Finita elementmetoder för multiskal- och multifysikproblem

Transkript

1 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. /33 Finita elementmetoder för multiskal- och multifysikproblem Axel Målqvist axel.malqvist@it.uu.se Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet

2 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 2/33 Vad är ett multiskal/multifysik problem? Flöde i porösa medier: Oljereservoarsimulering. Mikroelektromekaniska system: Elektronmikroskåp.

3 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 3/33 Översikt Modellproblem, svag form Finita elementmetoden Feluppskattningar, konvergens, adaptivitet Multifysikproblem: Joule heating Multiskalproblem: Oljereservoarsimulering Sammanfattning

4 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 4/33 Modellproblem Poisson s ekvation. Låt Ω R d vara ett beräkningsområde med rand Ω, och låt < α a β vara begränsad och f L 2 (Ω). Vi söker u som löser a u = f i Ω, u = på Ω. Svag form. Efter multiplikation med en testfunktion v V = {v L 2 (Ω) : v L 2 (Ω) d och tr(v) = }, integration Ω och Green s formel får vi: Hitta u V sådant att (a u, v) = a u v dx = fv dx = (f,v) för alla v V. Ω Existens och entydighet ges av Lax-Milgrams sats, dessutom u L2 (Ω) + u L2 (Ω) C. Högre regularitet mer antaganden. L 2 (Ω) = {v : Ω v2 dx < } och v L2 (Ω) = ( Ω v2 dx ) /2 Ω

5 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 5/33 Finita elementapproximation av den svaga lösningen Dela in Ω (eller en approximation av Ω) i element T = {τ}, tex simplexer Ω = τ. Konstruera ett rum att styckvisa polynom V h = {v C(Ω) : v τ polynom} sådant att V h V (diskontinuerliga element kan även används). Hitta u h V h sådant att (a u h, v) = (f,v) för alla v V h.

6 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 6/33 Linjärt ekvationssystem Vi låter {φ i } n i= vara bas för V h sådan att φ i (x j ) = δ ij. Givet A ij = (a φ i, φ j ) b j = (f,φ j ) har vi A u h = b där u h = n i= ui h φ i. A är symmetrisk och positivt definit vilket ger existens av lösning. Systemet löses tex med algebraisk multigrid.

7 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 7/33 A priori feluppskattning Vi har V h V och (a u, v) = (f,v), för alla v V (a u h, v) = (f,v), för alla v V h alltså, (a (u u h ), v) = för alla v V h. a (u u h ) 2 L 2 (Ω) = (a (u u h), (u u h )) = (a (u u h ), (u v)) a (u u h ) L2 (Ω) a (u v) L2 (Ω) Interpolationsuppskattning ger för h τ = diam(τ) och α p a (u u h ) L2 (Ω) = min v V h a (u v) L2 (Ω) a (u πu) L2 (Ω) C τ T h α τ D α+ u L2 (τ)

8 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 8/33 A posteriori feluppskattning och adaptivitet Feluppskattning i termer av den beräknade lösningen: a (u u h ) 2 L 2 (Ω) C τ T ( ) h 2 τ f+ a u h 2 L 2 (τ) +h τ 2 [n a u h] 2 L 2 ( τ) =: C τ T ρ τ (u h ) 2 Adaptivitet. Skapa en diskretisering T av Ω. Konstruera finita elementrummet V h. Beräkna u h. Beräkna elementindikatorerna ρ τ (u h ). Förfina de element med stor felindikator, gå till andra steget eller stanna, om felet är nog litet.

9 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 9/33 Numeriskt exempel Låt Ω R 2 vara ett L-format område och a = f =, u = i Ω, u = på Ω. 2 Antal noder Inåtgående hörn sänker regulariteten. Vi använder linjära kontinuerliga basfunktioner p =. Vi låter h =.8 och använder den adaptiva algoritmen med 2% förfining i varje iteration (totalt 3 iterationer).

10 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. /33 Adaptivitet 2 Antal noder Antal noder Antal noder 38 2 Antal noder

11 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. /33 Adaptivitet Felet i energinorm (u u h ) L2 (Ω) vid adaptiv (röd) och uniform (blå) nätförfining. Fel i energinorm Antal noder Optimal ordning (p = ) återfås.

12 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 2/33 Sammanfattning så här långt. Existens och regularitet 2. Geometri och diskretisering 3. Finita elementmetoden och lösare 4. A priori feluppskattning och konvergens 5. A posteriori feluppskattning och adaptivitet Fix och Strang, An analysis of the finite element method, 973. Babu ska och Reinboldt, Error estimates for adaptive finite element computations, 978. Verfürth, A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh refinement techniques, 996.

13 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 3/33 Multifysik: mikroelektromekaniska system Joule heating problemet. { (σ(u) φ) = f, i Ω, u = på Ω u = σ(u) φ 2 i Ω, φ = på Ω Där φ är elektrisk potential, u är temperatur, < α σ( ) β är dielektrisitetskoefficient och f γ är laddningstäthet.

14 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 4/33 Vilka utmaningar finns i detta problem? Komplikationer: 3D och ej trivial geometri. Icke-linjärt problem. System av två partiella differentialekvationer. Potentiell låg regularitet i högerledet σ(u) φ 2.. Existens och regularitet 2. Geometri och diskretisering 3. Finita elementmetoden och lösare 4. A priori feluppskattning och konvergens 5. A posteriori feluppskattning och adaptivitet

15 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 5/33 Existens och regularitet Svag form. Finn φ,u V ={v L 2 (Ω) : v L 2 (Ω) d, tr(v) = } (σ(u) φ, v) = (f,v) ( u, w) = (σ(u) φ 2,w), v,w V. Existens. Låt T(x),φ x V uppfylla (σ(x) φ x, v) = (f,v) ( T(x), w) = (σ(x) φ x 2,w), v,w V. Lax-Milgram ger T(x) L2 (Ω) + T(x) L2 (Ω) C oberoende av x, om φ x C för alla x, men det gäller ty f γ. Man kan sen visa att T är kontinuerlig, T(x n ) T(x) då x n x. Eftersom V är kompakt inbäddad i L 2 (Ω) ger Schauder s fixpunktsats existens av fixpunkt x = T(x). Men x = T(x) medför u = x V och φ = φ x V svag lösning. Entydlighet ges dock ej av detta resultat.

16 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 6/33 Diskretisering och FEM Låt V h V vara rummet av kontinuerliga styckvis linjära basfunktioner. Hitta φ h,u h V h sådana att { (σ(u h ) φ h, v) = (f,v) ( u h, w) = (fφ h,w) (φ h σ(u h ) φ h, w) v,w V h. Existens av diskret lösning fås genom Brouwer om vi omformulerar högerledet med produktregeln: (σ(u) φ 2,w) = ( (φσ(u) φ) φ σ(u) φ,w) = (φσ(u) φ, w) + (fφ,w). garanterar φ h är begränsad oberoende av h (krav på nät).

17 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 7/33 Numeriskt exempel GS iteration. Givet u h hitta φi h,ui h V h sådan att { (σ(u i h ) φi h, v) = (f,v) ( u i h, w) = (fφi h,w) (φi h σ(ui h ) φi h, w), v,w V h. ( Exempel. Låt f = xyze σ(u) = ( π π 2 + arctan(u+.5.5 )). (x.5) 2 +(y.5) 2 +(z.5) 2 ) och Bilden visar φ h och u h, delkuber i enhetskuben.

18 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 8/33 Numeriskt exempel, konvergens/felanalys Plot av relativt fel (mot ref lösning med element) i energinorm ( ) Energinormsfel i potentialen Energinormsfel i temperaturen 2 2 Teoretiska resultat för felet: h 2 2. Konvergens av fem lösningen φ h,u h φ,u i V visad. 2. A posteriori uppskattning endast för "snälla" σ (pågående forskning). h

19 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 9/33 MEMS tillämpningen Låt σ(u) = ( π π 2 + arctan(u.25 (σ(u) φ) =, i Ω u = σ(u) φ 2, i Ω.5 )) φ = på Ω D + φ = på Ω D n φ = annars u = på Ω D + u = på Ω D n u = annars Holst et. al. Convergence analysis of finite element approximations of the Joule heating problem in 3D, BIT 2.

20 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 2/33 Multiskal: oljereservoarsimulering Vi söker vattenkoncentration s tryck u och hastighetsfält σ σ aλ(s) u = σ = q ṡ + σ f(s) = där a är permeabilitet (bilden), λ(s) = λ v (s) + λ o (s) total mobilitet (tex λ w = s 2 /µ w och λ o = ( s) 2 /µ o, där µ är viskositet), q källterm och f(s) = λ v (s) λ v (s)+λ o (s). IMPES (IMplicit Pressure, Explicit Saturation): Givet s σ n aλ(s n ) u n = σ n = q s n + σ n f(s n ) =.

21 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 2/33 Vilka är utmaningarna i tryckekvationen? Vi har σ n aλ(s n ) u n = σ n = q. Likt modellproblemet (aλ(s n ) u n ) = q men: a har finskalestruktur som är svår att lösa upp stort linjärt ekvationssystem måste lösas i varje tidssteg λ(s(x)) ändras i varje tidssteg (vid vattenfronten).. Existens och regularitet (följer direkt, för syst. Schauder) 2. Geometri och diskretisering (I allmänhet komplicerat) 3. Finita elementmetoden och lösare (multigrid?, multiskal!) 4. A priori feluppskattning och konvergens 5. A posteriori feluppskattning och adaptivitet (om vi har tid)

22 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 22/33 FE bas för problem på mixad form (skippa n, a := aλ) På svag form vill vi lösa: hitta σ V och u W sådana att ( a σ,v) + (u, v) =, ( σ,w) = (q,w) v V = {v L 2 (Ω) d : v L 2 (Ω)} Standard (konsertiv) FEM för detta problem är w W = L 2 (Ω). Raviart-Thomas funktioner φ i, för V, vektorvärda, normalkontinuerliga, en frihetsgrad per kant/yta. Styckvisa konstanter ψ k, för W, skalära, diskontinuerliga.

23 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 23/33 Finita elementmetoden och lösare Vi får ett ekvationssystem på följande form: [ ][ ] [ A B σ h B T = b u h ] där A ji = ( a φ i,φ j ), Bjk = (ψ k, φ j ) och b k = (q,ψ k ). Felanalys ger a (σ σ h ) L2 (Ω) Ch, där ǫ representerar den finaste skalan i problemet. Lösa upp finskalan i a och lösa i varje tidssteg är kostsamt. Vi vill istället utnyttja att a(:= aλ(s)) ej ändras mellan tidsstegen förutom vid fronten, (λ() och λ() konstanta). Vi använder ett grovt nät T c (H > ǫ) med modifierade RT basfunktioner som tar hänsyn till finstrukturen i a och som är återanvändbara i beräkningen. ǫ

24 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 24/33 Variationsmultiskalmetoden Låt T c vara ett grovt nät. Splitta V = V c V f och W = W c W f RT rum: V c = span({φ i }) och V f = {v V : Π c v = }. Styckvis konstant rum: W c = span({ψ i }) och W f = {w W : P c w = }. Vi har (w f, v c ) = τ T c v c τ w f dx =, (w c, v f ) =. Hitta σ c + σ f V c V f och u c + u f W c W f så att, ( a (σ ) c + σ f ),v c + (uc, v c ) + ( σ c,w c ) = (q,w c ) ( a σ ) f,v f + (uf, v f ) + ( σ f,w f ) = (q,w f ) ( a σ ) c,v f för alla v c V c, v f V f, w c W c och w f W f. Vill eliminera σ f ur den grovskaliga ekvationen.

25 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 25/33 Modifierad grovskaleekvation Vi delar upp finskaleekvationen: hitta T σ v c,σ f,q V f och T u v c,u f,q W f sådana att ( (i) a T ) σv c,v f + (Tu v c, v f ) + ( T σ v c,w f ) = ( a v ) c,v f ( (ii) a σ ) f,q,v f + (uf,q, v f ) + ( σ f,q,w f ) = (q,w f ). Notera σ f = T σ σ c + σ f,q. Vi förenklar analysen genom q W c. Grovskaleekvationen. Hitta σ c V c och u c W c så att ( a (σ c + T σ σ c ),v c +T σ v c ) + (uc, v c ) = ( σ c,w c ) = (q,w c ). Algebraisk manipulation av (i) och (ii) ger ( a σ f,q,v c ) = och ( a (v c + T σ v c ),T σ w c ) = för alla v c,w c V c.

26 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 26/33 Kan vi beräkna en approximation av T σ v c V f? Låt v c = φ i. Hitta T σ φ i V f och T u φ i W f så att ( a T ) σφ i,v f + (Tu φ i, v f ) = ( a φ ) i,v f ( T σ φ i,w f ) = w W f. v V f Vi beräknar approximationer T σ φ i V f genom att lokalisera problemen i rummet till patchar ω i supp(φ i ), diskretisera med fint nät som löser upp finskalestrukturen Dubbel perm. i vita fältet. Vi plottar φ i + T σ φ i på ett och två lager patchar. Snabbt avtagande ty T σ φ i V f F n T σφ i dx =.

27 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 27/33 Parallell struktur Ekvationssystemet [ ] [ ] som [ behöver ] lösas på den grova skalan är à B σ c B T = q u c à ij = ( a (φ i + T σ φ i ),φ j +T σ φ j ), B kj = (ψ k, φ j ) och b = (q,ψ k ) Data a, q, Ω Data A A 2 A 3 A 4... Lokala problem i Ai B B T σ c u c = q Globalt problem

28 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 28/33 Tryckekvationen med homogena Neumannvillkor a σ u = i Ω σ = q i Ω n σ = på Ω Permeabiliteten är från SPE comp. solution project (nedersta) och q är längst ner till vänster och högst upp till höger. 3 x Referenslösningen har 22 6 element. Grova nätet har 55 5 element och h = H/4. Lokala problem löses för varje grov RT basfunktion φ i.

29 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 29/33 Konvergens i numeriskt exempel Beloppet av T σ φ i beräknat på en tre-lager patch Avvikelse från referenslösningen i u och σ Error in u Error in σ Max norm error (log scale) Layers

30 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 3/33 Felanalys A priori uppskattning och konvergens. Metoden är utformad så att när ω i = Ω för alla i återfås referenslösningen på det fina nätet alltså, felet när h och L Hur konvergensen sker i termer L är fortfarande olöst. A posteriori feluppskattning. a (σ (σ c + T σ σ c )) 2 C i ( ρ 2 ωi (σ c ) + ρ 2 ω i (σ c ) ) ρ 2 ω i (σ c ) = h 2 τ qψ i + σc(φ i i + T σ φ i ) 2 L 2 (τ) + h τ [t σct i σ φ i ] 2 L 2 ( τ) τ T (ω i ) ρ 2 ω i (σ c ) = H ωi [t σ i ct σ φ i ] 2 L 2 ( ω i )

31 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 3/33 Numeriskt exempel på adaptivitet Lager och 5 i SPE comparative solution proj. (log skala) och plot av trycket, q = uppe till höger q = nere till vänster. Adaptiv algoritm. a (σ (σ c + T σ σ c )) 2 C i ( ρ 2 ωi (σ c ) + ρ 2 ω i (σ c ) ) Givet grovt nät 55 5 och lokala h = H/2 och L =. Beräkna multiskalbasfunktioner φ i + T σ φ i och därefter σ c. Beräkna ρ 2 ω i (σ c ) och ρ 2 ω i (σ c ). Förfina h lokalt och utöka L (3%), starta om eller stanna.

32 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 32/33 Förfiningar, lager och konvergens Förfiningar (vänster) och lager (höger) Number of refinements in local problems (avarage) Number of Layers in local problems (avarage) Vi beräknar skillnad i energinorm mellan multiskallösningen och referenslösningen..7.6 SPE layer SPE layer 5 Relative error in energy norm Iterations M. Multiscale methods for elliptic problems, skickad SIAM MMS

33 Docentföreläsning, Uppsala universitet, :a december 2 p. 33/33 Sammanfattning Numerisk approximation av modellproblem med FEM: Existens, rumsdiskretisering, konvergens, felanalys och adaptivitet. Multifysikproblem, Joule heating: Fokus på teoretiska resultat som existens, standardteorin är till hjälp men nya resultat krävs, teorin påverkar den numeriska metoden, adaptivitet fortfarande öppet problem. Multiskalproblem, oljereservoarsimulering: Fokus på metodutveckling, multiskalbasfunktioner som kan återanvändas genom beräkningen, adaptivitet, konvergens är öppen fråga. "Computers are incredibly fast, accurate and stupid. Human beings are incredibly slow, inaccurate and brilliant. Together they are powerful beyond imagination." Einstein