Symbolisk integrering av rationella funktioner

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Symbolisk integrering av rationella funktioner"

Transkript

1 Symbolisk integrering av rationella funktioner Gustaf Lönn 28 augusti 2013 Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Handledare: Mika Seppälä

2 Innehåll 1 Inledning 2 2 Abstrakt algebra Grundläggande begrepp och satser Förhållanden mellan olika strukturer Polynom Euklides Egenskaper för polynom Kroppsutvidgningar Kvadratfri faktorisering Resultant Differentialalgebra Integrering av rationella funktioner Bernoullis metod Hermites reduktion Rothstein-Tragers algoritm Liouvilles sats 52 1

3 Kapitel 1 Inledning Integralkalkylen har ursprungligen uppkommit ur areaberäkningar. Arkimedes uppskattade arean för en cirkel genom att beräkna arean för en omskriven respektive inskriven regelbunden månghörning till cirkeln. Då antalet hörn i månghörningen ökar, blir månghörningens area en allt bättre approximation till cirkelns area. Denna tanke ligger också som grund för den formalisering av integralen som på 1800-talet gjordes av Riemann. Leibniz och Newton både presenterade och gjorde stora framsteg inom differentialoch integralkalkylen redan på 1600-talet, men det var först genom Cauchys och Riemanns arbete på 1800-talet som den gjordes matematiskt stringent. Integralkalkylens huvudsats, som ger ett samband mellan differential- och integralkalkylen, gör det möjligt att beräkna areor för områden som begränsas av olika typer av funktioner. För att kunna utföra detta exakt, måste vi ha en metod för att bestämma de primitiva funktionerna till de begränsande funktionerna. Att bestämma den primitiva funktionen till en funktion, dvs. att utföra motsatt operation till derivering, kan vara svårt och i en del fall t.o.m. omöjligt. Oftast finns det inga lika direkta regler som vid derivering, utan man får tänka bakvägen eller förlita sig på tabeller. I t.ex. fysikaliska tillämpningar, där exakthet inte krävs, förbigår man detta problem genom att utföra integreringen numeriskt, dvs. genom att diskretisera och utföra summering istället. Vi kommer i detta arbete att presentera en algoritm för att bestämma den primitiva funktionen (även känd som den obestämda integralen och hädanefter ibland också betecknad med enbart termen integral) till en rationell funktion. Detta problem kallas även symbolisk integrering. Termen symbolisk innebär att algoritmen arbetar med variabler och uttryck för funktioner som objekt istället för att behandla dem numeriskt. För att kunna skapa en sådanhär algoritm frångår vi den analytiska definitonen av integralen och överför problemet till ett av algebraiskt slag istället. Detta gör vi genom att använda oss av differentialalgebra. Differentialalgebran ger en algebraisk definition av derivatan, och 2

4 därmed också av dess inversa operation, integralen. Vi kommer att presentera den matematiska grunden för den ovannämnda algoritmen och att bevisa dess giltighet. Andra mindre algoritmer, som är betydande för integreringsalgoritmen, presenteras i pseudokod. Vi gör däremot inget försök på att implementera algoritmerna. En implementering skulle till en början kräva möjlighet till tolkning av inmatningar, presentation och manipulering av rationella uttryck. Detta kan naturligtvis förverkligas på många olika sätt i många olika system. Exempel på programvara som utför symbolisk integrering (inte bara av rationella funktioner) är Maple och Mathematica. För algoritmen krävs olika typer av verktyg, såsom kvadratfri faktorisering, partialbråksuppdelning och resultantberäkningar. Många delsteg i algoritmen baserar sig på Euklides algoritm och även på den utvidgade versionen av denna. Dessa algoritmers funktion kan beskrivas med hjälp av grundläggande abstrakt algebra och resultat från den. Allt detta presenteras i kapitel 2. De diverse stegen i integreringsalgoritmen presenteras närmare i kapitel 3. Ett intressant steg på vägen i konstruktionen av algoritmen är att bestämma 1 x dx. Det visar sig nämligen att integralen av en rationell funktion inte alltid är en rationell funktion, något som är välkänt från analysen. Till sist behandlas också Liouvilles sats, som säger att en explicit integrerbar funktion, dvs. en funktion vars primitiva funktion kan uttryckas med hjälp av elementära funktioner, har ett visst utseende. En följd av den är att t.ex. integraler av typen e x2 dx inte kan uttryckas med hjälp av elementära funktioner. Vidare finns det en algoritm, kallad Riesz-algoritmen, som kan användas för att avgöra om en funktion sammansatt av elementära funktioner är explicit integrerbar, och ifall den är det, också för att bestämma integralen. Denna algoritm presenteras i detalj i [6]. Den intresserade läsaren hänvisas också till [2]. 3

5 Kapitel 2 Abstrakt algebra Integraler är analytiskt definierade matematiska objekt och därmed är bestämmandet av dem, integreringen, ett analytiskt problem. Att tackla en integral analytiskt från grunden är inte en möjlighet då vi kräver effektivitet i beräkningarna. Däremot känner vi till att integrering av vissa uttryck kan göras systematiskt med hjälp av tabeller. Genom att konvertera integreringen till ett algebraiskt problem, där den ursprungliga definitionen av integralen inte uppträder överhuvudtaget, kan vi med hjälp av dessa tabeller skapa en algoritm för att integrera funktioner. I det här kapitlet presenteras den underliggande abstrakta algebra som krävs för formuleringen av algoritmen. Många definitioner är hämtade ur [3]. 2.1 Grundläggande begrepp och satser Definition 2.1. En grupp (G, ) är en mängd G utrustad med en operation : G G G, för vilka följande villkor gäller: (i) Operationen är associativ, dvs. (a b) c = a (b c) för alla a, b, c G. (ii) Det finns ett element e G (identiteten i G) så att a e = e a = a för alla a G. (iii) För alla a G existerar ett element a 1 G (inversen till a) så att a a 1 = a 1 a = e. Då den med gruppen associerade operationen framgår av sammanhanget kan vi beteckna gruppen (G, ) med endast G. Operationen är kommutativ om a b = b a för alla a, b G. Om är kommutativ sägs (G, ) vara en kommutativ (alternativt abelsk) grupp. 4

6 Definition 2.2. Låt (G, ) vara en grupp med identiteten e G. Vi säger att (H, ), där H G, är en undergrupp till G om följande villkor gäller: (i) Identiteten i G är också ett element av H, dvs. e H. (ii) Mängden H är sluten under operationen, dvs. a b H för alla a, b H. (iii) Varje element i H har en invers i H, dvs. det existerar ett a 1 H så att a a 1 = a 1 a = e för alla a H. Faktumet att H är en undergrupp till G betecknar vi H G. Exempel 2.3. Vi betraktar paret (N 0, +), mängden av naturliga tal utrustad med addition, och undersöker huruvida det är en grupp. Vi kan sluta oss till att elementet 0 N 0 är identiteten. Däremot uppfylls villkor (iii) i definition 2.1 inte, då det t.ex. inte existerar något n N 0 så att 1 + n = 0. Detta innebär att N 0 inte är en grupp. Paret (Z, +), mängden av heltal utrustad med addition, är däremot en grupp, eftersom varje element m Z har ett inverst element m Z. Gruppen (2Z, +), där 2Z = {2n : n Z}, dvs. mängden bestående av alla jämna heltal, är ett exempel på en undergrupp till Z. Vi betecknar 2Z Z. Definition 2.4. En ring (R, +, ) är en mängd R utrustad med operationerna +: R R R (addition) och : R R R (multiplikation), för vilka följande villkor gäller: (i) Paret (R, +) är en abelsk grupp. (ii) Operationen är associativ. (iii) Operationen har en identitet i R. (iv) Distributionslagarna gäller i R, dvs. a (b + c) = a b + a c och (a + b) c = a c + b c för alla a, b, c R. Precis som i fallet med gruppen kan vi beteckna ringen (R, +, ) med enbart R, ifall operationerna framgår av sammanhanget. Om operationen är kommutativ sägs också ringen (R, +, ) vara kommutativ. Vi betecknar framöver den additiva identiteten i en godtycklig ring med 0 och den multiplikativa identiteten med 1. Därtill betecknar vi additionen med + och multiplikationen med och antar dessa vara underförstådda då vi pratar om ringen R. Vi använder oss också av förkortningen a b = ab. 5

7 Definition 2.5. Låt R vara en ring. Karakteristiken för R är det minsta positiva heltal k, för vilket bet. } 1 + {{ + 1 } = k 1 = 0. k stycken Om inget sådant heltal finns, sägs karakteristiken för R vara 0. Exempel 2.6. Vi betraktar nu mängden Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} utrustad med addition och multiplikation modulo 5. Detta innebär att operationerna grundar sig på den vanliga additionen och multiplikationen i Z, men från resultatet subtraheras alltid den högsta möjliga multipel av 5, så att det resulterande talet är positivt. Trippeln (Z 5, +, ) är en kommutativ ring. Karakteristiken för den är 5, eftersom = 5 1 = 0. Ett annat exempel på en ring är mängden av m m-matriser med reella koefficienter, R m m, utrustad med den vanliga matrisadditionen och -multiplikationen. På grund av egenskaperna för R kommer karakteristiken för R m m att vara 0. Observera att multiplikativa inverser inte behöver existera i en ring. Elementet 1 har naturligtvis en multiplikativ invers (sig självt), men det kan också finnas andra element som har det. Följande definition belyser situationen. Definition 2.7. Låt R vara en ring. Ett element a R är en enhet om det har en multiplikativ invers, dvs. om det finns ett element a 1 R så att a a 1 = a 1 a = 1. Vi betecknar R = {a R a är en enhet}. Två element a, b R är!!associates!! ifall a = eb, där e R är en enhet. Exempel 2.8. Som i föregående exempel betraktar vi ringen Z 5 och undersöker vilka enheterna i den är. Vi har att För den additiva identiteten 0 gäller det att 1 1 = = = = 1. 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a för alla a Z 5, vilket innebär att 0a = 0. Detta resultat gäller också i en allmän ring. Enheterna i Z 5 är alltså 1, 2, 3 och 4. 6

8 Definition 2.9. Låt R vara en kommutativ ring och a, b R. Vi säger att a delar b om det finns ett element d R så att b = da. Vi betecknar detta a b. Definition En heltalsring (D, +, ) är en kommutativ ring för vilken 0 1 och a b = 0 implicerar a = 0 eller b = 0 för alla a, b R. Exempel Vi undersöker den kommutativa ringen Z 5. Multiplikationstabellen för den ser ut på följande sätt: Av tabellen framgår att Z 5 är en heltalsring. Den kommutativa ringen Z 6 (utrustad med addition och subtraktion modulo 6) är däremot inte en heltalsring, eftersom 2 3 = 0 gäller i Z 6. Definition Låt R vara en kommutativ ring. Mängden I R är ett ideal i R om följande villkor gäller: (i) (I, +) är en undergrupp till (R, +). (ii) xa I för alla x R och a I. Ett ideal som spänns upp av mängden {x 1,..., x n }, där x 1,..., x n R, är det minsta ideal som innehåller nämnda mängd och det betecknas (x 1,..., x n ). Ett principalideal är ett ideal, som spänns upp av en mängd med enbart ett element. Definition En principalring är en heltalsring i vilken alla ideal är principalideal. Omvänt gäller det också att varje element i en principalring spänner upp ett unikt ideal. Exempel Vi betraktar ringen Z. Enligt exempel 2.3 är (2Z, +) en undergrupp till (Z, +). Vi har dessutom att xa 2Z, där x Z och a 2Z, eftersom ett jämnt heltal multiplicerat med ett heltal är ett jämnt heltal. Alltså är 2Z ett ideal i Z. Vi undersöker det ideal i Z som spänns upp av elementet 2, dvs. idealet (2). Vi har åtminstone att 2 (2). Villkor (i) i definition 2.12 ger att 0 och alla multiplier av 2 innehålls i idealet, dvs. {0, 2, 4,... } (2). Villkor (ii) ger därtill att produkter av element i Z och (2) måste ingå i (2), och därmed får vi att (2) = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } = {2n : n Z} = 2Z. 7

9 Idealet 2Z i Z är alltså ett principalideal. Det visar sig att nz är ett ideal i Z då n N 0 och att nz = (n). Dessutom kan alla ideal i Z skrivas i den här formen. Detta innebär att Z är en principalring. Definition Låt D vara en heltalsring och p D vara ett element olika noll som saknar multiplikativ invers (alternativt kan vi beteckna detta p D \ (D {0})). Vi säger att p är ett irreducibelt element i D om vilken som helst faktorisering p = ab, där a, b D, implicerar att a D eller b D. Ovanstående definition ger oss en generalisering av primtalen i Z för en godtycklig heltalsring. Observera också att a D och b D inte kan gälla, eftersom det implicerar att p = ab D, då abb 1 a 1 = 1, och definitionens antaganden därmed inte uppfylls. Definition Låt D vara en heltalsring. Heltalsringen D är en ring med entydig faktorisering (alternativt EF-ring) om följande villkor gäller för varje p D \ (D {0}): (i) Elementet p kan skrivas som en produkt av ett ändligt antal irreducibla element i D. (ii) Om p = p 1 p r = q 1 q s, där p 1,..., p r, q 1,..., q s D så gäller det att r = s och att q j kan indexeras om så att p i och q i är!!associates!! för alla i N, i r. Exempel Vi betraktar ringen Z[i 7] = {a + bi 7 : a, b Z}, där i är den imaginära enheten med egenskapen i 2 = 1. Vi undersöker elementet 8 Z[i 7], och observerar att det som bekant kan faktoriseras som 8 = 2 2 3, där 2 och 3 båda är irreducibla element i Z[i 7]. Däremot finner vi också en annan faktorisering: 8 = (1 i 7)(1 + i 7). Dessa faktorer visar sig också vara irreducibla. Det här innebär att ringen Z[i 7] inte är en EF-ring. Utvidgningen av Z i föregående exempel innebär att vi bildar en ny ring, som förutom alla element i Z också innehåller elementet i 7. För att utvidgningen skall vara en ring, måste vi också lägga till alla element a+bi 7, som resulterar från operationer av elementet i 7 med sig självt och med de övriga elementen i Z. I en EF-ring är alltså faktoriseringen entydig, bortsett från multiplikation med en enhet. Vi kan t.ex. i Z skriva 4 = 2 2 = ( 2) ( 2), där 2 och 2 är!!associates!!. Egenskaperna för EF-ringen innebär också att den största gemensamma faktorn är väldefinierad: Definition Låt D vara en EF-ring och a, b D. Elementet d D är den största gemensamma faktorn för elementen a och b om följande villkor uppfylls: 8

10 (i) d a och d b. (ii) Om det för c D gäller att c a och c b, så gäller det att c d. Vi betecknar den största gemensamma faktorn för a och b med sgf(a, b). Den största gemensamma faktorn för a 1,..., a n D, där n N, n > 2 definierar vi rekursivt på följande sätt: sgf(a 1,..., a n ) = sgf(sgf(a 1,..., a n 1 ), a n ). Vi säger dessutom att elementen a och b är relativt prima om sgf(a, b) = 1. Eftersom faktoriseringen i en EF-ring är entydig bortsett från en faktor som är en enhet, innebär det att den största gemensamma faktorn också kommer att vara entydig bortsett från en faktor som är en enhet. För att kunna presentera en algoritm för att bestämma den största gemensamma faktorn för två element måste vi göra några tilläggskrav på EF-ringen. Observera att följande definition utgår från en heltalsring. Vi kommer emellertid senare (se sats 2.22 och 2.23) att visa att en euklidisk ring alltid är en EF-ring. Definition En euklidisk ring D är en heltalsring tillsammans med en funktion ν : D \ {0} N 0, för vilka följande villkor gäller: (i) ν(ab) ν(a) för alla a, b R \ {0}. (ii) För alla a, b R existerar det q, r R så att a = qb + r och r = 0 eller ν(r) < ν(b). Funktionen ν kallas euklidisk valuation. Egenskap (ii) i definitionen ovan är en generalisering av delbarhetssatsen i Z. Vi har inte ännu definierat en algebraisk struktur som reflekterar de egenskaper de rationella (och även irrationella) talen, Q (R), har. Förutom att Q är en ring, så gäller det också att alla element i Q \ {0} har en multiplikativ invers. Följande definition tar fasta på denna egenskap: Definition En kropp (K, +, ), K {0}, är en kommutativ ring vars alla element, förutom den additiva identiteten 0, är enheter. Ovanstående definition innebär alltså att både (K, +) och (K \ {0}, ) är grupper. Observera att en kropp också är en heltalsring. Detta ser vi lätt på följande sätt: Låt K vara en kropp och a, b K, så att ab = 0. Om a 0 har vi att a 1 ab = 0 är ekvivalent med b = 0. Som en följd har vi att a 1 a = 0 implicerar a = 0 eller a 1 = 0, vilket innebär att

11 För olika algebraiska strukturer (grupp, ring, heltalsring, EF-ring, principalring, euklidisk ring och kropp) kan vi i enlighet med undergruppen i definition 2.2 definiera en understruktur. Vi presenterar detta mer allmänt än i tidigare nämnda definition: Om A är en algebraisk struktur av något slag, så är B en understruktur till A om mängden B innehålls i mängden A och B i sig är samma typ av algebraisk struktur som A. Vi använder oss då av beteckningen B A. T.ex. är Q en delkropp till R, då Q R och Q i sig är en kropp. Vi betecknar Q R. I följande definition gör vi en motsvarande definition som tidigare, fast i den andra riktningen. Här begränsar vi däremot oss till den algebraiska strukturen kropp, eftersom det enbart är den vi senare kommer utvidga: Definition En kroppsutvidgning L till kroppen K är en kropp för vilken K L. Med andra ord är kroppen R en kroppsutvidgning till kroppen Q, eftersom vi tidigare konstaterade att Q R. 2.2 Förhållanden mellan olika strukturer Här presenterar vi resultat för hur olika tidigare presenterade algebraiska strukturer förhåller sig till varandra. Emedan en inklusionskedja bestående av de olika strukturerna från ring till kropp kan bildas, kommer vi enbart att behandla de implikationer som är relevanta för fortsättningen. Vi kommer att bevisa implikationskedjan euklidisk ring principalring EF-ring. Sats 2.22 ([5], s. 71). Varje principalring är en EF-ring. Bevis. Låt P vara en principalring. Vi hänvisar till villkoren i definition 2.16 som villkor (i) och villkor (ii) och visar att P uppfyller dem. Låt S = {(p) p P \ {0}, p kan inte faktoriseras till irreducibla element}. Varje element i S är alltså ett principalideal. Ifall S saknar element uppfyller P villkor (i). Anta därmed att S är en icke-tom mängd och att (p 1 ) S, där p 1 P. Vi betraktar en växande följd (2.1) (p 1 ) (p 2 ) (p n )..., av ideal i S. Anta att följden är oändlig. Eftersom unioner av ideal också är ideal har vi att unionen U := (p i) är ett ideal. Eftersom P är en principalring kan vi skriva U = (p) för något p P. Låt n N vara sådant att p (p n ). Ett sådant n måste existera 10

12 för att p U och U är en union av (p i ), i N. Detta innebär enligt definitionen för ideal att (p) (p n ), dvs. U (p n ), vilket strider mot definitionen på U, alltså kan följden inte vara oändlig. Låt n N vara sådant att (p n ), där p n P, är det sista elementet i följden (2.1) och låt I vara ett ideal i P. Anta att (p n ) I. Eftersom (p n ) är det största ideal som spänns upp av ett element som inte kan faktoriseras till irreducibla element, innebär det att I = (p), där p P kan faktoriseras till irreducibla element. Elementet p n kan inte vara irreducibelt, eftersom det då trivialt kan faktoriseras till irreducibla element. Det innebär att vi kan skriva p n = ab för a, b P, där varken a eller b är en enhet. Enligt definitionen för ideal har vi att (p n ) (a) och (p n ) (b), vilket enligt vad vi konstaterade tidigare innebär att både a och b kan faktoriseras till irreducibla element, dvs. p n = ab kan också faktoriseras. Detta strider mot antagandet om att S är en icke-tom mängd, alltså måste S vara den tomma mängden. Principalringen P uppfyller alltså villkor (i). Vi vill ännu visa att faktoriseringen till irreducibla element är unik på det sätt som krävs av villkor (ii). Anta att p P har två olika faktoriseringar, (2.2) p = p 1 p 2 p r = q 1 q 2 q s. Vi har att p 1 q 1 q 2 q s och kan därmed genom omindexering anta att p 1 q 1. Eftersom q 1 är irreducibelt, så har vi att q 1 = up 1, där u P är en enhet. Vi kan nu göra en substitution i (2.2) och därmed förkorta för att erhålla p 2 p r = uq 2 q s. Påståendet följer av ovanstående genom induktion. Sats 2.23 ([4], s. 274). Varje euklidisk ring är en principalring. Bevis. Låt D vara en euklidisk ring med valuationen ν och låt N vara ett ideal i D. Ifall N = {0} har vi att N = (0). Vi antar nu att N {0}. Låt a, b N, där b är sådant att ν(b) ν(n) för alla n N, dvs. ν(b) är det minsta värdet valuationen kan anta för element i N. Vi kan nu skriva a = qb + r för q, r D, där r = 0 eller ν(r) < ν(b). Vi har att r = a qb, dvs. r N. Enligt valet av b kan vi inte ha ν(r) < ν(b), utan r = 0 måste gälla, alltså a = qb. Då detta gäller för ett godtyckligt a N har vi att N = (b). Alltså är N en principalring. 2.3 Polynom Definition Låt R vara en kommutativ ring. Ett polynom p(x) med koefficienter i R är den formella summan a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +..., i=0 11

13 där a i R för alla i N 0, a i 0 endast för ett ändligt antal värden på i. Mängden av polynom med koefficienter i R betecknar vi R[x]. Vi kallar x för en obestämd över R. Polynomet p(x) kan vi också beteckna enbart med p då den obestämda antingen framgår av sammanhanget eller inte är relevant. Låt n vara det största heltal för vilket för vilket a n 0. Om a n = 0 för alla n N 0 (nollpolynomet) låter vi n =. Vi säger att graden för polynomet p(x) är n och vi betecknar deg(p) = n. Ifall a n = 1 säger vi att polynomet är moniskt. Vi kan notera att beteckningen för mängden av polynom över den kommutativa ringen R, R[x], antyder att R utvidgats med ett element, som är obestämt (i fortsättningen kommer vi inte att fästa mer uppmärksamhet vid detta, utan vi antar alltid att x är en obestämd). En motsvarande utvidgning användes i exempel I R[x] förekommer däremot olika potenser av x, vilket inte vid första åsyn ser ut att stämma överens med definitionen på Z[i 7] i det nämnda exemplet. Orsaken till att högre potenser av i 7 inte förekommer i Z[i 7] är naturligtvis att ( i 7 ) 2 = 7. Låt R vara en kommutativ ring och p(x), q(x) R[x]. Anta att och p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, där n, m N 0 och a n, b m 0. Vi definierar nu (i enlighet med de egenskaper vi känner för polynom från analysen) addition av polynom på följande sätt: p(x) + q(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c r x r, där c i = a i +b i för alla i N 0, i r och r = max (n, m). För graden för summapolynomet gäller att deg(p + q) max(deg(p), deg(q)). Likhet gäller inte i de fall, där n = m och a n = b m, dvs. där polynomen är av samma grad och högstagradskoefficienterna är varandras additiva inverser. Vidare definierar vi multiplikation av två polynom enligt följande: p(x) q(x) = d 0 + d 1 x + d 2 x d s x s, där d k = k i=0 a ib k i för alla k N 0, k s och s = nm. För gradtalen gäller likheten (2.3) deg(pq) = deg(p) + deg(q). Beviset för följande sats är okomplicerat, men arbetsdrygt, och förbigås därför. 12

14 Sats Låt R vara en kommutativ ring. Mängden R[x] utrustad med den ovan definierade polynomadditionen och -multiplikationen är en kommutativ ring. Observera också att en ring kan utökas med fler än ett obestämt element. Då R är en kommutativ ring har vi att (R[x])[y], där x och y är obestämda element, är en ring med polynom i y, vars koefficienter är element i R[x]. Genom utbrytning kan dessa element skrivas om som polynom i x med koefficienter i (R[y]). Då vi betraktar polynom över Z har vi t.ex. att (x 2 + 1)y 2 (7 + x)y x = y 2 x 2 (y + 1)x + y 2 7y. } {{ } } {{ } (Z[x])[y] (Z[y])[x] Det visar sig att det inte spelar någon roll i vilken ordning R utvidgas med obestämda. Ringarna (R[x])[y] och (R[y])[x] är isomorfa, och därmed kan vi istället behandla dem som ringen R[x, y], som är ringen av alla polynom i de obestämda x och y. De verktyg vi behöver senare, bl.a. den största gemensamma faktorn, är inte väldefinierade i en kommutativ ring. Det innebär att vi måste inskränka oss till mer specifika algebraiska strukturer och undersöka huruvida polynomringar uppfyller starkare krav. Lösningen visar sig vara att istället utgå från polynom, vars koefficienter är element i en kropp. Sats 2.26 ([4], s. 249). Låt K vara en kropp och f(x), g(x) K[x] där deg(g) > 0. Det existerar unika polynom q(x), r(x) K[x] så att och f(x) = q(x)g(x) + r(x) (2.4) deg(r) < deg(g). Bevis. Anta att g(x) = b 0 +b 1 x+ +b m x m, m N 0 och b m 0. Vi undersöker mängden S = {f gs s K[x]}. Låt r S vara sådant, att deg(r) deg(s) för alla s S, dvs. r är ett polynom med lägsta möjliga grad i S. Nu har vi att f = gq + r för något q K[x]. Ifall deg(r) = 0 gäller (2.4). Anta därmed att deg(r) 0 och att r = c 0 + c 1 x + + c t x t, där t N 0 och c t 0. Vi vill visa att (2.4) gäller, dvs. att t < m. Anta att t m. Vi härleder en motsägelse genom att konstruera ett polynom i S med lägre grad än r. Vi betraktar följande polynom: f(x) q(x)g(x) c t x t m g(x) = r(x) c t x t m g(x) b m b ( m = r(x) c t x t c tb m 1 x t c ) tb 0 x t m. b m b m 13

15 Vi observerar att termen c t x t stryks i det högra ledet. Polynomet har alltså lägre grad än r. Dessutom kan vänster led skrivas i formen ( f(x) g(x) q(x) + c ) t x t m, b m vilket innebär att polynomet hör till S och har lägre grad än r. Detta är en motstridighet, vilket innebär att t < m, dvs. att (2.4) gäller. Vi bör ännu visa att polynomen r och q är unika. Anta att och f(x) = q 1 (x)g(x) + r 1 (x) f(x) = q 2 (x)g(x) + r 2 (x), där q 1, q 2, r 1, r 2 K[x]. Genom subtraktion av de olika representationerna av f erhåller vi g(x)(q 1 (x) q 2 (x)) = r 2 (x) r 1 (x). Vi vet att graden för r 2 r 1 är lägre än graden för g, så vi måste enligt (2.3) ha att q 1 q 2 = 0, dvs. q 2 = q 1, vilket leder till att r 2 = r 1. I samband med definitionen av en euklidisk ring noterades att ett av villkoren var en generalisering av delbarhetssatsen i Z. Ovanstående sats är en motsvarighet till delbarhetssatsen för polynom. Därmed visar det sig att följande gäller: Sats Låt K vara en kropp. Nu gäller det att K[x] är en euklidisk ring med valuationen ν(p) = deg(p) för alla p K[x]. Bevis. Vi börjar med att visa att K[x] är en heltalsring. Låt polynomen f, g K[x] vara sådana att f(x)g(x) = 0. Nu har vi att deg(fg) = deg(f) + deg(g) = 0, dvs. att deg(f) = 0 och deg(g) = 0 enligt (2.3). Vi kan därmed skriva f(x) = a och g(x) = b för a, b K. Eftersom K är en heltalsring har vi att a = 0 eller b = 0, dvs. f(x) = 0 eller g(x) = 0. Detta ger att K[x] är en heltalsring. Enligt sats 2.26 uppfyller K[x] villkor 2.19.(ii). Villkor 2.19.(i) gäller med stöd av (2.3). Exempel Det finns en relativt enkel algoritm för att dividera polynom med varandra. Den baserar sig på trappan, som används för att dividera tal med varandra. Vi presenterar ett exempel på algoritmen med två polynom i Z[x], f(x) = 4x 3 + 4x 2 15x 18 och g(x) = 2x

16 2x 2 x 6 2x + 3 ) 4x 3 + 4x 2 15x 18 4x 3 6x 2 2x 2 15x 2x 2 + 3x 12x 18 12x + 18 Detta innebär alltså att vi kan skriva f(x) = (2x 2 x 6)g(x) + 0. Algoritmen i ovanstående exempel fungerar i euklidiska ringar med stöd av definition 2.19.(ii). För polynom över en godtycklig kropp kan vi skriva algoritmen ovan på följande sätt ([2], s. 8): PolyDivide(A, B) (* Låt K vara en kropp och A, B K[x], där B 0. Returnerar Q, R K[x] så att A = BQ + R och antingen R = 0 eller deg(r) < deg(b). *) Q 0, R A while R 0 och δ deg(r) deg(b) 0 do T lc(r) lc(b) xδ, Q Q + T, R R BT return(q, R) Definition Låt R vara en EF-ring och p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x], där a n 0. Vi säger att polynomet p är primitivt om sgf(a 0,..., a n ) R. Exempel Vi kan konstatera att polynomet p(x) = 4x + 8 Z[x] inte är primitivt, då sgf(4, 8) = 4. Om vi däremot betraktar p(x) som ett polynom i Q[x] är det primitivt, eftersom elementet 4 har en multiplikativ invers i Q. Definition Låt R vara en EF-ring och p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x], där a n 0 och deg(p) > 0. Vi definierar och betecknar formellt derivatan av polynomet p som n 1 p (x) = (i + 1)a i+1 x i. Ifall deg(p) = 0 definierar vi p (x) = 0. i=0 Låt p, q R[x], där R är en EF-ring. Den ovanstående definitionen av derivatan av ett polynom uppfyller också bl.a. följande villkor, som är kända följder av den analytiska definitionen: 15 0

17 (p(x) + q(x)) = p (x) + q (x) (linearitet) (p(x)q(x)) = p (x)q(x) + p(x)q (x) (produktregeln) (p(x) n ) = np(x) n 1 p (x) (potensregeln) Sats Låt R vara en EF-ring och p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x]. Nu gäller det att p (x) = 0 deg(p) = 0. Bevis. Implikationen från höger till vänster är trivial. Anta att p (x) = 0. Vi har å andra sidan att p (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1. Nu måste alla koefficienter vara lika med 0. Vi får alltså att ia i = 0 skall gälla då i = 1,..., n. Eftersom R är en heltalsring, så måste antingen i = 0 eller a i = 0 gälla för varje i. Vi får att a i = 0 då i = 1,..., n, dvs. att p(x) = a 0 och deg(p) = Euklides Vi har tidigare nämnt att det finns en algoritm för att beräkna den största gemensamma faktorn (se definition 2.18) för två element i en euklidisk ring. Algoritmen kallas Euklides algoritm och presenteras här som en sats: Sats 2.33 ([4], s. 277). Låt D vara en euklidisk ring med den euklidiska valuationen ν och a, b D \ {0}. Låt q 1, r 1 D så att (2.5) a = bq 1 + r 1, där antingen r 1 = 0 eller ν(r 1 ) < ν(b). Om r 1 0, låt q 2, r 2 D så att (2.6) b = q 2 r 1 + r 2, där antingen r 2 = 0 eller ν(r 2 ) < ν(r 1 ). Upprepa detta, dvs. låt r i+1, q i+1 D så att (2.7) r i 1 = r i q i+1 + r i+1, där antingen r i+1 = 0 eller ν(r i+1 ) < ν(r i ). Följden r 1, r 2,... kommer att avslutas med r s = 0 för något s N. Om r 1 = 0, så gäller sgf(a, b) = b. Om r 1 0 och s är det minsta heltal för vilket r s = 0, så gäller sgf(a, b) = r s 1. 16

18 Bevis. Enligt 2.19.(ii) kan vi hitta q 1, q 2,..., r 1, r 2, D så att (2.5), (2.6), (2.7) och tillhörande villkor uppfylls. Följden ν(r 1 ), ν(r 2 ),... är strängt avtagande. Eftersom ν(r i ) är ett icke-negativt heltal för alla i N, kommer r s = 0 att gälla för något s N och följden att avslutas. Anta att r 1 = 0, dvs. att a = bq 1. Trivialt har vi att sgf(a, b) = b. Anta nu att r 1 0. Vi undersöker hur faktorerna för a, b och r 1 förhåller sig till varandra. Ifall d a och d b har vi också att d (a q 1 b) } {{ } =r 1. På motsvarande gäller att d 1 b och d 1 r 1 ger att d 1 (bq 1 + r 1 ). } {{ } =a De gemensamma faktorerna för a och b är alltså de samma som för b och r 1. Vi kan gå tillväga på motsvarande sätt om r 2 0 och visa att de gemensamma faktorerna för a och b är de samma som för r 1 och r 2. Då vi upprepar detta, får vi slutligen att de gemensamma faktorerna för a och b är de samma som för r s 2 och r s 1 där r s är den första rest som är lika med 0. Vi får alltså att sgf(a, b) = sgf(r s 2, r s 1 ). Dessutom har vi att vilket ger att sgf(r s 2, r s 1 ) = r s 1. r s 2 = q s r s 1 + r }{{} s = q s r s 1, =0 Exempel Vi demonstrerar hur Euklides algoritm fungerar med polynom, eftersom det är på dem vi kommer att tillämpa den. Vi beräknar sgf(f, g), där f, g Q[x] är definierade som f(x) = 2x 3 14x x + 30 och g(x) = x 3 6x 2 + 5x Vi inleder med att dividera f med g med hjälp av divisionsalgoritmen PolyDivide. Vi erhåller f(x) = 2g(x) + ( 2x 2 + 4x + 6). } {{ } :=r(x) Följande steg är att dividera g med den nyss uppkomna resten r. Vi får nu g(x) = ( 1 2 x + 2)r(x). Denna division går jämnt ut, och därför ger sats 2.33 att sgf(f, g) = 2x 2 + 4x + 6. Det är värt att lägga märke till att fastän både de två polynomen och den största gemensamma faktorn har koefficienter i Z, så förekommer ändå element ur Q i beräkningarna. 17

19 Sats 2.35 ([4], s. 276). Låt D vara en euklidisk ring med valuationen ν och låt a, b D \ {0}. Nu existerar det λ, µ D så att sgf(a, b) = λa + µb. Bevis. Låt N = {sa + tb : s, t D}. Låt d = s 0 a + t 0 b N vara det element för vilket ν(d) antar sitt minsta värde. Vi kan nu hitta q, r D så att (2.8) a = qd + r, där antingen r = 0 eller ν(r) < ν(d). Faktumet att d N och (2.8) ger att r = (1 s 0 )a t 0 b, dvs. r N. Enligt valet av d måste ν(r) ν(d) gälla och därmed måste r = 0. Detta innebär att d a. På motsvarande sätt kan vi se att d b. Anta att c D också delar både a och b. Detta innebär att c (s 0 a + t 0 b) = d och därmed är d = sgf(a, b). Föregående sats implicerar att vilket som helst element i D kan skrivas som en linjär kombination av två godtyckliga relativt prima element i D. Elementen λ och µ kan beräknas med hjälp av Euklides utvidgade algoritm, till vilken pseudokoden ges nedan ([2], s. 11): ExtendedEuclidean(a, b) (* Låt D vara en euklidisk ring och a, b D. Returnerar s, t, g D så att g = sgf(a, b) och sa + tb = g. *) a 1 1, a 2 0, b 1 0, b 2 1 while b 0 do (q, r) PolyDivide(a, b) a b, b r r 1 a 1 qb 1, r 2 a 2 qb 2 a 1 b 1, a 2 b 2, b 1 r 1, b 2 r 2 return(a 1, a 2, a) Vi kan också utöka ovanstående algoritm till att lösa en godtycklig diofantisk ekvation, dvs. en ekvation av formen xa + yb = c, där x och y är okända. Enligt sats 2.35 existerar en sådan lösning åtminstone då sgf(a, b) c. En annan egenskap för algoritmen är att den likt delbarhetsalgoritmen ser till att ett av elementen uppfyller ett villkor angående valuationen. Pseudokoden ser ut på följande sätt ([2], s. 13): 18

20 ExtendedEuclidean(a, b, c) (* Låt D vara en euklidisk ring med valuationen ν och a, b, c D och sgf(a, b) c. Returnerar s, t D så att sa + tb = c och antingen s = 0 eller ν(s) < ν(b). *) (s, t, g) ExtendedEuclidean(a, b) (q, r) PolyDivide(c, g) if r 0 then error sgf(a, b) delar inte c s qs, t qt if s 0 och ν(s) ν(b) then (q, r) PolyDivide(s, b) s r, t t + qa return(s, t) Det senare if-blocket i denna algoritm ser till att antingen s = 0 eller ν(s) < ν(b) kommer att uppfyllas. Det här är av stor betydelse i de kommande integreringsalgoritmerna. Under vissa tilläggsvillkor kan vi också säga något om hur valuationen för t och a förhåller sig till varandra: Lemma Låt K vara en kropp och a, b, c, s, t K[x] så att sa+tb = c, där deg(s) < deg(b). Anta att deg(c) < deg(a) + deg(b). Nu gäller det att deg(t) < deg(a). Bevis. Anta att deg(t) deg(a). Nu har vi att deg(sa) = deg (s) + deg (a) < deg (t) + deg (b) = deg(tb) och därmed att deg(c) = deg(sa + tb) = deg(tb) = deg(t) + deg(b) deg(a) + deg(b), vilket strider mot vårt antagande. För fortsättningen kommer vi att behöva kunna utvidga heltalsområden till kroppar. Låt D vara en heltalsring. Vi kan utvidga D till en kropp K genom att införa element av formen a/b i K, där a, b D och b 0. Den exakta konstruktionen behandlas t.ex. i [4] i kapitel 26 och baserar sig på ekvivalensklasser. Vi kan också använda oss av ovanstående utvidgning då vi behandlar polynomringar. Låt K vara en kropp. Vi definierar rationella uttryck genom att med K(x) beteckna den kropp, vars element är av formen f/g, där f, g K[x] och g 0. Vi kan också göra en motsvarande utvidgning med flera obestämda. Vi skriver K(x 1,..., x n ), där x 1,..., x n är obestämda element, för att beteckna den kropp, vars element är av formen f/g, där f, g K[x 1,..., x n ] och g 0. Euklides utvidgade algoritm behövs också för att göra partialbråksuppdelningar. I följande sats kommer bråk att användas i den bemärkelse som definierats ovan. Observera alltså att bråken i följande sats inte nödvändigtvis är element i D, utan istället i!!field of quotients!! till D. 19

21 Sats 2.37 ([2], s. 14). Låt D vara en euklidisk ring med valuationen ν och a, d D \ {0}. Anta att d kan faktoriseras som d = d 1 d n, där d i D, i = 1,..., n och sgf(d i, d j ) = 1 då i j. Nu existerar det a 0, a 1,..., a n D, för vilka gäller att antingen a i = 0 eller ν(a i ) < ν(d i ), då i 1, och att (2.9) a d = a d 1... d n = a 0 + Bevis. Eftersom D är en euklidisk ring kan vi skriva (2.10) a = da 0 + r, där r = 0 eller ν(r) < ν(d). Ifall n = 1 har vi redan erhållit den efterfrågade formen då vi dividerar båda leden i (2.10) med d. Om n > 1 så kan vi med hjälp av Euklides utvidgade algoritm hitta a 1, b D så att (2.11) r = a 1 (d 2 d n ) + bd 1, eftersom sgf(d 1, d 2 d n ) = 1, då d i är parvis relativt prima för i = 1,..., n. Här gäller antingen a 1 = 0 eller ν(a 1 ) < ν(d 1 ) (då vi använder oss av den senare ExtendedEuclidean). Vi fortsätter med att betrakta bråket b/(d 2... d n ). Genom att använda oss av (2.10) och (2.11) och tillhörande metoder kan vi rekursivt hitta b 0, a 2,..., a n D så att antingen a i = 0 eller ν(a i ) < ν(d i ) och Då vi dividerar (2.10) med d erhåller vi b d 2 d n = b 0 + n i=2 n a i d i. a i d i. a d = a 0 + r d = a 0 + a 1 b + = (a 0 + b 0 ) + d 1 d 2 d n n a i d i. Ledet längst till höger i (2.9) kallas för partialbråksuppdelningen av a/d med avseende på faktoriseringen d = d 1... d n. Exempel Låt d(x) = x 3 6x x 6 Q[x] och a(x) = 1 Q[x]. Vi beräknar partialbråksuppdelningen av a/d med avseende på faktoriseringen d(x) = (x 1)(x 2)(x 3), där faktorerna är parvis relativt prima. Trivialt erhåller vi att 1 = 0 (. x 3 6x x 6) + 1, 20

22 dvs. a 0 (x) = 0. Med hjälp av Euklides utvidgade algoritm får vi 1 = 1 2 (x 2)(x 3) + 1 (4 x)(x 1), 2 dvs. a 1 (x) = 1 och b 2 1(x) = 1 (4 x). Nu upprepar vi algoritmen, men denna gång för 2 bråket b 1 /(d 2 d 3 ). Polynomdivision ger oss att 1 2 (4 x) = 0 (x 2)(x 3) + 1 (4 x), 2 dvs. b 0 (x) = 0. Euklides utvidgade algoritm ger 1 2 (4 x) = 1(x 3) + 1 (x 2), 2 dvs. a 2 (x) = 1 och b 2 (x) = 1 2. Det sista steget är att upprepa algoritmen för b 2/d 3, vilket med polynomdivision trivialt ger oss dvs. a 3 (x) = 1. Vi kan alltså skriva = 0 (x 3) + 1 2, 1 (x 1)(x 2)(x 3) = 1 2(x 1) 1 x (x 3). 2.5 Egenskaper för polynom Enligt vår tidigare definition är polynom formella summor, och den obestämda, som i analysen motsvaras av variabel, är inte vidare definierad. Vi konstruerar nu en metod för att beräkna värdet för ett polynom för ett element. Detta gör vi för att kunna undersöka faktorisering av polynom mer i detalj och presentera algoritmer för att göra detta. Definition Låt R och S vara kommutativa ringar. En homomorfism är en funktion φ : R S för vilken φ(a + b) = φ(a) + φ(b) och φ(ab) = φ(a)φ(b) för alla a, b R. Sats Låt L vara en kropp, K dess delkropp och α L. Funktionen φ α : K[x] L definierad enligt är en homomorfism. φ α (a 0 + a 1 x + + a n x n ) = a 0 + a 1 α + + a n α n 21

23 Bevis. Anta att p, q K[x], där p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0 och q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m, b m 0. Vi har nu att φ α (p + q) = φ α (a 0 + a 1 x + + a n x n + b 0 + b 1 x + + b m x m ) = a 0 + a 1 α + + a n α n + b 0 + b 1 α + + b m α m = φ α (p) + φ α (q). Dessutom gäller det att pq = c c r x r, där c j = j k=0 a kb j k då j = 0,..., r och r = mn, vilket ger att φ α (pq) = φ α (c 0 + c 1 x + + c r x r ) Alltså är φ α en homomorfism. = c 0 + c 1 α + + c r α r = (a 0 + a 1 α + + a n α n )(b 0 + b 1 α + + b m α m ) = φ α (p)φ α (q). Observera att också K = L är möjligt, eftersom L är en delkropp till sig själv. Homomorfismen φ α i föregående sats avbildar alltså ett polynom på ett element i koefficientkroppen eller en utvidgning av denna. I analytiska termer är det som att beräkna värdet för polynomet i punkten α. Följande definition klargör detta ytterligare: Definition Låt L vara en kropp, K dess delkropp och α L. Låt p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n K[x] och låt φ α : K[x] L vara homomorfismen definierad i definition Vi betecknar p(α) := φ α (p) = a 0 + a 1 α + + a n α n L. Om p(α) = 0 säger vi att elementet α är ett nollställe till polynomet p. Sats Låt K vara en kropp, f K[x] och α K. Elementet α är ett nollställe till f om och endast om x α är en faktor till f. Bevis. Anta att f(α) = 0. Eftersom K[x] enligt sats 2.27 är en euklidisk ring, så finns det q, r K[x] så att f(x) = q(x)(x α) + r(x), där (2.12) deg(r) < deg(x α) = 1. 22

24 Genom att använda homomorfismen φ α : K[x] K från sats 2.40 erhåller vi (2.13) 0 = q(α) 0 + r(α). Eftersom vi enligt (2.12) har att r är ett konstant polynom, ger (2.13) att r(x) = 0 måste gälla, vilket innebär att x α är en faktor i f. Anta att (x α) f(x). Eftersom K[x] är en EF-ring, kan vi skriva f(x) = (x α)f 1 (x) f n (x), där f 1,..., f n K[x]. Avbildning med homomorfismen φ α ger nu f(α) = φ α ((x α)f 1 (x) f n (x)) = φ α (x α) φ } {{ } α (f 1 (x)) φ α (f n (x)) =0 = 0. Ovanstående sats ger en metod för att lösa högregradspolynomekvationer med hjälp av faktorisering. Om man (genom prövning) hittar ett nollställe till polynomet, så kan man utföra division (enligt algoritmen PolyDivide) med x α, där α är det funna nollstället. På så sätt har man minskat på graden för det som ännu skall faktoriseras med 1. Detta upprepas, tills den kvarstående delen är av grad 2, varvid man kan använda rotformeln för att lösa ut de resterande nollställena och slutföra faktoriseringen med hjälp av dem. Exempel Vi faktoriserar polynomet p(x) = x 4 2x 3 3x 2 +2x+2 R[x] i enlighet med kommentaren ovan. Snabb prövning ger att p(1) = 0 och p( 1) = 0, och därmed vet vi att (x 1)(x + 1) p(x). Genom att använda oss av PolyDivide erhåller vi p(x) = (x 2 2x 2)(x 1)(x + 1). Nollställena för x 2 2x 2 kan bestämmas med hjälp av rotformeln, och vi erhåller sist och slutligen ( p(x) = x 1 + ) ( 3 x 1 ) 3 (x 1)(x + 1). Sats Låt K vara en kropp och f K[x]. Polynomet f kan högst ha deg(f) stycken nollställen. Bevis. Anta n = deg(f) och att α 1 K är ett nollställe till f. Enligt sats 2.42 kan vi skriva f(x) = (x α 1 )q 1 (x), 23

25 där q 1 K[x] och deg(q 1 ) = n 1. Vi kan upprepa processen genom att faktorisera q 1 utgående från ett nollställe, och så vidare, för att slutligen erhålla f(x) = (x α 1 ) (x α r )q r (x), där q r K[x] inte har några nollställen. Vi har att deg(q r ) = n r 0, dvs. r n. Vi undersöker nu om f kan ha flera nollställen än de vi hittat hittills. Anta att b K och att b α i, då i = 1,..., r. Vi har nu att f(b) = (b α 1 ) (b α r )q r (b) 0, eftersom (b α i ) 0, då i = 1,..., r, och q r inte har några nollställen i K. Alltså har f högst n nollställen. Algebrans fundamentalsats är en strängare variant av föregående sats i C[x] och säger att varje polynom av grad n har n nollställen. Detta gäller inte för polynom med koefficienter i en godtycklig kropp, då t.ex. x R[x] saknar nollställen. 2.6 Kroppsutvidgningar Det visade sig tidigare att alla polynom inte har nollställen och därmed inte nödvändigtvis går att faktorisera. Vi kommer i detta avsnitt att undersöka situationen mer i detalj och dessutom att definiera en utvidgning av en kropp, så att ett polynom har nollställen och dessutom kan faktoriseras till faktorer av första grad, dvs. att antalet nollställen och polynomets gradtal är detsamma. Det här är något som kommer att behövas för att framgångsrikt integrera rationella uttryck. Definition Låt K vara en kropp och L en kroppsutvidgning till K. Ett element α L sägs vara algebraiskt över K om det existerar ett polynom p K[x], för vilket p(α) = 0. Om inget sådant polynom existerar, sägs α vara transcendent över K. Kroppen L är en algebraisk utvidning av K om alla element i L är algebraiska över K. Definitionen ovan är alltså en generalisering av algebraiska och transcendenta tal. Exempel Vi betraktar kroppen R och dess delkropp Q. Elementet 2 R är algebraiskt över Q, ty det är ett nollställe till polynomet p(x) = x 2 2 Q[x]. Då vi faktoriserar Q med hjälp av detta nollställe erhåller vi ( x 2 ) ( x + 2 ) / Q[x]. För elementet e R (Nepers tal) existerar däremot inget polynom med koefficienter (se [9] för bevis) i Q till vilket elementet är ett nollställe. Det här innebär att e är transcendent över Q och därmed också att R inte är en algebraisk utvidgning av Q. 24

26 Definition Låt K vara en kropp. Vi säger att kroppen K är algebraiskt sluten om alla polynom i K[x] av grad 1 eller högre har ett nollställe i K. En kroppsutvidning till K som är algebraiskt sluten, kallas för ett algebraiskt slutet hölje till K och betecknas K. Föregående definition ger att varje polynom av grad 1 eller högre med koefficienter i en algebraiskt sluten kropp kan faktoriseras till faktorer av första grad. Ifall vi för p K[x] kan skriva (jämför med beviset för sats 2.44) p(x) = (x α 1 ) (x α r )q(x), där deg(q) > 1, så gäller det att q har ett nollställe i K[x] och därmed kan faktoriseras vidare. Ett exempel på ett algebraiskt slutet hölje är det från analysen kända faktum att Q = C. Beviset för följande sats finns i [5]. Sats 2.48 ([5], s ). Varje kropp K har ett algebraiskt slutet hölje. Dessutom är alla algebraiskt slutna höljen till K sinsemellan isomorfa. Ovanstående sats gör det möjligt för oss att använda de kommande integreringsalgoritmerna på polynom med koefficienter i en godtycklig kropp. Det algebraiskt slutna höljet till en godtycklig kropp kan med stöd av den också antas vara unikt. Definition Låt K vara en kropp med det algebraiskt slutna höljet K och låt p K[x] vara ett polynom. Vi säger att kroppen L K är splittringskroppen för p över K om L är den minsta delkropp till K för vilken följande villkor gäller: (i) K L. (ii) Om α är ett nollställe till p, så gäller α L. Ovanstående definition är relaterad till egenskaper för det algebraiskt slutna höljet. Däremot utvidgar vi vår ursprungliga kropp bara så att nollställena för ett specifikt polynom ingår i utvidgningen. 2.7 Kvadratfri faktorisering Faktorisering av polynom är ett viktigt steg i integreringsalgoritmerna för rationella funktioner. Polynom kan faktoriseras på många olika sätt, t.ex. fullständigt, vilket innebär att vi utvidgar koefficientkroppen till dess algebraiskt slutna hölje (eller åtminstone till splittringskroppen för polynomet i fråga) och sedan faktoriserar polynomet till lineära faktorer, dvs. faktorer av första grad. Detta är emellertid inte väldigt tidseffektivt. Därför kommer vi istället att titta på en annan typ av faktorisering, den kvadratfria faktoriseringen, som är tidseffektivare och fungerar för vårt ändamål. 25

27 Definition Låt R vara en EF-ring och låt p R[x] vara ett primitivt polynom. Vi säger att polynomet p är kvadratfritt ifall det inte existerar något q R[x], för vilket deg(q) 1 och q 2 p. Det visar sig att det finns ett kriterium som använder sig av derivatan för polynom som kan användas för att bestämma om ett polynom är kvadratfritt eller inte: Sats 2.51 ([6], s. 338). Låt R vara en EF-ring med karakteristiken 0. Låt p R[x] vara ett primitivt polynom. Nu gäller det att p är kvadratfritt om och endast om sgf(p, p ) = 1. Bevis. Anta att polynomet p inte är kvadratfritt. Vi kan nu skriva p = q 2 r för q, r R[x]. Derivering enligt definition 2.31 ger att p = 2qq + r q 2 = q (2q + r q). Vi har alltså att q är en faktor i både p och p, och därmed att sgf(p, p ) 1. Anta nu att polynomet p är kvadratfritt, men att sgf(p, p ) 1. Vi kan anta att p har en faktorisering p = p 1 p k, där deg(p i ) 1 och p i är irreducibelt, då i = 1,..., k, och sgf(p i, p j ) = 1 då i j, eftersom p är kvadratfritt. För derivatan gäller att (2.14) p = p 1p 2 p k + p 1 p 2 p k + + p 1 p 2 p k = p 1p 2... p k + p 1 (p 2 p k + + p 2 p k) Eftersom R är en EF-ring måste p i vara en faktor i sgf(p, p ) för något i, i = 1,..., k. Anta att detta gäller för i = 1. Då gäller p 1 p och enligt (2.14) att Kravet att sgf(p i, p j ) = 1 då i j ger att p 1 p 1p 2 p k. (2.15) p 1 p 1 måste gälla. Polynomet p 1 är av högre grad än p 1, då deg(p 1 ) 1. Eftersom p 1 = cp 1 för något c R[x] enligt (2.15), måste p 1 = 0 enligt (2.3). Enligt sats 2.32 gäller däremot att p 1 är ett konstant polynom, vilket strider mot kravet att deg(p 1 ) 1. Alltså måste sgf(p, p ) = 1. Observera att villkoret i föregående sats lika gärna kunde formuleras med hjälp av gradtal som deg(sgf(p, p )) = 0, eftersom vi kräver att polynomet p är primitivt. 26

28 Exempel Vi undersöker huruvida två polynom i Z[x], p(x) = x 3 6x 2 +11x 6 och q(x) = x 2 4x+4 är kvadratfria. Vi har att p (x) = 3x 2 12x+11 och q (x) = 2x 4. Med hjälp av Euklides algoritm erhåller vi dessutom att sgf(p, p ) = 1 och att sgf(q, q ) = x 2. Det här innebär att enligt sats 2.51 att p är kvadratfritt, medan q inte är det. En fullständig faktorisering ger p(x) = (x 1)(x 2)(x 3) och q(x) = (x 2) 2, och faktumet framgår också av dessa former av polynomen. Definition Låt R vara en EF-ring och p R[x]. En kvadratfri faktorisering av p är en faktorisering av formen n p(x) = p i (x) i, där polynomet p i R[x] är kvadratfritt, i = 1,..., n, och sgf(p i, p j ) = 1 för alla i j. Observera att definitionen ovan också tillåter det för p i (x) = 1 för något i = 1,..., n. Det sista villkoret i definitionen kan vi också uttrycka som att polynomen p i, i = 1,..., n är parvist relativt prima. En kvadratfri faktorisering består alltså av parvist relativt prima polynom i stigande potenser. Hur går man då till väga för att finna en kvadratfri faktorisering av ett polynom ([6], s. 339)? Låt R vara en EF-ring med karakteristiken 0 och p R[x]. Anta nu att p har en kvadratfri faktorisering p = n pi i (se [2], s. 28 för existensen av en sådan faktorisering). För derivatan av p gäller det nu att p = n ip i 1 i n p i j=1,i j där p 0 i = 1 per konvention. Varje term i summan ovan innehåller alltså faktorn p k 1 k alla k = 2,..., n, vilket gör att vi kan sluta oss till att sgf(p, p ) = n i=2 p j j, p i 1 i =: d. Ifall d = 1 är p redan kvadratfritt enligt sats Om d 1 betecknar vi q = p n d = p i, vilket innebär att q består de kvadratfria faktorerna för p utan sina exponenter. Nu har vi att n sgf(q, d) = 27 i=2 p i för

29 och därmed att q sgf(q, d) = p 1. Vi har alltså erhållit den första kvadratfria faktorn till p. Vi observerar nu att den andra kvadratfria faktorn p 2 till p är den samma som den första kvadratfria faktorn till d. Genom att rekursivt upprepa den beskrivna proceduren erhåller vi den kvadratfria faktoriseringen av p. Exempel Vi söker den kvadratfria faktoriseringen av polynomet p(x) = x 4 5x 3 + 9x 2 7x + 2 Z[x]. Med hjälp av Euklides algoritm erhåller vi d 1 (x) = sgf(p, p ) = x 2 2x + 1. Divisionsalgoritmen för polynom ger att och Euklides algoritm ger Vi erhåller alltså att q(x) = p(x) d 1 (x) = x4 5x 3 + 9x 2 7x + 2 x 2 2x + 1 p 1 (x) = sgf(q, d 1 ) = x 1. q(x) sgf(q, d 1 ) = x2 3x + 2 x 1 = x 2 3x + 2 = x 2. Vi upprepar proceduren för d 1 och erhåller nu att sgf(d 1, d 1) = x 1 =: d 2 (x) och slutligen att p 2 (x) = 1. Detta innebär inte att processen avslutas, utan enbart att den andra kvadratfria faktorn är av grad 0. Polynomet d 2 (x) = x 1 är nu uppenbarligen kvadratfritt och därmed har vi att med stöd av sats 2.51 att p 3 (x) = x 1. Den kvadratfria faktoriseringen av p(x) är alltså p(x) = (x 2)(x 1) 3. I ovanstående exempel råkar den kvadratfria faktoriseringen vara den samma som den fullständiga faktoriseringen. Faktorerna i den kvadratfria faktoriseringen behöver i allmänhet inte vara av första grad. 28

Mer om faktorisering

Mer om faktorisering Matematik, KTH Bengt Ek november 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Mer om faktorisering Inledning. Är alla ringar som Z? De första matematiska objekt vi studerade i den här kursen

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Grupper och RSA-kryptering

Grupper och RSA-kryptering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET AKS-algoritmen för att bestämma om ett tal är ett primtal eller inte av Per Westerlund 2005 - No 14 MATEMATISKA INSTITUTIONEN,

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI DANIEL LARSSON Sammanfattning. En kort introduktion till ringteori. Innehåll 1. Inledning 1 2. Definition 1 2.1. Heltalsdomäner 3 3. Exempel, kommutativa ringar 4

Läs mer

Kapitel 2: De hela talen

Kapitel 2: De hela talen Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Föreläsning 9: Talteori

Föreläsning 9: Talteori DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2009-11-11 Skribent(er): Ting-Hey Chau, Gustav Larsson, Åke Rosén Föreläsare: Fredrik Niemelä Den här föreläsningen handlar

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Symbolisk integrering av rationella funktioner

Symbolisk integrering av rationella funktioner Symbolisk integrering av rationella funktioner Helsingfors universitet Institutionen för matematik och statistik Pro gradu-avhandling Viktor Djupsjöbacka 29 juli 2014 Handledare: Professor Mika Seppälä

Läs mer

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER Juliusz Brzezinski och Jan Stevens MATEMATIK CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2001 FÖRORD Termen Diskret matematik täcker ett mycket brett spektrum

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats: Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

Pythagoreiska trianglar

Pythagoreiska trianglar 173 Pythagoreiska trianglar Sten Kaijser Uppsala Universitet Kort beskrivning av specialarbetet. Pythagoreiska trianglar har varit kända i minst 4000 år och kanske ännu längre. De utgör därmed ett av de

Läs mer

TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER. Juliusz Brzezinski

TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER. Juliusz Brzezinski TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER Juliusz Brzezinski MATEMATISKA INSTITUTIONEN CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2002 FÖRORD Detta häfte handlar om talsystem, restaritmetiker och polynomringar

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II 1 Modulär- eller kongruensaritmetik Euklides algoritm RSA-algoritmen G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 2 Grupper och permutationer

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1 Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information 10 Förord till läraren Förord till studenten innehåller praktisk information om bokens uppbyggnad. Det gäller exempel, teknikproblem, bevis, dialoger, rekommenderade övningar, matematiska fortsättningar,

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER

PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Explorativ övning 4 PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är Aritmetikens fundamentalsats

Läs mer

Algebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10

Algebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10 Grupper En grupp är ett par (G,*) där G är en mängd och * är en binär operation på G som uppfyller följande villkor: G1 (sluten) x,yϵg så x*yϵg G2 (associativ) x,y,z ϵg (x*y)*z=x*(y*z) G3 (identitet) Det

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Diskret matematik, lektion 2

Diskret matematik, lektion 2 Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A

Läs mer

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/ Nästan vanliga tal 1. Beräkna1 2+3 4+5 2000+2001 Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) +... + ( 2000 + 2001) = 1+ 142 +... 43 + 1 = 1001 2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/10000001 1000 gnr Lösning.

Läs mer