Burlins kavitetsteori

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Burlins kavitetsteori"

Transkript

1 Institutionen för medicin och vård Avdelninen för radiofysik Hälsouniversitetet Burlins kavitetsteori Gudrun Alm Carlsson Department of Medicine and Care Radio Physics Faculty of Health Sciences

2 Series: Report / Institutionen för radioloi, Universitetet i Linköpin; 38 ISSN: ISRN: LIU-RAD-R-38 Publishin year: 1979 The Author(s)

3 BURLINS KAVITETSTEORI Inlednin Burlins kavitetsteori behandlar relationen för en detektor (kavitet) bestrålad med fotoner inuti ett medium på en plats där elektronjämvikt råder i mediet. Vid yttre bestrålnin av mediet med fotonerna beränsas teorins användbarhet vad avser enerin till fotonenerier 1 MeV (6Co-γ-strålnin eller 2 MV röntenstrålnin). Burlins kavitetsteori är en enerell teori i den meninen att ina krav finns på detektorns dimensioner jämfört med sekundärelektronernas räckvidder. Detektorn måste dock vara "tunn" för fotonerna dvs inte e nåon nämnvärd attenuerin av de mot detektorn infallande fotonerna. I. Bakrund. Kavitetsteorier för två extremfall. För de båda extremfallen 1) detektorns dimensioner stora jämfört med sekundärelektronernas räckvidder och 2) detektorns dimensioner små jämfört med sekundärelektronernas räckvidder finns väletablerade teorier för relationen för det fall att elektronjämvikt råder i mediet på den plats där detektorn placeras. 1. Kavitetens (detektorns) dimensioner stora jämfört med sekundärelektronernas räckvidder Fi 1: Den absorberade dosen, D, inuti och runtomkrin en kavitet C inuti ett medium med atomnummer Z, bestrålat med fotoner. Kavitetens dimensioner är stora jämfört med sekundärelektronernas räckvidder men små jämfört med fotonernas fria medelväländer. På avstånd större än en maximal elektronräckvidd från ränsytan mellan kaviteten och mediet är den absorberade dosen i kaviteten =(DC)eq och i mediet =(DZ)eq. I områden av kaviteten och mediet, som nås av elektroner frijorda i såväl kaviteten som mediet erhålles en mer eller mindre krafti dosradient beroende på atomnummerskillnaden mellan C och Z och på fotonenerin. 1

4 Den absorberade dosfördelninen i fi 1 antyder att materialet i kaviteten har läre atomnummer än mediet med atomnumret Z. Diskontinuiteten i den absorberade dosfördelninen i ränsytan mellan kavitet och medium beror av skillnaden i masskollisionsstoppin-power för elektronerna i kavitetsmaterialet och mediet. En symmetrisk absorberad dosfördelnin som i fi 1 erhålles om antinen sekundärelektronerna emitteras isotropt eller om de infallande fotonerna har en isotrop riktninsfördelnin. På avstånd större än en maximal elektronräckvidd från ränsytan mellan kavitet och medium råder elektronjämvikt i såväl kavitet som medium. (DC)eq och (DZ)eq står för elektronjämviktsdosen i kavitetsmaterialet respektive elektronjämviktsdosen i mediet. Vid bestrålnin med monoeneretiska fotoner äller ( ) eq = µ en D C D Z ρ ( ) eq = µ en Z C ψ (1) ψ (2) där ψ = enerifluensen av fotonerna och (µen/ρ)=masseneriabsorptionskoefficienten (beroende av material och fotoneneri). På avstånd mindre än en maximal elektronräckvidd från ränsytan mellan kavitet och medium bidrar elektroner frijorda i såväl kavitet som medium till den absorberade dosen och inen elektronjämvikt råder. Dosradienter erhålles i dessa områden där elektronfluensen varierar från sitt jämviktsläe i mediet till sitt jämviktsläe i kaviteten. Om ränsskiktseffekterna är små, dvs om det område i kaviteten där den absorberade dosen avviker från elektronjämviktsdosen (D C )eq är relativt litet och dosradienten inte är alltför krafti så är den medelabsorberade dosen i kaviteten, D C, approximativt lika med elektronjämviktsdosen (D C )eq D C ( D C ) eq (3) Även om det område i kaviteten, som upptas av dosradienten är relativt litet behöver inte ränsskiktseffekten vara försumbar om nämlien radienten är mycket krafti. Om en,1 mm LiF-teflondetektor introduceras i en blykropp och bestrålas med 1 kvröntenstrålnin kan i ränsytan den absorberade dosen till LiF-teflon uppå till 5 r elektronjämviktsdosen i samma material och den medelabsorberade dosen i detektorn blir 2,5 åner större än denna elektronjämviktsdos. Gränsskiktseffektens inverkan på den medelabsorberade dosen kan reduceras enom att öka detektorns dimensioner. Om emellertid ränsskiktseffekten skall bli försumbar i detta fall måste detektorns dimensioner öras så stora att denna inte länre blir tunn jämfört med fotonernas fria medelväländer. För att uppnå relationen i ekv 3 ör man bäst i att ome detektorn med ett tunt skikt LiF-teflon (detektorekvivalent material) så att dosradienten faller utanför detektorns aktiva volym (den strålninsmätande volymen). I det aktuella fallet vore ett endast,2 mm LiF-teflonskikt tillräcklit för att hindra elektroner frijorda i bly att nå fram till detektorn. Fria medelväländen för en 5 kev foton är 24 mm i 2

5 LiF-teflon, dvs,1 mm LiF-teflon är,42 av fria medelväländen för en 5 kev foton. Då den medelabsorberade dosen i kaviteten (detektorn) es av ekv 3 erhålles för kvoten vid bestrålnin med monoeneretiska fotoner och med elektronjämvikt i mediet på detektorns plats µ en = µ en det med ψ = µ en ψ det µ / en med (4) 2. Kavitetens (detektorns) dimensioner små jämfört med sekundärelektronernas räckvidder Kaviteten enomströmmas av samma fluens av elektroner, som finns i det omivande mediet. Elektroner enererade av fotoner i kaviteten lämnar ett försumbart bidra till enerideponerinen i kaviteten. Kaviteten utör i detta fall en så kallad Bra-Gray kavitet. Fi 2: Den absorberade dosen, D, inuti och runtomkrin en kavitet C inuti ett medium med atomnummer Z, bestrålat med fotoner. Kavitetens dimensioner är små jämfört med sekundärelektronernas räckvidder. Kaviteten enomströmmas av samma fluens av elektroner som det omivande mediet där elektronjämviktsdosen är (DZ)eq. För en Bra-Gray kavitet er Spencer-Attix kavitetsteori det bästa sambandet mellan den i kaviteten medelabsorberade dosen D C och elektronjämviktsdosen i mediet (DZ)eq. I Spencer-Attix teorin erhålles för kvoten vid elektronjämvikt i mediet på detektorns plats D det / D med T 1 S = T, med ( T, T ) T Φ col,,det (5) 3

6 där Φ är elektronjämviktsfluensen i mediet av elektroner med enerin T, med ( T, T ) i intervallet T, T+ då i mediet en elektron med enerin T enereras per massenhet (om bromsstrålninsförlusterna är försumbara är elektronjämviktsdosen i mediet = T i S detta fall) och är den beränsade masskollisions-stoppin-power för col,,det detektormaterialet. Vid bestrålnin med monoeneretiska fotoner friörs inte monoeneretiska elektroner i mediet utan de frijorda sekundärelektronerna har ett helt spektrum av startenerier. Kvoten kan då, om bromsstrålninsförlusterna är försumbara, skrivas D där Tmax T ( T ) m, T T, med col,,det det / Dmed = Tmax (6) N m, T ( T N intervallet T, T+. T Φ N m, T ( T ( T S, T ) ) är antalet frijorda elektroner per massenhet med startenerin i II. Burlins enerella kavitetsteori för en kavitet utan särskilda krav på elektronernas räckvidd relativt kavitetens dimensioner Fi 3: Den absorberade dosen, D, inuti och runtomkrin en kavitet C inuti ett medium med atomnummer Z bestrålat med fotoner. Kavitetens dimensioner är jämförbara med elektronernas räckvidder. Till den absorberade dosen i kaviteten bidrar elektroner frijorda av fotonerna i såväl kaviteten soomivande mediet i vilket elektronjämviktsdosen är (DZ)eq. 4

7 Burlins enerella kavitetsteori är avsedd att älla för en kavitet utan särskilda krav på elektronernas räckvidder relativt kavitetens dimensioner. Eftersom det för ränsfallen "stor kavitet jämfört med elektronernas räckvidder" och "liten kavitet jämfört med elektronernas räckvidder" finns väletablerade teorier har Burlins kavitetsteori betydelse framförallt för fallet med en kavitet vars dimensioner är jämförbara med elektronernas räckvidder. Som komplement till fiurerna 1 och 2 visas i fi 3 en typisk fördelnin av den absorberade dosen inuti och runt omkrin en kavitet vars dimensioner är jämförbara med elektronernas räckvidder. I fi 1, 2 och 3 skall materialet i kaviteten, mediet och fotonerna, som bestrålar medium och kavitet tänkas vara identiska (kaviteten har i samtlia fall förutsatts e en obetydli attenuerin av fotonerna). I fi 1 förorsakas den absorberade dosen i kaviteten av enbart elektroner frijorda i kavitetsmaterialet (med undanta för skikten närmast ränsytan kavitet - medium). I fi 2 förorsakas den absorberade dosen i kaviteten av enbart elektroner friorda och nedbromsade i mediet. I fi 3 förorsakas den absorberade dosen i kaviteten av elektroner frijorda i såväl kavitetsmaterialet som i omkrinliande mediet. Den medelabsorberade dosen i kaviteten i fi 3 antar ett värde mellan den medelabsorberade dosen i kaviteten i fi 1 och den i fi 2. Burlin formulerar nu sin enerella kavitetsteori vid bestrålnin med monoeneretiska fotoner på följande sätt = d( ) S A + 1 d ( ) µ en det µ / en med (7) där ( ) S A står för kvoten i Spencer-Attix teorin, ekv (6), och µ en / ρ ( ) det / ( µ en / ρ) med utör kvoten för det fall att detektormaterialet i större delen av detektorn, ekv (4). Viktfaktorn d har eenskapen d 1 och är sådan att då kavitetens (detektorns) dimensioner år mot noll (mycket mindre än elektronernas räckvidder) så år d mot 1 och kvoten mot den som äller i Spencer-Attix teorin ( ) S A medan d år mot noll då kavitetens dimensioner år mot "oändliheten" (mycket större än elektronernas räckvidder) och kvoten i detta fall år mot (µen/ρ)-kvoten mellan detektormaterialet och mediet. Då kavitetens dimensioner är jämförbara med elektronernas räckvidder antar d ett värde mellan noll och ett och uttrycket för kvoten motsvarar att den medelabsorberade dosen i detektorn antar ett värde nåonstans mellan värdena för den medelabsorberade dosen i en "liten" Bra-Gray detektor och den i en "stor" elektronjämviktsenererande detektor. Burlins uttryck för beräknin av viktfaktorn d es av d = e βx dx dx (8) 5

8 där β är den "effektiva massabsorptionskoefficienten för elektronerna i spektret" och är medelspårländen för de elektroner, som passerar kaviteten. Anmärknin: Det uttryck Burlin själv ställer upp för kvoten är inte identiskt med det som tecknats ovan, ekv (7) (jfr t ex Burlin T E "Cavity-chamber theory" kap 8 ekv (31) sid 365 i Attix-Roesch-Tochilin Radiation dosimetry vol I (1968)). Reellt är dock uttrycken desamma. Burlins ekvation är anpassad till att kunna utnyttjas för numeriska beräkninar medan den som tecknats här, ekv (7), är anpassad till att e förståelse för de fysikaliska parametrar, som är relevanta i sammanhanet. Två principiella oriktiheter i Burlins uttryck skall här kommenteras. (a) Burlin talar inte om kvoten utan om mass-stoppin-power kvoten. I Spencer-Attix teorin är detta korrekt då detektor och medium enomkorsas av samma fluens av elektroner och kvoten erhålles som kvoten (lämplit viktad över enerispektret för elektronfluensen) mellan (den beränsade) mass-kollisions-stoppinpower för detektor och medium. Då detektorns storlek ökar varierar fluensen av elektroner över densamma och är inte i nåon punkt densamma som elektronjämviktsfluensen i mediet. Vad menas med mass-stoppin-power kvoten i detta fall? För vilken fluens av elektroner skall man tänka si att beräkna en viktad massstoppin-power kvot? (b) Det uttryck, som Burlin sätter in för kvoten ( ) S A är ett uttryck, som äller då i mediet startelektronerna tänkes ha en enda kinetisk eneri T. Vid fotonbestrålnin erhålles däremot alltid ett helt spektrum av startenerier på elektronerna (även då fotonerna är monoeneretiska). III. Viktfaktorn, d, i Burlins kavitetsteori Viktfaktorn d iven i ekv (8) ovan bestäms av "den effektiva massabsorptionskoefficienten β" och medelspårländen,, för de elektroner, som passerar enom kaviteten. A. Experimentell bakrund till val av värde på parametern β Fi 4: Den absorberade dosen, D, som funktion av avståndet x från en utsträckt plan strålkälla innehållande en β-strålande nuklid. 6

9 Bereppet den "effektiva massabsorptionskoefficienten" för elektroner är ur rundläande fysikalisk synpunkt ytterst otillfredsställande. Det används dock ofta och baserar si på följande experimentellt funna samband, fi 4. Den absorberade dosen i ett låatomärt medium, t ex luft eller polystyren, avtar approximativt exponentiellt med avståndet x från en utsträckt plan ränsyta där i mediet på andra sidan ränsytan en β-strålande nuklid är homoent distribuerad Dx () Dx= ( )e β x (9) Approximationen med det exponentiella avtaandet stämmer sämre på stora avstånd från den plana ränsytan. Loeviner (1956) har funnit att för den absorberade dosfördelninen i luft es "massabsorptionskoefficienten" β av relationen β = 16, / ( E max,36) 1, 4 cm 2 / (1) då β-partiklarna emitteras vid s k icke-förbjudna överånar. Emax är β-partiklarnas maximieneri i MeV. För β-partiklar från s k förbjudna överånar erhålles nåot avvikande värden på "massabsorptionskoefficienten" (t ex β-partiklar från RaE eller 9Sr). B. Härlednin av sambandet mellan viktfaktorn d och parametrarna β och. Burlins resoneman krin härledninen av uttrycket för viktfaktorn d är svårt att få ett fast repp om. Svåriheten består i att han byer på resultat, som äller för en bestämd eometrisk situation och försöker eneralisera dessa till odtycklia former på kaviteten. Kavitetens eometri beskrivs av den enda parametern = medelspårländen för en elektron, som passerar enom kaviteten. Då Burlin tar fram uttrycket för viktfaktorn d förefaller han vara bunden vid tanken på en detektor med plan eometri (en detektor i form av en plan skiva). Han resonerar om hur elektronfluensen i detektorn ser ut på avståndet x från vämaterialet. Endast i en plan (eller möjlien en sfärisk detektor) kan en endimensionell parameter e en entydi beskrivnin av en position i detektorn. Vidare talar han om att fluensen av de elektroner, som frijorts i vämaterialet avtar exponentiellt med avståndet x från väen. Detta leder också tanken till fallet med en plan detektor. Det ovan beskrivna (experimentellt verifierade) exponentiella absorberade dosförloppet framkommer som ett resultat av en utsträckt plan eometri (planets dimensioner stora jämfört med elektronernas räckvidder) i kombination med en strålkälla, som utsänder elektronerna isotropt. Burlin talar om att fluensen avtar exponentiellt med avståndet x från kavitetens vä. I den ovan, fi 4, beskrivna situationen är det den absorberade dosen och inte fluensen, som visar ett exponentiellt förlopp. Andra experiment har emellertid visat att medelenerin på elektronerna varierar tröt med avståndet från den plana ränsytan, enlit Brownell (1952) reduceras medelenerin med 1 % eller mindre för varje penetrerat "halvvärdesskikt" beroende på materialet i vilket β-partiklarna bromsas upp. 7

10 Om den absorberade dosen avtar exponentiellt samtidit som formen på enerispektret för elektronfluensen inte nämnvärt förändras så innebär detta att även elektronfluensen avtar exponentiellt med samma "massabsorptionskoefficient" β. I det följande öres en härlednin av uttrycket för viktfaktorn d där det uttrycklien förutsätts att detektorn är en plan skiva och att sekundärelektronerna emitteras isotropt som β-partiklarna från en radioaktiv nuklid. Antaandet om en isotrop emission av sekundärelektronerna är nåorlunda realistiskt om fotonernas enerier är låa, 1 kev, eller om fotonerna har en isotop riktninsfördelnin i mediet där detektorn befinner si. Mycket av Burlins resoneman kommer att ienkännas vid denna härlednin av uttrycket för viktfaktorn d. Man skall dock ha klart för si att Burlin själv inte tycks vilja låta binda si vid en så speciell eometrisk situation utan har ambitionen att få fram en kavitetsteori, som skall älla för alla eometrier på kaviteten och oberoende av emissionsriktninen för sekundärelektronerna. Men just härienom blir teorin oripbar och svår att analysera. Den härlednin av viktfaktorn d, som här följer är avsedd att öka förståelsen för Burlins kavitetsteori men också att samtidit belysa dess svaheter. Viktfaktorn d för en plan detektor och isotrop emission av sekundärelektronerna Generellt (Alm Carlsson 1978) kan den i detektorn medelabsorberade dosen,, skrivas = 1 dφ( T; r ) dm 1 m det k ρ dx col,det ( T) (11) m det col,det dφ( T; r ) där är fluensen av elektroner med kinetiska enerin i intervallet, T, T+ i en punkt r inuti detektorn, (1/ρ)(/dx)col är kollisionsstoppin-power för elektroner med enerin T och kcol(t) är fraktionen av den av elektroner med enerin T i kollisioner med atomära elektroner förlorade kinetiska enerin, som inte återuppträder som eneri hos joniserande strålnin (β-partikel, Auerelektroner, karakteristiska röntenstrålninsfotoner). Massinterationen utsträckes över detektorns hela massa mdet. Fluensen av elektroner i varje punkt av detektorn kan delas upp i två komponenter Φ ( r )= Φ med ( r )+ Φ det r ( ) (12) där Φmed är fluensen av elektroner, som frijorts av fotoner i vämaterialet (plus alla β-partiklar dessa ett upphov till enom växelverkansprocesser i såväl väen som detektorn) och Φdet är motsvarande fluens av elektroner frijorda av fotoner i detektorn. Anta, att detektorn är en plan skiva med planets dimensioner stora jämfört med elektronernas räckvidder (t ex en LiF-teflonskiva med 13 mm diameter). och att fluensen av elektroner i mediet är konstant över hela detektorns yta så att fluensen av elektroner i detektorn endast varierar med djupet i densamma (de randeffekter, som 8

11 uppstår i utkanterna av skivan antas försumbara). Läesvektorn r i ekv (11) kan då bytas ut mot parametern x = avståndet från den ena av de båda plana ränsytorna mellan vä- och detektormaterial. Det återstår att ta reda på hur fluenserna Φmed och Φdet ser ut på avståndet x från denna ränsyta. I fi 5 visas hur i ett homoent medium, innehållande en uniformt fördelad β-strålande nuklid, den absorberade dosen kan tänkas uppbyd av olika komponenter. D c d a b.5 D eq a c djup Fi 5: Inuti ett homoent medium, innehållande en uniformt fördelad β-strålande nuklid, läes en plan ränsyta (elektronjämvikt antas råda på denna plats). β-partiklar emitterade från punkter till höer om planet och med emissionsriktninen in i vänstra hemisfären er upphov till djupdoskurvan a medan de med emissionsriktninen in i höra hemisfären er upphov till djupdoskurvan b. På stora djup åt höer antar såväl a- som b-komponenten värdet,5 Deq dvs er tillsammans den absorberade dosen Deq(= elektronjämviktsdosen). Djupdoskuvorna c och d äller för β partiklar emitterade från punkter till vänster om planet och med emissionsriktninen in i höra respektive vänstra hemisfären. Uppdelninen av den absorberade dosen (Deq = elektronjämviktsdosen) i fi 5 på olika komponenter är förenklad. T ex de β-partiklar, som emitteras från punkter till höer om planet och med emissionsriktninen in i höra hemisfären kan enom att bakåtspridas medverka till att den absorberade dosen från dessa partiklar blir skild från noll i en punkt intill ränsytan. Bakåtspridninen har här försummats och djupdoskurvan b startar från noll för x =. Ett typiskt dra för Burlins kavitetsteori är att elektronspridninen inte beaktas. Om denna kan försummas kan också uppdelninen av den absorberade dosen i komponenter öras som i fi 5. Med stöd av fi 4 kan då djupdoskomponenterna Db(x) och Dc(x) som funktion av djupet x till höer om den plana ränsytan skrivas D b ()= x,5d eq 1 e βx ( ) (13) 9

12 D c ()= x,5d eq e β x (14) Det resoneman, som enomförs i fi 5 kan nu tillämpas på situationen med en plan detektor inuti ett medium då sekundärelektronerna emitteras isotropt i både medium och detektor. I fi 6 visas fluensen av elektroner i stället för absorberade doser. Om emellertid, som tidiare påpekats på sid 12, formen av enerispektret för elektronfluensen är oberoende av läet i detektorn så följer elektronfluensen och den absorberade dosen samma funktionsförlopp med avseende på läet i detektorn. Fi 6 Uppdelnin av elektronfluensen i komponenter inuti en plan detektor med tjockleken vid isotrop emission av sekundärelektronerna. Detektorn är placerad inuti ett medium där elektronjämviktsfluensen av elektroner enererade i mediet är Φeq,med. De heldrana kurvorna visar fluensserna av elektroner enererade av fotoner i mediet med emissionsriktninarna in i höra respektive vänstra hemisfären. De streckade kurvorna visar motsvarande fluenser av elektronerna enererade av fotoner i detektorn. Förlänninen av de streckade kurvorna in i mediet är avsedda att visa det förlopp, som skulle erhållas om mediet byttes ut mot detektorekvivalent material. Φeq,det = elektron-jämviktsfluensen i detektormaterialet. Det skall här återien betonas att uppdelninen av elektronfluensen inuti detektorn i komponenter enlit fi 6 är förenklad då den försummar effekterna av elektronspridninen i såväl medium som detektor. Med stöd av fi 6 kan nu Φmed(x) och Φdet(x) skrivas Φ med ()= x,5φ eq, med e βx +,5Φ eq,med e ( ) (15) β x Φ det ()= x,5φ eq,det ( 1 e γx )+,5Φ eq,det 1 e γ x ( ( ) ) (16) 1

13 Vid experiment med β-strålande nuklider visar det si att "massabsorptionskoefficienten" endast beror av maximienerin hos de emitterade β- partiklarna, jfr ekv (1). Om de av fotonerna frijorda elektronerna har samma maximieneri i medium och detektor skulle man kunna förmoda att "massabsorptionskoefficienterna" β och γ i ekvationerna (15) och (16) är identiska, dvs β = γ. Burlin hävdar att så är fallet och att maximienerin för elektronerna är lika med fotonens eneri. Teoretiskt har fotoelektronerna från de yttersta elektronskalen enerier nära fotonens een eneri. Å andra sidan är de ytterst fåtalia och approximationen kan diskuteras. I fortsättninen antas emellertid β = γ. Uttrycken för r fluenserna i ekvationerna (15) och (16) kan nu sättas in i ekv (11) där läesvektorn ersätts med parametern x och där dm = Aρdx (17) m det = A ρ (18) I ekvationerna (17) och (18) står A för ytan hos detektorskivan med tjockleken. Masselementet dm är en tunn skiva med tjockleken dx. Den medelabsorberade dosen blir = 1 Aρ T max Aρdx T max ( ) dφ T; x () 1 ρ dx col,det k col,det = 1 dx, 5 dφ eq,med T { e βx + e β( x) }+ +, 5 dφ eq,det ( T) ( 1 e βx )+ 1 e β( x) { ( ) }] 1 ρ dx ( T) = col, det k col, det () T (19) Man läer märke till att i ekv (19) har det exponentiella avtaandet av elektronfluensen från mediet respektive den exponentiella tillväxten av fluensen av elektroner enererade i detektorn med avståndet från den plana ränsytan applicerats på den med avseende på enerin differentiella fluensen och inte som i ekvationerna (15) och (16) på fluensen. Detta är i linje med det resoneman, som förde fram till att de experimentella resultat, fi 4, som ällde för den absorberade dosen kunde överföras till fluensen av elektroner, nämlien att formen för enerispektret hos elektronfluensen kunde anses vara oberoende av avståndet från ränsytan. "Attenuerinen" av elektronerna skulle då varalika stor över alla eneriintervall. Detta är en approximation och Burlin kommenterar denna på följande sätt: elektronerna från mediet kommer att med ökande djup in i detektorn få en nåot reducerad medeleneri, dvs lida brist på elektroner med de hösta enerierna och få en ansamlin av elektroner med låa enerier. Detta innebär att i ekv (19) överskattas på avståndet x från ränsytan fluensen av elektroner från mediet med de hösta enerierna respektive underskattas fluensen av elektroner med de lästa enerierna. För de elektroner, som enererats av fotonerna i detektorn är förhållandet det motsatta. Innan elektronjämviktsfluensen är fullt uppbyd innehåller fluensen förhållandevis måna höeneretiska och få låeneretiska elektroner (jämfört med enerifördelninen hos den för detektormaterialet typiska elektronjämviktsfluensen). I uttrycket, ekv (19), för fluensen 11

14 av elektroner enererade i detektorn på avståndet x från ränsytan underskattas därför fluensen av de mest eneretiska elektronerna och överskattas fluensen av de låeneretiska elektronerna. Felen i uttrycken för de differentiella fluenserna av elektroner från mediet respektive av elektroner enererade i detektorn tenderar att kompensera varandra så att summafluensen dφ( T ;x) = dφ ( T ;x) med + dφ det( T ;x) (2) erhålles med bättre norannhet än vad som äller för var och en av delfluenserna. Genom att utnyttja relationen e β ( x ) dx = e β x dx (21) kan ekv (19) förenklas till = 1 β ( x ) e ( ) e βx dx dx T max T max dφ eq,med dφ eq,med ( T) 1 ρ dx ( T) 1 ρ dx col, det col, det k col,det k col,det ( T) + ( T) (22) I ekv (22) står T max ( T) 1 ρ dx dφ eq,med col,det k col,det ( T) (23) för den absorberade dosen till en liten "punktformi" detektor enomströmmad av elektronjämviktsfluensen av elektroner i mediet, medan T max () T 1 ρ dx dφ eq,det col,det k col,det () T (24) är lika med den absorberade dosen i detektormaterialet under elektronjämvikt i detsamma. Denna kan alternativt skrivas som produkten av masseneriabsorptionskoefficienten för detektormaterialet och enerifluensen av de (monoenerietiska) fotoner, som enomkorsar detektorn. Om uttrycket (23) för den absorberade dosen till en liten "punktformi" detektor inuti dosen i en liten Bra-Gray detektor enlit Spencer-Attix kavitetsteori (för nåot bestämt värde på parametern ) erhålles = 1 e βx dx ( ) S A + 1 ( 1 e βx )dx µ en det ψ (25) Här kan nu viktfaktorn d i Burlins kavitetsteori identifieras med 12

15 d = 1 e βx dx = e βx dx dx (26) Uttrycket för d i ekv (26) stämmer med det, som anes av Burlin med den skillnaden att Burlin aner som medelspårländen för en elektron, som passerar enom kaviteten. Här är lika med tjockleken av den plana detektorskivan. Genom att införa d enlit ekv (26) och utnyttja relationen D med = µ en med erhålles slutlien ψ (27) /D med = d[ /d med ] S A + 1 d ( ) µ en ρ det / µ en ρ med (28) ett uttryck, som formellt överensstämmer med det ivet i ekv (7) ovan. För det exempel, som här behandlats, är det helt klart att måste stå för tjockleken hos den plana detektorskivan. Hos Burlin står emellertid för medelspårländen för en elektron, som passerar enom detektorn. Om detektorn är en,1 mm tjock LiFteflonskiva med 13 mm diameter och riktninsfördelninen av de elektroner, som passerar in i detektorn är isotrop så är medelspårländen för en elektron, som passerar enom detektorn,2, beräknat enlit formeln = 4V / a (29) där V är detektorns volym och a är dess beränsninsyta (denna formel er medelkordaländen i detektorn). Om man antar ett värde på β ur ekv (1) med Emax =1 MeV erhålles β=16,84cm 2 / (3) Med en densitet av 2, /cm3 för LiF-teflon erhålles för d enlit ekv (26) och =,1 mm, d =,82, medan för =,2 mm erhålles d =,69. Det kvantitativa värdet på viktfaktorn d är känsli för tolkninen av parametern. C. Kritiska synpunkter på och vidareutvecklinar av Burlin-teorin Burlins ansats till beräknin av relationen /D med för en detektor med dimensioner jämförbara med sekundärelektronernas räckvidder är lovande och av stor betydelse vid användnin av fasta tillståndets detektorer, som trots små linjära dimensioner ändå ofta är relativt tjocka jämfört med sekundärelektronernas räckvidder vid fotonbestrålnin. 13

16 Som redan påpekats tidiare och som demonstrerats ovan vid beräkninen av en lämpli viktfaktor d för en plan detektor och isotropt emitterade sekundärelektroner är teorin behäftad med brister. Speciellt avslöjades ovan svaheter i länden för en elektron, som passerar enom kaviteten, tycks vara motiverat av att han eftersträvar att teorin skall vara allmänilti, oberoende av den aktuella eometriska formen hos detektorn. Detta är en eneraliserin, som naturlit återverkar på teorins norannhet. Man läer vidare märke till att valet av parametern, som i Spencer-Attix teorin är relaterad till den lilla detektorns (Bra-Gray-Kavitetens) storlek även i Burlin-teorin är relaterad till kavitetens storlek trots att tolkninen av uttrycket /D med [ ] S A enlit ekv (6) blir komplicerad då detektorns dimensioner blir stora. Speciellt skall Burlins enerella kavitetsteori älla då detektorns dimensioner är lika med eller större än sekundärelektronernas maximala räckvidder. Hur skall uttrycket i ekv (6) tolkas då blir lika med eller större än Tmax ( enerin hos en elektron, som nätt och jämnt kan ta si ienom kaviteten)? Den viktiaste principiella anmärkninen mot Burlin-teorin i dess nuvarande form är dock att den försummar effekterna av elektronernas varierande multipelspridnin i olika medier. Gudrun Bertilsson (1975) har i sin doktorsavhandlin testat Burlin-teorins tillämpbarhet på skivformade LiF-teflon detektorer. Hon kunde tack vare mätninar med hö precision fastställa att Burlin-teorins atomnummeroberoende viktfaktor d måste ersätta med en atomnummerberoende viktfaktor a(z,h) för att motsvara de experimentella resultaten: /D med = az,h ( )[ /D med ] S A + bh () µ en ρ det / µ en ρ med (31) där h är detektorskivans tjocklek och b(h) motsvarar viktfaktorn (1-d) i Burlin-teorin. Då monoeneretiska fotoner inte användes i experimenten utör µen/ρ-kvoten i ekv (31) ett lämplit viktat medelvärde av masseneriabsorptionskoefficienterna för de aktuella fotonenerierna. Avvikelsen mellan Burlins viktfaktor d och a(z,h), a(z,h) avtar monotont relativt d med växande atomnummer Z, kunde visas bero på effekterna av elektronernas multipelspridnin i de båda plana ränsskikten mellan detektorn och mediet. Burlins kavitetsteori för ändlia kaviteter är inte den första i sitt sla. Redan 1949 to Spiers initiativet till en liknande kavitetsteori baserad på direkta, om än förenklade, transportberäkninarna för komplicerade eometriska former på kaviteten innebär att kvantitativa resultat endast kunde erhållas för enkla eometrier som plana skikt, sfärer och cylindrar. Speirs' och hans efterföljares arbeten har dock mer kommit att uppfattas som ränsskiktsdosimetri (transition zone dosimetry) än kavitetsteori. Det intressanta med dessa teorier är att de också försummar elektronernas varierande multipelspridninseenskaper i olika medier. Gudrun Alm Carlsson (1973) har jort en kritisk analys av Spiers-teorierna med avseende på denna effekt och förutspådde att även Burlin-teorin borde lida av bristen på hänsyn till elektronernas multipelspridnin. Gudrun Bertilssons undersökninar har bekräftat detta. Ytterliare jämförelser mellan resultat erhållna med Spiers-teorierna och med Burlin-teorin vore av intresse. 14

17 Janssens och medarbetare (1974) har jort inående anstränninar att förbättra Burlinteorin. Liksom Burlin bortser de från kavitetens speciella form och inskränker si till att beskriva kavitetens eometri med hjälp av en enda parameter = medelkordaländen i detektorn beräknad enlit ekv (29). De har dock inkluderat elektronspridninen i sin teori. Anders Brahme (1978) har kritiserat Burlin-teorin vad äller uttrycket för den medelabsorberade dosen i detektorn från elektroner enererade av fotoner i detektorn själv. Han vill beräkna den medelabsorberade dosen i detektorn från dessa elektroner med hjälp av en beränsad masseneriabsorptionskoefficient (µen/ρ) för detektormaterialet där den beränsade masseneriabsorptionskoefficienten för fotoner definieras i analoi med den beränsade mass-kollisions-stoppin-power för elektroner. Parametern tar hänsyn till kavitetens storlek och form. Den beränsade masseneriabsorptionskoefficienten är dock inte tillräckli för beräknin av den medelabsorberade dosen i detektorn från elektroner enererade i detektorn. Den beränsade masseneriabsorptionskoefficienten tar inte hänsyn till att elektroner, som frijorts i detektorn och som passerat ut i mediet kan återspridas till detektorn och e absorberad dos i densamma. Referenser 1. Burlin, T E: A eneral theory of cavity ionization. Brit J Radiol 39 (1966), Burlin, T E: Cavity-chamber theory. In: Radiation Dosimetry Vol 1, p 331. Ed by F H Attix and W C Roesch. Academic Press. New York and London Loeviner, R: The dosimetry of beta sources in tissue. The point-source function. Radioloy 66 (1956), Alm Carlsson, G: Dosimetry at interfaces. Theoretical analysis and measurements by means of thermoluminescent LiF. Acta Radiol. Suppl 332. Stockholm Bertilsson, G: Electron scatterin effects on absorbed dose meaurements with LiFdosemeters. Thesis. Lund Report: LURI Janssens, A, Eermont, G, Jacobs, R and Thielens, G: Spectrum perturbation and enery deposition models for stoppin power ratio calculations in eneral cavity theory. Phys Med Biol 19 (1974), Brahme, A: Restricted enery absorption coefficients for use in dosimetry. Radiat Res 73 (1978), Alm Carlsson, G: Absorbed dose equations. The eneral solution of the absorbed dose equation and solutions under different kinds of radiation equilibrium. Report- LiU-R-RAD-35. ( ). 15

Absorberad dos. Hur mäter man stråldoser vid röntgenundersökningar? SK kurs 7 December Absorberad strålningsenergi

Absorberad dos. Hur mäter man stråldoser vid röntgenundersökningar? SK kurs 7 December Absorberad strålningsenergi Dosimetri vid röntgendiagnostik Hur mäter man stråldoser vid röntgenundersökningar? SK kurs 7 December 2015 Gudrun Alm Carlsson Radiofysik, IMH Hälsouniversitetet, Linköping tel: 013-286855 e-mail: Gudrun.Alm.Carlsson@liu.se

Läs mer

Statistisk precision vid radioaktivitetsmätning och Aktivitetsbestämning ur uppmätt räknehastighet

Statistisk precision vid radioaktivitetsmätning och Aktivitetsbestämning ur uppmätt räknehastighet Institutionen för medicin och vård Avdelningen för radiofysik Hälsouniversitetet Statistisk precision vid radioaktivitetsmätning och Aktivitetsbestämning ur uppmätt räknehastighet Gudrun Alm Carlsson och

Läs mer

Kavitetsteori allmänna grunder

Kavitetsteori allmänna grunder Institutionen för medicin och vård Avdelningen för radiofysik Hälsouniversitetet Kavitetsteori allmänna grunder Gudrun Alm Carlsson Department of Medicine and Care Radio Physics Faculty of Health Sciences

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGSTÄVLING 26 januari 2012 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) Sökta enerin är 0,90 10 3 W/m 2 (0,40 1,7) m 2 3600 s = 2,2 10 6 J. (b) Temperaturökninen fås

Läs mer

Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin

Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tid: 013-05-30 fm Hjälpmedel: Physics Handbook, nuklidkarta, Beta, Chalmersgodkänd räknare Poäng: Totalt 75 poäng, för betyg 3 krävs 40 poäng, för betyg 4 krävs 60

Läs mer

Medicinsk strålningsfysik KAROLINSKA INSTITUTET STOCKHOLMS UNIVERSITET

Medicinsk strålningsfysik KAROLINSKA INSTITUTET STOCKHOLMS UNIVERSITET Medicinsk strålningsfysik KAROLINSKA INSTITUTET STOCKHOLMS UNIVERSITET TENTAMEN I RADIOFYSIK, KURS RF 2030. Dosimetri 5 p 2006-01-20 9.00-14.00 A. Problemdel. Helt korrekt lösning ger 10 p. Använda ekvationer

Läs mer

BANDGAP 2009-11-17. 1. Inledning

BANDGAP 2009-11-17. 1. Inledning 1 BANDGAP 9-11-17 1. nledning denna laboration studeras bandgapet i två halvledare, kisel (Si) och galliumarsenid (GaAs) genom mätning av transmissionen av infrarött ljus genom en tunn skiva av respektive

Läs mer

ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA

ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA Sid 1 (6) ASFALTBELÄGGNING OCH -MASSA Bestämnin av kompaktdensitet med pyknometer och vatten Bituminous pavement and mixture. Determination of theoretical maximum density usin pycnometer and water. 1.

Läs mer

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik TMME27 2016-10-24, kl 14.00-19.00 Tentamenskod: TEN1 Tentasal: TER1, TER2, TERE, TERF Examinator: Peter Schmidt Tentajour: Peter Schmidt, Tel. 28 27

Läs mer

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori om lades fram av Albert Einstein år 1905. Denna teori beskriver framför allt hur utfallen (dvs resultaten) från

Läs mer

Andra EP-laborationen

Andra EP-laborationen Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med

Läs mer

8 Röntgenfluorescens. 8.1 Laborationens syfte. 8.2 Materiel. 8.3 Teori. 8.3.1 Comptonspridning

8 Röntgenfluorescens. 8.1 Laborationens syfte. 8.2 Materiel. 8.3 Teori. 8.3.1 Comptonspridning 8 Röntgenfluorescens 8.1 Laborationens syfte Att undersöka röntgenfluorescens i olika material samt använda röntgenfluorescens för att identifiera grundämnen som ingår i okända material. 8. Materiel NaI-detektor

Läs mer

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:

Läs mer

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser. TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna

Läs mer

1. Mätning av gammaspektra

1. Mätning av gammaspektra 1. Mätning av gammaspektra 1.1 Laborationens syfte Att undersöka några egenskaper hos en NaI-detektor. Att bestämma energin för okänd gammastrålning. Att bestämma den isotop som ger upphov till gammastrålningen.

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012 Räkneövning 9 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK00 9 januari 0 Problem 4.3 En elektron i vila accelereras av en potentialskillnad U = 0 V. Vad blir dess de Broglie-våglängd? Elektronen tillförs den kinetiska

Läs mer

Tentamen i dynamik augusti 14. 5kg. 3kg

Tentamen i dynamik augusti 14. 5kg. 3kg Tentamen i dynamik auusti 14 Uppift. Två massor, en på 5k och en på 3k, är sammankopplade av en tråd med konstant länd. Massorna lider friktionsfritt läns stänerna. Massorna är uppträdda på stänerna. En

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER I detta experiment ska du mäta graden av dubbelbrytning hos glimmer (en kristall som ofta används i polariserande optiska komponenter). UTRUSTNING Förutom

Läs mer

Introduktion till vetenskapsmetodik. Vetenskap och forskning. Vetenskapsfilosofi och vetenskapsmetodik. Falsifikationism

Introduktion till vetenskapsmetodik. Vetenskap och forskning. Vetenskapsfilosofi och vetenskapsmetodik. Falsifikationism Introduktion till vetenskapsmetodik Vetenskap och forsknin Vetenskap: ordnad, dokumenterad och kritiskt utvärderad enerell kunskap. Forsknin: process att ta fram nya (säkra) kunskaper och ökat vetande.

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

Fysik Prov 1 1:e April, 2014 Na1

Fysik Prov 1 1:e April, 2014 Na1 ysik Prov 1 1:e pril, 2014 Na1 Skriv alla dina svar på svarspapper. Redoör LL dina beräkninar och vilka formel som används. ne svar med rätt antal värde siffror och prefi. Kraft E Uppifter. Tre krafter

Läs mer

TEKNISKA BESTÄMMELSER FÖR ELEKTRISK UTRUSTNING

TEKNISKA BESTÄMMELSER FÖR ELEKTRISK UTRUSTNING Sid 1 (13) TEKNISKA BESTÄMMELSER FÖR ELEKTRISK UTRUSTNING Rubrik Betecknin Miljöspecifikation för jordbävninsförhållanden TBE 102:2 Utåva 5 (S) Innehåll 1 ALLMÄNT... 2 1.1 Bakrund... 2 1.2 Överripande

Läs mer

Mineral aggregates. Determination of particle density of filler. 1. ORIENTERING Denna metod är utarbetad på grundval av BS 812.

Mineral aggregates. Determination of particle density of filler. 1. ORIENTERING Denna metod är utarbetad på grundval av BS 812. Sid 1 (4) STENMATERIAL Bestämnin av korndensitet hos råfiller Mineral areates. Determination of particle density of filler. 2. DEFINITIONER 3. SAMMANFATTNING 4. UTRUSTNING OCH KEMIKALIER 5. SÄKERHET 6.

Läs mer

Theory Swedish (Sweden)

Theory Swedish (Sweden) Q3-1 Large Hadron Collider (10 poäng) Läs anvisningarna i det separata kuvertet innan du börjar. I denna uppgift kommer fysiken i partikelacceleratorn LHC (Large Hadron Collider) vid CERN att diskuteras.

Läs mer

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar elativitetsteorins grunder, våren 2016 äkneövning 6 Lösningar 1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda

Läs mer

Fotoelektriska effekten

Fotoelektriska effekten Fotoelektriska effekten Bakgrund År 1887 upptäckte den tyska fysikern Heinrich Hertz att då man belyser ytan på en metallkropp med ultraviolett ljus avges elektriska laddningar från ytan. Noggrannare undersökningar

Läs mer

REDOGÖRELSE 7-29/71. 6. Blyanalys genom röntgenfluorescens med en 88 kev 109 Cd strålkälla och Ge(Li)-detektor

REDOGÖRELSE 7-29/71. 6. Blyanalys genom röntgenfluorescens med en 88 kev 109 Cd strålkälla och Ge(Li)-detektor 35 (6o) 6. Blyanalys genom röntgenfluorescens med en 88 kev 109 Cd strålkälla och Ge(Li)-detektor Röntgenfluorescens är en analysmetod som vid lämpliga prov är helt ickeförstörande och utan inverkan på

Läs mer

Preliminär timplanering: Plasmafysik

Preliminär timplanering: Plasmafysik Vågor, plasmor antenner F700T Preliminär timplanering: Plasmafysik Litteratur: Chen F. F., Plasma physics and controlled fusion, Plenum, nd ed. Etra problem i plasmafysik. X-plasma (Från hemsidan) Pass

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

BFL 111/ BFL 120 Fysik del B2 för Tekniskt Basår/ Bastermin

BFL 111/ BFL 120 Fysik del B2 för Tekniskt Basår/ Bastermin Linköpings Universitet Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Avdelningen för Tillämpad Fysik Mike Andersson Lösningsförslag till Repetitionsuppgifter BFL 111/ BFL 120 Fysik del B2 för Tekniskt Basår/

Läs mer

Strålningsdosimetri med radioaktiva nuklider i människa

Strålningsdosimetri med radioaktiva nuklider i människa Institutionen för medicin och vård Avdelningen för radiofysik Hälsouniversitetet Strålningsdosimetri med radioaktiva nuklider i människa Carl Carlsson Department of Medicine and Care Radio Physics Faculty

Läs mer

ABSORPTION AV GAMMASTRÅLNING

ABSORPTION AV GAMMASTRÅLNING ABSORPTION AV GAMMASTRÅLNING Uppgift: Materiel: Teori: Att bestämma ett samband för den intensitet av gammastrålning som passerar en absorbator, som funktion av absorbatorns tjocklek. Att bestämma halveringstjockleken

Läs mer

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 8 Allmänna gaslagen 4: 9 Trycket i en ideal gas 4:3 10 Gaskinetisk tolkning av temperaturen 4:6 Svar till kontrolluppgift 4:7 rörelsemängd 4:1 8 Allmänna gaslagen

Läs mer

Föreläsning 7: Antireflexbehandling

Föreläsning 7: Antireflexbehandling 1 Föreläsning 7: Antireflexbehandling När strålar träffar en yta vet vi redan hur de bryts (Snells lag) eller reflekteras (reflektionsvinkeln lika stor som infallsvinkeln). Nu vill vi veta hur mycket som

Läs mer

Värmebehovsberäkning. Kursmaterial Installationsteknik FK. Lars Jensen Bearbetat av Catarina Warfvinge. rev 2001-02-08

Värmebehovsberäkning. Kursmaterial Installationsteknik FK. Lars Jensen Bearbetat av Catarina Warfvinge. rev 2001-02-08 Värmebehovsberäknin Kursmaterial Installationsteknik FK Lars Jensen Bearbetat av Catarina Warfvine rev 2001-02-08 Innehållsförtecknin 1 Inlednin 3 2 Värmeeffekt- och värmeeneribehov för en bynad 4 3 Värmeeneribehov

Läs mer

Fysik (TFYA14) Fö 5 1. Fö 5

Fysik (TFYA14) Fö 5 1. Fö 5 Fysik (TFYA14) Fö 5 1 Fö 5 Kap. 35 Interferens Interferens betyder samverkan och i detta fall samverkan mellan elektromagnetiska vågor. Samverkan bygger (precis som för mekaniska vågor) på superpositionsprincipen

Läs mer

Lösningar del II. Problem II.3 L II.3. u= u MeV = O. 2m e c2= MeV. T β +=

Lösningar del II. Problem II.3 L II.3. u= u MeV = O. 2m e c2= MeV. T β += Lösningar del II Problem II.3 Kärnan 14 O sönderfaller under utsändning av en positiv elektron till en exciterad nivå i 14 N, vilken i sin tur sönderfaller till grundtillståndet under emission av ett γ

Läs mer

LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA

LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA Syfte och mål Uppgiften i denna laboration är att studera atomspektra från väte och natrium i det synliga våglängdsområdet och att med hjälp av uppmätta våglängder från spektrallinjerna

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Torsdag 1 november 2012, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

Strålskyddsfaktorer för försvarsmaktens mobila RN-laboratorium

Strålskyddsfaktorer för försvarsmaktens mobila RN-laboratorium Strålskyddsfaktorer för försvarsmaktens mobila RN-laboratorium Erik Johansson, Göran Ågren, Jonas Boson, Micael Granström FOI är en huvudsakligen uppdragsfinansierad myndighet under Försvarsdepartementet.

Läs mer

Radioaktivt sönderfall Atomers (grundämnens) sammansättning

Radioaktivt sönderfall Atomers (grundämnens) sammansättning Radioaktivitet Radioaktivt sönderfall Atomers (grundämnens) sammansättning En atom består av kärna (neutroner + protoner) med omgivande elektroner Kärnan är antingen stabil eller instabil En instabil kärna

Läs mer

Stökiometri Molberäkningar

Stökiometri Molberäkningar Stökiometri Molberäkninar Eftersom atomer och ekyler är så fruktansvärt små är det liksom inen ide att räkna de. Men nu faller det si så, att om man använder si av periodiska systemet och rundämnenas så

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012,

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012, Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012, 9.00-14.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

Fredrik Jonasson Björn Sparresäter

Fredrik Jonasson Björn Sparresäter TVE-F 18 024 Examensarbete 15 hp September 2018 Monte Carlo-simuleringar av germaniumdetektor för gammaspetroskopi Fredrik Jonasson Björn Sparresäter Abstract Monte Carlo-simuleringar av germaniumdetektor

Läs mer

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig

Läs mer

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.

Läs mer

Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:

Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten

Läs mer

Rotationsrörelse laboration Mekanik II

Rotationsrörelse laboration Mekanik II Rotationsrörelse laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2015 04 19 Sida 1 av 10 Sammanfattning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment,

Läs mer

Föreläsning 7: Antireflexbehandling

Föreläsning 7: Antireflexbehandling 1 Föreläsning 7: Antireflexbehandling När strålar träffar en yta vet vi redan hur de bryts (Snells lag) eller reflekteras (reflektionsvinkeln lika stor som infallsvinkeln). Nu vill vi veta hur mycket som

Läs mer

Appendix i instruktionen

Appendix i instruktionen Appendix i instruktionen Läs även Appendix A och Appendix B i instruktionerna till laboration 2 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1 Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen:

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)

Läs mer

Föreläsning om dosimetrar

Föreläsning om dosimetrar Föreläsning om dosimetrar Peter Björk, Fil.dr, Inspektör Strålsäkerhetsmyndigheten Stockholm Varför behöver vi bestämma absorberad dos så exakt? Absorberad dos är en fundamental parameter som på ett bra

Läs mer

Mer om E = mc 2. Version 0.4

Mer om E = mc 2. Version 0.4 1 (6) Mer om E = mc Version 0.4 Varifrån kommer formeln? För en partikel med massan m som rör sig med farten v har vi lärt oss att rörelseenergin är E k = mv. Denna formel är dock inte korrekt, även om

Läs mer

Fö. 9. Laddade Kolloider. Kap. 6. Gränsytor med elektrostatiska laddningar

Fö. 9. Laddade Kolloider. Kap. 6. Gränsytor med elektrostatiska laddningar Fö. 9. Laddade Kolloider Kap. 6. Gränsytor med elektrostatiska laddningar 1 De flesta partiklar (t.ex. kolloider) som finns i en vattenmiljö antar en laddning. Detta kan bero på dissociation av t.ex karboxylsyra

Läs mer

10. Kinetisk gasteori

10. Kinetisk gasteori 10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Tentamen i El- och vågrörelselära, Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från

Läs mer

Föreläsning 3: Radiometri och fotometri

Föreläsning 3: Radiometri och fotometri Föreläsning 3: Radiometri och fotometri Radiometri att mäta strålning Fotometri att mäta synintrycket av strålning (att mäta ljus) Radiometri används t.ex. för: Effekt på lasrar Gränsvärden för UV Gränsvärden

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll. Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,

Läs mer

Doskonstant för några vanligt förekommande radionuklider MFT

Doskonstant för några vanligt förekommande radionuklider MFT Rutin Process: Hälso- och sjukvård Område: Giltig fr.o.m: 2017-06-05 Faktaägare: Christina Söderman, leg Sjukhusfysiker, Medicinsk Fysik Fastställd av: Sara Olsson, Avdelningschef, Medicinsk Fysik Revisions

Läs mer

Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!

Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik

Läs mer

Optik, F2 FFY091 TENTAKIT

Optik, F2 FFY091 TENTAKIT Optik, F2 FFY091 TENTAKIT Datum Tenta Lösning Svar 2005-01-11 X X 2004-08-27 X X 2004-03-11 X X 2004-01-13 X 2003-08-29 X 2003-03-14 X 2003-01-14 X X 2002-08-30 X X 2002-03-15 X X 2002-01-15 X X 2001-08-31

Läs mer

Bra tabell i ert formelblad

Bra tabell i ert formelblad Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare

Läs mer

Miljöfysik. Föreläsning 5. Användningen av kärnenergi Hanteringen av avfall Radioaktivitet Dosbegrepp Strålningsmiljö Fusion

Miljöfysik. Föreläsning 5. Användningen av kärnenergi Hanteringen av avfall Radioaktivitet Dosbegrepp Strålningsmiljö Fusion Miljöfysik Föreläsning 5 Användningen av kärnenergi Hanteringen av avfall Radioaktivitet Dosbegrepp Strålningsmiljö Fusion Energikällor Kärnkraftverk i världen Fråga Ange tre fördelar och tre nackdelar

Läs mer

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integraler av vektorfält Mats Persson Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på

Läs mer

Joniserande strålnings växelverkan Hur alstras röntgenstrålning och vad händer när den når och passerar människa?

Joniserande strålnings växelverkan Hur alstras röntgenstrålning och vad händer när den når och passerar människa? Joniserande strålnings växelverkan Hur alstras röntgenstrålning och vad händer när den når och passerar människa? Eva Lund Eva.Lund@liu.se Lärandemål Kunna beskriva hur ett röntgenrör skapar röntgenstrålning

Läs mer

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Halveringstid (MP 11-3, s. 522-525) Alfa-sönderfall (MP 11-4, s. 525-530) Beta-sönderfall (MP 11-4, s. 530-535) Gamma-sönderfall (MP 11-4, s. 535-537) Se även

Läs mer

Hydrodynamik Mats Persson

Hydrodynamik Mats Persson Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver

Läs mer

STENMATERIAL. Bestämning av korndensitet med pyknometer. FAS Metod Sid 1 (4)

STENMATERIAL. Bestämning av korndensitet med pyknometer. FAS Metod Sid 1 (4) Sid 1 (4) STENMATERIAL Bestämnin av korndensitet med pyknometer Mineral areates. Determination of particle density usin pycnometer. 2. SAMMANFATTNING 3. UTRUSTNING OCH KEMIKALIER 4. PROVBEREDNING 5. PROVNING

Läs mer

Föreläsning 2. Att uppbygga en bild av atomen. Rutherfords experiment. Linjespektra och Bohrs modell. Vågpartikel-dualism. Korrespondensprincipen

Föreläsning 2. Att uppbygga en bild av atomen. Rutherfords experiment. Linjespektra och Bohrs modell. Vågpartikel-dualism. Korrespondensprincipen Föreläsning Att uppbygga en bild av atomen Rutherfords experiment Linjespektra och Bohrs modell Vågpartikel-dualism Korrespondensprincipen Fyu0- Kvantfysik Atomens struktur Atomen hade ingen elektrisk

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016 Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet

Läs mer

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor

Läs mer

Fysikum Kandidatprogrammet FK VT16 DEMONSTRATIONER MAGNETISM II. Helmholtzspolen Elektronstråle i magnetfält Bestämning av e/m

Fysikum Kandidatprogrammet FK VT16 DEMONSTRATIONER MAGNETISM II. Helmholtzspolen Elektronstråle i magnetfält Bestämning av e/m DEMONSTRATIONER MAGNETISM II Helmholtzspolen Elektronstråle i magnetfält Bestämning av e/m Uppdaterad den 10 november 015 Introduktion I litteraturen och framför allt på webben kan du enkelt hitta ett

Läs mer

3.7 γ strålning. Absorptionslagen

3.7 γ strålning. Absorptionslagen 3.7 γ strålning γ strålningen är elektromagnetisk strålning. Liksom α partiklarnas energier är strålningen kvantiserad; strålningen kan ha endast bestämda energier. Detta beror på att γ strålningen utsänds

Läs mer

Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0

Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0 LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift

Läs mer

FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik

FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik Rum A4:1021 milstead@physto.se Tel: 5537 8663 Kursplan 17 föreläsningar; ink. räkneövningar Laboration Kursbok: University Physics H. Benson I början

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3

Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tentamen i FUF050 Subatomär Fysik, F3 Tid: 2012-08-30 em Hjälpmedel: Physics Handbook, nuklidkarta, Beta, Chalmersgodkänd räknare Poäng: Totalt 75 poäng, för betyg 3 krävs 40 poäng, för betyg 4 krävs 60

Läs mer

Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder

Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge

Läs mer

Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen.

Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen. Komponentfysik Övningsuppgifter Halvledare VT-15 Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen. Utredande

Läs mer

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 FK2003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson

Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson Projekt 5 Michelsoninterferometer Fredrik Olsen Roger Persson 2007-11-01 Inledning En interferometer är ett mycket precist verktyg för att exempelvis mäta avstånd eller skillnader i våglängder. Konstruktionen

Läs mer

IN Inst. för Fysik och materialvetenskap ---------------------------------------------------------------------------------------------- INSTRUKTION TILL LABORATIONEN INDUKTION ---------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

GAMMASPEKTRUM 2008-12-07. 1. Inledning

GAMMASPEKTRUM 2008-12-07. 1. Inledning GAMMASPEKTRUM 2008-12-07 1. Inledning I den här laborationen ska du göra mätningar på gammastrålning från ämnen som betasönderfaller. Du kommer under laborationens gång att lära dig hur ett gammaspektrum

Läs mer

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3]

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3] TFEI0: Vågfysik Tentamen 14100: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vågen kan skrivas på formen: vilket i vårt fall blir: s(x,t) =s 0 sin t π T x + α λ s(x,t) = cos [π (0,4x/π t/π)+π/3] Vi ser att periodtiden

Läs mer

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen Fysikaliska principer Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 2014 14:00

Läs mer

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 3 Lösningar

Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 3 Lösningar Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 3 Lösningar 1. Den ryska fysikern P.A. Čerenkov upptäckte att om en partikel rör sig snabbare än ljuset i ett medium, ger den ifrån sig ljus. Denna effekt

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

Precalibrated Ion Beam Identification Detector

Precalibrated Ion Beam Identification Detector Precalibrated Ion Beam Identification Detector Philippe Klintefelt Collet Rikard Lundmark Chalmers University of Technology 15 juni 2012 Philippe Klintefelt Rikard Lundmark PIBID 15 juni 2012 1 / 19 Introduktion

Läs mer

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets 9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

Tentamen IX1304 Matematik, Analys , lösningsidéer

Tentamen IX1304 Matematik, Analys , lösningsidéer Tentamen IX0 Matematik, Analys 0-05-0, lösningsidéer. Gör en linjär approximation till kurvan y x, kring den punkt på kurvan där lutningen är. Bestäm sedan för vilka x som det relativa felet för approximationen

Läs mer

Mer om generaliserad integral

Mer om generaliserad integral Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av

Läs mer