Självständigt arbete II 15 högskolepoäng, avancerad nivå Spela Fingu

Transkript

1 Lärande och samhälle Skolutveckling och ledarskap Självständigt arbete II 15 högskolepoäng, avancerad nivå Spela Fingu - en uppföljande kvalitativ studie av en tidig intervention i matematik Playing Fingu - a follow-up qualitative study of an early intervention in mathematics Catarina Wästerlid Masterexamen i specialpedagogik 120 hp Slutseminarium Examinator: Annica Andersson Handledare: Anna Wernberg

2

3 Abstract The aim of this master thesis was to explore what learning students developed in mathematics when using an interactive digital tool. The issue the study focused was what cardinality skills five-year-old students established when playing Fingu by investigating how they handled the critical aspects of cardinality. Research agrees that the ability to compose and decompose numbers in a flexible way is a basic mathematical competence and an important prerequisite for developing arithmetic skills (Anghileri, 2006; Locuniak & Jordan, 2008; Neuman, 1987; Nunes & Bryant, 2007). Another basic competence in developing counting skills is the ability to rapidly perceive the exact number of objects in a group instead of counting one-by-one (Clements & Sarama, 2014). Fingu, is a game where to two different sets of fruits are visable on a screen and the player are supposed to represent the total amount of fruits with an equal number of fingers by touching the screen. In total there are 60 different tasks with different configurations, combinations and different sums up to ten. In a research project between the university of Gothenburg and the University of Kristianstad, called Conditions and tools for development of arithmetic competencies (CoDAC), 112 students between five to eight years old participated in an intervention where they played Fingu regularly over an eight-week period. The results from the CoDAC-project showed that there was a small positive effect for all ages on a standardized test. Data base for this follow-up study was derived from the CoDAC project. The method used was mainly video-observations and the results were presented as case studies where students' changed ways of representing and transforming numbers were qualitatively analysed. Variation theory and Nunes & Bryants (2007) further development of Piagets theory of how children develop an understanding of cardinality was used for interpreting what learning in mathematics Fingu support and what cardinality skills five-year-old students established when playing Fingu.

4 The results of the study showed that all students increased their understanding of the cardinal aspect of numbers but also that there was a variation in the skills that the students developed. Furthermore, it can be noted that the students' subitize competence were developed. The implication of this study is that it seems promising to use Fingu as an early intervention in pre- and primary school. The results are also consistent with previous findings that digital tools can have a positive effect even though the intervention is limited in time. Keywords: cardinality, digital learning tool, early intervention, finger-counting, part-wholerelations, subitizing,

5 Innehåll 1. Inledning och problemområde Forskningsprojektet CoDAC Styrdokument digitalisering Empiriskt dataunderlag för denna studie Syfte och preciserade frågeställningar Tidigare forskning Digitala lärverktyg ANS och subitisering Att utveckla taluppfattning Tals del-helhetsrelationer Fingertal och fingerräkning Matematiksvårigheter och räknesvårigheter Teoretiska utgångspunkter Teoretiska utgångspunkter Variationsteori Kunskapsteori om kardinalitetsbegreppets utveckling Subitiseringsförmåga Metod Val av metod Forskningsdesign Urval Genomförande och analys Videoinspelning TEMA Del-helhetstest Reliabilitet och validitet... 31

6 4.6 Etiska aspekter Resultat och analys Lärande som möjliggörs i Fingu Ekvivalens Del-helhetsbegreppet Subitisering Elevernas lärande gällande talens kardinala aspekter TEMA Fallstudier Sammanfattande analys Ekvivalens Tals del-helhetsrelationer Subitiseringsförmåga Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Didaktiska implikationer Fortsatt forskning... 61

7 1. Inledning och problemområde Utifrån min mångåriga bakgrund som låg och mellanstadielärare i matematik har jag kommit att intressera mig för vilket kunnande i matematik som är betydelsefullt i utvecklandet av grundläggande aritmetisk kompetens men också för hur man som lärare kan skapa goda förutsättningar för elever att utveckla denna kompetens. Min erfarenhet är att de flesta elever, när de börjar i årskurs 1, behärskar grundläggande färdigheter såsom räkneramsan, talidentifikation och att pekräkna föremål. De kan också hantera förändringar av antal i ett lägre talområde och uttrycka detta både muntligt och till viss del symboliskt. Några elever använder fingrarna när de räknar medan andra bara vet. De flesta elever utvecklar förtrogenhet med tal och kan hantera förändringar av antal men för vissa elever tycks dock tal och siffror vara obegripliga abstraktioner som saknar innebörd. En möjlig förklaring till denna skillnad skulle enligt Hannula och Lehtinen (2005) kunna vara att barn uppmärksammar tal och siffror i olika grad. I en av deras studier framkommer just att alla barn inte spontant uppmärksammar tal och tals värde i vardagsnära situationer, trots att de befinner sig i miljöer där siffror och tal används och författarna argumenterar för värdet av att barn bjuds in att delta i aktiviteter som fokuserar på antal och att de försätts i situationer där tal och antal blir ett angeläget och intressant tema att förstå och hantera (a.a). Vikten av att insatser och extra stöd i matematik erbjuds tidigt i utbildningssystemet är flera forskare eniga om (Fuchs, Fuchs, & Compton 2013; Hannula & Lehtinen, 2005; Lundberg & Sterner, 2009). Enligt Fuchs et al. (2013) bör stödet riktas mot att ge eleverna möjlighet att utveckla grundläggande matematiska kompetenser för att de inte ska halka efter sina klasskamrater. Lundberg och Sterner (2009) menar, utifrån den sammanställning de gjort av utvecklingsarbeten baserade på forskning och beprövad erfarenhet, att detta kan göras med framgång redan i förskolan. De tidiga insatsernas betydelse är också angeläget utifrån aspekten att förebygga att elever inte hamnar i framtida matematiksvårigheter vilket gör att temat i allra högsta grad är relevant ur ett specialpedagogiskt perspektiv då det i examensordningen för speciallärare finns framskrivet att specialläraren ska visa på förmåga att skapa goda lärmiljöer och utifrån aktuella forskningsarbeten utveckla verksamhetens lärmiljöer (SFS 2011: 688). Enligt skollagen (SFS 2010:800, kap 1 4) ska hänsyn också tas till barns och elevers olika behov och förutsättningar att tillgodogöra sig utbildningen och eftersom skolan också har ett kompensatoriskt uppdrag måste verksamheten organiseras så att eleverna utifrån sina förutsättningar ges möjlighet att utvecklas i enlighet med utbildningens mål (Skolverket, 2014). 7

8 I en nyligen publicerad forskningssammanställning över digitala lärresursers effekter på förskolebarns lärande i matematik framkommer att välkonstruerade digitala lärresurser kan vara ett stöd i barns matematikutveckling (Wallin, 2017). Utifrån det faktum att forskning understryker vikten av tidiga insatser och att styrdokumenten (Skolverket, 2017a) ger riktlinjer om att eleverna ska ges möjlighet att använda digital teknik, har jag valt att undersöka ett digitalt lärverktygs potential för att stimulera yngre barns/elevers utveckling av grundläggande matematiska kompetenser. Spelet heter Fingu och ett skäl till att just Fingu valdes var att åldersgruppen som spelet utformats för är 4 8 åringar. Dessutom ges applikationen högsta omdöme på sidan Skolappar.nu som är en sida där lärare recenserar applikationer som de använder i sin undervisning. Ett annat skäl är att spelet konstruerats och systematiskt utprovats inom ramen för ett forskningsprojekt. Formuleringen att utbildningen ska vila på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet (SFS 2010:800 kap 1 5) indikerar att de metoder och interventioner som används i undervisningen ska vara systematiskt utprövade. Också Eriksson Bajaras, Forsberg och Wengström (2013) belyser vikten av evidensbaserad praktik utifrån perspektivet att den kan tjäna som underlag då lärare, rektorer och skolor ska fatta beslut eller bestämma en praktik. De studier som gjorts inom forskningsprojektet har inte kvalitativt undersökt vilket kunnande gällande tal och antal som enskilda femåringar utvecklar när de spelar applikationen vilket därför blir utgångspunkten för detta arbete. 1.1 Forskningsprojektet CoDAC Conditions and tools for development of arithmetic competencies (CoDAC) är ett gemensamt forskningsprojekt mellan forskare vid Göteborgs universitet och Högskolan Kristianstad som har som mål att förstå hur grundläggande färdigheter i matematik utvecklas. Ett av inslagen i projektet har varit att låta elever spela datorspelet Fingu på ipads. Applikationens syfte är att utveckla barns/elevers kompetens att sätta samman och dela upp talen mellan 1-10 på ett flexibelt sätt (Holgersson et al., 2016). Spelets design bygger på idén om att denna kompetens grundas i förmågan att direkt uppfatta antal (a.a). I en studie med 112 barn, 35 femåringar, 38 sexåringar och 39 sjuåringar, har forskarna undersökt applikationens potential för lärande i matematik. Under en åttaveckorsperiod fick eleverna spela Fingu inom den ordinarie verksamheten, cirka tre gånger i veckan. Pedagogens roll var att erbjuda eleverna 8

9 möjlighet att spela Fingu men det var upp till eleven att själv bestämma om han/hon ville spela men även hur länge. Fingu är en webbaserad applikation, som kan hämtas gratis från App Store, för spel på Ipads för barn/elever i åldrarna 4-8 år. Applikationen innehåller enbart rörliga animationer och ljud och spelaren ska registrera det totala antalet frukter som syn på skärmen med sina fingrar. Innan frukterna försvinner ur bild ska lika många fingrar som det finns frukter samtidigt placeras på valfri plats på skärmen. En indikation på att svaret registrerats är att fingeravtrycken blir gröna. Om rätt antal fingrar registrerats visas glada figurer och ett glatt pling hörs. Om antalet fingeravtryck på skärmen inte överensstämmer med antalet visade frukter, syns istället en sur lök och ett dovt ljud hörs. Antalet frukter som visas på skärmen är som flest sammanlagt tio stycken och frukterna grupperas och gestaltas på olika sätt på de olika nivåerna (se 5.1) Om man svarar rätt på en gestaltning kommer denna automatiskt att visas en kortare tid nästa gång den visas på skärmen. I varje spelomgång ges man tre liv i form av hjärtan, där ett inkorrekt svar resulterar i att man bli av med ett av dessa. Om man förlorar samtliga liv innan man har gett korrekt svar på minst 20 av uppgifterna har man inte tillträde till nästa nivå utan måste börja om på samma nivå igen. Spelet består av sju olika nivåer där spelaren enligt ovan nämnda måste ha klarat de flesta uppgifterna för att kunna gå vidare till nästa nivå. Innan man börjar själva spelet måste någon av de 24 karaktärerna väljas. Justeringar och ändringar som kan göras är visnings- och svarstiden men även antal försök, antal uppgifter samt svårighetsgraden på uppgifterna. När man avbryter spelet sparas resultatet och man fortsätter på samma nivå som vid senaste tillfället Insamling av dataunderlag i CoDAC I CoDAC-projektet användes olika för, efter- och fördröjda tester för att mäta applikationens effekter på elevernas lärande. Bland annat användes muntliga tester ur Test of Early Mathematics Ability version 3 (TEMA-3) som är ett amerikanskt testmaterial. Testet är framtaget för att identifiera matematisk kompetens hos elever mellan 4-8 år och det prövar elevens både informella och formella matematiska kompetenser. TEMA-3 har konstruerats av Ginsburg och Baroody (Holgersson, et al., 2016) men det har översatts av forskare i Fingu-projektet för att kunna användas på svenska elever (bilaga 1). I det muntliga testet utgår testledaren från uppgifter som är framtagna och anpassade efter elevens ålder där ingångsuppgiften för femåringarna är uppgift 15. Om elevensvarar fel på fem uppgifter i följd ska denna sluta testas på de följande frågorna och istället fortsätta testas 9

10 baklänges från den första uppgift som gavs tills fem uppgifter i rad besvaras korrekt. Uppgifterna är anpassade efter ålder och standardiserade efter amerikanska förhållanden. Det finns därför innehåll som svenska 4-8-åringar ännu inte undervisats om. Till exempel ingår på sjuåringarnas nivå uppgifter att benämna 1002 samt att avgöra om en algoritmuppställning är korrekt uppställd. Testledaren informerar eleven om att det, som stöd för att lösa uppgiften, kan använda framlagt material såsom brickor eller sina fingrar. Testet tar ca minuter att genomföra (Ginsburg och Baroody, i Holgersson, et al., 2016). Ytterligare test som användes i CoDAC-projektet var ett del-helhetstest (bilaga 2) och ett talmönster-igenkänningstest av de gestaltningar som ingår i spelet (se 5.1). Inom ramen för CoDAC- projektet spelades även filmsekvenser in. Eleverna filmades vid tre tillfällen om vardera 3-4 minuter när de spelade Fingu. Den första videoinspelningen gjordes när eleven introducerades för spelet, den andra efter cirka fem veckors tid och den sista i slutet av interventionsperioden. All insamling av speldata skedde i slutet av Effekter Forskningsresultaten på gruppnivå, för samtliga åldrar (5-, 6 - och 7-åringar), visade en signifikant positiv skillnad mellan resultaten på de olika för- och efter-testerna (Holgersson et al., 2016). Effekten var mindre på TEMA-3-testet, liten till moderat på del-helhetstestet och stor på talmönster-igenkännings-testet. De enda signifikanta skillnader som hittades på gruppnivå mellan efter- och de fördröjda testerna var på TEMA-3- och del-helhetsuppgifterna. Vad gäller femåringarna var effekten liten till moderat på både TEMA-3 och delhelhetstesterna. 1.2 Styrdokument digitalisering Ett tillägg som gjorts i grundskolans styrdokument och som gäller från och med hösten 2017 handlar om digitala resurser som verktyg för lärande. Digitalisering skrivs här fram som en viktig resurs för att främja elevernas kunskapsutveckling (Skolverket 2017b). I det tillhörande kommentarmaterialet (Skolverket, 2017a) framhålls att digitala verktyg, så som dator, smart telefon och lärplatta, erbjuder nya möjligheter till att utveckla förståelse för ämnet. Vidare poängteras att digitala verktyg kan vara en typ av stödinsats men också att digitala verktyg kan användas för att variera och individualisera undervisningen (a.a). I ett förslag från Skolverkets till reviderad läroplan för förskolan finns också formuleringar om digital kompetens (Skolverket, 2018). 10

11 1.3 Empiriskt dataunderlag för denna studie I föreliggande studie har delar av det insamlade datamaterialet från CoDAC-projektet använts. Det datamaterial som använts i denna studie är TEMA-3 testet, del-helhetstestet och videoinspelningar. Datamaterialet har jag getts tillträde till genom en av CoDAC:s forskningsoch projektledare. 1.4 Syfte och preciserade frågeställningar Studiens övergripande syfte är att undersöka vilket lärande i matematik som ett interaktivt datorprogram ger elever möjlighet att utveckla. Utifrån syftet avgränsas studien till att undersöka vilka grundläggande matematiska kompetenser gällande tal som femåringar utvecklar när de spelar applikationen Fingu. De preciserade frågeställningarna utifrån syftet är: Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter möjliggörs i Fingu? Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter utvecklar femåringar när de spelar Fingu? 11

12 2. Tidigare forskning Kapitlet inleds med en kort genomgång av tidigare forskning av interventioner och insatser i förskola och förskoleklass som gjorts med digitala lärverktyg. Därefter redogörs för forskning om kritiska steg i barns utveckling av grundläggande taluppfattning och aritmetisk kompetens. Efter varje avsnitt görs en kort sammanfattning där tidigare forskning redogörs för i förhållande till föreliggande studies syfte. 2.1 Digitala lärverktyg Ett sätt att tänka kring digitala lärverktyg i matematikundervisningen är att göra det i förhållande till dess roll för att skapa gynnsamma lärandesituationer.. Trigueros, Lozano och Sandoval (2014) särskiljer dessa olika sätt i de tre kategorierna ersättning, förstärkning och transformering. Ersättning innebär enligt Trigueros et al. (2014) att det digitala lärverktyget endast ersätter ett moment eller en aktivitet som tidigare gjorts utan digitala resurser. Innehållet förändras inte och aktiviteten är i princip densamma. Till exempel kan läraren gå igenom volymenheten kvadratcentimeter genom att visa och skriva på en interaktiv skrivtavla istället för att använda laborativt material (a.a). Digitala lärverktyg kan också användas till att förstärka och ge ökad möjlighet till lärande av ett specifikt matematikinnehåll, utan att innehållet förändras. Författarna ger exempel på en applikation där elever får uppskatta och laborativt prova sina hypoteser om hur många volymenheter som behövs för att fylla olika storlekar på kärl. Det tredje perspektivet som Trigueros et al. (2014) nämner är transformering som innebär att matematikinnehållet behandlas och presenteras på ett annorlunda sätt vilket ger både ökade och förändrade möjlighet till lärande. I artikeln ges ett exempel på en aktivitet där en helhet ska delas upp i olika bråkdelar. Applikationen ger visuellt stöd och eleverna kan se när helheten och delarna har samma värde (a.a). Det som är utmärkande för just lärplattan är att den bjuder in till direkt interaktion mellan användaren och datorprogrammet (Sinclair & Heyd-Metzuyanim, 2014). Vidare erbjuder lärplatta nya sätt för användaren att uttrycka sig matematiskt, då spelaren kan producera, representera och transformera objekt med fingrar eller handrörelser. Den interaktiva pekskärmen gör enheten användarvänlig och öppnar upp för alternativa sätt att kommunicera på som är både konkreta och sinnliga (a.a). En annan fördel med interaktiva datorprogram som Moyer, Bolyard och Spikell (2002) framhåller är att spelaren direkt ges återkoppling och kan rätta sig själv. 12

13 I en systematisk översikt av Skolforskningsinstitutet över aktuell forskning om digitala lärresursers effekt på elevers kunskaper i matematik i förskolan ingår tio experimentella studier (Wallin, 2017). Studierna publicerades mellan och de lärresurser som ingick i studierna hade alla inslag av lek och spel. Ingen av de digitala lärresurser som användes i studierna var dock öppet tillgängliga. Studier i en svenska kontext saknas i översikten men den matematik som berörs i studierna överensstämmer enligt författarna med den svenska läroplanen för förskolan. Studiernas resultat indikerar att digitala lärresurser kan ha en kompenserande roll för barn som riskerar att halka efter i sin matematikutveckling eller för barn som sällan exponeras för matematik och då särskilt i de fall pedagogerna har bristande kunskaper om barns tidiga matematikutveckling (a.a). Ett par av studierna är gjorda vid amerikanska förskolor i socioekonomiskt svaga områden där sambandet mellan familjers socioekonomiska status och barns svaga förmågor i tidig matematisk identifierats. I rapporten diskuteras om det finns grupper även i Sverige som skulle gynnas av riktade matematikinsatser till exempel förskolebarn med annat modersmål än svenska (Wallin, 2017). En annan slutsats som dras är att digitala lärresurser som uppmuntrar till samtal mellan barn och pedagoger tycks förstärka barnets utvecklande av matematiska förmågor men det finns också en studie som visar på motsatsen, att barn som arbetar individuellt med lärresursen presterar bättre än barn som samarbetar, särskilt vad gäller mer utmanande uppgifter (Weiss, Kramarski & Talis, 2006). Desoete och Praet (2013) argumenterar för att digitala matematikresurser kan ses som en förebyggande insats inför årskurs 1 för de elever som har ett utökat undervisningsbehov. Vidare framhåller de att denna typ av insats är inkluderande och inte utpekande då alla barn kan delta (a.a). En slutsats som avslutningsvis diskuteras i översikten är att forskning inom området ännu inte fått genomslag och att det är brist på svenska studier om digitala lärresursers betydelse för kunskapsutveckling i matematik (Wallin, 2017). Det finns också forskning som visar ett eleverna engagemang och motivation ökar då digitala lärverktyg används. Resultatet av en experimentell studie av 405 elever i åldrarna 7-11 år indikerade att användandet av Ipads i matematikundervisningen ökade elevernas engagemang och bidrog till att eleverna behöll sin positiva inställning till matematik (Hilton, 2018). I en delstudie där undervisande lärare intervjuades framkom att lärarna upplevde att särskilt elever med behov av särskilt stöd gynnades av att Ipads användes i undervisningen (a.a). 13

14 Sammanfattning: Ett digitalt lärverktyg ger inte automatiskt ökad möjlighet till lärande och som stöd för att tänka kring digitala lärverktygs potential i matematikundervisningen kan de tre kategorierna ersättning, förstärkning och transformering användas (Trigueros et al. (2014). Fördelen med att använda en lärplatta är att den bjuder in till interaktion mellan användaren och datorprogrammet. Den öppnar också upp för mer sinnliga och konkreta sätt att uttrycka sig på vilket särskilt gynnar yngre barn/elevers möjligheter att uttrycka sig matematiskt (Sinclair & Heyd-Metzuyanim, 2014). Forskning om digitala lärresureser effekt på elevers lärande är än så länge begränsad men det finns studier som visar att digitala lärverktyg kan användas både som en förebyggande och kompenserande resurs. 2.2 ANS och subitisering Både djur och människor har en medfödd förmåga att uppfatta antal på ett ungefärligt sätt vilket utgör en grund för en intuitiv känsla för tal (Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011). Detta mentala system är ett system för approximativ representation och jämförelse av större mängder och det aktiveras när man uppfattar antal ungefärligt eller när man ska avgöra i vilken mängd det finns flest antal (a.a). I forskningslitteraturen omnämns denna förmåga som ANS Approximate Number System (ANS). Enligt Östergren (2013) utvecklas ANS -förmågan upp till 20-års ålder då det är möjligt att urskilja antal i förhållandet 7:8. Författaren menar att ANS kan ses som länken mellan ett biologiskt medfött system och ett exakt symbolsystem för tal. Det finns också studier som visar att förskolebarns ANS korrelerar med framtida skolprestationer i matematik (Mazzocco et al., 2011). Ett annat medfött system är subitisering som är ett system för precis representation av ett till tre objekt (Clements & Sarama, 2014). Detta system är en grund för att uppfatta och exakt bestämma ett mindre antal objekt utan att räkna dem (a.a). Forskningen skiljer på perceptuell och konceptuell subitisering. Förmågan att direkt och exakt uppfatta ett mindre antal om 1-3 föremål benämns perceptuell subitisering medan konceptuell subitisering handlar att om att kunna se och organisera antal. Ett exempel på konceptuell subitisering är att se två fyror i en dominoåtta och utifrån det direkt bestämma antalet åtta utan att räkna. Elevens förmåga att känna igen mönster för tal utan att räkna anses vara en viktig grund för elevernas matematiska utveckling och för att bygga upp kunskap om del-helhetsrelationer (Clements & Sarama, 2014). I en studie av Kroesbergen, Van Luit, Van Lieshout, Van Loosbroek, och Van de Rijt (2009) med 115 stycken fem-sjuåringar undersöktes i vilken grad olika kognitiva kompetenser 14

15 samverkar med elevers räkneförmåga. Utifrån studiens resultat slår forskarna fast att både exekutiva funktioner men också subitiseringsförmågan förklarade en betydande del av variationen i eleverna räkneförmåga. Sammanfattning: Enligt kognitiv forskning föds människan med två biologiska system för att kunna uppfatta och processa mängder, ANS och subitiseringsförmågan. I Fingu ges eleverna möjlighet att utveckla subitiseringsförmågan och att direkt uppfatta grupper av frukter istället för att räkna frukterna en och en. 2.3 Att utveckla taluppfattning Utifrån alla de vardagliga situationer som barn deltar i utvecklar de olika informella kunskaper i matematik. De uppfattar mängder, tal och siffror och de skaffar sig erfarenheter av hur tal används i olika vardagliga situationer. Många skapar sig utifrån dessa informella situationer en begynnande förståelse för antal och mängder men det finns också forskning som visar på motsatsen, det vill säga att barn inte spontant uppfattar antal i vardagliga situationer (Hannula & Lehtinen, 2005). I en longitudinell studie med 39 barn i åldern 3,5 år till 6 år undersöktes barnens grad av uppmärksamhet på antal i några olika situationer där de ombads att härma forskaren, som på olika sätt hanterade antal. Resultatet visade att det fanns stora skillnader mellan i vilken grad barnen spontant fokuserade och uppmärksammade antal (spontaneous focusing on numerocity eller SFON) i de olika aktiviteter som de involverades i. Respektive barns resultat på SFON-testet jämfördes senare med resultatet på ett matematiktest varav forskarna kunde konstatera att det fanns ett samband mellan barns spontana fokus på antal och deras räkneförmåga i åldrarna 3,5-6 år (Hannula & Lehtinen, 2005). I den engelskspråkiga forskningslitteraturen används ofta begreppet number sense när barns tidiga förståelse av tal och räkning beskrivs och diskuteras (Anghileri, 2006; Reys, 2006). Att number sense är en viktig grund för matematiskt kunnande tycks forskningen vara eniga om (Anghileri, 2006, Dowker, 2005 & Wright, Martland & Stafford, 2006). Reys (2006) menar att det är svårt att entydigt definiera begreppet men att det innefattar vissa kompetenser såsom att ha en förståelse för talbegrepp och beräkningar, att flexibelt och korrekt kunna använda lämpliga strategier vid beräkningar och att kunna uppfatta tal och siffrors användbarhet. Elever med number sense har en förmåga att tillfoga ny kunskap till befintlig och att göra generaliseringar utifrån de samband och mönster som de uppfattar vad gäller tal och relationer mellan tal (Anghileri, 2006). 15

16 Det finns studier som visar på sambandet mellan number sense i förskolan och senare räkneflyt i årskurs 2. I en longitudinell studie av Locuniak & Jordan (2008) undersöktes i vilken grad förskolebarnens kompetenser gällande number sense och förmågor som läsning, minne, verbal och spatiala förmågor korrelerade med räkneflyt (calculation fluency) i årskurs två. I number sense-testerna ingick uppgifter som prövade räkning (räkna vidare, räkna föremål, talidentifikation), tals relationer och att kunna beräkna muntligt presenterade additions- och subtraktionsuppgifter. Additions- och subtraktionsuppgifterna var av både numerisk- och problemlösningskaraktär. Resultatet visade att det fanns ett positivt samband mellan förskoleelevernas kompetenser både gällande generella förmågor men också number sense och räkneflyt i årskurs 2. Forskarna konstaterade också att sambandet var starkast vad gällde kompetensen att beräkna additions- och subtraktionsuppgifter där särskilt kompetensen att kunna talkombinationer var den starkaste förutseende faktorn för räkneflyt i årskurs 2 (a.a). Med stöd i neuropsykologisk forskning argumenterar Griffin (2007) för att matematisk kompetens har sin grund i tre världar, den verkliga konkreta, den språkliga och den symboliska världen. För att utveckla number sense behöver barn och elever få rika tillfällen att upptäcka och skapa begreppsmässiga samband mellan dessa tre världar. Elever med inlärningssvårigheter eller elever med begränsade matematiska vardagserfarenheter och begränsade erfarenheter av att räkna behöver extra mycket stöd med att skapa samband mellan dessa världar. Sammanfattning: De flesta barn utvecklar spontant en förståelse för tal och antal utifrån de konkreta vardagliga situationer de är engagerade i men det finns också barn som behöver extra stöd och utmaningar för att utveckla denna förståelse (Hannula & Lehtinen, 2005). I forskningslitteraturen benämns denna kompetens number sense vilket innefattas av att på ett flexibelt sätt kunna hantera tal och beräkningar och att uppfatta relationer mellan tal (Anghileri, 2006; Reys, 2006). I Fingu ges eleverna i första hand konkreta och sinnliga erfarenheter av antal. 2.4 Tals del-helhetsrelationer Tal används för att både bestämma ett exakt antal föremål i en mängd men också för att beskriva relationer mellan olika antal i mängder (Nunes & Bryant, 2007). För att kunna räkna behöver barn ges möjlighet att erfara tals båda ordinala och kardinala aspekt där ordinalitet handlar om sekvensräkning (1,2,3) och kardinalitet om antal (Nunes & Bryant, 2007). I formuleringen fem vita bilar används talet fem för att beskriva en exakt mängd medan talet fem i formuleringen fem fler vita än gula bilar beskriver en relation mellan antalet gula och vita 16

17 bilar. Kvantiteter ges ett numeriskt värde då de räknas men det är möjligt att resonera om kvantiteter utan att veta exakt antal (Nunes & Bryant, 2007). Flera forskare menar att kompetensen att kunna dela upp och sätta samman tal på olika sätt är ett kritiskt moment i barns tidiga aritmetiska utveckling (Anghileri, 2006; Neuman, 1987; Wright et al., 2006). Talet sex ska kunna uppfattas både som ett räkneord som beskriver antalet sex men också som talet före sju och talet efter fem eller som tre stycken tvåor och dubbelt så mycket som tre (Anghileri, 2006). Att arbeta med att kombinera tal och dela upp tal i delar så som att sex är fyra och två eller ett och fem, ger en viktig grund för att senare utveckla automatiserade talfakta (Wright et al., 2006). Också Sterner (2015) understryker vikten av att eleverna får en förståelse för att tal kan omgrupperas på olika sätt där kompetensen att kunna hantera tals helhet, delar och relationer utgör en viktig grund för att senare kunna använda olika räknestrategier (a.a). Det finns en risk att elever som inte automatiserat de första tio talens delar och helheter fastnar i att räkna ett och ett i taget genom att dubbelräkna, det vill säga att de samtidigt som de säger räkneorden håller ordning på hur många räkneord de har sagt (Bergius, 2011). Utifrån resultaten av en intervjustudie av 105 sjuåringar diskuterar Neuman (1987) vikten av att elever har kunskap om talens relationer i talområdet 1-10 för att kunna hantera och förstå de fyra räknesätten. Eleverna måste ha utvecklat sådana tankar om de tio talen att de direkt kan se kombinationerna 6/2/8 som 6+2=8, 2+6=8, 8-6=2, 8-2=6. Hon använder begreppet the ten basic concepts för att beskriva alla möjliga uppdelningar av talen 1-10 i två delar. Dessa 25 kombinationer benämner hon aritmetikens grundstenar och hon menar att denna kunskap är lika viktig som kunskap om bokstäver och ljud är för utveckling av läs- och skrivfärdigheter. Sammanfattning: Barn behöver erfara båda tals ordinala och kardinala aspekt där ordinalitet handlar om sekvensräkning (1,2,3) och kardinalitet om antal (Nunes & Bryant, 2007). I Fingu behöver spelaren kunna hantera både delar (3+3) och helheter (6). Spelaren måste med andra ord uppfatta att tal kan sättas samman och delas upp på olika sätt vilket enligt forskningen är en viktig grund i den tidiga aritmetiska utvecklingen (Anghileri, 2006; Neuman, 1987; Nunes & Bryant, 2007; Wright et al., 2006). 2.5 Fingertal och fingerräkning Neuman (1989) argumenterar för att elever med hjälp av sina fingrar kan utveckla kompetens i att uppfatta tal som visuella enheter. Hon menar att de med stöd av fingrarna kan uppfatta tal som abstrakta enheter istället för till konkreta objekt som måste räknas och hon drar paralleller 17

18 till det tidigaste romerska talsystemet där fingrar och händer avbildades som man såg dem. Räkneordet fyra symboliserades till exempel med fyra fingrar, nio med ena handen tillsammans med fyra fingrar och i symbolen fem (V) var det vänstra strecket en avbildning av de fyra fingrarna och högerstrecket motsvarade tummen (Neuman, 1989). Anghileri (2006) framhåller också betydelsen av att eleverna får bilda egna mentala representationer av beräkningar och procedurer innan de introduceras för symbolspråket, för att de ska ges möjlighet att utveckla självförtroende i sitt eget tänkande. Hon framhåller också att fingertalen hjälper till att skapa mentala representation av talbegreppen och att fingrarna kan ses som ett verktyg för att flexibelt kunna hantera tal och taluppdelning. Även Dowker (2005) framhäver fingrarnas potential för att skapa både visuella men också motoriska och taktila representationer av antal. Vidare skriver hon att det verkar finnas en nära koppling mellan den del av hjärnan som hanterar fingerrepresentationer och den del som processar antal. Det finns studier som visar att fingerräkning, till skillnad från att använda fingertalen som stödstrukturer, är en ineffektiv metod som ofta leder till att elever hamnar i matematiksvårigheter. I en studie av 30 elever i åk 1-6 elever som deltog i specialundervisning i matematik undersöktes elevernas beräkningsstrategier i enkla additions-och subtraktionsuppgifter. Elever i matematiksvårigheter använde sig inte av talens decimala strukturer vid beräkningar utan de använde uppåt- eller nedåträkning där fingrarna användes för att hålla reda på räkneorden. Elever utan svårigheter i matematik tycktes däremot direkt kunna se lösningen (Neuman, 1987). När eleverna hittade strukturen i fingertalen kunde de utan att räkna, direkt uppfatta de kombinationer där helheten var större än fem (a.a). Genom fingertalen blev talen synliga men även möjliga att känna och direkt uppfatta som stöd för att operera med tal både abstrakt och konkret. Vidare såg hon att för de nybörjare som lärt sig fingertalen och som uppfattat den halvdecimala strukturen i de tio bastalen inte behövde använda uppräkning utan de kunde lösa enkla aritmetikuppgifter (4+5, 2+_ = 9) genom att titta på sina fingrar De lärde sig att mentalt flytta fingrar från den ena handen till den andra vilket Neuman benämner att transformera fingertalen. Enligt Neuman (1987) förknippades inte heller subtraktion med bakåträkning för de elever som tog stöd av fingertalen utan de kunde enkelt uppfatta relationerna mellan talen. Butterworth och Yeo (2010) beskriver att elever i specifika räknesvårigheter, har ett entalseller enhetsbaserat talbegrepp, det vill säga att de uppfattar tal som bestående av klumpar av ental. Författarna beskriver att elever i räknesvårigheter har en tendens att bevara detta 18

19 entalbaserade talbegrepp och de använder fingrarna för att räkna ental. Den praktiska undervisningen måste därför enligt Butterworth & Yeo (2010) ha fokus på att organisera antal i tydliga strukturer och att se samband/relationer mellan tal. Sammanfattning: Flera forskare (Anghileri, 2006; Dowker, 2005; Neuman, 1987) betonar fingertalens potential för att skapa både visuella stödstrukturer men också motoriska och taktila representationer av antal och det finns forskning som visar att elever i matematiksvårigheter ofta använder fingrarna för att hålla reda på räkneorden vid uppåt-eller nedåträkning (Butterworth & Yeo, 2010: Neuman, 1987). I Fingu representera eleverna antal med sina fingrar och för att hinna slutföra uppgiften måste de snabbt, utan att räkna, översätta det visuellt uppfattade antalet frukter på skärmen till fingertal. Eftersom de inte hinner räkna frukterna en och en tvingas de till att på något sätt gruppera och strukturera fingrarna i olika antalsenheter. 2.6 Matematiksvårigheter och räknesvårigheter Eftersom det i olika forskningsstudier om elever i matematiksvårigheter redogörs för att det finns ett samband mellan barns tidiga matematikkunskaper och senare skolprestationer i matematik är det angeläget att identifiera gynnsamma insatser för elever som riskerar att hamna i matematiksvårigheter (Duncan et al., 2007; Geary, 2013). Enligt Geary (2013) finns det också forskning som visar på samband mellan matematikkunskaper och yrkesliv både vad gäller förutsättningar för framtida anställning men också lön vilket är särskilt oroväckande. I forskning om matematiksvårigheter finns olika förklaringsgrunder till att svårigheterna uppstår vilket enligt Lunde (2011) och Engström (2015) beror på att det är ett komplext fenomen. Matematiksvårigheter förklaras och definieras utifrån både medicinska och psykologiska/kognitiva aspekter men också utifrån sociologiska och didaktiska perspektiv (a.a). Lundberg och Sterner (2009) använder sig av de två begreppen matematiksvårigheter och räknesvårigheter när de pratar om elever som har svårt för att lära sig räkna. Matematiksvårigheter används för att beskriva att en elev har svårigheter att nå målen i kursplanen i matematik medan räknesvårigheter mer specifikt handlar om bristfällig taluppfattning, svårigheter med att lära sig talfakta och att utföra räkneoperationer. Denna specifika räknesvårighet eller matematiska inlärningssvårigheter, som internationellt också benämns dyskalkyli, handlar främst om svårigheter i att uppfatta och hantera antal (Lundberg & Sterner, 2009). Enligt Östergren (2013) är forskningen överens om att grundläggande antalsoch sifferuppfattning spelar en viktig roll i utvecklandet av matematisk kompetens i de tidiga 19

20 skolåren men att även andra mer generella förmågor så som arbetsminnet påverkar denna utveckling. I studier, där sammanlagt cirka 500 elever i åldrarna 6-13 deltog, undersökte Östergren (2013) om det främst var svagheter i antals-och sifferuppfattning eller i mer generella förmågor såsom arbetsminne som gjorde att eleverna hamnade i matematiksvårigheter. Den slutsats han kom fram till var att flera svagheter samtidigt kan ge upphov till matematiksvårigheter. Han är dock noga med att framhålla att ett gott arbetsminne kan kompensera för en svag sifferuppfattning och tvärtom. I en studie av Gray och Tall (1994) framkom att det fanns skillnader mellan lågpresterande elevers och högpresterande elevers aritmetiska tankemodeller. Forskarna lät intervjua 72 elever i åldrarna 7-12 år om hur de tänkte när de löste olika aritmetiska uppgifter och de kunde urskilja två olika tankemodeller som eleverna i studien använde sig av när de gjorde enkla aritmetiska beräkningar (a.a). Tankemodellerna var enligt forskarna av olika karaktär och kvalitet. Elever med en procedurell tankemodell (procedural thinking) var inriktade på själva räkneproceduren och de hanterade räkneorden som konkreta enheter. Det som utmärkte eleverna var att de fokuserade på räkneproceduren snarare än på sambandet mellan räkneord och antal. Den andra tankemodellen benämns av forskarna som proceptuellt tänkande (proceptual thinking). Elever med ett proceptuellt tänkande uppvisade till skillnad från elever med ett procedurellt tänkande en god talbegreppsförståelse och kompetens att hantera beräkningar flexibelt och säkert utifrån bland annat kända talfakta. Aunio & Räsänen (2016) menar att det är viktigt att undervisningen koncentreras mot de, i forskningen identifierade, kritiska aspekterna vad gäller att utveckla aritmetisk kompetens. Som ett led i detta har Aunio & Räsänen (2016) tagit fram en modell som visar på fyra kritiska faktorer eller områden för barns utveckling av matematisk kompetens i åldern 5 till 8 år. Modellen baseras på resultat av longitudinella studier där författarna urskilt de fyra aspekterna symbolisk och icke symbolisk taluppfattning, räknefärdigheter, grundläggande aritmetisk kompetens och matematiska relationer som grundläggande kompetenser för den fortsatta matematikutvecklingen. 20

21 Figur 1. Grundläggande kompetenser vad gäller att hantera tal och antal i åldrarna 5 8 år (Aunio & Räsänen, 2016 s. 699). Sammanfattning: Det finns olika förklaringsgrunder till att elever hamnar i matematiksvårigheter. Forskningen tycks dock vara överens om att en grundläggande antals- och sifferuppfattning är betydelsefull för utvecklandet av number sense och i förlängningen aritmetisk kompetens (Aunio & Räsänen, 2016; Lundberg & Sterner, 2009; Östergren, 2013). 21

22 3. Teoretiska utgångspunkter I kapitlet redogörs inledningsvis för studiens teoretiska utgångspunkter och därefter beskrivs de valda teorierna mer utförligt. 3.1 Teoretiska utgångspunkter I föreliggande studie riktas fokus både mot vilket lärande gällande kardinalitet som möjliggörs i spelaktiviteten men också mot vilket lärande av begreppet som eleverna utvecklar när de spelar Fingu. Variationsteorin har tillsammans med en matematisk kunskapsteori om hur barn och elever utvecklar kardinalitetsbegreppet använts som teoretiska utgångspunkter. Enligt Marton och Booth (2000) fokuserar variationsteorin på undervisningens innehåll men också på hur det som ska läras måste behandlas för att lärande ska uppstå vilket väl överensstämmer med studiens syfte. Inom teorin intresserar man sig för hur lärandeobjektet framställs och förstås och kunnande definieras därmed inte i termer av rätt eller fel (Holmqvist, 2006), vilket utgjorde en viktig grund för val av teori. Variationsteorin har sin upprinnelse i den fenomenografiska forskningstraditionen som enligt Kroksmark (2007) är en metodologisk ansats som används för att undersöka och beskriva hur människor uppfattar fenomen i en viss situation. I fenomenografiska studier fokuseras ett avgränsat innehåll där olika deltagares kvalitativt skilda uppfattningar av samma innehåll eller fenomen identifieras, beskrivs och klassificeras medan en variationsteoretisk studie även intresserar sig för vad som är möjligt att urskilja i en lärandesituation (a.a.) Den kunskapsteorin som används är Nunes och Bryants (2007) tolkning och vidareutveckling av Piagets teori The child s conception of number. Kunskapsteorin ger stöd för att detaljerat och matematiskt precist kunna besvara forskningsfrågan gällande elevernas lärande om talens kardinala aspekter. Hur tänkande utvecklas och hur människan förändrades genom erfarenheter och utmaningar var det som Piaget riktade fokus mot och som han studerade (Säljö, 2015). Den piagetanska individuella konstruktivism är en form av kognitivism då den antar att det yttre såsom beteenden och handlingar måste förklaras av det inre (psykiska handlingar) medan det i social konstruktivism är tvärtom (Marton & Booth, 2002). Inom variationsteorin överskrids dock denna dualism mellan människa och omvärlden och man utgår istället från antagandet om att det finns en värld som vi erfar och lever i och det är i denna värld fenomen erfars och uppfattas av olika individer vilket innebär att också erfarandet skiljer sig åt 22

23 (a.a). Att använda variationsteorin i kombination med ett konstruktivistiskt perspektiv kändes därför som en fullt möjlig utgångspunkt Variationsteori Fenomenografin utgör grunden för den variationsteoretiska utvecklingen där lärande beskrivs som en förändring i relationen mellan den lärande och fenomenet, det vill säga att den lärande förstår något på ett nytt eller annorlunda sätt (Marton & Booth, 2000). En sådan syn på lärande omfattar de båda lärandeperspektiven hur och vad som ska läras (a.a). Vad eleverna lär sig har enligt variationsteorin ett nära samband med hur de erfarit det tänkta innehållet eller lärandeobjektet då grundantagandet är att elever erfar samma lärandeobjekt på kvalitativt skilda sätt (Lo, 2014). Variationsteorin har som utgångspunkt att lärande alltid är riktat mot något specifikt fenomen, det vill säga att man inte kan lära något utan att något lärs, och för att kunna prata om lärande måste först vad som ska läras klargöras (Marton & Booth, 2000). Inom variationsteorin använder man de tre begreppen urskiljning, simultanitet och variation som stöd för att förklara lärandeprocessen (Holmqvist, 2004). Urskiljande handlar om att ändra perspektiv det vill säga att det som tidigare varit bakgrund framträder på ett tydligare sätt och hamnar i förgrunden vilket gör att uppmärksamheten kan skifta fokus. En annan central faktor är simultanitet som handlar om att den lärande samtidigt erfar ett fenomens alla samexisterande aspekter. Det sista begreppet variation stipulerar att det är först när något avviker eller skiljer sig från det normala eller vanliga som man har möjlighet att upptäcka det (a.a). Lärandeobjekt Detta vad benämns inom variationsteorin för lärandeobjektet (Marton, 2015) Enligt Pang (2003) uppstår lärande när den lärande urskiljer och medvetet fokuserar nya aspekter av lärandeobjektet. Att kunna något innebär därmed att samtidigt kunna både urskilja men också fokusera lärandeobjektets olika aspekter (a.a). Marton (2015) menar att det handlar om att den lärandes medvetenhet om fenomenet har förändrats och att den lärande uppfattar ett fenomen på ett kvalitativt annorlunda sätt än tidigare. Kritiska drag och kritiska aspekter Aspekter som den lärande ännu inte uppfattat benämns som kritiska aspekter och för att den lärande ska utvecklas är det nödvändigt att denna urskiljer dessa aspekter (Marton, 2015). Marton (2015) menar att vad som är kritiska aspekter för en individ vid inlärning är individuellt eftersom de kritiska aspekterna är beroende av både lärandeobjektet och av den lärande. 23

24 Enligt variationsteorin får olika begrepp sin innebörd främst genom skillnader och inte likheter (Lo, 2014). Ur ett variationsteoretiskt perspektiv är det därför nödvändigt med kontraster där främst skillnader och inte likheter fokuseras (Marton, 2015). Lo (2014) skiljer på kritiska drag och kritiska aspekter där kritiska aspekter syftar på en dimension av variation medan kritiska drag är ett värde i denna dimension av variation. Som exempel ger hon att ett kinesiskt tecken har tre aspekter: morfologiskt, fonologiskt och semantiskt där varje teckens specifika ljud, form och betydelse utgör de kritiska dragen. De kritiska dragen hos ett objekt kan lättare urskiljas om det kontrasteras mot ett annat objekt, det vill säga då lärandeobjektet kontrasteras mot andra icke-exempel vilket kan göras genom användandet av variationsmönster (Lo, 2014). Vidare framhåller hon att orsaken till att en elev inte lär sig det avsedda lärandemålet kan förklaras med att eleven missat några av de kritiska dragen hos lärandeobjektet och det är därför viktigt att läraren förstå vilka kritiska drag som bygger upp lärandeobjektet för att denna ska kunna iscensätta lärandesituationer. Variation och variationsmönster Lärandeobjektet måste behandlas på olika sätt så att lärande blir möjligt, det vill säga att innehållet varieras så att skillnader kan uppfattas och erfaras (Marton, 2015). Då variationsteorin utgår från att lärande är beroende av att det sker någon slags variation i de strukturer eller mönster som den lärande möter påverkas lärandets utfall av lärarens förmåga att skapa denna variation (Holmqvist, 2004). Ett av antagandena är att lärandet förutsätter en upplevd erfaren variation av fenomenets olika natur för att den lärande ska kunna uppfatta dess innebörd "learners can only discern a particular aspect when they experience variation in that aspect (Pang, 2003 s. 145). Vad som är möjligt att lära är avhängigt av hur lärandeobjektet hanteras utifrån vilka aspekter som fokuseras men också vilka aspekter som varieras och vilka som hålls konstanta (Marton, 2015). För att möjliggöra lärande kan dessa kritiska aspekter av lärandeobjektet synliggöras genom användandet av ett variationsmönster (a.a). Om eleverna lär sig det som läraren förväntar sig beror på om variationsmönstret kan erfaras och urskiljas av eleverna (Lo, 2014). Författaren är dock noga med att understryka att vi bara kan rikta vår uppmärksamhet mot ett par aspekter av lärandeobjekt åt gången, där vissa aspekter hamnar i förgrunden och andra i bakgrunden. Marton & Tsui (2004) beskriver vilket lärande som görs möjligt av lärandeobjektet med fyra olika mönster av variation genom begreppen: kontrast, generalisering, separation och fusion. 24

25 Kontrast Ett grundläggande kännetecken för variationsteorin är den bygger på kontraster (Marton, 2015). Om endast en kritisk aspekt varieras medan övriga hålls konstanta är det lättare att urskilja den kritiska aspekt som varieras med hjälp av kontrastering. För att förstå tre (antal) behöver den lärande också erfara vad som inte är tre genom att kontrastera tre mot två (antal) och fyra (Marton & Tsui, 2004). Genom att kontrastera ett objekt, till exempel trianglar mot objekt som inte är trianglar (fyrhörning, femhörning etcetera) kan till exempel den kritiska aspekten sida separeras (Lo, 2014). Generalisering Generalisering kan beskrivas som förmågan att kunna urskilja ett lärandeobjektets kritiska aspekter från icke kritiska aspekter. A certain value X1 in one of the dimensions of variation X cannot be discerned from other values in other dimensions of the variation unless X1 remains invariant while the other dimensions vary (Marton & Pang, 2006, s ). För att full ut förstå talbegreppet tre måste den lärande erfara olika treheter såsom tre äppel, tre åsnor, tre böcker men den lärande måste också kunna urskilja treheten från andra irrelevanta aspekter såsom färg eller objekt (Marton & Pang, 2006). Separation Om två aspekter varierar samtidigt kan dessa aspekter inte urskiljas. In order to experience a certain aspect of something and in order to separate this aspect from other aspects, it must vary while other aspects remain invariant (Marton & Tsui, 2004). Fusion Ett variationsmönster som inbegriper samtidig variation av två eller flera aspekter möjliggör fusion (Lo, 2014). Fusion innebär att kunna se samtliga kritiska aspekter i förhållande till varandra och till helheten (a.a) Kunskapsteori om kardinalitetsbegreppets utveckling Kunskapsteorin använts är Nunes och Bryants (2007) tolkning och vidareutveckling av Piagets teori The child s conception of number. Enligt Eriksson (2001) är Piagets bidrag till det utvecklingspsykologiska perspektivet att han påvisade barnets succesiva begreppsutveckling av det abstrakta talbegreppet. Piaget var konstruktivist och enligt honom konstruerar individen kunskap genom sina handlingar och genom att samspela med omgivningen (Marton & Boot, 2000). I denna process utvecklas gradvis mer avancerad kunskap genom att individen ändrar sitt sätt att tänka (ackommodation) eller integrerar (assimilation) intryck och erfarenheter till redan utvecklade kognitiva strukturer eller scheman (Säljö, 20I5). Processen drivs av att barnet 25

26 själv, genom experiment och upptäckter, finner obalansen i sin begreppsvärld (a.a). I den piagetanska traditionen används begreppet kognitiv konflikt för att beskriva vikten av att barn ställs inför utmanande situationer som tvingar fram nya tankemönster eller scheman som i sin tur leder till att barnet förändrar sitt sätt att tänka och förstå ett fenomen. Nunes & Bryants (2007) skriver att begreppet kardinalitet har getts lite olika innebörder i olika teorier om talbegreppets utveckling. I Piagets teori betonas att barn visar förståelse för kardinalitetsbegreppet först när de kan resonera om antal medan Gelman s nativistiska teori framhåller att barn föds med en genuin förståelse av tal som gör att de uppfattar talens underliggande strukturer när de räknar (uppåt-eller nedåträkning). Enligt Gelman och Gallistel (1978) behärskar och visar ett barn förståelse för ett barn kardinalitetsbegreppet när det med hjälp av uppräkning kan bestämma antalet i en mängd genom att betona det sist sagda räkneordet (ett, två, tre, FYRA) eller kommenterar att det finns fyra. Nunes och Bryant (2007) ställer sig dock inte bakom Gelman och Gallistels definition av kardinalitetsbegreppet utan de argumenterar istället, med stöd i Piaget s teori, för att kardinalitetsbegreppet innebär förståelse av relationer mellan antal och en kompetens att kunna göra kopplingar mellan tal och mängder. Nunes & Bryants (2007) diskuterar begreppen tal och mängder och de understryker att detta inte är samma sak. Tal (numbers) används för att beskriva ett exakt värde på en mängd (quantities) och för att avgöra relationen mellan två mängder. En mängd ges ett exakt värde först när den räknas men det går att resonera om och jämföra olika mängder utan att veta det exakta värdet av dessa. Vidare framhåller de att barn kan utveckla kunnande om antal och relationer mellan antal utan att kunna räkna. På motsvarande sätt kan de använda sig av räkning utan att förstå antal och relationer mellan antal. En av de idéer som Nunes & Bryant (2007), i likhet med Piaget, menar är kritiskt i barns kardinalitetsutveckling är ekvivalens (equivalence). Ekvivalens innebär en förståelse av att två uppsättningar objekt har samma kardinala värde när objekten i en uppsättning är i en-till-enkorrespondens med objekten i den andra uppsättningen. Ett barn måste med andra ord förstå att vilken uppsättning som helst med sex föremål innehåller lika många föremål som en annan uppsättning med sex föremål. En annan viktig idé handlar om att uppfatta att talen i talsekvensen är ordnade (order) där nästa tal i talsekvensen är ett mer än föregående tal (a.a). En tredje idé är antagandet om att del-helhetsaspekten är en viktig grund för att förstå tal och antal och författarna använder sig av Piagets begrepp the additive composition of number (tals del-helhetsrelationer) som innebär att vilket tal som kan uppfattas som summan av två andra 26

27 tal (Nunes & Bryant, 2007). Författarna understryker att denna förståelse av tals delhelhetsrelationer utgör själva kärnan för att kunna hantera och resonera om addition och subtraktion. För att kunna utveckla kunskap om tals del-helhetsrelationer kan barnet inte enbart tänka på tal som räkneord i en ramsa utan de måste också kunna uppfatta relationer mellan tal och det måste kunna resonera om mängder och antal för att kunna förstå tal och talsystemets uppbyggnad. För att fullt ut kunna förstå talbegreppet fem måste det också veta att antalet fem kan delas upp i mindre delar såsom 2 och 3. För att kunna dela upp och sätta samman tal flexibelt måste barnet utveckla en förmåga att erfara varje tal både som en summa av mindre tal eller som en del av ett större tal. Talet 4 behöver till exempel kunna uppfattas både som summan av 3 och 1 och som 2 och 2 men också som en mindre del av talet 7 där den andra delen är 3 (Nunes & Bryant, 2007) Subitiseringsförmåga Antagandet om att subitiseringsförmågan utgör en viktig grund för att utveckla kardinalitetsbegreppet har gjorts utifrån Clements och Saramas (2014) forskningssammanställning av kritiska aspekter av yngre barns lärande i matematik. Förmågan att direkt kunna identifiera antal igenom att mentalt kunna strukturera objekt i mindre grupperingar är enligt Clements och Sarama (2014) one of the main abilities very young children should develop (s. 9). Perceptuell subitisering (direkt igenkänning av antal om ett till tre) och konceptuell subitisering (att gruppera antal för snabbare igenkänning) är viktiga grunder föra utvecklandet av number sense och grundläggande aritmetisk kompetens. Subitiseringsförmågan är en kompetens som redan det lilla barnet börjar utveckla tidigt i situationer där antal, hur många, fler och färre fokuseras. Clements och Sarama (2014). beskriver progressionen som att den grundläggande förmågan att känna igen antal om ett till tre föremål (perceptuell subitisering) övergår till att mentalt kunna strukturera antal i mönster och grupperingar (konceptuell subitisering). 27

28 4. Metod I kapitlet redogörs för val av metod och tillvägagångssätt, följt av urval och en redogörelse för hur datamaterialet bearbetades och analyserades. Kapitlet avslutas med en diskussion av studiens reliabilitet och validitet samt en avslutande redogörelse för hur de etiska aspekterna beaktats. 4.1 Val av metod För att söka svar både på vilket lärande som möjliggörs och vilket lärande som uppstår gällande kardinalitetsbegreppet användes både kvalitativa och kvantitativa datainsamlings- och analysmetoder där de kvalitativa observationerna av videoinspelningarna var centrala. Videoinspelning används relativt frekvent inom matematikdidaktisk forskning och det är en metod som bidrar till att ge detaljerade beskrivningar av lärares och eller elevers agerande i en matematisk kontext då ljud- och videoinspelningar fångar upp både verbal och visuell interaktion (Powell, Francisco & Maher, 2003). En stor fördel med ljud- och videoinspelningar är enligt författarna att detaljerade analyser kan möjliggöras då forskaren kan titta på inspelningarna upprepade gånger och med olika fokus. En begränsning med metoden är enligt Björndal (2005) att den som sköter inspelningen påverkar vilka scener som registreras och därmed vad som hamnar i för-eller bakgrunden vilket gör att materialet inte kan tolkas som en objektiv bild av verkligheten. För att kunna hantera videoinspelningarna användes ett observationsprotokoll vilket bland annat Björndal (2005) hävdar är viktigt i analysarbetet. Också Powell, Francisco & Maher (2003) framhåller kodningsprocessen som central vad gäller att analysera videoinspelningar då den hjälper till att identifiera teman som stödjer forskaren att tolka datamaterialet. Dataunderlaget till studien bestod också av testresultat som kvantifierats i antal förbättrade uppgifter men också av testresultat som analyserades kvalitativt. Björndal (2005) redogör för några olikheter mellan kvantitativ och kvalitativ metod genom att använda det värderande ögat som metafor. I den kvantitativa metoden letar ögat efter precision, antal, variabler och det som är representativt. Forskaren är åskådaren som har distans till undersökningspersonen (a.a). I den kvalitativa metoden letar det värderande ögat efter det speciella och avvikande med fokus på att beskriva och förstå fenomen. Forskaren har här ett mer nära förhållande till undersökningspersonen och försöker ta undersökningspersonens perspektiv (Björndal, 2005). För att undersöka fenomenet kardinalitet ur olika perspektiv användes båda ansatserna vilket ligger i linje med Rossman och Rallis (2012) resonemang om att en kombination av olika 28

29 metoder ger en bättre grund för att undersöka det valda fenomenet och öka studiens trovärdighet. Bryman (2013) poängterar dock att skillnaden mellan metoderna inte enbart kan förstås som att antal beaktas i en kvantitativ metod och ord i en kvalitativ metod utan han skiljer forskningsstrategier åt genom att också beskriva skillnader utifrån olika kunskapsteoretiska (epistemologiska) och ontologiska ståndpunkter. Ontologi är den mest övergripande nivån för att beskriva hur vi uppfattar tillvaron och med begreppet menas vilken världsbild och vilken uppfattning vi har om vad som finns (Åberg, 2001). Kunskapsteori eller epistemologi behandlar frågor om kunskapens natur, möjlighet ursprung och giltighet (a.a). I en kvantitativ metod grundas den ontologiska uppfattningen i objektivism, det vill säga att sociala företeelser och kategoriseringar existerar oberoende av aktörer, medan den kvalitativa har sin grund i konstruktionism som betonar att företeelser och kategorier skapas via sociala samspel (Bryman, 2013). Vad gäller synen på kunskap grundas den kvantitativa metoden i uppfattningen att det finns en yttre verklighet som kan beskrivas objektivt medan den kvalitativa metoden grundas i en syn som bygger på förståelse och subjektiv tolkning. 4.2 Forskningsdesign I studien undersöktes, utifrån sex fallstudier, elevers olika sätt att erfara lärandeobjektet kardinalitet. Fallstudie valdes som tillvägagångssätt där studien i sin helhet omfattar samtliga elever men där varje enskild elevs utveckling beskrivs. Enligt Merriam (1994) läggs vikten i en fallstudie på processen snarare än resultatet och metoden väljs i syfte att skaffa sig djupgående insikter om en viss situation eller ett visst fenomen. Hon skriver att analysen av datamaterialet inbegriper granskning, kategorisering sammanställning och olika kombinationer av både kvalitativa och kvantitativa belägg och hon konstaterar att slutprodukten i en fallstudie utgörs av de data som samlats in och av de analyser som gjorts. Vidare framhåller Merriam (1994) att eftersom metoden är förankrad i autentiska situationer kan den ge rika beskrivningar av företeelser vilket gör metoden särskilt lämplig att använda för att studera pedagogiska innovationer i syfte att utveckla förståelse, som i sin tur kan vara en grund för att förbättra praktiken. 4.3 Urval I studien ingår 33 stycken femåringar. Antal förbättrade uppgifter på TEMA-3:s uppgifter som behandlade kardinalitetsbegreppet användes som urvalskriterium till fallstudierna med syftet att elevers skilda sätt att erfara och förstå kardinalitetsbegreppet skulle komma att bli 29

30 representerade i studien. Av de totalt 35 femåringarna i CoDAC-projektet saknas resultat på eftertesterna för två av eleverna och dessa ingår därmed inte i studien. Den urvalsstrategi som användes till fallstudierna var ändamålsenlig vilket av Patton i Merriam (1994) definieras som att urvalet sker på ett sätt som gör att man lär sig så mycket som möjligt av det man önskar upptäcka eller få kunskap om. Urvalet av informanter till fallstudierna gjordes även på grundval av att det fanns tre kompletta videoinspelningar och ett naturligt bortval skedde i de fall någon av dessa saknades. 4.4 Genomförande och analys En beskrivning av hur datamaterialet bearbetades och analyserades presenteras under respektive källa Videoinspelning Ett inledande analysarbete påbörjades när jag för att lära känna materialet tittade igenom samtliga videoinspelningar. I nästa steg skapades ett observationsprotokoll för att organisera strukturera materialet. Varje spelad uppgift kodades utifrån rubriceringarna: uppgift (mönstergestaltning/kombinationer), fingersättning och transformering och sammanställdes i ett observationsprotokoll. Transformering betyder i detta sammanhang en kompetens i att dela upp tal på ett alternativt sätt, det vill säga att antalet 6 visas som 3+3 och 2+3 visas som helheten 6=3+3 och 2+3=5. I observationsprotokollet gjordes också noteringar om eleverna pekräknade eller ramsräknade frukterna. Filmsekvenserna spelades upp flera gånger. Vid första tillfället antecknades uppgiften och vid andra tillfället elevens fingersättningar. I de fall osäkerhet uppstod om antingen uppgiften eller fingersättningen spelades filmerna upp igen. I nästa steg markerades korrekta lösningar (lika många frukter som fingrar) med grön färg och felaktiga med röd färg. I de fall eleverna transformerade antal noterades detta (6=3+3, 2+3=5) och färgmarkerades med gult. Ett additionstecknen användes för att tydliggöra huruvida uppgiften var en gestaltning eller en kombination av gestaltningar. Noteringen 1+1 betydde således att två olika frukter exponerades på skärmen medan 5 indikerade att det var en gestaltning. Den första bokstaven i det engelska namnet användes för att särskilja långfinger från lillfinger vilket ledde till att förkortningarna m (middlefinger) och p (pinkyfinger) användes. Tre filmsekvenser om cirka 3-5 minuter per elev analyserades vilket resulterade i minuters sammanlagd inspelningstid. 30

31 Variationsteoretiska begrepp har använts som analysverktyg för att undersöka vilket lärande gällande kardinalitetsbegreppet som möjliggörs i Fingu. I resultatdelen beskrivs vilka variationsmönster som iscensätts i Fingu och vad eleverna därmed ges möjlighet att erfara. I analysen av videoinspelningarna fokuserades på vilka aspekter av fenomenet som blev möjliga för eleverna att erfara, det vill säga vilka egenskaper eller kritiska drag hos fenomenet som framträdde för eleverna (Holmqvist, 2006). För att söka svar på vilket lärande gällande tals kardinala aspekt som eleverna faktiskt utvecklade analyserades, med stöd i kunskapsteorier om kardinalitetsbegreppets utveckling, respektive elevs kvalitativt förändrade sätt att hantera och representera antal med sina fingrar vilket ur ett variationsteoretiskt perspektiv tolkas som att lärande skett (Marton, 2015). I analysarbetet utgick jag från de kritiska drag av lärandeobjektet som identifierades i inspelningarna TEMA-3 Inledningsvis analyserades, de av femåringarna besvarade, TEMA-3-uppgifterna utifrån dess matematiska innehåll (bilaga 1). Fyra av uppgifterna urskildes behandla tals kardinala aspekter och det var därmed dessa som användes som urvalskriterium till fallstudierna De uppgifter som eleverna förbättrade sig på, det vill säga uppgifter som eleverna inte klarade på förtestet men som de klarade på eftertestet, markerades med ett x i en tabell som därefter sammanställdes utifrån antal förbättrade uppgifter Del-helhetstest Del-helhetstestet prövar elevernas förståelse av att tal kan sättas samman och delas upp på olika sätt, till exempel ombeds eleverna visa antalet fem med två händer och antalet åtta på mer än ett sätt. Elevernas svar på för- och eftertesterna sammanställdes i en tabell och därefter noterades kvalitativa förändringar i elevernas sätt att visa kunnande om tals delhelhetsrelationer. 4.5 Reliabilitet och validitet Forskaren måste ge en noggrann och transparent beskrivning av forskningsprocessen men också kritiskt granska metodologiska val, val av respondenter och hur datamaterialet tagits om hand för att resultatet ska bli trovärdigt och tillförlitligt (Trost, 2010). I följande avsnitt 31

32 redogörs för studiens tillförlitlighet och trovärdighet utifrån begreppen reliabilitet och validitet Reliabilitet Med reliabilitet menas i vilken grad ett tillvägagångssätt kan ge liknande resultat vid olika tillfällen eller under liknande förhållanden (Bell, 2006). För att studien ska kunna upprepas och ge överensstämmande resultats reliabilitet har val av metod och analysprocessen redogjorts detaljerat för. Testuppgifterna som användes i studien, TEMA-3 testet och delhelhetstestet, finns bifogade med tydliga instruktioner till testledaren vilket borgar för att liknande resultatet skulle kunna fås om en liknande studie genomförs Validitet Validitet är ett mått på om en frågeställning faktiskt mäter eller beskriver det som avses (Bell, 2006). För att säkerställa studiens validitet användes både en kvantitativ och kvalitativ metod för att undersöka studiens frågeställningar. Triangulering, att använda olika källor och olika metoder, används just för att säkra studiens trovärdighet och att man faktiskt mäter det man avser att mäta (Rossman & Rallis, 2012). I studien följdes elevernas utveckling över tid och Rossman och Rallis (2012) menar att mätning av samma fenomen vid olika tidpunkter ökar trovärdigheten för studiens resultat. En annan faktor som möjligen bidrog till studiens validitet var att femåringarna inte regelbundet deltagit i formell matematikundervisning och att resultatet därmed i hög grad möjligen kan förklaras av interventionen 4.6 Etiska aspekter I följande text redogörs för på vilket sätt både CoDAC och denna studie har genomförts med hänsyn till Vetenskapsrådets fyra etiska principer gällande informations-, samtyckes-, konfidentialitets- och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2017). Informationskravet innebär att forskaren ska informera berörda personer om forskningens syfte samt vilka villkor som gäller för deras deltagande. Inom ramen för CoDAC beaktades informationskravet genom att föräldrarna via förskolan fick en skriftlig förfrågan om deltagande i forskningsprojektet. I brevet informerades också föräldrarna om projektets syfte och upplägg. Jag har granskat brevet i förhållande till informationskravet och funnit det etiskt riktigt. Däremot kan jag inte med säkerhet veta att brevet i samtliga fall hanterats på ett korrekt sätt men jag tänker att föräldrar haft möjlighet att ställa frågor om projektet till personalen. 32

33 I samma brev, i ett bifogat formulär, gav vårdnadshavarna genom sin underskrift godkännande till sitt barns deltagande i studien vilket är i enlighet med samtyckeskravet. Vidare fick de information om att de närhelst de önskade kunde meddela att deras barn inte längre fick delta i studien. I brevet som skickades hem till föräldrarna ombads föräldrarna också ta ställning till om inspelningarna, förutom i forskningssyfte, även får användas i får användas inom lärarutbildningarna på Göteborgs universitet och på Högskola Kristianstad. Att förskolepersonalen både lämnade ut och samlade in dokumentet menar jag borgar för att bara de elever som getts tillstånd faktiskt deltog i projektet, men eftersom jag inte har full insyn eller kontroll över hur dokumenten kontrollerades finns möjligen en risk för att dokumentet inte var fullständigt ifyllt. Konfidentialitetskravet handlar om att avidentifiera eleverna och i forskningsprojektet användes koder om åtta siffror där siffrornas olika positioner gav information om test, ålder, ort, skola/förskola och individ. I informationsbrevet informerades också om att inga personuppgifter sparas efter att datainsamlingen avslutats. Ytterligare åtgärder som vidtogs i forskningsprojektet för att säkerställa informanternas anonymitet var att skärmen zoomades in vid videoinspelningen så att eleverna inte skulle synas i helbild. I syfte att säkra eleverna anonymitet har jag valt att endast använt mig av de fyra sista siffrorna i elevernas identifikationskod. I enlighet med nyttjandekravet gäller att insamlade uppgifter om enskilda personer endast får användas för forskningsändamål och inte för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapliga syften. Studien är skriven inom ramen för Masterprogrammet inriktning specialpedagogik och den kommer endast att publiceras på Malmö universitets databas. 33

34 5. Resultat och analys Studiens resultat och resultatanalys presenteras utifrån studiens båda frågeställningar: Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter möjliggörs i Fingu? Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter utvecklar femåringar när de spelar Fingu 5. 1 Lärande som möjliggörs i Fingu Ett av variationsteorins antagande är att lärande förutsätter en variation av fenomenets olika natur för att lärande ska möjliggöras (Pang, 2003). De variationsmönster som finns inbyggda i spelet byggs upp av olika gestaltningar och kombinationer av dessa gestaltningar (figur 2). Figur 2. Mönstergestaltningar som används i Fingu för att representera antalen 1-10 (Holgersson et al. 2016). De aspekter av kardinalitetsbegreppet som identifierades i videoinspelningarna och som eleverna gavs möjlighet att erfara i spelet kategoriserades i de tre aspekterna: ekvivalens, delhelhetsbegreppet och subitisering Ekvivalens En aspekt av kardinalitetsbegreppet som eleverna ges möjlighet att utveckla är ekvivalens, det vill säga att ha förståelse för att en uppsättning objekt har samman värde som en annan uppsättning objekt med lika många föremål. De kritiska drag som identifierades kopplat till ekvivalens var dels en förståelse för att antal är detsamma oavsett objekt, det vill säga att antalet fem är detsamma även om objekten eller färgerna på objekten skiljer sig åt, men också att det inte spelar någon roll hur objekten är ordnade. I spelet kontrasteras olika antal mot varandra då olika antal frukter visas på skärmen. Dessutom visas antal mellan tre till nio som olika gestaltningar med ett konstant antal vilket kräver en förmåga att kunna urskilja antal oavsett gestaltning. 34