Nyhet HT 2018! Med programmering och digitala verktyg. Matematik. Smakprov

Transkript

1 Nyhet HT 08! Med programmering och digitala verktyg Matematik 5000 Smakprov c

2 Välkommen till nya Matematik 5000 Full koll på programmering och digitala verktyg! Hej! I handen håller du ett smakprov ur Matematik kurs c. Den är en revidering av vår populära serie Matematik 5000 och innehåller många spännande nyheter för din undervisning. Vi tror att du precis som de flesta andra matematiklärare vill arbeta med ett modernt och framsynt läromedel utifrån de nya direktiv som presenteras i ämnesplanen för 08. Matematik kurs c lyfter fram och tränar samtliga förmågor i matematik på ett tydligt och konkret sätt. Boken är högaktuell med sitt fokus på programmering och användandet av digitala verktyg obligatoriska inslag i undervisningen från höstterminen 08. Matematik kurs c riktar sig mot de naturvetenskapliga och tekniska programmen på gymnasiet och vuxenutbildningen. Läromedlet tar fasta på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Blir du sugen på att veta mer? Kika i innehållsförteckningen och bläddra sedan vidare i foldern! Lycka till med din matematikundervisning, Författarna och Natur & Kultur Läromedel Boken i fem steg. Kapitelstarter som engagerar Varje kapitel börjar med en kort sammanfattning och beskrivning av hur det aktuella arbetsområdet knyter an till ämnesplanens centrala innehåll. Eleven möter också en inledande aktivitet där hen får repetera och diskutera begrepp som ingår i kapitlet.. Teori som går att förstå I kapitlen förklaras ny teori på ett sätt som ger eleven möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. De viktigaste begreppen skrivs ut i marginalen på teorisidorna och teorin avslutas den alltid med en eller flera lösta uppgifter.. Uppgifter med och utan digitala verktyg Uppgifterna ges i tre nivåer i stigande svårighetsgrad och med en stor variation av uppgiftstyper och frågeställningar. Bokens teori, uppgifter och aktiviteter talar tydligt om när och hur olika digitala verktyg som symbolhanterande räknare, kalkylprogram eller interaktiva datorprogram som t.ex. GeoGebra ska användas. En markering i form av en ruta runt uppgiftens nummer, 06, visar att uppgiften ska lösas med digitala verktyg. Uppgifter utan markering är tänkta att lösas utan digitala verktyg/räknare. I svarsdelen ges förutom svar ofta även en ledtråd eller fullständig lösning till uppgifter som kräver lite extra. 4. Aktiviteter, Teman och Historik stärker förmågorna Bokens aktiviteter ger dig som lärare stora möjligheter att variera din undervisning samtidigt som eleverna får tillfälle att utveckla sina olika matematiska förmågor. Minst en aktivitet per kapitel ägnas åt problemlösning med hjälp av programmering. Matematikämnets relevans tydliggörs i olika teman och historikavsnitt. Snart dags för programmering här finns stöd! På nok.se/matematik5000plus kommer det att finnas aktiviteter i programmering så att du kan arbeta enligt årets ämnesplan med alla dina kursböcker. Både elevmaterial och lärarstöd är gratis. 5. Kapitelslut med repetition och fokus på förmågorna Kapitelsluten repeterar det aktuella kapitlets innehåll i Sammanfattning och Kan du det här?. Sant eller falskt? tränar resonemangsförmågan och Testa dig själv begrepps- och procedurförmågorna. I kapitelsluten finns dessutom Blandade övningar i två versioner. Här får eleven träna sina förmågor på alla nivåer, med och utan digitala verktyg.

3 Innehåll. Aritmetik Om tal 6 Inledande aktivitet: Lägga tal 7. Hela tal 8 Historik: Relevans Från vargben till datorer 8 Olika typer av tal 9 Räkneordning och räknesätt 0 Aktivitet: Faktorisera heltal med digitala verktyg Primtal delbarhet och faktorisering 4 Negativa tal 5. Rationella och reella tal Repetition av bråkbegreppet Räkna med bråk 6 Tal i decimalform 0 Avrundning och gällande siffror Kvadratrötter 5. Tal i potensform 7 Positiva heltalsexponenter och räknelagarna 7 Negativa heltalsexponenter och exponenten noll 40 Grundpotensform 4 Prefix och enhetsbyten 44 Tema: Relevans Makrokosmos och mikrokosmos 46 Talsystem med olika baser 48 Historik: Relevans Tre historiska talsystem 5.4 Problemlösning 5 En problemlösningsstrategi 5 Aktivitet: En problemlösningsstrategi med programmering 55 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas 58 Aktivitet: Sant eller falskt? 59 Sammanfattning 60 Kan du det här? 6 Testa dig själv 6 Blandade övningar kapitel 64. Procent 66 Inledande aktivitet: Pärlor, plattor och procent 67. Andelen, delen och det hela 68 Repetition av procentberäkningar 68 Promille och ppm 7 Tema: Relevans Alkohol och promille 74. Procentuella förändringar och jämförelser 75 Förändringsfaktor 75 Upprepade procentuella förändringar 78 Procentenheter och procentuella jämförelser 8 Problemlösning 86 Aktivitet: Programmering 87. Lån och index 89 Lån, ränta och amortering 89 Introduktion till kalkylprogram 9 Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 94 Krediter och avgifter 98 Index 0 Aktivitet: Sant eller falskt? 06 Sammanfattning 07 Kan du det här? 08 Testa dig själv 09 Blandade övningar kapitel 0 Blandade övningar kapitel. Algebra 4 Programmeringsaktiviteter med problemlösning Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 5. Algebraiska uttryck och förenklingar 6 Algebraiska uttryck 6 Förenkling av algebraiska uttryck 9 Aktivitet: Hur förenklar ditt symbolhanterande verktyg? Faktorisera 4. Linjära ekvationer och olikheter 6 Lösning av linjära ekvationer I 6 Lösning av linjära ekvationer II 0 Problemlösning Aktivitet: Pärlor med x 8 Linjära olikheter 9 Aktivitet: Programmering 4. Potensekvationer 44 Enkla x och x ³ -ekvationer 44 Ekvationen x n = a 48 Ekvationslösning med symbolhanterande verktyg 5.4 Formler och mönster 54 Formler 54 Mönster och formler 58 Lösa ut ur formler 60 Tema: Relevans Hastighet och acceleration 6.5 Undersök och bevisa 66 Undersöka och bevisa 66 Tema: Relevans Decimalutvecklingar 70 Aktivitet: Sant eller falskt? 7 Sammanfattning 7 Kan du det här? 74 Testa dig själv 75 Blandade övningar kapitel 76 Blandade övningar kapitel 79 Kalkylprogram får en tydlig roll Symbolhanterande verktyg i teori, övningar och aktiviteter Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer med fokus på förmågorna 4. Geometri 8 Inledande aktivitet: Omkrets och area 8 4. Geometri och algebra 84 Inledning 84 Formler för omkrets, area och volym 85 Aktivitet: Pucken Geometri och bevis 9 Inledning 9 Vinklar och vinkelsummor 9 Några bevis med vinklar 96 Några bevis med area och volym 98 Implikation och ekvivalens 00 Pythagoras sats 0 Historik: Relevans Pythagoras sats 05 Historik: Relevans Talet π 06 Aktivitet: Kvoter i en rätvinklig triangel 07 Aktivitet: Programmering Trigonometri 0 Inledning Räkna med tangens 0 Sinus och cosinus 4 Blandade uppgifter Vektorer 8 Definitioner och räkneoperationer 8 Komposanter, koordinater och vektorlängd Tema: Relevans Krafter och hastigheter 4 Aktivitet: Sant eller falskt? 7 Sammanfattning 4 8 Kan du det här? 0 Testa dig själv 4 Blandade övningar kapitel 4 Blandade övningar kapitel Grafer och funktioner 8 Inledande aktivitet: Finn regeln 9 5. Några funktioner 40 Koordinatsystem och grafer 40 Funktion formel, värdetabell och graf 44 Aktivitet: Upptäck Räta linjer 48 Linjära funktioner 50 *Räta linjens ekvation (fördjupning) 56 Exponentialfunktioner 59 Mindre repetition av geometri Historik som övar relevansförmågan 5. Mer om funktioner och matematiska modeller 6 Funktionsbegreppet och skrivsättet f( x) 6 Skillnaden mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 66 Definitionsmängd och värdemängd 68 Potensfunktioner 70 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 7 Olika matematiska modeller och problemlösning 75 Aktivitet: Programmering 78 Aktivitet: Sant eller falskt? 80 Sammanfattning 5 8 Kan du det här? 8 Testa dig själv 5 8 Blandade övningar kapitel 5 84 Blandade övningar kapitel Sannolikhet och statistik 90 Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 9 6. Enkla slumpförsök 9 Inledning 9 Likformig sannolikhetsfördelning 9 Experimentella sannolikheter Slumpförsök med flera föremål eller steg 98 Aktivitet: Kasta två tärningar 98 Försök med två föremål 99 Träddiagram 0 Aktivitet: Lika eller olika färg? 06 Beroende händelser 07 Komplementhändelser 0 Tema: Relevans Kombinatorik Historik: Relevans Sannolikhetslärans födelse Aktivitet: Programmering 4 6. Statistik 6 Tolka tabeller och diagram 6 Vilseledande statistik 4 Tema: Relevans Mat och klimat 7 Aktivitet: Sant eller falskt? 0 Sammanfattning 6 Kan du det här? Testa dig själv 6 Blandade övningar kapitel 6 4 Blandade övningar kapitel 6 7 Repetitionsuppgifter 40 Svar, ledtrådar och lösningar 48 Register 90 Viktigt centralt innehåll har utökats Aktiviteterna tränar samtliga förmågor Teman som övar relevansförmågan

4 5 GRAFER OCH FUNKTIONER Det finns flera sätt att beskriva samband. Grafer och funktioner kan beskriva såväl vardagliga som mer komplicerade vetenskapliga samband. Ordet funktion har samma bakgrund som ordet fungera, men i matematiken betyder det snarare avbildning. Aktiviteten är tänkt som en inledning på första lektionen. Centralt innehåll Med andra ord Begreppen funktion, definitions- och värdemängd. I det här kapitlet får du lära dig om samband mellan två variabler, t.ex. mellan hastighet och sträcka eller mellan värdeutveckling och tid. Egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och exponentialfunktioner. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Skillnader mellan begreppen ekvation, olikhet, algebraiskt uttryck och funktion. Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering. Det handlar framför allt om samband med en konstant ökning eller minskning (linjär förändring) eller en konstant förändring i procent (exponentiell förändring). Du får också lära dig hur man kan använda formler och grafer för att presentera olika samband både med och utan dator eller räknare. Kapitelstarterna har en tydlig koppling till ämnesplanens centrala innehåll. "Med andra ord" konkretiserar detta för eleven. 8 Inledande aktivitet FINN REGELN Jonathan har skapat ett enkelt program. Det ber användaren mata in ett tal, omvandlar talet enligt en bestämd regel och matar sedan ut det nya talet. Så här ser det ut när det körs: Vilka tal ska stå i de tomma rutorna? Ut-data y UT-data, IN-data x IN-data, Ut-data 4 UT-data, y d) IN-data d) IN-data, x 44 b) Programmet följer en enkel regel som kan beskrivas med en formel. Finn regeln och skriv en formel: y = Ut-data y UT-data, c) c) 00,5, b) IN-data b) IN-data, x a) Vi skriver IN- och UT-data i en tabell. 55 Finn regeln och skriv en formel: y = UT-data, Ut-data y 4 4 Skriv in ett tal (x): 5 Det nya talet är (y): 8 Vilka tal ska stå i de dentomma tommarutorna? rutan? a) IN-data, IN-data x Skriv in ett tal (x): Det nya talet är (y): 5 IN-data x IN-data, Jonathan skriver fler program till olika regler. Ut-data UT-data, y Arbeta i par. En av er väljer en regel. Arbeta i par. En av er väljer en regel. Den andra andra matar matar in in värden värden och och försöker försöker Den finna regeln. regeln. finna 9

5 Räkneordning och räknesätt Först beräknas uttryck inuti parenteser De fyra räknesätten Vi repeterar några begrepp och metoder. Addition: 4 + = 7 Term adderad med term ger en summa. Subtraktion: 9 = 8 Term subtraherad från term ger en differens. Multiplikation: = 6 Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt. Division: 5 = 5 Täljare dividerad med nämnare ger en kvot. Prioriteringsregler Därefter potenser (upphöjt till) Sedan multiplikationer och divisioner 4 Till sist additioner och subtraktioner De digitala verktygen följer prioriteringsreglerna, men ibland kan vi ändå få fel svar. Vi visar ett exempel med en division: = 4 = 8 Kommutativa lagar Exempel prioriteringsreglerna Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar? Vi undersöker med några exempel. Addition 6 + = + 6 Subtraktion 6 6 Multiplikation 6 = 6 Division 6 6 Vi kan byta plats på termer vid addition och faktorer vid multiplikation. a + b = b + a a b = b a Hur blir det när flera räknesätt är inblandade? Milla och Sofie ska beräkna värdet av uttrycket Milla: Det blir 9 4 = 6 Sofie: Det blir = 0 betyder är skilt från eller är inte lika med De fick olika resultat. Milla har utfört additionen och subtraktionen först och Sofie har börjat med multiplikationen. En beräkning med flera räknesätt måste alltid ge samma resultat. Teorin förklaras på ett sätt som ger eleven möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Man har därför inom matematiken kommit överens om en räkneordning, prioriteringsreglerna, som bland annat innebär att multiplikation går före addition och subtraktion. Sofie hade alltså rätt. Skriver vi /5 gör datorn/räknaren beräkningen = 4 Eftersom vi vill att uttrycken i täljaren och nämnaren ska beräknas först, måste vi använda parenteser och skriva (7 + 75)/(5 ) för att få svaret 8. Kontrollera att ditt digitala verktyg ger resultatet 8. 0 Beräkna utan digitala verktyg a) 50 48/6 + 6 a) /6 + 6 = = = = = = 60 * Beräkna med digitalt verktyg b) (5 )/ + b) (5 ) / + = = / + = = / + 9 = = = = Vi skriver uttrycket med parenteser: ( 9 + 5)/(4 7 50) = 4 Börja med parentesen. Fortsätt med potensen. Fortsätt med division och multiplikation. Till sist addition. Tydliga anvisningar om vilka uppgifter som ska lösas med och utan digitala verktyg. * En ram runt uppgiftens nummer t.ex. 0 betyder att du får använda digitala verktyg när du ska lösa uppgiften. Övriga uppgifter ska du kunna lösa utan hjälp av digitala verktyg. 0. HELA TAL. HELA TAL

6 0 Beräkna a) 9 + b) / c) / + d) ( + )/ 04 I vilken ordning ska beräkningarna utföras? A B C A B C D a) 8 + (4 ) b) Beräkna a) 8 ( + 5) + 8/ b) (8 ) / 06 Beräkna a) b) c) (5 7 ) a) Beräkna 5 5 b) Eric skriver på ett prov: 5 5 = 5 5 = 5 = 50 5 = 45 Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric noll poäng. Varför? c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning. 08 Addera talen 7 och 87 och dividera summan med produkten av och. Vilket svar får du? 09 a = och b = Beräkna värdet av uttrycket: a) 5a + b c) 5ab 5b b) 5(a + b) d) a + b 0 Vilket tal ska stå i rutan? a) = 00 b) ( ) = 6 a) Beräkna 7(4 + ) b) Beräkna c) Beräkna 65(8 + 9) d) Beräkna e) Använd dina resultat och skriv en räknelag med hjälp av algebra: a(b + c) = Skriv talet 40 som en produkt av tre olika faktorer större än. Visa att det går att göra på flera olika sätt. Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen så att värdet av uttrycket a) blir så stort som möjligt b) blir så litet som möjligt c) är lika med. 4 Produkten av 9 40 = 560. Vad är då a) 9 4 b) ? 5 Stämmer påståendet att det finns udda tresiffriga tal där hundratalssiffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran? 6 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut a) 4 4 b) ? 7 Uttrycket (0 a) /( + 4) har värdet. Uppgifter utan markering Vilket blir värdet om är tänkta att lösas a) den vänstra parentesen tas bort utan räknare. b) den högra parentesen tas bort c) båda parenteserna tas bort? 8 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 6/(a/0) a) mindre än c) mindre än 9 b) större än 6 d) större än? Varierande uppgifter och frågeställningar på tre nivåer i en tydlig progression. Aktivitet Hur förenklar ditt symbolhanterande verktyg? Förenkla summor och differenser Förenkla först för hand. Undersök sedan hur ditt verktyg förenklar och skriver svaret. I t.ex. GeoGebra kan du skriva in uttrycket direkt eller skriva Förenkla( ) a) 8 + x x b) 5 y + + y 6y c) a + a + 7 a Förenkla kvoter Förenkla först för hand. Undersök sedan hur ditt verktyg förenklar och skriver svaret. a) 4 x + 6 Ett uttryck som 4 6 Muliplicera in och förenkla b) 4 y 6/ c) a d) 5 x + 9 x + måste skrivas in med parenteser: (4x + 6)/. Multiplicera först in och förenkla för hand. Kontrollera sedan ditt svar med verktyget. a) 5(7 + y) ( y 8) b) 4 a a(5 a) c) 5 x( x y) x ( y x) 4 Faktorisera genom att bryta ut Multiplicera in ( x + ) = x + 6 Bryta ut Bryt ut så mycket som möjligt för hand. Kontrollera ditt svar med verktyget. a) 4 x + 8 b) x + x c) 6 a 6 d) ab 4 b 5 Använd verktyget 7x + 78x 95x a) Förenkla x b) Bryt ut så mycket som möjligt 5 x 5 x Symbolhanterande verktyg används både i teoriavsnitt och aktiviteter. x + 4x 6 x BEGREPP Förenkla (x + 4x) 6 x (x + ) x + 6 Faktorisera (x 6) (x + ). HELA TAL. ALGEBRAISKA UTTRYCK OCH FÖRENKLINGAR

7 Historik I återkommande Historik- och Temasidor Talet får eleverna öva relevansförmågan. Talet π, som är förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, är ett irrationellt tal och det kan inte skrivas ut exakt med siffror. Ett närmevärde till π är,4 men antalet decimaler är oändligt och oregelbundet. Här följer de första femhundra decimalerna. Många kulturer har använt sig av tal i bråkform som närmevärde på π. Den grekiske matematikern Arkimedes visade på 00-talet f.v.t. (före vår tideräkning) med hjälp av geometri att π ligger mellan /7 och /7. I Kina använde man på 400-talet bråket 55/ som ett värde på π. Att räkna ut korrekta decimaler till π kan göras med olika metoder. På 400-talet hade arabiska, kinesiska och indiska matematiker för hand räknat ut korrekta decimaler. På 600-talet i Europa räknade man ut att antalet decimaler var cirka 5. Med datorernas intåg i mitten av 900-talet startade den verkliga sifferjakten. 97 var rekordet miljon decimaler, 00 var det ca 700 miljarder och idag är det mer än tiotals biljoner. Det har till och med blivit en tävling att kunna memorera så många siffror av π som möjligt. År 05 satte indiern Suresh Kumar Sharma nytt världsrekord med decimaler. År 06 satte Jonas von Essen svenskt rekord med 08 decimaler. RELEVANS Lån, ränta och amortering med kalkylprogram Att beräkna lånekostnader, som räntor och amorteringar, för hand är besvärligt och tar lång tid. Ett kalkylprogram är ett bra hjälpmedel. Vi tar här hjälp av programmen Excel eller GeoGebra. De fungerar på liknande sätt, men Excel använder decimalkomma och GeoGebra decimalpunkt. Exempel Vi utgår från lånet i uppgift 0: Ett lån på kr ska amorteras på fyra år. Räntesatsen är 7,00 % och inbetalningarna sker i slutet av varje år. Vi öppnar ett kalkylblad och börjar med att skriva in rubrikerna överst i kolumnerna och justerar bredden så att hela texten syns. Sedan skriver vi in de startvärden vi har i rätt celler. I cell A skriver vi (första inbetalningen) I cell B skriver vi (lånebeloppet) I cell C skriver vi 500 (amorteringsbeloppet 0 000/4 = 500) Så här ser kalkylbladet ut: A B C D E År Återstående lån Amortering Årsränta A betala ll banken Nu ska vi mata in de formler som krävs för att utföra alla beräkningar. I Excel skriver man = framför formeln, det behövs inte i GeoGebra. Cell Inmatning av formel Förklaring och beräkning D E =0,07*B eller =7%*B =C+D 7 % av beloppet i B Beräkning: 0, = 700 Summan av beloppen i C och D Beräkning: = 00 Kalkylprogram får en tydlig roll i procentkapitlet. Undersök med digitalt verktyg hur många korrekta decimaler följande närmevärden ger. a) π /7 d) π 55/ b) π /7 e) π 0 99/ 0 c) π f) π Man kan visa att = n Använd denna summa och gör ett program med vars hjälp du kan beräkna närmevärden till π för olika värden på n. Felet blir mindre ju större värde på n du väljer. Så här ser kalkylbladet ut: A B C D E År Återstående lån Amortering Årsränta A betala ll banken GEOMETRI OCH BEVIS. LÅN OCH INDEX 94

8 Aktivitet problemlösning 4. TESTA OCH VÄRDERA Problemlösning med programmering Exempel Nyskrivna aktiviteter för programmering i varje kapitel. En koloni med 000 fåglar minskar med 0 % varje år. Efter hur många år har antalet fåglar halverats?. FÖRSTÅ. PLANERA C. Variabler När vi har kört programmet kan det se ut så här: Programmet ska använda följande variabler: x för antalet år y för antalet fåglar D. Stegvisa instruktioner B. Algoritm Programmet ska skrivas i följande ordning: Utan dator kan problemet lösas så här: Tilldela x värdet 0 Så länge antalet fåglar är större än 500 multiplicerar vi antalet med förändringsfaktorn 0,9: Tilldela y värdet 000 År År År = = = 79 Så länge y > 500: Öka x med Multiplicera y med 0,9 När y < 500, skriv ut hur många år det tar tills antalet är halverat. Om vi väljer Python som programspråk kan programmet se ut så här: # Antalet år från början # Antalet fåglar från början while (y > 500): x = x + y = y * 0.9 # Så länge antalet är större än 500 # ökar antalet år med och # antalet fåglar multipliceras med 0,9 print("antalet har halverats efter", x, "år") 87 Träna på problemlösning med programmering Hur många år det skulle ta för antalet fåglar att halveras om kolonin istället minskade med % per år? Lös problemet med programmering. Hur många år det skulle ta för antalet fåglar att fördubblas om antalet ökar med 0 % per år? Lös problemet med programmering. 4 Charlie skriver ett program för att lösa ett problem. x = 0 y = Skriv ett program som frågar efter antalet fåglar och den procentuella förändringen. while (y < 600): x = x + y = y *.05. GENOMFÖR KODA x = 0 y = 000 Eleverna får utveckla sitt matematiska tänkande samtidigt som de lär sig programmera. Skriv av programmet i exemplet och kör och kontrollera att det fungerar. A. Målbild Programmet ska ge svaret direkt när det körs. Det ska alltså inte fråga efter någon information. Programmet löser problemet men skulle kunna utvecklas så att det både frågade efter antalet fåglar och den årliga procentuella förändringen. Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga. Därför är det lämpligt att du följer alla steg i den strategi som presenteras i exemplet. Antalet fåglar minskar inte lika mycket varje år. Istället beror minskningen på hur många fåglar som är kvar från föregående år. Antalet fåglar har halverats efter x år. problemlösning Målbilden ska se ut så här: print("antalet har efter", x, "år") Hur många fåglar finns det i kolonin? 747 I halverats III minskat med 50 % Med hur många procent minskar antalet varje år? 5 II ökat med 50 % IV fördubblats Antalet fåglar har halverats efter 4 år. Vilket alternativ ska stå på sista raden, där det nu är ett streck? # Skriver ut svaret. PROCENTUELLA FÖRÄNDRINGAR. PROCENTUELLA FÖRÄNDRINGAR 88

9 Kan du det här? Delkapitel BEGREPP PROCEDUR. Algebraiska uttryck och förenklingar. Linjära ekvationer och olikheter Uttryck Variabel Förenkla Förkorta Multiplicera in Bryta ut Faktorisera Ekvation Lösning Rot/rötter Prövning Olikhet Olikhetstecken Intervall. Potensekvationer Kvadratrot.4 Formler och mönster.5 Undersöka och bevisa Kubikrot Potensekvation Formel Bevis beräkna värdet av ett uttryck förenkla uttryck med flera variabler och uttryck med parenteser omforma uttryck genom att multiplicera in, faktorisera och förkorta tolka ett uttryck ställa upp ett uttryck förenkla uttryck med symbolhanterande verktyg lösa linjära ekvationer med en eller flera variabler och med parenteser pröva om en lösning till en ekvation är korrekt lösa matematiska problem med hjälp av ekvationer tolka och skriva linjära olikheter tolka och skriva ett intervall lösa olikheter lösa potensekvationer Kan du det här? repeterar och befäster begrepp och procedurer. förenkla potens- och rotuttryck lösa ekvationer och olikheter med symbolhanterande verktyg använda, tolka och ställa upp formler lösa ut en variabel ur en formel undersöka och beskriva ett samband med ord eller formel bevisa ett samband med hjälp av algebra. Algebraiska uttryck och förenklingar Bestäm värdet av 5 xy x a) x = och y = b) x = 0,5 och y = 0, Förenkla så långt som möjligt. a) ( x + 5) ( x) c) x + x b) 5 x 4 x( x + ) d) x( 0x 4) Bryt ut största möjliga faktor. a) 5 x b) ab + 4 b. Linjära ekvationer och olikheter 4 Lös ekvationerna a) x + 5 = 5 x c) 8 5(4 x ) = b) 9 x = 5 d) x + x + = 4 5 Lös ekvationen x = + x med ett symbolhanterande verktyg. Visa med prövning att lösningen är korrekt. 6 a) Lös olikheten x + 5 < 5 x b) Vilka av följande x-värden ingår i lösningen? Pedro, Karl och Azna jobbade i ett stall. Karl arbetade dubbelt så länge som Pedro. Azna arbetade 5 timmar mindre än Karl. Tillsammans arbetade de 40 timmar. Hur många timmar arbetade Azna?. Potensekvationer Här får eleven använda 8 Lös ekvationerna digitala men inte symbolhanterande verktyg. a) x = 98 b) 5 x + 0 = 50 9 Hanna köpte aktier för kr och sålde dem för 4 0 kr fyra år senare. Hur stor var den genomsnittliga procentuella ökningen per år? Lös uppgiften utan symbolhanterande verktyg. Testa dig själv.4 Formler och mönster 0 Hos en trafikskola är kostnaden för körkortsundervisningen 400 kr och 550 kr för varje körlektion. a) Skriv en formel för den totala kostnaden om man deltar i undervisningen och kör x antal lektioner. b) För Tobias blev totalkostnaden kr. Hur många lektioner tog han? En nyfödd flickas vikt i kg efter x månader kan under första året beräknas med formeln y =,5 + 0,5 x a) Vilken ålder motsvarar vikten 8,0 kg enligt formeln? b) Tolka formeln. Vad betyder,5 och 0,5? Lös ut den variabel som står inom parentes efter formeln. a) p = ax + s (s) c) y = ab (b) b) b = t a (t) nr nr nr a) Hur många prickar är det i figur nr 8? b) Vilket nummer har figuren med 55 prickar? c) Beskriv sambandet mellan antalet prickar och figurens nummer med en formel..5 Undersöka och bevisa I Testa dig själv får eleven kontrollera sina kunskaper. Som uppföljning finns repetitionsuppgifter sist i boken. 4 Om du fördubblar sidorna i en rektangel, blir rektangelns area fyra gånger så stor. a) Undersök påståendet för några olika rektanglar. b) Bevisa att din slutsats alltid gäller. 5 En elektron rör sig sträckan s på tiden t med en konstant hastighet v. Visa att tiden minskar med 40 % om sträckan minskar med 0 % och hastigheten ökar med 50 %. 74 ALGEBRA ALGEBRA 75

10 Blandade övningar kapitel Varje kapitel avslutas med Blandade övningar där förmågorna lyfts fram. B: Begrepp P: Procedur PL: Problemlösning M: Modellering R: Resonemang K: Kommunikation Utan digitala verktyg Är det sant att 0,5 av kg är 0 gram? (B) Vad innebär en amortering av ett lån? (K, B) Förenkla (a + ) ( a) (P) 4 Du får veta att 699 är ett primtal. Vad vet du då om talets delbarhet? (B, R) 5 Visa att formeln s = v t kan skrivas på flera olika sätt. (P, K) 6 Visa att ekvationerna 0,5 x = och ( x + ) = 8 x har samma lösning. (P, K) 7 Lös ekvationen x 8 = 4 (P) 8 Bryt ut största möjliga faktor ur 0 x + 6 x 9 a) Det finns ett annat skrivsätt för 8 Vilket är det? (B, P) b) Beräkna 8. (B, K) 0 Ett tåg som är km långt håller hastigheten 0 km/h genom en tunnel som är km lång. Hur lång tid tar det för hela tåget att passera tunneln? (PL) Dela upp 00 i primtalsfaktorer. (B) Hanna väger 8 kg mindre än Robert. Tillsammans väger de 6 kg. Beräkna Hannas vikt med hjälp av en ekvation.. (PL) Lös olikheten 5 x (P) 4 Bryt ut och förkorta xh + h h (P) 5 Är något eller några av talen 0 en rot till ekvationen x x =? (B, P) 6 Visa att y = ax b kan skrivas b = ax y. (P, K) 7 Vilket tal är n? a) Energin E = 0,5 MJ =,5 0 n J b) Effekten P = 75 mw = 7,5 0 n W (PL) 8 Du vet att x + 4y = 4. Hur mycket är då a) x + 8 y b) x + y c) 0,5 x + y? (PL, R) 9 Skriv följande tal i storleksordning med det minsta talet först. 05, 4 9 0, 4 0,5 (PL) 0 Teo ska bygga ett staket enligt bilden. Mellan två stolpar finns det fyra brädor. Skriv en formel som visar sambandet mellan antalet brädor b och antalet stolpar s. (M) Agnes tränar på omskrivning av formler. I en uppgift blir hon osäker på hur hon ska gå vidare. Hon har skrivit om a y = till ax b x by =? och har flyttat x och y till vänsterled helt korrekt, men funderar på vad som blir kvar i högerled. Hjälp Agnes och förklara för henne hur höger led ska se ut. (R) Matematik 5000 Serien kommer att omfatta: Läroböcker Lärarhandledningar Lärarwebb: programmering, färdighetsövningar, studieplaneringar, prov Elevwebb: studieplaneringar, filmer m.m. Appar: självrättande kapitel- och kurstester, filmer, ledtrådar, lösningar Kostnadsfri läxhjälp på Facebook: finns tillgänglig redan nu Digitala böcker NATUR & KULTUR Box 7, 0 54 Stockholm Kundservice: Tel , kundservice@nok.se Redaktion: Tel , info@nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box 0 95, 04 5 Stockholm Tel , order@forlagssystem.se Projektledare: Irene Bonde Textredaktör: Henrik Lindberg Grafisk form: Åsa Lundbom Layout och sättning: Mats Karlsson/Devella Omslag: Maria Sundberg/Art by Sundberg och Åsa Lundbom Foton: Shutterstock: norph s. 88, artskvortsova s. 06, Standret s. 8-9 Matematiska illustrationer: Mats Karlsson/Devella Förlaget Natur & Kultur är en stiftelse som utan ägare kan agera självständigt och långsiktigt. Vårt mål är att genom stöd, inspiration, utbildning och bildning verka för tolerans, humanism och demokrati. 08 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Bodil Holmström, Anita Ristamäki och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Lettland 08 Papper från ansvarsfulla källor 79 ALGEBRA

11 Välkommen till nya Matematik 5000 Matematik 5000 för gymnasiet och vux är framtaget enligt den nya ämnesplanen med programmering och användning av digitala verktyg. Lena Alfredsson Hans Heikne Bodil Holmström Matematik innehåller det bästa ur populära serien Matematik 5000 och har samtidigt många nya inslag för din undervisning. Nytt i serien: Programmeringsaktiviteter Anpassat för symbolhanterande och digitala verktyg samt kalkylprogram Uppgifter som kräver digitala verktyg är tydligt markerade Förstärkt centralt innehåll med tydlig koppling till kapitlet Aktiviteter, Teman och Historik tränar samtliga förmågor Kapitelslut som befäster begrepp och procedurer, med fokus på förmågorna Beställ utvärderingsexemplar på nok.se/matematik5000plus