Teknisk dokumentation

Transkript

1 Teknisk dokumentation Redaktör: Amanda Nilsson Version 0.2 Status Granskad Godkänd Lars Eriksson Sida 1

2 PROJEKTIDENTITET 2018/HT, Tekniska Högskolan vid Linköpings Universitet, ISY Gruppdeltagare Namn Ansvar Telefon E-post Amanda Nilsson Projektledare (PL) Linus Wetterhag Dokumentansvarig (DOK) Simon Malmberg Test- och Kvalitetsansvarig Emil Eklund Designansvarig (DSN) Alexander Bärlund Mjukvaruansvarig Markus Andersson MPC-ansvarig Linus Johansson VVT-modell Gustav Strandberg Tillståndsansvarig Kund: Volvo Cars Corporation Kontaktperson hos kund: Fredrik Wemmert Beställare: Lars Eriksson, , Kursansvarig: Daniel Axehill, , Handledare: Robin Holmbom, , Sida 2

3 Innehåll Dokumenthistorik 5 1 Inledning 7 2 Beteckningar, variabler och index 8 3 VVT modell Scavenging Parameterskattning VVT resultat Motivering kring val av VVT modell Regulator för VVT Optimeringslösare Hårdvara QP till NNLS Algoritm Prestanda Övriga optimeringslösare MPC Val av motormodell till MPC Linjärisering av motormodell Linjärisering med Linear Analysis Tool Linjärisering för hand Tillstånd Målfunktion Bivillkor Val av regulatorparametrar Kaskadreglering Andra former av MPC Alternativa flervariabela regleralgoritmer Resultat VVT Diskussion MPC Diskussion Sida 3

4 7 Fortsatta arbete 37 Sida 4

5 Dokumenthistorik Version Datum Utförda förändringar Utförda av Granskad december 2018 Första utkast. Alla december 2018 Robins kommentarer rättade. Alla - Sida 5

6 Nomenclature MPC Model Predictive Control NNLS Non negative least squares QP VVT Quadratic programming Variabel ventiltid Sida 6

7 1 Inledning Detta dokument beskriver implementationen av MPC för momentstyrning av en motor med turbo. Reglersystemet simuleras med en modell av motorn i Simulink. I avsnitt 3 beskrivs den VVT-modell som valts för implementation i både simuleringsmodellen av motorn och den motormodell som MPCn använder. I avsnittet presenteras även alternativa modeller för VVT. I avsnitt 4 beskrivs den optimeringslösare som skrivits i projektet för att att lösa optimeringsproblemet i MPC. I avsnitt 5 beskrivs teorin bakom MPC samt hur den tillämpas i detta projektet. Avsnittet innehåller även vilka andra flervariabla reglermetoder som kan vara ett alternativ. I avsnitt 6 visas de resultat som projektet gav med hjälp av figurer vid olika körningar. Sida 7

8 2 Beteckningar, variabler och index I detta kapitel beskrivs beteckningar, variabler och index som använts i projektet. Dessa listas nedan i tabellerna 1, 2 och 3. En övergripande bild över sensorers och aktuatorers placering visas i figur 1 denna kan med fördel undersökas vid förståelse för de olika index listade i tabell 1. Index beteckning af comp ic bef, thr at im inj fc e em wg tc es cat IVO IVC EVO EVC TDC BDC Betydelse Luftfiltret. (Compressor) kompressorn. Laddluftkylaren (intercooler). Före gasspjället (trotteln). Efter trotteln. Kontrollvolymen vid insuget. Insprutning i cylindern. (Fresh charge) luftblandningen som går in i cylindern. (Engine) motor. Syftar på i cylindrarna. Kontrollvolymen direkt efter cylindern. Wastegate. (Turbo charger) turbon. (Exhaust system) index för avgassystemet. Katalysatorn. Insugsventils öppning Insugsventils stängning Avgasventils öppning Avgasventils stängning (Top dead center) kolvens övre vändläge. (Bottom dead center) kolvens nedre vändläge. Tabell 1: I denna förklaras olika index som förekommer i denna rapport. Sida 8

9 Figur 1: Övergripande bild över var aktuatorer och sensorer sitter på en bensinmotor. (Eriksson, 2018) Motorkonstant beteckning l a B cyl γ n cyl λ R (A/F ) s r c V d D iv D ev A iv A ev Betydelse Vevstakens längd. Radie för vevaxelns rörelse. Cylinderns diameter. Specifik värmekapacitets kvot. Antalet cylindrar i motorn. Kvot mellan mängd syre och bränsle. Ideala gaskonstanten. Det stökiometriska förhållandet. Kompressions kvoten. Volymen en cylinder har. Ventilsätesdiameter för insugsventil. Ventilsätesdiameter för avgasventil. Area för insugsventil. Area för avgasventil. Tabell 2: Här listas vilka motorkonstanter som finns och även vad de innebär. Sida 9

10 Variabel beteckning x rg N e ṁ fc ṁ fi ṁ tot T V p ρ θ Beskrivning Andel residual gaser i cylindern. Motorvarvtal. Luftflödet in till cylindern. Flödet av bränsle in i cylindern. Totala massan av luft, bränsle och residualgaser i cylindern. Temperatur. Volym. Tryck. Densitet. Vinkel för ventiler. Tabell 3: Ingående variabler och beskrivning av dessa. 3 VVT modell Modellerna nedan är de som valts att utgå ifrån för implementeringen av en VVT modell. I tabell 4 finns alla parametrar som behöver skattas för VVT ekvationerna som sedan följer. Skattade parametrar β 1 β 2 a 1 a 2 α 1 α 2 α 3 Tabell 4: Parametrar som skattats för VVT-modellerna. (Jiang et al., 2009) presenteras ekvationerna som används i detta avsnitt. I ekvation (1) presenteras en modell för massflödet luft in i cylindern beroende på residualgaserna som finns kvar i cylindern och massflödet av bränsle som sprutas in i cylindern. ṁ fc = n cyl (1 x rg )m tot N e 120 ṁ fi (1) I (Eriksson and Nielsen, 2014) finns definitionen för λ, denna kan skrivas om med våra beteckningar från tidigare ekvationer och uttrycket i ekvation (2) kan erhållas. ṁ fi = ṁ fc λ(a/f ) s (2) Sida 10

11 För att räkna ut den totala massan i cylindern används modellen som ses i (3). Här ingår även en modell för p ivc och V ivc. m tot = p ivcv ivc RT ivc (3) Nedan i ekvation (4) syns modellen för trycket i cylindern vid stängning av insugsventilen. Här skall de två parametrarna β 1 och β 2 skattas. p ivc = β 1 p im + β 2 (4) Ekvation (5) beskriver cylindervolymen som uttryck av vinkeln på vevaxeln. V ivc = V (θ ivc ) = V tdc + πb2 cyl 4 (l + a a cos(θ ivc ) l 2 (a sin(θ ivc )) 2 ) Ekvation (6) beskriver den resulterande temperaturen för den totala massan luft och residualgas i cylindern efter stängning av insugsventilen. (5) T ivc = (1 x rg )T fc + x rg T rg (6) Ekvation (7) beskriver temperaturen på den nya luften i cylindern efter insugsventilens stängning. Denna temperatur minskar eftersom trycket i cylindern är något lägre än trycket i insugsröret. En god modellförenkling till ekvation (7) är att sätta T fc = T im vilket också görs i implementeringen. ( ) 1 γ pim γ T fc = T im p ivc (7) För att beskriva andelen residualgaser som finns kvar i cylindern så används ekvation (8) där OF (overlapfactor) är den avgörande faktorn i modellen. ( ) γ+1 pem 2γ x rg = a 1 p im OF p em p im 1 + a 2 N e ρ fc r c ( pem p im ) 1 γ (8) För att kunna använda ekvation (8) behövs densiteten på luften vilken sugs in i cylindern. Densiteten kan räknas ut enligt ekvation (9). ρ fc = p ivcv ivc RT ivc (9) Overlapfaktorn beskrivs av modellen i ekvation (10) där parametrarna behöver skattas. I ekvation (11) visas θ 0. OF = L v,maxd v B cyl (α 1 θ α 2 θ 0 + α 3 ) (10) θ 0 = θ evc θ ivo (11) Sida 11

12 Med hjälp av dessa ekvationer kan luftmassflödet in i cylindern modelleras för olika varvtal, insugstryck och kampositioner. Koefficienterna i ekvation (4),(8) och (10) behöver skattas. I (Jiang et al., 2009) nämns det att p ivc kan approximeras väl av ekvation (4), så det är den metoden som huvudsakligen kommer användas. Trycket kommer hinna stabiliseras mellan plenum och cylinder under tiden insugsventilen är öppen, och på så vis vara oberoende av θ ivc. Sida 12

13 3.1 Scavenging I (Eriksson and Nielsen, 2014) nämns att Scavenging kan ses som ett sätt att blåsa ut residual gaser från cylindern. Då det inte blir lika mycket residualgaser i cylindern kommer volumetriska effektiviteten att öka, se (Mårtensson and Flärdh, 2010), det kommer i sin tur leda till att mer syre kan tryckas in i cylindern. I (Eriksson and Nielsen, 2014) nämns att framförallt momentet på låga varvtal kan förbättras. Scavenging har också visat att det går att minska turbolag genom att generera ett större flöde till turbinen. Vid scaveninging måste den traditionella λ-regleringen modifieras. λ i cylindern måste vara 1 annars kommer det oförbrända bränslet blandas med luft och oxidera vilket genererar en exoterm reaktion, vilket potentiellt kan skada katalysatorn, detta nämns i (Eriksson and Nielsen, 2014). Det är framförallt ökade nivåer utav CO och HC som erhålls ifall λ behålls som 1 globalt, lokalt leder det till ett λ som är mindre än 1 lokalt i cylindern, detta diskuteras i (Mårtensson and Flärdh, 2010). Detta betyder att om scavenging ska användas måste den befintliga λ-regleringen utökas med modeller som kan hantera scavenging. I (Mårtensson and Flärdh, 2010) nämns att ifall λ i cylindern är ett vid scavenging kommer det att leda till ett överskott av syre i avgaserna vilket i sin tur leder till ökade NO x -utsläpp. Av de ovan givna situationerna finns en konflikt, ökade NO x -utsläpp eller risken för exoterm reaktion som kan skada katalysatorn. Det skulle kunna vara värt de ökade NO x -utsläppet tillfälligt om scavenging kan lägga motorn i en bättre arbetspunkt snabbt. Kontentan blir att endast använda scavenging då motorn snabbt vill flytta sig till en bättre arbetspunkt. 3.2 Parameterskattning För att förenkla parameterskattningen skattades parametrarna i (10) direkt ifrån mätdata tillsammans med parametrarna i (8). Parametrarna skattades genom att minimera medelvärdet över skillnaden i det mätta och skattade värdet enligt följande: z = 1 N N ṁ af (n) ṁ fc (n) (12) n=1 Där N är antalet mätpunkter och ṁ af är det uppmätta luftflödet från luftmassemätaren, som i stationäritet måste vara lika med ṁ fc i och med att ingen tryckförändring sker. Parametrarna i (4) skattades ifrån separat cylindertrycks-mätdata med minsta kvadratmetoden. Tecknet på första parametern i (8), α 1, avgör om modellen hanterar återflöde av avgaser eller scaveging. I de mätdata modellen är anpassad för finns några punkter där insugstrycket, p im, är större än avgastrycket, p em. I dessa punkter är sannolikheten större att det blir scaveging istället för återflöde av avgaser och på så sätt förvränger modellen något. 3.3 VVT resultat I figur 2 ses att modellen får en ganska bra passform mot mätdata. Det ska dock nämnas att det i mätdatan inte tagits några riktiga kamsvep, utan positionerna på kammarna har följt befintlig Sida 13

14 kamstyrning från motorns egna styrsystem. I stort sett hela arbetsområdet används ändå, men utspritt över olika lastpunkter, vilket gör att modellen trots allt får bra passform. Figur 2: VVT simulering jämfört med motormätningar. 3.4 Motivering kring val av VVT modell Valet av VVT modell föll tillslut på modellen vilken (Jiang et al., 2009) tagit fram, det valet baserades främst på att de använt sig av en turboladdad bensinmotor samt fått god överensstämmelse mellan simulering och verklig körning. I början övervägdes även rapporten framtagen av (Mårtensson and Flärdh, 2010). Den valdes slutligen bort, mest för att den endast var testad för ett begränsat arbetsområde. Sida 14

15 Under projektets gång när det var problem med den slutgiltiga modellen testades även en modell tagen ur (Fantenberg, 2018). Denna modell var framtagen för dieselmotorer från början och gav inte någon bra passning för vår data och valdes därför bort. Modellen använde kamvinklarna för att ändra på modellen för fyllnadsgrad. Den ursprungliga modellen för fyllnadsgrad finns beskriven i exempelvis (Eriksson and Nielsen, 2014). I (Eriksson and Nielsen, 2014) föreslås även ekvation (13) för p ivc istället för ekvation (4). Parametrarna c 1 och c 2 måste då skattas utifrån mätdata. p ivc = p im (θ ivc ) + c 1 + c 2 N e (13) Ett alternativt sätt att skatta Overlap Factor, OF, är att räkna ut ekvation (14) och (15) analytiskt. A iv = Liv =L ev OF = D iva iv + D ev A ev V d (14) θ ivo L iv (θ)dθ, A ev = θevc L iv =L ev L ev (θ)dθ (15) D iv och D ev är ventilsätesdiametrarna på insugs- respektive avgasventilerna, samt L iv (θ) och L ev (θ) är lyftprofilerna för insugs- respektive avgaskammarna. Därefter kan andragrads polynomet i ekvation (10) anpassas till OF som tagits fram med (14). Detta görs då för att slippa utföra integralerna i ekvation (15) i reglersystemet. 3.5 Regulator för VVT En enkel P-regulator har implementerats för att styra aktuatorn för VVT. Systemet är av integrerande typ och därmed kommer systemet inte ha något statiskt fel och därmed räcker en enkel P-regulator för att styra aktuatorn. Det som styrs är duty cycle på PWM signalen till VVT aktuatorn. För att aktuatorn inte skall flytta på sig behöver trycket på båda sidor om kammen vara lika, därav offseten på 0.5 i regulatorn. Vid en duty cycle mindre än 0.5 backar VVT n i position, över 0.5 skjuts VVT n frammåt. Figur 3: Regulator för aktuatorn till insugskammen. Baserat på impulssvaret i figur 4 har ett 2:a ordningenssystem tagits fram enligt ekvation (16). Sida 15

16 G(s) = 5.5 s(0.091s + 1) e 0.13s (16) I figur 4 ses hur dynamiken för VVT aktuatorn beter sig. I figuren jämförs den framtagna modellen från ekvation (16) med mätningar gjorda hos fordonsystem på aktuatorn styrsignalerna visas även här. Figur 4: Aktuatorns modelldynamik jämfört med mätningar. Vilka insignaler systemen haft visas i den nedre figuren. Dynamiken i aktuatorn har här blivit långsammare än vad det är i verkligheten. Däremot syns det tydligt att aktuatorn är av integrerande typ vilket diskuteras ovan. Därmed räcker en P- regulator för att få statiskt fel noll i systemet. Vid implementeringen av regulatorn testades olika försträkningar tills regulatorn inte gav för stor översläng och var tillräckligt snabb. I figur 5 ses vinkeln för insugskammen vilken styrs av vår regulator. I denna ses att regulatorn svänger in snabbt vid steg och inte ger någon översläng. Sida 16

17 100 Measured CAM position Angle [deg] Time [s] Figur 5: VVT aktuator under körning i motorcell. Sida 17

18 4 Optimeringslösare Under projektets implementationsfas upptäcktes det att dspace-enheten varken hade möjlighet att kodgenerera någon av de optimeringslösare som redan finns i MATLAB eller andra kommersiella lösare. För att kunna köra reglersystemet i motorlabbet skrevs därför en egen lösare som uppfyller de krav som ställs av Matlab/Simulink vid kodgenerering. Algoritmen är baserad på att lösa ett minstakvadratproblem med icke negativa bivillkor (NNLS) och skrevs i embedded MATLAB kod. 4.1 Hårdvara Hårdvaruenheten som används i motorlaboratoriet är en MicroAutoBox II från dspace. Dess funktion är att göra det smidigt för användaren att kommunicera med motorns ECU-enheter från datorn. Den simulinkmodell som skickas från datorn till dspace-enheten kodgenereras till C/C++, vilket gör det möjligt för den att styra motorns ECU-enheter. För att simulinkblocken ska kunna kodgenereras måste det dock finnas stöd för detta i simulink. Om användaren dessutom skulle behöva använda simulinkblock skrivna i till exempel embedded MATLAB kod så måste det även finnas stöd för kodgenerering av de MATLAB funktioner som används. För MATLAB 2018b kan de funktioner som har stöd för kodgenerering ses i (MathWorks, 2018). Allt eftersom nya versioner av MATLAB släpps blir stödet för kodgenerering bredare, och därmed möjligheten att styra motorns ECU-enheter större. Mer information om MicoAutoBox II:s finns att hämta i (dspace, 2018). I motorlabbet som gruppen har i sitt förfogande används MATLAB 2011b för att styra motorn. I denna version är stödet för kodgenerering till C/C++ begränsat, så till den grad att de optimeringslösare som redan finns implementerade i MATLAB inte har stöd för generering. De funktioner som kan kodgenereras i MATLAB 2011b kan ses i (MathWorks, 2011). 4.2 QP till NNLS Ett MPC-problem kan rättframt formuleras som ett kvadratiskt optimeringsproblem (QP) enligt (17), se exempelvis Enqvist et al. (2014). minimize u T Qu + c T u u (17) subject to G u u g u I och med att gruppens lösare istället bygger på att lösa ett NNLS problem krävs det en övergång från QP till NNLS. Bemporad (2016) bevisar att (17) kan skrivas enligt: minimize y 1 2 subject to y 0 [ M T d T ] [ 0 y γ ] 2 2 (18) där M G u L 1, L är en Cholesky faktorisering av Q, Q = L T L, d g u + G u Q 1 c samt γ > 0 är en valfri skalär (γ = 1 i implementering). Låt residualen r ges av Sida 18

19 [ M r T = d T ] [ 0 y γ ] där y är den optimala lösningen till (18). Följande gäller då för lösningen u till QP-problemet i (17): 1. Om r = 0 så är (17) olösbart. 2. Annars så gäller u = Q 1 (c + ) 1 γ + d T y GT u y (19) 4.3 Algoritm Algoritmen för lösningen av (18) bygger på en active-set algoritm inspirerad av de algoritmer som finns att hämta i artiklarna (Bro and Jong, 1997) och (Chen and Plemmons, 2009). Båda dessa härstammar ursprungligen från boken Solving Least Squares Problems, skriven av Lawson and Hanson (1974). Metoden att lösa ett QP-problem på detta sätt presenterade Bemporad (2016) i sin artikel A quadratic programming algorithm based on nonnegative least squares with applications to embedded model predictive control. Algoritmen som har implementerats ser i pseudokod ut enligt följande: Insignaler: x - Systemets tillstånd. M = G u L 1 L 1 - Inversen av den övre Cholesky faktoriseringen av Q. c wox - c enligt (17) men där faktorn x har utelämnats. g u - Se (17). Utsignaler: u n = Lösningen u till QP-problemet (17). 1. Variabelbyten för att gå från QP till NNLS: (a) c = c wox x (b) v = L 1 c (c) d = g u + Mv (d) γ = 1, kan väljas konstant eller till att uppdateras i varje körning. [ ] [ ] M T 0 (e) A = d T, b = γ 2. Initialisering och loop-parametrar: (a) P = Nollvektor med samma antal rader som A har kolumner. Sida 19

20 (b) R = Vektor med ettor av samma storlek som P. (c) y = Nollvektor av samma storlek som P. (d) w = A T (g u Ay) (e) T OL = Någon liten tolerans. 3. Om det finns nollskilda element i R och max(w) > T OL fortsätt vidare med steg 4, annars hoppa till steg Identifiera k som det index i w där max(w) finns. 5. Sätt R(k) = 0 och P (k) = Ta fram minsta-kvadrat lösningen för s P genom att lösa A P s P = b. s P är vektorn med de element i s som har samma index som där P > 0 gäller. A P är den matris med de kolonner som har samma index som där P > 0 gäller. 7. Om det finns något element i s P som är T OL samt att antalet iterationer inte har nått maxantal, fortsätt med steg 8, annars hoppa till steg 14. y (sp T OL) 8. Räkna ut α som α = min( y (sp T OL) s (sp T OL) ) där y (sp T OL) och s (sp T OL) är de element på de index som uppfyller s p T OL. 9. Uppdatera y till y = α(s y). 10. Sätt elementen i P till 0 och i R till 1 på de index där y < T OL. 11. Ta fram minsta-kvadrat lösningen för s P genom att lösa A P s P = b. 12. Sätt elementen i s till 0 där R > 0 uppfylls. 13. Räkna upp antalet iterationer med Om det inte finns något element i s P som är T OL och/eller antalet iterationer har nått maxantal, fortsätt med steg 15, annars hoppa till steg Sätt y = s och w = A T (g u Ay). 16. Om det inte finns nollskilda element i R och/eller max(w) <= T OL fortsätt vidare med steg 17, annars hoppa till steg Räkna ut u enligt ekvation (19) och lägg in värden för den första tidpunkten i u n, så att rätt dimension uppnås. 4.4 Prestanda I figur 6 visas prestandan för den av projektgruppen implementerade optimeringslösaren mot prestandan för MATLABs standardlösare Quadprog. Det är tydligt att den nya lösaren löser optimeringsproblemet snabbare än Quadprog, både för korta och långa prediktionshorisonter. I testet har ett system med åtta tillstånd och två utsignaler använts. Testet är gjort på en MPCregulator utan referensföljning och integralverkan implementerat. Storleken på systemet är som prediktionshorisonten, en bidragande faktor till hur komplext optimeringsproblemet blir och Sida 20

21 därmed hur lång tid det tar att lösa. Det finns även ett par interna parametrar i lösaren som bidrar till hastigheten på hur fort en lösning hittas. Dessa parametrar är toleransen T OL och max antal iterationer. När värden som är lägre än toleransen alternativt när max antal iterationer har nåtts nöjer sig lösaren med de aktuella värdena. De valda värdena motsvarar därför en avvägning av hur snabbt kontra hur noggrant optimeringsproblemet ska lösas. I prestandatestet som visas i figur 6 används max antal iterationer = 10 och tolerans = Prestandatest lösare, intel i7 quadprog NNLS 250 Exekveringstid (ms) Prediktionshorisont Figur 6: Prestandan för den egna optimeringslösaren jämfört med MATLAB-lösaren quadprog. 4.5 Övriga optimeringslösare Innan gruppen tog beslutet att implementera en egen QP-lösare undersöktes ett antal andra algoritmer och metoder att lösa optimeringsproblemet i motorlabbet. Det begränsade stödet för kodgenerering i motorlabbet gjorde att inget av dessa alternativ var möjligt att använda vid körning av motorn. Med det sagt är alla dessa användbara i simuleringsmiljö och eventuellt även vid användning av styrsystems-hårdvara med ett bredare stöd för kodgenerering. Det finns även ett flertal mer avancerade optimeringslösare som är av intresse att undersöka vidare i fortsatta projekt inom MPC-styrning av avancerade förbränningsmotorer. Följande optimeringslösare har undersökts i projektet: Quadprog: Den QP-lösare som följer med i MATLABs standard bibliotek. Används i simuleringsmiljön för projektet. Inget stöd för kodgenerering i någon version av MATLAB. mpcqpsolver: QP-lösare som ingår i Model predictive toolbox. Toolboxen har funnits tillgänglig sedan version R14SP1 av MATLAB från Kodgenerering för QP-lösaren hade dock inte stöd förens version 2015b av MATLAB. För nyare styrsystems-hårdvara kan alltså denna lösare användas. Sida 21

22 I figur 7 visas ett prestandatest mellan olika optimeringslösare för kvadrat-programmeringsproblem. Figuren är hämtad från den artikel, skriven av A. Bemporad 2016, som metoden för gruppens optimeringslösare är hämtad. I figuren visas lösarens prestanda i jämförelse med andra etablerade optimeringslösare. I den vänstra använder författaren även så kallad LDL-uppdelning för att lösa minsta-kvadrat problemet, vilket skiljer sig från gruppens implementation. I övrigt kan det ses att QPNNLS-lösaren löser optimeringsproblemet snabbt i jämförelse med de andra lösarna. Figur 7: Jämförelse av snabbhet för olika optimeringslösare. Den blåa grafen i figurerna följer samma algoritm som den av gruppen framtagna lösaren (Bemporad, 2016). Sida 22

23 5 MPC Den flervariabla reglerstrategi som implementerats är Model Predictive Control, MPC. Det finns olika varianter av MPC, men för denna applikation har en överordnad, linjär, realtids-mpc valts ut att vara mest lämplig. Som namnet antyder, använder MPC en modell utav systemet för att prediktera dess beteende givet olika kombinationer av styrsignaler. Regulatorn kan på så sätt bestämma en optimal styrsignalsekvens för en tidshorisont framåt i tiden. Denna styrsignalsekvens bestäms genom att lösa ett optimeringsproblem där en kostnadsfunktion ska minimeras över den betraktade tidshorisonten. En av de mest framhävande fördelarna med MPC är att det kan ta hänsyn till bivillkor och begränsningar i systemet som styrs (Enqvist et al., 2014). Dessa kan vara allt från fysiska begränsningar på komponenter till önskade beteenden på interna tillstånd i modellen. I detta kapitel kommer samtliga delmoment vid konstruerandet av MPC-regulatorn att redovisas. Delmomenten består av att ta fram en modell av motorsystemet som MPC ska använda för att prediktera, formulera en målfunktion, definiera bivillkor och slutligen trimma regulatorparametrar. På grund av att modellen som MPCn använder skiljer sig från modellen som används vid simulering, kommer ett statiskt reglerfel uppstå. Detta stationära fel kommer även uppstå vid styrning av den fysiska motorn, på grund av modellfel. Detta har åtgärdats genom att införa en PI-regulator i kaskadstruktur. Implementation och trimning av denna PI-regulator presenteras senare i detta kapitel. 5.1 Val av motormodell till MPC För att använda MPC krävs en modell av systemet som ska regleras. Eftersom denna modell används av MPCn i realtid kan en stor och avancerad motormodell göra att beräkningar av nya styrsignaler tar för lång tid. Modellen är baserad på ekvationer från Eriksson and Nielsen (2014) som redan är relativt enkla. Beroenden kan ses i ekvation (20). Till skillnad från simuleringsmodellen har denna modell inga temperaturer som tillstånd. p im (α, θ ivo, p im, p em ) p ic (α, p im, p ic, ω T C ) p em (W G, θ ivo, p im, p em, p es ) p es (W G, p em, p es ) ω T C (p ic, p em, p es, ω T C ) (20) I dessa ekvationer har även några ytterligare förenklingar gjorts. För att avgränsa projektet är λ satt till att vara konstant 1 i både den linjäriserade modellen och i simuleringsmodellen. Trycket efter luftfiltret, p af, uppskattas till att vara nära omgivningstrycket, p amb, vid åtminstone nära stationära körningar. Omgivningstemperaturen antas även vara konstant då systemet i nuläget endast är tänkt att köras i motorlabbet. Alla temperaturer är satta som konstanta förutom temperaturen i cylindrarna, T e. T em är satt till samma som T e. Sida 23

24 5.2 Linjärisering av motormodell Eftersom detta projekt använder sig av en linjär MPC krävs även en linjär motormodell. En motor har ett starkt olinjärt beteende vilket gör att det inte räcker med att endast linjärisera den i en punkt för att få ett önskat beteende utan det krävs olika linjäriseringar för olika arbetspunkter. Den slutgiltiga produkten använder sig av Matlab:s tool box Linear Analysis Tool för att skapa en linjäriserad motormodell, men det är även möjligt att göra för hand i Matlab. Båda alternativen presenteras nedan Linjärisering med Linear Analysis Tool Funktionen linearize() tar in en Simulinkmodell och returnerar en linjäriserad tillståndsmodell av Simulinkmodellen. Det måste specificeras vilka in- och utsignaler man vill att systemet skall ha, vilket kan göras både direkt i Matlab eller i Simulink. I Matlab används kommandot linio(), och i Simulink placeras markörer ut i modellen. För att definiera insignaler högerklickar man på en signal och väljer Linear Analysis Points Input Pertubation. För att definiera utsignaler används istället Linear Analysis Points Open-loop Output. Funktionen linearize() kommer att ansätta utsignalen från samtliga integrator-block som tillstånd i modellen. För att ändra valet av tillståndvariabler måste integrator-blocken flyttas till önskad plats i schemat, och samtidigt göra nödvändiga modifieringar så att modellen fortfarande är ekvivalent med den ursprungliga. För att linjäriseringen skall ske runt en stationär punkt kommer Simulinkmodellen simuleras tills stationäritet har uppnåtts. Vilken jämviktspunkt som erhålls kan påverkas genom att välja inställningen på styrsignalerna Linjärisering för hand Ett annat sätt att linjärisera i Matlab, utan att använda sig av Linear Analysis Tool, är att explicit uttrycka den olinjära tillståndsmodellen och sedan beräkna dess Jacobianer. Den olinjära tillståndsmodellen ẋ = f(x, u) y = g(x, u) (21) kan formuleras i Matlab genom att använda symboliska uttryck för tillstånden, x, och in- och utsignalerna u, y. Linjäriseringen sker kring en punkt (x 0, u 0, y 0 ), och genom att betrakta små avvikelser från denna punkt x = x 0 + x fås följande uttryck med Taylorutveckling u = u 0 + u y = y 0 + y (22) ẋ = f(x 0 + x, u 0 + u) f(x 0, u 0 ) + f x (x 0, u 0 ) x + f u (x 0, u 0 ) u y = h(x 0 + x, u 0 + u) g(x 0, u 0 ) + g x (x 0, u 0 ) x + g u (x 0, u 0 ) u (23) Sida 24

25 där högre ordningens termer av x och u har försummats. Om punkten som systemet linjäriseras kring är en stationär punkt, dvs om fås f(x 0, u 0 ) = 0 ẋ = ẋ = f x (x 0, u 0 ) x + f u (x 0, u 0 ) u (24) Sammantaget erhålls den linjäriserade modellen enligt ẋ = A x + B u y = C x + D u (25) där A = f x (x 0, u 0 ) B = f u (x 0, u 0 ) C = g x (x 0, u 0 ) D = g u (x 0, u 0 ) vilket motsvarar Jacobianerna av f(x, u) och g(x, u) med avseende på x respektive u, evaluerat i jämviktpunkten (x 0, u 0 ). Dessa Jacobianer kan beräknas i Matlab utifrån de symboliska uttrycken i ekvation (21). Båda metoderna implementerades och jämfördes, men metoden i avsnitt valdes. (26) 5.3 Tillstånd De tillstånd som används i tillståndsbeskrivningen av den linjäriserade motormodellen kan ses i ekvation (27), där de fyra översta tillstånden är trycken vid intercoolern, insugsröret, avgasröret och vid turbon. Det femte tillståndet är turbons vinkelhastighet i rad/s. Med hjälp av dessa tillstånd och styrsignalerna kan MPC-regulatorn beräkna utsignalerna för den linjäriserade modellen. x = p ic p im p em p t ω tc (27) 5.4 Målfunktion MPCn har tre utsignaler, z, och avser minimera dem enligt J N (x(k)) = N p 1 j=0 z(k + j) r(k + j) 2 Q 1 + u(k + j) 2 Q 2 (28) De tre utsignaler i målfunktionen är [ ṁ fc R, p ic ṁ fc, p ic p im 1 ]. Luftmassflödet, ṁ fc, minimeras mot en referenssignal och är nästan proportionell mot momentet vilket gör att den används för att styra mot rätt moment. Kvoten p ic ṁ fc styrs mot noll och avser minimera trycket det krävs av turbon för att nå ett visst massflöde. Detta görs för att inte MPCn ska använda turbon i onödan då detta drar mer bränsle. Kvoten p ic p im styrs mot 1 och avser minimera tryckfallet över trotteln vilket leder till att mindre energi förbrukas och motorn blir mer bränsleeffektiv. Sida 25

26 För att kunna lösa det kvadratiska problemet i ekvation (28) skrivs den om som där min u (Z R) T Q 1 (Z R) + (ΩU δ) T Q 2 (ΩU δ) (29) Z = M x X + M u U (30) eftersom luftmassflödet är direkt beroende av en styrsignal. Ekvation (29) kan då med hjälp av (30) skrivas om till formen min 2 U T (G T Mx T Q 1 M x G + 2G T Mx T Q 1 M u + Mu T Q 1 M u + Ω T Q 2 Ω)U+ (G T Mx T Q 1 (M x F x R) + Mu T Q 1 (M x F x R) Ω T Q 2 δ) T U u 1 som är ett kvadratiskt problem och kan lösas med hjälp av funktionen Quadprog i Matlab eller med den egenskrivna lösaren i kapitel 4. (31) 5.5 Bivillkor En stor fördel med att använda en MPC-regulator för den flervariabla regleringen är att de begränsade styrsignalerna kan läggas in som bivillkor. Gasspjäll och wastegate är begränsade mellan 0-1 och insugsventilsöppningen mellan Val av regulatorparametrar Systemet innehåller olika typer av regulatorparametrar. I MPC-regulatorn bestämmer viktmatriserna Q 1 och Q 2 hur hårt målfunktionerna och förändringar av styrsignalerna skall bestraffas. Till en början trimmades endast Q 2 och referensföljningen i Q 1, resterande delar i Q 1 sattes alltså till noll. Genom att simulera olika kombinationer av Q 1 och Q 2 kunde styrsignalerna och referensföljningen studeras. Trimmning av Q 2 som resulterade i brusiga styrsignaler innebar att Q 2 var viktad för lågt. När en önskvärd referensföljning och rimliga styrsignalsbeteenden hade uppnåtts lades de resterande målfunktionerna till i Q 1. Trimningen var relativt enkel och genom ökning av trimningsparametrarna med potenser av tio hittades värden som gav ett stabilt resultat. Trimningsparametrarna i Q 1 normaliserades ty p ic p im 1 och p ic ṁ fc Kaskadregleringen består av en PI-regulator. K P och K I trimmades här för hand tills ett önskvärt resultat uppnåddes. 5.7 Kaskadreglering Kaskadregleringen lades till för att reducera modellfelet i MPCn. MPCn är linjäriserad från en enklare motormodell och kommer inte ha exakt samma modeller som simuleringsmodellen. Detta gör att en återkoppling krävs för att kunna hantera modellfel. Detta löstes med en PIregulator som återkopplar ṁ af till MPCn. Kaskadregleringen kan ses i figur 8. Sida 26

27 Figur 8: Bild över MPC och kaskadregleringen Sida 27

28 5.8 Andra former av MPC En annan form av MPC som diskuterades var explicit MPC. Explicit MPC innebär att optimeringsproblemet löses offline och de optimala lösningarna finns sedan tillgängliga i regulatorn i form av till exempel en uppslagstabell. Optimeringsproblemet kommer ha ett antal variabler såsom tillstånd, referenser, variabla bivillkor och så vidare som spänner upp en lösningsrymd. Lösningsrymden kan fördelas in i ett ändligt antal polytopiska områden där lösningen är kontinuerlig, vilket gör lösningsrymden styckvist affin. Under drift behöver regulatorn endast bestämma vilket område variablerna befinner sig i och sedan använda aktuell affina styrlag. Ett problem med explicit MPC är att den styckvist affina funktionen kan bestå av ett mycket stort antal områden för komplexa system, vilket resulterar i att det blir beräkningstungt att finna den styckvist affina lösningen. Detta resulterar i att det även online kan ta lång tid att hitta aktuellt område även om funktionen är fördefinierad. 5.9 Alternativa flervariabela regleralgoritmer Det finns olika reglerstrategier för att hantera system med flera in- och utsignaler, så kallade MIMO-system (Multiple Input Mulitple Output). Exempel på fler sådana strategier är Linjärkvadratisk reglering (LQ/LQR), Generalized Predictive Control (GPC), decentraliserad styrning etc. MPC har en distinkt fördel jämfört med övriga, vilket är att den kan ta hänsyn till begränsningar i systemet, såsom mättningar i styrsignaler. Denna egenskap är särskilt användbar för motorsystemet som ska behandlas i projektet eftersom dess aktuatorer ofta är mättade. Av denna anledning valdes MPC ut som den enda reglerstrategi att utvärdera och tillämpa. Sida 28

29 6 Resultat Nedan presenteras resultat från projektet. Det är resultat från VVT modell och hur väl MPCregulator följer en referens på ṁ fc. 6.1 VVT Två fall testas för att validera att VVT-modellen har önskat beteende. Ett med helt öppen wastegate och en med halvöppen wastegate. Steg från 0 graders förskjutning till fullt utstyrt (50 grader) utförs och insugstryck jämförs med mätdata mot simulerad data. I figur 9 syns hur insugstrycket varierar med steg i insugskam med wastegaten öppen och 24 % trottel. Detta kan jämföras med figur 10 där simulerade värden för insugstryck, massflöde och moment syns. Figur 9: Insugstryck från simulerat och uppmätt värde då steg om 5 utförs i motortestcellen med wastegaten öppen och 24 % trottel vid 2000 rpm. Sida 29

30 Figur 10: Insugstryck då steg om 5 utförs i simuleringsmiljö med wastegaten öppen och 24 % trottel vid 2000 rpm. Även test med wastegate genomförs och kan ses i figur 11 och 12 nedan. Figur 11: Insugstryck då steg om 5 utförs i motortestcellen och simuleringsmiljö med wastegaten 50 % stängd och 30 % trottel vid 2000 rpm. Sida 30

31 Figur 12: Insugstryck då steg om 5 utförs i simuleringsmiljö med wastegaten 50 % stängd och 30 % trottel vid 2000 rpm Diskussion Vi ser att modellen stämmer bra överens då turbon inte används, alltså då motorn opererar som sugmotor. Här följer modellen tydligt karakteristiken av hur VVTn påverkar insugstrycket och man ser att maximalt moment uppnås vid ungefär utställd insugskam. Detta kan ses i figur 9. Modellen fångar detta beteende mycket bra. Då wastegaten används ser vi istället att simuleringsmodellen inte bygger samma laddtryck som testen i motorlabbet gör. Detta kan bero på flertalet anledningar men i detta fall beror det förmodligen på modellfel i hela motormodellen eller parameterfel. Vi ser dock att modellen inte riktigt fångar rätt beteende här då insugstrycket ökar med ökad utställning av VVT. Här får man alltså högst tryck vid maximalt utställd VVT. Detta fångar inte modellen men eftersom inte laddtrycken är densamma i simulering och mätning så går det inte att säga att modellen är felaktig då det inte är samma förutsättningar som ges. Efter lite laboration med inställningen på wastegaten hittas ett matchande insugstryck vid 88 % stängd wastegate. Detta kan ses i figur 13. Här ser vi att trycket ökar, vilket stämmer överens med mätdatan, dock så ger modellen att trycket sjunker vid maximal utställd VVT vilket inte är fallet i mätdatan. Detta får ses som modellfel men kommer inte påverka MPC-regulatorn då insugstrycket är konstant från ungefär 30 utställd VVT till max utställd. Alltså är modellen god nog för sitt användningsområde. Sida 31

32 Figur 13: Insugstryck då steg om 5 görs i simuleringsmiljö med wastegaten 88 % stängd och 30 % throttle vid 2000 rpm. 6.2 MPC Samtliga figurer startar från tidpunkten 40 för att regulatorn ska ha stabiliserat sig från initialvärdena. MPCn väljer själv hur den ska uppnå en viss referens vilket gör att aktuatorernas linjäriseringsläge kan skilja sig markant från det som visas i figurerna. I figur 14a ses ett stegsvar för luftmassflödet vid en låg last och i figur 14b syns de motsvarande styrsignalerna. Luftmassflödet når sin referens på ca. 10 sekunder och alla tre styrsignaler används. (a) Stegsvar för luftmassflöde vid luftfilter. (b) Control signals during step in air mass. Figur 14: Stegsvar i önskat luftmassflöde. Linjäriseringspunkt: 10% gasspjäll, 50% wastegate och 0% IVO. Sida 32

33 I figur 15 syns istället stegsvaret för luftmassflödet vid enn mellanhög last till vänster och till höger motsvarande styrsignaler. (a) Stegsvar för luftmassflöde vid luftfilter. (b) Styrsignaler vid stegsvar i luftmassflöde vid luftfilter. Figur 15: Stegsvar i önskat luftmassflöde. Linjäriseringspunkt: 15% gasspjäll, 20% wastegate och 0% IVO. I figur 16 syns stegsvaret för luftmassflödet vid hög last till vänster och de motsvarande styrsignalerna till höger. (a) Stegsvar för luftmassflöde vid luftfilter. (b) Styrsignaler vid stegsvar i luftmassflöde vid luftfilter. Figur 16: Stegsvar i önskat luftmassflöde. Linjäriseringspunkt: 40% gasspjäll, 20% wastegate och 0% IVO. I figur 17 syns refernsföljningen för en sinusvåg vid en mellanhög last. Sida 33

34 (a) Luftmassflöde vid luftfilter, sinusreferens. (b) Styrsignaler vid stegsvar i luftmassflöde vid luftfilter. Figur 17: Sinusreferens för önskat luftmassflöde. Linjäriseringspunkt: 15% gasspjäll, 20% wastegate och 0% IVO. I figur 18 syns refernsföljningen för en sinusvåg vid det fall att trotteln är sönder, alltså har ett fixt värde. (a) Luftmassflöde vid luftfilter, trasigt gasspjäll. (b) Styrsignaler vid sinusreferens, trasigt gasspjäll. Figur 18: Sinusreferens för önskat luftmassflöde. Trasigt gasspjäll låst vid 20%. Linjäriseringspunkt: 15% gasspjäll, 20% wastegate och 0% IVO. I figur 19 ses ett test när aktuatorn för wastegate är trasig i den mening att den har fastnat i ett visst läge. Hur regulatorn klarar av att följa luftmassflödes då visas i figur 19. Sida 34

35 (a) Luftmassflöde vid luftfilter, trasig wastegate. (b) Styrsignaler vid stegsvar i luftmassflöde vid luftfilter, trasig wastegate. Figur 19: Stegsvar i önskat luftmassflöde. Trasig wastegate låst vid 20%. Linjäriseringspunkt: 15% gasspjäll, 20% wastegate och 0% IVO Diskussion I samtliga resultatgrafer för MPC-regulatorn kan det ses att aktuatorerna samverkar för att få massflödet att följa sin referens. Det går även att se att de arbetar olika om en aktuator är trasig, som i figur 19b, gentemot om alla aktuatorer är fungerande som i figur 15b. Detta tyder på att aktuatorerna kan ställas ut på flera olika sätt för att nå liknande referensföljning. Av den här anledningen blir det viktigt att regulatorn har något ytterligare reglermål att sträva mot. I det här projektet blev det att styra tryckkvoten p ic p im mot 1 och p ic ṁ fc mot 0. Dessa två kvoter används för att på ett enkelt sätt sträva mot att minimera bränsleförbrukningen. Att målfunktionernskvoterna p ic p im och p ic ṁ fc påverkar hur MPC:n väljer utsignalen har undersökts genom att variera kostnaderna i Q 1, men det finns en stor osäkerhet kring hur dessa påverkar bränsleförbrukning och aktuatorernas positioner. Tanken med att straffa p ic p im grundar sig i att ett onödigt högt laddtryck inte skall byggas upp. Figur 15 visar till exempel att wastegaten är ungefär 5% öppen före steget tas vilket betyder att laddtryck byggs upp och sedan stryps bort att trotteln. Att minimera laddtrycket och öppna trotteln borde vara mer effektivt ur ett bränsleförbrukningsperspektiv. Målfunktionerna behöver ses över och ytterligare trimning och tester av olika straff i Q 1 kan ge ökad förståelse om hur regleringen fungerar. Den långsamt sjunkande styrsignalen för wastegaten som kan ses i figur 14b skulle kunna förklaras med att kostnaden för en av de två, eller båda, målfunktionskvoterna vägs mot kostnaden för styrsignalsförändring. Regulatorn har ingen information tillgänglig om framtiden. Prediktionshorisonten på två sekunder består av en konstant referens. Ett autonomt fordon skulle möjligtvis kunna skaffa information om framtida referenssignal, genom att till exempel samla data från framförvarande fordon. Detta skulle ge möjligheten för regulatorn att styra bränsleeffektivt vid kontanta hastigheter där wastegaten kan vara öppen men varva upp turbon inför en kommande acceleration. Sida 35

36 I flera av resultatfigurerna ses det att det tar lång tid för massflödet att nå referensnivån. En snabbare referensföljning hade varit önskvärd. Vid ett gaspåslag är ett utseende likt figur 16a, där massflödet överstiger referensnivån snabbt för att sedan svänga in sakta, ett beteende som är att föredra. Föraren vill ha snabbt svar från motorn för att sedan nå referensen genom att sänka momentet. För att uppnå ett sådant beteende behövs ytterligare trimning och eventuellt andra mål att styra mot i målfunktionen. När det istället kommer ett steg till en lägre nivå är det istället mer önskvärt att beteendet ser ut som i figur 14a och 15a och inte som i figur 16a. En undersläng och sedan en ökning i moment kommer inte upplevas som en behaglig körupplevelse av föraren. Det önskade beteendet hos motorn i det här fallet är alltså att ett lägre önskat moment nås med en mjuk reglering. Sida 36

37 7 Fortsatta arbete För framtida forskning finns det stora möjligheter att undersöka andra reglermål än de kvoter som används nu, p ic p im och p ic ṁ fc, för att minimera bränsleförbrukningen och fortfarande få önskad referensföljning. I detta projekt har förenklingar gjorts, se avsnitt 5.1, och en av dessa är att lambda är satt som konstant 1 istället för att använda lambda-reglering. Det gör att det i detta fall inte är möjligt att minimera bränsleförbrunkningen direkt, minimera ṁ fi, utan detta måste istället göras indirekt. Det vore också önskvärt att hantera hela motorns arbetsområde på något sätt, antingen genom att ha flera linjäriseringspunkter som algoritmen hoppar mellan, eller att på annat sätt hantera motorns olinjäritet. Fortsatt arbete med projektet består också i att faktiskt implementera regulatorn i motortestcell. Flera stora utmaningar finns att lösa för att få det att fungera. Först och främst behövs en algoritm som klarar ett större arbetsområde. Därefter måste lämplig hårdvara implementeras som klara av att köra regulatorn i realtid, eller bättre, implementera en snabb regulator som går att köra i befintlig hårdvara. Projektets framtagna resultat ger en bra grund för detta fortsatta arbetet. Sida 37

38 Referenser Bemporad, A A quadratic programming algorithm based on nonnegative least squares with applications to embedded model predictive control. IEEE Transactions on Automatic Control. Bro, R. and S. D. Jong A fast non-negativity-constrained least squares algorithm. Journal of chemometrics. Chen, D. and R. J. Plemmons Nonnegativity constraints in numerical analysis. In in A. Bultheel and R. Cools (Eds.), Symposium on the Birth of Numerical Analysis, World Scientific. Press. dspace Microautobox II. Hämtad 14 december Enqvist, M., T. Glad, S. Gunnarsson, P. Lindskog, L. Ljung, J. Löfberg, T. McKelvey, A. Stenman, and J.-E. Strömberg Industriell reglerteknik, Kurskompendium. Institution of automatic control at Linköping University. Eriksson, L Projekt pm tsfs09. Hämtad 14 december Eriksson, L. and L. Nielsen Modeling and control of engines and drivelines., Automotive series. John Wiley & Sons Ltd, Fantenberg, E Estimation of air mass flow in engines with variable valve timing. Master s thesis, Linköping University, Automatic Control. Jiang, L., J. Vanier, H. Yilmaz, and A. Stefanopoulou Parameterization and simulation for a turbocharged spark ignition direct injection engine with variable valve timing. In SAE World Congress & Exhibition. SAE International. Lawson, C. L. and R. J. Hanson Solving Least Squares Problems. Mårtensson, J. and O. Flärdh Modeling the effect of variable cam phasing on volumetric efficiency, scavenging and torque generation. In SAE 2010 World Congress & Exhibition. MathWorks Functions and objects supported for c/c++ code generation (matlab 2011b). Hämtad 14 december MathWorks Functions and objects supported for c/c++ code generation (matlab 2018b). Hämtad 14 december Sida 38