Kretsprocesser. Inledning. Förberedelseuppgifter

Transkript

1 Kretsprocesser Inledning Under laborationen ska du jobba med en Stirlingmotor och en värmepump. Båda finns beskrivna lägre fram i texten men först ska du läsa igenom de avsnitt i kurslitteraturen som behandlar kretsprocesser, d.v.s. främst i kapitel 4 i Ohlén Statistisk termodynamik. Förberedelseuppgifter Gör följande uppgifter. Lösningarna inlämnas renskrivna vid laborationens början till handledaren för kontroll. 1. I en kretsprocess för en (värme)motor representeras nettoarbetet under ett varv av den inneslutna arean i ett pv-diagram. En motor genomlöper en fyrkantig kretsprocess enligt diagrammet nedan. a. Vilken enhet har p V? b. Hur stort arbete uträttar motorn under ett varv i kretsprocessen? c. Vilken effekt avger motorn om det tar 0,2 s för kretsprocessen att genomlöpa ett varv? Svar: b:. 1,6 kj, c: 8,0 kw. 2. Den högsta teoretiska verkningsgraden för en motor är TH T e T H C där TH är den högsta och TC den lägsta temperaturen under kretsprocessen. I en testbil med en stirlingmotor är den högsta temperaturen under kretsprocessen 700 C och den lägsta temperaturen 100 C. Beräkna den högsta möjliga verkningsgraden. Svar: 61,7%

2 3. För en värmepump definieras värmefaktorn som kvoten mellan den energi som avges från den varma sidan och den energi som måste tillföras motorn (kompressorn) som driver kretsprocessen. V f Q W H in Den högsta teoretiska värmefaktorn för en värmepump är V f TH T T H C där TH är den högsta och TC den lägsta temperaturen under kretsprocessen. En värmepump tar värme från uteluften. Värmepumpens praktiska värmefaktor visar sig bli hälften av det teoretiskt högsta värdet. Beräkna värmepumpens praktiska värmefaktor för följande två fall. a) Uteluftens temperatur är 20 C och värmepumpen lämnar varmvatten med temperaturen 50 C. b) Uteluftens temperatur är 0 C och värmepumpen lämnar varmvatten med temperaturen 40 C. Svar: a: 2,3, b: 3,9. 4. I en demonstrationsvärmepump, enligt Figur 1, tas värme QC = Qin, från en kall reservoar som innehåller 10 liter vatten glykolblandning. Värme QH = Qut, avges till en varm reservoar som innehåller 10 liter vatten. QC är den värme som man normalt tar gratis från en lämplig reservoar och QH är nyttig värme som vi normalt använder till uppvärmning. Kompressorn tillför arbetet W, som vi betalar för via elräkningen. Figur 1. En värmepump med de viktigaste delarna inritade. Kompressor, expansionsventil, kall och varm reservoar. a) Temperaturen i den varma reservoaren höjdes 25,8 C på tiden 1616 s. Hur stor medeleffekt har lämnats till den varma reservoaren? b) Diagrammet i Figur 2 visar hur temperaturen TH, i den varma reservoaren, varierar med tiden t. Mätningen började då värmepumpen startades.

3 Figur 2. Temperaturens variation med tiden i den varma reservoaren. Vi anpassar en rät linje till mätpunkterna med minsta kvadratmetoden och får: TH = a t + b, där a = 0,0163 C/s och b = 25,7 C. Vi antar att kompressorns effekt är konstant 158 W under mättiden. Beräkna värmefaktorn Vf för värmepumpen då temperaturen varierar enligt ovan. dq ( t) dw ( t) P ( t) V ( t) H / ut f dt dt Pin( t) där Put är den effekt som överförs till den varma behållaren och Pin är den elektriska effekt som kompressorn använder. Ledning: P ut dq dt H dq dt H dt dt mc dt dt Svar: a: 667 W, b: 4,3.

4 Teori Stirlingmotorn. En Stirlingprocess består av 2 isotermer och 2 isokorer enligt Figur 3. Figur 3 Stirlingprocessen för en värmemotor (a b c d a). Energin Qbc tillförs och mekaniskt arbete Wnetto, motsvarar arean under grafen, uträttas. För isotermerna gäller: bc da ΔEint ΔEint 0, vilket enligt 1:a huvudsatsen medför att Qbc = Wbc = nrth ln(vc/vb) Qda = Wda = nrtc ln(vc/vb) eftersom Va / Vd = Vb / Vc För isokorerna gäller: Wcd = Wab = 0, vilket medför att Qab = Qcd = ΔE int ab = (f/2) nr(th TC) ΔE int cd = (f/2) nr(tc TH) = - Qab där f är antalet frihetsgrader hos arbetsgasen. Här ser vi att om det avgivna värmet Qcd kan överföras till Qab blir Stirlingprocessen mycket effektiv och får verkningsgraden vilket ger W e Q e netto in T W T bc W Q bc H C stirling = TH dc 1 d.v.s. samma som för Carnotprocessen. T T C H

5 Experimentuppställningen Genom åren har det utvecklats flera Stirlingmotorer i undervisningssyfte. Det finns t ex en solstirlingmotor som är försedd med en parabolspegel för att kunna drivas med solljus. Laborationens Stirlingmotor har en cylinder av glas så att man tydligt kan se de olika delarna. Se Figur 4. Motorn har två kolvar, en arbetskolv och en förflyttningskolv, som löper i samma cylinder. Arbetskolven ändrar gasens volym och tryck i cylindern genom att komprimera eller expandera gasen. Förflyttningskolvens rörelser förändrar inte cylinderns volym utan flyttar bara gasen fram och tillbaka mellan det varma och det kalla området. Då förflyttningskolven t ex rör sig uppåt i cylindern flyttas gasen från den övre till den nedre volymen. Gasen passerar då genom ett hål i kolvens mitt som omges av regeneratorn. Regeneratorn består av kopparull som har till uppgift att så effektivt som möjligt mellanlagra värme då gasen passerar åt ena eller andra hållet Värmespiral 2. Varma utrymmet 3. Kylvattenutlopp 4. Regenerator (kopparull) 5. Kalla utrymmet 6. Förflyttningskolv 7. Kylvatteninlopp 8. Arbetskolv 9. Till pv-indikator Figur 4. Den Stirlingmotor som du ska använda under laborationen. Figur 5 nedan visar de fyra delprocesser som ingår i stirlingcykeln. Förutsatt att regeneratorn fungerar perfekt kan dess arbetssätt beskrivas på följande sätt. När gasen passerar regeneratorn från motorns övre varma del, värms regeneratorn upp och gasen kyls av. Gasen kommer då till motorns nedre del kyld till temperaturen T C. Då gasen passerar regeneratorn från motorns nedre kalla del, kyls regeneratorn av och gasen värms upp. Det medför att gasen kommer till motorns övre del uppvärmd till temperaturen TH. I den nedre delen av motorn transporteras värme bort (under den isoterma kompressionen) med hjälp av kylvatten från en kran. Om vi låter flödet vara tillräckligt stort kommer kylvattnets temperatur T C att vara konstant oavsett variationer hos den borttransporterade effekten. Det betyder att vi har en kall värmereservoar. Vi kan då anta att gasen i motorns nedre del hela tiden har samma temperatur T C som kylvattnet. Observera att det bara är i en ideal maskin som gasen får samma temperatur T C som kylvattnet.

6 Figur 5. Stirlingmotorns funktion. Diagrammet ovanför respektive bild visar vilken tillståndsändring som bilden avser att visa. Bilden visar startläget för tillståndsändringen och pilarna visar hur kolvarna ska röra sig för att komma till tillståndsändringens slutläge. T ex visar Figuren ovanför a b kolvarnas lägen i tillståndet a och pilarna visar hur kolvarna ska röra sig för att komma till tillstånd b. Se även tabell 1. Tabell 1. Sammanfattning av tillståndsändringarna. Tillståndsändring Gasens temperatur Gasens volym Arbetskolv Förflyttningskolv a b Ökar Konstant och liten Stilla i övre vändläget Uppifrån och ner b c Konstant och hög Ökar Uppifrån och nedåt Fortsätter nedåt c d Minskar Konstant och stor Stilla i nedre vändläget Nerifrån och upp d a Konstant och låg Minskar Nerifrån och upp Stilla i övre vändläget I motorns övre volym tillförs elektrisk energi under den isoterma expansionen via ett värmeelement. I en ideal maskin sker denna värmetillförsel vid den konstanta temperaturen T H. En ökning av den tillförda elektriska effekten resulterar i att motorn arbetar vid en högre temperatur T H, vilket i sin tur ger upphov till ett större nyttigt arbete (den inneslutna arean i pv-diagrammet ökar). När Stirlingmotorn varit igång en stund har temperaturen T H stabiliserats och vi har fått ett stationärt tillstånd. Motorn hålls då igång genom att värme tillförs den övre delen av

7 motorn (så att expansionen sker isotermt) och värme bortförs från den nedre delen av motorn (så att kompressionen sker isotermt). Arbetet som gasen uträttar under den isoterma expansionen används dels till att uträtta nyttigt arbete (från maskinanvändarens synpunkt) och dels till att lagra rörelseenergi hos ett svänghjul. Se Figur 4. En del av denna energi försvinner också genom t ex friktion och strålningsförluster, men det bortser vi ifrån. Det arbete som tillförs gasen under den isoterma kompressionen tas från svänghjulet, som därmed förlorar rörelseenergi. Nettoarbetet för processen blir skillnaden mellan det arbete gasen uträttar under den isoterma expansionen och det arbete gasen tillförs (från svänghjulet) under den isoterma kompressionen. I den schematiska beskrivningen i Figur 5 är det bara en kolv åt gången som rör sig. I praktiken är det inte riktigt så eftersom den mekaniska konstruktionen gör att båda kolvarna rör sig (mer eller mindre) samtidigt. pv-indikatorn Arbetskolvens läge är ett mått på den inneslutna luftens volym. På laborationens Stirlingmotor överförs arbetskolvens rörelse via ett snöre och några hävarmar till en spegel som vrids i sidled. Spegeln belyses med en laser och reflexen syns på en skärm. När volymen ändras rör sig laserfläcken horisontellt över skärmen. Trycket kan mätas genom att spegelupphängningen via en slang är ansluten till luften i motorn. Tryckändringar i motorn tvingar spegeln att röra sig kring en horisontell axel så att laserfläcken flyttas i vertikalled. På skärmen syns alltså ett pv-diagram över kretsprocessen.

8 Värmepumpen En värmepump överför värme från ett kallare område till ett varmare område. En värmepumpsanläggning och en kylanläggning arbetar efter samma princip. Då vi har en värmepump är vi intresserade av den värmemängd (QH = Qut) som kan avges vid den varma temperaturen, medan i en kylanläggning är vi mer intresserade av den värmemängd (QC = Qin) som tas upp från det kalla området. Köldmediumet i institutionens värmepumpar är tetrafluoretan (C2H2F4) som är klorfritt och betecknas R134a. Det valda köldmediumet medför att vi får kokning och kondensering vid lämpliga temperaturer och rimliga tryck. Laborationens värmepump har s.k. koaxialförångare och koaxialkondensor (se Figur 6). Både förångaren och kondensorn består av ett inre rör (böjt som en spiral) i vilket köldmediumet strömmar. Runt om detta rör finns ett grövre rör i vilket en glykol-vattenblandning (eller bara vatten) strömmar. Figur 6. Värmepumpsanläggning med koaxialförångare och koaxialkondensor. Kretsloppet enligt Figur 6 Process D A: Köldmedium i gasfas vid lågt tryck och låg temperatur komprimeras adiabatiskt (nästan) av kompressorn till högt tryck (12 atm) och hög temperatur (70 C). Process A B: I kondensorn kyls köldmediumet av vatten som leds genom kondensorn. Köldmediumet övergår då från gasfas till vätskefas. Den värmemängd, som frigörs vid denna fasövergång, tas upp av vattnet, som kommer uppvärmt ut ur kondensorn. Process B C: Expansionsventilen fungerar huvudsakligen som en mekanisk strypventil. Köldmediumets tryck, och därmed temperatur minskar kraftigt vid passagen av expansionsventilen. Process C D: I förångaren övergår köldmediumet från vätskefas till gasfas. Kokningen är möjlig genom att köldmediumet tar upp värme från en glykolvattenblandning, som leds genom förångaren.

9 Värmefaktorn Vf definieras normalt som Q V H f W. För Carnotprocessen (och Stirlingprocessen, om regeneratorn fungerar idealt) kan Vf skrivas som: V f QH T H QH QC TH TC I en praktisk värmepump tar man värme från en sjö, från marken eller från uteluften, och låter detta förånga köldmediumet i förångaren. I kondensorn kondenseras köldmediumet varvid det omgivande vattnet upptar värme, som kan användas för att t.ex. värma upp ett hus. När förhållandena väl stabiliserats kommer alltså TH och TC att vara konstanta. I värmepumpen på laborationen har vi i stället två 10 kärl med vatten, ett varmt och ett kallt. Dessa volymer är så små att temperaturen ändras med tiden, värmepumpen tar värme från den ena reservoaren, varvid dess temperatur sjunker, och lämnar värme till den andra, varvid dess temperatur stiger. Eftersom temperaturerna ändras med tiden i detta fall definierar vi en tidsberoende värmefaktor: dq ( t) dw ( t) P ( t) V ( t) H / ut f dt dt Pin( t) där Put är den effekt som överförs till den varma behållaren och Pin är den elektriska effekt som kompressorn använder.

10 Utförande Stirlingmotorn Uppgift 1: Undersökning av Stirlingmotorn Dra sakta runt motorns svänghjul för hand (åt rätt håll) och övertyga dig om hur de fyra tillståndsändringarna kommer till stånd. Fundera över hur energiutbytet med omgivningen går till för de olika tillståndsändringarna. Uppgift 2: Stirlingmotorns verkningsgrad Bestäm Stirlingmotorns verkningsgrad då den används som värmemotor. Tänk först ut vilka storheter som måste mätas för att trättat arbete och tillförd energi skall kunna beräknas. Utför därefter mätningarna. OBS. Stirlingmotorn är ömtålig (och dyr). Den får inte startas utan handledarens medverkan! Var försiktig så att Du inte blir träffad av laserljuset! Figur 7. Stirlingmotorn

11 Värmepumpen Uppgift 3a: Fasövergångar i värmepumpen Börja med att försäkra dig om att du vet hur köldmedium och kylvatten cirkulerar i värmepumpen. Identifiera var de åtta termometrar som mäter det cirkulerande köldmediumets temperatur sitter. De är numrerade 1-8 och du ska fylla i siffrorna i den schematiska bild över värmepumpen som du fått. Dessa åtta termometrar avläser du, tillsammans med två tryckmätare, manuellt. Två termometrar mäter också kontinuerligt temperaturen på kylvattnet i den varma respektive kalla behållaren. Dessa båda temperaturer (TH, TC) samt den tillförda elektriska energin (W) ska under hela mätningen registreras av datainsamlingsprogrammet DataStudio. Starta programmet och börja med att koppla in en räknare ( Geiger counter, Ingång 1) som registrerar antal energipaket som levereras till kompressorn. Koppla sedan in två termometrar ( Thermometer, ingång A och B) som registrerar temperaturerna. Ett lämpligt samplingsintervall är 10 s. Se till att alla mätdata löpande visas i en tabell eller i ett diagram. Klicka och dra från data till display. Handledaren hjälper dig! Figur 8. Laborationens värmepumpsanläggning. Starta värmepumpen och datainsamlingssystemet och samla data i ca 20 minuter. Avläs vid två tidpunkter (efter ca 5 respektive ca 15 minuter) tryck och temperatur på samtliga åtta ställen som mäter temperaturen på köldmediumet. Observera att de avlästa trycken är övertryck, d.v.s. atmosfärstrycket måste adderas för att få köldmediumets totaltryck. För att värmepumpen ska fungera tillfredsställande krävs det att fasövergångarna sker där de ska. Studera detta genom att föra in alla mätpunkterna i det färdigtryckta pt-diagrammet som du får av handledaren. Markera var fasövergångarna sker.

12 Uppgift 3b: Värmepumpens värmefaktor som funktion av tiden När du tagit upp en mätserie med TH, TC och W under ca 20 minuter ska du spara resultaten på en fil och analysera med hjälp av programmet MatLab. Handledaren hjälper dig läsa in data i MatLab. Du kommer att behöva fyra vektorer med mätdata: t: Avläsningstiden i sekunder. W: Den tillförda elektriska energin. T_H: Temperaturen i den varma behållaren. T_C: Temperaturen i den kalla behållaren. Kontrollera så att du har fått rätt enheter! Din uppgift blir nu att: Rita följande diagram: TH(t), TC(t) och W(t). Rita den teoretiska (Carnot) värmefaktorn som funktion av tiden. Rita den verkliga värmefaktorn som funktion av tiden. För att göra detta måste du beräkna effekterna Put respektive Pin, d.v.s. tidsderivatorna av QH och W. Att beräkna derivator genom att dividera differenser mellan experimentella data leder oftast (alltid) till stora osäkerheter. En mycket bättre och stabilare metod är att anpassa en funktion till mätdata, vilken då också utjämnar de experimentella osäkerheterna, och sedan derivera funktionen. I brist på någon "teoretiskt optimal funktion" i detta fall väljer vi att anpassa ett polynom av lämpligt gradtal. Rita slutligen ett diagram som visar kvoten mellan den verkliga och den teoretiska värmefaktorn. Redogörelsen skall innehålla svar på följande frågor. Varför minskar värmefaktorn med tiden? Vad betyder det att värmefaktorn är lika med ett?

13 Tips för MatLab-program Här följer några tips som du kan ha användning av när du behandlar insamlad data i MatLab. Om du är osäker på någon av MatLabs inbyggda funktioner kan du använda kommandot help för att få en förklarande text om denna eller läsa i den inbyggda hjälpdokumentationen. Tänk på att MatLab använder matrismultiplikation som standard. Om du vill multiplicera eller dividera vektorer elementvis så använder du operatorerna.* och./ d.v.s. med en punkt innan den vanliga operatorn. Nedan visas ett exempel på detta. >> A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; >> A*B Error using * Inner matrix dimensions must agree. >> A.*B ans = En annan vanlig källa till fel är att MatLab använder decimalpunkt och inte komma. Se därför till att data du läser in är korrekt formaterad. Det finns olika sätt att läsa in data i MatLab. Det lättaste är antagligen att skapa en matris i MatLab och helt enkelt kopiera in all data i den, såsom det visas nedan. >> A=[ ]; Andra sätt att läsa in data är t.ex. att använda kommandona load, dlmread eller importdata. Ett kommando du kommer att behöva använda är cumsum som kumulativt summerar en vektor, på plats i får vi alltså summan av alla vektorelement upp till plats i. Ett exempel visas nedan. >> A = [ ]; cumsum(a) ans = När du ritar upp diagram använder du kommandot plot. Ett användbart kommando när man ska rita upp många diagram är figure som öppnar ett nytt figurfönster. Text på axlarna och titel fås genom xlabel, ylabel och title. T.ex: >> xlabel( Tid/s ) För att anpassa ett polynom med minsta kvadratmetoden använder du polyfit. Observera att du här får ut en vektor med polynomets koefficienter och alltså inte vad polynomet har för värde i olika punkter. Om vi t.ex. har en vektor med X-värden och en vektor med Y-värden får vi ett anpassat polynom av grad N genom att skriva:

14 >> P = polyfit(x,y,n); Du kan evaluera polynomet i olika punkter med kommandot polyval. Om vi använder samma vektorer som i exemplet ovan får vi fram de anpassade Y-värdena genom: >> YP = polyval(p,x); Detta är samma sak som att skriva: >> YP = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) P(N)*X + P(N+1); Det är bra att rita upp det anpassade polynomet och data i samma figur och kontrollera att skillnaden mellan dessa är acceptabel. Vill du derivera ett polynom kan du använda polyder som tar en koefficientvektor av ett polynom och ger dig koefficienterna av polynomet som utgör dess derivata.