Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2014-10-23 Sal (1) TER1 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 19:00 Kurskod TSRT03 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår i tentamen Jour/kursansvarig (Ange vem som besöker salen) Johan Löfberg (Jouransvarig, besöker salen), Tianshi Chen (kursansvarig) Telefon under skrivtiden 013-281304,703113019 Besöker salen cirka kl. 1:00, 17:30 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 01328472, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.
SAL: TER1 TID: 2014-10-23 kl. 14:00 19:00 KURS: TSRT03 Reglerteknik PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: TENTAMEN I TSRT03 REGLERTEKNIK ANSVARIG LÄRARE: Tianshi Chen, tel. 013-284726,0720466328 BESÖKER SALEN: Johan Löfberg, tel. 013-281304,703113019, cirka kl. 1:00, 17:30 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 01328472, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2014-10-31, kl. 1.30 16.00, 2A-9, B-huset, ingång 2, A- korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
1. (a) Insignalen sin 3t läggs på ingången till systemet 12 s + 13 Vad blir utsignalen sedan alla transienter klingat av? (b) Vilka poler har systemet ( ) 1 2 ẋ = x + 2 1 ( ) y = 1 1 x ( ) 1 u 1 (c) Vilket av följande system har den kortaste stigtiden vid ett steg i insignalen? 19 s + 1, 1 s + 0.1, 2 s +, 0.1 s + 100, 2 s + 10 (d) Varför kan inte känslighetsfunktionen och komplementära känslighetsfunktionen vara små samtidigt? Vilka konsekvenser får detta för konstruktionen av reglersystem? (3p) (e) Hur många tillstånd behövs om man vill beskriva 7 s 4 + s 3 + 2s 2 + s + 13 (1p) på tillståndsform? 2
2. Systemet G = 320 (s + 4)(s + 8)(s + 10) styrs med PI-regulatorn K s + a, a > 0 s Man vill att det återkopplade systemet skall bli så snabbt som möjligt utan att någon pol får en relativ dämpning mindre än 0.. För att hitta en bra regulatorinställning ritar man rotort med avseende på K. (a) Vilka startpunkter, ändpunkter och asymptoter får man? (b) Nedan visas rotorten för a = 1. Stjärnorna visar rötternas lägen för K = 0.01, 0.1, 1,, 10. Vilket K- värde bör man välja? (3p) Root Locus 1 0.86 0.76 0.64 0. 0.34 0.16 10 0.94 Imaginary Axis 0 0.98 20 1 10 0.98 10 0.94 0.76 0.64 0. 0.34 0.16 0.86 1 2 20 1 10 0 Real Axis (c) Nedan visas rotorten för a = 3. Stjärnorna visar rötternas lägen för K = 0.01, 0.1, 1,, 10. Vilket K- värde bör man nu välja? (3p) 3
Root Locus 1 0.86 0.76 0.64 0. 0.34 0.16 10 0.94 Imaginary Axis 0 0.98 20 1 10 0.98 10 0.94 0.76 0.64 0. 0.34 0.16 0.86 1 2 20 1 10 0 Real Axis (d) Vilket av a-värdena i (b) och (c) är att föredra?. Motivera. 4
3. (a) Betrakta ett system som beskrivs av tillståndsmodellen ẋ = αx + u y = x + β där α är en konstant parameter i systemet och β ett konstant fel som ingår i mätningen y av det skalära tillståndet x. Man är intresserad av att kompensera för förekomsten av β i y genom att använda en observatör. Inför ett nytt tillstånd β och skriv om tillståndsmodellen ovan för den utökade tillståndsvektorn ( ) x x = β För vilka värden på parametern α kan man använda en observatör för att ta fram en noggrann skattning av x, och därmed av det ursprungliga tillståndet x? (p) (b) Bestäm en observatör för den utökade tillståndsmodellen från föregående deluppgift och se till att observatörens båda poler hamnar i 1. För vilka värden på α är observatörens K-matris väldefinierad? (3p) (c) Vilka observatörspoler är möjliga att få för de värden på α som gör att den utökade tillståndsmodellen från (a)-uppgiften inte är observerbar?
4. (a) Låt systemet G(s) återkopplas med en regulator F(s). På systemets utgång finns en additiv störning v(t) = 2 sin(0.t), enligt figur 1. V R Σ U F(s) Y G(s) Σ Figur 1: Blockschema för uppgift 4a. Bodediagrammets amplitudkurva för 1 1 + F(s)G(s) finns i figur 2. Vi vill studera hur utsignalen y påverkas av störningen v då alla transienter har dött ut. Hur mycket förstärks störningen? Figur 2: Amplitudkurvan för 1/(1 + F(s)G(s)) till uppgift 4a. (b) Systemet G(s) = s 1 s(s + 2) med insignal u och utsignal y återkopplas enligt U(s) = F(s)(R(s) Y (s)) där r är referenssignalen, så att överföringsfunktionen från r till y blir G c (s) = 1 s 2 + s + 1. Uttryck F(s) som en funktion av G(s) och G c (s) och räkna fram vilken regulator F(s) som har använts? Förklara varför denna regulator är oanvändbar? (4p) 6
(c) Para ihop stegsvaren (enhetssteg) S1 S4 återgivna i figur 3 med tillhörande överföringsfuntion. Glöm inte motivera tydligt. (4p) G 1 (s) = 10s + 10 s 2 + 7s + 10, G 2(s) = 20s + 20 s 2 + 4s + 20, 10 s 2 + 7s + 10, G 3 (s) = 2 s + 1, G 4(s) = 20s + 10 G (s) = s 2 + 4s + 20, G 6(s) = 1 s + 1. Figur 3: Stegsvar till uppgift 4c. 7
. Du har fått i uppdrag att ta fram en reglerstrategi för att styra läshuvudet på en hårddisk. Nedan visas en principskiss på hur systemet fungerar. Överföringsfunktionen från motorspänning, u(t), till motorposition, y(t), ges av G(s) = Bodediagrammet för G(s) finns i Figur 4. 10 8 s(s + 100)(s 2 + 160s + 32000) (a) Man har testat att styra hårddisken med P-reglering, K = 1, och är nöjd med stegsvarets principiella utseende. Snabbheten är dock inte tillräcklig och man tar därför fram följande specifikation för den slutgiltiga regulatorn: Stigtiden 3 ggr så snabb som för reglering med K = 1. Fasmarginal 0 grader. Stationära reglerfelet mindre än 1 % då referenssignalen är en ramp. Regulatorn ska inte ha onödigt stor låg- respektive högfrekvensförstärkning. Utgå ifrån specifikationen och bodediagrammet i Figur 4 för att ta fram en regulator till hårddisken. (7p) (b) Regulatorn implementeras i en dator på hårddisk-styrenheten. Eftersom styrenheten har många andra uppgifter förutom regleringen används ett realtidsoperativsystem med en schemaläggare. När andra uppgifter tar mer kapacitet kan tidsfördröjningar uppstå i regleringen. Hur långa tidsfördröjningar kan regulatorn i a) klara utan att den blir instabil? (3p) 8
10 2 10 0 Amplitud G(i ω) 10 2 10 4 10 6 10 8 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Frekvens [rad/s] 0 100 10 Fas arg G(i ω) 200 20 300 30 400 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Frekvens [rad/s] Figur 4: Bodediagram för hårddisken. 9