Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad genomgång som visar hur du kan lösa en viss uppgift. Genomgångarna hittar du på Elevwebben på www.nok.se/matematik5000. Börja med att läsa igenom den korta sammanfattningen så att du får en snabbrepetition av avsnittet. Efter sammanfattningen finns en tabell med förslag på grundläggande uppgifter som du kan börja med att räkna. När du har räknat klart en uppgift stryker du över den i tabellen (så att du håller reda på vilka uppgifter du har räknat). Behöver du anteckna något så finns det tomma rader bredvid. Under tabellen finns en rad med tomma rutor. Där kan t.ex. din lärare fylla i fler uppgifter som du kan fortsätta med. I slutet av varje kapitel får du ytterligare förslag på uppgifter som hjälper dig att repetera kapitlets innehåll. Kapitel Algebra och linjära modeller Avsnitt Egna anteckningar Repetition av kurs b Uppgifter: 04 05 06 07 08 09 0 2 3 4 5 20 2 22 23 24 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4 47 48 49 50 5 52 53 56 57 58 59 68 69 70 7 Algebra och linjära modeller
202 203 204 205 206 207 20 2 22 23 24 25 26 225 226 227 228 229 230 23 232 233 234 235 243 244 245 Räta linjens ekvation Räta linjens ekvation kan skrivas y = k x + m där k anger lutningen och m anger var linjen skär y-axeln. Linjen y = 2 x 7 skär y-axeln i punkten (0, 7). Bestämning av k ur en graf y y y = 3 x = 2 x x = y = 3 x y k = x = 3 2 = y 5, k = x = 3 = 3 k > 0, linjen stiger k < 0, linjen faller En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y = 3 En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen x = 3 Formeln för k förändringen i y-led k = förändringen i x-led = y x = y y 2 x 2 x där x 2 x. 304 305 306 307 308 Algebra och linjära modeller 2
32 33 34 35 36 37 38 39 320 32 322 323 324 327 328 329 330 33 332 333 334 Parallella linjer och vinkelräta linjer Två icke-vertikala linjer med riktningskoefficienter k och k 2 är parallella om och endast om k = k 2 (har samma k-värde) vinkelräta om och endast om k k 2 = 342 343 344 345 Olika former av räta linjens ekvation k-formen y = kx + m enpunktsformen y y = k(x x ) allmänna formen ax + by + c = 0 Att ställa upp ekvationen för en linje Linjen har k = 3 och går genom punkten ( 2, ). Metod Metod 2 ( k-formen) (Enpunktsformen) y = kx + m y y = k(x x ) y = 3x + m y = 3(x + 2) x = 2 och y = ger y = 3x + 7 = 6 + m y = 3x + 7 349 350 35 352 353 354 355 356 370 37 372 373 374 375 376 387 388 389 390 39 392 393 Algebra och linjära modeller 3
Linjära ekvationssystem Varje ekvation i ett linjärt ekvationssystem med två obekanta x och y betyder grafiskt en rät linje. Att lösa ett ekvationssystem innebär att vi söker ett x och ett y som satisfierar båda ekvationerna. Grafisk lösning Grafisk lösning innebär att vi avläser skärningspunkten mellan linjerna. Det finns tre möjliga fall: y y 3 x x En lösning. Linjerna skär varandra i en punkt. 2 Ingen lösning. Linjerna är parallella (samma k-värde, olika m-värden). 3 Obegränsat antal lösningar. Linjerna sammanfaller (samma k-värde, samma m-värde). 403 404 405 406 407 408 Algebraisk lösning Metod (substitutionsmetoden) Lös ut x eller y ur den ena ekvationen och sätt in i den andra ekvationen. Metod 2 (additionsmetoden) Multiplicera ekvationerna med lämpliga tal, så att x eller y försvinner då ekvationerna adderas ledvis. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 68 Tillämpningar och problemlösning s. 70 Uppgift 464 45 46 47 48 49 420 42 422 423 43 432 433 434 435 436 437 438 Algebra och linjära modeller 4
442 443 452 453 454 455 456 457 Diagnos Gör Diagnos på sidan 77 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel I Blandade övningar kapitel kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna 78 83. Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 272. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. Algebra och linjära modeller 5
Kapitel 2 Algebra och ickelinjära modeller Avsnitt Egna anteckningar Polynom Några begrepp Uttrycket 2 x 3 4 x + 5 är ett polynom. Konstanttermen är 5. Variabeltermerna är 2 x 3 och 4 x. Talen 2 och 4 kallas koefficienter. Termen 2 x 3 anger att vi har ett tredjegradspolynom. Multiplikation x(3 x ) = 3 x x 2 ( x 4)(2 x 5) = 2 x 2 5 x 8 x + 20 = 2 x 2 3 x + 20 Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 86 Vad är ett polynom? 203 204 205 206 207 208 209 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna (a + b) (a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 Exempel: (2 x + 5)(2 x 5) = 4x 2 25 (3 + 2y ) 2 = 9 + 2 y + 4 y 2 (3x 4) 2 = 9 x 2 24x + 6 Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 92 Uppgift 23 24 25 26 27 28 29 225 2 Algebra och ickelinjära modeller 6
Faktorisera Bryta ut är motsatsen till att multiplicera in. Bryta ut 5x 2 x = x(5x ) Multiplicera in 234 235 236 237 238 239 240 24 242 Andragradsekvationer Kvadratrotsmetoden x 2 5 = 0 x 2 = 5 har rötterna x = ± 5 Nollproduktmetoden x 2 + 0 x = 0 x( x + 0) = 0 x = 0 eller x + 0 = 0 x = 0 x 2 = 0 En andragradsekvation med kända rötter kan skrivas med hjälp av omvändningen av nollproduktmetoden. Exempel: x = 2 och x 2 = 8 är rötter till ekvationen (x 2)(x + 8) = 0 dvs x 2 + 6x 6 = 0 2202 2203 2204 2205 2206 2207 Lösningsformeln x 2 + p x + q = 0 x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q Exempel: x 2 + 4 x 5 = 0 har lösningarna x = 2 ± 4+5 x = 2 ± 3 x = x 2 = 5 Om vi får ett negativt tal under rottecknet, saknar ekvationen reella rötter. 2 Algebra och ickelinjära modeller 7
223 224 228 229 2220 222 2222 2223 2224 Komplexa tal Det imaginära talet i har egenskapen att i 2 =. Ekvationen z 2 2z + 5 = 0 har komplexa rötter z = ± 4 z = ± 2i z = + 2i z 2 = 2i 2233 2234 2235 2236 2237 2238 2244 2245 2246 2247 2248 Andragradsfunktioner En andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a 0 Grafen har en maximipunkt om a < 0 har en minimipunkt om a > 0 skär y-axeln i (0, c) är symmetrisk kring symmetrilinjen har nollställen om ekvationen y = 0 har reella lösningar. Exempel: y = 2x 2 8x + 6 0 Symmetrilinje x = 2 6 x = och x = 3 är nollställen Minimipunkt 2 0 (2, 2) 2 Funktionens minsta värde är 2. 2 Algebra och ickelinjära modeller 8
2303 2304 2305 2306 2307 2308 2309 233 234 235 236 237 238 239 2327 2328 2329 2330 2335 2336 2337 2338 2339 Potenser och potensekvationer 2 5 kallas en potens med basen 2 och exponenten 5. Potenslagar Definitioner 5 4 5 2 = 5 4+2 = 5 6 5 4 5 = 2 54 2 = 5 2 5 2 = 5 2 (5 3 ) 7 = 5 3 7 = 5 2 5 0 = (5r) 2 = 5 2 r 2 = 25r 2 2403 2404 2405 2406 2407 2408 2409 240 24 242 Potensekvation x 2 = 3, x > 0 har den positiva roten x = 3 /2,096 2422 2423 2424 2425 2426 2427 2428 2429 2 Algebra och ickelinjära modeller 9
Exponentialfunktioner och logaritmer Potensfunktion y = C x a (C och a är konstanter) Exponentialfunktion y = C a x (C och a är konstanter, a > 0, a ) Logaritmer 0 x = y x = lg y (y > 0) x = 0-logaritmen för y. Logaritmlag lg x p = p lg x Exponentialekvation Exempel utan räknare 0 x = 000 x = lg 000 = 3 0 x = 0,00 x = lg 0,00 = 3 Exempel med räknare 0 x = 40 x = lg 40,60 Exempel algebraisk lösning: 8 3 x = 5 3 x = 5/8 lg 3 x = lg (5/8) x lg 3 = lg (5/8) lg (5/8) x = 0,572 lg 3 Exempel grafisk lösning: 00,02 x = 60 Rita grafen till y = 00,02 x och y = 60. Avläs x-värdet i skärningspunkten. 2502 2503 2504 2505 2506 253 254 255 256 2522 2523 2524 2525 253 2532 2533 2534 2 Algebra och ickelinjära modeller 0
2542 2543 2544 2545 2546 2559 2560 256 2562 Diagnos 2 Gör Diagnos 2 på sidan 55 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 2 I Blandade övningar kapitel 2 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna 56 58. Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 2 på sidorna 59 6. Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 274. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 2 Algebra och ickelinjära modeller
Kapitel 3 Geometri Avsnitt Egna anteckningar Vinklar Några definitioner Sidovinklar u + v = 80 Vertikalvinklar x = v y x u v L L 2 L och L 2 är parallella x = y (alternatvinklar) L och L 2 är parallella v = y (likbelägna vinklar) En bisektris är en stråle som delar en vinkel mitt itu. 302 303 304 305 306 307 Yttervinkelsatsen y = a + b a b c y 34 35 36 37 38 39 Randvinkelsatsen x v z u u x = v = z u = 2 v 80 En randvinkel på en halvcirkelbåge är 90. För en fyrhörning inskriven i en cirkel gäller u + v = 80 v 327 328 329 330 33 332 333 334 3 Geometri 2
Likformighet I likformiga geometriska figurer gäller att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. 3202 3203 3204 3205 3206 3207 3209 320 Topptriangel- och transversalsatsen C Om DE är parallell med AB gäller D E A B = C D A C = C E B C D E C D A D = C E A B B E Titta & lyssna gärna på följande länk: s. 78 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 326 327 328 329 3220 322 3222 Kongruens Två geometriska figurer är kongruenta om de har exakt samma storlek och form. Titta och lyssna gärna på följande länk: s. 84 Uppgift 3238 323 3232 3233 3234 3235 Skala Areaskalan = (Längdskalan) 2 Volymskalan = (Längdskalan) 3 3242 3243 3244 3245 3246 3 Geometri 3
Bisektrissatsen Kordasatsen a b a d c b x x y = a b y a b = c d 3256 3257 Koordinatgeometri Pythagoras sats a c b Triangeln är rätvinklig c 2 = a 2 + b 2 3303 3304 3305 3306 3309 330 33 332 Avståndsformeln Avståndet mellan punkterna ( x, y ) och ( x 2, y 2 ) är d = ( x 2 x ) 2 + ( y 2 y ) 2 3320 332 3322 3323 Mittpunktens koordinater Mittpunkten på sträckan mellan punkterna ( x, y ) och ( x 2, y 2 ) är ( x + x 2 2, y + y 2 2 ) 3328 3329 3330 3 Geometri 4
Diagnos 3 Gör Diagnos 3 på sidan 203 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 3 I Blandade övningar kapitel 3 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna 204 205. Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 3 på sidorna 206 209. Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 275. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 3 Geometri 5
Kapitel 4 Statistik Avsnitt Egna anteckningar Statistiska metoder 40 402 403 Population och stickprov Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population. En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population. Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs man gör ett stickprov. Urval och felkällor Om man väljer ett slumpmässigt urval från populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen. Bortfall, mätfel och urvalsfel är olika exempel på felkällor i statistiska undersökningar. 408 409 40 47 48 49 Läges- och spridningsmått Lägesmått I en datamängd är Typvärdet det vanligast förekommande värdet. Medianen det mittersta värdet då värdena är storleksordnade. summan av värdena Medelvärde: x = antalet värden 4205 4206 4207 4208 4209 420 42 4 Statistik 6
Spridningsmått Variationsbredd = största värdet minsta värdet Kvartilavstånd = övre kvartil nedre kvartil Nedre kvartilen Q, medianen Q 2 och övre kvartilen Q 3 delar datamaterialet i fjärdedelar. Ett lådagram visar detta grafiskt: Min Nedre kvartil Median Övre kvartil Max 4224 4225 4226 4227 4228 4229 4230 423 4232 Standardavvikelse Spridningsmåttet standardavvikelse utgår från hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet. För ett stickprov med n stycken värden x, x 2, x 3,..., x n och medelvärde x ges standardavvikelsen s av formeln s = (x x ) 2 +(x 2 x ) 2 +(x 3 x ) 2 +...+(x n x ) 2 n Uttrycket under rottecknet kallas variansen. 4237 4238 4239 4240 Normalfördelning En normalfördelad population med medelvärdet µ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande diagram: 34,% 34,% 2,3% 3,6% 3,6% 2 2 68,2% 95,4% 2,3% Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är alltid symmetrisk kring medelvärdet. 4303 4304 4305 4306 4307 4308 4 Statistik 7
Modellering Matematisk modell När vi använder matematik för att lösa ett problem utifrån en verklig situation så gör vi en matematisk modell. Korrelation Negativ Ingen Positiv korrelation korrelation korrelation Regression Att anpassa funktioner till observerade data kallas regressionsanalys. Titta och lyssna gärna på följande länkar: s. 248 Korrelation s. 252 Uppgift 4408 4402 4403 4404 4405 4406 442 443 444 445 446 Diagnos 4 Gör Diagnos 4 på sidan 265 för att se vad du kan och vad du behöver träna mera på. Blandade övningar kapitel 4 I Blandade övningar kapitel 4 kan du repetera hela kapitlet. Du hittar uppgifterna på sidorna 266 267. Vill du repetera allt du hittills har gjort i boken? Gör då Blandade övningar kapitel 4 på sidorna 268 27. Repetitionsuppgifter Vill du repetera så gör Repetitionsuppgifterna på sidan 277. Har du svårt att lösa någon uppgift så finns det lösningsförslag till alla uppgifterna i kapitlets exempel. 4 Statistik 8