Ulrika Gunnarsson Problemlösning med olika representationsformer Här beskrivs undervisning med problemlösning, där inriktningen på arbetet var att eleverna skulle använda flera olika representationsformer. Arbetet som redovisas i den här artikeln, tog fart efter en kursuppgift i problemlösning inom lärarlyftet. Kursen beskrevs i Nämnaren nr 1, 2009. Min egen matematikundervisning har genom åren varit väldigt styrd av läroboken och mitt arbetssätt liknade det som Skolverket beskrev redan för femton år sedan, dvs en kort genomgång på tavlan och sedan enskilt tyst arbete i boken (Emanuelsson m fl, 1996). Att jag genom lärarlyftet har fått tillfälle att lyfta blicken och kritiskt granska min egen undervisning har varit oerhört värdefullt. Det har lett till nya insikter om hur viktig min roll faktiskt är och för att skapa bästa möjliga förutsättning för elevernas lärande krävs det förändringar i mitt sätt att arbeta. Det arbete som jag redovisar här tog fart efter en kursuppgift i problemlösning, där jag kände mig otillräcklig som lärare och därmed insåg att jag behövde utveckla mitt sätt att tänka och förbereda mig inför sådant arbete. Det var även märkbart att eleverna behövde arbeta mer med att lösa probleminriktade uppgifter. Problemlösning är svårt att undervisa i och det finns många tankar om metoder och sätt att bli en bättre problemlösare. I litteratur kring ämnet konstateras det att förmågan att lösa problem är en process som tar lång tid att behärska. För att ta ett steg framåt i min och mina elevers process har jag valt att undersöka hur arbetet med att använda olika uttrycksformer, representationsformer, vid problemlösning påverkar mig och eleverna. Elevernas upptäckt av olika representationsformer Under en period under hösten fick mina elever i årskurs 6 vara med om en medveten satsning från min sida på att arbeta med problemlösning. De hade inte särskilt mycket erfarenheter av det sen tidigare. Första gången de fick ett problem att lösa fick de inte några direktiv utan det var fritt att sätta igång och ta itu med uppgiften. Problemet löd: Villa Villekulla är beläget i en trädgård i formen av en rektangel 26 meter bred och 40 meter lång. Huset upptar 1/4 av ytan, och 1/5 av ytan är täckt med blommor. På återstoden växer det träd. Hur stor är ytan av den trädbevuxna delen av trädgården? (Persson & Toom, s 22) 17
Eleverna arbetade i par och de fick hålla på tills de kommit fram till en lösning som de kände sig nöjda med. Nästa dag fick de tid att tillsammans titta över sina lösningar och förbereda sig för en eventuell redovisning inför resten av klassen. Frivilliga visade på tavlan hur de hade kommit fram till sina lösningar. Klasskamraterna ställde frågor till dem som redovisade, om de inte förstod hur de hade tänkt, och fick komma med motargument om de tyckte att deras förklaringar inte höll. Det blev givande diskussioner kring de olika lösningarna. Alla förstod inte varandras sätt att tänka men de fick ändå upptäcka och se att det fanns fler sätt att lösa ett problem. Efter redovisningarna av första uppgiften ställde jag frågan På vilka olika sätt har ni redovisat den här uppgiften? De funderade ett tag innan någon vågade räcka upp handen och svarade: Genom att rita! (bild 1). Det var ett perfekt svar för mitt syfte med frågan nämligen att försöka hitta så många olika representationsformer som möjligt. En annan elev konstaterade lite eftertänksam att vi väl hade räknat också. (bild 2). I och med att jag hade tittat igenom deras lösningar kvällen innan så visste jag att några hade redovisat på ytterligare ett sätt, nämligen genom att skriva och förklara med ord hur de löste problemet. Svar: Först räknade vi ut hur stor ytan var. Och ytan var 1040 m2 stor. Sedan räknade vi ut hur stor yta huset tog det tog 260 m2 och blommorna tog 208 m2 av ytan. Vi plussade sedan ihop huset och blommorna och det blev 468 m 2. Sedan tog vi den ytan minus hela svaret på ytan. bild 1 Mitt mål med lektionen var uppnått. Eleverna hade själva genom att ta sig an en uppgift kommit fram till att de hade använt sig av olika representationsformer utan att de hade haft en tanke på det. Även en fjärde form användes förstås, den muntliga redovisningen. bild 2 18 Nämnaren nr 2 2009
Medvetet arbete med representationsformer Efter den inledande problemlösningsuppgiften fortsatte vi vårt arbete. Nu fick eleverna nya problem som skulle lösas, men innan de satte igång delade vi in ett arbetsblad i tre olika delar för de representationsformer som vi kommit fram till, dvs bild, förklara med ord och beräkning. Alla skulle sedan försöka fylla de olika fälten. Till de flesta problemen kunde eleverna göra det. Här är några observationer från deras arbete. Rita bild De som inte direkt förstod vilket eller vilka räknesätt de skulle använda för att komma fram till en lösning tog gärna bilden till hjälp. Den hjälpte dem att göra problemet överskådligt. Den förtydligade fakta som fanns i uppgiften och eleverna såg lättare sambanden som behövdes vid beräkningen. Beräkningar tal När de skulle göra sina beräkningar blev det ibland heta diskussioner om tillvägagångssättet. De försökte ofta enskilt räkna fram en lösning innan de samkörde sina idéer och tankar kring problemet. Var de inne på samma spår så kunde de oftast tillsammans lösa hela problemet men om de tänkte på olika sätt så märkte jag att de till en början hade svårt att ta till sig kamratens sätt att resonera och att kompromissa sig fram till ett alternativ. Skriva förklara med ord Att med ord förklara de olika matematiska stegen i en beräkning är inte alldeles lätt och därför blev förklaringarna lätt krångliga och inkorrekta. Eleverna hade svårt att uttrycka sig matematiskt och att formulera sig så tydligt att allt blev glasklart. Tala redovisa Här märkte jag att de som ville redovisa var stolta över vad de kommit fram till. De visste inte i förväg om deras svar var rätt eller fel, men det avskräckte dem inte. Vi hade som ett led i problemlösningsarbetet pratat om hur viktigt det är att vi har ett bra klassrumsklimat där det är tillåtet att göra fel och att vi faktiskt kan lära oss mycket av det också. Lika svårt som eleverna hade att formulera sina beräkningar skriftligt, lika svårt hade de för muntlig redovisning. Här gällde det för mig att hjälpa dem att strukturera upp tankarna och vägleda dem framåt. En del svårigheter som uppstod vid elevernas muntliga redovisning var att de förklarade hur de hade tänkt på ett osammanhängande sätt och att de pratade fort, otydligt och kunde bli lite tramsiga. Det märktes en tydlig ovana och osäkerhet i att prata matematik och de blev tveksamma och osäkra om deras beräkningar ifrågasattes. Något som är bra att tänka på vid elevernas muntliga redovisning är att ge dem mycket tid för att förbereda sig och träna, helst framme vid tavlan. Då blir de inte lika nervösa och de får bättre kontroll över de olika momenten i sina uträkningar. 19
Eleverna lär sig av varandras sätt att redovisa lösningar Genom att jämföra olika elevlösningar kan man synliggöra skillnader och variationer i hur eleverna löste problemet. Här visar jag några skillnader som vi fick fram vid arbetet med problemet Tunnan. Problemet löd: När det började regna satte Pippi ut en tom tunna under stuprännan. Tunnan rymmer 400 liter. Varje minut rinner det in 8 liter i tunnan, medan tre liter läcker ut genom olika sprickor och hål. Fylldes tunnan upp om det regnade oavbrutet i 1 timme och 10 minuter? (Persson & Toom, s 22) Vi ser här intill två olika sätt att med bildens hjälp försöka förklara hur tunnan fylldes upp. Båda är relativt tydliga och lättförståeliga. Den ena har karaktären av en tabell och eleven har gjort en systematisk undersökning av hur vattnet ökar. I de två exemplen överst på nästa sida ser vi hur två elever har kommit fram till en korrekt lösning på helt olika sätt. Den ena har räknat ut hur många minuter som skulle behövas för att fylla hela tunnan, dvs 80 minuter, och sedan konstaterat att det fattades tid, 10 min. Den andre eleven har tagit tiden och multiplicerat den med det antal liter som rinner in i tunnan per minut och fått fram svaret 350 liter och svarat att antalet liter inte räcker. 20
Ibland tror jag att eleverna inte har klart för sig hur de egentligen gjorde när de kom fram till lösningen. Ibland gissar och prövar de sig fram till en lösning och då kan det vara svårt att förklara varför de gjorde som de gjorde. Här finns det stora utvecklingsmöjligheter. Först började vi med att dividera 400 i 8. Då dividerade vi 400 l med hur mycket som rann i varje minut alltså 8 l. Svaret av det blev då 50 min. Sedan sub traherade vi 8 l minus 3 l som rinner ut. Svaret av det blev då 5 l. Efter det dividerade vi 400 l med 5. Svaret är alltså 80 min. Svar: Det fattades 10 min. Först gjorde vi om 1 h och 10 min till bara minuter. sen tog vi 8 l minus 3 l och det blev 5 l. Sen tog vi 5 gånger 70 och det blev 350 l. Så alltså tunnan fylldes inte ända upp utan bara 350 l. Vid arbetet med problemet om Villa Villekulla upptäckte jag något intressant. Där har ett elevpar använt sig av bråk medan de flesta har räknat ut arean för att få fram ett svar. De som räknade med tal i bråkform har använt sig av förlängning och det har de inte fått någon undervisning i ännu. När jag frågade varför de hade tjugo som minsta gemensamma nämnare kunde de inte riktigt förklara men de visste att man inte kunde lägga ihop bråk med olika nämnare. De hade själva gjort en upptäckt och tagit nästa steg i sin utveckling av förståelse av bråk. 21
Har arbetet utvecklat mig och eleverna? För mig har arbetet med problemlösning och olika representationsformer varit en positiv upplevelse men samtidigt en utmaning. Jag har lyft blicken från matematikboken och inser att matematik är så mycket mer än bara färdighetsträning, jag ser helheten på ett annat sätt. När jag tittar igenom elevernas lösningar innan de redovisar så ger det mig insikter i hur de har tänkt så att jag kan hjälpa dem om de kör fast vid redovisningen. Det ger mig också ett bra tillfälle att diskutera eventuella missuppfattningar eller brister i kunnandet. Jag har blivit bättre på att identifiera olika nivåer av kunnande hos eleverna. Jag vågar också resonera och tala matematik med eleverna. Elever gör oanade matematiska upptäckter som man sen kan utveckla vidare i sin undervisning Eleverna har uttryckt sina tankar genom samtal under arbetets gång och vid redovisningar. De allra flesta tycker att det här sättet att arbeta var både givande och roligt men samtidigt svårt. Eleverna upplever att de har lärt sig mycket matematik genom detta arbetssätt, jämfört med när de arbetade i boken, och att de har utvecklats i problemlösning. Det mest utmärkande i elevernas utveckling kring problemlösning och användandet av representationsformer har varit: De tycker att problemet tydliggörs om man använder fler representationsformer. De har insett att man ofta kan lösa ett problem på mer än ett sätt och att man lär sig matematik av att diskutera och lyssna på andra. De har lärt sig att prata matematik och använder sig mer av matematiska termer och de har blivit bättre på att argumentera för och emot en uppfattning. De har förstått att om man inte är tydlig i att visa hur man tänkt, så förstår inte klasskamraterna. De har insett att en uträkning alltid ska finnas med vid lösandet av en uppgift så att läraren kan följa tankar och resonemang. De har blivit bättre på att samarbeta och att inte ge upp när de stöter på motstånd. De blir inte låsta av att de inte hittar lösningen direkt, utan försöker på ett annat sätt. De visar en helt annan delaktighet i ämnet. Reflektion Att ta steget från traditionellt arbete i läroboken till ett mer oförutsägbart arbetssätt där matematiken blir mer innehållsrik, ger helt klart mer tillfredsställelse. Varför har jag inte gjort så tidigare? Kan det bero på dåligt självförtroende i matematik, bekvämlighet, didaktiska brister, osäkerhet, dålig kunskap eller har jag blivit präglad av min egen skolgång där arbete av det här slaget inte existerade? Troligtvis beror det på lite av varje. Därför är det viktigt att man som lärare får möjlighet att utvecklas, tid för reflektion och tillfälle till diskussioner med andra för att inte stagnera och tycka att allt är bra som det är. Man måste hela tiden lyfta frågor som Varför gör jag på det här sättet?, Vad ska 22
eleverna lära sig?, Hur lär jag ut på bästa sätt? Det är viktigt att hela tiden känna sig som en del av utvecklingen tillsammans med eleverna, inte att man själv står still medan eleverna tar kliv framåt. Fortbildningen kommer inte att leda till att jag ändrar allt i min undervisning, men den kommer i alla fall att bli mer varierad framöver. Jag kommer att fortsätta utvecklingen av arbetet med representationsformer och samtidigt ta in mer konkret materiel i undervisningen. Utbildningen har också öppnat mina ögon då det gäller utbudet av litteratur, tips och idéer om arbetsuppgifter, matematik på nätet mm. Tack vare min fortbildning i ämnet har matematikens värld blivit mycket större än den var tidigare. Vi är bara i begynnelsen av det här nya sättet att arbeta, men vägen fram till de mål att sträva mot som kursplanen anger känns nu kortare och mer intressant. Eleverna kanske inte reflekterar över sin egen kunskapsutveckling, men de har imponerat på mig genom att visa att de kan använda sig av den matematik som de har lärt sig men samtidigt vågar de pröva nya vägar. Det känns också som om de har ökat sin prestationsförmåga. En positiv inställning till ett arbete borde rimligtvis ge resultat. Även om mitt arbete med representationsformer i stort sett bara varit en positiv upplevelse så kan jag känna en viss frustration över att vi inte kom längre i vår utveckling. Kanske var problemens art för grundläggande och vi skulle kanske ha angripit mer svårhanterliga problem. Samtidigt tror jag att problemen inte får vara för avancerade när man introducerar de olika representationsformerna eftersom det är viktigt att eleverna förstår sambanden mellan de olika uttryckssätten. Det är denna förmåga att inom ett begreppsområde kunna göra översättningar mellan olika uttrycksformer, representationer som starkt bidrar till problemlösningsförmåga och ökad förståelse i matematik. Eleverna har verkligen levt upp under den här perioden med problemlösning. Har de saknat utmaningar och tillfälle för eget tänkande tidigare? De kom verkligen fram till intressanta lösningar och det har nog förvånat både mig och eleverna att vi tänker så olika. Upptäckten att det oftast finns fler än ett sätt att lösa ett problem har gjort dem mindre rädda för att göra fel då de tidigare varit inriktade på att det bara finns ett rätt svar. De vågar testa och ser inte ett misslyckande som ett nederlag utan de är nöjda med att de har försökt och gjort sitt bästa. Svaret får de serverat i alla fall. Man märker också att de gånger något elevpar avvikit från mängden och kommit fram till en egen lösnings strategi som varit korrekt, så växer deras självförtroende enormt. Även det tillåt ande klassrumsklimatet har spelat en stor roll då de har getts tillfälle att föra sin talan utan att vara rädda för att göra fel. Litteratur Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L (1997). Algebra för alla (NämnarenTe m a). NCM, Göteborgs universitet. Emanuelsson, G., Wallby, K., Johansson, B. & Ryding, R. (1996). Matematik ett kommunikationsämne (NämnarenTe m a). NCM, Göteborgs universitet Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Stockholm: Liber Persson, U. & Toom, A. (2006). Ryska matematiska skolproblem. Nämnaren, 33(1), s 19 27. Rystedt, E. &Trygg, L. (2007). Matematikverkstad. NCM, Göteborgs universitet. 23