m Animering m Bilder m Grafik m Diskret representation -> kontinuerlig m En interpolerande funktion anvšnds fšr att

Relevanta dokument
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

DatortillŠmpningar. Det har hšnt nœgot!

TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

Föreläsning 19: Fria svängningar I

Hur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?

Lšneadministration Handbok

Principskiss av vingbalk

= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2

HushŒllens finansiella tillgœngar, skulder, nettofšrmšgenhet och nysparande. Det bundna sparandets (fšrsškringssparande) andel av sparportfšljen

Differentialekvationssystem

Newtons metod i en och flera variabler

Funktionen som inte är en funktion

Social kompetens/všrdegrund

VII. Om de trigonometriska funktionerna

Lösningar till Matematisk analys IV,

Om de trigonometriska funktionerna

not notismœl NUTEK NŠrings- och teknikutvecklingsverket prop proposition ref referat

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Kapitel 6. Hakparenteser fšr att ange index MŒnga všrden av samma typ

kylskåp BRUKSANVISNING ERM

Störningsupplevelse av buller i klassrum

Egenvärden och egenvektorer

Samband mellan resurser och resultat

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Maj Sofia Kolmodin

Kapitel 6. Kapitel 6. Hakparenteser fšr att ange index float[] priser = new float[500]; frekvens[4] boolean[] flaggor;

MILJ BALKENS EFTERBEHANDLINGSANSVAR FASTIGHETS GARE

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Ordinära differentialekvationer,

Investeringsbedömning

I vems intresse? Programmet fšr Juris kandidat-examen/ Fšretags- och Fšrvaltningsjuridisk linje. TillŠmpade studier 10 p.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

- Sjuklšneproblematiken fšr smœ fšretag - 1 INLEDNING Bakgrund Problemanalys Problempresentation Problemformulering 5

George Blecher Thorstein Veblen och en kavaj av bšsta tweed

Signal- och bildbehandling TSBB14

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Auktioner pœ Internet

Personuppgifter pœ Internet. Undantag frœn fšrbudet i 33 personuppgiftslagen

Enkšping-HŒbo TrŠdgŒrdssŠllskap Hšsten 2013 PROGRAM H STEN Enkšping-HŒbo TrŠdgŒrdssŠllskap

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Fel- och störningsanalys

Barnets ršttigheter utifrœn barnets rštt att komma till tals

Teoretisk Elektroteknik. Repetition i ellšra. Henrik Otterheim. Copyright 2003 Teoretisk Elektroteknik, KTH

dess fšrhœllande till konkurrensrštten

OK 611:3. Kollektiv olycksfallsförsäkring

Aktiebolagens kapitalvinstbeskattning - sšrskilt om begreppet verklig fšrlust

F R O R D. Stockholm i december Katja KerŠnen. E-post: katja.keranen@swipnet.se

Demodulering av digitalt modulerade signaler

Fakturering Kund & Leverantšrsreskontra. Handbok

Fel- och störningsanalys

Biomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN Åbo, Finland

Lšnekostnader i fœmansfšretag

SKADEST ND ENLIGT LAG OM OFFENTLIG UPPHANDLING

Finansiella rådgivares ansvar

JŠmfšrelse av reglerna om uppehœllstillstœnd och avvisning fšr EU/EES- och tredjelandsmedborgare

Friskrivningsklausuler En jšmfšrelse av svensk och italiensk rštt

Kan man lita pœ fšrvaltningsbeslut?

Laboration 2. Minsta kvadratproblem

Konkursbos ansvar fšr konkursgšldenšrens miljšfarliga verksamhet

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Föreläsning 5. Approximationsteori

Datastrukturer. Typdeklarationer. Ny datastruktur i C- struct. exempel. Ofta bra att kunna fšra ihop information av olika datatyper till en enhet.

Logikprogrammering. KŠnnetecken. Exempel pœ relation. Relationer. Varianter. KŠnnetecken och fšrutsšttningar Prolog

Utbildning via Internet

5. Tillståndsåterkoppling

Informationsregler pœ Stockholms, Kšpenhamns och Oslos Fondbšrs

Analys och modellering av ljusbåglängdsregleringen i pulsad MIG/MAG-svetsning

3. Matematisk modellering

Fšreningsstyrelsens ansvar

Entreprenšrens kvalitetssškringsansvar

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

i fœmansbolag - en jšmfšrelse av ršttslšget beskattningsœren 1999 och 2000 med anledning av stopplagstiftningens avskaffande

1 Elektromagnetisk induktion

Org.nr (11) rsredovisning. Styrelsen fœr hšrmed avge Œrsredovisning fšr rškenskapsœret et 1 januari - 31 december 2016.

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.

R 1998 ref 58 I-III ršrande finansiell leasing Ð en analys och kommentar ur inkomstskatteršttsligt perspektiv

Lennart Carlssons svenska šversšttning av. Material fšr arbetsseminariet i Stockholm samt

F5: Digital hårdvara. Digitala signaler. Fördelar med digitala system. Digital kontra Analog

MervŠrdesbeskattning av všrdepappersbolags tjšnster

Alternativa vœrdformer

Betalningar med e-pengar

GrŠnsšverskridande konkurser och utlšndska tilllgœngars betydelse vid insolvensbedšmningen

VINDKYLA OCH RISKEN ATT F RFRYSA OSKYDDAD HUD

UtvŠrdering av North Swedens verksamhet Œren

Buren utrustnings, sšrskilt kroppsskyddets, effekt pœ soldatens belastning och prestation.

Reglerteknik AK, FRT010

UTL MNANDE AV UPPGIFTER UTAN PATIENTENS SAMTYCKE

Transkript:

NŒgra illšmpningar Inerpolaion Modellfunkioner som saisfierar givna punker m Animering l m Bilder l l ršrelser,.ex. i ecknad film fšrger resizing m Grafik m Diskre represenaion -> koninuerlig 2 m Vi kšnner f() i n punker y i = f( i ) i=,,n m Vi sšker en funkion P() sœ a P( i ) = y i m P() inerpolerar f i punkerna i m P kan vara polynom, rigonomeriska funkioner Inerpolaion 3 Basfunkioner En inerpolerande funkion všljs som linjšrkomb. av basfunkioner Φ () Φ n () j= f() = x j Φ j () x j Šr de paramerar som ska n besšmmas A kršva a inerpolerar ( i, y i ) i = n beyder a j= f() = x j Φ j ( i ) = y i n vilke ger e sysem av linjšra ekvaioner Ax = y Elemenen i A ges av a ij = Φ j ( i ) 4 Kvadraisk sysem m Genom a všlja anale basfunkioner = anale mšpunker fœr vi e kvadraisk sysem sœ a punkerna saisfieras exak m Vale av basfunkioner pœverkar kondiionen hos Ax = y Definiioner m En inerpolerande funkion anvšnds fšr a uppskaa všrde av f i en punk. m Om illhšr de inervall som bildas av n gšrs en inerpolaion m Ligger uanfšr inervalle gšrs en exrapolaion m A arbea med polynom Šr fšrdelakig efersom de Šr enkla a derivera och inegrera 5 6

Polynominerpolaion Basfunkionerna fšr polynom m Enklas och vanligas a všlja e polynom som inerpolerande funkion m Till n punker ( i,f i ) finns e enydig besšm polynom av grad n- m Polynome kan represeneras och evalueras pœ olika sš, men alla mœse ge samma maemaiska funkion Φ j () = j- j = n Φ () = Φ 2 () = Φ 3 () = 2 Φ n () = n- P() = c 0 + c + c 2 2 + c n- n- 7 8 Koefficienerna x i besšms av de linj. ekvaionssyseme 2 2 2 2 n 2 n n- c 0 n- 2 c = y y 2 n- n c n- y n Vandermonde-maris, ofa illakondiionerad 9 Exempel m BesŠm de andragradspolynom som inerpolerar m Ansas : P() = c 0 + c + c 2 2 ger ekvaionen c 0 90 800 0.96 00 0000 c =.2 0 200 c 2.30 c = [0.42-0.003 0.000] T ger P() = 0.42-0.003 + 0.000 2 m Illakond. problem : κ(a) = 2á0 6 90 0.96 00.2 0.30 Om man lšgger ill en punk mœse hela syseme lšsas pœ ny. 0 Newons allmšnna inerpolaionsformel koefficienerna m AnsŠ P n- () som e inerpolaionspolynom av K - Inerpolaion 7 grad n- P n- () = c 0 + c (- ) + c 2 (- )(- 2 ) + + c n- (- )(- 2 )áá (- n- ) m P( i ) = f i, i=,2,, n mœse gšlla insšning av ( i,f i ) ger c 0 = f c 0 + c ( 2 - ) = f 2 c 0 + c ( 3 - ) + c 2 ( 3 - )( 3-2 ) = f 3 c 0 = f c = c 2 = f 2 - f 2 - ( 3 - ) ( 2 - ) f 3 - f - (f 2 - f ) ( 3 - )( 3-2 ) och all mer komplicera 2

90 0.96 00.2 0.30 i exemple P() = c 0 + c (-90) + c 2 (-90)(-00) ger ekvaionen c 0 0 0 0.96 0 0 c =.2 20 200 c 2.30 Ger nollorna exempel m Den nya formuleringen ger c = [0.96 0.06 0.000] T P() = 0.96 + 0.06(-90) + 0.000(-90)(-00) = = 0.42-0.003 + 0.000 2 m κ(a) = 2á0 2 m Endas en ekvaion behšver lšsas om en punk lšggs ill 3 4 f 2 f 2 3 f 3 4 f 4 c 0 c c2 f[, 2 ] f[ 2, 3 ] f[ 3, 4 ] f[, 2, 3 ] f[ 2, 3, 4 ] BerŠkna x i f[, 2 3, 4 ] R T kan uppskaas med fšrsa fšrsummade erm y f[, 2,, k+ ] = f (k) (ξ) k! c 3 5 Ny exempel f[,] f[,,] 2 0.36406 0.00028/ 22 0.36434-0.0000/2 0.00027/ 23 0.3646 0/2=0 0.00027/ 24 0.36488 P 3 (x) = c 0 + c (- ) + c 2 (- )(- 2 ) + c 3 (- )(- 2 )(- 3 )= = 0.36406 + 0.00028(-2) - 0.000005(-2)(-22) + + 0.0000/6(-2)(-22)(-23) 20 0.36379 2 0.36406 22 0.36434 23 0.3646 24 0.36488 0.0000/6 6 Lagrange inerpolaion P() = ( - 2 ) ( - 3 ) y Polynomeramfšr y ( - 2 ) ( - 3 ) blir = 0 fšr = 2 & 3 + ( - ) ( - 3 ) y 2 och = fšr = ( 2 - ) ( 2-3 ) + ( - ) ( - 2 ) y 3 ( 3 - ) ( 3-2 ) Vale av Φ j () medfšr a A = I och allsœ x=y Se fig.7.2 (220) 7 f (n) (ξ) SŒ kan allsœ skaas med nšsa koefficien n! 8 Hur sor blir fele? Sas 6.2 : LŒ f vara en funkion med n koninuerliga derivaor inom de inervall som bildas av punkerna, 2,, n. Om P Šr de enydig besšmda polynom av grad n- som uppfyller P( i ) = f( i ) i =,,n DŒ gšller a f f() - P() = (n) (ξ) ( - )( - 2 )( - n ) fšr nœgo ξ n! inom de inervall som bildas av, 2,, n.

Trunkeringsfele m Newons allmšnna inerpolaionspolynom l runkeringsfele uppskaas med fšrsa fšrsummade ermen m Fele i inerpolaionspunkerna Šr noll m Observera Runges fenomen Ä lœg gradal vid polynominerpolaion Fig. 6. (78) m f approximeras med ršlinje genom (,f ) och ( 2,f 2 ) : P () = f + ( ) f f ( ) ( ) 2 2 LinjŠr inerpolaion 9 20 De gamla exemple Approximera f(97) med linjšr inerpolaion 90 00 0 20 f 0.96.2.30.5 Sedan idigare ve vi a x = [0.96 0.06 0.000] T med polynome P() = 0.96 + 0.06(-90) Formeln ger P () = ( ). + 97 90 096 ( ) (. 2 0. 96 ) = 00 90. 072 2 Trunkeringsfel - linjšr inerpolaion m om f inerpoleras linjšr genom (,f ) och ( 2,f 2 ), 2 = + h kan runkeringsfele uppskaas med R T h 2 /8 á max fõõ() m Om man ine kšnner funkionen f, hur skaar man fõõ()? Approximera f med inerpolaionspolynom av en grad hšgre och derivera dea. (LŠgg ill en erm) 22 i vœr exempel m P() = 0.96 + 0.06(-90) ( P(97) =.072) Q() = P() + 0.000(-90)(-00) m QÕÕ() = 0.000, h= 2 - = 0 R T < 0 2 /8 á 0.000 = 0.0025 VŠrdena kommer frœn f() = 0.25e 0.05 f(97) =.072 sœ fele 0.0009 Hygglig feluppskaning 23 FelkŠllor vid linjšr inerpolaion BesŠm de polynom av grad som inerpolerar punkerna (,f ) och ( 2,f 2 ) P () = c 0 + c (- ), [, 2 ] R XX : Fele i inerpolaionspunken ( ± ) ger upphov ill fel approximaionen av f() R XF : Fel i de angivna funkionsvšrden fšljer med ill ber. av c i och dšrmed P R B : Avrundningsfel i berškningarna R T : Approximaion med rš linje 24

R XX R XF fele i punken som inerpoleras,, forplanas i berškningen av P() m mv-sasen ger a dea begršnsas enlig f fõ()êáê efersom f ine Šr kšnd, skaas fõ med PÕ() = c à R XX < c ÊáÊ fele i de givna funkionsvšrdena, f, forplanas i berškningen av P() m Dea fel kan skaas med R XF ε dšr f i ε 25 26 R B och R T m R B avrundningsfelen i berškningarna Šr normal lie i jšmfšrelse med švriga fel ( i MATLAB 0-6 ) m R T Šr de ÒmodellfelÓ som gšrs nšr man approximerar f med en rš linje m Dea kan skaas h 2 Ä R T max fõõ(), h= 2-8 [, 2 ] 27 f i korrek avr. f i = 0.5E-5 a = 2.4 ± 0.05 BesŠm f(a) med f 3E-5 Vi provar linjšr inerpolaion : 20 0.36379 2 0.36406 22 0.36434 23 0.3646 24 0.36488 P () = c 0 + c á(- ) fšr (2, 0.36406) och (22, 0.36434) P ( i ) = f i ger c 0 + c á(2-2) = 0.36406 (c 0 fœs direk) c 0 + c á(22-2) = 0.36434 c 0 = 0.36406 och c =0.00028 Exempel 28 exempel R T P () = 0.36406 + 0.00028 á( - 2) P (2.4) = 0.36406 + 0.00028 á( - 2) = 0.36472 R B = 0 hšr, alla rškningar exaka R XF 0.5E-5 y alla f i korrek avrundade R XX ~ < c ÊáÊ = 0.28E-3 á 0.5E- = 0.4E-4 sœ ŒersŒr R T max fõõ(), h= 2-8 [, 2 ] h 2 29 h= 2 - = 22-2 = Äskaa fõõ() med e andragradspolynom a nšsa punk (23,0.3646) och ansš P 2 () = P () + c 2 (- )(- 2 ) P (23) + c 2 (23-2)(23-22) = f 3 0.36462 + 2c 2 = 0.3646 c 2 = -0.5E-5 P 2 ÕÕ = 2ác 2 = - E-5 h 2 R T áe-5 = 0.25E-5 8 Se F 8-4 ÓnŠsa ermó 30

De oala fele Syckvis polynominerpolaion R TOT R XX + R XF + R T + R B = =.4E-5 + 0.5E-5 + 0.25E-5 + 0 = = 2.025E-5 2.E-5 LinjŠr inerpolaion duger allsœ! 3 m A anpassa e enda polynom ill e sor anal punker ger mes rolig upphov ill oscillering m IsŠlle inerpolerar man med polynom av lšgre grad pœ mindre inervall m LinjŠr inerpolaion - rš linje mellan varje par av succ. punker. Den oala inerpolerande funkionen har dœ disk. derivaa i alla inre punker m Man kan všlja polynom sœ a den sammansaa funkionen Šr koninuerlig deriverbar 32 x = 0:0; y = sin(x); xi = 0:.25:0; yi = spline(x,y,xi); plo(x,y,'o',xi,yi) 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 Kubiska splines - 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Skifning/skalning m Fšr ašrbšra kan man anvšnda en annan upps. basfunkioner, som ger samma polynom men annan represenaion Φ j () = ( -c ) d j- dšr c = ( + n )/2 och d = ( n - )/2 c innebšr en skifning och d en skalning de nya ober. variablerna ligger i inervalle [-, ] 33 34 90 0.96 00.2 0.30 c = 00 och d = 0 Φ j () = ( -00 ) 0 j- P() = c + c -00-00 0 0 + c ( 2 0 ) 2-0 0 κ(a) = 3.2255 exemple igen Φ () = Φ -00 2 () = 0 Φ -00 3 () = ( ) 2 0 35