Rätvinkliga rationella trianglar och kongruenta tal

U.U.D.M. Project Report 2016:11 Rätvinkliga rationella trianglar och kongruenta tal Hanna Otthén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Gunnar Berg Examinator: Veronica Crispin Quinonez Juni 2016 Department of Mathematics Uppsala University

INNEHÅLLSFÖRTECKNING Introduktion... 3 Rätvinkliga trianglar... 4 Pythagoras sats... 4 Euklides geometriska bevis... 4 Pythagoreiska tripplar... 8 Primitiva pythagoreiska tripplar... 8 Rätvinkliga rationella trianglar... 11 Kongruenta tal... 14 Icke-kongruenta tal... 16 Det minsta och största kongruenta talen... 18 Problemet om de kongruenta talen... 19 Historisk bakgrund... 19 Förhållandet till aritmetiska talföljder... 20 Relation till elliptiska kurvor... 21 Tunnells sats... 25 Avslutning... 28 Källförteckning... 29 Tryckta källor... 29 Elektroniska källor... 29 2

INTRODUKTION Rätvinkliga trianglar och deras egenskaper har under årtusenden varit ett intressant område att undersöka på olika sätt. Pythagoras sats är ett samband som fascinerat matematiker runt om i världen och det har getts ett otaligt antal geometriska och algebraiska bevis av denna genom tiderna. Det har dock visat sig att rätvinkliga trianglar har fler relationer till matematiska skeenden än enbart förhållandet mellan triangelns sidor. Bland annat finns ett samband mellan vissa rätvinkliga trianglars sidor och deras area. Denna uppsats kommer handla om det som kallas problemet om de kongruenta talen. Detta problem är ett samband som ännu inte har ett fullständigt svar. Uppsatsen syftar till att redogöra för vad ett kongruent tal är och beskriva de framsteg som tagits inom området hittills. Den inleds med en genomgång av rätvinkliga trianglar och viktiga satser för dessa för att sedan komma in på kongruenta tal och problemet kring dessa. Slutligen kommer vi in på de framsteg som hittills tagits. De huvudsakliga källorna som använts är Roots to Reaserch av Sally och Sally och de två texterna Pythagorean Triplets och The Congruent Number Problem av Conrad. Satser och tillhörande bevis är främst hämtade från dessa, men även annan litteratur har använts. 3

RÄTVINKLIGA TRIANGLAR En triangel vars ena vinkel är 90 kallas rätvinklig. Om en rätvinklig triangel har sidor vars längder är positiva heltal säger vi att den är en rätvinklig heltalstriangel. På motsvarande sätt kallar vi en rätvinklig triangel vars längder är rationella tal för en rätvinklig rationell triangel. 1 PYTHAGORAS SATS Den mest kända satsen för rätvinkliga trianglar är Pythagoras sats. Denna sats beskriver ett samband mellan en rätvinklig triangels kateter och dess hypotenusa. Dessutom beskriver satsen ett samband mellan geometri och algebra, vilket är önskvärt för studierna av rätvinkliga trianglar. 2 SATS 1 Om c är hypotenusans längd av en rätvinklig triangel med kateter a och b, så a! + b! = c!. Satsen är döpt efter den grekiske matematikern Pythagoras som levde ca. 500 f.v.t som enligt tradition anges vara den första som kom med ett bevis för satsen. Det sägs dock att satsen användes redan tusen år tidigare av babylonierna. 3 Även indiska och kinesiska matematiker hade självständigt upptäckt satsen och i vissa fall även bevisat den, men bara för enskilda fall. 4 Det var emellertid genom Euklides berömda verk Elementa som satsen (och mer med den) spreds till och i Europa, Elementa är faktiskt den mest spridda skriften efter Bibeln. Dessutom har Euklides matematik även influerat skolans geometriundervisning ända in på mitten av 1900-talet. 5 EUKLIDES GEOMETRISKA BEVIS Pythagoras sats finns i Elementas bok Ι där också andra grundläggande geometriska satser finns, såsom de fyra kongruensfallen. Euklides bevis bygger på dessa kongruensfall. Nedan följer hur Euklides själv uttryckte Pythagoras sats samt en version av hur han genomförde beviset. 6 SATS 2 I rätvinkliga trianglar är kvadraten på den sida som står mot den räta vinkeln lika med summan av kvadraterna på de andra sidorna. BEVIS Låt ABC vara en rätvinklig triangel och BAC = 90. På varje sida av triangeln konstrueras kvadrater CBDE, BAGF och ACIH. 1 Sally och Sally, Roots to Research, s. 63. 2 Sally och Sally, s. 63. 3 Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, s. 14. 4 Thompson, Matematiken i historien, s. 64 ff. 5 Thompson, s. 161. 6 Thompson, s. 162. 4

Från A dras en linje parallell med BD och CE. Linjen kommer skära BC och DE i en punkt K respektive L. Drag även linjerna CF och AD, vilket formar ΔBCFoch ΔBDA. Både CAB och BAG är räta, vilka medför att CAG och BAH är räta linjer. Figur 1: Euklides bevis av Pythagoras sats. CBD och FBA är båda räta, alltså är ABD = FBC, då båda är summan av en rät vinkel och ABC. Eftersom AB = FB och BD = BC måste ΔABD ΔFBC. Då AKL är en rät linje parallell med BD så måste rektangeln BDLK ha dubbelt så stor area som ΔABD då de delar bas och har samma höjd BK. På liknande sätt måste kvadraten BAGF vara den dubbla arean av ΔFBC och då måste arean för kvadraterna BDLK och BAGF vara lika, d.v.s. BDLK = BAGF = AB!. På liknande sätt kan vi visa att CKLE = ACIH = AC!. Om vi adderar dessa resultat får vi AB! + AC! = BD BK + KL KC. Eftersom BD = KL får vi BD BK + KL KC = BD BK + KC = BD BC. Men BD = BC, så BD BC = BC!. Då ser vi att AB! + AC! = BC! eftersom CBDE är en kvadrat. Vad händer om vi istället för kvadrater på den rätvinkliga triangelns sidor använder andra figurer? Kan vi generalisera satsen? Vi tar ett exempel då vi konstruerar likformiga trianglar med den rätvinkliga triangelns sidor som baser. 7 För att visa detta använder vi oss av Pythagoras sats och regler för likformiga trianglar. 7 Sally och Sally, s. 55. 5

BEVIS Anta att kvadraterna är ersatta med godtyckliga, men likformiga trianglar, med korresponderande baser på de rätvinklig triangelns sidor. Figur 2: Likformig triangel Pythagoras sats Det faktum att ΔADB och ΔCFA är likformiga med korresponderande baser av längd c respektive a betyder att förhållandet mellan trianglarnas höjder är samma som förhållandet mellan baserna, d.v.s. a/c. Alltså gäller area ΔCFA a höjd ΔCFA /2 = area ΔADB c(höjd ΔADB)/2 = a c höjd ΔCFA höjd ΔADB = a c a c = a! c!. På samma sätt följer area ΔBEC area ΔADB = b! c!. Därmed area ΔCFA = area ΔBEC = a! c! b! c! area ΔADB och area ΔADB. Alltså area ΔCFA + area ΔBEC = a! c! + b! c! area ΔADB. Eftersom ΔABC är rätvinklig gäller Pythagoras sats a! + b! = c!. Det ger oss area ΔCFA + area ΔBEC = area ΔADB. 6

Om vi istället konstruerar halvcirklar på vardera sida av den rätvinkliga triangeln ser vi att samma samband råder: Figur 3: Bevis Pythagoras sats m.h.a. halvcirklar. π 1! 2 a + π 1! 2 b 2 πa! 4 + πb! 4 = πc! 4 = π 1 2 c 2! 1 4 π a! + b! = 1 4 π c! a! + b! = c!. Detta går att genomföra på andra figurer än visat ovan och genom att använda sambandet mellan likformiga figurers areor kan vi formulera en generalisering, se sats 3. SATS 3 I en rätvinklig triangel är arean av figuren med triangelns hypotenusa som bas lika med summan av arean av de likformiga figurerna med vardera katet som bas. Omvändningen av Pythagoras sats är Proposition 48, bok Ι, i Euklides Elementa. 8 SATS 4 Om kvadraten av en triangels sidolängd är lika med summan av kvadraten av de respektive andra sidorna, så är triangeln rätvinklig. 8 Sally och Sally, s. 54. 7

PYTHAGOREISKA TRIPPLAR Av satserna följer nu att för ΔABC med sidorna av längd a, b och c så är x = a, y = b och z = c lösning till den algebraiska ekvationen x! + y! = z! om och endast om ΔABC är rätvinklig med kateter a respektive b samt hypotenusa c. Den algebraiska ekvationen x! + y! = z! brukar kallas den pythagoreiska ekvationen. Det finns en ett-till-ett korrespondens mellan rätvinkliga trianglar med kateter x och y och hypotenusa av längd z och tripplar av positiva tal (x, y, z) som uppfyller den pythagoreiska ekvationen. En trippel som uppfyller Pythagoras sats och där x, y och z är positiva heltal, kallas en pythagoreisk trippel. Exempelvis är tripplarna (3, 4, 5) och 5, 12, 13 pythagoreiska tripplar. Observera att om (x, y, z) är en pythagoreisk trippel och d är ett positivt heltal så är dx, dy, dz också en sådan trippel. Dock är dx, dy, dz egentligen inte en ny trippel eftersom motsvarande triangel är likformig med den rätvinkliga heltalstriangeln x, y, z. Vi kallar då dx, dy, dz en skalär multipel av x, y, z. 9 PRIMITIVA PYTHAGOREISKA TRIPPLAR DEFINITION En pythagoreisk trippel x, y, z kallas primitiv om x, y och z är relativt prima, d.v.s. SGD x, y, z = 1. Vi säger då att x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel. EXEMPEL (3, 4, 5) är en primitiv pythagoreisk trippel, medan (27, 120, 123) inte är det, ty SGD 27, 120 = 3. Säg att vi har en pythagoreisk trippel x, y, z och dess korresponderande rätvinkliga heltalstriangel T med kateter av längd x och y och hypotenusa av längd z. Anta att det positiva heltalet d delar både x och y. Då är x = dx! och y = dy! och z! = dx!! + dy!! = d! x!! + y!!. Vi ser då att d! delar z!, alltså gäller också att d delar z. Vi sätter z = dz!! och stoppar in i ekvationen ovan och dividerar med d! och får då z!! = x!! + y!!. Alltså är (x!, y!, y! ) också en pythagoreisk trippel vilken korresponderar mot triangel T! som är likformig med triangel T. Mer specifikt är area T = d! area(t! ), alltså area T > area T!, om d > 1. Redogörelsen ovan ska visa att om d delar något par av x, y, z så delar d även den tredje. Det betyder också att omvändningen gäller, d.v.s. om x, y, z är en pythagoreisk trippel och något par av x, y, z är relativt prima, så är alla par relativt prima och x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel. 9 Sally och Sally, s. 63. 8

Vi söker en formel som genererar alla primitiva pythagoreiska tripplar. För att hitta den behöver vi klargöra några villkor som den pythagoreiska ekvationen måste uppfylla. SATS 5 Om x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel så är en av x och y jämn och den andra är udda. Detta kallar vi att x och y är av olika paritet. BEVIS För att visa att x och y är av olika paritet antar vi att x och y båda är udda, så att x = 2m + 1 och y = 2n + 1 där m och n är positiva heltal. Då är x! y! 1 modulo 4, så z! = x! + y! 2 modulo 4. Heltalen som representeras i modulo 4 är 0, 1, 2 och 3 och mängden av kvadrater av dessa element utgörs av {0,1}. Därav är z! 2 modulo 4 omöjligt, alltså kan inte både x och y vara udda. Om både x och y är jämna är trippeln inte primitiv eftersom SGD x, y = 2 1, vilket ger en motsägelse. Alltså är en av x och y udda och en är jämn. Om y är jämn och x är udda är z udda. Vi vet att exakt en av x och y är jämn, vilket leder till att z och den av x och y som inte är jämn är udda. Vi väljer y som jämn, vilket då leder till att x och z är udda. HJÄLPSATS 5.1 Om de positiva heltalen a och b är relativt prima och ab = c!, där också c är ett positivt heltal, så finns positiva heltal r och s som är relativt prima så att a = r! och b = s!. Nästa sats karakteriserar alla primitiva pythagoreiska tripplar med y jämn. Satsen gör det också tydligt att det finns oändligt många primitiva pythagoreiska tripplar. 10 SATS 6 Trippeln x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel med y jämn om och endast om det existerar positiva heltal m och n där m > n, där m och n är relativt prima och av olika paritet, samt uppfyller x = m! n!, y = 2mn, z = m! + n!. (1) BEVIS Vi antar först att x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel och bevisar att det finns m och n som uppfyller (1). Då y! = z! x! följer det att y! = z + x z x. Både z och x är udda vilket innebär att både (z + x) och (z x) är jämna och positiva. 10 Sally och Sally, s. 66-67. 9

Alltså existerar det positiva heltal r och s så att z + x = 2r och z x = 2s. Dessa två ekvationer adderat med varandra ger oss z + x + z x = 2r + 2s 2z = 2r + 2s z = r + s. Dessa två ekvationer subtraherat med varandra ger oss z + x z x = 2r 2s 2x = 2r 2s x = r s. De positiva heltalen r och s kan inte ha någon gemensam faktor d > 1, eftersom det motsäger det faktum att x och y är relativt prima. Eftersom y är jämn, är y = 2t för något positivt heltal t. Då är y! = 4t!. Men y! = z + x z x = 4rs, så t! = rs. Då r och s är relativt prima följer det av hjälpsats 5.1 att det existerar positiva heltal m och n sådana att r = m! och s = n!. Vi har då olikheten m > n och ekvationerna x = r s = m! n! och z = r + s = m! + n!. Dessutom har vi y! = 4rs = 4m! n! vilket leder till att y = 2mn. Lägg märke till att både m och n inte kan vara udda eftersom det skulle innebära att x, y och z skulle vara jämna. Detta bevisar att det existerar positiva heltal m och n som är relativt prima, med m > n där m och n är av olika paritet och uppfyller (1). Låt m och n vara relativt prima positiva heltal av olika paritet och där m > n. Anta att x, y och z är definierade enligt (1). Då är x! + y! = = m! n!! + 2mn! = = m! 2m! n! + n! + 4m! n! = = m! + 2m! n! + n! = = m! + n!! = z!, vilket innebär att x, y, z är en pythagoreisk trippel. Då återstår det att visa att den är primitiv. Vi vet från definition att y är jämn och då följer att x och z är udda. För att visa att (x, y, z) är en primitiv pythagoreisk trippel är det tillräckligt att visa att x och z är relativt prima. Om ett primtal p delar både x och y så är p även en delare till z + x = 2m! och z x = 2n!. Men p > 2 vilket motsäger det faktum att m och n är relativt prima. Därför är (x, y, z) en primitiv pythagoreisk trippel. 10

Tabellen nedan visar några primitiva pythagoreiska tripplar, samt deras area som kommer bli intressant i senare avsnitt. I tabellen genererar vi tripplar genom att låta m gå från 2 till 5. 11 m n x, y, z area 2 1 3, 4, 5 6 3 2 5, 12, 13 30 4 1 (15, 8, 17) 60 4 3 (7, 24, 25) 84 5 2 21, 20, 29 210 5 4 9, 40, 41 180 Tabell 1: Tabell över några primitiva pythagoreiska tripplar FÖLJDSATS 6.1 Alla pythagoreiska tripplar fås av x = λ m! n!, y = λ 2mn, z = λ m! + n! där λ är ett positivt heltal och m och n uppfyller kraven i sats 6. RÄTVINKLIGA RATIONELLA TRIANGLAR Nu ska vi vidga våra vyer och inkludera trianglar vars sidor utgörs av längder givna av rationella tal, d.v.s. rätvinkliga rationella trianglar. Vi har tidigare fördjupat oss i rätvinkliga heltalstrianglar och heltalslösningar av den pythagoreiska ekvationen och vill nu utöka vår förståelse för rätvinkliga trianglar. Därför ska vi titta närmre på sambandet mellan pythagoreiska tripplar och rationella punkter på enhetscirkeln. Detta studerades redan i det antika Grekland av bland annat Pythagoras, Euklides och Diophantus. 12 SATS 7 Det finns en ett-till-ett korrespondens mellan rationella punkter på enhetscirkeln i den första kvadranten av xy-planet (axlarna ej inkluderade) och primitiva rätvinkliga trianglar. BEVIS Vi utgår från någon rationell punkt på enhetscirkeln. Det är lätt att se att det finns exakt fyra heltalspunkter, nämligen ±1, 0 och (0, ±1), vilka ju alla även är rationella punkter. Vi väljer ( 1, 0) och drar en linje y = t(x + 1) genom punkten, t rationellt. Denna linje skär cirkeln i exakt en punkt till, och denna punkts koordinater vill vi ta reda på. För att göra det löser vi ekvationssystemet x! + y! = 1 y = t(x + 1). 11 Sally och Sally, s. 67. 12 Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, s.1. 11

Figur 4: Rationella punkter på enhetscirkeln Vi vet att en lösning är x = 1. Den andra får vi ut genom x! + t x + 1! = x! + t! x + 1! = 1 x! 1 + t! x + 1! = 0 x + 1 x 1 + t! x + 1! = 0. Vi kan nu dividera båda sidorna med faktorn x + 1 och får x 1 + t! x + 1 = 0 x 1 + t! + t! 1 = 0 x = 1 t! 1 + t!. Om vi använder andra ekvationen i ekvationssystemet får vi att y = 2t 1 + t!. Vi ser att om t är rationellt är både x och y rationella. Det omvända gäller också, om x och y är rationella så är t rationellt. Vi kan konstatera att varje rationellt tal t korresponderar med exakt en punkt på enhetscirkeln, nämligen x, y = 1 t! 1 + t!, 2t 1 + t!. För att bevara karaktären av en pythagoreisk trippel låter vi 0 < t < 1 och sätter t =!, där m > n och m och n är relativt prima positiva heltal av olika paritet. Vi får! 12

x = m! n! m! + n!, y = 2mn m! n!. Detta ger rationella punkter i den första kvadranten och korresponderar mot de primitiva pythagoreiska tripplarna m! n!, 2mn, m! + n!. 13 EXEMPEL Sambandet mellan rationella punkter på enhetscirkeln och pythagoreiska tripplar blir extra tydligt om vi låter t =! vilket ger koordinaterna x, y =! (!,! ). Vi får då!! 3 5! + 4 5! = 1 vilket efter multiplikation med 5! i båda led ger den pythagoreiska trippeln (3, 4, 5). Tabell 2 visar andra rationella tal som korresponderar med punkter på enhetscirkeln. t x y 1/3 4/5 3/5 2/5 21/29 20/29 7/9 16/65 63/65 Tabell 2: Rationella punkter på enhetscirkeln Det finns många frågor inom talteori och geometri som handlar om just rationella punkter på olika kurvor. Detta hänger samman med rätvinkliga rationella trianglar och vissa av dessa trianglars areor. 13 Sally och Sally, s. 86-87. 13

KONGRUENTA TAL DEFINITION Ett positivt heltal n kallas kongruent om det finns en rätvinklig rationell triangel med sidorna a, b och c positiva sådana att a! + b! = c! och!!! = n. Med andra ord är talet n kongruent om arean av en rätvinklig triangel, vars sidor är rationella, är ett positivt heltal. EXEMPEL En triangel med sidorna (3, 4, 5) är en pythagoreisk trippel och uppfyller alltså a! + b! = c!. Triangelns area är!!! = 6 vilket är kongruent, ty 6 Z!. Figur 5: Pythagoreisk trippel med area 6. EXEMPEL Detsamma gäller triangeln med sidorna (!!,!" är!"!!!!,!"!! = 5. Alltså är även talet 5 ett kongruent tal. ) eftersom arean av denna triangel Figur 6: Rationell trippel med area 5. 14

När vi talar om kongruenta tal tar vi hänsyn till både rätvinkliga rationella trianglar och rätvinkliga heltalstrianglar. Antag att vi har en rätvinklig rationell triangel a, b, c vars area är ett kongruent tal n. Då kan vi multiplicera sidorna med s som är den minsta gemensamma multipeln av nämnarna i a och b och få ett nytt kongruent tal s! n. Därmed kan vi alltså gå från en rätvinklig triangel med rationella sidor till en rätvinklig triangel med heltalssidor och ett nytt kongruent tal som är delbart med en kvadrat. Omvänt, från en given rätvinklig heltalstriangel med en area s! n! som är ett kongruent tal, kan vi bilda en rätvinklig rationell triangel och det kongruenta talet n! genom att dividera med s. För att klassificera kongruenta tal är det därför tillräckligt att studera kvadratfria positiva heltal. SATS 8 Låt n vara ett kvadratfritt positivt heltal. Om (x, y, z) är en rätvinklig rationell triangel med area n och om s är den minsta gemensamma multipeln av nämnaren i (x, y, z) så är (sx, sy, sz) en primitiv rätvinklig triangel med area s! n. BEVIS Det är tydligt att sx, sy, sz är en pythagoreisk trippel och att arean av den korresponderande triangeln är s! n. Vi ska nu visa att den är primitiv. Antag att a är ett positivt heltal som delar sx och sy. Då delar a också sz och (!",!",!" ) är en pythagoreisk trippel.!!! Arean av den korresponderande triangeln är!!!!!. Så a! måste dela s! n. Eftersom n är ett kvadratfritt tal så måste a! dela s! och då måste a dela s. Då är s = as!, och s! x, s! y och s z är positiva heltalet. Då är s en gemensam multipel till nämnaren i x, y, och z och eftersom s är den minsta måste s = s, alltså måste a = 1. Med andra ord, om n är ett kvadratfritt positivt heltal så är n ett kongruent tal om och endast om det finns ett positivt heltal s så att s! n är arean av en primitiv rätvinklig triangel. Se några exempel i tabell 3. (a, b, c) area = s 2 n Kvadratfritt kongruent tal (4, 15/2, 17/2) 15 15 (7/2, 12, 25/2) 21 21 (15, 8, 17) 60 15 (45, 28, 53) 630 70 (9, 40, 41) 180 5 (63, 16, 65) 504 14 Tabell 3: Kvadratfria kongruenta tal 15

Följande sats kan hjälpa oss att hitta fler kongruenta tal. SATS 9 Antag att a och b är relativt prima positiva heltal av olika paritet där a > b. När tre av talen a, b, a + b och a b är kvadrater är den fjärde lika med s! n där n är ett kongruent tal och s är ett heltal. BEVIS När a och b är relativt prima positiva heltal av olika paritet där a > b följer att a! b!, 2ab, a! + b! är en primitiv pythagoreisk trippel. Trippelns korresponderande rätvinkliga triangel har area a! b! ab = a + b a b ab. Av de fyra möjliga fallen, kommer vi titta på fallet då a, b och a + b är kvadrater. När a, b och a + b är kvadrater följer att a + b ab också är en kvadrat. Då är m = a + b ab ett positivt heltal och arean av den korresponderande triangeln till den pythagoreiska trippeln a! b!, 2ab, a! + b! är m! (a b). Detta betyder att a b är arean av en rätvinklig rationell triangel med sidor av längd a! b! /m och 2ab/m. Låt nu s vara den minsta multipeln i nämnaren m. Då följer att a b = s! n där n är ett kongruent tal. Hur kan detta hjälpa oss att finna kongruenta tal? Låt säga att x, y, z är en primitiv pythagoreisk trippel. Då är x och y relativt prima heltal av olika paritet. Det betyder att x! och y! också är relativt prima heltal av olika paritet och även att x!, y! och x! + y! = z! är kvadrater. Med hjälp av sats 9 kan vi se att om x! > y! så är x! y! = s! n och om x! < y! så är y! x! = s! n där n är ett kongruent tal. 14 EXEMPEL Vi börjar med den pythagoreiska trippeln x, y, z = (3, 4, 5). Vi kan då hitta ett kongruent tal med hjälp av processen ovan. Vi har x! = 9, y! = 16, x! + y! = 25, y! x! = 7. Detta betyder att 7 är ett kongruent tal, eftersom det är kvadratfritt. Liknande gäller för trippeln x, y, z = (5, 12, 13) då vi har x! = 25, y! = 144, x! + y! = 169, y! x! = 119. Vi drar då slutsatsen att 119 också är ett kongruent tal, eftersom det inte är en kvadrat. ICKE-KONGRUENTA TAL Jag har hittills redogjort för några tal som är kongruenta. I detta avsnitt kommer det bevisas att några tal inte är kongruenta. Exempelvis är 1, 2 och 3 inte kongruenta tal. Fibonacci konstaterade redan på 1200-talet att talet 1 inte är ett kongruent tal. Det första accepterade beviset bidrog dock Fermat med på 1600-talet. Han visade också att talen 2 och 3 inte är kongruenta tal. 15 14 Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications, s. 563. 15 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 3. 16

Jag kommer visa att talet 1 inte är kongruent genom att visa att arean av en rationell rätvinklig triangel inte kan vara ett kvadrattal. SATS 10 Arean av en rätvinklig rationell triangel är inte en kvadrat. BEVIS Anta att satsen är falsk, d.v.s. att det finns en mängd S av primitiva rätvinkliga trianglar vars area är ett kvadrattal och som ej är tom. Eftersom längden av hypotenusan av ett element i S är kvadratroten ur ett positivt heltal, finns minst en triangel T S med hypotenusa av kortaste längd. Låt (a! b!, 2ab, a! + b! ) vara den korresponderande pythagoreiska trippeln där a och b är positiva heltal, av olika paritet, relativt prima och a > b. Triangeln T har area A = ab a + b a b och vi använder det faktum att A är en kvadrat för att konstruera ett annat element av S som har en kortare hypotenusa. Då A är en kvadrat, och faktorerna a, b, a + b och a b är parvis relativt prima, följer att var och en av faktorerna måste vara kvadrater. Vi skriver: a = x!, b = y!, a + b = u! och a b = v! där u och v är relativt prima udda heltal. Notera att a =!!!!! och att längden av hypotenusan av T är x! + y!. Vi har 2y! = u! v! = u + v u v, där u + v och u v är jämna. Eftersom SGD u, v = 1 och SGD u + v, u v = 2, följer det att en av dem har formen 2r! och den andra har formen t!, där SGD r, t = 1. Ytterligare, eftersom u + v + u v = 2u = 2r! + t!, existerar ett positivt heltal s så att t! = 4s! och u = r! + 2s!. Likaså följer att v = ± r! 2s!, och y = 2rs. Slutligen, från a =!!!!! = r! + 4s!, kan vi utläsa att r!, 2s!, x är en primitiv! rätvinklig triangel med area lik kvadraten rs! och med hypotenusa av längden x. Eftersom x < x! + y!, vilken är längden av hypotenusan av T leder detta till en motsägelse. FÖLJDSATS 10.1 Talet 1 är inte ett kongruent tal.! Att talet 2 inte är kongruent bevisas på likande sätt. SATS 11 Arean av en rätvinklig rationell triangel är inte en dubbel kvadrat. BEVIS Vi går tillväga på samma sätt som i beviset för att talet 1 inte är kongruent. Vi antar att satsen är falsk, vilket då innebär att vi antar att det finns en triangel T vars area är en dubbel kvadrat och att T har hypotenusan av kortaste längd bland alla sådana trianglar. 17

Låt a! b!, 2ab, a! + b! vara den korresponderande primitiva pythagoreiska trippeln med a och b relativt prima positiva heltal av olika paritet och a > b. Triangeln T har då area A = ab(a + b)(a b), där a + b och a b är udda. Eftersom A är en dubbel kvadrat kan vi skriva a + b = u! och a b = v!, där antingen a = x! och b = 2y! eller a = 2x! och b = y!, och u och v är relativt prima udda heltal. Men 2a = u! + v!, så a måste vara udda. Annars skulle vi ha 0 2 modulo 4. Då följer att a = x!, b = 2y!, a + b = u!, a b = v!. Från 2b = 4y! = u! v! = (u + v)(u v) följer det att SGD u + v, u v = 2 och vardera av dessa är en dubbel kvadrat, d.v.s. u + v = 2r! och u v = 2s! där r och s är relativt prima positiva heltal. Vi får då u = r! + s!, v = r! s! och x! = u! + v! 2 = r! + s!. Således är r!, s!, x en primitiv pythagoreisk trippel och en av r och s är jämn. Arean av denna triangel är!!!! = 2!"!!!, vilket är en dubbel kvadrat. Men x = a < a! + b! vilket betyder att det finns en triangel vars hypotenusa är mindre än hypotenusan av T. Detta leder till en motsägelse. FÖLJDSATS 11.1 2 är inte ett kongruent tal. Inte heller talet 3 är ett kongruent tal, dock är detta bevis något mer invecklat och kommer därför inte behandlas i denna uppsats. 16 Att talet 4 inte är kongruent kan vi konstatera eftersom 4 = 2!, vilket är en kvadrat och vi vet nu att ingen kvadrat är ett kongruent tal. DET MINSTA OCH STÖRSTA KONGRUENTA TALEN Vi kan nu efter redogörelsen ovan utläsa att talet 5 måste vara det minsta kongruenta talet (se figur 6) eftersom varken talen 1, 2, 3 eller 4 är kongruenta tal. Vi vet också att det finns oändligt många kongruenta tal. Med hänvisning till tabell 1 ser vi att genom att välja olika värden på m, n N får vi area =!! n!, vilket alltid blir ett kongruent tal. 17 2mn m! 16 Vid intresse se Sally och Sally s. 99. 17 Brown, Congruent Numbers and Elliptic Curves, s. 2. 18

PROBLEMET OM DE KONGRUENTA TALEN Vi vet nu vad ett kongruent tal är och hur vi kan generera kongruenta tal genom att välja olika värden på m och n för en pythagoreisk trippel x, y, z där x = m! n!, y = 2mn, z = m! + n! och bestämma dess area. Problemet är som vi sett alltså inte att producera en mängd kongruenta tal, utan att givet ett tal avgöra om det är kongruent eller inte. Med andra ord, det vi saknar är en metod för att avgöra om ett visst positivt heltal är ett kongruent tal. Problemet om de kongruenta talen innebär att hitta en beskrivning av alla kongruenta tal. 18 Det har hittills inte hittats någon allmän metod för att ta reda på om ett positivt heltal är kongruent eller inte. 19 Det har dock arbetats mycket med detta problem och några framsteg har gjorts, vilket tas upp i avsnitten nedan. Som vi har sett kan vi på enkla sätt hitta kongruenta tal, men om vi inte kan hitta en rätvinklig rationell triangel vars area är ett positivt heltal behöver det inte betyda att heltalet inte är kongruent, utan att vi helt enkelt har letat för dåligt. Exempelvis är talet 157 kongruent, men dess sidor är inte de lättaste att hitta, se figur 7. Figur 7: Den enklaste rätvinkliga rationella triangeln med area 157. HISTORISK BAKGRUND I arabiska manuskript från 972 har man hittat det vi idag kallar kongruenta tal. Man kan dock tänka sig att araberna lyckades härleda problemet om kongruenta tal från hinduer som var tidigt insatta i en obestämd analys av Diophantus. Han verkade på 200-talet och var redan på sin tid inne på teorin om rätvinkliga rationella trianglar. 20 18 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 1. 19 Sally och Sally, s. 47. 20 Dickson, The History of Theory of Numbers, s. 459. 19

Kongruenta tal har alltså ingenting med kongruens och moduloräkning att göra, även om det finns några fall där tal som uppfyller kongruensrelationer är kongruenta tal. 21 Detta är i själva verket en ganska ny upptäckt och ett av de senare årens framsteg, vilket redogörs för längre fram i texten. Ordet kongruent kommer från ordet congruum som kommer från latinets congruere som betyder samlas. En congruum är skillnaden mellan tre på varandra följande kvadrattal. Om p!, q! och s! är tre tal i en aritmetisk talföljd, kallas avståndet dem emellan congruum, d.v.s. s! q! = q! p! = congruum. Ordet dök för första gången upp i Fiboniaccis verk Liber Quadratorum (1225), där han kallade ett heltal n för congruum om det fanns ett heltal x sådant att x! ± n båda var ett kvadrattal. Detta betyder just att x! n, x!, x! + n är en aritmetisk talföljd av tre heltalstermer som alla är kvadrater. 22 FÖRHÅLLANDET TILL ARITMETISKA TALFÖLJDER De tre kvadraterna 1, 25 och 49 bildar en aritmetisk talföljd med gemensam differens 24. Talet 24 är alltså en så kallad congruum. Den kvadratfria delen av 24 är 6, ty 2! 6 = 24. Detta har ett samband med att 6 är ett kongruent tal, vilket förklaras av följande sats. 23 SATS 12 Låt n > 0. Det finns en ett-till-ett korrespondens mellan rätvinkliga trianglar med area n och aritmetiska talföljder av tre kvadratiska termer med en gemensam differens n. Uppsättningarna a, b, c : a! + b! = c!, (ab)/2 = n och r, s, t : s! r! = n, t! s! = n är i ett-till-ett korrespondens med a, b, c b a 2, c b + a, 2 2 och r, s, t t r, t + r, 2s. EXEMPEL För n = 6 och användandet av den rätvinkliga triangeln 3, 4, 5 produceras enligt sats 12 r, s, t = (!,!,! ). De termvisa kvadraterna!!! (!,!" ) har då 6 som! gemensam differens.,!"!! 21 Sally och Sally, s. 90. 22 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 5 23 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 4. 20

En elliptisk kurva skrivs oftast på formen RELATION TILL ELLIPTISKA KURVOR y! = x! + a! x + a!, där a! k där k är en kropp, exempelvis de rationella talen. En elliptisk kurva är med andra ord mängden av punkterna x, y som löser en polynomekvation där y har grad 2 och x har grad 3. Grafen till en elliptisk kurva har i huvudsak två typer av utseende, där utseendet beror på om ekvationen har en eller tre reella rötter. 24 Figur 8: Elliptisk kurva med tre reella rötter. Figur 9: Elliptisk kurva med en reell rot. Vi har tidigare visat att egenskapen hos ett tal n att vara kongruent är ekvivalent med att det finns rationella tal (a, b, c) sådana att a! + b! = c! och!" = n. Det visar sig dock att de kongruenta talens egenskaper även ger upphov till rationella punkter på en elliptisk kurva, mer konkret på en kurva E! Q med ekvationen y! = x! n! x. 25 Denna ekvation har tre triviala lösningar 0,0, n, 0 och ( n, 0), vilka alla är lösningar till y = 0. Dessa är vi dock inte så intresserade av eftersom om dessa är de enda rationella lösningarna är n inte kongruent. Omvänt gäller att ett heltal n > 0 är kongruent om och endast om ekvationen y! = x! n! x har en lösning (x, y) för y 0. SATS 13 För n > 0 finns en ett-till-ett korrespondens eller bijektion mellan följande två mängder a, b, c : a! + b! = c!, (1/2)ab = n och x, y : y! = x! n! x, y 0.! 24 Wikipedia, Elliptisk kurva. 25 Koblitz, s. 6. 21

Bijektionen mellan mängderna ges av a, b, c nb c a, 2n! c a och x, y x! n!, 2nx y y, x! + n! y. Satsen bevisas genom vanligt matematiskt hantverk och överlåts till läsaren. Bijektionen bevarar positiviteten, d.v.s. om a, b och c är positiva så är c a c + a = b! > 0, alltså är c a positivt och likaså x =!"!!! och y =. Omvänt gäller!!!!!! även att om x och y är positiva så ser vi från y! = x! n! x = x(x! n! ) att x! n! > 0, och därmed är a, b och c alla positiva. Det betyder också att för n > 0 så är (a, b, c) rationella om och endast om (x, y) är rationella och omvänt. Alla lösningar till a! + b! = c! och!" = n kräver då att både a och b är positiva, vilket! innebär att a, b och c alla är positiva om det finns någon rationell lösning alls. 26 Det vi nu ska göra, i följande två exempel, är att utifrån en lösning konstruera oändligt många rationella punkter på en elliptisk kurva. EXEMPEL Arean av den rätvinkliga triangeln 3, 4, 5 är n = 6 och vi har då ekvationen y! = x! 36x, vilken har en rationell lösning för y 0. Den korresponderande lösningen för 3, 4, 5 är x, y = (12, 36). Se figuren nedan. Figur 10: Rationell punkt på elliptisk kurva. 26 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 6. 22

EXEMPEL I exemplet ovan såg vi att den rätvinkliga triangeln 3, 4, 5 korresponderar med punkten 12, 36 på kurvan y! = x! 36x. Det är dock inte den enda rationella punkten på den elliptiska kurvan. Tangenten till kurvan i punkten 12, 36 har ekvationen y = 11 2 x 30. Denna tangent skär i kurvan i en andra punkt, nämligen 25 4, 35 8. Denna punkt korresponderar med den rätvinkliga rationella triangeln 7 10, 120 7, 1201 70. Figur 11: Tangent till punkt på elliptisk kurva Om vi repeterar samma process från denna punkt får vi tangentekvationen y = 1299 4 x 6005 112. 23

Denna tangent skär i sin tur i en ny punkt 1442401 19600, 1726556399 2744000 Punkten korresponderar med den rätvinkliga rationella triangeln 1437599 168140, 2017680 1437599, 2094350404801 241717895860. Detta betyder att vi har tre rationella trianglar med area 6 och vi kan då hitta tre aritmetiska talföljder med gemensam differens 6, enligt korrespondensen i sats 12. 27 Anmärkningsvärt med denna metod är att den visar att om kurvan y! = x! n! x har någon rationell lösning, så finns oändligt många rätvinkliga rationella trianglar med area n. 28 Det vi i själva verket gör i exemplen ovan är att addera en punkt med sig själv för att få ut ytterligare en punkt som också är rationell. Närmare bestämt är addition på en elliptisk kurva definierad enligt figur 12 nedan. Om vi har två givna punkter P! och P! på en elliptisk kurva så skär den linje som går genom dessa två punkter i en tredje punkt P!. Spegelbilden av P! med avseende på x-axeln visar addition av två punkter, då P! = P! + P!. Vi säger nu att P! = P! vilket betyder att vi har en linje som tangerar kurvan i P!. Tangenten skär då den elliptiska kurvan i en andra punkt och spegelbilden av denna med avseende på x-axeln är då P! + P! = 2P!.. Figur 12: Additionslagen för elliptiska kurvor. 27 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 10. 28 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 12. 24

Om de givna punkterna P! och P! är rationella har alltså även den nya punkten rationella koordinater, E! Q är med andra ord sluten under addition. Det följer i själva verket av definitionen av addition att E! Q är en kommutativ, eller abelsk, grupp. 29 Man kan visa att gruppen består av två delar, där mängden av element av ändlig ordning, d.v.s. att om man adderar en punkt med sig själv ett ändligt antal gånger kommer man till slut till det neutrala elementet, bildar en delgrupp som vi kallar torsionsdelgrupp. Den andra delen består av elementen av oändlig ordning och karaktäriseras av sin rang. Att rangen är större än 0 är ekvivalent med att det finns punkter på den elliptiska kurvan av oändlig ordning. 30 Om vi nu återgår till de speciella kurvorna på formen y! = x! n! x kan vi säga mer. Dessa kurvor har som man ser av faktoriseringen y! = x x n (x + n) formen i figur 8. Man kan visa att torsionsdelen består av precis punkterna 0, n, 0, 0, 0, n (och oändligheten). Det följer då att följande påståenden är ekvivalenta: Rangen av E! Q är större än 0, Det finns rationella punkter på kurvan y! = x! n! x med y 0, Talet n är kongruent. TUNNELLS SATS Trots att det ovanstående är slående resultat är det inget som löser de kongruenta talens problem. Å andra sidan kan man säga att betydelsen av att tänka på kongruenta tal i form av y! = x! n! x går bortom det faktum att vi kan konstruera nya rätvinkliga rationella trianglar med area n. Det var faktiskt denna synvinkel som ledde till en preliminär lösning av problemet av de kongruenta talen. Jerrold B. Tunnell lyckades 1983 ta fram ett partiellt bevis för problemet och med hjälp av Birch-Swinnerton-Dyers förmodan även en fullständig lösning. 31 BIRCH-SWINNERTON-DYERS FÖRMODAN Taylorutvecklingen av L(E!, s) då s = 1 har formen L E!, s = c s 1! + termer av högre grad med c 0. Detta innebär att det finns oändligt många rationella punkter på en elliptisk kurva E! om och endast om L E!, 1 = 0. 32 Tunnells bedrift var att finna relationen mellan Birch-Swinnerton-Dyer förmodan och kongruenta tal. Hans sats ger en ovillkorlig metod för att bevisa att ett kvadratfritt positivt heltal n inte är kongruent och satsen ger en villkorlig metod, beroende av om Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är sann, för att bevisa om ett tal n är kongruent. 33 29 Sally och Sally, s. 110-111. 30 Ash och Gross, Elliptic Tales: Curves, Counting and Number Theory, s. 153. 31 Koblitz, s. 1-2. 32 Wiles, The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, s. 2. 33 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 12. 25

TUNNELLS SATS 34 Låt n vara ett kvadratfritt positivt heltal och betrakta villkoren 1 n är kongruent (2) antalet heltalstripplar som uppfyller 2x! + y! + 8z! = n är lika med dubbla antalet tripplar som uppfyller 2x! + y! + 32z! = n, 3 antalet heltalstripplar som uppfyller 8x! + 2y! + 16z! = n är lika med dubbla antalet tripplar som uppfyller 8x! + 2y! + 64z! = n. Om n är udda följer att 1 medför (2) och om Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är sann så gäller även att (2) medför (1), Om n är jämn följer att 1 medför (3) och om Birch-Swinnerton-Dyers förmodan är sann så gäller även att (3) medför (1). EXEMPEL Vi tittar på n = 3 som är udda och använder Tunnells sats för att ta reda på om det är ett kongruent tal. Vi ska då finna antalet heltalstripplar x, y, z sådana att # x, y, z : 2x! + y! + 8z! = 3 = 2# x, y, z : 2x! + y! + 32z! = 3. Om vi tittar på vänsterledet ser vi att den enda lösningen för z är z = 0 ty för z > 0 är z! > 0, så 8z! > 8 > 3. Vi kan då hitta 4 lösningar, nämligen 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0 och 1, 1, 0. Tittar vi på högerledet ser vi att samma fyra lösningar för ekvationen fungerar, vilket innebär att lösningarna för högerledet är desamma som för vänsterledet. Men 4 2 4, vilket innebär att n = 3 ej är kongruent. EXEMPEL Nu tittar vi istället på n = 5 som vi ju vet är det minsta kongruenta talet. Det är också udda och enligt Tunnells sats ska det då finnas lösningar till (2). # x, y, z : 2x! + y! + 8z! = 5 = 2# x, y, z : 2x! + y! + 32z! = 5. Den enda lösningen till både vänster- och högerledet är x, y, z = (0, 0, 0) och vi ser då att 0 = 2 0. Alltså är 5 ett kongruent tal! 34 Koblitz, s. 221. 26

EXEMPEL Låt oss nu titta på ett jämnt tal, låt säga n = 210. Vi ska då finna antalet heltalstripplar x, y, z sådana att # x, y, z : 8x! + 2y! + 16z! = 210 = 2# x, y, z : 8x! + 2y! + 64z! = 210, vilket genom en division med 2 ger oss # x, y, z : 4x! + y! + 8z! = 105 = 2# x, y, z : 4x! + y! + 32z! = 210. Till vänsterledet kan vi då finna lösningen x = ±4, y = ±3, z = ±2 vilket ger 2! = 8 kombinationer av lösningar. x = ±2, y = ±9, z = ±1 löser också ekvationen och även den har 8 kombinationer. Antalet heltalstripplar som löser vänsterledet är alltså 16 stycken. Om vi tittar på högerledet kan vi finna lösningen x = ±4, y = ±3, z = ±1 som kan kombineras på 8 sätt. Detta tycks vara den enda lösningen för högerledet och vi kan på så sätt se att 16 = 2 8 och att 210 är alltså ett kongruent tal! 27

AVSLUTNING Vi har nu gått från att redogöra för rätvinkliga rationella trianglars egenskaper till att definiera kongruenta tal. Vi känner numera även till problemet om de kongruenta talen och vilka steg som tagits som försök att närma sig en lösning på problemet. Vi kan bland annat konstatera att följande egenskaper för ett positivt rationellt tal n är ekvivalenta: Det finns en rätvinklig rationell triangel med area n, Det finns en aritmetisk talföljd av tre termer av rationella kvadrater med gemensam differens n, Det finns en rationell lösning till y! = x! n! x med y 0. 35 Trots att vi idag vet mycket om kongruenta tal och deras samband med andra matematiska skeenden är problemet om kongruenta tal än idag olöst. Det finns ingen fullständig metod för att avgöra om ett tal är kongruent eller inte. Tunnell är en god bit på väg, men eftersom hans bevis bygger på en icke-bevisad förmodan, godtas det inte som en slutgiltig lösning. Förutom Tunnell sker även andra framsteg. Till exempel nämnde jag tidigare i texten att det finns vissa samband mellan kongruenta tal och kongruens och detta är en av de senare upptäckterna. För de kvadratfria talen mindre än tio är 5, 6 och 7 kongruenta tal. Det är visat, dock grundat på förmodan utan bevis, att ett kvadratfritt tal n som är kongruent till 5, 6 eller 7 modulo 8 är kongruenta tal. Monsky bevisade 1990 att för ett primtal p, om p är kongruent med 5 eller 7 modulo 8, så är 2p ett kongruent tal, och om p är kongruent med 3 modulo 8, så är 2p ett kongruent tal. Ytterligare framsteg gjordes 2006 av Chahal som bevisade att varje restklass, med en kvadratfri representant, modulo 8 innefattar oändligt många kongruenta tal. 36 Med det sagt avslutas denna uppsats, olöst problem till trots, men med hopp om en utökad förståelse och intresse för detta vackra och fascinerande problem. 35 Conrad, The Congruent Number Problem, s. 8. 36 Chahal, J. Congruent Numbers and Elliptic Curves. 28

KÄLLFÖRTECKNING TRYCKTA KÄLLOR Ash, Avner och Gross, Robert. 2012. Elliptic Tales: Curves, Counting, and Number Theory. Princeton University Press. Chahal, Jasbir S. 2006. Congruent numbers and elliptic curves. The American Mathematical Monthly 113.4: s. 308-317. Dickson, Leonard Eugene. 1920. History of Theory of Numbers. Vol 2. Washington: Carnegie Institution of Washington. Koblitz, Neal. 1993. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Vol 2. New York: Springer-Verlag. Rosen, Kenneth H. 2010. Elementary Number Theory and Its Applications. Upplaga 6. Boston: Pearson. Sally, Judith D. och Sally Jr., Paul J. 2007. Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. The Mathematical Society. Sjöberg, Boris. 1995. Från Euklides till Hilbert: historien om matematikens utveckling under tvåtusen år. Åbo: Åbo Akademins förlag. Thompson, Jan. 1996. Matematiken i historien. Lund: Studentlitteratur AB. ELEKTRONISKA KÄLLOR Brown, Jim. 2007. Congruent Numbers and Elliptic Curves. The Ohio State University. Tillgänglig: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.538.9723&rep=rep1&typ e=pdf Conrad, Keith. 2008. The Congruent Number Problem. The Harvard Collage Mathematics Review. Tillgänglig: http://www.math.rug.nl/~top/congnumber.pdf Conrad, Kieth. 2008. Pythagorean Triplets. University of Connecticut. Tillgänglig: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/pythagtriple.pdf Wikipedia. 2015. Elliptisk kurva. https://sv.wikipedia.org/wiki/elliptisk_kurva (Hämtad 2016-05-04) Wiles, Andrew. 2006. The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture. Tillgänglig: http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf 29