EXAMENSARBETE. Sprickegenskapers påverkan på utbredning av P- och S-vågor i bergmassan

Transkript

1 EXAMENSARBETE 2009:146 CIV Sprickegenskapers påverkan på utbredning av P- och S-vågor i bergmassan Magnus Persson Luleå tekniska universitet Civilingenjörsprogrammet Väg- och vattenbyggnadsteknik Institutionen för Samhällsbyggnad Avdelningen för Geoteknologi 2009:146 CIV - ISSN: ISRN: LTU-EX--09/146--SE

2 Sprickegenskapers påverkan på utbredning av P och S vågor i bergmassan Av Magnus Persson Luleå tekniska universitet Civilingenjörsprogrammet Väg och vattenbyggnad Institutionen för Samhällsbyggnad Avdelningen för Geoteknologi

3

4 Förord Detta examensarbete utgör det avslutande momentet på civilingenjörsutbildningen Väg och vattenbyggnad vid Luleå tekniska universitet. Arbetet omfattar 30 högskolepoäng och har utförts vid institutionen för Samhällsbyggnad, avdelningen för Geoteknologi. Jag vill tacka examinator tillika initiativtagare till examensarbetet Erling Nordlund för möjligheten att få utföra examensarbetet. Jag vill även tacka min handledare Andreas Eitzenberger för all hjälp med olika frågeställningar under arbetets gång och för den noggranna granskningen av rapporten. Jag vill även tacka Ping Zhang som utvecklat programmet som använts för studier av parallella sprickor. Luleå, augusti 2009 / Magnus Persson i

5 ii

6 Sammanfattning Antalet järnvägstunnlar i tätbebyggda områden kommer att öka de närmaste 20 åren. Därför finns behov av bra förutsägelser om vibrationer och ljud orsakade av tåg i fastigheter utmed de planerade tunnelsträckningarna. Förståelsen för hur tåginducerade vibrationer propagerar i bergmassan är i dagsläget begränsad. Eventuella för och nackdelar med bergets och sprickors egenskaper kan då inte utnyttjas optimalt. Syftet med detta examensarbete är att studera hur lågfrekventa vågor propagerar genom (i) en godtyckligt orienterad spricka samt (ii) multipla parallella sprickor. Detta görs med hjälp av analytiska lösningar beskrivna av Pyrak Nolte (1990a) och Cai & Zhao (2000). Studien är inriktad på svenska bergförhållanden, dvs. relativt hårt berg. När en seismisk våg färdas genom bergmassan dämpas den dels av att energi omvandlas till värme till följd av friktion mellan mineralkornen i bergmassan. Men det mesta av dämpningen sker genom att vågenergi reflekteras vid sprikor och bergartsgränser i bergmassan. Hur stor del av vågenergin som transmitteras respektive reflekteras vid en spricka bestäms av sprickans normalstyvhet och skjuvstyvhet, infallsvinkeln, vågens frekvens, vågutbredningshastighet och bergmaterialets densitet. Finns det en grupp av sprickor som ligger parallellt orienterade och relativt tätt i förhållande till våglängden påverkas transmissionen av multipla reflektioner. I rapporten har konstaterats att: Infallsvinkelns påverkan på vågtransmissionen är liten då P vågor med låg frekvens (10 Hz) infaller mot en enskild spricka Infallsvinkelns påverkan på vågtransmissionen är större då S vågor med låg frekvens (10 Hz) infaller mot en enskild spricka Hög sprickstyvhet ger hög transmission av vågenergi medan lägre sprickstyvhet ger lägre transmission Beräkningsmodellen som används för enskilda torra sprickor ifrågasätts då stora avvikelser från grundantaganden har konstaterats Multipla parallella sprickor påverkar transmissionen av vinkelrätt infallande P vågor så att: Ökat antal parallella sprickor minskar transmissionen Ökad frekvens på den infallande vågen ger lägre transmission Ökad sprickstyvhet ger högre transmission Tätt placerade sprickor (i förhållande till våglängden) ger upphov till superpositionseffekter av vågenergin vilket ökar transmissionen Slutsatserna i rapporten har nåtts genom studier av endast en beräkningsmodell. För att verifiera resultaten behövs en jämförelse mot andra beräkningsmodeller. Modellen som använts för att testa infallsvinkelns betydelse har brister när sprickor med låg styvhet behandlas (<1 GPa/m). I fall med låga sprickstyvheter (<1 GPa/m) bör således andra modeller användas. iii

7 iv

8 Summary The number of railroad tunnels in densely populated areas will increase within the next 20 years. The need for good predictions of noise and vibrations in buildings along planned tunnels is therefore evident. The understanding of how train induced vibrations propagates in the rock mass is today limited. Thereby the eventual pros and cons with attenuation of wave energy by cracks cannot be used in an optimal way. The purpose of this thesis is to study how low frequency waves propagates through (i) an arbitrary oriented crack and (ii) multiple parallel cracks. This will be accomplished by analytical studies described by Pyrak Nolte (1990a) and Cai and Zhao (2000). The study aims for Swedish rock characteristics, which means relatively firm rock. When a seismic wave propagates through the rock mass it will be attenuated as energy transforms into heat as a result of friction between mineral grains. But, the major part of the attenuation will occur at cracks where reflection and transmission of the wave will take place. Which portions of the wave that will be reflected or transmitted is determined by the normal and shear stiffness of the crack, angle of incidence, wave frequency, wave velocity and rock density. Is there a parallel oriented group of cracks relatively densely in relation to wave length the transmission will be affected by multiple reflections. In this thesis it has been found that The angle of incidence is of low importance when P waves of low frequency (10Hz) impinges on a single crack The angle of incidence is of greater importance when S waves of low frequency (10Hz) impinges on a single crack High joint stiffness gives high transmission of wave energy while less stiff joints gives less transmission of wave energy The computational model which has been used to analyze single dry joints is questioned as it deviates from the assumption of energy conservation Multiple parallel joints affect the transmission of perpendicularly impinging P waves so that: Increased number of parallel joints decreases the transmission Increased frequency of the impinging wave gives less transmission Increased joint stiffness gives higher transmission Densely grouped parallel cracks (in comparison to wave length) arises superposition effects which increases transmission of wave energy The findings of this thesis have been reached trough studies of only one computational model. To verify the results a comparison to other models is necessary. The model used to analyze effects of different angels of incidence has low credibility at low joint stiffness (<1 GPa/m). When analyzing joints with stiffness less than 1 GPa/m another model should be used. v

9 vi

10 Innehållsförteckning Förord... i Sammanfattning... iii Summary... v Innehållsförteckning... vii 1 Introduktion Bakgrund Syfte och tillvägagångssätt Teoretisk bakgrund för vågutbredning i bergmassan Elastiska vågor Longitudinella vågor Transversella vågor Bergmassans egenskaper Enskild torr sprickas påverkan på vågutbredning Pyrak Nolte displacement discontinuity model Antaganden och begränsningar Analys Betydelse av infallsvinkel samt sprickstyvhet vid enskilda sprickor Modellbeskrivning Indata Analys Resultat Multipla parallella sprickor Analys av multipla parallella sprickor Diskussion och slutsatser Diskussion Infallsvinkel och sprickstyvhet Parallella sprickor Slutsatser Fortsatt forskning Referenser Appendix 1 Allmän lösning för infallande våg mot torr spricka Appendix 2 Indatafil till Matlab för beräkning av infallande P våg Appendix 3 Method of characteristics för en endimensionell våg vii

11 viii

12 1 Introduktion 1.1 Bakgrund Antalet järnvägstunnlar i tätbebyggda områden kommer att öka de närmaste 20 åren beroende på att den begränsade ytan ovan jord inte ger utrymme för den expansion av infrastrukturen som är nödvändig. Därför finns ett behov av bra förutsägelser om vibrationer och ljud orsakade av tåg i fastigheter utmed de planerade tunnelsträckningarna. För närvarande saknas förståelse för hur tåginducerade vibrationer propagerar i bergmassan. Av den anledningen kan eventuella för och nackdelar med bergets och sprickors egenskaper inte utnyttjas optimalt. Eitzenberger (2008) visade att sprickor påverkar lågfrekventa tåginducerade vågors utbredning. I synnerhet påverkades amplituden och då främst för sprickor med låg styvhet. Eftersom komplexiteten är stor i fall där sprickgrupper med parallella sprickor förekommer, samt att kännedomen om infallsvinkelns betydelse för transmission respektive reflektion av seismiska vågor vid diskontinuiteter i bergmassan är begränsad studeras i denna rapport infallsvinkelns betydelse för enskilda sprickor vid olika sprickstyvheter. Även inverkan av sprickantal, frekvens och styvhet på transmissionen vid parallella sprickor studeras. 1.2 Syfte och tillvägagångssätt Syftet med detta examensarbete är att studera hur lågfrekventa vågor propagerar genom (i) en godtyckligt orienterad spricka samt (ii) multipla parallella sprickor. Detta görs med hjälp av analytiska lösningar beskrivna av Pyrak Nolte (1990a) och Cai & Zhao (2000). Studien är inriktad på svenska bergförhållanden, dvs. relativt hårt berg. 1

13 2

14 2 Teoretisk bakgrund för vågutbredning i bergmassan 2.1 Elastiska vågor En elastisk våg uppstår när en partikel tas ur sitt jämviktstillstånd av någon form av last. Partikeln påverkar intilliggande partiklar och en kedjereaktion uppstår där energi transporteras genom mediet utan att material transporteras. I elasticitetsteorin antas en kropp utsatt för laster vara i jämvikt och de elastiska deformationerna antas ha nått sina statiska värden. Detta antagande kan accepteras i fall där lasten är långvarig eller statiska lösningar på konstruktioner beräknas. För fall där lasten påförs under en väldigt kort tid eller är väldigt föränderlig måste effekten av spänningsvågor beaktas. Om ett oändligt, homogent, isotropiskt och elastiskt medium utsätts för en last kommer två typer av vågor att bildas, longitudinella vågor och transversella vågor (Kolsky, 1963) Longitudinella vågor Longitudinella vågor, kompressionsvågor eller p vågor som de mer vanligt kallas, har en partikelrörelse som är parallell med utbredningsriktningen. Utbredningshastigheten för p vågor i ett oändligt medium beräknas enligt sambandet / (2.1) Där är p vågens utbredningshastighet, är materialets elasticitetsmodul, är densiteten hos materialet vilket vågen färdas genom och är materialets tvärkontraktionstal. Om en p våg färdas genom en lång stång där våglängden är mycket större än stångens laterala dimension kan mediet expandera lateral. För fall där lateral expansion är möjlig beräknas p vågens hastighet / (2.2) För att förtydliga skillnaden mot fall där vågen propagerar i en oändlig massa ( ), betecknas utbredningshastigheten i en stång. P vågens hastighet i en lång stång blir alltid lägre än vad den skulle bli i ett oändligt medium med samma materialparametrar Transversella vågor Skjuvvågen eller s vågen som den kallas har till skillnad från p vågen en partikelrörelse som är vinkelrät mot utbredningsriktningen. Partikelrörelsen kan vara orienterad hur som helst men brukar förenklas genom polarisering till en horisontell (SH våg) och en vertikal (SV våg) komponent (Das, 1993). Utbredningshastigheten för s vågor beräknas enligt sambandet: / / 21 (2.3) där är s vågens utbredningshastighet, är materialets skjuvmodul, är materialets elasticitetsmodul, är densiteten hos materialet vilket vågen färdas genom och är materialets tvärkontraktionstal. 3

15 Andra vågtyper som förekommer är Raleighvågor och Lovevågor. Dessa har sin största energitransport längs fria ytor och kallas därför ytvågor. Dessa vågtyper kommer inte att behandlas vidare i denna rapport. 2.2 Bergmassans egenskaper Bergmassans egenskaper påverkar i stor utsträckning seismiska vågors karaktär. Bergmassan är förutom själva bergkristallerna uppbyggd av porer och hålrum som i vissa fall är förenade genom sprickor. Sprickorna kan variera i storlek allt från några få millimeter till hundratals meter vilket gör att bergmassan blir allt mer komplex ju större skala den betraktas i. Figur 1 visar betydelsen av skalan i vilken berget betraktas. Ett laboratorieprov innehåller betydligt färre diskontinuiteter än vad ett prov i större skala gör. Figur 1 Skalberoendet hos en bergmassa (modifierad från Eitzenberger, 2008) Skalberoendet gör det svårt att dra några slutsatser om hela bergmassans seismiska egenskaper genom tester på små prov i laboratoriemiljö, utan endast det intakta bergets egenskaper är möjliga att testa. Lama & Vutukuri (1978) listade en rad parametrar som spelar en roll för vågutbredningshastigheten i intakt berg, dessa är: bergart, textur, anisotropi, densitet, porositet, vatteninnehåll, spänning och temperatur. Vågutbredningshastigheten är oftast högre i kompakta bergarter med hög densitet. Vågutbredningshastigheten i de mineraler som ingår i en bergart styr även vilken hastighet en våg kommer ha genom bergarten. T.ex. ger ökad kvartshalt lägre hastighet medan högre halt av hornblände ger högre hastighet. En finkornig textur ger ofta en högre vågutbredningshastighet än mer grovkorniga texturer. Anisotropi i bergmaterialet innebär att det har olika egenskaper i olika riktningar. I en sedimentär bergart är anisotropin tydlig. När vågutbredning sker vinkelrätt mot skiktningsplanet utsätts vågen för kraftig dämpning medan den vid vågutbredning parallellt med skiktningen knappt utsätts för någon dämpning. Densiteten spelar en nyckelroll för vågutbredningshastigheten. Högre densitet är oftast analogt med en högre vågutbredningshastighet. När densiteten ökar innebär det mindre kornstorlek, färre porer och starkare låsning mellan partiklarna i materialet. Porer i bergmaterial är hålrum mellan de fasta bergkristallerna, dessa hålrum är fyllda med gas eller vätska och kan ibland vara fyllda med mjuka mineraler som migrerat in i poren från intilliggande material. Alla dessa medier har betydligt lägre våghastighet än bergkristallerna varför ökad porositet leder till lägre vågutbredningshastighet. Är spänningen i berget hög sluts sprickor och porer vilket gör att seismiska vågor kan propagera mer obehindrat. I större skala utsätts vågen för större sprickor och variationer i bergmaterial vilka kan påverka vågens utbredning. Även geometrisk dämpning är aktuell när vågen färdas allt längre från sin källa. Eftersom 4

16 vågen sprider sig radiellt från sin källa innebär detta att dess energi fördelar sig på en allt större yta när avståndet till källan växer. Är materialet i vilket vågen propagerar fullständigt elastiskt är geometrisk dämpning den enda anledningen till att vågamplituden dämpas. Bergmaterial är sällan eller aldrig fullständigt elastiska utan en viss del av vågens energi försvinner genom materialdämpning. Materialdämpning innebär att när materialet deformeras elastiskt under vågens inverkan så förverkas en del av vågens energi som friktion i materialet Enskild torr sprickas påverkan på vågutbredning När en seismisk våg faller in mot en spricka i berget kommer en viss del av energin i vågen att reflekteras medan resterande transmitteras. Om vågen faller in i rät vinkel mot sprickplanet kommer endast en transmission och reflektion av den infallande vågtypen ske. Men om vågen infaller i en vinkel mindre än 90 o i förhållande till sprickplanet kan, beroende på den infallande vågtypen, upp till fyra nya vågor bildas. Figur 2 visar hur de olika vågtyperna bryts och transformeras vid passage av en spricka. Hur stor andel av vågorna som reflekteras respektive transmitteras beror på bl.a.: sprickans normal och skjuvstyvhet frekvensen vågutbredningshastigheten bergmaterialets densitet vågens infallsvinkel En spricka med mycket hög styvhet kan betraktat som en svetsad kontakt eller en kontakt mellan två bergarter. Transmissionen är då väldigt hög. Om styvheten i stället är låg kan sprickan betraktas som en fri yta där endast reflektion sker. Eftersom deformationen vid påverkan av seismiska vågor är elastisk är förhållandet mellan spänning och töjning linjärt. En sprickas normal och skjuvstyvhet kan då beskrivas som spännings/töjnings förhållandet i normal och skjuvriktningen. Frekvensberoendet hos sprickor kan enkelt förklaras som att sprickan fungerar som ett frekvensfilter där lågfrekventa vågor släpps i genom medan högfrekventa reflekteras (dvs. filtreras bort). Detta har troligen att göra med att våglängden hos lågfrekventa vågor är mycket större än sprickvidden medan skillnaden blir mindre när frekvensen höjs. Bergmaterialets densitet påverkar den seismiska impedansen (2.4) där är den seismiska impedansen är densiteten och är vågutbredningshastigheten. För p vågor har och index p medan de för s vågor har index s. Eitzenberger (2008) visade att densitetens inverkan på transmissionen är liten. Han visade även att vågutbredningshastigheten har relativt liten inverkan medan frekvensen och styvheten har störst inverkan. Detta gäller för svenska förhållanden med antagandet att bergmassans egenskaper inte har allt för stor spridning. Figur 2 (a) Infallande P våg, (b) Infallande SV våg, (c) Infallande SH våg (Pyrak Nolte, 1990b) 5

17 2.3 Pyrak Nolte displacement discontinuity model Vid laboratorieförsök har konstaterats att prov innehållande sprickor får större förskjutningar vid förändrade normal och skjuvspänningar än vad intakta prov får (Pyrak Nolte, 1990a). Förskjutningarna har visats häröra från en koncentrerad yta runt sprickan i provet, m.a.o. har deformationer av provet uppstått i sprickplanet till följd av de förändrade spänningarna. Denna observation leder till att de extra förskjutningar som uppkommer i anslutning till sprickor kan representeras som diskontinuiteter i förskjutningsfältet. Experiment har även visat att sprickdeformationen är en ickelinjär funktion av spänningen. Specifik styvhet är tangenten till spännings deformationskurvan och beskriver således förhållandet mellan ökad spänning och deformation. Specifik styvhet kan anses vara en relevant parameter för att beskriva vågutbredning i bergmassan då den på ett kvantitativt sätt beskriver den mekaniska kopplingen mellan två sprickplan (Pyrak Nolte, 1990b). Baserat på detta har displacement discontinuity modellen för beräkning av transmission respektive reflektion av vågenergi vid sprickplan härletts Antaganden och begränsningar En begränsning med displacement discontinuity modellen är att den seismiska våglängden måste vara större än avståndet mellan asperitetskontakterna. Vid tåginducerade vibrationer är detta inget problem eftersom våglängderna då är långa. Randvillkoren för beräkningsmodellen är för infallande P våg och SV våg att normalförskjutningsskillnaden före och efter sprickan är kvoten av normalspänningen och normalstyvheten, skjuvförskjutningsskillnaden före och efter sprickan är kvoten av skjuvspänningen och skjuvstyvheten, normalspänningen och skjuvspänningen är kontinuerlig över sprickan, vilket kan sammanfattas i sambanden (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) där är normalförskjutningen, är skjuvförskjutningen, är normalspänningen, är skjuvspänningen, är normalstyvheten och är skjuvstyvheten. För SH vågor gäller sambanden (2.6) och (2.8) fast med skjuvriktningen polariserad till horisontalplanet. Brytningsvinklar mellan olika vågor förhåller till sig till infallsvinkeln enligt Snells lag. För infallande P våg gäller sambandet sin sin sin sin sin (2.9) för infallande SV våg gäller sambandet sin sin sin och för SH våg gäller sambandet sin sin (2.10) 6

18 sin sin sin (2.11) där index och vinklar beskrivs i Figur 2. Från dessa samband kan ekvationen för en enskild torr spricka härledas, givet att den oändliga sprickan ligger mellan två i övrigt oändliga, homogena och elastiska block. Pyrak Nolte (1990a) har härlett och ställt upp matrisen för den allmänna lösningen för vågutbredning över en enskild torr spricka. Dessa ekvationer är väldigt utrymmeskrävande och redovisas därför i Appendix 1. Modellen bygger på att energin ska bevaras, dvs R T 1 (2.12) där är koefficienten för reflekterad P våg, är koefficienten för reflekterad S våg, är koefficienten för transmitterad P våg och är koefficenten för transmitterad S våg. Om summan av transmission och reflektion är skild från 1 har energi tillförts eller gått förlorad vilket inte är möjligt i elastiska material. 7

19 8

20 3 Analys 3.1 Betydelse av infallsvinkel samt sprickstyvhet vid enskilda sprickor Modellbeskrivning För att undersöka sprickorienteringen samt styvhetens inverkan på transmission respektive reflektion av seismiska vågor användes sambanden redovisade i Appendix 1 samt vinkelförhållandena enligt Snells lag (dvs. ekvationerna (2.9) (2.10)). För fallet där en våg infaller vinkelrät mot sprickplanet och båda sidor består av samma material kan uttrycket förenklas betydligt. För en P våg som infaller vinkelrätt 0 mot ett sprickplan blir matrisen (3.1) där är vinkelfrekvensen (dvs. 2 ), är reflektionskoefficienten och är transmissionskoefficienten. Index och står för P våg respektive S våg, och 1 för material 1 och 2 för material 2. Beräkning av matrisen ger följande samband (3.2) 0 (3.3) (3.4) 0 (3.5) Då vi har ett sprickplan i en bergmassa antas att materialet på båda sidor har samma egenskaper, vilket ger och. Insatt i ekv (3.4) och (3.5) ger det att 1 och. Ekvation (3.2) ger då: 2 2 (3.6) 2 (3.7) För att undgå problemet med imaginära tal tas absolutbeloppet av de olika koefficienterna 9

21 (3.8) (3.9) Reflektions och transmissionskoefficienterna för infallande P SV samt SH våg för övriga vinklar löstes ut på samma sätt ur uttrycken givna i Appendix 1. Datorprogrammet Matlab användes för beräkningarna (se datafil i Appendix 2) Indata Värden på de bergparametrar som använts i analysen är hämtad från (Eitzenberger, 2008) och ska efterlikna svenska bergförhållanden (se Tabell 1). Då målet med denna studie är att undersöka sprickorienteringens samt styvhetens inverkan på vågutbredningen används normalvärden för övriga parametrar (dvs. densitet och vågutbredningshastighet) medan styvheten varieras mellan sitt minoch maxvärde och infallsvinkeln varieras mellan 0 o och 90 o. Frekvensen som används är 10Hz. Tabell 1 Bergmasseparametrar för analys av vågtransmission över en enskild spricka (Eitzenberger, 2008). Parameter Min Normalfall Max Densitet [kg/m 3 ] P vågshastiget [m/s] Normalstyvhet [GPa/m] S vågshastighet [m/s] Skjuvstyvhet [GPa/m] Analys Infallsvinkelns samt styvhetens inverkan på reflektions och transmissionskoefficienterna studerades för respektive vågtyp genom att för varje infallsvinkel mellan 0 o och 90 o plotta värdena på den allmänna lösningen enligt Appendix 1. Normal och skjuvstyvhetens inverkan testades genom att först låta skjuvstyvheten ha ett konstant värde 0,5 GPa/m medan normalstyvheten höjdes i fyra steg från 0,5 till 50 GPa/m (se Figur 3a d för infallande P våg, Figur 6a d för infallande SV våg). Anledningen till att detta styvhetsintervall valts är att modellen är framtagen för torra ofyllda sprickor. I normala svenska förhållanden innebär lägre styvheter än 0,5 GPa/m att någon form av fyllnadsmaterial finns i sprickan. Styvare sprickor än 50 GPa/m testas heller inte eftersom dessa inte ger någon betydande inverkan på vågutbredningen. Skjuvstyvhetens inverkan testades på motsvarande sätt genom att hålla normalstyvheten konstant på 50 GPa/m medan skjuvstyvheten höjdes från 0,5 till 5 GPa/m (se Figur 4a b infallande P våg, Figur 7a d för infallande SV våg samt Figur 9a b för infallande SH våg). 10

22 3.1.4 Resultat P våg Figur 3 visar hur reflektions respektive transmissionskoefficienterna beror på infallsvinkeln samt normalstyvheten. Koefficienterna har störst variation då både normal och skjuvstyvheten är låg (Figur 3a). När normalstyvheten ökar (se Figur 3a Figur 3d) så ökar transmissionen av den infallande vågen medan transmissionen och reflektionen av övriga vågor minskar. Även infallsvinkelns inverkan på koefficienterna minskar med ökad normalstyvhet. När infallsvinkeln är nära parallella med sprickplanet uppvisar modellen ett starkt vinkelberoende för alla styvheter (jmf. Figur 3a Figur 3d). a) b) c) d) Figur 3 Reflektions och transmissionskoefficienter som funktion av infallsvinkel för olika normalstyvheter, P våg. I Figur 4 har effekten av ökad skjuvstyvhet isolerats genom att sätta normalstyvheten till 50 GPa/m. Ökas skjuvstyvheten till 5 GPa/m eller mer går modellen mot att bli allt mindre vinkelberoende (jmf. Figur 4a Figur 4b). Dock kvarstår det starka beroendet nära 90 o infallsvinkel. 11

23 a) b) Figur 4 Reflektions och transmissionskoefficienter som funktion av infallsvinkel för olika skjuvstyvheter, P våg För att utvärdera om antagandet om energikonservation är uppfyllts plottades summan av kvadraten av reflekterade samt transmitterade vågor enl. ekvation (2.12). För att villkoret ska vara uppfyllt ska summan vara 1, dvs. all energi finns kvar i vågen efter interaktion med sprickan. För sprickor med stor styvhet ( 10 GPa/m) är avvikelsen från energikonservationsvillkoret mindre än för sprickor med låg styvhet. I det fall där 0,5 GPa/m är avvikelsen störst. Vid infallsvinkel mellan 30 o och 40 o är avvikelsen +10% medan avvikelsen vid ca 86 o är hela 25% (se Figur 5a). Villkoret är enbart uppfyllt när infallsvinkeln är 0 o eller 90 o. I Figur 5d kan man se att energibalansen närmar sig 1 när normal och skjuvstyvheten är relativt höga. a) b) c) d) Figur 5 a) c) Energifaktor som funktion av infallsvinkel för olika normalstyvheter. d) Energifaktor som funktion av infallsvinkel för hög normal och skjuvstyvhet, P våg. 12

24 SV våg Figur 6 visar hur reflektions respektive transmissionskoefficienterna beror på infallsvinkeln samt normalstyvheten. Koefficienterna för infallande SV våg har likt för P vågen störst variation då både normal och skjuvstyvheten är låg (Figur 6a). När normalstyvheten ökar (se Figur 6a Figur 6d) stabiliseras rätt snabbt effekten av höjd normalstyvhet. I Figur 6b Figur 6d ses att inverkan av höjd normalstyvhet är relativt konstant för styvheter över 5 GPa/m. Infallsvinkeln har för SV vågor en mer påtaglig inverkan på koefficienterna än för P vågor. När infallsvinkeln är ca 35 o blir den transmitterade P vågen nära parallella med sprickplanet (dvs P vågens brytningsvinkel relativt sprickans normalplan 90 o ). Detta kan verifieras med ekvation (2.9) som, för 2600 m/s och 4500 m/s, ger sin sin sin 2600 sin sin Detta syns tydligt om kurvan för transmitterad respektive reflekterad P våg studeras (Figur 6 a d). a) b) c) d) Figur 6 Reflektions och transmissionskoefficienter som funktion av infallsvinkel för olika normalstyvheter, SV våg. 13

25 I Figur 7 har effekten av ökad skjuvstyvhet isolerats genom att sätta normalstyvheten till 50 GPa/m och skjuvstyvheten sätts till 0,5 respektive 5 GPa/m. Ökas skjuvstyvheten till 5 GPa/m transmitteras den infallande SV vågen till stor del. Endast en liten andel reflekteras som SV våg och en obetydlig del transformeras som P våg. Vid ökad skjuvstyvhet går modellen även mot att bli allt mindre vinkelberoende (jmf. Figur 7a b). a) b) Figur 7 Reflektions och transmissionskoefficienter som funktion av infallsvinkel för olika skjuvstyvheter, SV våg Energikonservationsvillkoret kontrollerades även för fallet med infallande SV våg. I likhet med vad som konstaterats för infallande P våg avviker energibalansen kraftigt för sprickor med låg styvhet. Bortser man från avvikelsen vid 35 o så varierar värdet mellan ca 0,95 1,05 (Figur 8a). Ökas styvheten blir avvikelsen från 1 mindre (jmf. Figur 8a d). a) b) c) d) Figur 8 a) c) Energifaktor som funktion av infallsvinkel för olika normalstyvheter. d) Energifaktor som funktion av infallsvinkel för hög normal och skjuvstyvhet, SV våg. (Observera att annan skala används i 8a) 14

26 SH våg Vid infallande SH våg sker ingen transformation av vågen utan enbart en reflektion och en transmission. I Figur 9 syns infallsvinkelns inverkan på transmission och reflektion. Vid låg styvhet (Figur 9a) är fördelningen mellan reflektion och transmission vinkelberoende men när skjuvstyvheten höjs sjunker beroendet. För Infallande SH våg är engergikonservationsvillkoret alltid uppfyllt oavsett styvhet (se Figur 10). a) b) Figur 9 Reflektions och transmissionskoefficienter som funktion av infallsvinkel för olika skjuvstyvheter, SH våg Figur 10 Energifaktor som funktion av infallsvinkel för olika skjuvstyvheter. 15

27 3.2 Multipla parallella sprickor När en våg faller in mot multipla parallella sprickor kommer vågen konverters och multipla reflektioner förekommer samtidigt mellan sprickorna (Zhao et al., 2006). Detta gör att vågreflektioner och transmissioner över multipla parallella sprickor blir betydligt mer komplexa än i fallet med en enkel spricka. Pyrak Nolte (1990b) utvecklade lösningen för en enkel spricka till att gälla för multipla parallella sprickor. Den utökade lösningen tar hänsyn till infallsvinkel vid parallella sprickor. I lösningen förutsätts att materialet mellan sprickorna har samma seismiska impedans och att sprickorna har samma sprickstyvhet. Reflektioner till följd av multipla sprickor ignoreras vilket gör att lösningen endast kan appliceras där sprickorna är relativt glest fördelade i förhållande till våglängden. Transmissionskoefficienten för en endimensionell våg som infaller vinkelrät mot och propagerar genom en grupp av parallella sprickor kan uppskattas (3.10) där är transmissionskoefficienten för en spricka och är antalet sprickor. Cai och Zhao (2000) betraktade reflektion och dämpning av en P våg när den färdades genom en zon av multipla linjärelastiska sprickor. De kombinerade det linjära deformationsbeteendet med the method of characteristics (en matematisk modell där partiella differentialekvationer förenklas så att de kan lösas utifrån givna indata) och kunde på så vis bestämma partikelhasighet och spänningar på var sida om sprickan (se Appendix 3). Transmissions och reflektionskoefficienterna definieras av förhållandet mellan partikelhastigheten hos den reflekterade och transmitterade vågen och amplituden hos den infallande vågen. På grund av komplexiteten hos ekvationerna används numerisk iteration. Cai och Zhao (2000) beaktar effekten av varje enskild spricka men även effekten av multipla reflektioner. I modellen antas att den slutliga vågen är resultatet av superposition av multipelt reflekterade och transmitterade vågor. Displacement discontinuity villkoret för enskilda sprickor är medtaget i vågekvationen vilket gör att partikelhastighet och förskjutning kan bestämmas före och efter varje spricka i en sprickgrupp. Genom att använda denna modell kan transmissionskoefficienterna för vågor som färdas över multipla parallella sprickor bestämmas. Cai och Zhao (2000) använde fallet med vinkelrätt infallande våg för att undvika effekten av infallsvinkel. Modellen kan på så vis användas för att utvärdera frekvensens (alt. våglängdens) liksom sprickstyvhetens påverkan på transmissionen. Cai och Zhao (2000) introducerade det dimensionslösa sprickavståndet i sin analys. är förhållandet mellan sprickavstånd och våglängd. I studien av Zhao et al. (2006) fann man att transmissionskoefficienten över två parallella sprickor ökar med ökande specifik styvhet /. De fann även att det finns tre regioner i förhållandet mellan sprickavstånd och våglängd, och. Värdet på och varierar med sprickantalet enligt Figur

28 Figur 11 Transmissionen T som funktion av antal sprickor med gränsvärden för transmissionszoner inritade. (modifierad från Zhao et al., 2006) När förblir transmissionskoefficienten konstant eftersom vågorna anländer vid olika tidpunkt, vilket kan tolkas som att sprickorna bidrar enskilt till dämpningen av vågen (Ekvation (3.10) gäller). I området definierat av (övergångszonen) ökar transmissionen från det konstanta värdet till ett maximum när minskar. När (småavståndszonen) minskar transmissionen från sitt maximala värde. När förhållandet blir väldigt litet 0 agerar två intilliggande sprickor som en enskild spricka med styvheten /2. Övergångszonen och småavståndszonen kallas tillsammans superpositionszonen i detta område är inverkan av multipla reflektioner stor (Ekvation (3.10) gäller ej) Analys av multipla parallella sprickor Vågutbredning över sprickor har analyserats med hjälp av metoden utvecklad av Cai och Zhao (2000). I analysen har transmission över 1, 2, 5 och 10 parallella sprickor studerats för frekvenserna 10 Hz, 50 Hz och 250 Hz. Bergmaterialparametrar som använts vid analyserna är typfallen presenterade i Tabell 1. I Figur 12 visas hur antalet parallella sprickor påverkar transmissionen för P vågor vid olika frekvenser. Bergparametrar enligt minvärden i Tabell 1. Fler sprickor samt högre frekvens medför lägre transmission. Ökat antal parallella sprickor ger en bredare superpositionszon. Även frekvensen har en inverkan på superpositionszonens bredd. Vid höga frekvenser blir zongränserna svåra att urskilja. 17

29 Transmissionskoefficient T Minvärden 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 1/20 1/10 3/20 1/5 1/4 3/10 7/20 2/5 9/20 1/2 Förhållande mellan sprickavstånd och våglängd 2 sprickor, 10 Hz 5 sprickor, 10 Hz 10 sprickor, 10 Hz 2 sprickor, 50 hz 5 sprickor, 50 Hz 10 sprickor, 50 Hz 2 sprickor, 250 Hz 5 sprickor, 250 Hz 10 sprickor, 250 Hz Figur 12 Transmissionskoefficienter som funktion av dimensionslösa sprickavståndet för olika antal sprickor och vid olika frekvenser. Bergparametrar enligt Minvärden i Tabell 1. Jämförs Figur 12 och Figur 13 kan man se styvhetens inverkan. Högre styvhet ger ökad transmission för alla testade sprickantal samt frekvenser. Inverkan av multipla reflektioner avtar kraftigt när transmissionen närmar sig 1 samtidigt som effekten blir tydligare för de kombinationer av sprickantal och frekvenser som tidigare haft låg transmission. Normalvärden Transmissionskoefficient T 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 1/20 1/10 3/20 1/5 1/4 3/10 7/20 2/5 9/20 1/2 Förhållande mellan sprickavstånd och våglängd 2 sprickor, 10 Hz 5 sprickor, 10 Hz 10 sprickor, 10 Hz 2 sprickor, 50 Hz 5 sprickor, 50 Hz 10 sprickor, 50 Hz 2 sprickor, 250 Hz 5 sprickor, 250 Hz 10 sprickor, 250 Hz Figur 13 Transmissionskoefficienter T som funktion av dimensionslösa sprickavståndet ξ för olika antal sprickor och vid olika frekvenser. Bergparametrar enligt Normalvärden i Tabell 1. 18

30 Studeras Figur 14 bekräftas att högre styvhet ger högre transmission samtidigt som effekten av multipla reflektioner blir liten när transmissionen närmar sig 1. Transmissionskoefficient T Maxvärden 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 1/20 1/10 3/20 1/5 1/4 3/10 7/20 2/5 9/20 1/2 Förhållande mellan sprickavstånd och våglängd 2 sprickor, 10 Hz 5 sprickor, 10 Hz 10 sprickor, 10 Hz 2 sprickor, 50 Hz 5 sprickor, 50 Hz 10 sprickor, 50 Hz 2 sprickor, 250 Hz 5 sprickor, 250 Hz 10 sprickor, 250 Hz Figur 14 Transmissionskoefficienter T som funktion av dimensionslösa sprickavståndet ξ för olika antal sprickor och vid olika frekvenser. Bergparametrar enligt Maxvärden i Tabell 1. 19

31 20

32 4 Diskussion och slutsatser 4.1 Diskussion Infallsvinkel och sprickstyvhet Vid infallande P våg är infallsvinkelns betydelse för transmission av P vågor när de propagerar över enskilda sprickor liten i vinkelspannet 0 o 80 o. Höjs normalstyvheten minskar vinkelberoendet ytterligare och begränsas till mellan 80 o och 90 o där beroendet är kraftigt för samtliga sprickstyvheter som testats (Figur 3a d). Höjs skjuvstyvheten försvinner infallsvinkelns effekt helt för vinklar mindre än ca. 87 o (Figur 4b). Anledningen till att P vågor påverkas så lite av infallsvinkeln i testerna som utförts kan vara att sprickvidden i förhållande till vågländen är liten. Vilket gör att vågen påverkas mycket lite av sprickan. När infallsvinkeln är stor (>80 o ) påverkas vågen av sprickan under längre tid då dess utbredningsriktning nästan sammanfaller med sprickans orientering. Ökade sprickstyvheter gör att sprickan allt mer liknar intakt berg. Detta medför att vågen påverkas allt mindre av sprickans orientering om styvheten ökas. För S vågor är infallsvinkelns inverkan däremot av stor betydelse för transmission och reflektion så länge skjuvstyvheten är låg (0,5 GPa/m). För infallande SV och SHvågor är vinkelberoendet kraftigare i hela vinkelspannet. Anledning till att infallsvinkeln har större påverkan på S vågor är att S vågor mest påverkas av skjuvstyvheten hos sprickan. Skjuvstyvheten är alltid mindre eller lika med normalstyvheten vilket gör att påverkan blir större för infallande S våg än för infallande P våg mot en given spricka. Pyrak Nolte (1990a), Eitzenberger (2008) m.fl. har i sina rapporter presenterat liknande resultat beträffande sprickstyvheten för vågor vinkelrätt infallande mot sprickor. Försöken har baserats på svenska bergförhållanden med relativt hårt berg, sprickorna har antagits vara torra och ofyllda. För dessa förhållanden borde beräkningsmodellen föreslagen av Pyrak Nolte (1990a) passa väl. Beräkningsmodellen kan dock ifrågasättas då avvikelser från antagandet om energikonservation inte är uppfyllt. I Figur 5 och Figur 8 kan konstateras att för infallande P våg blir avvikelsen från antagandet stort då sprickstyvheten är låg (upp till 25%). För styvare sprickor är avvikelsen mindre (~2,5%). För infallande SV våg uppstår en kraftig avvikelse omkring infallsvinkeln 35 o. Troligtvis är modellen inte giltig just omkring de vinklar där den transmitterade P vågen blir parallell med sprickplanet (se ekvation (2.10)). Effekten av detta är tydligare vid lägre sprickstyvhet. Att energi frigörs eller försvinner strider mot fundamentala antaganden i elasticitetsteorin vilket medför att modellen inte kan rekommenderas för analys av interaktion med sprickor där infallsvinkeln är annan än vinkelrät. Testen som utförts för att kontrollera energikonservationsvillkoret (ekv.(2.12))är enbart verifierat av andra forskare för fallet med vinkelrätt infallande vågor då enbart reflektion och transmission av den infallande vågtypen sker. Pyrak Nolte (1990a) presenterar även en modell för fyllda sprickor med låg styvhet. I den modellen antas energi försvinna genom friktion i fyllnadsmaterialet. En sådan modell skulle eventuellt ge bättre resultat för sprickor med sprickstyvhet omkring 0,5 GPa/m Parallella sprickor För multipla parallella sprickor kan konstateras att ökad styvhet ger högre transmission av vågor. För att se någon tydlig effekt av varierat sprickantal vid låg frekvens (10 Hz) krävs att sprickstyvheten är låg. I Figur 12 där minvärden enligt Tabell 1 använts kan en tydlig effekt av superposition av 21

33 vågenergi ses för samtliga frekvenser när sprickavstånden minskar. Ökas styvheten blir effekten framför allt för fall med låg frekvens och få sprickor allt mindre då transmissionen går mot 1. För vågor med högre frekvens kan effekten av superposition ses även för styvare sprickor. Det kan även konstateras att superposition av vågenergin sker i ett bredare spektrum av sprickvidder. Försöken i denna rapport bekräftar att ökad vågfrekvens, låg styvhet, samt större antal parallella sprickor ger lägre transmission av vågenergi då en P våg infaller vinkelrätt mot en sprickgrupp med parallella sprickor. Liknande resultat har visats av Cai och Zhao (2000), Zhao (2006), Eitzenberger (2008) m.fl. En svaghet i den utförda analysen är att enbart en beräkningsmodell har använts och således har ingen jämförelse mot andra beräkningsmodeller kunnat göras. 4.2 Slutsatser Utifrån de teoretiska analyser som utförts i denna studie erhålls följande slutsatser: Infallsvinkelns påverkan på vågtransmissionen är liten då P vågor med låg frekvens (10 Hz) infaller mot en enskild spricka Infallsvinkelns påverkan på vågtransmissionen är större då S vågor med låg frekvens (10 Hz) infaller mot en enskild spricka Hög sprickstyvhet ger hög transmission av vågenergi medan lägre sprickstyvhet ger lägre transmission Beräkningsmodellen som används för enskilda torra sprickor ifrågasätts då stora avvikelser från grundantaganden har konstaterats Multipla parallella sprickor påverkar transmissionen av vinkelrätt infallande P vågor så att: Ökat antal parallella sprickor minskar transmissionen Ökad frekvens på den infallande vågen ger lägre transmission Ökad sprickstyvhet ger högre transmission Tätt placerade sprickor (i förhållande till våglängden) ger upphov till superpositionseffekter av vågenergin vilket ökar transmissionen 4.3 Fortsatt forskning För att vidare öka förståelsen för vågutbredning i bergmassan föreslås att: Modellen föreslagen av Pyrak Nolte (1990a) utvärderas ytterligare och felkällor hittas och elimineras Utvärdera modellen för viskösa sprickor för att se om den ger bättre resultat vid låg sprickstyvhet Testa infallsvinkelns betydelse vid multipla parallella sprickor Utföra numeriska analyser (i t.ex. Udec) för att jämföra teoretiska och numeriska verktyg, samt för att kunna analysera mer komplexa fall (t.ex. multipla parallella sprickor med godtyckligt infallande våg) 22

34 5 Referenser Cai, J.G. och Zhao, J. (2000). Effects of multiple parallel fractures on apparent attenuation of stress waves in rock masses. Inter national Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 37, Das, B.M. (1993). Principles of soil dynamics. Boston: PWS KENT Publishing company. Eitzenberger, A. (2008). Inventory of geomechanical phenomena related to train induced vibrations from tunnels. Licentiate thesis 2008:54. Luleå University of Technology. Kolsky, H. (1963). Stress waves in solids. 2nd ed. New York: Dover Publications, Inc. Lama, R.D. and Vutucuri, V.S. (1978). Handbook on mechanical properties of rocks testing techniques and results Volume II. 1st ed. Clausthal, Germany: Trans Tech Publications. Pyrak Nolte, L.J., Myer, L.R. and Cook, N.G.W. (1990a). Transmission of seismic waves across single natural fractures. Journal of Geophysical Research, 95(B6), Pyrak Nolte, L.J., Myer, L.R. and Cook, N.G.W. (1990b). Anisotropy in seismic velocities and amplitudes from multiple parallel fractures. Journal of Geophysical Research, 95(B7), Zhao, J., Zhao, X.B. and Cai, J.G. (2006). A further study of P wave attenuation across parallel fractures with linear deformational behavior. Inter national Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 43,

35 24

36 Appendix 1 Allmän lösning för infallande våg mot torr spricka Formlerna i detta appendix är tagna från Pyrak Nolte (1990a). Formlerna beskriver den allmänna lösningen för reflektions samt transmissionskoefficienter då P, SV, samt SH vågor infallandes i godtycklig vinkel mot en torr spricka. Allmän lösning för infallande P våg mot torr spricka cos sin cos cos 2 sin sin 2 sin cos sin sin2 cos cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin2 cos 2 sin2 cos 2 cos sin cos 2 sin2 Allmän lösning för infallande SV våg mot torr spricka (A1.1) cos sin cos cos 2 sin sin 2 sin cos sin sin2 cos cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin2 cos 2 sin2 cos 2 sin cos sin 2 cos 2 (A1.1) Allmän lösning för infallande SH våg mot torr spricka cos cos cos cos = Normalstyvhet = Skjuvstyvhet = Seismisk impedans = densitet = utbredningshastighet för p våg = utbredningshastighet för s våg = vinkelfrekvens 2f = Infalls/utfallsvinklar relativt sprickplanets normal (se Figur 2) (A1.2) 25

37 26

38 Appendix 2 Indatafil till Matlab för beräkning av infallande P våg För beräkning av transmissionskoefficienter har nedanstående fil tagits fram. Vid beräkningen varieras parametrarna: f, d1, d2, cp1, cp2, cs1, cs2, kn, ks. Index 1 betecknar den sida av sprickan från vilken vågen faller in och index 2 betecknar den sidan av sprickan där den transmitterade vågen fortsätter. clear all close all f=10; %Frekvens d1=2700; %densitet d2=2700; cp1=4500; %P-vågshastighet cp2=4500; cs1=2600; %C-vågshastighet cs2=2600; kn =0.5*10^9; %Normalstyvhet ks =0.5*10^9; %Skjuvstyvhet zp1 =d1*cp1; %Seismisk impedans P-våg zp2 =d2*cp2; zs1 =d1*cs1; %Seismisk impedans S-våg zs2 =d2*cs2; w =2*pi*f; %Vinkelfrekvens n=1; %Avstånd mellan datapunkterna i hela grader K = zeros(4, 90/n+1); %Uppställning av resultatmatris, fylld med nollor for a=(0:n:90), %Loop som gör att Rp Rs Tp Ts beräknas i %intervallet 0 till 90 med steglängden n a1 = a*pi/180; %Vinklarna görs om till radianer a2 =a1; %Definition av vinklar enligt Snells lag a3 =asin(cp2*sin(a1)/cp1); b2 =asin(cs1*sin(a1)/cp1); b3 =asin(cs2*sin(a1)/cp1); A=[ -kn*cos(a2) kn*sin(b2) -kn*cos(a3)+1i*w*zp2*cos(2*b3) kn*sin(b3)- 1i*w*zs2*sin(2*b3); -ks*sin(a2) -ks*cos(b2) ks*sin(a3)-1i*w*(zs2^2/zp2)*sin(2*a3) ks*cos(b3)-1i*w*zs2*cos(2*b3); -zp1*cos(2*b2) zs1*sin(2*b2) zp2*cos(2*b3) -zs2*sin(2*b3); (zs1^2/zp1)*sin(2*a2) zs1*cos(2*b2) (zs2^2/zp2)*sin(2*a3) zs2*cos(2*b3)]; %A är 4*4-matrisen enligt (Pyrak-Nolte, 1990a) C=[ -kn*cos(a2); ks*sin(a2); zp1*cos(2*b2); (zs1^2/zp1)*sin(2*a2)]; %C är resultatmatrisen till A enligt (Pyrak-Nolte, 1990a) b= abs(inv(a)*c); %b är en vektor som fylls med värdet på absolutbeloppet %av respektive parameter för ett enskilt steg i loopen K(:, a/n+1) = b; %K är en matris där varje kolumn representerar ett steg %i loopen. Första kolumnen motsvarar 0 grader andra 1grad %osv. end %Slut på loopen u =K(1,:).^2+K(2,:).^2+K(3,:).^2+K(4,:).^2; %Beräkning av kontrollvärdet % Rp ^2+ Rs ^2+ Tp ^2+ Ts ^2=1 hold on plot((0:n:90), K(1, : ),'-r') %Plot inställningar plot((0:n:90), K(2, : ),'-b') plot((0:n:90), K(3, : ),'-c') plot((0:n:90), K(4, : ),'-gr') h = legend('rp','rs','tp','ts',2); set(h,'interpreter','none') hold off; 27

39 28

40 Appendix 3 Method of characteristics för en endimensionell våg Appendix 3 är hämtat från Eitzenberger (2008). För att studera beteendet hos elastiska vågor används ofta endimensionella vågor i ett kontinuerligt medium. Baserat på vågens karaktär är det möjligt att ställa upp randvillkor och initialvillkor för praktiska problem så som multipla parallella ytor. I varje lager i planet, där är avståndet och är tiden, är förhållandet konstant längs varje rät linje med lutningen (högergående karaktär), förhållandet är konstant längs varje linje med lutningen (vänstergående karaktär) där är den endimensionella vågens hastighet, är töjningen, och är partikelhastigheten. Eftersom kan förhållandena ovan skrivas om till (högergående) respektive (vänstergående). Partikelhastigheten och normalspänningen är konstanta över tvärsnittet medan töjningen inte är det. Figur 15 Karaktäriska knutpunkter vid heltalsvärden på och i planet (modifierad från Eitzenberger(2008)) Det oberoende dimensionslösa avståndet och den dimensionslösa tiden i planet är definierat av, och (A3.1) (A3.2) där betecknar tiden, är tidsintervallet, är avståndet och är hastigheten hos den propagerande vågen. väljs så att sprickor enbart finns vid heltalsvärden av. Ett obegränsat antal sprickor finns i halvrymden där den vänstra gränsen ligger vid 0, första sprickan ligger vid 1, andra sprickan vid 2, och den sista sprickan vid där är ett heltal. Kontakterna kan behandlas som sprickor eller som svetsade kontakter. Styvheten hos den :te sprickan är och avståndet mellan två intilliggande sprickor är. Berget på var sida om sprickan har olika seismisk impedans och på varje position benämns den akustiska impedansen till vänster och till höger. Det betyder att 1 och 1. För både vänstergående och högergående karaktär kan relationer sättas upp mellan partikelhastighet och normalspänning. Längs den övre högergående karaktären gäller relationen 29

41 , 1, 1 1,1, Medan det för övre vänstergående karaktären gäller att, 1, 1 1,1, På samma sätt gäller att för den nedre vänstergående karaktären gäller, 1, 1 1,1, och längs högergående karaktären gäller (A3.3) (A3.4) (A3.5), 1, 1 1,1, (A3.6) Ekvationerna (A3.3) (A3.6) är uttryck för relationen mellan partikelhastighet före och efter de tre intilliggande sprickorna. Addition av ekvationerna (A3.3) (A3.6) ger, 1, 1 2 1,2 1,, 1, 1. Addition av ekvationerna (A3.3) och (A3.4) ger, 1, 1 2 1,, 1, 1. Diskontinuiteten i förskjutning vid positionen, 1 kan uttryckas som, 1, 1, 1, 1, 1, där är styvheten hos den :te sprickan. Derivering av ekvation (A3.9) ger (A3.7) (A3.8) (A3.9), 1, 1 1, 1. (A3.10) För oändligt små tidsintervall kan följande linjära approximation göras, 1, 1,. (A3.11) Ekvation (A3.10) kan nu skrivas om till, 1, 1 1, 1,. (A3.12) På samma sätt som för ekvation (A3.12), blir det deriverade uttrycket för diskontinuiteten i förskjutning i punkten,,, 1,, 1. (A3.13) Eftersom ekvation (A3.8) bestämmer, 1, 1 och ekvation (A3.13) bestämmer,,1 blir ekvation (A3.12) 30

42 , 1 1, 1 1, 1 2 (A3.14) 1,,,. Från ekvation (A3.7) och ekvation (A3.14) kan uttryck för, 1 och, 1 härledas, , 2 1,, 1, 1 1, 1 2 1,,, (A3.15) och, , 1,2 2, 1 (A3.16), 1 1,,. Ekvation (A3.15) och (A3.16) visar responsen i punkt och är bestämda av dem i punkt, och. Ekvation (A3.15) och (A3.16) kan genom iterativ datorberäkning användas för att bestämma, 1och, 1 när de vänstra randvillkoren 0, och initial hastighetsförhållandena,0 och, 0 är specificerade. Tidsintervallet som används i ekvationerna ovan kan uttryckas som / där är sprickavståndet och är våghastigheten. Tidsintervallet kan också uttryckas som en funktion av förhållandet mellan sprickavståndet, våglängden och frekvensen så att Δ (A3.17) 31