SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018
Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet Norm och skalärprodukt Ortogonala (=vinkelräta, u v = 0) och ortonormala vektorer (Projektioner hann vi inte med: tar upp senare idag, annars film/senare föreläsning)
Detta ska vi göra idag Ekvationer och parametriseringar av linjer Ekvationer och parametriseringar av plan Lite om kryssprodukter (jmf Anton Busby kap 4.3 och film) Geometriska frågeställningar: beräkna kortaste avståndet mellan punkt och linje/plan mm.
Linjer i planet Linjer i planet
Ekvation för rät linje Ni känner till y = kx + m (riktningskoefficient k, skärning med y-axeln m) x = c (för lodräta linjer) Alla linjer har en ekvation på formen (där x och y behandlas likvärdigt): Ax + By = C (genom origo om C = 0) Fråga 1 Vad ger ekvationen Ax + By + Cz = D i rummet? Svar: Ett plan, inte en linje.
Linje på parameterform En linje ges av en punkt och en riktning. Detta ger parameterform: ( parametric form, vector equation ) Exempel Linjen genom punkten P = (2, 1) med riktning v = (1, 1) ges av x = 2 + t, y = 1 t, t R eller [ ] x = P + t v = y [ ] [ ] 2 1 + t, t R 1 1 Likadant med parameterform för linjer i R 3. Fråga 2 Vad är en ekvation för linjen i exemplet ovan? Svar: x + y = 3
Linje på ekvationsform igen Ekvationen Ax + By = C kan skrivas som: [ ] [ ] A x = C B y Detta betyder att Linjen är vinkelrät mot normalvektorn n = [ ] A. B Det kortaste avståndet från origo till linjen är C på tavla). n (se figur OBS Samma linje har många parameteriseringar och ekvationer.
Linje mellan två punkter Fråga 3 Bestäm linjen genom punkterna P = (0, 7) och Q = (5, 0). Beskriv den på både parameter- och ekvationsform. Svar: T ex och [ ] x = y [ ] [ ] 0 5 + t, t R 7 7 7x + 5y = 35.
Plan i rymden Plan i rymden
Plan i rymden, ekvationsform Ett plan i rymden kan bestämmas genom en punkt P och en normalvektor n (som tidigare finns många val). En punkt Q ligger i planet om: n PQ = 0 Exempel 1 1 x P = 2, n = 1, Q = y ger: 3 2 z 1 x 1 0 = 1 y 2 = (x 1) (y 2) + 2(z 3) 2 z 3 Kan förenklas till x y + 2z = 5
Plan i rymden, ekvationsform II (ej på föreläsning) Allmänt: om P = x 0 y 0 z 0 normalvektor får vi ekvationen: eller ekvivalent A är en punkt i planet och n = B är en C A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Ax + By + Cz = D där D = Ax 0 + By 0 + Cz 0. Jämför med motsvarande beskrivning för linjen Ax + By = C på en tidigare slide.
Plan i rymden, parameterform Vi har tidigare sett att spannet av två vektorer ger ett plan. Detta är ett plan genom origo på parameterform! Givet en punkt P i planet och två vektorer v och w i planet (som ej är parallella) så ges alla punkter som: P + c v + d w för skalärer c, d R. Går planet genom origo så är detta span { v, w }. OBS Samma plan har många parameteriseringar och ekvationer.
Plan genom tre punkter Fråga 4 Planet Π går genom de 3 punkterna 1 P = 3, 2 Q = 0, 0 R = 2 1 0 1 (a) Beskriv planet Π på parameterform. (b) Beskriv planet Π med en ekvation. Svar: T ex och x y = z 1 3 1 1 1 + s 3 + t 5 1 2 x 3y 8z = 2.
Kryssprodukt Kryssprodukt
Kryssprodukten (finns bara i R 3 ) Givet två vektorer v och w i R 3 vill vi hitta en ny vektor som är vinkelrät mot dem. Finns många sådana: två riktningar och valfri längd. Kryssprodukten v w är en speciell sådan som uppfyller: v, w, v w bildar ett högerhandssystem. v w = v w sin θ. Formel v 1 w 1 v 2 w 3 v 3 w 2 v 2 w 2 = v 3 w 1 v 1 w 3 v 3 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 OBS w v = v w (anti-kommutativt)
Tillämpning av kryssprodukt: parameterform ekvationsform (ej på föreläsning) Exempel (TENTA 2015-10-23) Bestäm en ekvation för det plan som går igenom origo och punkterna P = (0, 1, 2) och Q = (2, 0, 2). Lösning (med kryssprodukt): En normalvektor är n = OP OQ. Planets ekvation är är n x = 0. Lösning (utan kryssprodukt): Börja med en allmän ekvation Ax + By + Cz = D och se till att O, P och Q ligger i planet och lös det linjära ekvationssystemet (temat för nästa föreläsning).
Projektion och avstånd Projektion och avstånd
Projektion på linje (från F1) proj w v betyder: projektionen av vektorn v på linjen genom vektorn w (se tavla). Projektionen har Formel längd v cos θ = v w w där θ är vinkeln mellan v och w. riktning enhetsvektorn w w. proj w v = (längd)(enhetsvektor i rätt riktning) = v w w 2 w
Avstånd till plan från punkt Exempel (TENTA 2005-10-23, 1c) Bestäm avståndet mellan punkten Q = (1, 1, 1) och planet H som ges av 2x + 4y 2z = 0. Lösning: En normalvektor är n = (2, 4, 2). Eftersom O ligger i planet är avståndet mellan Q och H längden av projektionen av OQ på n n (1, 1, 1) proj n OQ = n n 2 Längden är n (1, 1, 1) n = 2 1 + 4 1 + ( 2) ( 1) 2 2 + 4 2 + ( 2) 2 = 8 24 = 4 6
Avstånd till linje från punkt (ej på föreläsning) Exempel (TENTA 2014-10-29, 1b) Beräkna det kortaste avståndet från punkten P = (1, 2, 4) till linjen L som ges av (1 t, 2 2t, t) där t är en reell parameter. Lösning: En punkt på linjen är Q = (1, 2, 0) (t = 0) och en riktning är v = ( 1, 2, 1). Linjen PQ kan skriva som PQ = PR + RQ där PR är vinkelrät mot L och RQ är parallel med L. ( 1, 2, 1) (0, 0, 4) RQ = proj v PQ = ( 1) 2 + ( 2) 2 + 1 2 v = 4 1 2 6 1 PR = PQ 0 RQ = 0 2 1 2 = 3 4 1 Avståndet är PR = 120/9 = 40/3. 2/3 4/3 10/3
Fler frågeställningar Fler frågeställningar
Olika frågeställningar (ej på föreläsning) Avstånd punkt till plan? (se föregående slides) Avstånd punkt till linje? (se föregående slides) Är planen parallella? Är planen vinkelräta? Är linjerna parallella? Är linjerna vinkelräta? Parameterform till normalekvation (se föregående slides) Bestäm planet sådant att... Bestäm linjen sådan att... Verktyg: skalärprodukt, kryssprodukt, projektion, mm.
Plan: ekvationsform till parameterform (ej på föreläsning) Exempel (Boken 1.3, Ex 7) Finn en parameterform till planet med ekvation x y + 2z = 5. Lösning 1: Finn 3 punkter i planet. Ger en punkt och två vektorer. Lösning 2: Välj två av koordinaterna som parameterar, t ex: y = s, z = t. Ger x = s 2t + 5, y = s, z = t dvs x 5 1 2 y = 0 + s 1 + t 0 z 0 0 1
Om dimension Om dimension
Dimension (ej på föreläsning) På parameterform (i R n för godtyckligt n): x = P, ingen parameter, dimension 0, en punkt x = P + s v, en parameter, dimension 1, en linje x = P + s v + t w, två parametrar, dimension 2, ett plan osv På ekvationsform: Ax + By = C, en ekvation i planet, ger dimension 2 1 = 1, en linje Ax + By + Cz = D, en ekvation i rymden, ger dimension 3 1 = 2, ett plan osv Mer om detta senare.
Sammanfattning Linje på ekvationsform Ax + By = C eller n (x, y) = C. Normalvektor: n = (A, B). Linje på parameterform: punkt P och riktningvektor v: x = P + t v Plan på ekvationsform Ax + By + Cz = D eller n (x, y, z) = D. Normalvektor n = (A, B, C). Plan på parameterform: punkt P och 2 riktningar v, w: x = P + s v + t w Många olika problemställningar som kan lösas med skalärprodukt, kryssprodukt och linjära ekvationssystem.