Förra veckan. Dagens föreläsning. Harry Nyquist Condition for Oscillations. The Motivation 2. The Motivation 1

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Förra veckan. Dagens föreläsning. Harry Nyquist 1889-1976. Condition for Oscillations. The Motivation 2. The Motivation 1"

Jakob Nyström
för 9 år sedan
Visningar:

1 Förra veckan Frekvenskurvor Laplacetransform - ubbelsiig och enkelsiig Inverkan av initialtillstån Historik: Den återkopplae förstärkaren Harry Nyquist From farm life in Nilsby Värmlan to Bell Labs Dreaming to be a teacher Emigrate 97 High school teacher 92 MS EE U North Dakota 94 PhD Physics Yale 97 Bell Labs 97 Key contributions Johnson-Nyquist noise The Nyquist frequency Nyquist s stability theorem y Conition for Oscillations u L(s) ImL(iω ) ReL(iω ) L(iω ) Cut the loop. Let u be a sinusoi. If y is a sinusoi with the same amplitue an phase, then the loop can be close an the oscillation will be maintaine. The conition for this is L(iω )= where L(s) =P(s)C(s) is the loop transfer function. The conition implies that the Nyquist curve of L(s) goes through the point (the critical point)! The Motivation Mr. Black propose a negative feeback repeater an prove by tests that it possesse the avantages preicte for it. In particular, its gain was constant to a high egree, an it was linear enough... For best results, the feeback gain factor, the quantity usually known as µβ (the loop transfer function L(s)) ha to be numerically much larger than unity. The possibility of stability with a feeback factor greater than unity was puzzling. Grante that the factor is negative it was not obvious how it woul help. If the factor was - the effect of one roun trip aroun the feeback loop is to change the original current from, say to -. After a secon trip aroun the loop the current becomes, an so forth. The totality looks much like a iverging series an it was not clear how such a succession of ever-increasing components coul a to something finite an so stable as experience ha shown.... The Motivation 2 The missing part in this argument is that the numbers that escribe the successive components, -,, an so on, represents the steay state, whereas at any finite time many of the components have not yet reache steay state an some of them, which are estine to become very large, have barely reache perceptible magnitue. My calculations were principally concerne with replacing the infinite ivergent series referre to by a series which give the actual value attaine at a specific time t. The series thus obtaine is convergent instea of ivergent an, moreover converges to values in agreement with experimental finings. A much simpler proof was later given base on Rouche s theorem

stability theorem y Conition for Oscillations u L(s) ImL(iω ) ReL(iω ) L(iω ) Cut the loop. Let u be a sinusoi.

2 The Original Nyquist Curve Conitional Stability It shoul perhaps be explaine also how it comes to be so etaile. In the course of the calculations, the facts with which the term conitional stability have come to be associate, becomes apparent. One aspect of this is that it is possible to have a feeback loop which is stable an can be mae unstable by increasing the loop gain. This seeme a very surprising result an appeare to require that all the steps be examine an set forth in full etail. Im L(iω ) Im L(iω ) Re L(iω ) Re L(iω ) Boe move the critical point to 2 Impact of the Nyquist Theorem at ASEA We ha esigne controllers by making simplifie moels, applying intuition an analyzing stability by solving the characteristic equation. (At that time, aroun 95, solving the characteristic equation with a mechanical calculator was itself an oreal.) If the system was unstable we were at a loss, we i not know how to moify the controller to make the system stable. The Nyquist theorem was a revolution for us. By rawing the Nyquist curve we got a very effective way to esign the system because we know the frequency range which was critical an we got a goo feel for how the controller shoul be moifie to make the system stable. We coul either a a compensator or we coul use extra sensor. Free translation from seminar by Erik Persson ABB in Lun 97. Why i it take 8 years? Argumentvariation Låt Γ vara en enkel sluten kurva i komplexa talplanet och låt D vara et omslutna områet. Föränringen i argument för en komplexa funktionen F(s) å ranen till D följs moturs, kallas argumentvariationen för F längs Γ och skrivs Γ arg F: ( ) Γ arg F := arg F(s) s Γ s Antag att F är analytisk i en omgivning till D bortsett från ett änligt antal poler i D. Dåär 2π Γ arg F = N P är N är antalet nollställen och P är antalet poler för F i D.

One aspect of this is that it is possible to have a feeback loop which is stable an can be mae unstable by increasing the loop gain.

3 Bevis av argumentvariationsprincipen Bevis av argumentvariationsprincipen Argumentet imaginärelen av logaritmen, så ( ) Γ arg F = arg F(s) s Γ s ( ) F (s) = Im log F(s) s = Im Γ s Γ F(s) s F /F är singulär precis i polerna och nollställena till F. F(s) = (s z ) (s z N ) (s p ) (s p P ) G(s) where G has no poles an zeros in D. Then N P log F(s) = log(s z j ) log(s p j )+log G(s) j= Derivering och integrering ger F (s) 2π Γ F(s) s = N P + G (s) s = N P 2π Γ s z j s p j G(s) j= j= j= Om L(s) är stabil, så är slutna systemet [ + L(s)] stabilt om och enast om Nyquistkurvan L(iω ) inte omcirklar. Mer generellt: Skillnaen mellan antalet instabila poler i [ + L(s)] och antalet instabila poler i L(s) bestäms av antalet gånger punkten omcirklas av Nyquistkurvan meurs Bevis av Tillämpa argumentvariationsprincipen på F(s) = + L(s) är D är et inre av en halvcirkel me centrum i origo, tillräckligt stor för att omsluta alla poler och nollställen i högra halvplanet. Då är P = antalet instabila poler till L(s) N = antalet instabila poler till [ + L(s)] 2π Γ arg F = antalet gånger punkten omcirklas av Nyquistkurvan L(iω ) meurs

Then N P log F(s) = log(s z j ) log(s p j )+log G(s) j= Derivering och integrering ger F (s) 2π Γ F(s) s = N P + G (s) s = N P 2π Γ s z j s p j G(s) j= j= j= Om L(s) är stabil, så är slutna systemet

4 2 Nyquist Diagram Nyquist Diagram.5.5 L(s) = s(s + )(s + 2) -.5 L(s) = s(s )(s + 5) >> zero(+l) >> zero(+l) ans = ans = i i En reglerteknisk krets ska typiskt ha hög förstärkning P(iω )C(iω ) vi låga frekvenser för att ta bort störningar och följa referenssignalen, men låg förstärkning vi höga frekvenser för att unvika stabilitetsproblem och effekterna av mätbrus. Amplitu P(iω )C(iω ) Mätbrus w w Frekvens Reglera bort störningar Hur snabbt kan man gå från hög till låg förstärkning? Approximativ version Om G(s) är stabil och saknar nollställen i högra halvplanet så gäller arg G(iω ) π log G(iω ) 2 logω ω =ω Me nollställen i högra halvplanet blir argumentet ännu minre. Slutsats: Lutningen på amplitukurvan måste vara klart minre än 2 nära skärfrekvensen (är amplituen är ett). Annars kommer Nyqusitkurvan att omcirkla -. Boe s relation Exakt version Om G är stabil och utan nollställen i högra halvplanet så gäller 6 5 viktfunktion arg G(iω )= π log G(iω ) logω log ω + ω logω ω ω } {{ } viktfunktion ω /ω

2556 En reglerteknisk krets ska typiskt ha hög förstärkning P(iω )C(iω ) vi låga frekvenser för att ta bort störningar och följa referenssignalen, men låg förstärkning vi höga frekvenser för att

5 Boes Integralformel ( Vattensängseffekten ) For a system with loop gain L = PC which has a relative egree 2 an unstable poles p,...,p M, the following conservation law for the sensitivity function S = + L hols. + M log S(iω ) ω = π Re(p i ) i=

Relevanta dokument

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL/EL/EL 9-6- a. Ansätt: G(s) = b s+a, b >, a >. Utsignalen ges av y(t) = G(iω) sin (ωt + arg G(iω)), ω = G(iω) = b ω + a = arg G(iω) = arg b arg (iω + a) = arctan