SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

Relevanta dokument
= = i K = 0, K =

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

= a - bp(t), dp dt. = ap - bp 2. = 5000P - P 2. = 5000P dt

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

= x 2 - x, x (0) = x dt. dx dt = 1. x 0 - (x 0-1)e t och för t 0 = ln x 0

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

y(0) = e + C e 1 = 1

dy dx = ex 2y 2x e y.

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

A dt = 5 2 da dt + A 100 =

+, C = e4. y = 3 4 e4 e -2 x +

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1635, Signaler och system I

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

SF1635, Signaler och system I

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Linjära differentialekvationer av andra ordningen

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lineära system av differentialekvationer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer

ODE av andra ordningen, och system av ODE

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

Lösningar till Matematisk analys

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Alltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

Transkript:

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Del Modul Ett föremål tas ut ur en ugn med temperaturen 00 grader Celsius Följande modeller för en avsvalningsprocess har föreslagits Modell : dt = k(t 0) Modell : dt = k(t 30) Här är T föremålets temperatur vid tiden t i grader Celsius och k är en positiv konstant Undersök vilken modell som är rimlig för avsvalningsprocessen och bestäm därefter föremålets temperatur efter lång tid för den aktuella modellen Studera derivatans tecken och rita upp funktionernas uppförande i faslinjen Modell : Modell : 0 00 T 30 00 T I modell är derivatan negativ för temperaturer över 0 grader Celsius I modell är derivatan positiv för temperaturer över 30 grader Celsius Den modell som svarar mot en avsvalningsprocess är modell Föremålets temperatur efter lång tid är 0 grader Celsius SVAR: Det är modell som är rimlig för en avsvalningsprocess Föremålets temperatur efter lång tid är 0 grader Celsius Modul Låt A = 0 Ange i förekommande fall alla reella värden på för vilka den kritiska punkten (0,0) till systemet av linjära differentialekvationer dx = AX är a) stabil spiralpunkt och b) center Vi börjar med att bestämma matrisens egenvärden Dessa erhålles ur ekvationen 0 = det(a I) = 0 Vi får + = 0 ; ( ) + 4 = 0 ; ( ) 4 = 4 ± 4 Egenvärdena är = a) För att erhålla en stabil spiralpunkt krävs att egenvärdena är komplexa och realdelen är negativ

< 0 < 0 Vi får { < < 0 4 < 0 < < b) För att erhålla ett center krävs att egenvärdena är komplexa och realdelen är noll = 0 = 0 Vi får { = 0 4 < 0 < < SVAR: a) < < 0 b) = 0 Modul 3 t Bestäm y( ) och y() då y(t) + 4 (t v)y(v)dv = U(t) U(t ), t>0 0 Här är U(t) Heavisides funktion Vi laplacetransformerar ekvationeny(s) + s Y(s) = s e s Lös ut Y(s) Y(s)(s +) = s( e s ) Y(s) = Återtransformera y(t) = cost U(t )cos(t ) s s + ( e s ) Nu över till de sökta funktionsvärdena y( 4 ) = cos 4 U( 4 )cos( 4 )= 0 = y() = cos U( )cos( )= 0= s SVAR: De sökta funktionsvärdena är y( 4 ) = och y() = Del Är påståendena a), b) och c) sanna eller falska? Motivera! a) Låt y = f (x) vara en lösning till differentialekvationen y =6 + y Lösningskurvan har lokala extrempunkter b) y = x 3 är en lösning till begynnelsevärdesproblemet y = 3y 3, y(0) = 0 Lösningen är entydig dy c) Betrakta differentialekvationen = f (x,y) där f och f är kontinuerliga i ett rektangulärt y område R i xy-planet Två lösningskurvor skär varandra i en punkt i området R d) Låt (x), (x) 0, vara en lösning till differentialekvationen dy + P(x)y = 0 Härled den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + P(x)y = f (x) a) Falskt, ty derivatan är större än noll b) Falskt, ty även y = 0 är en lösning c) Falskt, ty villkoren ger att det är entydig lösning d) Vi ansätter att den allmänna lösningen till dy + P(x)y = f (x) är y(x) = z(x)y (x)

Insättning ger dz(x) y (x) + z(x) dy (x) + P(x)z(x)y (x) = f (x) Vi omformar uttrycket och utnyttjar att (x) är en lösning till dy dz(x) y (x) + z(x) dy (x) + P(x)y (x) Integrera med avseende på x f (x) z(x) = (x) + C = f(x), dz(x) + P(x)y = 0 (x) = f (x), dz(x) = f (x) (x) f (x) y(x) = z(x) (x) = (x) (x) + C f (x) = Cy (x) + y (x) (x) Den allmänna lösningen till dy + P(x)y = f (x) ges av y(x) = Cy (x) + y (x) f (x) (x) SVAR: Påståendena a), b) och c) är falska f (x) d) y(x) = C (x) + (x) (x) För härledningen se ovan Vad menas med en fundamentalmängd av lösningar till en linjär homogen differentialekvation av ordning tre? Funktionerna = x 3 + 3x 4, y =x 4, y 3 = x 3, y 4 = 7x 3 + 5x 3 ln x och y 5 = x 4 + 3x 3 ln x är lösningar till en linjär homogen differentialekvation av ordning tre Bestäm en fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen samt bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren y() = 0, y () = 0 och y () =, y,y 3 ordning tre om, y och y 3 satisfierar differentialekvationen samt är linjärt oberoende En fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen ges av { x 3, x 4,x 3 ln x} Den allmänna lösningen är y(x) = ax 3 + bx 4 + cx 3 lnx, där a, b och c är goyckliga reella konstanter För att bestämma den sökta lösningen behöver vi första- och andraderivatan y (x) = a3x + b4x 3 + c3x lnx + cx, y (x) = a6x + bx + c6x ln x + c3x + cx 0 = y() = a + b a = b a = Villkoren ger 0 = y () = 3a + 4b + c 0 = b + c, c= b b = = y () = 6 a + b + 5c = 6b+b 5b, b = c = Den sökta lösningen är y(x) = x 3 x 4 + x 3 ln x Observera att x > 0 { } är en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation av SVAR:, y,y 3 ordning tre om, y och y 3 satisfierar differentialekvationen samt är linjärt oberoende En fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen ges av { x 3, x 4,x 3 ln x} Den sökta lösningen är y(x) = x 3 x 4 + x 3 ln x { } är en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation av 3+x, 0 <x < 3 Betrakta en funktion given av f (x) = 3+x, < x < 0 Vidare gäller att f (x + ) = f(x) Bestäm fourierserien hörande till funktionen f

Bestäm även fourierseriens summa för x = 3 och x = 3 Funktionen f är en udda funktion Den är periodisk med perioden f har en fourierserie på formen b n sin nx = b n sinnx, där b n = f (x)sin nx n= Vi utnyttjar att f och sin nx är udda funktioner och får då b n = (3 + x)sin nx n= 0 Partiell integration ger b n = [(3+x) cosnx n ] 0 + nx cos = (3 +) cosn + 3 n n n 0 0 cosn f tilldelas fourierserien f ~ +6 cosn n n sinnx n= I "Mathematics Handbook" under "Special Fourierseries" kan () och (9) användas Vid beräkning av fourierseriernas summa användes f (x + ) = f(x) Fourierserien konvergerar mot funktionsvärdet i punkten vid kontinuitetspunkt Fourierserien konvergerar mot medelvärdet i punkten vid diskontinuitetspunkt Vi använder att funktionen är periodisk, dvs f (x + ) = f(x) För x = 3 konvergerar fourierserien mot f ( 3 ) = f ( + )=f( )=3+ För x = 3 konvergerar fourierserien mot f (3 + ) + f(3 ) = f ( + ) + f ( ) = f ( + ) + f ( ) ( 3 )+(3 + ) = = 0 SVAR: cosn f tilldelas fourierserien f ~ +6 cosn n n sinnx För x = 3 konvergerar fourierserien mot 3 + För x = 3 konvergerar fourierserien mot 0 n= 4 Vad menas med fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX? Systemet har följande lösningar X = e t, X e t = e 3t, X e 3t 3 = 4e t och X e t 4 = et + 5e 3t e t + 5e 3 t Bestäm en fundamentalmatris till systemet Bestäm därefter den konstanta matrisen A Låt B vara x och ha multipelt egenvärde med endast en egenvektor K Ange först en lösning, Y, till systemet Y = BY Matrisen B är konstant Redovisa därefter hur en av Y linjärt oberoende lösning till systemet kan bestämmas Fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX är linjärt oberoende lösningar till systemet och spänner upp lösningsrummet I en fundamentalmatris består kolonnerna av de linjärt oberoende lösningarna I vårt fall behövs två Vi väljer fundamentalmatrisen Φ = e t e 3t, observera att det Φ = e 4 t 0 e t e 3t Nu över till bestämning av den konstanta matrisen A Varje kolonn i fundamentalmatrisen satisfierar systemet X = AX Detta innebär att även fundamentalmatrisen satisfierar X = AX Vi får Φ = AΦ Vi bestämmer A genom att multiplicera Φ = AΦ med inversen till Φ från höger Detta ger Φ Φ = AΦΦ, A = Φ Φ

Φ = e t e t 3e 3t 3e 3t, Φ = e 4t Φ Φ = AΦΦ, A = Φ Φ A = Φ Φ = et 3e 3t e t 3e 3t e 3t e t e t e 3 t = e t e 3t e t e 3t e t e 3t = 4 5 e t e 3 t En lösning, Y, till systemet Y = BY ges av Y = Ke t För att erhålla en av Y linjärt oberoende lösning till systemet ansätter vi Y = (L + Mt)e t Insättning i systemet Y = BY ger Me t + (L + Mt)e t = B(L + Mt)e t t{ BM M} + { BL L M} = 0 (B I)M = 0 Identifiering ger (B I)L = M Vi ser här att M är en egenvektor till matrisen B och L är en lösning till (B I)L = M SVAR: Fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX är linjärt oberoende lösningar till systemet och spänner upp lösningsrummet En fundamentalmatrisen är Φ = e t e 3t Den konstanta matrisen A = 4 e t e 3t 5 (B I)M = 0 Y = Ke t En av Y linjärt oberoende lösning till systemet:y = (L + Mt)e t (B I)L = M 5 Vid tiden t = 0 innehåller en damm 0 miljoner rent vatten Inget vatten kan försvinna via avdunstning från ytan eller läckage genom dammens botten Med hastigheten 5 miljoner liter per år flyter för t > 0 orent vatten, innehållande en kemikalie, ut i dammen och blandas omedelbart med vattnet i dammen Det blandade vattnet kan sedan flyta ut med samma hastighet som det inströmmande Koncentrationen c(t) av kemikalien i det inströmmande vattnet ges av c(t) = + sint gram per liter, där t mäts i år a) Låt Q(t) vara mängden i gram av kemikalien i dammen som funktion av tiden t Ställ upp en differentialekvation vars lösning ger Q(t) b) Bestäm Q(t), t > 0 c) Efter lång tid kommer Q(t) att närma sig en funktion som pendlar mellan två värden m och M, där m < M Bestäm dessa två värden a) Vi får dq = 5 0 6 ( + sint) 5 0 6 Q(t ) 0 0 6 b) För enklare beräkningar inför vi en ny variabel q(t) = 0 6 Q(t) vilket ger dq = 5( + sin t) q(t) Vi har en linjär differentialekvation av första ordningen vilken omformas till standardform dq + q(t) = 0 + 5sin t Den allmänna lösningen erhålles som summan av allmänna homogena lösningen och summan av partikulärlösningarna Allmänna homogena lösningen är q a = Ae t Partikulärlösning ett q p = 0 och för partikulärlösning två ansätter vi q p (t ) = acos t+bsin t

Insättning i differentialekvationen dq + q(t) = 5sin t acost + bsint ger a sint + bcos t+ = 5sin t Förenkling ger ( 0 4a + b)sin t+(4b + a)cos t= 0vilket ger a = 4b och 0 + 7b = 0 Vi får q p (t ) = 40 0 cost + 7 7 sint Den allmänna lösningen blir q(t) = Ae t + 0 40 0 cos t + sin t 7 7 Bestäm konstanten A Vid starten är det rent vatten vilket innebär att q(0) = 0 Insättning ger 0 = q(0) = A + 0 40 300 och A = 7 7 Den allmänna lösningen blir q(t) = 300 + 0 40 7 e t cos t+0 sin t och 7 7 Q(t) =0 6 q(t) = 0 6 ( 300 7 e t + 0 40 0 cos t + sin t) 7 7 c) För stora värden på tiden t kan exponentialfunktionen försummas Vi gör en grov uppskattning och konstaterar att cosinus och sinus ligger mellan minus ett och ett Vi får då uppskattningen 0 6 (0 40 7 0 7 ) < Q(t) < 06 (0 + 40 7 + 0 7 ) 7 0 6 m = 90 7 06 < Q(t) < 390 7 0 6 = M 3 0 6 SVAR: a) dq = 5 0 6 ( + sint) 5 0 6 Q(t ) 0 0 6 b) Q(t) =0 6 q(t) = 0 6 ( 300 7 e t + 0 40 7 c) 7 0 6 m = 90 7 06 < Q(t) < 390 7 0 6 = M 3 0 6 0 cos t + sin t) 7