Frente 1 Módulo 37 Operações na Forma Trigonométrica: Multiplicação, Divisão e Potenciação

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1 CADERNO Frente Módulo 7 Operações na Forma Trigonométrica: Multiplicação, Divisão e Potenciação ) Sendo z = + i, temos: I) z = + = II) z i = ( + i)i = i + i = + i III) z i = ( ) + = ) Para z = (cos 0 + i sen 0 ), z = cos 0 + i sen 0 e z = (cos 60 + i sen 60 ), temos: a) z z = [cos ( ] + i sen ( )] = = 8 (cos 90 + i sen 90 ) = 8 (0 + i ) = 8i b) z 6 = (cos 0 + i sen 0 ) 6 = cos (6 0 ) + i sen (6 0 ) = = cos 60 + i sen 60 = + i z c) z z = = [cos (60 0 ) + i sen (60 0 )] = z = (cos 0 + i sen 0 ) = + i = + i z d) z z = = [cos (0 60 ) + i sen (0 60 )] = z = [cos ( 0 ) + i sen ( 0 )] = = (cos 0 i sen 0 ) = = i = i e) z z = (cos 0 + i sen 0 ) (cos 0 + i sen 0 ) = = (cos 0 + i sen 0 ) (cos 0 + i sen 0 ) = = (cos 60 + i sen 60 ) = = + i = + i f) (z z ) = [ (cos 0 + i sen 0 ) (cos 0 + i sen 0 )] = = [ (cos 0 + i sen 0 )] = 8 (cos 0 + i sen 0 ) = = 8 (cos 0 + i sen 0 ) = 8 + i = + i ) Para z = 8 (cos 7 + i sen 7 ) e w = (cos + i sen ), temos: I) zw = 6 (cos 90 + i sen 90 ) = 6 (0 + i ) = 6i z 8 II) = (cos 60 + i sen 60 ) = + i = + i w Resposta: B Quando se multiplica um número complexo z por i, obtém-se o número complexo z i, cujo módulo é o mesmo de z e, cujo argumento, excede o argumento de z em 90. De fato, escrevendo z e i na forma trigonométrica, temos: z = (cos + i sen ) i = (cos 90 + i sen 90 ) Assim, z i = (cos ( + 90 ) + i sen ( + 90 )) ) Sendo z = + i, temos: I) z = II) cos = sen = + III) z = + i = cos 0 + i sen 0 = + = n IV) z n = + i = (cos 0 + i sen 0 ) n = = cos (0 n) + i sen (0 n) V) Se z n é real, de acordo com o enunciado, devemos ter: sen (0 n) = 0 n > 0 = 0 0 n = 80 k, k n > 0 n = 6k, k n {6; ; 8;...} n > 0 VI) Como z n é real positivo, devemos ter cos (0 n) > 0, assim: para n = 6 cos(0 6) = cos 80 = para n = cos(0 ) = cos 60 = Portanto, o menor n > 0 é

2 π π ) Dado o número complexo z = cos + i. sen temos: z π π π π = cos + i. sen = cos + i. sen z π π π π = cos + i. sen = cos + i. sen 6 6 Os axos P, P e P, que são as respectivas imagens de z, z e z, no plano complexo, determinam a seguinte gura: Im P P P Re O b) I) z = + i. + = =. + i. = =. π cos π + i. sen II) z n = n π π. cos n. + i. sen n., 8 8 então: π π 8k sen n. = 0 n. =k.π n =, k 8 8 III) O menor valor inteiro de n > 0 ocorre para k =, assim, 8. n = = 8 c) Como z 8 e z 8 = 8. (cos π + i. sen π) No triângulo isósceles OP P, temos: O ^P P = O ^P P = 7 Como os triângulos OP P e OP P são congruentes, temos: O ^P P = O ^P P = 7. Portanto, o ângulo P ^P P (maior ângulo do triângulo P P P ) resulta = 0. 6) a) Lembrando que cos(x) =. cos x e cos(x) =. sen π x, para x =, tem-se: 8 π I) cos =. cos π 8 =. cos π 8. cos π = 8 π cos = 8 π II) cos =. sen π 8 =. sen π 8. sen π + = 8 π sen = 8 + z 8 = 6 z = 0, um polinômio com raiz z, sem raízes reais e com coecientes inteiros, é P(x) = x π Respostas: a) cos = e 8 π sen = 8 b) n = 8 c) P(x) = x Módulo 8 Radiciação em ) I) z = 6 = 6 (cos 80 + i sen 80 ) II) As raízes sextas de z são: z k = k k 6 cos + i sen ; 6 6 k {0,,,,, } Para k = 0 z 0 = [cos 0 + i sen 0 ] = + i Para k = z = [cos 90 + i sen 90 ] = i Para k = z = [cos 0 + i sen 0 ] = + i +

3 ) a) Raízes quadradas de : d) Raízes quartas de 6: I) w = 6 = 6 (cos 80 + i sen 80 ) z = z = ± z = ± i b) Raízes cúbicas de : II) z = k k 6 cos + i sen ; k {0,,, } z 0 = [cos + i sen ] = + i = + i z = [cos + i sen ] = + i = + i z = [cos + i sen ] = i = i z = [cos + i sen ] = i = i e) Raízes quartas de 6: z = 6 z = 6 z 0 = ; z = i; z = ; z = i f) Raízes sextas de : z 6 = z = 6 z 0 = I) w = = (cos 0 + i sen 0 ) II) z = k k cos + i sen, k {0,, } z 0 = z = (cos 0 + i sen 0 ) = + i Lembre-se que as raízes sextas da unidade, constituem os vértices de um hexágono regular inscrito numa circunfe - rência de raio. Assim: z = (cos 0 + i sen 0 ) = i c) Raízes cúbicas de 8i: z 0 = z = cos 60 + i sen 60 = + i z = cos 0 + i sen 0 = + i I) w = 8i = 8 (cos 90 + i sen 90 ) II) z = k k 8 cos + i sen ; k {0,, } z 0 = [cos 0 + i sen 0 ] = + i = + i z = [cos 0 + i sen 0 ] = + i = + i z = [cos 70 + i sen 70 ] = (0 i) = i z = cos 80 + i sen 80 = z = cos 0 + i sen 0 = i z = cos 00 + i sen 00 = i g) Raízes sextas de 6: z 6 = 6 z = 6 6 As raízes sextas de 6 representam os vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio.

4 Assim: ) a) I) + i = (; ) II) A representação gráca do triângulo descrito no enun - ciado é z 0 = z = (cos 60 + i sen 60 ) = + i = + i z = (cos 0 + i sen 0 ) = + i = + i z = (cos 80 + i sen 80 ) = ( + i 0) = z = (cos 0 + i sen 0 ) = i = i z = (cos 00 + i sen 00 ) = i = i ) As raízes da equação z = i são as raízes cúbicas (z, z e z ) do número i =. (cos 90 + i. sen 90 ) Logo: z =. (cos 0 + i. sen 0 ) = + i z =. (cos 0 + i. sen 0 ) = + i z =. (cos 70 + i. sen 70 ) = i III) Os outros dois vértices do triângulo são ( ; ) e (0; ) que correspondem aos números compexos + i e i. b) A altura do triângulo é igual a h = + =, assim, a medida do lado desse triângulo é tal que: 6 6 h = = = =. = ) a) z = (x + i) = [(x + i) ] = (x + xi ) = = x 6x x i 8x xi = = (x x + 6) + (8x x)i z é um número real 8x x = 0 8x(x ) = 0 x = 0 ou x = ou x = b) se o axo de z 0 é o ponto (0; a), a > 0, então z 0 = a cos π + i sen π Então z = z 0 = a π π. cos + i sen = = a (cos π + i sen π) = a. Portanto, z = a. Respostas: a) 0, e b) a

5 Módulo 9 Polinômios: Grau, Valor Numérico, Identidade e Divisão ) P() = P() = = 8 Resposta: P() = 8 ) Lembrando que o coeciente de x é a a + e que a a + = 0 a = ou a =, temos: a) a e a gr(p) = b) a = P(x) = 0. x + 0. x x + 7 gr(p) = c) a = P(x) = 0. x + x + x + 7 gr(p) = a e a gr(p) = Resposta: a = gr(p) = a = gr(p) = ) (f + g) (x) = f(x) + g(x) = (a )x + (a )x (a 7)x + (a ). x + x a (f + g) (x) = (a 0). x + (a )x + (a + ) x + ( a) Assim sendo: gr(f + g) = a 0 0 a Resposta: a a 0 = 0 ) gr(f + g) = a = 0 a = a + 0 Se a =, então: f(x) = x + x + e g(x) = x + x e portanto: (f. g) (x) = (x + x + ) ( x + x ) (f. g) (x) = x 6 + x x x + x x x + 9x 6 (f. g) (x) = x 6 + x x + x + 7x 6 Resposta: (f. g)(x) = x 6 + x x + x + 7x 6 ) Se P(x) = x + ( + m)x + ( + m)x + m, então: P(m) = m + ( + m). m + ( + m)m + m = = m + m + m + m + m + m = = m + m + 6m 6) Se. P(x) + x. P(x ) = x + x +, então: I) Para x = 0. P(0) + 0. P(0 ) = P(0) = P(0) = II) Para x =. P() +. P( ) = P() +. P(0) = + +. P() +. =. P() = P() = 7) I) P(x) = ax + bx + cx + II) P( x) = a( x) + b( x) + c( x) + = ax + bx cx + III) P(x) P( x) = ax + cx IV) Se P(x) P( x) = x ax + cx = x, então: a = a = c = 0 c = 0 V) P( ) = 0 a + b c + = 0 + b 0 + = 0 b = Assim, P(x) =. x. x + e, portanto, P() = + = e P() = = 0 8) Para que o polinômio p(x) = (m )x + (m 6)x + (m + )x + tenha grau, devemos ter: m = 0 m = não existe m m 6 0 m e m 9) x (x + x ) + x + x x x = = x x x + x + x x x = = x x + 0. x + 0. x = 0. x + 0. x + 0. x 0) I) ax + b(x + ) + c(x + ) = (x + ) ax + bx + bx + b + cx + cx + c = x + 6x + 9 (a + b + c). x + (b + c). x + b + c = x + 6x + 9 a + b + c = a + b + c = II) b + c = 6 b + c = b + c = 9 b + c = 9 a + b + c = a + b = a = b + c = 9 b = b = c = c = c = III) a b + c = ( ) + = + + = 7 8 a b c 8 ) = + + = x x x x x + x. (x ). (x + ) a. (x ). (x + ) + b. x. (x + ) + c. x. (x ) = x. (x ). (x + ) a(x ) + bx + bx + cx cx = 8 (a + b + c)x + (b c)x a = 8 a + b = c = 0 a = b c = 0 b = a = 8 c = ) a) Se (a; b; c; d) é uma progressão geométrica de razão q (q 0) e a 0, então: b = aq, c = aq e d = aq Desta forma: p(x) = a + bx + cx + dx p(x) = a + aqx + aq x + aq x Assim: p = a + aq. + aq. + q q q + aq. = a a + a a = 0. Portanto, q q é a raíz de p(x).

6 b) Para que o sistema a c. x = d b y tenha solução única, deve-se ter: a c det 0 ab cd 0 d b a. aq aq. aq 0 a q ( q ) 0 q 0, pois a 0 e q 0. Assim, q q e q, pois sendo a, b, c e d reais, con sequentemente q é real. Respostas: a) Demonstração b) q e q ) = Ax + B + Dx + C (x + x + )(x + ) x + x + x + = (Ax + B)(x + ) + (Dx + C)(x + x + ) = Ax + Ax + Bx + B + Dx + Dx + + Dx + Cx + Cx + C = (A + D)x + (B + D + C)x + (A + D + + C)x + (B + C) a) A + D = 0 B + C + D = 0 A + C + D = 0 B + C = b) Resolvendo o sistema por escalonamento, resulta: A + D = 0 A + D = 0 B + C + D = 0 B + C + D = 0 A + C + D = 0 C D = 0 B + C = B + C = A + D = 0 A + D = 0 B + C + D = 0 B + C + D = 0 C D = 0 C D = 0 C 8D = 0D = A = 0 B = 0 C = 0 D = 0 A + D = 0 Respostas: a) B + C + D = 0 A + C + D = 0 B + C = b) A =, B =, C = e D = e f 0 ) Resposta: Q(x) = x x e R(x) = x ) Se o volume do paralelepípedo reto retângulo é dado por x + 7x + x + 8, com x > 0, então, a área da face perpen - dicular à aresta de medida x + é dada por 6) 7) x + 0x + 0x + x x + x + x x x x x x x + x + x + x + x x x + 7x + x + 8 x x + x x + x x + 8 x + x 0 = x + 6x + 8, pois, pois x + x (x + x x + ). 0 + (x + x) gr(r) = < gr(b) = Resposta: Q(x) 0 e R(x) = x + x Obs.: Se gr(a) < gr(b), então R(x) A(x) e Q(x) 0 Resposta: Q(x) = x + 7x + 77 e R(x) = 7x 8 8) a) A(x) = x + x e B(x) = x + x + b) gr(r) < gr(b) ou R(x) 0 gr(r) < ou R(x) 0 R(x) = ax + b c) gr(a) > gr(b) gr(q) = gr(a) gr(b) gr(q) = gr(q) = Q(x) = px + qx + r d) pela denição de divisão, tem-se: 8 0 x + x x + x x x + x + x x x + 7x x 8x + x 7x + 8x 7x 77x + x 77x + 8x 77 7x 8 x + x x + x + ax + b px + qx + r x + x (x + x + ). (px + qx + r) + (ax + b) e) reduzindo e ordenando os polinômios, vem: x + x px + (p + q)x + (r + q + p) x + (r + q + a) x + (r + b) 6

7 f) igualando os coecientes, dois a dois, decorre: p = p + q = 0 r + q + p = 0 r + q + a = r + b = p = q = Q(x) = x x r = 0 a = R(x) = x b = Resposta: Q(x) = x x e R(x) = x 9) Dividindo, pelo método da chave, temos: x x + 0x + ax + b x x + x + x x x x 6 x x + ax + b + x x + x 6x + (a + )x + b + 6x x + (a 8)x + (b + ) O resto R(x) = (a 8). x + (b + ) é identicamente nulo, pois a divisão é exata. Assim sendo: (a 8). x + (b + ) 0 a 8 = 0 e b + = 0 a = 8 e b = Resposta: a = 8 e b = ) I) ax + x ax + x ax + ax ax + ( + a) ( + a)x ax + ( + a)x + 6a + 0 ax + 6a + II) r() = 0 r() = a + 6a + = 0 a = a = III) Q(x) = ax + ( + a) = x + [ +. ( )] = x IV) Q() =. () = = ) I) D(x) = x = (x + ). (x ) II) x 0 + ax + b (x + ). (x ) Q(x) x 0 + = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b III) Para x = : ( + ). ( ). Q( ) + a. ( ) + b =. ( ) 0 + a + b = IV) Para x = : ( + ). ( ). Q() + a. () + b =. () 0 + a + b = a + b = a = V) a + b = b = Resposta: a = e b = 0) Uma maneira de resolver a questão é dividir pelo método da chave e impor, no nal, a condição R(x) =. É o processo utilizado no exercício anterior. Outra maneira é dividir pelo método dos coecientes a deter minar. É o que vamos utilizar neste exercício. Assim, sendo Q(x) = x + a e R(x) =, temos: x + px + q x x x + a Resposta: p = e q = x + px + q (x x ). (x + a) + x + 0x + px + q x + (a )x + ( a )x + ( a + ) a = 0 a = a = p p = Q(x) = x + a + = q q = ) De acordo com o enunciado, temos que P(x) D(x) P(x) = D(x). Q(x) + R(x) e, portanto, R(x) Q(x) x + x + x = D(x). (x + 8) + x Logo, = D(). (. + 8) +. = 8. D() + 80 D() = Módulo 0 Dispositivo de Briot-Rufni e Teorema do Resto ) O resto da divisão de A(x) por x é, pelo Teorema de D Alembert, A(). r = A() Assim: r = A() =. + = Resposta: O resto da divisão é. ) O resto é A( ), lembrando que é raiz de x + = 0. Assim: r = A( ) = ( ) + ( ) ( ) + = Resposta: O resto da divisão é. ) O resto é A( ), lembrando que é a raiz de x + = 0. Assim: r = A( ) =. ( ) +. ( ) 7. ( ) + = 6 Resposta: O resto da divisão é 6. ) A(x) x r Q(x) x + 0x + x 7x + x x + x x + x + 7x + 7 x + x 7x + x + x 7x 7x + 7x + x 7x + 7x + 6 Resposta: Q(x) = x + x + 7x + 7 e R(x) = 6 7

8 ) Para a =, que é a raiz de x = 0, tem-se: O resto é 6 e os coecientes de Q são,, 7, 7. Resposta: Q(x) = x + x + 7x + 7 e R(x) = 6 6) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Rufni com a =, que é a raiz de x + = 0, tem-se: 7 0 Resposta: Q(x) = x + x 6 e R(x) = 8 7) a) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Rufni com a =, que é a raiz de x + = 0, tem-se: b) O último coeciente, 9, já é o resto. c) Os demais coecientes devem ser divididos por, que é coeciente de x no divisor x +. Os coecientes de Q são, pois:,,, Resposta: Q(x) = x x x + e R(x) = 9 8) Se o volume do paralelepípedo reto retângulo é dado por x + 7x + x + 8, com x > 0, então, a área da face perpen - dicular à aresta de medida x + é dada por coecientes de Q 6 8 coecientes de Q resto coecientes de. Q resto resto x + 7x + x + 8 = x + 6x + 8, pois x ) Se a altura h é dada por h(t) = t 0 t + t + e h() = 0, então é raiz da equação h(t) 0 = 0 Assim sendo: ) h(t) 0 = t 0t + t + 0 h(t) 0 = t 0t + t 86 ) O polinômio t 0t + t 86 é divisível por t e, portanto, h(t) 0 = (t ) (t 7t + 6) ) As raízes da equação t 7t + 6 = 0 são 7 ± 9 t = t = 8 ou t = 9 ) Logo: h(t) = 0 h(t) 0 = 0 t = ou t = 9 ou t = 8 Resposta: t = 9 e t = 8 0) De acordo com o Teorema de D Alembert, temos: A(x) x 7 Q(x) r = 7 = A() Assim sendo: A() = a. + = 7 a = Resposta: a = ) ọ Processo Dividir pelo método da chave e mostrar que R(x) 0. ọ Processo Dividir pelo método dos coecientes a determinar e mostrar que R(x) 0. ọ Processo Notando-se que x x + (x ) (x ), utilizar o teorema: Se A é divisível por x a e por x b, com a b, então A é divisível por (x a). (x b). Resolvendo por este último processo, tem-se: A(x) x A() = = 0 0 Q (x) A(x) x A() = = 0 0 Q (x) A(x) (x )(x ) A é divisível por x x + 0 Q(x) ) Lembrando-se de que x x + (x ) (x ), tem-se: A(x) x x + 0 Q(x) A(x) x 0 Q (x) A(x) x 0 Q (x) Assim sendo: A(x) (x )(x ) 0 Q(x) A() = 0 A() = 0 A() = 0 + a.. + b = 0 a + b = a = 0 A() = 0 + a.. + b = 0 8a + b = b = Resposta: a = 0 e b = 8

9 ) O teorema utilizado nos dois exercícios anteriores não vale neste caso, pois (x ) (x )(x ) é do tipo (x a). (x b) com a = b. Resolveremos a questão efetuando duas divisões sucessivas por x, pois: A(x) (x ) A(x) x 0 Q(x) 0 Q (x) x 0 Q(x) Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Rufni, tem-se: a) b) c) Já que a divisão é exata, os restos são nulos. a + b + = 0 Assim: a = e b = a + = 0 Resposta: a = e b = ) a) Pelo enunciado, tem-se: A(x) x A() = (I) Q (x) A(x) x A() = (II) Q (x) b) O resto da divisão de A por B(x) (x ) (x ) é do tipo R(x) = ax + b, pois gr(b) =. c) Aplicando-se a denição de divisão, tem-se: A(x) (x )(x ) ax + b Q(x) A(x) (x ). (x ). Q(x) + ax + b (III) d) De (III), para x = e x =, resulta: x = A() = ( ). ( ). Q() + a. + b A() = a + b (IV) x = A() = ( ). ( ). Q() + a. + b A() = a + b (V) e) Substituindo-se (I) e (II) em (IV) e (V), vem: a + b = a + b = a = e b = Resposta: O resto da divisão é R(x) = x +. ) I) D(x) = x = (x + ). (x ) II) x 0 + ax + b 8 a b a + a + b + coecientes de Q a + a + coecientes de Q resto (x + ). (x ) Q(x) resto x 0 + = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b III) Para x = : ( + ). ( ). Q( ) + a. ( ) + b =. ( ) 0 + a + b = IV) Para x = : ( + ). ( ). Q() + a. () + b =. () 0 + a + b = a + b = a = V) a + b = b = Resposta: a = e b = 6) Sendo p(x) = x + ax + bx, pelo Teorema do resto, temos: p() = 8 + a + b = a + b = a = 6 p() = + a + b = a + b = b = 9 Resposta: A 7) I) p () = b. + c = 0 b + c = II) p ( ) =. ( ) +. b. ( ) + c = b + c = III) p() = + b. + c. + d = b + c + d = IV) b + c = b + c = b + c = c = b + c + d = b + c + d = b = b = c = c = b + c + d = d = V) p(x) = x x x + Resposta: B 8) I) p( ) = 0 ( ) +. ( ) + k. ( ) = k = 0 k = p(x) = x + x + x II) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Rufni: coecientes Q(x) = x + x resto III) p(x) = x + x. (x + ) = (x + 6x ). (x + ) Portanto, p(x) é divisível por x + 6x. Resposta: A 9) I) Se p(x) é divisível por x, então p() = 0 II) p(x) x 0 q(x) 0 p(x) = (x ). q(x) + 0 III) Chamando de r o resto da divisão de q(x) por x, temos: r = q() IV) Para x =, temos: p() = ( ). q() + 0. q() + 0 = 0 0 q() = q() = r = Resposta: A 9

10 0) I) Pelo Teorema do resto, p() = e p() = II) Notar que x x + 6 = (x ). (x ). Portanto, temos: III) P() = IV) P( ) = p(x) (x ).(x ) r(x) = ax + b Q(x) V) P(x) (x ). (x ) R(x) = ax + bx + c Q(x) p(x) = (x ). (x ). Q(x) + ax + b III) p() = a + b = a = p() = a + b = b = r(x) = x ) Note que x + x = (x + ). (x ) Fazendo P(x) = x x 79 x x, temos: I) x x 79 x x x + r Q (x) r = P( ) = ( ) ( ) 79 ( ) ( ) = = = 7 P( ) = 7 II) x x 79 x x x r Q (x) r = P() = = + = P() = III) P(x) (x + ). (x ) R(x) = ax + b Q(x) P(x) = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b P( ) = 7 a + b = 7 a = IV) P() = a + b = b = R(x) = x V) R(0) =. 0 = Resposta: B P(x) = (x ). (x ). Q(x) + ax + bx + c VI) P() = a. + b. + c = a + b + c = VII) P() = a() + b. + c = a +. b + c = VIII) P( ) = a( ) b + c = a b + c = IX) a + b + c = a + b + c = a b + c = a + b + c = a + b + c = b = a + c = a + c = a + + c = a + c = b = b = a = b = c = + R(x) = x + x + Resposta: A Módulo Equações Algébricas: Relações de Girard ) Se é raiz da equação, então: a. = 0 e daí a = 0 a = 0 a = / Resposta: a = / ) a) I) P(x) (x ). (x ) R(x) = ax + b Q(x) P(x) = (x ). (x ). Q(x) + ax + b II) P() = a + b = a = P() = a + b = b = R(x) = x + b) Se o termo independente de P(x) é igual a 8, então P(0) = 8. Em P(x) = (x ). (x ). Q(x) x +, tem-se: P(0) = 8 (0 ). (0 ). Q(0) 0 + = 8. Q(0) = Q(0) =, que é o termo independente de Q(x). Respostas: a) x + b) ) I) Pelo Teorema do resto, P() = II) P(x) x P(x) = (x ). Q (x) + x R (x) = x Q (x) ) Se e são raízes de F(x) = 0, então F é divisível por (x + )(x ). Lembrando-se de que F(x) (x + )(x ) F(x) x + 0 Q(x) 0 Q (x) x 0 Q(x) coeciente de Q e, portanto, F(x) = x x 0x 6 (x + ). (x ). (x + x + ) ± i As raízes da equação x + x + = 0 são x = = ± i Assim sendo, as raízes da equação x x 0x 6 = 0 são,, + i, i Resposta: V = { ; ; + ; i} 0

11 ) O polinômio na forma fatorada é F(x) = a 0 (x r ) (x r ) (x r ) e, portanto, F(x) = a 0 (x ) (x ) (x + ) = a 0 (x x x + ) As equações são do tipo a 0 (x x x + ) = 0, com a 0 0. Uma delas é x x x + = 0 Resposta: Uma das equações é x x x + = 0. ) Sendo V = {r, r, r } o conjunto verdade da equação, temos: r + r + r = (I) Relações de Girard r. r + r. r + r r = (II) r. r. r = (III) Relação auxiliar: r + r = 0 Substituin do (IV) em (I), temos: 0 + r = r = Sendo r = e r + r = 0, de (III) e (IV), resulta: r. r = r = e r = + r + r = 0 (IV) Resposta: O conjunto verdade da equação é { ; ; }. ) a) Se é raiz da equação, então. + a. + 6 = 0 e, por tanto, a = e a equação é x x x + 6 = 0. b) Para achar as demais raízes, pode-se repetir o exercício ante rior, usando-se como relação auxiliar r = ou então fatorar a equação, pois se é raiz, então o polinômio é divisível por x. Resolvendo-se por este último processo, temos: x x x + 6 (x ). (x x 6) As raízes de x x 6 = 0 são e. Resposta: a = e as demais raízes são e. 6) Pela ạ Relação de Girard, temos: a x + x + x = x + x + x = (I) a 0 Pelo enunciado, temos x + x = x (II) De (I) e (II), resulta x = Sendo uma raiz de x x (m )x + = 0, então:.. (m ). + = 0 m + + = 0 m = 0 m = Resposta: m = 7) I) Segue do enunciado que, em sua forma fatorada P(x) = a. (x 0). (x ). (x ) II) P = a... = x x x + 6 x 0 x x 6 a... =. a = a = III) P(x) =. (x 0). (x ). (x ) =. x. (x ). (x ) = = x. (x x x + ) = x + x 8x Resposta: B 8) = a b c d e b. c. d. e + a. c. d. e + a. b. d. e + a. b. c. e + a. b. c. d = = a. b. c. d. e = = Resposta: A 9) I) A primeira raiz descobrimos isolando o x: x + 8 = 0 x = 8 x = 8 x = II) Se é raiz, o polinômio x + 8 é divisível por x +. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Rufni, temos: x x + resto III) x + 8 = 0 (x x + ).(x + ) = 0 x + = 0 ou x x + = 0 x = ou x = i ou x = + i Resposta: A 0) I) Aplicando o dispositivo de Briot-Rufni, temos: a 0 a + x + Resto II) Se p(x) é divisível por x, devemos ter a + = 0 a = Assim, p(x) = x x + x III) p(x) = 0 x x + x = 0 (x ). (x + ) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = ou x = ± i Resposta: ; i; i ) Se a r; a ; a + r forem as raízes da equação x x x + k = 0, então: (a r) + a + (a + r) = a = Uma das raízes da equação é e, portanto:. + k = 0 k =

12 ) Se uma das raízes da equação x + x + x 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então o seu conjunto solução S é do tipo {a; b; a + b} e, pelas Relações de Girard, temos: a + b + (a + b) = (I) a. b + a(a + b) + b(a + b) = (II) a. b. (a + b) = 6 (III) De (I) e (III), temos: a + b = a + b = a. b. (a + b) = 6 a. b = a = e b = ou a = e b = S = { ; ; } Resposta: B ) Se {a, r, r} for o conjunto solução da equação x + x ax = 0, então: I) a + r + ( r) = a = II) Como é uma das raízes, então + + a = 0 a = III) Para a =, tem-se p(x) = x + x x e p() = + = ) x x + ax a = 0 x (x ) + a(x ) = 0 (x )(x + a) = 0 x = 0 ou x + a = 0 x = ou x = a Se for a única raiz real da equação p(x) = 0, então x = a não tem raízes reais e, portanto, a < 0 a > 0 pois, para todo x < 0, tem-se p(x ) < 0 e, para todo x >, tem-se p(x ) > 0. Resposta: A ) a) Como se vê no gráco, uma das raízes da função f(x) = x x 6x + 8 é e, de fato, é raiz, pois f() = 0. Aplicando Briott-Rufni, temos As outras duas raízes são raízes da equação x 9 + x 7 = 0, ou seja, e. Desta forma, o conjunto solução da equação x x 6x + 8 = 0 é (dupla); b) O gráco de f(x) é 9 Módulo Equações Algébricas ) é raiz de P(x), pois P() = = 0 Então, P(x) = (x )(x x + x + x ) = = (x )(x )(x x x + ) = = (x )(x )(x )(x x ) = (x ). (x )(x + ) As raízes de P(x) são,,,, e. Assim, é raiz tripla, e são raízes simples. Obs.: As divisões por (x ) de P(x) e dos quocientes obtidos foram feitas com a utilização do dispositivo prático de Briot- Rufni, como se pode ver a seguir: 0 0 ) p(x) = x (x ) (x ) p(x) = x (x ) (x + ) (x ) p(x ) = (x ) (x ) (x + ) (x ) p(x ) = x. (x ). (x ). (x ) Assim sendo, 0, e são raízes simples e é raiz dupla de p(x ). O gráco de p(x ) é do tipo: Dessa maneira, como indica o gráco, f(x) 0 x 9 ou x = Respostas: a) (dupla); 9 b) x 9 ou x = ) a) Se {r; r; s} for o conjunto verdade da equação x x 9x + 8 = 0, então: r + ( r) + s = r = r = ou r. ( r). s = 8 s = s = b) p( + i) = ( + i) ( + i) 9( + i) i + i + i (i) 9 9i + 8 = = + i i i 9 9i + 8 = 7 i Respostas: a) (r = e s = ) ou (r = e s = ) b) p( + z) = 7 i

13 ) ) P() = = 0 é raiz de P(x). ) Se { + i; i; ; a; b} for o conjunto solução da equação P(x) = 0, então: ( + i) + ( i) + + a + b = ( + i). ( i).. a. b = a = e b = ) A equação proposta tem, portanto: raízes complexas (não reais), uma raiz simples igual a e uma raiz dupla igual a. Resposta: B 6) Se {; ; ; x ; x } for o conjunto verdade da equação x x + x x + x = 0, então x + x = x + x = 0... x. x = x. x = x = x x = x x = i ou x = x = ± i x = i a + b = 0 ab = 7) p(x) = x + 8 = 0 (x + ). (x x + ) = 0 x + = 0 ou x x + = 0 x = ou ( ) ± ( ).. x =. ± x = ou x = x = ou x = ± i Assim, o conjunto dos zeros (raízes) de p(x) é { ; + i; i} que é subconjunto do conjunto dos números complexos. Resposta: As raízes (zeros) do polinômio são ; + i e i. Pertencem ao conjunto dos números complexos. 8) Observa-se, no gráco, que, 0,, e, são raízes reais de p(x), assim, como p(x) tem pelo menos raízes, o grau de p(x) é maior ou igual a. x = i x = i 8 0 x x 8x + x 0 x + x x x 8x + (x ) (x + x ) e as demais raízes são e. Resposta: V = ; ; 0) Se a equação tem coecientes reais e admite i como raiz, então admite também o conjugado + i como raiz. Assim sendo, o conjunto verdade é {r; i; + i}. Para calcular r, usar a ạ Relação de Girard. Assim: r + ( i) + ( + i) = r = Resposta: V = {; i; + i} Se a equação tem coecientes reais e admite i como raiz, então o número i também é raiz. Se a equação tem coecientes racionais e admite como raiz, então + também é raiz. Assim sendo, o conjunto verdade é { i; i;, +, r } Para calcular r, usar a primeira Relação de Girard. Assim: i + ( i) + ( ) + ( + ) + r = 6 r = Resposta: V = { i; i; ; +, } ) Notar, inicialmente, que embora uma das raízes da equação seja o número i, não se pode concluir que o conjugado i seja também raiz, pois a equação não tem todos os coecientes reais. Sendo i raiz da equação, o polinômio é divisível por x i. Assim: i 8i 6 i i 6i 0 x (i + )x + (8i )x + 6 x i 0 x (i + )x + 6i Assim sendo: (x i). [x ix x + 6i] = 0 (x i). [x(x i) (x i)] = 0 (x i). (x i) (x ) = 0 x = i ou x = i ou x = Resposta: V = {i; i; } ) a) Se F(x) = x x + x, então: 9) Seja F(x) = x x 8x + De acordo com o critério apresentado, as possíveis raízes racionaissão os números da forma p q com p Œ D() e q Œ D() e, portanto: ; ; ; ; ; ; ;. Pelo menos uma delas é raiz da equação F(x) = 0. Calculando-se F(), F( ), F(),..., descobrimos que F() = 0 e, portanto, é raiz e F(x) é divisível por x. Desta forma: F(0) = = F() =. +. = F() =. +. = 9 Já que F(0) = e F() =, F(0). F() < 0 e, portanto, a equação admite pelo menos uma raiz real r no intervalo ]0; [. De modo análogo, F(). F() < 0 e, portanto, existe pelo menos uma raiz real r no intervalo ]; [.

14 b) Se r Œ ]0; [ e r Œ, então r = ; se r Œ ] ; [ e r Œ, então r =. O conjunto verdade da equação é, portanto, {; ; r} e + + r = r = 7 Respostas: a) demonstração b) V = {; ; 7} ) Na alternativa C temos: P(x) = x (x ), que equivale a P(x) = (x 0). (x ). Neste caso 0 é raiz de multiplicidade e é raiz simples. ) I) Na equação x x + 9x a = 0, com a Œ, as raízes são + i, i e r, assim, pela primeira Relação de Girard, temos: + i + i + r = r = II) Se é raiz da equação dada, então: a = a = 0 a = Respostas: a) a = b) i e 6) Na equação x + mx + x + n = 0, com m Œ e n Œ, as raízes são + i, i e a, assim, pelas Relações de Girard, temos: + i + i + a = m ( + i). a + ( i). a + ( + i). ( i) = ( + i). ( i). a = n a + m = a + = a = n m = a = 0 n = 0 7) I) Na equação x + x 6x = 0, as raízes racionais perten - cem ao conjunto ; ; ; ; ; II) Aplicando o dispositivo de Briot-Rufni: 6 / x + x 6x = 0 x +. (x 6) = 0 x + = 0 ou x 6 = 0 x = ou x = ± Portanto, as demais raízes são irracionais de sinais con - trários. 8) I) As raízes racionais de f(x) = x + ax + bx + são do tipo p ; p, q Œ, p, q primos entre si e com p divisor de e q q divisor de. Possíveis raízes: ; ; ; O enunciado especica que as raízes são positivas e distintas sendo, portanto, e. II) f(x) = x x x + III) Aplicando o dispositivo de Briot-Rufni: f(x) = x x x + = (x ). (x ). (x + ) IV) f(x) = 0 (x ). (x ). (x + ) = 0 x = 0 ou x = 0 ou x + = 0 x = ou x = ou x = Respostas: a) { ; ; } b) a = ; b = 9) I) x x = 0 (x ) x = 0 x = ou x = x = i ou x = x = ± i ou x = ± II) e são números reais racionais 0) Observando o gráco, pode-se concluir que: < P() < 0 < a. + b. + c. + d < 0 < a + b + c + d < 0 Resposta: A Frente Módulo Sistema Normal, Regra de Cramer e Escalonamento x + y = ) I) x + y z = x + z = II) D = f() = 0 f() = 0 + a + b + = a + b + = 0 a + b = a = a + b = 0 b = = 0 (S.P.D.) VI) O conjunto solução do sistema é S = {( ; ; )} Resposta: {( ; ; )} x + y = x + y z = x + z = 0 D III) D x = = x = x = = D 0 0 D IV) D y = = y = y = = D D V) D z = = z = z = = D 0

15 x + z = ) I) x + y + z = y z = x + z = x + y + z = y z = D 0 II) D x = = 0 x = x = = D 0 ) II) D = 0 0 = 7 0 (S.P.D.) 0 D III) D x = = x 0 = x = = D 7 D 7 IV) D y = = 7 y 0 = y = = D D 7 V) D z = = 7 z 0 = z = = D 7 0 VI) Para x 0 =, y 0 = e z 0 =, tem-se x 0 + y 0 + z 0 =. ( ) +. ( ) +. = 6 + = 7 Resposta: B x + y + z = m x + y + z = m x y z = m y z = m x + y z = m + y z = 7m + x + y + z = m x = m y z = 7m + y = m + z = 0m 0 z = m D 0 III) D y = = 0 y = y = = D 0 D 60 IV) D z = = 60 z = z = = D 0 V) O conjunto solução do sistema é S = {(; ; )} Resposta: (; ; ) 7) Se (k; k) é solução do sistema, então, para x = k e y = k, tem-se: k k = k + k = k k = 0 k + k = 0 k = ou k = k = k = ou k = Para k =, tem-se x = e y = 6, portanto, x + y = 8. Resposta: ( m ; m + ; m ) a a a a ) I) D = b = b = c c = (b a). (c b). (c a) 0, pois a b, a c e b c ) Para que o sistema tenha uma única solução (S.P.D.), deve-se ter D 0, assim: D 0 a a b c 6) Para a =, tem-se o sistema: x + y + z = x + y + z = x + y + z = b c a a D II) D z = z = z b b =, pois D z = D 0 D c c a I) D = = 0 0 (S.P.D.) 0 a a 6 0 8) Sejam: r o preço da flor predominantemente rosa, a o de flor predominantemente azul e v o preço da flor amarela e ver - melha, todos em reais. Do enunciado, temos: r + a + v =,90 r + a + v =,0 r + v =,60 De (II) e (III), temos: r + a + v =,0 a = 9,60 a =,0 r + v =,60 O preço do buquê, em reais, é igual ao do buquê acrescido do preço de uma flor azul e, portanto, é,90 +,0 =,0. Resposta: A x + y z = 0,0 x = 0,0 = 0% 9) a) y + z = 0, y = 0, = % z = 0, z = 0, = % % x + y + z % % x + y % x 0% b) x 0% y 0% y 0% z = 0% z = 0% x + y % x + y % x 0% y 0% z = 0% (I) (II) (III)

16 ) A partir dos grácos e das informações, pode-se construir a tabela a seguir. Banco Capital investido (R$) Investimento Investimento Investimento de alto risco (R$) de médio risco (R$) de baixo risco (R$) A B b 0%.b 70%.b 0%.b C c 0%.c 0%.c 0%.c Totais b + c = %b + 0%c = %b + 0%c = %b + 0%c = 700 Respostas: a) x = 0% e y = % b) gráco 0) a) ) Da ạ armação pode-se montar a equação n A. P A + n B. P B + P R = 6. P B (I) Da ạ armação pode-se montar a equação n A. P A + n B. P B + P R = 0. P B +. P A (II) Da ạ armação pode-se montar a equação n A. P A + n B. P B + P R = P R (III) ) Das equações I e II, temos: 6 P B = 0 P B +. P A 6 P B = P A ) Das equações I e III, temos: 6 P B = P R 6 b) Como P A = P B e P R =. P B, na equação (III), obtemos n A. 6 P R = P B P B + n B. P B + P B = 6 P B 6n A 6n A + n B = n B = Como n A e n B são naturais e não nulos, temos 6n A > 0 n A < 0 e n A múltiplo de. Assim, o único valor possível para n A é, e neste caso n B = 6. P P Respostas: a) A 6 R = e = P B P B b) n A = e n B = 6 P A 6 = P B b + c = 000 0,. b + 0,. c = 00 0,7. b + 0,. c = 700 0,. b + 0,. c = 900 Aos investimentos de alto risco (R$.0,00), num total de R$ 6.000,00, corresponde o ângulo 0 a =. 60 = Aos investimentos de baixo risco (R$.700,00), num total de R$ 6.000,00, corresponde o ângulo 700 b =. 60 = Aos investimentos de médio risco (R$.80,00), num total de R$ 6.000,00, corresponde o ângulo 80 g =. 60 = Respostas: Nos bancos B e C foram investidos, respec - tivamente, R$.000,00 e R$.000,00. As medidas dos ângulos a, b e g são, respec ti - vamente, 87, 6 e. x + y + z = x + y = x + = x = ) y + z = y = 8 y = y = 6z = 8 z = z = z = ) Se x = a, y = b, z = c e w = d, então: x + y = 0 y + z = 0 z + w = 0 y + w = + b = 000 c = 000 x + y = 0 y + z = 0 z + w = 0 y + z + w = + 6

17 x = a = x + y = 0 y = b = y + z = 0 z + w = 0 z = c = w = w = d = abcd =... = 6 Substituindo y = 7 x + z = x + z = k 7 nas outras equações, tem-se: x z = x z = k I) Se k = k =, o sistema é possível e indeter mi nado. II) Se k k, o sistema é impossível. ) Somando-se, membro a membro, as equações do sistema ) 6) x + y + z = x + z + t =, obtemos: y + z + t = 7 x + y + t = x + y + z + t = x + y + z + t = x + y z = 6 x + y + z = + x + y + az = x + y z = 6 y + z = 7 y + ( + a)z = + Analisando a ạ equação, tem-se: I) Se + a 0 a, o sistema é possível e determinado. II) Se + a = 0 a =, o sistema é impossível. Resposta: Se a S.P.D Se a = S.I. x + z = 7 x y = 8 y + z = + + x + y z = 6 y + z = 7 ( + a)z = + x + z = 7 y z = y + z = 8) Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senho res e de senhoras convidados para a festa, temos: I) Os refrigerantes a serem consumidos são para cada criança, para cada senhor e para cada senhora. Dessa forma, resulta x + y + z = 90. II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos 8x + y + 6z = 0. III) Os doces a serem consumidos são para cada criança, para cada senhor e para cada senhora. Equacionando, temos x + y + z = 0. x + y + z = 90 IV) 8x + y + 6z = 0 x + y + z = 0 Multiplicando a primeira equação por ( ) e adicionandoa à segunda, temos: x + y + z = 90 x y = 0 x + y + z = 0 Multiplicando a primeira equação por ( ) e adicionandoa à terceira, resulta x + y + z = 90 z = 0 x y = 0 y = 0 x + y + z = x = 0 x = 7) x + z = 7 x = y = y = x + y + z = + = y + z = z = x. y = z x + y z = + y = 7 x + y z = x + y + z = x + y z = k x + y z = k x + y z = 7 y = x + y z = k k Resposta: B 9) Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de uma caixa de lenços, um boné e uma camiseta, temos, de acordo com o enunciado, que: x + y + z = 7 x + y + z = x + y + z = 7 x + y + z = 0) Somando as três equações, resulta x + w = 6. Como y + z =, então: (x + w) + (y + z) = 6 + = 8 Portanto, x + y + z + w = 8 7

18 60 z = x x + z = 60 ) 60 z = y y + z = 60 y =,x,x y = 0 Resposta: A 0 t A 0 ) 0. t = B 0 t C t A + t C = t A + t C = t B = 0 t B + t C = t B + t C = t C = Sendo C a capacidade do tanque e t o tempo, em minutos, que os três juntos são capazes de encher o tanque, em um minuto, temos: C 0 C C C C + + = = 0 t 60 Assim, em minutos, o tempo necessário para encher o tanque 60 é t =. Considerando que o tanque tem metros de altura, o tempo necessário para atingir,9 m de altura é,9,00 t A + t B = = minutos Módulo 6 Característica de uma Matriz e Teorema de Rouché-Capelli ) Se p for a característica de 0 0, então: 0 0 a) = 0 p b) 0 = 0 p t A + t B + t C = C t t A = e) Sendo nulos todos os determinantes de ordem, concluí - mos que a caracterís tica p é. Resposta: ) Se p for a característica da matriz a, então: 7 b a) 0 p b) 0 p c) Orlando este determinante de ordem, temos: = 0 b = 7 b 7 a d) Se a = e b =, então p =, pois todos os determinantes de ordem são nulos. e) Sendo a ou b, então p =, pois existe pelo menos um determinante de ordem diferente de zero. Resposta: a = e b = p = a ou b p = ) Seja p a característica da matriz I) = 0 p II) = 0 p =, pois o único determinante de ordem é nulo. Resposta: ) Seja p a característica da matriz I) = 0 p 0 = 0 = 0 a = II) = 0 p = 0 c) = 0 p 0 d) Orlando este menor de ordem, obtemos: = 0 Resposta: ) Seja p a característica da matriz I) = 0 p II) = 0 p = Resposta: 8

19 6) Seja p a característica da matriz I) = 0 p II) = 0 p III) ordem é nulo. Resposta: 7) Seja p a característica da matriz I) = 0 p II) = 0 p III) = 0 p = 6 Resposta: 8) Seja p a característica da matriz I) = 0 p II) = 0 p III) = 0 p = 6 Resposta: = 0 p =, pois o único determinante de 9) I) O número de incógnitas do sistema x + y z = x y + z = é n = x y + 6z = 9 II) A característica da matriz incompleta MI = é p =, pois = 0 e 6 6 e 0 III) A característica da matriz completa MC = é q = 6 9 IV) Como p = q < n, o sistema é possível e indeterminado. 6 6 x y = x y = 0) I) x + y = 8x + y = 6 x y = x y = x = x = x = II) x + y = 7 y = III) Se k = 7 então o sistema será possível e deter minado e a solução é ( ; ). IV) Se k 7 então o sistema é impossível. V) O sistema nunca será possível e indeterminado. a a ) a) I) A a + A a = + = a a = a x + ay x x 6 b) I) = A a = = y y x y a a II) A característica da matriz incompleta, a, do sistema é, pois = 0. a III) Para que o sistema admita solução, a carac terística da matriz completa,, do sistema também deve ser igual a ; assim, devemos ter: a 6 6 = = 0 a = a 0 Respostas: a) b) a = 0 x = y = II) (A a + A a ) =. = a a = 0 a a 0 x + ay = 6 x y = a a a 6 a a 9

20 Módulo 7 Sistema Linear Homogêneo x + y + z = 0 ) O sistema linear x + 7y + z = 0 é homogêneo e x + 9y + z = 0 D = = 0, assim, o sistema é possível e determinado, por tanto, a única solução é a trivial (0; 0; 0). Resposta: (0; 0; 0) ) I) 7. y = 0 z 0 x + y + z = 0 x y + 7z = 0 é um sistema linear homogêneo e x y z = 0 D = 7 9 = 0, assim, o sistema é possível e indeter minado. II) Eliminando a última equação e fazendo z = k, temos: Resposta: ; ; k, k Œ ) Se x, y, z são números reais então: (x + y z) + (x y) + (z ) = 0 x + y + z = x + y = k x y = 7k 7 + k x = k 8k y = k x + y z = 0 x y = 0 z = 0 8k x x = y = z = 0 x + y = k y = 8k k x = 8k y =, com k Œ x + ay z = 0 ) Se o sistema linear homogêneo x + y + z = 0 admite x y z = 0 solução não trivial, então: D = a + = 0 a = a = Resposta: A x y z + t = 0 6) x z + t = 0 + x y + z = 0 x + y + z t = 0 + = 0 + a a + = 0 Eliminando a última equação, tem-se: x y z + t = 0 x y z + t = 0 x + y z = 0 x + y z = 0 x y + z = 0 + x y = 0 Fazendo x = a, a Œ, tem-se: Assim, o sistema é possível e indeterminado e qualquer solu - ção (x, y, z, t) = (a; a; a; a) forma uma progressão aritmética de razão igual a a. 7) I) (sen a + cos a) = sen a +. sen a cos a + cos a = = sen a + sen a +.. sen a. cos a + cos a = = + sen a + sen a II) O sistema x + y + z = 0 x sen a + y cos a + z(sen a + cos a) = 0 equivale x sen a + y cos a + z( + sen a + sen a) = 0 a a y z + t = a y z = a y = a t = a z = a y = a x y z + t = 0 x + y z = 0 x y + z = 0 x y + z = 0 x + y + z = 0 x sen a + y cos a + z(sen a + cos a) = 0 x sen a + y cos a + z(sen a + cos a) = 0 x + y + z = 0 ) Se o sistema linear homogêneo x my + z = 0 admite x + 6y mz = 0 soluções diferentes da trivial, então: D = m 6 m = 0 8m m + 6m 8 = 0 8m + 0m + = 0 m + m + = 0 ± m = m = ou m = Resposta: m = ou m = III) Para que o sistema linear homogêneo seja possível e in - deter minado, deve-se ter: D = sen a sen a cos a sen a + cos a = 0 cos a ( sen a + cos a) (cos a sen a). (sen a + cos a cos a).. (sen a + cos a sen a) = 0 (cos a sen a). (sen a). (cos a + sen a) = 0 (cos a sen a). (sen a) = 0 cos a sen a = 0 ou sen a = 0 cos a = sen a ou sen a = 0 tg a = ou sen a = 0 tg a ± ou sen a = 0 0

21 Para a Œ [0; π[, tem-se: x x 9). = l. y y x + y = lx x y = ly ( l) x + y = 0 x ( + l) y = 0 Como o sistema é homogêneo, o mesmo admitirá mais de uma solução se, e somente se, l = 0 ( l ) 0 = 0 ( + l) l = 0 l = ±. Assim, a soma de todos os valores de a é π π π 7π π + + = π Resposta: A 8) a) Para m = o sistema passa a ser x +.. y = 0 x + y = 0.. x + (. ). y = 0 x + y = 0 x + y = 0, cujas soluções são do tipo (k; k), k. b) O sistema possui innitas soluções se, e somente se, D = m = 0. (m ) m = 0 m 8m + = 0 m m + = 0 (m )(m + m ) = 0 m =, m = + ou m = c) Para que o sistema homogêneo admita solução da forma (x; y) = (a; ), sendo a um número irracio nal, o sistema deverá ser possível e indeter minado. Os possíveis valores de m para que isso ocorra são os obtidos no item b. Assim, vejamos: Para m = a solução não é da forma (a; ) com a irracional, pois a +.. = 0 a = que é racional. Para m = m (m ) ± irracio nal, desde que a +. ± + a = a = que é irracional. Respostas: a) V = {(k; k), k} b), + ou + c) ou a solução é da forma (a; ) com a ± ±. = 0 0) a) m = m m 0 m 0 e m. m I. Para m = 0 o sistema é homogêneo e, portanto, o sistema admite pelo menos a solução trivial. II. Para m = o sistema é impossível, pois x + y z = 0 x + y z = 0 x + y z = Portanto, o sistema tem solução para m. b) Para m = 0, o sistema é possível e indeterminado (homo- gêneo). x + y z = 0 x z = 0 x + y = 0 x = k y = k z = k, (k Œ ) Resposta: a) m b) (k; k; k), k Œ Módulo 8 Discussão de Sistemas Lineares ) a) A característica p da matriz MI = é, pois 0. b) A característica q da matriz MC = é, pois 0. c) p =, q = p q o sistema não tem solução. ) a) A característica p da matriz MI = é, pois 0. b) A característica q da matriz MC = 0 é, pois 0 = 0.

22 c) p = q = n = o sistema é possível e determinado. d) Abandonando-se a terceira equação, resolve-se o sistema: x + y = x y = 0 e) Resolvendo-se por substituição ou por eliminação ou pela Regra de Cramer, obtém-se x = y =. ) a) A característica p da matriz MI = 6 é, pois 0 e 6 = 0 b) A característica q da matriz MC = 6 é 7 tam bém igual a, pois 6 = 0 e = 0 7 c) Sendo o número de incógnitas n = e p = q =, temos p = q < n e, portanto, o sistema é possível e indeterminado e o grau de indeterminação é n p =. d) Abandonando a última equação e fazendo z = a, temos: x y = a x + y = + 6a e) Resolvendo este último sistema pela Regra de Cramer ou por eliminação ou por substituição, obtemos: Resposta: S.P.I. ; a + x = e y =, com a Œ x + y = 6 x + y = 6 ) (a + )x + ay = a + (a + ). y = a a + ; ; a x + y = 6 (a + ). y =. (a + ) Para a, o sistema é possível e determinado; e para a =, o sistema é possível e indeterminado. Logo, o sistema admite solução, qualquer que seja a Œ. k x 6 kx + y = 6 ) I). = k + y x + (k + )y = k II) D = = k + k = 0 k = ou k = k + III) Se D 0 k e k, o sistema é possível e determinado. x + y = 6 IV) Para k =, tem-se o sistema que é x y = possível e indeterminado, pois as duas equações são equivalentes. x + y = 6 V) Para k =, tem-se o sistema que é impos - x + y = sível, pois as equações são incompatíveis. x y = x y = 6) cx + y = (c + )x = ) Se x = > 0, então c + > 0 c > c + c ) Se y = > 0, então c > 0, pois c > c + Logo, c < De () e (), concluímos que < c < 7). y. x + y + z = 78 x + y = 78 z x + y + z = x + y = z Impondo as condições x Œ *, y Œ * e z Œ *, temos: z > z >,6 6 z <, z < z Œ * z Œ * z Œ {, 6, 7, 8, 9, 0, } Observe que as demais armações são incorretas B Falsa, pois x = 7, y = 8 e z = 7 representam uma solução. C Falsa, pois x + y + z = 78 0,0x + 0,0y + 0,z =,90 D Falsa, pois para y =, temos: E Falsa, pois,6 < z <, Resposta: A x = z y = 6 z z > 0 6 z > 0 z Œ * x = z y = 6 z x z x = z = 6 z 8) Se x, y e z forem as quantidades dos alimentos I, II e III, respectivamente, então: 00x + 00y + 00z = x + 00 y + 00z = x + 00y + 00z = 000 x + y + z = x + y + z = y + z = y + z = x + y + z = 0 y + z = 9 78 x = c + c y = c + x = 7, œ * z = 0, œ *

23 x + y + z = y + z = y + z = Para z = k, temos: x + y = k y = k e, portanto, a solução geral do sistema é: 8 k x =, com 0 k y = k z = k Se as quantidades de alimentos forem inteiras, então a única possibilidade será x =, y =, z =. 8 k Resposta: A solução geral é ; k; k, para 0 k. Destas soluções, a única inteira é (; ; ). 9) a) O determinante do sistema é m D = = m m I) Se m 0 m e m, então o sistema é possível e determinado, admitindo, portanto, uma única solução. x + y = II) Se m =, então x + y = 6 é um sistema impos sível. III) Se m =, então é um sistema impos sível. b) Se A e B são matrizes inversas, então, A. B = I k = m 0 k 0 0 = k + m 0 Respostas: a) O sistema é determinado para m e m. O sistema é impossível para m = ou m =. x x x x x 0) a) det(a) = x = (x ). = x = (x ). (x 8) = 0 x = ou x = S = {; } b) Com x =, tem-se: A = x + y + z = y + z = x + y = x y = 6 k = k = k + m = 0 m = 6 b) k = e m = 6 e Ay = b y m. y = y y + y + y = m y + y + y = m y + y + y = y = m y + y y = y = m Esse sistema só admite innitas soluções se, e somente se, 7 m = 0 m = Respostas: a) S = {; } b) m = ) a) I) A = 0 b A T = 0 e c 0 b 0 ) a) A = a c II) A T = A 0 = b 0 = a a = 0 0 b b = c 0 c = b) Se a = e b =, então: x A. y = z d 0. y = c 0 z d Este sistema admite innitas soluções se, e so mente se: c = 0 0 = 0 e 0 = 0 d = c 0 c d Respostas: a) a = 0, b = e c = b) c = 0 e d = y + y + y = m y = m 0. y = m a a c x + y + z = x + y + z = x + y = z x + y = z 7 0 b 0 x x = 7 z y = + z a c x + y + z = x z = cx y = d

24 b) De acordo com item (a) e levando em conta que x, y, z, e que todos são inteiros, temos: 6 7 z z z = ou z = ou z = + z z Assim sendo: z = x =, y = z = x = 7, y = z = x =, y = Respostas: a) x = 7 z; y = + z AB II) O raio da circunferência é r = = AC = BC = = + = III) A equação da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x ) + (y ) = Resposta: (x ) + (y ) = ) Se o centro é o ponto C( ; ) e a circunferência é tangente ao eixo y, então o raio é r = x C = =, assim, sua equação é: (x x C ) + (y y C ) = r (x + ) + (y ) = 6 Resposta: (x + ) + (y ) = 6 b) x y z 7 6) Se o centro é o ponto C(0; 0) e a circunferência corta o eixo x no ponto (6; 0), então o raio é r = 6, assim, sua equação é: (x x C ) + (y y C ) = r x + y = 6 Resposta: x + y = 6 7) Frente Módulo Circunferência: Equações Reduzida e Geral ) Se o centro é o ponto C(; ) e o raio é r =, a equação da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x ) + (y + ) = Resposta: (x ) + (y + ) = O centro é o ponto ( 8; 8) e o raio é 8, assim, a equação da circunferência é (x + 8) + (y 8) = 6 Resposta: (x + 8) + (y 8) = 6 ) 8 Se o centro é o ponto C( ; ) e o raio é r = =, a equa - ção da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x + ) + (y ) = 6 Resposta: (x + ) + (y ) = 6 8) ) I) O centro da circunferência é o ponto C(; ) II) Se a circunferência passa por P( ; ), o raio é r = PC = ( + ) + ( ) = + 6 = III) A equação da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x ) + (y + ) = Resposta: (x ) + (y + ) = ) Sejam A( ; ) e B(7; ) os extremos do diâmetro. I) O centro C da circunferência é o ponto médio de AB, então: x A + x B + 7 x C = = = y A + y B + ( ) y C = = = C(; ) I) y C + 6 = 0 y C = 6 y C = 8 II) O centro da cicunferência é C( 6; 8) ou C( 6; 8) III) A equação da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x + 6) + (y 8) = 00 ou (x + 6) + (y + 8) = 00 Resposta: (x + 6) + (y 8) = 00 ou (x + 6) + (y + 8) = 00

25 9) De acordo com o enunciado, temos os seguintes conjuntos de pontos: I) Circunferência de equação x + y = 9, cujo centro é o ponto (0; 0) e o raio é. 0) A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é II) Parábola de equação y = x, com x uma semicircunferência com centro na origem e raio, com y < 0 e < x <. Assim, x + y = y = x e, por - tan to, a curva é parte do gráco da função f(x) = x ) a) Para que a equação ( p). x + (p + ). y + 8p + = 0 represente uma reta perpendicular ao eixo y, devemos ter: p = 0 p + 0 p = p = p III) Quadrado de vértices ( ; ), ( ; ), ( ; ) e ( ; ) IV) Quadrado de vértices (; ), (; ), (; ) e (; ) V) Ponto (0; 0) Sendo p =, temos y + 0 = 0, que intercepta o eixo y no ponto (0; ). b) A reta x + y + = 0 intercecta o eixo x no ponto A ( ; 0). Sendo OA o diâmetro da circunferência em que O é a Assim, representando os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, tem-se: origem do plano cartesiano, temos: I) O centro C é o ponto médio de OA e possui coordenadas ; = ( 6; 0) II) O raio é a distância de C( 6; 0) à origem e é igual a 6. Logo, uma equação da circunferência com centro C( 6; 0) e raio 6 é (x + 6) + y = 6 A melhor representação é a da alternativa E.

26 Módulo 6 Determinação do Centro e do Raio ) I) O centro da circunferência é o ponto C(; ) II) Se a circunferência contém o ponto P(; ), o raio é r = PC = ( ) + ( ) = + = III) A equação da circunferência é dada por: (x x C ) + (y y C ) = r (x ) + (y ) = x x + + y y + = 0 x + y x y + = 0 Respostas: a) p = e (0; ) b) (x + 6) + y = 6 ) a) As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas são as soluções do sistema y = x y = x y = x x + y = 0 x + x = 0 x = ou x = (x = e y = ) ou (x = e y = ) b) ) I) O centro da circunferência é o ponto M, ponto médio de AC, então: x A + x C + x M = = = y A + y C + y M = = = M(; ) II) A diagonal do quadrado é d = AC = + = III) O lado do quadrado é tal que: = d = = IV)O raio da circunferência inscrita no quadrado é r = = = V) A equação da circunferência é dada por: (x x M ) + (y y M ) = r (x ) + (y ) = x 6x y 8y + 6 = 0 x + y 6x 8y + = 0 Resposta: B A circunferência de diâmetro AB, com A( ; ) e B(; ), tem centro + C ; + = ; O raio R dessa circunferência mede R = + + = A equação desse circunferência é x + y = x + x + + y y + = 8 x + y + x y + = 0 ) Seja P(x; y) o centro da circunferência que passa pelos pontos A(; 7), B( ; ) e C(; ) I) PA = PB = PC PA = PB PA = PC (x ) + (y 7) = (x + ) + (y ) (x ) + (y 7) = (x ) + (y + ) x x + + y y + 9 = x + 6x y 0y + x x + + y y + 9 = x 8x y + y + x + y = 0 x = P(; ) x y + = 0 y = II) O centro é P(; ) e o raio é r = PA = 7 = III) A equação da circunferência é dada por: (x x P ) + (y y P ) = r (x ) + (y ) = x x + + y y + = 0 x + y x y 0 = 0 Resposta: B 6

27 ) 6) x + y 8x + 0y = 0 x 8x y + 0y + = (x ) + (y + ) =, tem centro no ponto C(; ) e raio r = = Resposta: C(; ) e r = 7) x + y + 6x 8y = 0 x + 6x y 8y + 6 = (x + ) + (y ) =, tem centro no ponto C( ; ) e raio r = ( ; ) e r = 8) (x ) + (y + ) =, tem centro no ponto C(; ) I) É verdadeira, pois o centro da circunferência l é A(; ), o raio é e a equação é (x ) + (y ) = II) É verdadeira, pois a reta r passa pelo centro A da circun - ferência, logo, A Œ r III) É falsa, pois a reta r, paralela à reta y = x, tem coeciente angular e passa pelo ponto A(; ), assim, sua equação é y = x IV)É falsa, pois r l são os pontos de intersecção da reta com a circunferência, assim, suas coordenadas são dadas pelas soluções do sistema: y = x (x ) + (y ) = y = x y = x (x ) = (x ) = y = x ou y = x (x ) + (x ) = y = x x = x = x = + y = + x = y = e raio r = (; ) e r = 9) x + y x + 6y = 0 x x + + y + 6y + 9 = 6 (x ) + (y + ) = 6, tem centro no ponto (; ) e raio. 0) I) A circunferência x + y = 6 tem centro na origem e raio 6 II) Os pontos internos à circunferência têm coordenadas (x; y) tais que x + y < 6, assim, para x e y inteiros, tem-se: Se x = y < 6 y < 6 y Œ {0; ; }, obtendo-se pontos. Se x = + y < 6 y < y Œ {0; ; }, obtendo-se 0 pontos. Se x = + y < 6 y < y Œ {0; }, obtendo-se 6 pontos. Portanto, o número de pontos que têm coordenadas inteiras é = ) I) A circunferência de equação (x ) + (y ) = tem centro O(, ) e raio. ) I) A circunferência C tem equação (x ) + (y ) = e P(m; 0) é interior a C, então: (m ) + (0 ) < (m ) < II) A circunferência C tem equação (x ) + (y ) = e P(m; 0) é exterior a C, então: (m ) + (0 ) > (m ) > 0 III) (m ) < < m < 0 < m < (m ) > 0 Resposta: A 7

28 II) A distância entre O(, ) e P(, 6) é ( ) + (6 ) = 0 III) Como o triângulo OPQ é retângulo em Q e OQ é o raio da circun ferência, temos: PO = PQ + OQ ( 0) = PQ + PQ = 9 PQ = 9, pois PQ > 0 ) I) x + y 8x 8y + 6 = 0 (x ) + (y ) = 6 é uma circunferência de centro C(; ) e raio R =. II) A área S da região hachurada equivale à diferença entre a área de um quarto do círculo e a área do triângulo retângulo ABC, assim:. S =. π. = π 8 = (π ) ) I) O centro da circunferência de equação x + x + y m + my = n é ; e esse ponto pertence à reta de equação y = x +. Assim sendo: m = ( ) + m = II) O ponto ( ; ) pertence à circunferência de equação x + x + y y = n e, portanto, = n n = Resposta: A ) A circunferência (x ) + (y ) = tem centro (;) e raio. Os pontos de tangência da circunferência com os eixos coor - denados são os pontos P(;0) e Q(0;). y R ) Com uma velocidade de V c km/h, a aeronave percorre V c. V c = quilômetros em minutos. 60 Assim, sendo R o raio da circunferência, temos: V c V c π R = R = 8π Sobre o plano XOY, em que O é o ponto onde está situada a torre de controle, a equação da projeção ortogonal da circunferência que a aeronave descreve é (x 0) + (y 0) = Módulo 7 Elipse V c 8π x + y = x ) y x y + = + = 69 a) eixo maior: a =. a = b) eixo menor: b =. b = c) Da relação fundamental da elipse a = b + ƒ, temos: = + ƒ 69 = ƒ ƒ = ƒ =. Então, no plano teremos: F (; 0) e F ( ; 0) ƒ d) e = e = a e) Sendo a =, temos: A (; 0) e A ( ; 0) f) Sendo b =, temos: B (0; ) e B (0; ) x y x x ) + = + = 8 () () a) eixo maior: a =. a = b) eixo menor: b =. b = V c 8π c) Da relação fundamental da elipse a = b + ƒ, temos: Q(0;) M A = 8 + ƒ 8 = ƒ ƒ = ƒ =. Então, no plano teremos: F (0; ) e F (0; ) ƒ d) e = e = e = e = a O P(;0) x Como R pertence à circunferência, e o triângulo PQR é isósceles (com base PQ) e com maior perímetro possível, então R pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Sendo PQ = OA =, temos MR = +, e a área do DPQR é: PQ. MR ( + ) S = = = + e) Sendo a =, temos: A (0; ) e A (0; ) f) Sendo b =, temos: B (; 0) e B ( ; 0) ) 9x + 6y x y x y = 76 + = + = a) eixo maior: a =. 8, a = 8 b) eixo menor: b =. 6, b = 6 c) Da relação fundamental da elipse a = b + ƒ, temos: 8 = 6 + ƒ 6 6 = ƒ ƒ = 8 ƒ = 7. 8