k µ)/k B T = eller alltså N = n k = k { e =, ɛ k < µ e + =, ɛ k > µ n k = e (ɛ k µ)/k B T + { ɛk < µ ɛ k > µ Detta betyder att distributionen har vid T = resp. högre temperatur följande form: (9) () Vi gör igen (jämför kapitlena på Boltzmann- och Bose-Einstein-gasen) ersättningen Byte av integrationsvariabel: = k d 3 rd 3 p = h 3 = V (π ) 3 d 3 p d 3 r (π ) 3 {{ V (3) dωp dp (4) ɛ = p pdp dɛ = (5) m m p = mɛ (6) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 7 n k T = ger Ω = k B T V 8π 3 34π m m Ω = V k BT m 3/ π 3 dɛɛ / ln ] dɛɛ / ln + e (µ ɛ)/k B T (7) + e (µ ɛ)/k B T ] (8) T > Om partiklarnas impulsmomentkvanttal eller spinn är S bör uttrycket multipliceras med degenerationsfaktorn g = (S + ) ε F ε För elektroner, neutroner och protoner är S = / och alltså g =. Detta betyder att vid T = är alla nivåer under µ är fyllda Fermigaser med T kallas degenererade Fermigaser. P.g.a. den centrala rollen av kemiska potentialen vid T = kallas Vi använder igen fugacitetsparametern z = e µ/k B T : Ω = g V k BT m 3/ π 3 dɛɛ / ln ] + ze ɛ/k B T {{ I (9) µ(t = ) = Fermi-energin () Då ɛ / = d dɛ 3 ɛ3/ () Termofysik, Kai Nordlund 6 Termofysik, Kai Nordlund 8

fås med kedjeregeln för integrering I = / 3 ɛ3/ ln ] + ze ɛ/k B T {{ = dɛɛ 3/ 3 + ze ɛ/k B T ze ɛ/k B T ( ) {{ k B T + dɛɛ 3/ 3k B T ze ɛ/k B T + ze ɛ/k B T {{ A Nu ser vi att termen A är summan av en geometrisk serie: n= () () A = ( ) n+ (ze ɛ/k B T ) n = ( ) n+ z n e nɛ/k B T (3) Termofysik, Kai Nordlund 9 n= Med att sammansätta resultaten för I, I och B fås Ω = g V k BT m 3/ 3 π π 3 3k B T 4 (k BT ) 5/ ( ) n+ z n (9) n 5/ n= = gv (k B T )n c ( ) n+ z n n= n 5/, (3) där vi igen definierat (denna definition är identisk med den för Bose-Einstein-systemet): n c ( mk BT π )3/ (3) Om vi vidare definierar serieutvecklingen som en funktion av exponenten på n: f S (z) ( ) n+ z n n= kan resultatet sammanfattas i den funktionellt enkla formen n s (3) Ω = gv (k B T )n c f 5/ (z) (33) Termofysik, Kai Nordlund Så man får att hela uttrycket är Med variabelbytet kan man skriva integralen I = 3k B T ( ) n+ z n dɛɛ 3/ e nɛ/k B T {{ n= B (4) ɛ = x dɛ = xdx ɛ 3/ = x 3 (5) B = Vi beräknar integralen med det följande bekanta tricket dxx 4 e nx /k B T I = dxx 4 e αx = d dxe αx dα {{ π α / (6) (7) där alltså allt beroende på z är i funktionen f Funktionen f S kan lätt beräknas med ett datorprogram. (notera att om z > divergerar den uppenbart): awk BEGIN { for(z=;z<=;z+=.) { \ s=; \ for(n=;n<;n++) s+=(-)^(n+)*z^n/(n^.5); \ print z,s; \ \ exit; > f3over_.dat och med att derivera två gånger med avseende på α fås I = 3 π 8 (8) α 5/ Termofysik, Kai Nordlund vilket ger Termofysik, Kai Nordlund

f S (z)..9.8.7.6.5.4.3.. f / f 3/ f 5/ f 7/.....3.4.5.6.7.8.9. z (Orsaken att mindre värden på S ger mindre f S är helt enkelt att termen n = drar neråt summan och resten av det kan inte kompensera). Det totala partikeltalet: N = Ω µ = Ω z z µ, (34) Boltzmannstatistiken återfås om µ << och därmed z << : Vi ser vad som händer då z : (4) Då faller termerna i summan på f S mycket snabbt med ökande n, och kvar blir bara termen n = : f 5/ (z ) ( ) z 5/ (4) f 3/ (z ) ( ) z (4) 3/ Alltså gäller att f 5/ då z (43) f 3/ Om man dividerar ekvationen för N med ekvationen för Ω i ekvationerna 39 ser man alltså att man får Tillståndsekvationen P V N k BT då z (44) Termofysik, Kai Nordlund 3 Termofysik, Kai Nordlund 5 Då är Den andra delen vi behöver är z = e µ/k B T, (35) z µ = z; (36) k B T f 5/ (z) = ( ) n+ z n z n 3/ k B T z (37) n= vilket ju är den klassiska idealgaslagen! så man får och därmed vilket är tillståndsekvationen! N = +gv (k B T )n c n= { N = gv nc f 3/ (z) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) ( ) n+ z n n 3/ k B T z (38) (39) Termofysik, Kai Nordlund 4 Termofysik, Kai Nordlund 6

VIII... Den inre energin: VIII..3. Tillståndsekvationen vid höga temperaturer: Vi beräknar nu FD-gasens inre energi Vi beräknar nu tillståndsekvationen då T är stor, d.v.s. fugaciteten z = e µ/k B T kring. E = k ɛ k < n k > (45) ] N = gv n c f 3/ (z) = gv n c z z + 3/ (5) g V T m3/ dɛɛ 3/ π z eɛ/k B T + Detta är samma integral som uppträder i uttrycket för Ω, B, och dess resultat kan skrivas som (46) P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) = gv n c (k B T ) ] z z + 5/ (5) så vi får B = 3 Jämförelse av detta med uttrycket för Ω visar att π (k BT ) 5/ f 5/ (z) (47) E = 3 gn cv k B T f 5/ (z) (48) P V = 3 E (49) Termofysik, Kai Nordlund 7 Vi introducerar hjälpvariabeln λ N gv n c = För att lösa detta med avseende på z skriver vi n = f 3/ (z) = z z gn c 3/ + (53) z = α λ + α λ (54) Termofysik, Kai Nordlund 9 vilket vi ju tidigare sett gälla också för en klassiskt Maxwell-Boltzmann-idealgas och Bose-Einsteinidealgasen. Alltså gäller E = 3 P V (5) och sätter in detta i uttrycket för λ, behållande termer högst av ordningen λ : För att detta skall gälla bör vi ha så λ = α λ + α λ α λ (55) α = samt α = ; (56) z = λ + λ (57) för alla tre huvudtyper av idealgaser: MB, BE och FD! Tillståndsekvationen P V = gv n c (k B T ) z 4 blir nu alltså till andra ordningen = gv n c (k B T ) λ + λ λ ] 4 z ] (58) (59) Termofysik, Kai Nordlund 8 Termofysik, Kai Nordlund

och med insättning av λ = n/gn c : eller alltså = gv n c (k B T ) n + gn c 4 g ( n ] ) +... n c = gv (k B T ) N + gv 4 g ( n ] ) +... n c P V = Nk B T + 4 g ( n ] ) +... n c Alltså är trycket i en Fermigas större än i en idealgas pga. exklusionsprincipen! Detta är motsatt resultat till det som erhölls för Bose-Einstein-gasen, men ett mycket naturligt resultat då man inte kan sätta många fermioner i samma tillstånd (och vice versa för bosoner!) (6) (6) (6) Alltså är t.ex. N = k n k = g 4πV mm ɛf dɛɛ / (π ) 3 {{ 3 ɛ3/ F N = V m 3/ ɛ 3/ F g (66) 3 π 3 Detta binder fast värdet på om partikeltätheten n = N/V är känt, och man får: (65) ( ) = 3π /3 m n/3 g (67) Detta ger också villkoret för när ett fermionsystem är praktiskt taget degenerarat, eller termodynamiskt kallt: >> k B T (68) Nu kan man också definiera flera relaterade storheter: Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 3 n k ε F VIII.. Degenererade Fermisystem T = ε Vi betraktar nu i mer detalj det degenererade Fermisystemet: n k = Vi byter än en gång summan till en integral: V dω (π ) 3 k {{ 4π { ɛk < ɛ k > (63) p dp {{ mɛ mdɛ (64) Fermi-temperaturen: Fermi-impulsen (rörelsemängden) Som funktion av denna kan man skriva n = ( p F Fermi-hastigheten definieras logiskt av T F = k B (69) p F = m (7) = n /3 ( 3π g ) /3 (7) )3 g 3π = g F 6π (p )3 (7) v F = p F /m (73) Men den avgörande skillanden är nu den att i alla integraler över n k räcker det med att integrerar till Fermi-energin! Termofysik, Kai Nordlund Termofysik, Kai Nordlund 4

VIII... Exempel på kalla Fermionsystem VIII... Elektrongasen i metaller: För elektroner är som sagt g =. Lednings-elektrondensiteten i metaller kan uppskattas som att varje atom avger av storleksordningen elektron till den ledande elektrongasen (för alkalimetaller stämmer detta med god noggrannhet, transitionsmetaller avger i själva verket några fler). Atomernas storlek ges av storleksordningen på atomradien Å. Alltså fås Metall (ev) Li 4.7 Na 3. K. Cu 7. Ag 5.5 Au 5.5 Vår enkla uppskattning var alltså ung. en faktor för stor, men detta förändrar inte den kvalitativa slutsatsen. n el n jon n at 4π Å 3 /3.Å 3. 3 m 3 Insättning av detta och g = i ekvationen för ger (74) VIII... Kärnmaterie = m e n /3 ( 3π )/3 ev (75) Nukleonerna (protoner och neutroner) är av storleksordning fm så och motsvarande Fermitemperatur T F 4 K (76) n 4π fm 3 /3.fm 3. 45 m 3 (78) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 7 Jämförelse av detta med rumstemperatur 3 K ev (77) 4 och deras massa är ung. u så: och motsvarande Fermitemperatur = u n/3 ( 3π )/3 68 MeV (79) T F 7.9 K (8) visar att elektrongasen i metaller är extremt kall vid rumstemperatur! Jämförelse av detta med typiska smälttemperaturer på metaller K. ev visar att elektrongasen i metaller är mycket kall i fasta metaller vid alla temperaturer!! Detta är den första stora orsaken varför FD-distributionen är så viktig i fasta ämnens fysik: ledningselektronerna beter sig helt enligt Fermistatistik vid nästan degenerarat tillstånd, som ju totalt avviker från den klassiska Boltzmann-statistiken! Alltså är kärnmaterian helt otroligt termodynamiskt kall vid rumstemperatur. Alla nukleoner är garanterat i grundtillståndet. Kärnmaterien blir exciterad (varm) först vid T 7 MeV. Detta är faktiskt en riktigt bra uppskattning: det ger en första förklaring till varför kärnexcitationsenergier typiskt är av ordningen MeV. För att verkligen hetta upp kärnor krävs högenergetiska (>> MeV) partikelacceleratorer. Här är ännu en tabell på några verkliga värden på : Termofysik, Kai Nordlund 6 VIII...3. Vita dvärgstjärnor Termofysik, Kai Nordlund 8

Vita dvärgstjärnor består huvudsakligen av He atomer. För vita dvärgar gäller typiskt (experimentella obsevationer): M exp M ; M = 3 kg (8) ρ 7 g/cm 3 (8) Landau-Lifshitz 57] VIII... Den inre energin hos att degenererat fermisystem Vi räknar nu inre energin för den degenererade Fermigasen. Integralen behöver givetvis bara göras till : E = U = n k ɛ k (88) Att temperaturen är så hög innebär att alla He-atomer är joniserade: T 7 K (83) 7 K 3 ev >> ev = He atomens jonisationsenergi. (84) V ɛf m3/ dɛ ɛɛg π 3 {{ 5 gɛ5/ F (89) Så man inser att vita dvärgar består av He-kärnor och elektroner i ett plasma. För elektronsystemet gäller då (vi approximerar att He-kärnans massa är 4u): n el = N V = M/4u M/ρ = ρ u (85) = E = Jämförelse med det tidigare resultatet, ekvation 66 N = V 3 5 V m 3/ g π 3 ɛ 5/ F (9) m 3/ g π 3 ɛ 3/ F (9) Termofysik, Kai Nordlund 9 Termofysik, Kai Nordlund 3 7 g/cm 3.7 4 g 3 6 Å 3 (86) Jämförelse av dessa två ekvationer visar att: och därmed = m ( 3π n)/3.8 MeV >> kev (87) E N = 3 5 (9) Alltså är vita dvärgars temperatur ungefär miljoner grader Kelvin, men de är ändå termodynamiskt kalla! vilket ger energin per fermion! Termofysik, Kai Nordlund 3 Termofysik, Kai Nordlund 3

Nu har vid den märkbara förenklingen att så VIII..3. Tillståndsekvationen vid T = E = F (T = ) (93) P = F V = E V Med hjälp av resultatet för E/N (ekv. 9) får man Då Så man får för trycket P = 3 5 N V = 3 5 N( n ) dn dv n = N V (94) (95) = dn dv = N V (96) P = + 3 5 n ( n ) (97) Termofysik, Kai Nordlund 33 där κ S är den isentropiska kompressibiliteten. Vid T = är κ S = κ T Vi räknar nu så κ S = V ( V P ) = V ( P V ) (4) P V 5/3 = P V = 5 P (5) 3 V κ S = V ( 3 5 )V P = 3 5P c = ρ 3 5P Då ρ = mn kan man skriva ut detta som c = mn 3 5 5m n 5/3 ( g = 3π )/3 (6) 5 P = 3 ρ ρ/3 (7) (8) 3 m n /3 ( g 3π )/3 Termofysik, Kai Nordlund 35 Då så trycket blir och genom att skriva ut Då ser man att = m ( 3π g )/3 n /3 = n = 3 n (98) P = 3 5 n 3 n = 5 n (99) P = 5m n5/3 ( 3π g )/3 () n = ρ m () P ρ 5/3 P V 5/3 () Om man tillämpar detta på en elektrongas i metaller (jämför vårt tidigare estimat) får man Kompressibiliteten blir och därmed bulkmodulen P = 5 n =.4. 3 ev =.5 Pa (9) κ S = 3 5.5 Pa = 4 () B = κ S =.5 Pa () Vi kan nu använda oss av detta för att räkna ut ljudets hastighet i en degenererad Fermigas. Ljudets hastighet c kan skrivas som c = ρκs, κ S = V ( V P ) S (3) Ljudets hastighet: c =. 3 6 m/s () m e (. 3 ) /3 ( 3π )/3 Termofysik, Kai Nordlund 34 Termofysik, Kai Nordlund 36

Vad betyder dessa värden? Kompressibiliteten är helt vettig, verkliga metallers bulkmoduler är typiskt av storleksordningen.5 Pa. Detta är faktiskt en av de viktiga komponenterna för kompressibliteten i metaller! Ashcroft-Mermin kap. ] Det inre trycket å andra sidan kan uppenbart inte vara den enda tryckkomponenten i en metall ty Pa = Mbar, en miljon gånger normaltryck. Det som ger en motstående komponent är attraktionen mellan elektronerna och de positivt laddade metalljonerna. Ljudets hastighet är mycket större än de som experimentellt observeras, km/s. Elektrongasen kan alltså inte förklara ljudets framskridande i metaller; istället är det fononerna/gittervibrationerna som gör det. Orsaken hänger igen ihop med växelverkan med jonerna, dock inte på något enkelt sätt. för mer info se Ashcroft-Mermin kap. 6]. På denna kurs går vi inte djupare in i ämnet gitter-elektron-växelverkningar. Termofysik, Kai Nordlund 37 De elektroner vars hastighetskomponent vinkelrätt mot den fria ytan är positiv och vars energi > φ frigörs från kristallen och bildar en s.k. emissionsström. Vi vill nu räkna ut denna ström. Då skall man räkna hur många elektroner som har en tilläcklig hastighet att komma över barriären φ i en dimension x. För elektroner är som känt Då så N = k n k = V d 3 g p (π ) 3 e (ɛ µ)/k B T + (3) g = (4) p = mv (5) d 3 p = m 3 d 3 v (6) dn(v) = V d 3 v (π ) 3m3 e (ɛ µ)/k B T + (7) Termofysik, Kai Nordlund 39 VIII.3. Elektrongasen i metaller Potentialenergin för elektroner i kristaller har kvalitativt sett följande form: E x Vi vill nu integrera bort dimensionerna y och z: dn(v x ) = V dv (π ) 3m3 x dv y dv z e (ɛ µ)/k B T + Vi byter om till polära koordinater i de dimensionerna y och z: (8) ɛ = m(v x + v y + v z ) (9) ε F φ Fri yta { vy = ρcosϕ v z = ρsinϕ () ρ = v y + v z () jon jon jon jon dv y dv z = dϕρdρ () För att en elektron i det översta elektronbandet ( = de elektroner som är svagast bundna till jonerna) skall kunna frigöras från en metallyta bör den ha en energi som överstiger arbetsfunktionen φ. Arbetsfunktionens storlek är i allmänhet några ev. Termofysik, Kai Nordlund 38 så man får e (ɛ µ)/k B T = e mρ /k B T e ( mv x µ/k B T ) (3) Vi gör variablebytet a = e ( mv x µ)/k B T : Termofysik, Kai Nordlund 4

samt ζ e mρ /k B T så man ser att V m3 dn(v x ) = (π ) 3dv x π dϕ = dζ = mρ /kb k B T dρemρ T ρdρ = dζ m k B T emρ /k B T ρdρ ae mρ /k B T + = k BT dζ m ζ Integreringsgränserna blir nu och ty ρ = ger ζ = e = Alltså blir Integralen blir dn(v x ) = dζ ζ(aζ + ) = V m3 (π ) 3dv xπ k BT m dζ ζ dζ ζ(aζ + ) (4) (5) (6) (7) a / aζ + = ln ζ ln(aζ + ) (8) Termofysik, Kai Nordlund 4 A v x t v x Emissionsströmtätheten är där e är elektronens laddning och gränshastigheten v ges av Antalet elektroner som emitteras genom ytan med en hastighet mellan (v x ) och (v x + dv x ) per tidsenhet dt och ytenhet da ges av följande resonemang. Antalet partiklar dn V i volymen dv = dav x dt är denna volym gånger tätheten av partiklar dn(v x )/V : dn V = dav x dt dn(v x) (34) V Antalet som kommer ut per tidsenhet och areaenhet är detta dividerat med dadt eller alltså dn(v x ) v x (35) V dn(v x ) j = e v x (36) v V mv = φ + ɛ (φ + ) F v = m (37) Termofysik, Kai Nordlund 43 = ln ln ln(a + ) + ln(a + ) (9) = ln ln ln (a( + a ) ) + ln (a( + a ) ) = { { = ln + ln a + a (3) (3) Alltså j = e V m k B T π 3 V v dv x v x ln { + e (µ mv x )/k B T (38) µ är i termodynamisk kalla system ungefär. För att en elektron skulle emitteras från metallen bör det gälla at elektronen har en kinetisk energi som är klart ovanför (kom ihåg formen på Fermi-distributionen). Alltså är Å andra sidan är i termodynamiskt kalla system µ mv x < (39) = ln + a = ln( + ); (3) a så kt << (4) (µ mv x )/k BT << och därmed e (µ mv x )/k B T << (4) Alltså blir dn(v x ) = 4πV k B T (π ) 3dv x { m ln + e ( mv x µ)/k B T (33) Därmed kan man approximera ln { + e (µ mv x )/k B T e µ/k B T e mv x /k B T (4) Termofysik, Kai Nordlund 4 Termofysik, Kai Nordlund 44

så j = e m k B T π 3 eµ/k B T dv x v x e mvx /k B T v {{ A (43) A = k BT m d dv x e mv v dv x x /k B T (44) så Då fås = k BT m ( )e mv vilket är känt som Richardson-Dushmans ekvation. /k B T (45) j = e m(k BT ) π 3 e (φ µ+ )/k B T (46) µ (47) j e m π 3(k BT ) e φ/k B T (48) Termofysik, Kai Nordlund 45 Cushman, Heering, CMS HCAL Hybrid Photodiode Design and Quality Assurance Stations, ICFA Instrumentation bulleting Vol.5 ()] Alltså kan en helt makroskopisk strömmätning användas för att bestämma φ, som är helt mikroskopisk till sitt ursprung! Termofysik, Kai Nordlund 47 Detta avviker klart från resultatet för Boltzmann-statistik som skulle ha gett: Man kan räkna ihop konstanterna till A = e m π 3k B =. A cm K (5) vilket är mycket nära det experimentella värdet på A = A cm för Cs, och rätt storleksordning K för många andra metaller! Paakkari sid. 5] j T e φ/k B T (49) Richardson-Dushmans ekvation visar sig stämma väl överens med experiment vid höga temperaturer. Nedan är färskt data över ln j/t vs. /kt som ju skall bli en rak linje om Richardson-Dushmans ekvation stämmer: Termofysik, Kai Nordlund 46 Termofysik, Kai Nordlund 48

VIII.4. Fermigaser vid låga temperaturer Nu skall vi se på Fermigasen vid låga temperaturer, som alltså är högre än temperaturen T = vi just såg på! Skillnaden är nu att vi inte kan mera betrakta Fermidistributionen som en box, utan måste betrakta den lilla avvikelsen från boxformen. Vid låga temperaturer är µ > för fermigaser (ty µ avviker bara litet från, som ju måste vara positiv enligt ekvation 67) vilket innebär att fugaciteten z är >> : Den senare delen är summan av en geometrisk serie så man får = n= = k= dxze x x / ( ) n z n e nx (58) dxz k ( ) k+ x / e kx (59) z = e µ/k B T >>. (5) De allmänna uttryckena N = gv n c f 3/ (z) (5) Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z), (53) med funktionerna f givna som potensserier av z blir då värdelösa då serierna inte konvergerar snabbt: f S (z) = ( ) k+ z k (54) k S k= = z k ( ) k+ k= dxx / e kx {{ dyy e ky {{ dye ky k {{ π k / π 4 k 3/ {{ (6) Termofysik, Kai Nordlund 49 Termofysik, Kai Nordlund 5 För att få användbara uttryck nära T = måste funktionerna skrivas i sin ursprungliga form som integraler (jämför ekv. 3-3). Integralerna är π = ( ) k+ z k (6) k 3/ k= f 3/ (z) = dx x/ π z ex + (55) Vi definierar en allmän I n : f 5/ (z) = 4 3 π dx x3/ z ex + (56) I n = xn dx z ex + = x n dx e x µ/k B T + (6) Nu är alltså n =, 3 intressanta fall. Man kommer fram till dessa former från de tidigare ekv. 3-3 genom att räkna: Vi delar upp integralen i två olika intervall: dx x/ z ex + = dx ze x x / + ze x (57) I n = µ/kb T x n dx e x µ/k B T + + µ/k B T x n dx e x µ/k B T + (63) Termofysik, Kai Nordlund 5 Termofysik, Kai Nordlund 5

och förlänger den första integralens kvot med e x+µ/k B T : = µ/kb T dx xn e x+µ/k B T e x+µ/k B T + + µ/k B T Nu kan man skriva om den första integranden som x n e x+µ/k B T x n dx e x µ/k B T + e x+µ/k B T + = e x+µ/kbt + xn e x+µ/k B T + (64) (65) = x n x n + e x+µ/k B T (66) och därmed dela den första integralen i två delar: I n = µ/kb T Vi gör variabelbytena dxx n + µ/k B T x n dx e x µ/k B T + µ/kb T x n dx e x+µ/k B T + (67) x µ/k B T = y i andra integralen och x + µ/k B T = y i tredje (68) Termofysik, Kai Nordlund 53 Med denna approximation och med att utföra den första integralen får man = I n (n + ) ( µ k B T )n+ + (n + ) ( µ k B T )n+ + ( µ k B T )n ( µ k dy B T + y)n ( µ k B T y)n e y + dy ( + yk BT µ )n ( yk B T µ )n e y {{ + k B T n µ y (73) e y + där vi använt oss av det faktum att då k B T ger Taylorutvecklingen av ( + x) n + nx. Alltså blir I n = Alltså fås för de två intressanta fallen: (n + ) ( µ k B T )n+ + n( µ k B T )n y dy e y + {{ π (74) (75) I / ( 3 )( µ k B T )3/ + ( µ π k B T ) / +... (76) Termofysik, Kai Nordlund 55 vilket innebär att integreringsgränserna också ändras: µ/k B T ; i andra integralen (69) µ/k B T ; µ/k B T i tredje integralen (7) Men i tredje integralen är också dx = dy så det slutliga integreringsintervallet blir samma som det ursprungliga efter teckenbyte! Därmed får man I n = µ/kb T dxx n + Då k B T blir den sista integralen approximativt ( µ k dy B T + y)n µ/kb T ( µ k dy B T y)n e y + e y + (7) = 3 ( µ k B T )3/ { + π 8 (k BT µ ) (77) I 3/ 5 ( µ k B T )5/ + 3 ( µ π k B T )/... (78) = 5 ( µ k B T )5/ + 5 8 π ( k BT µ ) +..] (79) Därmed får vi nu tillståndsekvationen för Fermigasen nära T = : N = V gn c f 3/ (z) = V gn c π I / (8) : Ω = P V = gv n c (k B T )f 5/ (z) = V gn c (k B T ) 4 3 π I 3/ (8) ( µ k dy B T y)n e y + (7) VIII.4... Den kemiska potentialen nära T = Termofysik, Kai Nordlund 54 Termofysik, Kai Nordlund 56

Vi har nu alltså: där ju så N = V gn c π 3 ( µ k B T )3/ + π 8 (k BT µ ) ] (8) n c ( mk BT π )3/ (83) N = V g( m π )3/ π 3 µ3/ + π 8 (k BT µ ) ] (84) ( ) Å andra sidan är ju = m n/3 3π /3 g där n = N/V (utan någon approximation). Om man löser ut N ur detta får man N = V g π 3 ɛ3/ F ( m (85) π )3/ Division av dessa två ekvationer ger = ( µ ] ) 3/ + π 8 (k BT µ ) (86) Detta ger oss nu första approximationen på temperaturnberoendet av µ(t ). För att få den gör vi Termofysik, Kai Nordlund 57 varur Alltså är i denna approximation µ(t ) = α = π k B (9) µ(t ) = π k B T π (9) ( ) kb T +...] Detta är alltså den kemiska potentialens temperaturberoende! VIII.4... Tillståndsekvationen nära T = Vi kan nu också beräkna tillståndsekvationen ur vårt resultat för Ω, ekv. 8: (93) Termofysik, Kai Nordlund 59 en ansats µ(t ) = + αt + O(T 4 ): = + αt ] 3/ där vi genast lämnat bort termer av ordningen T 4 /ɛ 4 F. ] + π 8 (k BT )... (87) P V = Ω = V g( m (k π )3/ B T ) 5/ 4 3 π 5 ( µ { k B T )5/ + 5 8 π ( k BT µ ) +... = V g( m { 8 π )3/ 5 π µ5/ + 5 8 π ( k BT µ ) +... (94) (95) Alltså är med Taylorserien ( + x) n + nx: + 3 ] ] αt + π 8 (k BT ) För att denna likhet skall gälla bör vi givetvis ha (88) ] 3 + T α + π k +... (89) 8ɛ F Vid T = har vi alltså (då där är µ = ): Men tidigare härledde vi P V = V g( m π )3/ 8 5 π ɛ5/ F (T = ) (96) P V = 3 E; E = 3 5 N (T = ) (97) 3 α = π k B 8ɛ F (9) P V = 5 N (T = ) (98) Termofysik, Kai Nordlund 58 Termofysik, Kai Nordlund 6

Jämförelse av de två uttryckena för P V vid T = visar att vi måste ha: 5 N = V g( m 8 π )3/ 5 π ɛ5/ F ; (99) varvid C V = E T = 3 5 Nɛ 5 F π k B T ɛ F (5) Därmed kan uttrycket för P V vid ändlig T skrivas i enklare form som varvid till andra ordningen: P V = 5 N ( µ { ) 5/ + 5 {{ 8 π ( k BT µ ) +... ] 5/ {{ π (k BT ) + 5 8 π ( k ] BT ) ɛ F {{ P V = 5 N 5π 4 (k B T ) 5π 4 (k BT ) + 5 8 π ( k ] BT ) +... () () C V T 3 C V Alltså kan man genom att anpassa kurvor av typen T = π (k B T ) (6) Då elektrongasen är en kall Fermigas gäller för metaller vid ytterst låga temperaturer där blott elektrongasens specifika värme spelar någon roll att C V T. Vid högre temperaturer gäller Debye s teori och C V T 3. C V = γt + AT 3 C V /T = γ + AT (7) Termofysik, Kai Nordlund 6 Termofysik, Kai Nordlund 63 P V = 5 N + 5 π ( k ] BT ) +... () Här är det intressant att notera att (för första gången på denna kurs) reduceras denna gastillståndsekvation inte uppenbart till P V = Nk B T med något enkelt gränsvärde! till experimentellt C V -data testa Fermi-elektrongasmodellen. Om man plottar data i formen C V /T vs. T borde man ha ett linjärt beroende som skär x-axeln vid ett ändligt värde Här är en sådan plot för K: För Fermigaser vid godtycklig T gäller VIII.4..3. Det specifika värmet nära T = : E = U = 3 Ω = 3 P V (3) Vår approximation för P V ger därmed för energin E = 3 5 N { + 5 π ( k BT ) +... (4) Termofysik, Kai Nordlund 6 som alltså följer teorins förutspåelse extremt bra! Termen γ testar då elektrongas-bidraget och T 3 Debye-modellens fononer. Termofysik, Kai Nordlund 64

Här är en tabell av experimentella resultat, och resultat som fåtts med formeln (6) I de allra flesta fall stämmer teorin alltså bra överens med resultaten, men i några (Nb, Fe, Mn, Bi, Sb) misslyckas den fenomenalt. Termofysik, Kai Nordlund 65 Termofysik, Kai Nordlund 67 VIII.5. Fermigasernas paramagnetism Den magnetiska suskeptibiliteten definieras (jfr. tidigare på kursen): M = χb/µ (M = χh) (8) Paramagnetism har per definition χ > och diamagnetism χ <. Vid låga temperaturer uppvisar fermisystem både paramagnetiskt och diamagnetiskt beteende. Fermisystemens paramagnetism kallas Pauli-paramagnetism. En elektrongas suskeptibilitet är en kombination av den paramagnetiska och den diamagnetiska suskeptibiliteten: χ = χ P + χ D (9) I allmänhet är χ P >> χ D. Energin hos en elektron i ett yttre magnetiskt fält (flödestäthet) B är om elektronens magnetiska Termofysik, Kai Nordlund 66 Termofysik, Kai Nordlund 68

moment är m: ɛ = p m m B () För elektroner kan spinnet vara lika riktad med fältet eller motsatt riktat med fältet: m B eller m B där den första pilen symboliserar elektronens och den andra fältets riktning. Om (+) och ( ) systemen är i jämvikt gäller µ + = µ (5) För de elektroner som har spinn parallelt till fältet m B är medan för de som har m B ɛ = p m m B, () ɛ = p m + m B. () så m B = µ(n + ) µ(n ) (6) En elektrongas i ett yttre fält kan betraktas som en kombination av två skilda fermigaser: den ena med alla spinn (magnetiska moment) upp (dvs. i fältets riktning) och den andra med spinn ned. Vi betecknar: N = totalt antal elektroner Termofysik, Kai Nordlund 69 I fallet B = är µ(n + ) = µ(n ) varav följer att N + = N = N/, vilket ju är ett helt naturligt resultat. Om B kommer magnetfältet att förflytta energinivån för de två systemen i obalans: Termofysik, Kai Nordlund 7 N + = # el. med spinn upp m : + N = # el. med spinn ned N + + N = N m : (+) systemets kemiska potential är µ + = µ(n + ) m B (3) µ(n + ) = kemisk potential för ett fermisystem med N + partiklar och degenerationsfaktorn. ( ) systemets kemiska potential är µ = µ(n ) + m B (4) Vi definierar ν = överskott av partiklar: N + = N + ν, (7) Termofysik, Kai Nordlund 7 Termofysik, Kai Nordlund 7

Med denna definition är N = N ν. (8) m B = µ( N + ν) µ(n Om B är ett svagt fält kan ν förväntas vara litet varigenom så man får ν) (9) µ( N ( ) µ + ν) µ(n ) + ν +... () N N/ µ( N ( ) µ ν) µ(n ) ν +... () N N/ ( ) µ m B ν N ( ) µ m B ν N N/ N/ () (3) Termofysik, Kai Nordlund 73 När vi nu betraktar elektroner med enbart ett spinntillstånd åt gången är degenerationsfaktorn : och därmed så ( ) µ N g s = µ(n) = m (3π N V )/3 (9) µ N = 3 µ(n/) µ(n) N = N/ 3 (N/) = 3 N (3) m ( 3π N V )/3 (3) Om vi jämför detta med för det totala fermisystemet då B = med både spinn-upp och spinn-ner ( + )-elektroner (g = ) = m (3π n )/3 (3) Termofysik, Kai Nordlund 75 Magnetiseringen är M = V m N + m N ] = m ν; (4) V eller med insättningen av ν löst ur ekv. 3 M = m V B ( µ N ) N/ (5) ser man att man kan skriva varmed vi får från ekv. 7 ( ) µ N N/ = 4 3N (33) χ = m µ 3N = 3 m µ n (34) V 4 Då ser man att detta ger M = χh; B = µ H (6) χ = m µ V ( µ N ) Vid termodynamiskt kalla system eller alltså nära T = är N/ (7) µ(n) = (N) = m (3π n g s ) /3 (8) Termofysik, Kai Nordlund 74 Detta kan vi jämföra med vårt resultat från klassisk Curie-teori (se kapitel II.4.): som beskrev elektroner med Boltzmann-statistik. χ = m nµ T Vi ser alltså en dramatisk skillnad vid låga T mellan det klassiska och kvantmekaniska beteendet: (35) Termofysik, Kai Nordlund 76

χ 3 -- m µ --------------- n ε F klassisk Langevin-teori T Vad har du åtminstone lärt dig i detta kapitel? Du kan härleda Fermi-Dirac-distributionen och känner till dess fysikaliska innebörd Du känner till begreppet degenererat Fermisystem, termodynamiskt kall, och förstår deras fysikaliska innebörd Du vet hur begreppen Fermi-energi, -temperatur, och -hastighet härleds och hänger ihop med varandra Du vet att många praktiskt viktiga Fermisystem är i praktiken helt degenererade. Du förstår begreppet elektrongas i metaller Du förstår hur Fermigasers paramagnetism fungerar. Men som det konstaterades tidigare på kursen (kapitel III.5) kan inte Curies lag gälla vid T = p.g.a. III grundlagen. Nu har vi alltså äntligen härlett det korrekta beteendet! Termofysik, Kai Nordlund 77 Termofysik, Kai Nordlund 78