Tryckfall och pumpning av produkter med komplex reologi

Transkript

1 Tryckfall och pumpning av produkter med komplex reologi Projektlaboration i enhetsoperationer och mikrobiell processteknik BLT 010 Lunds tekniska högskola Handledare: Elena Bayod Inlämningsdatum: Andra inlämningen: : Jenny Bengtsson Anna Hällje Helena Norlander Rasmus Ågren

2 Abstract This report has been brought out within the course project laboration in unit operations and microbiological process engineering (part of BLT 010). The aim of the project has been to study the rheological properties of hot-break tomato paste, to develop a model in Matlab that is able to predict the behavior of tomato paste in a pump system, and to measure the pressure drop in order to compare it to the model. In order to do this, experimental studies had to be carried out to obtain important coefficients which are hard to find in literature. This is due to the fact that tomato paste is a very complex fluid which gives very varying results depending on circumstances during the tests. Different parameters such as temperature and water content were varied to investigate the relationship to the pressure drop. To be able to predict the pressure drop in an arbitrary system a relationship that describes how the shear rate depends on the shear stress is necessary. The well known power law, Herschel-Bulkley and Bingham models where used for this and with experimental data this resulted in estimated parameters that can be used to predict the pressure drop. The model made in Matlab presents a tool easy to use, which by iterative and numerical methods gives results that are easy to interpret through its graphical design. When comparing the pressure drop obtained from the experimental part with the pressure drop calculated by the model, the conclusion is drawn that they reflect each other quite well. The model therefore seems to be a good tool to predict a pressure drop in a system. There is however a little overestimation of the pressure drop given in the model, which could need some further adjustments.

3 Innehållsförteckning Abstract... Innehållsförteckning Introduktion Teori Tomatpuré Tillverkning Coldbreak och hotbreak Tomatpuréns reologi Vilken typ av fluidum? Modeller för flöde Att undersöka och beräkna reologiska parametrar Viskositet Viskosimeter-mätningar Att beräkna koefficienter för modellerna Att beräkna tryckfall Rabinowitsch-Mooney Tryckfall vid engångsmotstånd Modellering Matematisk bakgrund Parameteranpassning Beräkning av tryckfall Programmet (grafisk variant) Steg 1. Inmatning och modifiering av grunddata Steg. Val av modell och anpassning till data Steg 3. Bestämning av systemparametrar och beräkning av tryckfall Experimentell del Dag 1: undersökning av tomatpuréns egenskaper Torrvikt Densitetsbestämning Viskositetstest Dag : Tryckfallsmätningar Resultat Tomatpuréns egenskaper Sammansättning Densitet Skjuvspänning/skjuvhastighet Viskositet Flytgräns Tryckfallsundersökning Flöden Reynoldstal Tryckfall Jämförelse mellan tryckfall från modell och laboration Diskussion och slutsatser Viskositet och flytgräns Tryckfall från modell och försök Källor

4 1. Introduktion Företaget Pompa AB är ett företag som designar pumpar och rör till livsmedelsindustrin. Företaget ska bygga en ny fabrik där de ska processa tomatpuré till såser och ketchup. De behövde därför hjälp att ta fram en lämplig modell för hur man kan beräkna tryckfallet över systemet och ta reda på hur pumpningen skulle ske på bästa sätt (se projektuppgift i bilaga 1). Målet med projektet var därmed att studera reologiska egenskaper hos hotbreak tomatpuré, för att sedan kunna utveckla en modell i Matlab. Modellen är tänkt att kunna användas för att förutsäga tryckfallet vid pumpning av tomatpuré. Målet var även att utföra ett försök med pumpning av tomatpuré där tryckfallet mättes för att sedan kunna utvärdera huruvida modellen gav rimliga resultat eller ej. En projektgrupp bestående av deltagare från kursen processteknik för Bioteknik och Livsmedel (BLT 010) inrättades för att utföra detta och arbetet har sammanställts i denna rapport. Projektgruppen har undersökt hotbreak tomatpuré, som oftast har en fastare konsistens än coldbreak tomatpuré. En projektplan med mål finns i bilaga. Tomatpuré är ett mycket komplext fluidum med reologiska egenskaper som kan vara svåra att undersöka och förutsäga. En laborationsplan samt en riskanalys gjordes. Se bilaga 3.. Teori.1 Tomatpuré Tomatpuré (figur1 1 ) säljs som livsmedel men används också som råvara i livsmedelsindustrin t.ex. vid tillverkning av ketchup, soppor och såser. Tomatpurén är ett koncentrat som erhålls genom att tomater gått igenom en rad processer. Det finns en stor varians i tomaternas egenskaper vilket gör att det är svårt att ha en jämn kvalité på produkten. Tomaterna som används vid tillverkning av tomatpuré skiljer sig Figur 1 Tomatpuré mycket från dem som köps i affären. För det första så odlas dessa på friland och inte i växthus. Tomaterna har ett betydligt tjockare och segare skal för att de ska tåla den tuffa behandlingen som de utsätts för. De har även en mycket mörkare och djupare röd färg, detta för att slutprodukten ska få en vacker färg. Dessutom är tomaterna mycket sötare än vanliga tomater..1.1 Tillverkning Tomaterna skördas med en skördetröska och redan här börjar sorteringen för att få ut de finaste tomaterna. De som är skadade eller omogna plockas bort. När de sedan anlänt till fabriken sorteras de ytterligare en gång så att det enbart är de finaste tomaterna som kommer med i processen. I processen värmebehandlas tomaterna och skalet och kärnorna på tomaterna tas bort. Vilken temperatur som används beror på om det är en hotbreak- eller coldbreakprocess. Tomaterna behandlas sedan i en indunstare så att vattnet separeras från tomaterna. När produkten har nått en halt på cirka 30 % tomat och 70 % vatten är den klar Dr Persfood production AB, Johan Malmback 3

5 Hur tomatpurén ser ut kan skilja sig något beroende på användningsområde och kundens önskemål. Parametrar som kan varieras är vattenhalten, färgen eller den vattenbindande förmågan. När purén är färdig packas den i aseptiskt förslutna emballage i varierande storlekar..1. Coldbreak och hotbreak Pektos är ett slemämne som finns mellan växtcellerna för att dessa ska hålla ihop. Det finns mer pektos i omogna tomater än i mogna. När tomaten mognar så omvandlas pektos till pektin genom enzympåverkan. Skulle tomaten bli övermogen så kommer pektinet att brytas ner till pektinsyra. Det gäller alltså att skörda tomaterna i rätt tid. 4 Pektin som är ett naturligt ämne i mogna tomater är i vissa fall, beroende på vad tomatpurén ska användas till, viktig att bevara. Det finns därför två olika metoder att processa tomatpuré på. De kallas hotbreak och coldbreak. I en hotbreakprocess värms tomaterna snabbt upp till ca 99 C så att enzymet pektinas, som bryter ner pektin, denatureras och inaktiveras. Detta gör i sin tur att man får en tjockare produkt. Om man vill ha en lösare produkt, t.ex. soppa eller juice, så är det bra om pektinet bryts ner. Denna process kallas coldbreakprocess och utförs på samma sätt men vid en lägre temperatur, ca 66 C. Det gör att pektinaset inte inaktiveras och pektinet kommer att brytas ner. 5. Tomatpuréns reologi Reologi är vetenskapen som behandlar ett materials deformations- och flytegenskaper. De reologiska egenskaperna styrs av två faktorer; strukturen och viskositeten hos materialet. Strukturen påverkar elasticiteten medan viskositeten påverkar materialets flytbeteende. Kunskaperna är en nödvändig förutsättning för att kunna förutsäga och förstå ett materials processegenskaper. För att beskriva ett fluidums egenskaper används många olika begrepp. Nedan följer en beskrivning av några utvalda som ofta förekommer då det gäller just tomatpuré...1 Vilken typ av fluidum? Tomatpuré beskrivs som icke-newtonskt fluidum dvs. viskositeten förändras med bearbetningsgraden. Detta gör att förhållandet mellan skjuvhastigheten och skjuvspänningen får ett icke-linjärt förhållande, då viskositeten är derivatan av skjuvspänningen med avseende på skjuvhastigheten. I fallet tomatpuré handlar det om en minskning av viskositeten med en ökad skjuvhastighet och därför är benämningen skjuvtunnande. Detta beteende åskådliggörs i figur 6 nedan där kurvan för shearthinning beskriver ett skjuvtunnande beteende. Orsaken till skjuvtunning är att en ökad skjuvhastighet gör att partiklarna blir omarrangerade och/eller deformeras och därmed får ett mindre flödesmotstånd. Ett högvisköst fluidum såsom tomatpuré beskrivs av både viskösa och elastiska egenskaper. De viskösa egenskaperna ligger i att materialet inte kan lagra deformationsenergi utan istället deformeras, flyter ut och frigör energin genom att avge värme. Elastiska egenskaper innebär i stället att materialet kan lagra all pålagd deformationsenergi och därmed helt återställas då belastningen försvinner. En Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering, Figur 1.13 s. 5

6 tomatpurés egenskaper kan sägas vara viskoelastiska 7 8 vilket innebär att den både kan lagra en del energi och flyta vid mekanisk påverkan. Lagringen av energin kan dock bara ske upp till en viss gräns, flytgränsen eller skjuvgränsen. För många flytande livsmedel kan de elastiska egenskaperna försummas och fokus ligger endast på viskositeten. 9 Ett plastiskt fluidum är ett material som har en flytgräns, dvs. att då en tillräckligt stor initialkraft läggs på kommer materialet att övergå från en fast form till att bete sig som en vätska och få ett flöde. Om inte kraften är tillräckligt stor för att överstiga flytgränsen är det bara de elastiska egenskaperna som gör sig gällande. Tomatpurén karaktäriseras av att den har en flytgräns och då denna överskrids får den viskösa egenskaper, vilket gör att den ibland definieras som viskoplastisk. 10 Figur Kurvor över beroende av skjuvspänning/skjuvhastighet för typiska fluider som inte är tidsberoende. Ett material som är skjuvtunnande visar inte något tidsberoende 11. Att inget tidsberoende finns betyder att då en konstant skjuvhastighet bibehålls kommer inte viskositeten att ändras med tiden. Det är alltså inte tiden i första hand som påverkar hur ett fluidum som tomatpuré beter sig, utan graden av påverkan från skjuvande krafter. 7 Ma Carmen Sánchez et al. (00), Influence of processing on the rheological properties of tomato paste 8 Nordic Rheology Society (fliken rheology intro) 9 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s Bolmstedt, U. (000), Viscosity & Rheology; Theoretical and practical considerations in liquid food processing, s.1-11 Bolmstedt, U. (000), Viscosity & Rheology; Theoretical and practical considerations in liquid food processing, s. 6

7 .. Modeller för flöde I det tidigare avsnittet har hela tiden tomatpuré varit utgångspunkten för diskussionerna kring viskositetsmodellerna. Förutom vad som redan nämnts finns det en ansenlig mängd modeller som alla tagits fram för att man ska kunna förstå och förutsäga beteendet hos en produkt. Det är heller inte bara olika produkter som behöver beskrivas av olika modeller eller kombinationer av desamma. Variationerna inom produkter, tex. råvaror med en varierande kvalitet, försvårar också för möjligheten att ha en statisk beskrivning som gäller i samtliga fall. Tomatpuré är ett fluider med komplex reologi och alla är inte riktigt överens om vilken modell som passar dens egenskaper bäst. En experimentell utvärdering kan därför ofta vara nödvändig för varje enskilt fall innan man kan börja förutsäga beteendet för en fluid. Resultaten från de experimentella utvärderingarna ligger sedan till grund för modeller som är tänkta att ge en matematisk beskrivning av flödesbeteendet i en process. Modellerna relaterar skjuvhastighet och skjuvspänning. Vissa är väldigt generella men ger en relativt bra anpassning inom stora variationer, medan andra är desto mer specifikt anpassade efter ändamålet. Den mest välkända modellen, som fungerar för ett stort intervall av skjuvhastigheter och även är lätt att använda för vidare tryckfallsberäkningar etc. är den s.k. power-law-modellen (ekv 1). Denna kan anpassas till både newtonska och icke-newtonska fluider. För newtonska fluider är n=1 och K= η. För icke-newtonska fluider får formeln följande utseende där n<1 för skjuvtunnande fluider och n>1 för skjuvtjockande fluider. σ n = K γ 1 (1) σ =skjuvspänning (Pa) K=konstant (Pa s n ) γ =skjuvhastighet (s -1 ) n=konstant Det finns även modeller vid namn Bingham- och Herschel-Bulkleymodellerna vilka skiljer sig från power-law modellen då de även innefattar en term som beskriver flytgränsenσ 0, se figur. Särskilt Herschel-Bulkleymodellen har fått ett stort användningsområde inom livsmedelsindustrin då den kan användas inom ett stort intervall skjuvhastigheter. Bingham: σ = γ µ pl + σ 0 () n Herschel-Bulkley: σ = K ( γ ) + σ 13 0 (3) µ pl = plastisk viskositet (Pa s) σ 0 = flytgräns (Pa) 1 Bolmstedt U. (000), Viscosity & Rheology; Theoretical and practical considerations in liquid food processing, s.5 13 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s. 0 7

8 .3 Att undersöka och beräkna reologiska parametrar För att kunna beräkna tryckfallet måste tomatpuréns reologiska egenskaper först bestämmas..3.1 Viskositet Viskositeten beror på flertalet faktorer där temperatur, skjuvspänning, innehåll av fasta partiklar samt partiklarnas storlek påverkar. En mindre partikelstorlek bör ge högre viskositetsvärden eftersom den förstorade ytan bidrar till större interaktioner mellan partiklarna, men det finns uppgifter som motstrider detta. En förklaring för sådana fall kan vara att bearbetning av tomatpuré kan medföra att sfäriska partiklar får en förlängd form vilket ger ett ökat motstånd. 14 Högre temperatur ger lägre viskositet. Det är därför viktigt att temperaturen hålls konstant under testperioden. En ändring på så lite som 3 C kan medföra en ändring av viskositeten på 10 % hos icke-newtonska fluider. 15 Sambandet kan beskrivas med ekvation 4 nedan, där det även åskådliggörs att en mindre mängd fasta partiklar och högre skjuvhastighet ger en lägre viskositet. n 1, T, C ( ) Ea ( ) + B( C ) RT η = f ( T, & γ, C) = K & γ γ e 16 (4) Den skenbara viskositeten definieras som skjuvspänningen genom skjuvhastigheten (ekv 5) och kallas så för icke-newtonska fluider eftersom viskositeten här varierar med skjuvhastigheten. σ η = γ (5) η = skenbar viskositet (Pa s) T = temperatur (K) γ = skjuvhastighet (s -1 ) C = masskoncentration (g/100 ml) E a = Aktiveringsenergi (cal/g mol) R = gaskonstant (cal/g mol K) σ = skjuvspänning (Pa) Detta är den exakta definitionen av viskositeten och utgångspunkten för en rad modifierade varianter anpassade för t.ex. Bingham och Herschel-Bulkley modeller. 17 I figur 3 nedan illustreras sambandet mellan skenbar viskositet och skjuvhastighet. Som kan ses är sambanden olika för de olika modellerna. 14 Ma Carmen Sánchez m.fl.(00), Influence of processing on the rheological properties of tomato paste. 15 Bolmstedt, U. (000), Viscosity & Rheology; Theoretical and practical considerations in liquid food processing, s Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering, ekv 1.54 s Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s. 4 8

9 Figur 3 Skenbara viskositetens beroende av skjuvhastigheten Viskosimeter-mätningar Viskositet undersöks vanligen med en viskosimeter. En vanlig typ av viskosimeter som används för produkter med hög viskositet är rotationsviskosimetern. Med denna är det möjligt att variera den yta som är i kontakt med materialet man avser att göra mätningar på. En rad varianter av utrustning har utvecklats beroende på vilken produkt man intresserad av att mäta, som till exempel paddlar, koner, kryss och cylindrar. Figur 4 Paddel Då det gäller tomatpuré vill man undvika att de lösta partiklarna förflyttar sig från ytan där mätningarna sker och därför är användningen av paddlar fördelaktig. En paddel (se figur 4 19 ) har fördelen att den yta som ligger an mot materialet blir liten jämfört med exempelvis en kon eller cylinder. Paddeln fungerar även bra för de låga hastigheter som är lämpliga vid mätning av tomatpuréns egenskaper. En vanlig metod att göra undersökningar med viskosimeter är att använda sig av en kontrollerad hastighet. Så låga hastigheter som möjligt bör användas, helst inte högre än 1 rpm 0 För mätningar av icke-newtonska fluider är det mycket viktigt att viskositetsmätningarna genomförs vid väl definierade skjuvhastigheter, som ligger inom bra intervall, med lagom stora gradienter i hastighetsförändringarna. Viskositetsmätningar som görs vid odefinierade hastigheter eller hastigheter utanför gränserna kan ej användas för kvantitativ analys av viskositetsfigurer eller reologiska parametrar. För att en komplett reologisk analys krävs det tester utöver de som görs med en viskosimeter. För viskoelastiska fluider såsom tomatpuré är det vanligt att man 18 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering Fig 1.15 s Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s. 03 9

10 kompletterar undersökningarna med reometerförsök. Detta är en känsligare metod där torsions- och oscillerande rörelser används istället för roterande rörelser. Fördelen med detta är att strukturen hos fluidet inte förstörs eller förändras under mätningarna i samma utsträckning. För detta projekt fanns dock inte möjligheten till sådana undersökningar..3. Att beräkna koefficienter för modellerna Vilken metod som används för att bestämma koefficienterna n, K och i de reologiska samband som tidigare beskrivits beror vanligtvis på vilken modell det gäller. Den vanligaste och antagligen den enklaste metoden är att skriva om uttrycket så att koefficienterna kan bestämmas med linjär regression. För power-law-modellen sker det genom att uttrycket logaritmeras. logσ = log K + n logγ (6) Linjär regression kan då användas för att bestämma värdena på K och n utifrån data som relaterar σ till γ. För modeller som innehåller en flytgräns så fungerar inte ovanstående metod. Det finns flera metoder för att bestämma flytgränsen, och vilken som passar bäst beror på hur försöken är upplagda. Den metod som används i projektets modell bygger på att skjuvspänningen bestäms för varierande värden på skjuvhastigheten. Det finns även metoder som bygger på att en konstant skjuvhastighet appliceras och att skjuvhastigheten bestäms utifrån hur skjuvspänningen förändras. Det är antagligen en bättre metod, men för att hålla nere antalet försök så valdes en metod där alla parametrar kan bestämmas utifrån ett försök. 1 Figur 5 Metod för att bestämma flytgränsen Flytgränsen kan sedan bestämmas genom extrapolering utifrån vissa av punkterna (se figur 5). Som figuren visar så har det stor betydelse vilka punkter som används. Valet av punkter bör styras av inom vilket intervall modellen skall gälla. Speciellt gäller att då extrapolering sker utifrån den linjära delen av kurvan så blir flytgränsen den som används i Bingham-modellen. Det är viktigt att notera att de övriga parametrarna, n och 1 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s

11 K, påverkas av hur flytgränsen har bestämts. Det gör att det kan vara svårt att hitta tabellerade värden. Då flytgränsen är känd kan övriga parametrar bestämmas med hjälp av linjär regression. Om flytgränsen subtraherats och uttrycket logaritmerats erhålls log σ σ 0 = log K + n log. (7) ( ) γ De metoder som diskuterats ovan är standardmetoder, men i modellen har en något annorlunda ansats använts. Metoden beskrivs mer ingående i avsnitt 3. Den största skillnaden är att metoden inte bygger på linjär regression. Det huvudsakliga syftet med lösningen är att bibehålla flexibilitet, men en positiv bieffekt är bättre statistiska egenskaper. Att transformera ett uttryck genom ex. logaritmering är nämligen inte helt oproblematiskt ur en statistisk synvinkel. Det beror på att mätmetoden som använts för de ursprungliga data ofta antas ha en konstant standardavvikelse, men efter transformering gäller det inte alltid längre. Både den använda metoden och linjär regression på logaritmerade data bygger på minsta-kvadrat-metoden, men de skiljer sig med avseende på vad det faktiskt är som minimeras. I den använda modellen är det (kvadratiska) skillnaden mellan predikterade och verkliga värden som minimeras, medan linjär regression minimerar den (kvadratiska) procentuella skillnaden. Vilken som är den bästa metoden beror alltså delvis på om mätmetoden har en konstant eller procentuell standardavvikelse..4 Att beräkna tryckfall Då ett fluidum passerar genom ett rör uppstår friktion, både inom fluidet och i gränsskiktet mellan fluidet och rörväggen. Det leder till att energi förloras i form av värme samtidigt som trycket i vätskan minskar. Eftersom det är trycket som utgör den drivande kraften så måste det upprätthållas för att flödet i systemet skall förbli detsamma. Om det är en pump som används för att skapa tryckgradienten innebär det att det måste tillföras ytterligare effekt motsvarande tryckfallet. För att kunna dimensionera en process är det därför viktigt att kunna uppskatta tryckfallet för ett givet system. Mer specifikt vill man kunna beräkna sambandet mellan flöde, olika systemparametrar (rördiameter, rörlängd o.s.v.) och tryckfallet i systemet..4.1 Rabinowitsch-Mooney I livsmedelstekniska sammanhang är det inte sällan högviskösa och komplexa fluider som används. För att beräkna tryckfallet för den typen av fluider används ofta Rabinowitsch-Mooney, Q R = 1 ( σ ) σ w 3 3 π w 0 σ f Q = flödet genom röret ( σ ) R = radien på röret σ = skjuvspänningen vid rörväggen w dσ, där (8) f (σ ) = skjuvhastighetens beroende av skjuvspänningen Ett flertal antaganden ligger till grund för modellen. Att laminärt flöde råder, att fluidet är inkompressibelt, att temperaturen är konstant i fluidet, att fluidet inte är tids- eller tryckberoende, att hastigheten vid rörväggen är 0, samt att all förflyttning sker i rörets 11

12 riktning. Tomatpuré är mycket visköst varför laminärt flöde kan antas. För att säkerställa att detta råder beräknas Reynolds-talet i avsnitt 5... Alla vätskor är i någon mån kompressibla, d.v.s. densiteten ökar med ökat tryck. För att få enklare beräkningar försummas dock detta i projektet. Man kan för enkelhetens skull anta att temperaturen är konstant i fluidet. Det är ett rimligt antagande eftersom det inte finns någon stor temperaturgradient mellan fluidum och omgivning. Det antas även att hastigheten vid rörväggen är 0 i detta fall. För en normal hastighetsprofil gäller att hastigheten vid väggen approximativt är 0, men om fluidet släpper från väggen så utvecklas inte en lika kraftig profil i fluidet. Detta kan inträffa då det bildas en film vid väggen av något material som har lägre viskositet än resten av fluidet. Det leder till att materialet i filmen skjuvas kraftigt, men eftersom viskositeten där är avsevärt lägre så leder inte det till ett lika stort tryckfall. Eftersom tomatpuré inte är en homogen lösning, utan i någon mån kan ses som en suspension av partiklar i en vattenlösning, så är det sannolikt att det kan inträffa i vårt system. Om det visar sig att det uppmätta tryckfallet är lägre än det beräknade så kan det ha att göra med att purén släpper från väggen. Trots det anses att Rabinowitsch-Mooney kan användas utan större problem. Utgångspunkten för ekvationen är en energibalans över ett rör med längden L och radien r, δp π r = σ π r L. (9) Det vänstra ledet står för den drivande kraften (tryckskillnad gånger genomsnittsarea). Den högra termen är skjuvningsenergin (skjuvspänningen gånger mantelarean). Den största skjuvspänningen sker vid väggen, d.v.s. där r = R. Skjuvspänningen kan då skrivas som. p R σ w =. (10) L Flödet i röret är inte konstant i varje punkt utan går från 0 m 3 /s vid rörväggen (enligt modellen) till ett maximalt värde i mitten av röret. Följande differentiella uttryck gäller för ett cirkulärt snitt med centrum i rörets mitt och med radien r, dq u = π dr, där u är hastigheten i rörets riktning. (11) Uttrycket kan sedan integreras enligt, r = R Q = π u dr. (1) r = 0 Det visar sig att problemet kan reduceras genom att byta integrationsvaribel till hastigheten istället för kvadraten på radien. Det är möjligt genom att använda partialintegration. Reglerna för partialintegration ger att, u dv = u v v du, (13) där u = f ( x), dv = g' ( x) dx, du = f '( x) dx och g( x) I det här fallet är alltså r = r = R [ u r ] r = 0 π u = u och R r = 0 v =. v = r. Efter partialintegration erhålls, Q = π r du. (14) Eftersom det har antagits att hastigheten vid rörväggen är 0 förenklas uttrycket till 1

13 r = R Q = π r du. (15) r = 0 För att lösa integralen behövs ett samband som förklarar hur hastigheten beror av avståndet från centrum i röret. Det finns ett flertal reologiska modeller som beskriver sambandet för olika sorters fluider. Ett antal sådana modeller som är relevanta i livsmedelstekniska sammanhang diskuteras i... Det generella utseendet är i samtliga fall du du = f (σ ), där (16) dr dr alltså är detsamma som skjuvhastigheten. Ekvationen ovan gäller enbart för laminära flöden. Genom att använda (9) och (10) fås att σ r = R. (17) σ w Här kan det vara på sin plats med en liten sammanfattning. Som (15) visar så beror flödet på hur radien beror på hastigheten (det är ju snarare hastigheten som beror på radien, men matematiken blir densamma). För att kunna lösa integralen så krävs någon variabel som länkar ihop radien med hastigheten, eller att det ena kan uttryckas som en funktion av det andra. Det visar sig att (16) och (17) är två sådana samband och att både radien och hastigheten kan uttryckas som funktioner av skjuvspänningen. Genom att kombinera (16) och den differentiella formen av (17) erhålles R du = f ( σ ) dσ σ. (18) w Ekvation (17) och (18) kan nu sättas in i (15) och resultatet blir r = R σ R Q = π R f ( σ ) dσ. (19) r = 0 σ w σ w Det kan förenklas till Q π R 3 = r = R 1 3 σ w r = 0 ( σ ) f ( σ ) dσ. (0) Slutligen används (17) för att få integrationsgränserna som en funktion av skjuvspänningen istället för radien. Det är värt att notera att fluider med flytgräns inte har någon skjuvhastighet i ett område kring centrum av röret. Det innebär att integrationsintervallet i Rabinowitsch- Mooney bör gå från σ 0 till σ w. 3 3 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s

14 .4. Tryckfall vid engångsmotstånd I modellen ovan har laminärt flöde antagits, vilket ger ganska enkla beräkningar då ingen hänsyn behöver tas till ex. Reynolds-talet. Detsamma gäller dock inte för engångsmotstånd, såsom ventiler, krökar och förändringar i rördiameter. De är ofta uppmätta för turbulent flöde och endast för vatten. Enligt Steffe går det dock att relatera friktionsförlustfaktorn till det generella Reynolds-talet inom vissa intervall. 4 Det generella Reynolds-talet är definierat för en power-law-fluid, vilket innebär att det Reynolds-tal som används för Newtonska fluider är specialfallet då n = 1. n n n D u ρ 4n Re gen = n K, där n och K är power-law-koefficienterna. (1) 1 8 3n + 1 Då Re gen är mellan 0 och 500 är det enligt Steffe motiverat att göra följande antagande, k f 500 k f, H O, turbulent. () Re gen Tryckfallet för engångsmotståndet kan därefter räknas ut enligt, k f ρ v p =. (3) Eftersom tryckfallsberäkningarna endast gäller vid laminärt flöde så är det centralt att kunna visa att så verkligen är fallet. För att kunna visa det så antas att fluidet följer power-law-modellen. Då gäller att laminärt flöde råder då + n 1+ n 6464n ( + n) Re gen <. 5 (4) 1+ 3n ( ) 4 Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s Steffe, J.F. (1996). Rheological Methods in Food Process Engineering s

15 3. Modellering En viktig del i projektet har varit att utveckla ett verktyg som möjliggör det för kunden, Pompa AB, att förutsäga tryckfallet i deras system. Valet blev därför att satsa på en integrerad lösning där kunden utgår från reologiska rådata för att sedan beräkna tryckfallet för ett godtyckligt system. För att underlätta för kunden valdes ett grafiskt gränssnitt som förhoppningsvis är intuitivt och kan användas utan specialkunskaper. En nackdel med ett sådant system är att komplexiteten gör att användaren inte får samma möjlighet till kontroll, och att gränssnittet gentemot andra program blir krångligt. Därför har projektgruppen även utvecklat ett enklare program som lämpar sig bättre för att integreras i andra programsystem. De båda programmen är utvecklade i Matlab 6.5. Programmet med ett grafiskt gränssnitt har utvecklats med hjälp av GUIDE som är Matlabs inbyggda verktyg för att skapa grafiska applikationer. Källkoden till programmen har bifogats som bilaga 8 respektive bilaga Matematisk bakgrund Metoden bygger på en numerisk lösning av Rabinowitsch-Mooneys ekvation 8. För att lösa ut tryckfallet behövs ett samband som beskriver hur skjuvhastigheten beror på skjuvspänningen. Användaren kan i modellen välja mellan ett flertal sådana modeller och anpassa parametrarna till experimentella data Parameteranpassning Parametrarna i modellen skattas med minsta-kvadrat-metoden. Det är en vanlig form av kurvanpassning som bygger på att kvadraten på avståndet mellan de experimentellt uppmätta värdena och motsvarande värden som modellen förutsäger skall minimeras. Rent praktiskt går det till enligt följande 1. Experimentella data som beskriver sambandet mellan skjuvhastighet och skjuvspänning erhålls från ex. mätning med viskosimeter.. Parametrarna i modellen skattas godtyckligt. 3. Derivatan m.a.p. residualkvadratsumman beräknas vid den aktuella gissningen med differenskvoten. 4. Newton-Raphsons metod används för att, utifrån derivatan, gissa en bättre approximation av parametrarna. 5. Detta upprepas tills skillnaden i parameterskattningarna är tillräckligt liten. Derivatan är då approximativt 0, vilket innebär att residualkvadratsumman har minimerats (eller maximerats, men det finns inte något entydigt maximum). Fördelen med ansatsen ovan är att den går att använda för att anpassa experimentella data till en godtycklig modell. Det innebär t.ex. att användaren i ett senare skede enkelt kan lägga till egna modeller. Vanligtvis skattas parametrar i reologiska modeller utifrån minsta-kvadrat-metoden av lineariserade data, men då går man miste om möjligheten att enkelt bygga ut programmet eller att använda komplicerade modeller. Det kan vara värt att påpeka att modellen som valts är en iterativ modell och att den därför kan ta betydligt mer datorkraft i anspråk än om linearisering används. 15

16 3.1.. Beräkning av tryckfall Då modellen är bestämd återstår att beräkna tryckfallet. Även här har det valts en iterativ metod istället för en analytisk. Motiveringen är densamma, att bibehålla maximal frihet trots att det sker på bekostnad av snabbheten. Det generella utseendet på Rabinowitsch-Mooney är, h( p) ( systemparametrar) = g( p) f i( parameterskattningar), (5) j( parameterskattningar) där systemparametrar och parameterskattningar är kända. Det visar sig alltså att tryckfallet ingår i två olika funktioner varav den ena är den övre integrationsgränsen. Matlab-funktionen fzero har använts för att hitta det tryckfall som minimerar skillnaden mellan höger- och vänsterled. Integralen beräknas numeriskt med Matlabs ode45-lösare. Programmet använder sig alltså dels av en iterativ metod (fzero) och dels av en numerisk lösning av en differentialekvation (ode45). Det innebär att tryckfallsberäkningarna kräver mycket datorkraft. För detaljer angående beräkningar av tryckfall för engångsmotstånd, se

17 3.. Programmet (grafisk variant) Syftet med programmet har varit att presentera ett verktyg som både är enkelt att använda och som kan användas för att beräkna tryckfallet i ett relativt komplext system och utifrån reologiska grunddata. Programmet använder ett stegvist tillvägagångssätt och ger användaren grafisk respons efter varje steg Steg 1. Inmatning och modifiering av grunddata Figur 6 Inmatning och modifiering av grunddata I det första steget (se figur 6) laddas reologiska data från en fil som användaren specificerar. Filen skall innehålla s.k. white space delimited data. Det innebär att varje variabel är en kolumn och att varje försök är en rad, samt att kolumnerna separeras av tabbar eller mellanslag. Det är ett mycket vanligt format att spara data på. Det är även möjligt att ta bort punkter från datamaterialet genom att markera dem i listan och välja Ta bort punkt. 17

18 3... Steg. Val av modell och anpassning till data Figur 7 Val av modell och anpassning till data I det andra steget (se figur 7) väljer användaren den viskositetsmodell som skall användas och anpassar den till datamaterialet. R-värdet presenteras för att ge ett mått på hur bra anpassningen är. I programmets grundutförande är fyra modeller tillgängliga; Newton, power-law, Bingham samt Herschel-Bulkley. Modellerna beskrivs utförligt i... Det är enkelt att utöka programmet med fler modeller. Det är möjligt att ange en eller flera parametrar för hand genom att avmarkera motsvarande kryssruta och skriva in ett värde. Resterande parametrar skattas då med hänsyn till de parametrarna. 18

19 3..3. Steg 3. Bestämning av systemparametrar och beräkning av tryckfall Figur 8 Bestämning av systemparametrar och beräkning av tryckfall I det tredje steget (se figur 8) kan användaren bygga upp ett godtyckligt system bestående av rörsegment och engångsmotstånd. Därefter beräknar programmet hur tryckfallet förändras över systemet. Det gör det möjligt att identifiera eventuella flaskhalsar och ger en god överblick. Även det totala tryckfallet rapporteras. Siffrorna i grafen svarar mot de olika elementen i listan och markerar var respektive element slutar. Programmet beräknar automatiskt tryckfallet vid förändring av rördiameter (kan ses mellan de båda rörsegmenten). Det kan vara värt att notera att friktionsförlustfaktorn för engångsmotstånd är för vatten. Det innebär att vanliga tabellerade värden kan användas. Anpassningen till den valda modellen görs sedan automatiskt av programmet. Enligt.4. så är metoden för att beräkna engångsmotståndet endast giltig i ett visst intervall. Programmet ger därför en varning om det generella Reynolds-talet ligger utanför intervallet. I fallet med tomatpuré är problemet oftast att Reynolds-talet blir för lågt, vilket resulterar i en överskattning av tryckfallet. För system som innehåller mer än ett rörsegment är det endast möjligt att använda power-law-modellen eller Newtons modell. Det beror på att beräkningarna använder det generella Reynolds-talet som är deriverat utifrån power-law-modellen. För att kunna beräkna engångsmotstånd för någon annan modell så måste ett Reynolds-tal som är beräknat utifrån den modellen användas. 19

20 4. Experimentell del För att undersöka egenskaperna och tryckfallet för tomatpurén utförde projektgruppen laborationer under två dagar. Första dagen undersöktes puréns egenskaper, som viskositet, flytgräns, densitet och torrvikt. Den följande dagen pumpades tomatpurén i det utvalda pumpsystemet, figur 9, för att mäta tryckfallet. Laborationen utfördes till stor del utefter projektets laborationsplan. Se bilaga 3. P Tryckmätare T Termometer Behållare P Tryckmätare 1 Skruvpump Figur 9 Pumpsystemet Dator Figur 10 Stresstech viskosimeter 4.1 Dag 1: undersökning av tomatpuréns egenskaper Torrvikt För att bestämma det totala innehållet fasta partiklar i tomatpurén placerades prov (~5 g/prov) av purén i ugn med en temperatur på 70 C över natten och de procentuella vattenhalterna kunde sedan bestämmas. Ett medelvärde av proverna som togs användes för puréns torrvikt vilka redovisas i tabell och tabell 3. Detta gjordes både för tomatpurén dag 1 samt för den tomatpuré som användes i pumpsystemet eftersom denna var tvungen att spädas Densitetsbestämning Densiteten på tomatpurén bestämdes med hjälp av en bägare med dl vatten i vilken tomatpuré fylldes på tills en volymökning på 1 dl nåddes. Detta vägdes och på så sätt kunde densiteten bestämmas. På detta sätt kringgicks problemet med att en exakt volym är svår är att mäta upp, då tomatpurén är så trögflytande att den inte flyter ut i hela volymkärlet Viskositetstest Viskositetstesten utfördes i testlaboratoriet på avdelningen för livsmedelsteknik och systemet som användes var Stresstech version (se figur 10 ) 6 Först testades vilken sorts spindel som var lämplig att använda vid mätningarna för tomatpurén. Gruppen bestämde sig för att använda en paddel (vane) (Se figur 4) då denna var mer passande för tomatpurén som har relativt hög viskositet och det inte är 6 (06019) 0

21 möjligt att använda exempelvis en kon. Detta beror på att gränsytan mot purén blir stor och att mätningar inte går att utföra. Viskositetsmätningar gjordes på de prov som planerats i laborationsplanen. 4. Dag : Tryckfallsmätningar Tomatpurén pumpades i ett rörsystem med längden 3,07 m och innerdiametern 0,014 m. I systemet ingick också en rörböj på 180 med en diameter på 0,63 m. Eftersom tomatpurén är så pass högviskös och förhållandet mellan innerdiametern och böjens diameter är så pass stor så antas böjen kunna approximeras med samma rörsystemslängd utan en böj. För att pumpa tomatpurén användes en skruvpump av Nova Rotors SRL (MN 00-). Pumpen var i ett slutet system med två tryckmätare avsedda för mätningar av tryckfallet över systemet. Den ena tryckmätaren var placerad precis efter pumpen och den andra var placerad precis innan tomatpurén passerade pumpen igen. Flödet reglerades med hjälp av en frekvensmätare av märket Danfoss (VLT 5000). Pumpsystemet fylldes successivt med tomatpuré med hjälp av pumpen. En termometer var placerad så att temperaturen kunde mätas på flödet on-line. Eftersom friktionen spelar en stor roll och ger friktionsvärme, så steg temperaturen på tomatpurén efterhand som den pumpades. Temperaturen lästes därför av vid varje mätning. Temperaturen steg från 17 C till 3,5 C. Som diskuterades i avsnitt.3.1 är viskositeten temperaturberoende och minskar med ökad temperatur. Vid tryckmätningarna togs det dock inte hänsyn till detta. Dvs. tryckfallet relateras endast till olika flödeshastigheter och inga temperaturskillnader. En dator var även kopplad till systemet. Där plottades trycket mot tiden som mättes av de två tryckmätarna i pumpsystemet. (se bilaga 7) Ingen flödesmätare var placerad i systemet. För att kunna mäta flödet mättes istället vikten på den tomatpuré som passerade systemet under en viss tid. Under dag 1 bestämdes densiteten på tomatpurén med vilken flödet sedan kunde beräknas. Tryckfallsmätningarna gjordes vid 8 olika frekvenser i ett intervall mellan 15 och 50 Hz. Då tryckmätarna i systemet ej klarade av att mäta så höga tryck som uppnåddes späddes tomatpurén. Torrviktsbestämningar av tomatpurén efter spädning visade att vattenhalten var approximativt lika med den spädning som gjordes vid viskositetsmätningarna. Tabell 1 Tabell över utrustningen. Tryckmätare Range: 0-10 Bar Output: 0-10 V Rör Innerdiameter: 1,4 cm Längd: 3,07 m Pump P max =1 Bar 5. Resultat Under de två dagar som laborationerna utfördes gavs en mängd olika resultat. De kommer här att presenteras i samband med en efterföljande diskussion. Resultaten har delats in i tomatpuréns egenskaper och tryckfallsundersökning. 5.1 Tomatpuréns egenskaper I stort sett gav mätningarna och de olika försöken relativt rimliga resultat. Tomatpurén visar på ett skjuvtunnande beteende, viskositeten minskar med skjuvhastigheten. Dessutom minskar viskositeten och flytgränsen med en ökad temperatur. Tomatpurén verkar inte heller vara ett tidsberoende fluid. 1

22 5.1.1 Sammansättning Tabellerna nedan redovisar de värden som erhölls för de prov som togs ut från originalpurén, tabell, och de prov som togs ut från pumpsystemet under dag då vatten hade tillsatts, tabell 3. Mätningarna för vatteninnehållet i proverna med originalpurén gav värden som var förväntade och stämde väl överens med värdena från leverantören. Leverantören angav ett innehåll på 70 % vatten vilket även mätningarna visade. På tomatpurén som späddes utav projektgruppen dag 1 gjordes dock inget torrviktstest, utan torrvikten och vattenhalten bestämdes istället matematiskt utifrån den spädning som gjordes samt resultatet från mätningarna på den ospädda tomatpurén. Tomatpurén späddes med en spädningsfaktor på 1, och vattenhalten i denna puré beräknades till 75 %. Tabell Tabell över vatteninnehåll i original tomatpuré. Original Vatteninnehåll Prov [%] Medelvärde 70 Tabell 3 Tabell över vatteninnehåll i utspätt prov (~0 vikts %) från pump Utspätt Vatteninnehåll * Prov [%] Medelvärde 77 *vatteninnehåll= (H0 avdunstat/våtvikt puré) [%] Proverna som togs ut från pumpsystemet efter spädning visade ett vatteninnehåll på 77 % (se tabell 3). Den uppskattade spädningen som gjordes gav alltså ett relativt bra resultat, men en aning för högt Densitet Densiteten för tomatpurén bestämdes till 1060 kg/m Skjuvspänning/skjuvhastighet I figur 11 och 1 nedan samt i bilaga 4 visas plottar över de kurvor som erhölls dag 1 för skjuvhastighet och skjuvspänning. Här kan tydligt ses att kurvorna får det förväntade icke-linjära utseendet som är typiskt för ett skjuvtunnande fluidum. En liten ökning av skjuvhastigheten initialt, ger en betydande ökning av skjuvspänningen. Kurvan planar sedan ut och vid högre hastigheter är inte ökningen i skjuvspänning fullt så stor för intervallen. Det går också att avläsa i graferna att skjuvspänningen inte är samma vid de olika temperaturerna som testerna utförts under. Det är snarare så att skjuvspänningen har lägre värden för skjuvhastigheten desto högre temperaturen är. Samma beroende gäller för alla försök men intervallet för värdena över skjuvspänningen förskjuts till att ligga lägre då försöket utförts under en högre temperatur. Detta är ett beteende som ses vid samtliga temperaturer. Tomatpurén med en högre vattenhalt, ger värden för skjuvspänningen som är lägre än de för original tomatpurén vilket är rimligt. Detta åskådliggörs i figur 1 nedan.

23 C 0 C 40 C 85 C Skjuvspänning för tomatpuré Skjuvspännning (Pa) Skjuvhastighet (1/S) Figur 11 Skjuvspänning mot skjuvhastighet vid olika temperaturer Figur 1 Skjuvspänning för tomatpuré med olika vattenhalt där 70 % är originalpurén och 75 % är det utspädda provet vid 0 C 3

24 5.1.4 Viskositet Viskositeten plottades mot skjuvspänningen för original tomatpuré vid de valda temperaturerna, samt för utspädd tomatpuré, se bilaga 5. Utseendet på kurvorna kan jämföras med de i figur 3. Man ser då att viskositeten följer utseendet för det skjuvtunnande fluidet vilket var det förväntade resultatet. I figur 13 ses hur skjuvspänningen vid konstant skjuvhastighet varierar med temperaturen. Då viskositeten varierar på samma sätt som skjuvspänningen kan viskositeten anses minska med temperaturen på samma sätt. Detta stämmer bra överens med teorin om att viskositeten skall minska med ökad temperaturen, se avsnitt Viskositetens temperaturberoende Skjuvspänning vid skjuvhastigheten 0.1/s Temperatur (C) Figur 13 Skjuvspänningen vid konstant skjuvhastighet för olika temperaturer Flytgräns Tomatpurén visade vid alla mätningar att en flytgräns existerar. Detta eftersom det krävdes en viss skjuvhastighet innan tomatpurén började flyta. Då man jämför graferna av de olika temperaturerna ser man att flytgränsen minskar vid en ökad temperatur. Detta verkar rimligt och stämmer väl överens med teorin. För att bestämma flytgränsen vid de olika temperaturerna gjordes en kraftig inzoomning vid skjuvhastigheten 0 på graferna i bilaga 5. Tomatpurén antogs i detta avseende vara Binghamplastiskt och med hänvisning till figur 5 bestämdes flytgränsen approximativt grafiskt ur dessa grafer, bilaga 6. De approximativa resultaten presenteras i tabell 4. Detta är förstås ingen säker bestämning eftersom så få mätpunkter gjorts samt approximeringar från grafen. Flytgränsens storleksordning och temperaturberoende kan ändå identifieras. Det viktigaste är att inse att flytgränsen minskar med ökad temperatur samt att en ökad vattenhalt ger en lägre flytgräns. 4

25 Tabell 4: Approximativa flytgränser Prov Temp [ C] Flytgräns [Pa] Original Original 0 45 Original Original Utspädd Tryckfallsundersökning 5..1 Flöden Tabell 5 visar de flöden som förekom då mätningarna av tryckfall genomfördes. Då frekvensen ställts in på datorn dröjde det ett tag tills detta fått verkan i pumpen. Frekvenserna som flödet mättes vid var förutbestämda i 5 Hz intervaller. Mätaren visade dock generellt ett värde som låg 0,5 Hz högre än det som matats in på datorn. Samtidigt som prov togs ut mättes temperaturen på purén, vilken ökade något under försöket. Provet som togs ut vägdes och därefter beräknades flödet Q (cm 3 /s) med hjälp av den tid som använts för provtagningen samt densiteten, ses nedan. Q g / s] = Q[ cm ρ [ g / cm ] [ 3 / s 3 ] där ρ=1,06 g/cm 3 (6) Tabell 5 Tabell över flöden och uppmätta tryckfall. Frekvens [Hz] Temp [ C] Flöde [cm 3 /s] Tryckfall [bar] 15, ,35 3,03 0,5 18,5 1,94 3,195 5,5 18,7 6,96 3,554 30,5 19,6 3,56 3,495 35,4 0,3 37,51 3,671 40,5 1, 41,87 3,786 45,5 48,09 3,897 50,5 3,5 51,98 3, Reynoldstal För att tryckfallet skall kunna beräknas med Rabinowitsch-Mooney krävs att laminärt flöde råder. Graden av turbulens i ett fluidum kan beskrivas med Reynolds-talet. Hur Reynolds-talet beräknas beror på vilken modell som används. I avsnitt.4. visas hur det generella Reynolds-talet, som är härlett utifrån power-law-modellen, kan användas för att avgöra om laminärt flöde föreligger. Proverna i tabell 6 är de minst viskösa och borde därför ha mest turbulent karaktär. Hastigheten på flödet är beräknat utifrån det högsta flöde som användes vid tryckfallsbestämningarna. Det är värt att notera att det inte finns några reologiska data att tillgå för det prov som användes vid pumpningarna. Det högsta flödet som användes var 5 cm 3 /s, vilket motsvarar 0,338 m/s i det aktuella systemet. 5

26 Tabell 6 Beräkning av generella Reynolds-tal Tomatpuré n K Re gen Re gen, kritisk Original vid 85 C 0, , Utspädd vid 0 C 0,1 16 1, Eftersom det generella Reynolds-talet är mycket mindre än det kritiska Reynoldstalet så råder laminärt flöde. Skillnaden är så stor att det är rimligt att anta att laminärt flöde även rådde vid försökstillfället Tryckfall För att undersöka tryckfallet för tomatpurén i pumpsystemet pumpade vi purén vid olika flöden som beskrivits i Tryckfallet över en rörsträcka i systemet mättes med hjälp av två tryckmätare. Resultatet av de olika mätningarna kan ses i bilaga 7. Då vi mätte tryckfallet under en längre tid togs ett medelvärde av tryckskillnaderna under ett tidsintervall på 0 s. Tryckfallet för den utspädda tomatpurén vid de olika flödena sammanställs i figur 15 nedan. Som kan ses ökar tryckfallet med ökat flöde. Detta är rimligt vilket kan ses direkt ur Rabinowitch-Mooney ekvationen (ekvation 8) Figur 15 Tryckfall för den utspädda tomatpurén vid olika flöden Jämförelse mellan tryckfall från modell och laboration Det huvudsakliga syftet med tryckfallsmätningarna var att undersöka om den modell som sattes upp kan användas för att förutsäga tryckfallet. Nedan ges resultaten från mätningarna och de värden som kunde förutsägas med hjälp av olika modeller i Matlab. 6

27 Tabell 6 Jämförelse mellan tryckfall från modell och laboration Flöde [cm 3 /s] Uppmätt tryckfall [bar] Tryckfall enligt Herschel-Bulkley Tryckfall enligt power-law [bar] [bar] 16,35 3,03 4,97 4,91 1,94 3,195 5,30 5,1 6,96 3,554 5,55 5,4 3,56 3,495 5,79 5,63 37,51 3,671 5,97 5,79 41,87 3,786 6,1 5,9 48,09 3,897 6,31 6,08 51,98 3,907 6,4 6,18 Jämförelse mellan modell och upmätta värden 8 7 Uppmätt tryckfall Herschel-Bulkley Power law 6 Tryckfall (Pa) Flöde (cm 3 /s) Figur 16 Tryckfall för modeller och laboration. 6. Diskussion och slutsatser En viktig del av projektet har varit att undersöka de reologiska egenskaperna hos tomatpuré. Bestämningen av reologiska parametrar är inte alltid en exakt vetenskap, och därmed var det svårt att hitta resultat i litteraturen som är jämförbara med resultaten i detta projekt. Inledningsvis saknades även en medvetenhet om att resultaten till så stor del är beroende på vilket intervall av skjuvhastighet som studeras, vilket försvårade arbetet. Valet av intervall bör styras av i vilket sammanhang datamaterialet skall användas. Hastigheterna under försöken kunde förmodligen ha valts inom ett lämpligare intervall. Även valet av viskosimeter är av största vikt. Då det är utifrån dessa mätningar som beräkningar av reologiska koefficienter görs, ger detta stor inverkan på alla resultat i projektet. Valet av utrustning har inte diskuterats nämnvärt i projektgruppen och valmöjligheterna har inte heller varit stora. Det är möjligt att en annan utrustning skulle ge bättre resultat. 7

28 6.1 Viskositet och flytgräns Det finns ett tydligt temperaturberoende som innebär att viskositeten minskar vid högre temperaturer. Våra data antyder ett linjärt samband mellan viskositet och temperatur, men fler mätpunkter krävs för att bekräfta det. Resultaten tydde på att tomatpurén har en flytgräns, vilket innebär att det krävs en viss kraft innan purén börjar flyta. Efter flytgränsen verkar det inte finnas ett linjärt samband mellan skjuvhastighet och skjuvspänning, utan snarare ett exponentiellt. Tillsammans tyder resultaten på att tomatpuré bör kunna beskrivas bäst med Herschel-Bulkley-modellen, vilket även visat sig vara fallet i modellen. 6. Tryckfall från modell och försök I tabell 6 och figur 16 presenteras de tryckfall som beräknas i programmet med hänsyn till modellerna Herschel-Bulkley, och power-law samt de tryckfall som uppmätts vid laborationen. Flytgränsen i Herschel-Bulkley är uppskattad med teorin från avsnitt.3. och resultatet i Resultatet från tryckfallsmätningarna visade att tryckfallet ökade vid högre flöden, vilket var väntat. Resultatet är inte tillräckligt tydligt för att avgöra om tryckfallet ökar linjärt eller exponentiellt. Det är troligt att resultatet påverkades av att temperaturen på purén förändrades under försökets gång, vilket det inte har tagits hänsyn till. Det visade sig att försöksuppställningen inte var väl dimensionerad för att mäta tryckfallet för tomatpurén, eftersom tryckfallet blev större än vad tryckmätarna klarade av. Purén var därför tvungen att spädas innan mätningarna gjordes. Däremot visar modellen att tryckfallet minskar med omkring 70 % då purén späds med vatten med en faktor på 1,. Det finns alltså stora möjligheter att spara in på energi- och designkostnader om purén kan spädas tidigt i processen. Det huvudsakliga syftet med tryckfallsmätningarna var att undersöka om den modell som satts upp kan användas för att förutsäga tryckfallet. Det visar sig att modellen överskattar tryckfallet med omkring % (se tabell 6 och figur 16) i det aktuella intervallet. Huruvida det är en bra eller dålig modell beror på syftet med tryckfallsförutsägelsen. Som kan ses är de beräknade tryckfallen högre än de uppmätta. Skillnaden mellan de uppmätta värdena och de som erhållits genom modellen är dock relativt konstant inom det undersökta intervallet. Det är positivt eftersom det tyder på att modellen följer verkligheten, om än med något högre värden. En viss skillnad är rimlig då modellen försummar släppningar från väggen. Det innebär att modellen överskattar tryckfallet. Dessutom ändras temperaturen under mätningens gång vilket innebär att viskositeten gradvis minskar. Det kan förklara att den experimentella kurvan har ett något flackare utseende. Med tanke på hur många antaganden och förenklingar som ligger bakom modellerandet kan resultatet anses vara ganska bra. Om programmet är ett användbart verktyg beror på syftet med beräkningarna. Det kan inte sägas vara en bra modell för att exakt bestämma tryckfallet i ett system, men kan ge en fingervisning om storleksordning och generella utseende. Olika komponenters relativa inverkan på tryckfallet kan även uppskattas med hjälp av programmet. Den sortens överslagsberäkning kan vara till stor nytta för att eliminera eventuella flaskhalsar i systemet. 8