Ändliga kroppar. Anna Boman. U.U.D.M. Project Report 2016:12. Department of Mathematics Uppsala University

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Ändliga kroppar. Anna Boman. U.U.D.M. Project Report 2016:12. Department of Mathematics Uppsala University"

Transkript

1 U.U.D.M. Project Report 2016:12 Ändliga kroppar Anna Boman Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Gunnar Berg Examinator: Veronica Crispin Quinonez Juni 2016 Department of Mathematics Uppsala University

2

3 1. BAKGRUND ABSTRAKTA ALGEBRANS FRAMVÄXT BEGREPP OCH DEFINITIONER GRUPP Cyklisk grupp RING KROPP KONGRUENSRÄKNING OCH RINGEN Z N ANTAL MULTIPLIKATIVA INVERSER ÄNDLIGA KROPPEN Zp POLYNOM OCH IRREDUCIBILITET POLYNOMRINGAR IRREDUCIBLA POLYNOM KONGRUENSKLASSER OCH MODULORÄKNING MED POLYNOM VIKTEN AV IRREDUCIBILITETEN Slutsats HOMOMORFI OCH ISOMORFI HOMOMORFI ISOMORFI KONSTRUKTION AV ÄNDLIGA KROPPAR PRIMITIVT ELEMENT ÄNDLIGA KROPPEN MED pn ELEMENT EXISTENSEN AV IRREDUCIBLA POLYNOM SLUTSATSER TILLÄMPNINGAR EKVATIONSLÖSNING KODNING AVSLUTNING GALOISKROPPEN, GF(pn) REFERENSLISTA TRYCKTA KÄLLOR ELEKTRONISKA KÄLLOR... 25

4 ÄNDLIGA KROPPAR Kropp är ett begrepp som betecknar ett system som äger en viss fullständighet, fullkomlighet och slutenhet, varigenom det framträder som ett organiskt helt, som en naturlig enhet. Richard Dedekind

5 1. Bakgrund 1.1 Abstrakta algebrans framväxt Under 1700-talet var de flesta verksamma matematiker intresserade av lösbarheten för polynomekvationer. Man hade sedan länge räknat ut hur man med hjälp av radikaler kunde lösa en polynomekvation av andra graden och så småningom hittades även lösningen till tredje och fjärdegradsekvationen. Frågan om hur lösningsmetoden för ekvationer av högre grad skulle kunna se ut var något som många matematiker intresserade sig för. Under 1800-talets början var den norske matematikern Niels Henrik Abel fast besluten att hitta lösningen till femtegradsekvationen, emellertid lyckades han istället bevisa det faktum att den var omöjlig att lösa med hjälp av radikaler. Trots detta besked fanns dock frågan kvar: vilka ekvationer går att lösa med hjälp av radikaler och varför? Via Lagrange och Galois ledde denna fråga fram till det vi idag kallar för abstrakt algebra. Gauss var först med att introducera de bakomliggande strukturerna för så kallad moduloräkning och ekvivalensklasser medan Galois byggde vidare på detta vilket ledde fram till det vi idag kallar för ändliga kroppar 1, eller Galoiskroppar. Syftet med denna uppsats är att visa hur dessa ändliga kroppar ser ut i deras algebraiska struktur samt visa hur vi kan konstruera en ändlig kropp. Vidare kommer tillämpningar av dessa diskuteras och några tillämpningar exemplifieras i detalj. 2. Begrepp och definitioner 2.1Grupp För att vi vidare i texten ska kunna tala om kroppar behöver vi förstå den algebraiska strukturen av en kropp och för att kunna göra det behöver vi börja med att definiera begreppet grupp. Definition 1 En mängd G med en binär operation * G, kallas för grupp om mängden G är sluten under operationen * samt om följande 3 egenskaper är uppfyllda: i) * är associativ dvs. a b c = a b c ii) Det finns ett identitetselement e G så att: 1 Hunger Parshall, Karen. The Development of Abstract Algebra (kapitel 2.3).2008,

6 a e = e a = a iii) För varje a G existerar en invers a!! G så att: a a!! = a!! a = e. Om gruppen dessutom uppfyller följande krav har vi att göra med en kommutativ (eller abelsk) grupp: 2 iv) För alla a, b G så: a b = b a (kommutativitet) Cyklisk grupp En speciell typ av grupper är de cykliska grupperna. En cyklisk grupp är en grupp i vilken alla element genereras av ett enskilt element. Antag att för den multiplikativa gruppen G har vi ett element a G så att för varje b G finns något heltal j så att b = a!. Detta element a kallas för generator för den cykliska gruppen G och vi skriver G = a. Det kan självklart finnas mer än ett element i en grupp som fungerar som generator. 3 Exempel Ett av de enklaste exemplen är heltalen Z tillsammans med den binära operationen addition +, det vill säga gruppen Z, +. Generator i denna grupp är talet 1, i och med att alla tal går att få genom addition av ettor på följande vis 2.2 Ring 1 = 1 2 = = Om vi sedan går vidare och studerar ytterligare en algebraisk struktur kallad ring definieras den på följande sätt: Definition 2 En mängd R tillsammans med två binära operationer + och som vi kallar addition och multiplikation, (R, +, ) kallas för ring om de två binära operationerna har följande egenskaper: 4 2 Lidl Rudolf, Niederreiter Harald. Encyclopedia of Mathematics and its Applications: Finite Fields. 1997,2. 3 Lidl, Niederreiter,3. 4 Böiers, Lars Christer. Diskret matematik.2003,134.

7 i) a + b = b + a för alla a, b R ii) iii) iv) a + b + c = a + b + c för alla a, b, c R det finns ett element z i R med egenskapen a + z = a och z + a = a för alla a R till varje element a R finns ett element a! i R så att a + a! = z och a! + a = z v) a b c = a b c för alla a, b, c R vi) a b + c = a b + a c för alla a, b, c R b + c a = b a + c a för alla a, b, c R Det är viktigt att inse att trots att vi kallar de ovan nämnda operationerna för addition och multiplikation kan vi ej anta att det handlar om de vanliga räkneoperationerna för hela tal som vi arbetar med utan vi måste i varje enskilt fall undersöka dess egenskaper vid beräkningar inom en viss ring. Vidare är en ring (R, +, ) kommutativ då multiplikationen är kommutativ, det vill säga då a b = b a för alla a, b R Definition 3 Ett element a z i en ring (R, +, ) kallas en äkta nolldelare om det finns ett element b z i R sådant att: 5 a b = z eller b a = z En ring som saknar äkta nolldelare kallar vi nolldelarfri, och detta inträffar precis när: a b = z a = z eller b = z Definition 4 Ett element u i en ring (R, +, ) kallas för enhetselementet om: 6 a u = a och u a = a för alla a R En ring med ett sådant element kallas för en ring med enhetselement. Slutligen är en sista mycket viktig egenskap för en ring huruvida den innehåller multiplikativa inverser till dess element eller ej 5 Böiers, Böiers, 138.

8 Definition 5 Ett element a i en ring (R, +, ) med etta kallas inverterbart om det finns ett annat element b R så att a b = u och b a = u Elementet b kallas då för en multiplikativ invers till a. Exempel Ett tydligt och enkelt exempel på vad som menas med multiplikativ invers kan ses om vi tittar på ringen (Q, +, ). Enhetselementet u är i detta fall 1 och den multiplikativa inversen b ges av!! på följande vis: a!! = Kropp Vi har nu kommit fram till det begrepp som kommer vara centralt för resten av denna text, nämligen begreppet kropp. Av de definitioner som vi sett ovan kan vi nu definiera en kropp som: Definition 6 En kropp är en kommutativ ring med ett enhetselement i vilken varje element förutom noll är inverterbart. 7 Exempel Några av de vanligaste kropparna är Q, R och C. Tittar vi på de rationella talen Q, det vill säga alla tal som kan skrivas på formen! för a, b Z kan vi intuitivt! inse att kraven för att de ska vara en ring är uppfyllda. Vidare så är enhetselementet talet 1 och den multiplikativa inversen ges av! ty!! = 1.!!! Det vill säga: en kropp är en mängd F på vilken vi definierar två binära operationer +, som vi kallar addition och multiplikation. En kropp har också två viktiga element nämligen nollan och enhetselementet Kongruensräkning och ringen Zn Det är av yttersta vikt för förståelsen samt konstruktionen av ändliga kroppar att vi definierar och exemplifierar begreppet kongruensräkning. 7 Böiers, Lidl, Niederreiter,12.

9 Definition 7 Vi säger att för två godtyckliga heltal a,b samt ett positivt heltal n, är a kongruent med b modulo n om: n (a b) Vi skriver a b mod n vilket innebär att a är kongruent med b när de ger samma rest vid division med n. 9 Det är givet att kongruens modulo n är en ekvivalensrelation där ekvivalensklasserna bildas av de rester som ges vid division med just n på följande vis: a = a + kn; k Z Enligt divisionsalgoritmen kan vi skriva varje heltal m entydigt som m = qn + r, där 0 r n 1 I varje ekvivalensklass kan vi sedan välja en representant r i intervallet 0 r n 1 och denna representant får då representera ekvivalensklassen i fråga. Ekvivalensklasserna blir därför n stycken. I fortsättningen vill vi använda oss av just kongruensräkning modulo n för att bygga vidare på vår förståelse av kroppar. Vi inför mängden Z! som ska tolkas som mängden av ekvivalensklasser som genereras av relationen kongruens modulo n, dvs. Z! = 0, 1, 2,, n 1 Två binära operationer införs sedan på Z! som betecknas och, vilka definieras på följande sätt: 10 a b = a + b samt a b = a b Att (Z!,, ) är en ring och dessutom en kommutativ ring med enhetselement inses relativt enkelt ty räknelagarna följer samma regler som för hela tal, vi kan till exempel se att den kommutativa lagen för addition gäller: a b = a + b = b + a = b a Och de övriga lagarna kan härledas på samma sätt. Vidare så är nollan i ringen Z! elementet som ges av restklassen z = 0 och enhetselementet av u = 1. För att enkelt tydliggöra och exemplifiera hur additionen och multiplikationen beter sig i Z! görs så kallade Cayley tabeller där vi väljer ett godtyckligt n och undersöker 9 Lidl, Niederreiter, Böiers, 153.

10 hur de binära operationerna beter sig. 11 I följande exempel undersöker vi addition och multiplikation för ringen Z! Det blir nu uppenbart att ringen Z! i själva verket är en kropp ty varje element utom 0 har en multiplikativ invers samt att vi har ett enhetselement. Och från detta exempel kan denna fundamentala slutsats dras: Sats 1 Z! är en kropp om och endast om n är ett primtal. Bevis Antag att n är ett primtal och låt a vara ett heltal med 0 < a < n, så att a inte är nollelementet i Z!. Eftersom att n är ett primtal är a och n relativt prima. Det följer nu direkt ur Euklides algoritm att a är inverterbart. Alla element utom noll i Z! är därför inverterbara vilket innebär att Z! är en kropp. Antag istället att n ej är ett primtal det innebär att vi kan faktorisera n = m! m! med 1 < m!, m! < n. Här är m! 0, m! 0 medan m! m! = m! m! = n = 0 = z. Detta innebär alltså att ringen har nolldelare och är därmed ingen kropp Antal multiplikativa inverser Från satsen och exemplet ovan har vi konstaterat att Z! är en kropp i de fall där n = p = primtal. Vidare är kravet för att en mängd tillsammans med två binära operationer ska vara en kropp att alla element förutom 0 ska ha en multiplikativ invers. Vid undersökning av multiplikationen för Z! kan följande sats formuleras 11 Lidl, Niederreiter, Biggs, N.L. Discrete Mathematics. 1985, 346.

11 Sats 2 Låt a i Z! vara ett element skilt från 0. Då gäller att a har en multiplikativ invers om och endast om (a, n) = Ändliga kroppen Z p Sammanfattningsvis har vi funnit att mängden Z! är en kropp om och endast om n är ett primtal. Vi inför notationen för dessa kroppar som Z! där p är ett godtyckligt primtal. Dessa kroppar är det första konkreta exemplet på ändliga kroppar, det vill säga kroppar som innehåller ändligt många element. 3. Polynom och irreducibilitet Fram till nu har vi talat om kroppar främst i anslutning till moduloräkning och de olika ekvivalensklasserna som bildar en kropp för de fall där antalet ekvivalensklasser är ett primtal. Vi ska nu vidga vår förståelse för kroppsbegreppet genom att studera polynomringar och irreducibla polynom och på så sätt närma oss själva konstruktionen av en ändlig kropp 3.1 Polynomringar För en kropp F där nollan betecknas som 0 och enhetselementet som 1 skrivs ett formellt uttryck på formen: f x = a! + a! x + a! x! + + a! x!, i det fall då koefficienterna a! tillhör den ovan nämna kroppen F och där x är en obestämd kallas detta för ett polynom över F. Att x är obestämd betyder att x inte ligger i F samt att x ej har någon relation till F:s element. Vidare så säger man att f är moniskt i det fall då a! = 1. Det finns också det speciella fall där alla koefficienter är noll, och detta benämns som nollpolynomet Irreducibla polynom Vi ska nu se att för polynomkroppar har de så kallade irreducibla polynomen, precis som primtalen i föregående del, har stor betydelse för konstruktionen av ändliga kroppar 13 Böiers, Ibid,

12 Exempel Om vi tittar på polynomen över kroppen Z! inser vi att de enda existerande koefficienterna är 0 och 1. Om vi sedan konstruerar de möjliga andragradspolynomen med hjälp av dessa koefficienter får vi dessa 4 polynom över Z! x!, x! + x, x! + 1, x! + x + 1 För att två polynom g(x) och f(x) ska dela varandra måste det finnas ett tredje polynom k(x) så att f x = k(x) g(x) och det skrivs som g(x) f(x). Polynom som ej är konstanta eller en konstant gånger polynomet självt kallas för äkta delare. Att ett polynom är irreducibelt innebär att det saknar äkta delare. Vi ser i exemplet ovan att de två första polynomen har x som en gemensam faktor och vi säger att de är reducibla det vill säga att de går att faktorisera. Även det tredje polynomet är reducibelt i och med att vi kan skriva om på följande sätt x! + 1 = x! 1 = x + 1 x 1 eller x! + 1 = x + 1! = (x + 1) (x + 1). Om vi sedan tittar på det fjärde och sista polynomet inser vi att för att det ska kunna faktoriseras måste det innehålla en förstagradsfaktor vilket enligt faktorsatsen innebär att det finns ett nollställe. I och med att de enda möjliga nollställena är 0 och 1 kan vi testa dem och inser då att ingen av dessa fungerar. Polynomet x! + x + 1 saknar således äkta delare över kroppen Z2 och vi säger då att det är ett irreducibelt polynom. 15 Om vi istället undersöker tredjegradspolynom över Z2 kan vi direkt säga att i alla de fall där konstanttermen är 0 så innehåller polynomet en faktor x och polynomet är då reducibelt. De polynom som bildas då konstanttermen är 1 blir x! + 1, x! + x! + 1, x! + x + 1, x! + x! + x + 1 Det första och det sista polynomet har nollstället 1 vilket innebär att de innehåller faktorn (x 1) och är således reducibla. De två mittersta polynomen har inga nollställen och är därför irreducibla över Z2. Från detta exempel kan vi nu dra den generella slutsatsen att ett polynom av grad 2 och 3 som är reducibelt måste ha ett nollställe Kongruensklasser och moduloräkning med polynom Här ska modulobegreppet utvidgas och istället för att räkna med hela tal ska vi se hur kongruens fungerar för polynom. Vi betecknar en kropp som F och ringen av alla polynom med en obestämd x men med koefficienter i F betecknas F x. Vidare är m(x) ett fixt icke-konstant polynom som ligger i F x. Att räkna 15 Böiers, Ibid, 305.

13 modulo med polynom istället för med hela tal visar sig bygga på samma tankegång på följande sätt Definition 8 Vi säger att två polynom f x och g(x) är kongruenta modulo m(x) om m x f x g(x) och detta skrivs precis som i fallet med hela tal på följande sätt : f x g x, mod m(x). Alltså, vid division av f(x) och g(x) med m x fås samma rest. Ekvivalensklasserna betecknas som f(x) och om vi antar att graden av m x = n 1 så ges av divisionsalgoritmen att till varje f kan vi entydigt bestämma två polynom q och r så att f x = q x m x + r(x) där grad r < n eller r = 0. Varje ekvivalensklass innehåller således exakt ett polynom av grad r av grad < n och därför kan klasserna betecknas som a! + a! x + a! x! + + a!!! x (!!!), där a! F I de fall där F är ändlig, det vill säga att F innehåller en ändlig mängd element q betecknas detta som F = q och i dessa fall finns just q alternativ för koefficienterna a!. Vidare så ges av multiplikationsprincipen att det då finns q! ekvivalensklasser. Två binära operationer + och införs på ekvivalensklasserna och definieras på följande sätt: f(x) + g(x) = f x + g(x) f(x) g x = f(x) g(x) Tillsammans med räkneoperationerna bildar ekvivalensklasserna modulo m(x) en kommutativ ring med enhetselement. Denna ring betecknar vi F! x / (m x ) och kallar denna ring för kvotring. Från ovan har vi sett att om F = q och grad m x = n så är F x /(m x ) = q!. 3.4 Vikten av irreducibiliteten Det visar sig att de irreducibla polynomen spelar stor roll för huruvida ringen F! x /(m x ) är en kropp eller ej, här kan självklart paralleller dras till vikten av att primtalen: Sats 3 Ringen F! x /(m x ) är en kropp om och endast om polynomet m(x) är irreducibelt över F.

14 Bevis För att F x /(m x ) ska vara en kropp måste alla krav för detta vara uppfyllda. Ovan har vi visat att ekvivalensklasserna bildar en ring samt att multiplikationen är kommutativ, det krav som blir svårt att visa är att varje ekvivalensklass förutom 0 har en multiplikativ invers och för att detta krav ska vara uppfyllt måste m(x) vara irreducibelt. Detta krav inses i och med att om vi antar att m(x) vore reducibelt skulle det kunna skrivas som: m x = f(x) g(x) där grad f < grad m, grad g < grad m. Detta innebär att f(x) 0, g(x) 0 men 0 = f(x) g(x) och ringen innehåller således nolldelare och är därmed ingen kropp. 17 För att visa tillräckligheten av villkoret på m(x) använder vi Euklides algoritm och säger att det finns polynom q x och k x så att p x q x + k x m x = 1 Med tanke på att vi räknar med ekvivalensklasser inser vi att m(x) = 0, och vi får att p(x) q x = 1 det vill säga att polynomet p(x) och då också ekvivalensklassen p(x) har den multiplikativa inversen q(x). 18 Exempel: För polynomet m x = x! + 4x + 2 är de enda möjligheterna till rationellt nollställe ±1 och ± 2. Emellertid visar insättning av dessa att de inte duger vilket innebär att polynomet m(x) är irreducibelt över Q. Bestäm inversen till x! + x i kroppen Q x /(m x ). Lösning: Med hjälp av Euklides algoritm på polynomen m x och x! + x fås: x! + 4x + 2 = x 1 x! + x + 5x + 2 x! + x = 1 5 x x Ur detta kan vi sedan utläsa att 5x + 2 = x = 1 5 x x + 2 x! + x = = 1 5 x m x x 1 x! + x x! + x = 17 Böiers, Biggs, 349.

15 = 1 5 x! x x! + x x m x. Multiplikation med!"! ger x! x x! + x = 5 6 x! x 11 3 x! + x mod m(x) det vill säga 1 = 5 6 x! x 11 3 x! + x och den multiplikativa inversen till x! + x är således!! x! +!!! x.!! Slutsats I och med denna sats kan vi konstatera att för att kunna konstruera en kropp av grad p! behöver vi enbart hitta ett irreducibelt polynom av grad n i F! x. Detta är alltid möjligt vilket vi ska bevisa i kommande del av uppsatsen men nu kan vi konstatera att: 19 i) För varje primtal p och positivt heltal n finns en kropp med q = p! element. ii) Varje ändlig kropp har p! element för något primtal p och något positivt heltal n. iii) Två ändliga kroppar med samma antal element är isomorfa. I kommande del av denna uppsats ska vi undersöka dessa 3 konstateranden och titta närmare på hur konstruktionen av en ändlig kropp går till. 4. Homomorfi och isomorfi För vidare i uppsatsen kunna jämföra algebraiska strukturer med varandra behöver vi definiera begreppen homomorfi och isomorfi. 4.1 Homomorfi En avbildning f: G H av en grupp G till gruppen H kallas för en homomorfi av G på H om f bevarar operationen på G. Det vill säga att för G, och H, så för alla a, b G fås att f a b = f a f b Böiers, Lidl, Niederreiter, 8.

16 Exempel För avbildningen f från Z, + dvs heltalen tillsammans med operationen addition, till Z n, + dvs heltalen modulo n och addition som definieras f a = a ges att f a + b = a + b = a + b = f a + f b för a, b Z Detta innebär att f är en homomorfi. 4.2 Isomorfi En homomorfi som också är en bijektion sägs vara en isomorfi. För två ringar R, +, och (S,, ) säger man att de är isomorfa om det finns en homomorfi f som också är en bijektion. 21 Exempel För ringarna (R, +, ) där R är de reella talen R tillsammans med de vanliga räkneoperationerna addition och multiplikation, och (S,, ) där S är R! tillsammans med operationerna och som definieras på följande sätt a b = a b! a b = a!"#$ funktionen f: R R! definieras som f x = 2! och att den är bijektiv är klart. Uppfyller den dessutom kraven för homomorfi vet vi att ringarna R och S är isomorfa. För de binära operationerna fås f a + b = 2!!! = 2! 2! = f a f b f a b = 2!" = 2!!"#!!!!"#!!!!"#$!!!"#$! = 2 = f a f b Bevisligen har vi homomorfi som också är bijektiv vilket betyder att ringarna R och S är isomorfa. 21 Böiers, 169.

17 5. Konstruktion av ändliga kroppar Vi ska nu gå vidare med teorin bakom hur man kan konstruera ändliga kroppar utifrån mängder och irreducibla polynom. För att kunna göra detta behöver vi bevisa en rad satser som ligger bakom tillvägagångssättet för konstruktionen. Sats 4 Om F är en ändlig kropp av karakteristik p så är dess additiva grupp isomorf med Z!!, det vill säga produkten av n kopior av Z!. En konsekvens av detta är att F = p! för något n Bevis Givet något element f 0 i F och något positivt heltal r så finns ett element rf = f = f + f + + f i F, där det är r termer i summan. Dessa element utgör den cykliska delgruppen f av den additiva gruppen av F. Eftersom att p = 0 i F blir de enda relevanta värdena av r 0, 1, 2,, p 1och vi kan tänka oss r som ett element i Z!. Låt oss sedan säga att delmängden f!, f!,, f! av F genererar F om alla element i F kan skrivas på formen f = r! f! + r! f! + + r! f! (r!, r!,, r! Z! ) Sådana mängder existerar säkerligen eftersom att hela F är en av dem. Antag att f!, f!,, f! genererar F och ingen annan av dessa f!, f!,, f! äkta delmängder gör det. Då är alla av de p! uttrycken r! f! + r! f! + + r! f! (r!, r!,, r! Z! ) element i F, och varje element i F motsvaras av ett sådant uttryck. Om två olika uttryck representerar samma term i F, låt säga r! f! + r! f! + + r! f! = p! f! + p! f! + + p! f! då kan vi välja det första indexet i så att r! p! och skriva om ekvationen på följande form (r! p! )f! = (p!!! r!!! )f!!! + + (p! r! )f!. 22 Biggs, 346.

18 Eftersom att r! p! 0 har den en invers i Z!. Vid multiplikation med (r! p! )!! får vi ett uttryck för f! i termer av f!!!,, f!. Alltså kan f! eliminineras från den genererande mängden, i motsättning till antagandet att ingen delmängd f!, f!,, f! genererar F. Vi konstaterar att det finns en bijektion i vilken elementen i F motsvaras av k-tiplarna r!, r!,, r! av elementen i Z!. Eftersom att addition i F motsvaras av addition av k-tiplar, är bijektionen i själva verket en isomorfi av den additiva gruppen av F med den direkta produkten av n kopior! av Z! det vill säga Z!. Sats 5 Om F är en ändlig kropp så är dess multiplikativa grupp cyklisk. Bevis Låt F vara en kropp av ordning q och låt F beteckna dess multiplikativa grupp F\ 0. Om N är den maximala ordningen för ett element i F följer det av allmänna lagar inom teorin för ändliga abelska grupper att alla ordningar av element delar den högsta ordningen av element så att för varje f F uppfylles kravet f! = 1. Därav följer också att alla tal i F är rötter till x! 1. Antalet rötter till ett polynom i en kropp är som mest graden av polynomet och x! 1 har q 1 rötter i F så q 1 N. Eftersom att N är ordningen av ett element i F, vilken är en grupp av ordning q 1 följer det av Lagranges sats att N (q 1) så N q 1 och därav är N = q 1. Det finns alltså element i F med grad q 1 vilket betyder att F är cyklisk. Vi kan nu dra slutsatsen att både den additiva gruppen samt den multiplikativa gruppen av en ändlig kropp är cykliska. 5.1 Primitivt element Att en grupp är cyklisk innebär som tidigare nämnts att alla element i gruppen kan skrivas som en multipel av ett enda element. För en kropp kallas detta element för ett primitivt element till F. Om a 0 är ett element i Z! så betecknar vi med ο(a) det minsta positiva heltalet x som har egenskapen a! = 1. Detta tal x kallas för ordningen av a i Z!. Exempel Om vi tittar på den ändliga kroppen F! och dess multiplikativa grupp. För att hitta dess primitiva element undersöker vi olika tal som ingår i kroppen. Vi börjar med att undersöka talet 2 och kommer ihåg att vi hela tiden räknar med modulo 7, vi får 2! = 2, 2! = 4, 2! = 1

19 Alltså, elementet 2 är inte det primitiva elementet i den multiplikativa gruppen tillhörande F! i och med att vi enbart får elementen 2, 4 och 1. Däremot så är ordningen för 2 i F! 3 i och med att 2! = 1. Om vi istället undersöker talet 3 får vi 3! = 3, 3! = 2, 3! = 6, 3! = 4, 3! = 5, 3! = 1 Vi kan då konstatera att talet 3 faktiskt är det primitiva elementet för denna multiplikativa grupp samt att ordningen är Ändliga kroppen med p n element Vi har konstaterat att för att kunna konstruera en ändlig kropp med p! element behöver vi bara finna ett irreducibelt polynom av grad n i F x. Men än vet vi inte att sådana polynom existerar för varje värde på p och n. 23 Vi ska nu se att det går att beskriva varje ändlig kropp som ett splittringskropp av ett polynom som endast beror på storleken av kroppen. 24 Vidare ska vi bevisa att det finns ett moniskt irreducibelt polynom för varje p och varje n. Sats 6 För ett primtal p och ett moniskt irreducibelt polynom m(x) i F! x av grad n så är ringen F! x /(m x ) en kropp med p! element. 25 Bevis Sidoklasserna modulo m(x) representeras av restklasserna c! + c! x + c! x! + + c!!! x!!!, c! F och det finns således p! av dessa. Eftersom att modulo m(x) är irreducibelt är ringen F! /(m x ) en kropp av samma anledning som att Z! är en kropp då n är ett primtal vilket vi bevisat ovan. För att kunna gå vidare med uppsatsen bör vi definiera två begrepp: utvidgningskropp samt splittringskropp. Definition 9 Låt F vara en kropp. En delmängd K av F som själv är en kropp under operationerna som tillhör F kallas då för underkropp till F. I denna kontext kallas också F för en utvidgningskropp till K. 23 Biggs, Conrad, Keith. Finite Fields,3. 25 Conrad, 1.

20 Definition 10 Låt f K vara av positiv grad och F vara en utvidgningskropp till K. Vi säger då att f splittas i F om f kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i F x. Alltså, om det finns element α!, α!,, α! F så att f x = a x α! x α! x α!, där a är koefficienten framför termen med högst grad i f. Kroppen F är en splittringskropp av f över K om f splittas i F och vidare om F = K(α!, α!,, α! ). En splittringskropp F av f över K innehållande alla rötter av f. är med andra ord den minsta kropp Exempel Om vi tittar på ekvationen x! 2 = 0 så är denna olösbar i Q. Om vi däremot betraktar mängden Q( 2) = a + b 2; a, b Q, som är en utvidgningskropp till Q, så har vi x! 2 = (x 2)(x + 2) och vi har konstruerat en splittringskropp till x! 2. Sats 7 För varje primtal p och varje positivt heltal n finns en ändlig kropp med p! element. Bevis Vi börjar med beviset för att det finns en ändlig kropp med q = p! för alla p och n. Betrakta x! x i F! x och låt F vara dess splittringskropp över F!. Allmänna resultat om kroppar ger existensen av F. Detta polynom har q distinkta rötter i F eftersom dess derivata är qx!!! 1 = 1 i F! x och kan alltså inte ha någon gemensam rot med x! x. Låt sedan S = a F: a! a = 0. Då är S en underkropp till F eftersom 1. S innehåller 0 och 1 2. a, b S implicerar att a b! = a! b! = a b så a b S. Om vi först antar att q = p är ett udda primtal. Ger binomialutveckling a b! = a! +!! a!!! b +!! a!!! b! + +!!!! a b! + b!.!! Alla är heltal och delbara med p eftersom att p finns i täljaren men ej i nämnaren. I F! blir alla alltså noll och a b! = a! + b! = a! b! om p är ett udda primtal. Beviset för q = p! är analogt med detta.

21 3. För a, b S och b 0 fås att ab!!! = a! b!! = ab!! S. Lemma Varje kropp F av ordning p! är en splittringskropp till x!! x. Bevis Vi vet av sats 5 att F = F 0 är en multiplikativ grupp av ordning p! 1. Detta medför att t 0 uppfyller t!!!! t = 1 det vill säga t!! = t eller t!! t = 0. Följdsats Alla ändliga kroppar med samma antal element är isomorfa. Bevis Detta följer av lemmat ovan samt av att splittringskroppar till ett bestämt polynom över F! är isomorfa. 5.3 Existensen av irreducibla polynom Som tidigare nämnt så kan vi konstruera en ändlig kropp bara vi kan hitta ett moniskt irreducibelt polynom av grad n i F x men hur vet vi att ett sådant polynom finns för alla värden av p och n? Lemma För varje primtal p och något positivt heltal n finns ett moniskt irreducibelt polynom m(x) av grad n i F! x och m(x) kan väljas så att varje nollskilt element av F! /(m x ) är kongruent med en potens av x. 26 Bevis Från sats 7 konstateras att en kropp av grad p! existerar. Vidare så ges av sats 6 att existensen av en kropp av grad p! implicerar existensen av ett moniskt irreducibelt polynom m x i F! x av grad n. Från beviset av sats 6 fås också att x mod m(x) genererar de nollskilda elementen i F! x /(m x ) eftersom att isomorfin identifierar x mod m(x) med en generator för kroppen av grad p!. Exempel Ändliga kroppar av storlek 9 på formen F! x /(m x ) behöver p = 3 och grad m x = 2. De polynom av grad 2 som är moniska och irreducibla i F! x är x! + 1, x! + x + 2 och x! + 2x + 2. För kropparna F! x /(x! + 1) F! x /(x! + x + 2) F! x /(x! + 2x + 2) 26 Conrad, 4.

22 är x ej generator för de nollskilda elementen i den första kroppen men i den andra och tredje kroppen. Alltså, även fast F! x /(x! + 1) är det enklaste valet av dessa tre exempel är det ej valet som kommer av sats 7 när vi letar efter en modell för kroppar av storlek 9 på formen F! x /(m x ). Det är dock viktigt att inse att det ej finns någon formel för att hitta detta irreducibla polynom för varje grad i F! x. Vi kan till exempel inte generellt använda oss av binomialpolynom på formen x! a eftersom att de är reducibla i de fall där p n. Om vi undersöker polynom med 3 termer för ännu större flexibilitet, får vi polynom på formen x! + ax! + b där a, b F och 0 < k < n. Trots detta kan vi fortfarande inte hitta ett irreducibelt polynom för alla grader, till exempel så finns inga irreducibla polynom med tre termer i F! x av grad 8 eller Slutsatser I och med de satser och bevis som presenterats här i avsnitt 5 kan vi nu dra följande slutsatser angående de ändliga kropparna Varje ändlig kropp har primtalsgrad q = p! 2. Det finns i huvudsak endast en ändlig kropp av storlek q 3. Kroppens additiva grupp är Z!! 4. Kroppens multiplikativa grupp är Z!!!. 27 Conrad, Biggs, 353.

23 6. Tillämpningar 6.1 Ekvationslösning I den teoretiska framställningen av begreppet kropp som gjorts ovan kan det verka som något mycket abstrakt, emellertid visar det sig att det finns relativt många tillämpningsområden för att studera och förstå sig på dessa algebraiska strukturer. Som nämndes i inledningen så är bakgrunden till själva uppkomsten av dessa (ändliga) kroppar ekvationslösning, eller snarare frågeställningar kring huruvida en ekvation kan ha heltalslösningar. Genom att studera de ändliga kropparna blir svaret på denna fråga relativt enkel. Länge undersökte man lösningar till den diofantiska ekvationen X! + Y! = Z! där n > 2 och X, Y, Z är nollskilda heltal. Fermat kom sedan med antagandet att några lösningar till denna ekvation finns inte. Om vi skriver om ekvationen ovan genom att sätta x =!! och y =!! och sedan dividerar hela ekvationen med Z! fås en ny ekvation nämligen : x! + y! = 1 och att lösa denna är då ekvivalent med att hitta nollskilda rationella tal x och y som gäller för ekvationen ovan. Ekvationen kan ses som en kurva i xy-planet där vi är intresserade av de punkter (x, y) som har nollskilda rationella koordinater och ligger på denna kurva. Givet Fermats antagande förväntar vi oss att inga sådana punkter existerar. De punkter som vi söker kallas Q-punkter där Q betecknar kroppen av rationella tal. Om vi istället skulle titta på lösningar över en annan kropp, en ändlig kropp F!! så vet vi från det vi sett att för ett fixt p! finns endast ett ändligt antal par (x, y) som löser ekvationen. Dessa par kan vi i teorin hitta genom att bara substituera alla p! möjligheter för x och alla p! möjligheter för y och se vilka av dessa som löser ekvationen. Alltså, medan det är svårt att veta hur många Q lösningar som finns till en ekvation så är det lätt att veta hur många F!! lösningar som finns, de är bara att räkna dem. 29 En utav de viktigaste och mest användbara anledningarna till att studera de ändliga kropparna är således att de med fördel kan användas vid ekvationslösning. Exempel Alla ekvationer på formen y = f(x) har p! lösningar (x, y) i F!! eftersom att x kan bli tilldelat ett godtyckligt värde i F!! och då är y unikt bestämt. Alltså, om N!,! betecknar antalet F!! lösningar till ekvationen y = f(x) får vi att 6.2 Kodning N!,! = p!. De ändliga kropparna har också mer praktiska och handfasta tillämpningar inom geometri, kombinatorik, samt kodning och kryptologi. I denna sista del av 29 Koblitz Neal. Why Study Equations over Finite Fields? 1982,144.

24 uppsatsen är tanken att kort exemplifiera vad kodning är och hur ändliga kroppar används inom detta område. Kodning är något som ursprungligen skapades för att man skulle kunna skicka meddelanden till varandra med så låg felmarginal som möjligt. De senaste decennierna har framstegen inom abstrakt algebra påverkat utvecklingen av just kodning och där har de ändliga kropparna haft stor betydelse. Främst utvecklingen av koder med polynom över F! har spelat stor roll för dagens kodningstekniker. 30 Kodning handlar om att hitta sätt att skicka information över kanaler som ofta har störningar som riskerar att ändra informationen. Man vill därför hitta sätt att skicka informationen samt ta emot denna på ett sätt som reducerar möjligheten för feltolkningar av meddelandet. Man vill alltså hitta metoder som minskar felmarginalerna vid transporten av informationen och här har egenskaper hos ändliga kroppar spelat stor roll när man velat öka pålitligheten. Den information man vill skicka består ofta av en ändlig uppsättnings symboler som är element i ett ändligt alfabet av något slag. Om alfabetet till exempel endast innehåller elementen 0 och 1 kan informationen som skickas ses som ett binärt tal. En av de mest grundläggande idéerna inom algebraisk kodningsteori är att man skickar överflödig information tillsammans med den faktiska informationen som man vill ha fram. Emellertid måste denna överflödiga information läggas till på ett systematiskt sätt för att den som tar emot informationen ska kunna tolka den rätt. Om vi för enkelhetens skull antar att symbolerna i ett meddelande samt i det kodade meddelandet tillhör samma ändliga kropp F! innebär kodning således att man vill koda en uppsättning k symboler a!, a!,, a! där a! F! till ett kodord c!, c!,, c! av n symboler c! F q där n > k. Vi betraktar kodordet som en n- dimensionell vektor c i F!!. Om vi sedan inför en funktion f från F!! till F!! så kallas f för kodningschema och funktionen g från F!! till F!! kallas istället avkodningsschema. Ett vanligt förekommande exempel uppstår då varje uppsättning a!, a!,, a! av symboler kodas till ett kodord på formen a! a! a! c!!! c! där de första k symbolerna tillhör orginalmeddelandet och de ytterligare n k symbolerna i F! är kontrollsymboler. Denna typ av kodningscheman presenteras ofta på följande sätt: Om vi låter H vara en given (n k) n matris med element i F! på formen H = (A, I!!! ) där A är en (n k) k matris och I!!! är identitetsmatrisen av grad n k. Kontrollsymbolerna c!!!,, c! kan sedan beräknas genom ekvationssystemet Hc! = 0 för kodord c. 31 Vi ska nu titta på ett konkret exempel 30 Lidl, Niederreiter, Ibid, 472.

25 Exempel Låt H vara följande 3 7 matris över F! H = Kontrollsymbolerna kan då beräknas genom Hc! = 0. Givet c!, c!, c!, c! fås c! +c! +c! +c! = 0 c! +c! +c! +c! = 0 c! +c! +c! +c! = 0 Kontrollsymbolerna c!, c!, c! kan då beräknas på följande vis c! = c! +c! +c! c! = c! +c! +c! c! = c! +c! +c! Alltså, kodningsschemat i detta fall är den linjära avbildningen från F!! till F!! som ges av a!, a!, a!, a! a!, a!, a!, a!, a! + a! + a!, a! + a! + a!, a! + a! + a! 7. Avslutning 7.1 Galoiskroppen, GF(p n ) Som nämnt i inledningen så var det den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss samt fransmannen Evaristé Galois som anses vara grundarna till teorin bakom de ändliga kropparna. Medan Gauss främst bidrog med aritmetiken inom polynomringen F! x och då främst användandet av Euklides algoritm och unik faktorisering, var det Galois som faktiskt konstruerade de ändliga kropparna i hans publikation On the Theory of Nymbers år I denna text bygger han vidare på de teorier som Gauss hade och bevisar flera viktiga satser inom teoribildningen för de ändliga kropparna. Som också nämnts i inledningen samt tillämpningsavsnittet så var det inom arbetet med ekvationslösning som dessa teorier uppkom och medan Gauss och andra matematiker innan honom enbart jobbat med heltalslösningar för att lösa ekvationer på formen m(x) 0 går Galois vidare och undersöker inkomensurabla lösningar vilket gör att han får fram nya resultat. Genom att anta att m(x) är irreducibelt modulo p samt av grad n, skapar han p! element på formen a + a! x + + a!!! x!!! där koefficienterna a!, är heltal modulo p. Dessa p! element formar som vi vet en

26 ändlig kropp, eller en Galoiskropp (GF(p! )). Termen Galoiskropp har i stort sett försvunnit och ersatts med ändlig kropp, men den lever i viss mån kvar inom kodningsteroi. Galois visar också att alla element som tillhör kroppen är en rot till x!! x och att varje irreducibelt polynom av grad n är en delare till detta polynom. Det Galois kommer fram till är också det som denna uppsats diskuterat, nämligen att det strukturmässigt endast finns en ändlig kropp med p! element, oavsett vilket irreducibelt polynom vi använder. Det dröjer dock till 1893 innan man bevisar att en ändlig kropp måste vara av primtalsgrad samt att alla ändliga kroppar av samma storlek är isomorfa, detta bevis publiceras av E.H. Moore och i slutet av 1800-talet sammanfattas de grundläggande egenskaperna hos de ändliga kropparna av Dickson. 32 Ändliga kroppar och den abstrakta algebran är med matematikhistoriska mått mätt en väldigt ung vetenskap. Detta tillsammans med de många tillämpningsområdena bidrar till stora möjligheter för vidare forskning inom området. 32 Lidl, Niederreiter. Handbook of Algebra,

27 Referenslista Tryckta källor Biggs, L. Norman. Discrete Mathematics. New York: Oxford University Press, Böiers, Lars- Christer. Diskret Matematik. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur, Hunger Parshall, Karen (2008). The Development of Abstract Algebra (kapitel 2.3). I The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. Koblitz, Neal. Why Study Equations over Finitie Fields? Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 i Mathematical Association of America. 1982, sid Lidl, Rudolf och Niederreiter, Harald. Encyclopedia of Mathematics and its Applications: Finite Fields. 2. Uppl. Cambridge University Press, Lidl, Rudolf och Niederreiter, Harald. Finite Fields and their Applictions. I Handbook of Algebra vol 1, Hazewinkel, Michiel, Amsterdam: 1996 Elektroniska källor Conrad, Keith. Finite Fields. Tillgänglig:

28

Några satser ur talteorin

Några satser ur talteorin Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF63, den 25 maj 2 kl 8.-3.. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = =

1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = = Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF630, den 20 maj 2009 kl 08.00-3.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Grupper och RSA-kryptering

Grupper och RSA-kryptering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.

Läs mer

3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till

3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Isac Hedén, isac@math.uu.se Prov i matematik Vi räknar ett urval av dessa uppgifter vid vart och ett av de tio lektionstillfällena. På kurshemsidan framgår

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Mer om faktorisering

Mer om faktorisering Matematik, KTH Bengt Ek november 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Mer om faktorisering Inledning. Är alla ringar som Z? De första matematiska objekt vi studerade i den här kursen

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

10! = =

10! = = Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET AKS-algoritmen för att bestämma om ett tal är ett primtal eller inte av Per Westerlund 2005 - No 14 MATEMATISKA INSTITUTIONEN,

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Femtegradsekvationen av Niklas Fransson 2017 - No 44 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM

Läs mer

1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. a b c d e. a a b c d e

1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. a b c d e. a a b c d e 1 Lösning till MODELLTENTA DISKRET MATEMATIK moment B FÖR D2 och F, SF1631 resp SF1630. DEL I 1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. Lösning: Vi

Läs mer

SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 9 mars 2009

SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 9 mars 2009 SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 9 mars 2009 (1) a) Definiera vad som menas med centralisatorn till ett element g i en grupp G. (1) b) Visa att

Läs mer

x 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,

x 23 + y 160 = 1, 2 23 = , Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =

Läs mer

Euklides algoritm för polynom

Euklides algoritm för polynom Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh. Lösningsförslag Algebra och kombinatorik

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh. Lösningsförslag Algebra och kombinatorik MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh Lösningsförslag Algebra och kombinatorik 015-01-16 Uppgift 1 Vi noterar att 31 är ett primtal, så Z 31 är en kropp.

Läs mer

Vi börjar med en viktig definition som inte finns i avsnitt 3.4 i [EG], den formella definitionen av kongruens modulo n:

Vi börjar med en viktig definition som inte finns i avsnitt 3.4 i [EG], den formella definitionen av kongruens modulo n: MAAA26 Diskret Matematik för Yrkeshögskoleutbildning-IT Block 6 BLOCK INNEHÅLL Referenser Modulär aritmetik. Inledning 1. Kongruens modulo n 2. Z n -- heltalen modulo n 3. Ekvationer modulo n 4. Övningsuppgifter

Läs mer

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER

MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER SONJA KOVALEVSKYDAGARNA 2008; HANNA USCKA-WEHLOU 0. Praktiska anmärkningar Det finns följande moment i workshop: en föreläsningsdel - jag berättar om

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Algebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10

Algebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10 Grupper En grupp är ett par (G,*) där G är en mängd och * är en binär operation på G som uppfyller följande villkor: G1 (sluten) x,yϵg så x*yϵg G2 (associativ) x,y,z ϵg (x*y)*z=x*(y*z) G3 (identitet) Det

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Ett försök att generalisera konjugatregeln av Ulrika Söderberg 2016 - No 17 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET,

Läs mer

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI DANIEL LARSSON Sammanfattning. En kort introduktion till ringteori. Innehåll 1. Inledning 1 2. Definition 1 2.1. Heltalsdomäner 3 3. Exempel, kommutativa ringar 4

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga

Läs mer

Hela tal LCB 1999/2000

Hela tal LCB 1999/2000 Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när

Läs mer

Kinesiska restsatsen

Kinesiska restsatsen Matematik, KTH Bengt Ek juli 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Kinesiska restsatsen Vi vet att för varje m Z + och varje a Z, ges alla x Z som uppfyller x a (mod m) av x

Läs mer

Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion

Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

Diofantiska ekvationer

Diofantiska ekvationer Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 19. Diofantiska ekvationer Vi börjar med en observation som rör den största gemensamma delaren till

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 5 juni 2009

SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 5 juni 2009 SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 5 juni 2009 (1) a) Definiera vad som menas med en grupphomomorfi. (1) b) Visa att exponentialfunktionen, exp

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II 1 Modulär- eller kongruensaritmetik Euklides algoritm RSA-algoritmen G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 2 Grupper och permutationer

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER Juliusz Brzezinski och Jan Stevens MATEMATIK CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2001 FÖRORD Termen Diskret matematik täcker ett mycket brett spektrum

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

Definitionsmängd, urbild, domän

Definitionsmängd, urbild, domän 5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är

Läs mer

Att dela en hemlighet

Att dela en hemlighet Att dela en hemlighet Olle Alvin, NA3d 19 maj 014 Gymnasiearbete Spyken Handledare: Roger Bengtsson Abstract This report will investigate different methods for sharing secret information, for example bank

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

Entydig faktorisering och Fermats stora sats i fallet n = 3

Entydig faktorisering och Fermats stora sats i fallet n = 3 AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ Avdelningen för elektronik, matematik och naturvetenskap Entydig faktorisering och Fermats stora sats i fallet n = 3 Leroy Kermanshahani 2018 Examensarbete, Grundnivå (kandidatexamen),

Läs mer

ALGEBRAISKA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski

ALGEBRAISKA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski ALGEBRAISKA STRUKTURER Juliusz Brzezinski MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2005 FÖRORD Detta kompendium täcker innehållet i kursen Algebraiska strukturer,

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som

Läs mer

Om den kompletta tillslutningen av de p-adiska talen

Om den kompletta tillslutningen av de p-adiska talen U.U.D.M. Project Report 2016:1 Om den kompletta tillslutningen av de p-adiska talen Mårten Nilsson Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Veronica Crispin Quinonez Februari

Läs mer

Symbolisk integrering av rationella funktioner

Symbolisk integrering av rationella funktioner Symbolisk integrering av rationella funktioner Gustaf Lönn 28 augusti 2013 Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Handledare: Mika Seppälä Innehåll 1 Inledning 2 2 Abstrakt algebra

Läs mer

Om relationer och algebraiska

Om relationer och algebraiska Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi

Läs mer

Binära kvadratiska former

Binära kvadratiska former U.U.D.M. Project Report 2016:14 Binära kvadratiska former Vasam Mazraeh Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Andreas Strömbergsson Examinator: Veronica Crispin Quinonez Juni 2016 Department of

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

C/D-UPPSATS. Talteori

C/D-UPPSATS. Talteori C/D-UPPSATS 2008:03 Talteori Från kvadratisk reciprocitet till Riemanns zeta-funktion via primtalssatsen Joakim Larsson Luleå tekniska universitet C/D-uppsats Matematik Institutionen för Matematik 2008:03

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b

Läs mer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 1) Beräkna x 4 + 2x 3 + 3 för alla värden på x i Z 5. Lösning: Det nns bara fem

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del II 17 oktober

Läs mer

Lite additioner till Föreläsningsanteckningarna. 1 Tillägg till kapitel 1.

Lite additioner till Föreläsningsanteckningarna. 1 Tillägg till kapitel 1. Lite additioner till Föreläsningsanteckningarna. Följande additioner har gjorts till anteckningarna men ligger ändå som ett separat dokument för er som redan har skrivit ut anteckningarna och inte vill

Läs mer

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Uppsala den 4 november 018 1. Låt ABCD vara en fyrhörning utan parallella sidor, som är inskriven i en cirkel. Låt P och Q vara skärningspunkterna

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Andragradspolynom Några vektorrum P 2

Andragradspolynom Några vektorrum P 2 Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom

Läs mer

Algebra II. Isac Hedén och Johan Björklund

Algebra II. Isac Hedén och Johan Björklund Algebra II Isac Hedén och Johan Björklund 1 2 Innehåll 0 Introduktion 4 1 Talteori 4 1.1 Rationella tal och decimalrepresentationer............. 4 1.2 Delbarhet................................ 8 1.3 Primtal.................................

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 08.00 13.00. Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Hjälpmedel:

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1 Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart

Läs mer

Resträkning och ekvationer

Resträkning och ekvationer 64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal

Läs mer

Algebra och kryptografi

Algebra och kryptografi VK Algebra och kryptografi Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Institutionen för matematik, 2002 Grekiska alfabetet alfa A α iota I ι rho P ρ beta B β kappa K κ sigma Σ σ gamma Γ γ lambda Λ λ

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för

Läs mer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Definition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b).

Definition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b). Block 4 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Kongruens modulo n 2. Z n -- heltalen modulo n 3. Ekvationer modulo n 4. Relationer 5. Funktioner Golv och tak funktionerna

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

Matrisexponentialfunktionen

Matrisexponentialfunktionen U.U.D.M. Project Report 206:2 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Examensarbete i matematik, 5 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Jörgen Östensson Juni 206 Department of Mathematics Uppsala

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer