Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07
Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor om de uppfyller Av = λv. Samma definition för linjära avbildningar också. Om F är en linjär avbildning R n R n så kallas ett tal λ egenvärde och en vektor v 0 egenvektor om de uppfyller F (v) = λv.
Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor om de uppfyller Av = λv. Beräkning Metod Egenvektor är lösning v 0 till (A λi )v = 0. Finns bara då egenvärde λ löser p(λ) = det(a λi ) = 0. Egenvärden λ är lösningarna till p(λ) = det(a λi ) = 0. För varje egenvärde finn sen v ( många) som löser (A λi )v = 0.
Egenvärde och egenvektorer Exempel A = 1 3 4 4 3 Karakteristisk ekv 3 0 = det(a λi ) = λ 4 4 3 λ (λ = 3 )( λ+ 3 ) ( 4 ) 2 = λ 2 1 Då λ = 1 ( 1 3 4 4 1 + 3 ) v1 = 1 v 2 ( 2 4 4 8 ) v1 = 0 med v 2 { v 1 = 2t v 2 = t
Egenvärde och egenvektorer Exempel A = 1 3 4 4 3 Har egenvärde λ 1 = 1 och motsvarande egenvektor e 1 = ( 2, 1)t med t 0, och egenvärde λ 2 = 1 och motsvarande egenvektor e 2 = (1, 2)t med t 0. Koll: Ae 1 = 1 3 4 2 = 1 10 2 4 3 1 = = 1e 1 1, Ae 2 = 1 3 4 1 = 1 1 4 3 2 = = 1e 10 2 2.
Basbyten Egenvärden och egenvektorer definitioner diagonalisering tillämpningar Sats y = F (x) linjär det finns en avbildningsmatris A så att Y = AX. I koordinatsystem O, e 1,..., e n är kolonnvektorerna i A F (e 1 ), F (e 2 ),..., F (e n ). I annat koordinatsystem O, e 1,..., e n blir avbildningsmatrisen A. Om koordinaterna för de nya basvektorerna e 1,..., e n är kända i basen e 1,..., e n och skrivs som kolonner fås basbytesmatrisen S. Sambandet mellan baserna kan skrivas E = S T E. Sambandet mellan koordinaterna är X = SX. Sambandet mellan avbildningsmatriserna är A = S 1 AS alternativt A = SA S 1.
Diagonalisering En n n matris A är diagonaliserbar om det finns en diagonalmatris D ( = A ) och en inverterbar matris S så att D = S 1 AS alternativt A = SDS 1. Att diagonalisera A innebär att man ska hitta sådana D och S. Exempel 1 0 A = är diagonaliserbar. 0 2 A är redan diagonal så man kan välja D = A och S = I. A = I ( D I ) 1 0 Även och 0 1 0 0 är diagonaliserbara. 0 0
Diagonalisering Metod Sätt egenvärdena till A i diagonalen på D om de är tillräckligt många. Sätt motsvarande egenvektorer som kolonner i S om de är linjärt oberoende så S blir inverterbar. Exempel igen TIll A = 1 3 4 1 0 sätt D = 4 3 0 1 2 1 med S = och S 1 2 1 = 1 2 1 1 2 1 3 4 2 1 1 0 1 2 1 = 4 3 1 2 0 1 1 2
Diagonalisering Metoden kan krångla Om det inte finns tillräckligt många reella egenvärden. Detta kan fixas genom att man räknar med komplexa egenvärden och egenvektorer (inte i denna kurs) 0 1 Ex: A = har kar ekv λ 1 0 2 + 1 = 0 och egenvärden ±i. Om det inte finns egenvektorer som är linjärt oberoende. (Bara om sammanfallande egenvärden.) Detta kan ( inte fixas! ) Det finns matriser som inte är inverterbara. 0 1 Ex: A = är inte inverterbar. Egenvärden λ 0 0 1 = λ 2 = 0 ger D = 0 och A S0S 1 = 0.
Diagonalisering Sats Om matrisen A är symmetrisk så är alla egenvärden reella och matrisen är diagonaliserbar. S kan väljas ortogonal. Exempel igen TIll A = 1 3 4 1 0 symmetrisk med D = är 4 3 0 1 egenvektorerna automatiskt ortogonala och man kan normera dem till e 1 = 1 ( 2, 1) och e 2 = 1 (1, 2) vilket ger S = 1 2 1 och S 1 2 1 = 1 2 1, dvs S 1 2 1 = S T.
Diagonalisering Sats Om matrisen n n-matrisen A har n olika egenvärden så är motsvarande egenvektorer automatiskt linjärt oberoende och A är diagonaliserbar. Exempel igen 3 4 För A = 1 4 3 räcker det att beräkna egenvärdena till 1 och 1 så garanterar satsen att A är diagonaliserbar.
Diagonalisering Spår Spåret av en kvadratisk matris A, tr A (trace), är summan av diagonalelementen. Sats Om n n-matrisen A har egenvärdena λ 1,... λ n så är det A = λ 1 λ 2... λ n = det D och tr A = λ 1 + λ 2 + + λ n = tr D Exempel igen 3 4 För A = 1 4 3 är det A = 1 och tr A = 0.
Diagonalisering Sats Om n n-matrisen A har egenvärdena λ 1,... λ n så är det A = λ 1 λ 2... λ n = det D och tr A = λ 1 + λ 2 + + λ n = tr D Sats För den kvadratiska matrisen A gäller att A är inverterbar alla egenvärden är 0.
Tillämpningar En linjär avbildning F med avbildningsmatris A kan vara lättare att begripa efter diagonalisering (=basbyte). Exempel igen 3 4 F har i bas u 1, u 2 avbildningsmatris A = 1 men i basen e 1 = 1 ( 2, 1) och e 2 = 1 (1, 2) matrisen D = u 2 e 1 e 2 e 2 u 1 4 F är spegling i linjen x 1 + 2x 2 = 0 parallell med e 1. 3 1 0 0 1
Tillämpningar Några uttryck blir lättare att beräkna efter diagonalisering. A = SDS 1 A 2 = SDS 1 SDS 1 = SDIDS 1 = SD 2 S 1 A 3 = AA 2 = SDS 1 SD 2 S 1 = SDID 2 S 1 = SD 3 S 1 A n = SD ( n S 1 ) λ1 0 där D = 0 λ 2 λ och D 2 2 = 1 0 0 λ 2 2 λ och D n n = 1 0 0 λ n. 2
Tillämpningar Exempel igen TIll A = 1 3 4 1 0 med D = 4 3 0 1 2 1 och S = samt S 1 2 1 = 1 2 1. 1 2 För att beräkna A 100 observera att D 100 = I varför A 100 = SD 100 S 1 = SIS 1 = SS 1 = I Detta kan man se direkt för att A 2 = I men för andra matriser spar denna typ av räkning jobb.