LINKÖPING LINKOPING LINKOPING

Transkript

1 PDE & FEM Johan Löfberg Notation otationen är typiskt helt bakvänd i PDE & FEM böcker L(u(x; t)) + f(x; t) = 0 @t ) : : som vanligt : spatial dimension, givet för det fysikaliska problemet : extern signal verkande pνa systemet (värmekälla, krafter...) : sökt storhet (temperatur, spänning, flöde...) ffl Lite notation ffl Konserveringslagar ffl Karakterisering av PDEer ffl Analytisk lösning ffl Numerisk lösning ffl Reglering och sνant 45 minuter med... Konserveringslagar Vi börjar direkt med en PDE för att nνagot att arbeta med ut + ffix = f Grundekvationen för en stor mängd fysikaliska PDEer Fysikalisk tolkning Exempel Variabel t) densitet av nνagot antal bilar/km u(x; t) kvantitet genererad i (x; t) en infart f(x; t) flux i (x; t) passerarande bilar i (x; t) ffi(x; LINKÖPING

2 onserveringslagar bygger pνa förändring = in-ut+skapat" b d dt u(x; = t) ffi(b; t) + b f(x; t)dx a ffi(a; t)dx a u och ffi är tillräckligt snälla kan denna integralekvation skrivas m till konserveringslagen. m Konserveringslagar, exempel : Om vi inför värme u(x; t) = ρct (x; t) sνa gäller enrgibalansen ärmeledning (utan källa) ut + ffix = 0 ouriers lag ger ffi = KTx, dvs värmen flödar dit det är kallare ut K ρc u xx = 0 enerellt : ffi(x; t) = cux(x; t) kallas linjär diffusion Konserveringslagar, exempel av inkompressibelt material : ffi(x; t) = vu(x; t). Konstanten Transport v är hastigheten pνa transporten. Generellt : ffi(x; t) = cu(x; t) kallas linjär konvektion. Om ffi(x; t) = g(u(x; t)) kallas det olinjär konvektion. Trafikmodeller kan modelleras med olinjär konvektion ffi = u(1 u). ffl Linjäritet : Ungefär som ODE ut + g(x)uxx = h(x) : linjär ut + g(u)uxx = h(x) : olinjär Karakterisering av PDE ffl Ordning : Som ODE, högsta förekommande derivatan ffl Struktur : Hyperboliska, elliptiska och paraboliska ffl Rand och initialvillkor

3 Struktur an tittar pνa en andra ordningens PDE Auxx + Buxt + Cutt + F (x; t; u; ut;ux)=0 efiniera diskriminanten D = B 2 4AC Namn Exempel Fall > 0 hyperbolisk vνagekvationen utt = c 2 uxx D = 0 parabolisk diffusion ut kuxx = 0 D < 0 elliptisk Laplace uxx + uyy = 0 D lassificieringen används för att välja lösningsmetoder etc. Analytisk lösning recis som i ODE kan detta endast göras för enkla modeller. ock, dessa lösningar gerinsikt i hur svνarare lösningar är uppbyggda. anligaste metoder ffl Variabelseparation ffl Integraltransformer Initialvärdesproblem ffl 0) givet u(x; Rand och initialvillkor lättaste sortens problem Den hyperboliska, t.ex. vνagekvationen över oändlig domän Ofta Randvärdesproblem ffl t) givet t) givet (Neuman) u(randen; att lösa Svνarare problem, t.ex. Laplace Elliptiska Initial-randvärdesproblem ffl fallet Generella Variabelseparation Ansätt u(x; t) = y(x)g(t) och plugga in i differentialekvationen Förhoppningsvis fνar man ett gäng med ODE Kräver viss struktur pνa bνade PDE och randvillkor

4 ärmeledning i 1D, ren diffusion Variabelseparation, exempel ut uxx = 0 i ansätter u(x; t) = y(x)g(t) ) y(x)g 0 (t) = y 00 (x)g(t) ) 00 (x) y = g y(x) 0 (t) g(t) ftersom det är x till vänster och t till höger mνaste i har tvνa stycken ODE. 00 (x) y = g y(x) 0 (t) = k g(t) Integral transformer, exempel ransport med endast linjär konvektion och matning i x = 0 ut(x; t) + vux(x; t) = 0 aplacetransformera m.a.p. t su(x; s) + v du u(0;t) = r(t) u(x; 0) = 0; 0» x» L dx (x; s) = 0 U(0;s) = R(s) tandard ODE av första ordningen (i x alltsνa) U(x; s) = R(s)e sx=v Integraltransformer för Fouriertransformer, Laplacetransformer och andra Samlingsnamn mindre vanliga transformmetoder lite appliceras transformen pνa t (de spatiala koordinaterna är oftast Typiskt endast definierade över en begränsad domän) Inga konstigheter Integral transformer, exempel Notera, överföringsfunktionen frνan x = 0 till x = 1 U(1;s)= R(s)e s=v vi definierar tiden det tar för en partikel att röra sig en längdenhet Om = 1=v sνa har vi T U(1;s)= R(s)e st En PDE för en tidsfördröjning T är alltsνa ut(x; t) + 1 T u x(x; t) = 0; 0» x» 1 Vi kommer tillbaka till detta senare

5 Numerisk lösning praktiken mνaste man lösa problemen numeriskt i kommer att titta pνa ffl Finita differensmetoder ffl Finita elementmetoder Finita differensmetoder Numerisk stabilitet beror bνade pνa ffi och. ffl ut = uxx mνaste ffi» 0:5 2. För ffl Numeriken kan förbättras genom att använda implicita metoder. ffl Enkel att förstνa och implementera. ffl Kan tyvärr ge dνaliga modeller. Finita differensmetoder Inför en diskretisering i bνade x och t Ersätt derivator med differensapproximationer ux(x; t) ß ut(x; t) ß u(x + ;t) u(x; t) t + ffi) u(x; t + ffi) u(x; Ger ett stort ekvationssystem att lösa för elliptiska system. typiskt ett dynamiskt system för paraboliska och hyperboliska, Ger värdena i diskretiseringspunkterna i den spatiala dimensionen blir där tillstνand. & FEM Modelling PDE Finita elementmetoder För tillfället kommer vi bara titta pνa linjära statiska problem, L(u(x)) + f(x) = 0 Vνart mνal är att approximera funktionen u(x) vet vi att u(x) för mνanga problem fνar lösningar i form av Analytiskt oändlig summa en u(x) = 1X jffi j (x) j=

6 Finita elementmetoder av vνar kunskap om strukturen pνa en lösning inför vi basfunkioner tärkta (oftas kallat trial-functions inom FEM) amt en okänd parametervektor i definerar vνar approximation ffi(x) = [ffi1(x) :::ffin(x)] (x) = [ 1 ::: n] T ^u(x) = ffi Finita elementmetoder, 1D linjär basfunktion iskretisering av (0» x» 1) i tre element (fyra basfunktioner) Finita elementmetoder, basfunktioner En viktig del av FEM är att välja basfunktionerna. den spatiala domänen och inför basfunktioner som är Diskretisera kring varje diskretiseringspunkt. lokala är dels numerisk, men även att parametrarna fνar en fysikalisk Fördelen Med lämpligt val av basfunktioner kommer i = ^u(x i ) tolkning. Hur väljer vi? FEM, residualer Vi skulle vilja minimera u(x) ^u(x), men vi känner ju inte u(x) Vi vet dock att den korrekta lösningen uppfyller L(u(x)) + f(x) = 0 Detta gäller dock inte för approximationen, utan där har vi L(^u(x)) + f(x) = R(x) lämpligt sätt att hitta ^u(x) kan alltsνa vara att minimera residualen Ett Detta är grundiden i all FEM. R(x) φ 1 φ 2 φ 3 φ

7 FEM, olika metoder tt gäng metoder för att minimera R(x) finns ffl Collocation ffl Viktade residualmetoder ffl Galerkin ffl Minsta kvadrat ffl ::: FEM, viktade residulametoder amlingsnamn för de flesta metoderna viktsfunktioner ψ i (x) och sätt älj ψ i (x)r(x)dx = 0 otera, collocation, ψ i (x) = ffi(x c i ) Absolut enklaste metoden Välj ett antal punkter c i, och sätt FEM, collocation R(c i ) = 0 att de valda punkterna inte behöver vara nνagon av diskretiseringspunkterna. Observera Ger ett linjärt ekvationssystem för att hitta. FEM, viktade residulmetoder vi stoppar in definitionen av R(x) och ^u(x) sνa har vi Om ψ i (x)(l(ffi(x) ) + f(x))dx = 0 Detta ger ett linjärt ekvationssystem där K = b b i = K ij = ψ i (x)f(x)dx ψ i (x)l(ffi j )dx

8 lassisk metod inom FEM. FEM, Galerkin r en viktad residualmetod där man väljer ψ i (x) = ffi i (x) ar fördelen att den ger symmetriska matriser (efter lite trick) Programvara ffl FEMLAB i MatLab : Generell FEM analys ffl PDE i MatLab : Liknande FEMLAB fast lite enklare ffl DSolve i Mathematica : Analytisk lösning Minimera FEM, Minsta kvadratmetoder R 2 (x)dx Är ocksνa en viktad residualmetod ty minimum ger ψ R 2 (x)dx = 2 i (x) R(x)dx = 0 Reglering och sνant För att reglera system med PDEer kan man ffl Göra det svνart för sig ffl Göra det lite mindre svνart för sig ffl eller göra det ganska enkelt

9 Den mesta reglerteorin (med ODE) gνar att överföra till PDE vνart: Dock blir matematiken (och regulatorerna) väldigt komplexa. ystem. ypiskt sνa fνar man regulatorer i form av PDE operatorer. svνart: Boundary control. Skapa en regulator med standard indre baserad pνa de (begränsat antal) mätsignaler man har. Analy- eknik, stabilitet antingen strikt eller att genom göra en FEM modell av era system. lutna Börja med att göra en FEM modell av systemet. Applicera nkelt: standard reglerteori pνa den erhνallna modellen (som är en stan- edan ard finitdimensionell tillstνandsmodell) 1 Referenser S.J. Farlow. Partial Differential Equations for Scientists & Engineers. Wiley, J. D. Logan. Applied Partial Differential Equations. Springer, Samuelsson and N.E. Wiberg. Finite Element Method: Basics. Studentlitteratur, A Ottosen and H. Petersson. Introduction to the Finitie Element Metod. Prentice N Hall, Molander. Computer Aided Modelling of Distributed Parameter Processes. M. thesis, Chalmers Universirty of Technology, PhD 32 33