Mineral Ballast Sten Område 1 Rapport nr 1.4.1:01 SLUTRAPPORT. Projekt Krossteknik för produktion av fina ballastfraktioner till betong

Transkript

1 II Område 1 Rapport nr 1.4.1:01 SLUTRAPPORT Projekt Krossteknik för produktion av fina ballastfraktioner till betong Johannes Quist & Magnus Evertsson Chalmers Tekniska Högskola, Inst. f. Produkt och Produktionsutveckling Göteborg, Jan 2010

2 SAMMANFATTNING Följande rapport är en redovisning av de resultat som åstadkommits och analyserats i Minbas II projektet Krossteknik för produktion av fina ballastfraktioner för betong. I huvudsak innefattas två spår varav det ena rör modellering och teoribildning gällande kross- och sönderdelningsprocessen i främst krossar av VSI typ. Här har litteraturstudier och DEM (Diskret Element Metod) simuleringar använts som metoder för att analysera de processer och effekter som påverkar krossprodukten främst i avseende på kornform men även gradering. Det andra spåret rör de laborationsförsök som utförts för att verifiera uppställda hypoteser gällande samband mellan energinivåer i krossprocessen och kornformen för produkten. Bergmaterial från två täkter, Bro krossen (Jehander) och Gladö Kvarn (Swerock), har krossats vid ett antal olika energinivåer och sedan analyserats för att undersöka hur kornform och gradering påverkats. Samverkan har även skett med STEM-projektet genom att de bästa materialen från respektive täkt har skickats för analys med avseende på kornform och egenskaper i mikrobruk. Vid mätning av massflödet för de krossade proverna uppkom problem då analys av diskreta fina ballastfraktioner ej är speciellt etablerat. Som en lösning till de mättekniska problem som uppkom utvecklades en ny mätmetod där det konventionella stoppuret byttes ut mot en digital våg kopplad till en dator. Intressanta resultat kan ses med avseende på randeffekter i flödesförloppet genom en kona och vidare eliminering av dessa genom tillämpning av den nya mätmetoden. Mätning av packningsgrad har även utförts i en kombinerad mätprocedur med massflödesmätningen och dessa har vägts samman enligt New Zeeland standarden NZS -3111:1986 för massflödesmätning. I modellering och simuleringsfasen av projektet utvecklades metoder för att kunna tillämpa DEM för analys av krossprocesser. Detta har krävt mycket tid i form av upplärning och tester då denna numeriska metod ännu inte är speciellt utbredd. Ett flertal varianter på VSI-krossen har modellerats för att undersöka de verksamma flödesförloppen och hur variationer maskinparametrar påverkar partiklars rörelse och kollisionsenerginivåer. I denna rapport redovisas två uppsättningar av simuleringar. I den första analyseras geometriska och dynamiska parametrar för rotorn i VSI-krossen med avseende på partiklarnas absoluthastighet när de lämnar rotorn (kinetiska energin). I den andra uppsättningen av simuleringar har den försökskross som använts vid krossförsöken först modellerats i 3D och sedan simulerats i DEM. Programvaran 2

3 EDEM (DEM-solutions 2010) som använts vid simuleringarna är kommersiellt tillgänglig och relativt sett enkel att börja använda. De försök och simuleringar som utförts styrker i allmänhet hypotesen att kornformen förbättras då partikelhastigheten och massflödet ökas. Det är dock på grund av mättekniska svårigheter svårt att dra slutsatser gällande den finaste fraktionen 0,063-0,125mm. Nyckelord: DEM, VSI, Vertical Shaft Impactor, kornform, modellering, maskinsand, tillverkad sand, flödestal, flödeskona, packningsgrad, hålrumsandel, sönderdelning, sönderdelningseffekter, krossning, kubisering, simulering, modellering Tack till, Minbas II programmet, Marianne Thomaeus, Jan Bida Sandvik, Bengt Olof Tjell, Mikael Lindberg Cementa, Hans-Erik Gram Swerock, Karin Pettersson, Lena Engström Jehander, Niklas Pettersson Figur på framsidan DEM simulering av den VSI-kross som använts vid krossförsök. Partiklar i simuleringen visas som vektorpilar med färggradering enligt hastighetsintervallet till vänster i bild. 3

4 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SAMMANFATTNING 2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 4 1 BAKGRUND SYFTE TILLVERKAD SAND I BETONG 5 2 TEORI/HYPOTES VSI-KROSSEN SÖNDERDELNINGSEFFEKTER ENERGIBASERAD MODELL FÖR IMPAKTERANDE KROSSNING 11 3 METOD LABORATORIEFÖRSÖK DISKRET ELEMENT MODELLERING DEM SIMULERING 22 4 RESULTAT FÖRSÖK DEM 35 5 ANALYS PARTIKELSTORLEK OCH STYRKA MASSFLÖDESMÄTNING MASSFLÖDE REGRESSIONSANALYS 42 6 SLUTSATSER 44 7 NOMENKLATUR 46 8 REFERENSER 47 9 APPENDIX I 9.1 APPENDIX A BERÄKNING AV I 9.2 APPENDIX B - MS PROCESSMODELL III 9.3 APPENDIX C BILDER DEM-SIMULERING IV 4

5 1 BAKGRUND 1.1 SYFTE Syftet med föreliggande projekt är att öka förståelsen om kornformsgenerering i fina fraktioner i mikrometerområdet under μm. Hur kan/bör olika bergarter krossas för att skapa erforderlig kornform i dessa små storleksfraktioner? Avsikten är att ge ballastproducenterna kunskap att välja krossutrustning beroende på bergartstyp, mineralsammansättning, önskad kornkurva, kornformskrav, energiåtgång, eventuell efterföljande separering. Metoder för produktions- och kvalitetskontroll efterfrågas också. Målsättningen med projektet är att öka förståelsen för kopplingen mellan maskingeometri och sönderdelningsmoder och vilka kvalitetsförbättrande åtgärder som kan uppnås och hur partikelstorleksfördelningen kan predikteras. 1.2 TILLVERKAD SAND I BETONG När stenmaterial krossas och klasseras i krossanläggningar är huvudsyftet oftast att producera ballast för exempelvis vägbyggnation eller andra applikationer med specificerade produktkrav. Denna process leder ofta till ett överskott på material med varierande egenskaper, generellt finare än 2-4mm. Detta överskott och faktumet att natursanden är en kritisk bristvara har skapat ett incitament att använda krossat bergmaterial i betong. Betongindustrin har under en tid försökt att implementera tillverkad sand i betong och utvärderat hur denna skall se ut och hur betongegenskaperna påverkas. Bland annat har slutsatser dragits i STEM projekt Energieffektiv framställning av betong med krossat bergmaterial med CBIrapporten Bergmaterial som ballasts i betong (Lagerblad 2008). Resultat visar att det är möjligt att använda tillverkad sand som ersättning för natursand men att det både krävs anpassningar och att det finns begränsningar och negativa effekter. Generellt eftersträvas en god kornform i alla fraktioner för att tillräcklig arbetbarhet skall erhållas i betongmixen. Det har även visat sig att materialet med storlek mindre än 500µm är särskilt viktigt med avseende på reologin och därför är kornformsegenskaperna i dessa fraktioner intressanta. Material med storlek under 0,063mm (filler) påverkar allmänt betongreologin negativt om det inte i huvudsak består av partiklar med god kornform som exempelvis kalkfiller. Därför är det relativt vedertaget att materialet måste genomgå någon form av kubisering och finklassering innan det kan användas. I Sverige har ett antal anläggningar med vindsiktar börjat producera tillverkad sand då detta är det, för Sverige lämpligaste valet av metod. I andra länder är det även vanligt med våta 5

6 klasseringsprocesser som dock är svårimplementerade i Sverige på grund av det kalla vinterklimatet. Ett vanligt problem med krossat berg är förekomsten av oönskade mineral (glimmer) och leror. Producenter av ballast för betong i exempelvis Australien och Norge har utnyttjat potentialen i de fördelar som finns med att kontrollera processen av sanden och har därför experimenterat med tillverkad sand bestående av både krossad ballast och natursten (Wigum 2004; CCAA 2008). Hålrumsandelen för sandmaterial är direkt korrelerat till vattenbehovet i en betongmix. Det hålrum som finns mellan partiklar i packningsstrukturen måste fyllas med cementpasta innan det kan göra blandningen plastisk. Partikelstorleksfördelningen för tillverkad sand skiljer sig sällan markant från natursand eller graderad sand som tenderar att ha goda packningsegenskaper. Den kantiga formen och grövre yt-texturen för krossat material tenderar dock att försämra packningsegenskaperna då dessa egenskaper höjer den interna friktionen. Vid en hög mängd finmaterial ökar den specifika ytan vilket oftast resulterar i ett ökat vattenbehov. Emellertid agerar finmaterialet som utfyllnad i partikelstrukturen vilket ger ökad packning och ytterligare tillsats av cement kan således eventuellt undvikas. 6

7 2 TEORI/HYPOTES 2.1 VSI-KROSSEN En VSI-kross (Vertical Shaft Impactor) är i huvudsak uppbyggd av sex element; matningsficka, rotor, rockbox eller shoe-anvil insats, transmission, motor och chassi. Förändringar av maskinprestanda uppnås i regel genom att skala dessa element upp eller ner, med reservation för vissa detaljer. Vid produktion av tillverkad sand används oftast en rockbox insats medan en shoe-anvil insats vanligen brukas där en maximal reduceringsgrad efterfrågas. En rockbox fungerar enligt principen att material som slungas ur rotorn bygger upp och packar en stenbädd, se Figur 1. Vid användning av shoe-anvil principen monteras istället ett antal anlägg gjorda av hårdmetall i ytterperiferin med 90 graders vinkel mot inkommande partiklars rörelsebana. I en konventionell produktionsprocess används vanligen VSI-krossen som tredje krossteg och då hög reduktionsgrad eller god kornform efterfrågas, se Figur 37. Figur 1 - Tvärsnitt av stenbädd i VSI med rockbox insats. (Sandvik Svedala laboratoriekross) Vid modellering och analys av VSI-krossar är det av intresse att veta vid vilken energinivå partiklar som exciteras ur rotorn vid ett specifikt varvtal har. Rychel (2001) har studerat en partikels rörelse genom en VSI-kross och beskriver partikelns hastighet enligt E 2-1. Figur 2 visar en teoretisk modell av rotorn. För härledning av, se Appendix A. 7

8 R F Z F C v rel F R v abs v t ro r r i Figur 2 Teoretisk modell av VSI rotor enligt Rychel (2001) E 2-1 E SÖNDERDELNINGSEFFEKTER För att kunna analysera en krossmaskin, dess funktion och prestanda är det centralt att utvärdera vilka sönderdelningseffekter som är verksamma. Därefter bör relationen mellan sönderdelningseffekter och maskinparametrar studeras för att skapa förutsättning att optimera produktens egenskaper mot önskad funktion kontra en given applikation, exempelvis tillverkad sand i betong. Ett flertal författare har studerat vilka sönderdelningseffekter som är dominerade i olika krossmaskiner (Evertsson 2000; Bengtsson 2006; Unland, Agba D. Salman et al. 2007). Normalt görs en första indelning av olika krossmekanismer i två grenar; kompressiv (kon-, spindel- och käftkross) och impakterande (VSI, HSI) krossning. Då främst VSI-krossen och annan typ av impakterande krossning har studerats i detta projekt kommer de sönderdelningseffekter som är verksamma i dessa applikationer främst beskrivas närmare. Det bör även nämnas att vissa av begreppen är hämtade från forskning inom malning och kvarnteknik då det finns många likheter gällande partikeldynamiken i en kvarn och en VSI-kross med stenkammare. I Tabell 1 presenteras de olika sönderdelningseffekter som verkar i en VSI-kross. Utgångspunkten för varje beskrivet lastfall är en partikel som rör sig med hastigheten och kolliderar eller kommer i kontakt med stenbädden eller andra partiklar. Denna hastighet motsvarar den specifika energin och vidare den energi som finns tillgänglig för sönderdelning i kollisionen. Beroende på vilken energinivå en kollision har kommer kollisionen leda till en eller flera sönderdelningseffekter. Gränsvärdena för när olika effekter träder i kraft är materialberoende och beror på bergartens eller 8

9 mineralets mekaniska egenskaper. Dessa gränsvärden definieras här av sambandet mellan specifik energinivå och sannolikheten för substantiell sönderdelning (klyvning eller splittring). Den specifika energin motsvarar den nivå där sannolikheten för substantiell sönderdelning är noll. Det övre gränsvärdet i intervallet,, motsvarar energinivån då sannolikheten för substantiell sönderdelning är ett. Sannolikheten för substantiell sönderdelning mellan dessa gränsvärden kan beskrivas enligt en Weibullfördelning likt den visad i Figur 4. De presenterade sönderdelningseffekterna kan användas vid analys av data från DEM simuleringar där kollisionsenergin från alla partikelkollisioner registrerats. Om data till exempel visar på en relativ ökning av kollisioner med specifik energi under kan detta tydas som en ökning av sönderdelningseffekterna abrasion och nötning. Det bör även nämnas att gränsnivåerna för substantiell sönderdelning ej är konstant vid variation av partikelstorleken. Mindre partiklar är i regel starkare än större och kräver därmed högre specifik energi för att sönderdelas (Yashima 1987). Tabell 1 Sönderdelningseffekter (Unland, Agba D. Salman et al. 2007) Nr. Effekt Energiintervall Belastad partikel Produkt E cs 2 p 2 Obelastad partikel a Försvagning (Weakening) b Sprickning (Cracking) c Klyvning (Cleavage) 9

10 d Splittring (Disintegrating) e Abrasion (Abrasion) f Nötning (Attrition) g Flisning (Chipping) a. Försvagning: En partikel utsatt för upprepade belastningar vid en energinivå lägre än (då ingen sprickbildning uppkommer) resulterar i en försvagning av partikels inre sammanbindning. b. Sprickning: Uppkommer då en partikel utsätts för en belastning så stor att materialet brister. Energin är dock för låg för att sprickan skall penetrera genom hela partikeln vilket resulterar i att partikeln behåller sin form. c. Klyvning: Uppkommer då energinivån vid sprickbildning är tillräckligt hög för att sprickan skall gå genom hela partikeln. d. Splittring: Uppkommer då den upplevda kollisionsenergin i förhållande till partikels styrka är tillräckligt hög för att sönderdela partikeln i flera mindre fragment. Det höga kontakttryck som uppkommer vid kollisionen ger upphov till en lokal spänningskoncentration. Om denna spänning är tillräckligt hög fortplantas uppkomna sprickor genom partikeln vilket leder till splittring. Området där den lokala spänningskoncentrationen uppkommer brukar kallas cone of fines eftersom materialet där sönderdelas till fina fraktioner(salman 2004; Schubert 2005). e. Abrasion: Uppkommer då en partikel utsätts för interaktion med andra partiklar vid låga energinivåer (främst tangentialt). Detta resulterar i friktion då asperiteter skavs av och partikeln slipas. 10

11 f. Nötning: Uppkommer då en partikel utsätts för interaktion med andra partiklar vid låga energinivåer (främst i normalens riktning). Detta resulterar i en spänningskoncentration i ytan likt den vid splittring, men där energinivån inte är tillräcklig för att generera en sprickbildning djupare genom partikeln. Mindre fragment avlägsnas i området där spänningskoncentrationen uppstått. g. Flisning: Uppkommer då större hörn och kanter på en partikel utsätts för belastning och slås av. 2.3 ENERGIBASERAD MODELL FÖR IMPAKTERANDE KROSSNING När en partikel lämnar rotorn slungas den mot stenbädden i kammaren och utsätts för ett antal kollisioner med både stenbädden och andra partiklar i rörelse. Merparten av dessa kollisioner har en relativt låg energinivå vilket betyder att partikeln utsätts för nötning, abrasion eller/och försvagning. Någon av dessa kollisioner kan emellertid, om den är tillräckligt energiintensiv, leda till splittring eller klyvning av partikeln. Vid studie av partiklars rörelsebana i DEM simuleringar kan det ses att kollisioner med energinivå tillräcklig för att splittra partiklar vanligast sker vid någon av de första kollisionerna. Detta inses även intuitivt det är då det finns som mest kinetisk energi kvar att tillgå. När detta sker kommer de fragment som bildas vid splittringen eller klyvningen röra sig vidare under en viss tidsperiod i kammaren. De utsätts då för ytterligare lågenergikollisioner med stenbädden och andra partiklar vilket leder till att de formas genom nötnings och abrasionseffekter. I Figur 3 visas en modifierad sönderdelningsmodell för VSI-kross som baseras på tidigare föreslagna modeller av Bengtsson (2009), Whiten (1972) och Evertsson (1999). Till skillnad från tidigare modeller tas här hänsyn till abrasions och nötningseffekter på grund av partikel- partikel interaktioner i det lägre energiintervallet, se Figur 4. f S Sf B I B I Sf p (1-S)f B A B A (1-S)f Figur 3 - Modifierad sönderdelningsmodell för VSI (Whiten 1972; Evertsson 2000; Bengtsson 2009) 11

12 Probability of breakage (S) [%] 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% B A MinBaS E0 0,0001 0,001 0,01 0,1 x [m] B I Ecrit Figur 4 Illustration av selekteringsfunktion och vidare var sönderdelningsfunktionerna och verkar. Inritat är även de hypotetiska energinivåerna och då samma resonemang kan föras med specifik energi på abskissan(powell 2008). Enligt Nikolov (2004) kan sannolikheten för att partiklar skall uppleva substantiell sönderdelning (splittras, klyvas) i kammaren beskrivas enligt den diagonala matrisen, se Figur 4, som beror av partikelstorleken, se E 2-3. E 2-3 Där [mm] är den minsta storleken för partiklar som går sönder vid givna processvillkor och k är en skalparameter. Minsta storleken för sönderdelning bör vara en funktion av massflödet och partikelhastigheten. Vid ett högt massflöde ökar partikel -partikel interaktionerna och givet att varje kollision kostar energi, kommer mer frekventa kollisioner leda till en snabbare minskning av partiklarnas kinetiska energi vilket bör leda till en grövre produkt och ett högre värde på. När det gäller partikelhastigheten inses det intuitivt att en högre energinivå ger en finare produkt. Alltså bör minska med ökande specifik energinivå. Vidare kan vi uttrycka minsta storleken för sönderdelning enligt följande (Nikolov 2004), E 2-4 Där [t/h] är massflödet och [t/h] och [J/kg] är referensvärden för massflödet och den specifika energinivån; [mm] är en konstant beroende av krossdesign och materialegenskaper; n och s är materialparameter respektive intensitetskonstant för partikel -partikel interaktionen. Ett flertal författare har föreslagit sönderdelningsfunktioner för impakterande krossmaskiner, däribland Bengtsson (2009) som presenterar en bimodal Weibulldistribution som sönderdelningsfunktion. Följande två sönderdelningsfunktioner 12

13 föreslås som en variant till denna. En funktion baserad på Bengtsson (2009) som beskriver fragmenteringen med avseende på impakterande sönderdelning (sönderdelningseffekt c-d, se Tabell 1). Vidare föreslås en sönderdelningsfunktion (för sönderdelningseffekterna e-g) då selekteringsfunktionen ej ger. Även de partiklar som ej väljs ut till sönderdelning kommer att utsättas för abrasion, nötning och flisning när de färdas runt i stenbädden. Genom att tillsätta denna funktion kan kornformsförbättringsfenomen för alla fraktioner i en VSI-kross förhoppningsvis även modelleras bättre. E 2-5 E 2-6 E 2-7 E 2-8 E 2-9 Massbalans vid slutnoden i Figur 3 ger följande uttryck för produkten, E HYPOTES Med tidigare teoribildning som bakgrund presenteras följande hypoteser gällande krossprocessen i en VSI och hur dessa påverkar produktens egenskaper med avseende på gradering och kornform. Dessa formuleringar skall ses som en plattform för diskussion och är både induktivt och deduktivt formulerade. I. En relativ ökning av matade partiklars utgångshastighet,, ur rotorn resulterar i en produkt med genomgående bättre kornform. II. En relativ ökning av massflödet ger en förbättring av kornformen. III. En relativ ökning av matade partiklars utgångshastighet,, ur rotorn resulterar i en finare gradering. Formen på graderingskurvan beror av materialegenskaper och vidare vilka sönderdelningseffekter som är verksamma i krossen. De för materialet specifika energinivåerna och är approximativa gränsvärden för vilka sönderdelningseffekter som är verksamma vid en specifik energinivå. Därmed sker förändringar i graderingskurvform ej linjärt utan i steg beroende på verksamma sönderdelningseffekter. 13

14 IV. En relativ ökning av matade partiklars utgångshastighet,, ur rotorn resulterar, om materialet innehåller glimmer, i en anrikning av glimmerpartiklar i fraktioner under 250 µm. 14

15 3 METOD 3.1 LABORATORIEFÖRSÖK Material från två olika täkter har valts för analys i samråd med STEM-projektet, två granitiska bergarter från Bro (Jehander) respektive Gladö Kvarn (Swerock). Till en början var ambitionen att även undersöka ett antal andra bergarter och täkter men detta fick revideras då det inte fanns möjlighet tidsmässigt. I Tabell 2 ses respektive materials egenskaper och för mer detaljerad information gällande petrografi och mineralinnehåll hänvisas till CBI rapporten Bergkrossmaterial som Ballast i Betong (Lagerblad 2008). Båda materialen har relativt höga WI-tal men mer moderata AIvärden. Tabell 2 - Materialegenskaper för provmaterial (Sandvik 1995; Sandvik 1995; Sandvik 2007; Sandvik 2007) Gladö Kvarn Bro Bergart Granit Granit Densitet [g/cm 3 ] 2,73 2,76 Impact strength [N] Work Index WI 20,5±2,7 19,8±1,4 Abrasion Index AI 0,4472 0,4845 Det finns många mätmetoder för att mäta kvalitetsparametrar för tillverkad sand. I detta projekt har de använda mätmetoderna begränsats till enklare analysverktyg som ej kräver djupare laborationsteknisk kompetens, se Tabell 3. Tabell 3 - Vid försöken använda analysmetoder Metod Typ Standard Kommentar Gradering Siktning PSD Direkt SS EN Packningsgrad Indirek t ASTM C Kornform Massflöde Indirek t SS EN 933-6, NZS 3111:1986 Shape Index SI Direkt SS EN Se Figur 7 Flisighets Index FI Direkt SS EN

16 Krossförsök har utförts vid Sandviks laboratorium i Svedala. En 8/22 fraktion hämtades ut från respektive täkt och täktägarna registrerade processtatus vid provtagningstillfället. Proverna krossades vid fyra olika energinivåer/hastigheter; 45, 55, 65, 75 m/s tangential rotorhastighet. Figur 5 - Laborationskrossens matarficka (demonterad) Då det inte fanns möjlighet att kontrollera och styra massflödet mot ett specifikt värde har alla krossekvenser utförts vid maximal matning. Matningen till krossens övre matarficka, se Figur 5, utfördes genom att manuellt styra en vibrerande matare så att den under hela krossekvensen var full. Därefter delades proven med roterande delare och grovsiktats för att få fram en 0/2-fraktion som torkades och siktades. Siktanalys och SI-analys utfördes på grövre fraktioner. Flödestester gjordes med Sandviks flödeskona (egentligen anpassad för betongflödestest) och densitet och hålrumsandel uppmättes för korta fraktioner(d1, d0.5, d0.25, d0.125, d0.063) och en ickenormerad mm fraktion. För att eliminera inverkan av graderingen för 0,063-2 proverna har de siktats enligt kurvan i Figur 6. För beteckningar och övrig information om proverna se Tabell 4. 16

17 % - Accumulated MinBaS 100% Sieve analysis 90% 80% 70% 60% 50% 40% Gradering B 30% 20% 10% 0% 0,01 0, Aperture opening (mm) Figur 6 - PSD - Testgradering B Tabell 4 - Beteckning för prover som krossats och analyserats Bet. Krosstyp Hastighet [m/s] Sekundärkross CSS[mm] Kommentar Gladö Kvarn Feed 8-22 G1 Bef VSI Barmac 7700 DP 55 Metso HP4 22 Referens G1 45 Sandvik Labb VSI 45 G1 55 Sandvik Labb VSI 55 G1 65 Sandvik Labb VSI 65 G1 75 Sandvik Labb VSI 75 Gladö Kvarn Feed 0-8 G2 FEED (Produkt från sek. kross) Metso HP4 22 Referens G2 45 Sandvik Labb VSI 45 G2 55 Sandvik Labb VSI 55 G2 65 Sandvik Labb VSI 65 G2 75 Sandvik Labb VSI 75 Strömatad G2 75F Sandvik Labb VSI 75 Fullmatad Bro Feed 8-22 B45 Sandvik Labb VSI 45 Metso HP B55 Sandvik Labb VSI 55 B65 Sandvik Labb VSI 65 17

18 B75 Sandvik Labb VSI 75 Referens REF N Natursand REF VSI 75 VSI 75 Granit STEM S_G1_Bef Barmac 7700 DP 55 Metso HP4 22 S_G1 75 Sandvik Labb VSI 75 S_B75 Sandvik Labb VSI 75 Metso HP300 S_B_oldSTEM Tidigare STEM prov Material till STEM-projektet Efter att ha analyserat mätdata och diskuterat resultatet valdes ett prov ut från varje täkt för vidare analys av STEM-projektet; G1_75 (Gladö Kvarn, 75m/s) - Analysdiagrammet för sandflöde visar att materialet som är krossat vid 75 m/s har bäst flödes och packningsegenskaper. B_75 (Bro, 75m/s) - B_75 valdes pågrund av högt massflödestal för 0,063-2mm fraktionen. Dock var skillnaden proven emellan relativt liten Modifierad Flödesmätning Vid analys av resultaten från den första massflödesmätningen upptäcktes misstänkta mätfel och inkonsekvent data, dessa med något oklar orsak. Det bestämdes att flödesmätningarna därför skulle göras om med Chalmers egna flödeskona (specificerad enligt New Zealand standard(1986)) med syftet att; Bestämma korrekta mätdata Utvärdera om någon resultatskillnad uppkommer mellan flödeskonorna I samband med de nya mätningarna har en ny metod för att bestämma massflödet genom flödeskonan tagits fram. Vid konventionell mätning används ett tidtagarur som startas och stoppas manuellt för att bestämma flödestiden för en fast bestämd provmängd. Nu användes istället en digital våg med RS232 interface som kopplats till en PC, se Figur 7. 18

19 Figur 7 - Flödesmätning med digital våg till PC Genom att placera vågen under flödeskonan och låta den kontinuerligt mäta vikten, fås en graf över flödesförloppet. Genom att med kurvanpassning ta fram ekvationen för den räta linjens ekvation som beskriver flödesförloppet fås direkt massflödet av derivatan, se Figur 8. Figur 8 - Graf för flödesförlopp i flödeskona uppmätt med nya mätmetoden Denna mätmetod har tre fördelar; Inverkan av den mänskliga faktorn vid tidtagning elimineras Mätning kan utföras på valfri provmängd större än en lägsta nivå (~ g) Randeffekter elimineras Det är enkelt att upptäcka om ett prov inte är fritt från filler eller ordentligt torkat då kurvan i så fall avviker från lineariteten. Den kombinerade metoden, flödesmätning - hålrumsandel, kan användas för att analysera sandkvalitet och visualisera effekten av olika materialegenskaper. Exempelvis förändringar i gradering vid konstant partikelform då finare sand flödar 19

20 snabbare och har högre procentuell hålrumsandel, eller att en ökning av hålrumsandelen indikerar ökad angularitet och ytråhet vid konstant flödestid. Fraktion d0,063 är svår att mäta då den är svårare att sikta ren i förhållande till övriga fraktioner. När filler är kvar i materialet är massflödet ej linjärt eller konsekvent mellan mätningarna. Då det i vissa prov, på grund av omständigheter vid tidigare delar av försöken, fanns en begränsad mängd av d0,063 fraktionen var det av intresse att utreda hur låg volym som är möjlig att mäta i flödeskonan. En serie med 17 olika provmängder av samma material från g har provats för att utreda detta. Resultat från denna analys kan ses i Figur 32. Minsta rekommenderade provmängd torde vara gram, något beroende på fraktion. Vanligtvis är det en begränsning att bara en viss provmängd är möjlig att sikta utan att förstöra siktsållen. Detta leder i vissa fall till små provmängder i de mindre fraktionerna vilket i sin tur försämrar möjligheterna till noggrann mätning av massflöde och hålrumsandel. Naturligtvis är det möjligt att sikta i två omgångar, dock kräver det både tid och torkningsresurser; Något som vid denna försöksserie var begränsat. 3.2 DISKRET ELEMENT MODELLERING DEM är en numerisk metod för beräkning och simulering av processer eller system där rörelsen eller krafterna på diskreta partiklar är av intresse. Den vanligaste tillämpningen är flöden av olika typer av granulera material som kol, tabletter(läkemedel), spannmål, pellets eller bergmaterial. Metoden är mycket beräkningsintensiv men den ständiga utvecklingen av datorprocessorer tillsammans med utveckling av kommersiella programvaror har de senaste åren öppnat upp för att praktiskt kunna tillämpa DEM. Beräkningsmetodiken bygger på tre grundprinciper; Interaktion mellan partiklar modelleras genom partikel-partikel kontakt, med hänsyn till alla kontakter. Partikelrörelse modelleras genom att betrakta varje partikel individuellt. Explicit genom tiden med en finit differensalgoritm. Dessutom; Partiklar kan ha vilken form som helst. Partiklar är elastiska och deformeras inte permanent Kontaktmodell Hertz Mindlin I DEM beräknas partikelbanan för varje diskret element stegvist medelst Newtons rörelselag. Krafter beräknas vid kontakt mellan partiklar genom att beskriva kontaktbeteendet med hjälp av kraft-deplacement samband. Modellen baseras på arbete utfört av Mindlin (1949). Vid simulering sätts ett fast tidssteg (ex. ) och det är antaget att tidssteget är tillräckligt litet för att inga nya kontakter kan 20

21 genereras under rörelseförloppet under ett tidssteg. Därför är den resulterande kraften på en partikel över ett tidssteg en kombination av exklusivt de krafter som uppkommit vid kontakter som partikeln upplevt vid det givna tidssteget(mishra and Murty 2001). Vid beräkning av kontaktkrafterna tillåts partiklarna att överlappa. Varje överlappande kontakt är modellerad av fjäder-dämpare system i både normal och skjuvriktningen. En schematisk representation av kontaktmodellen kan ses i Figur 9. Sphere 2 Tangential Spring Normal Spring Tangential Dashpot Sphere 1 Slider Normal Dashpot Figur 9 Hertz-Mindlin kontaktmodell för DEM Kalibrering Vid val av materialkoefficienter måste dessa kompensera partikelmodellens avsaknad av ytstruktur och asperiteter som annars i hög grad inverkar på partikel - partikel interaktion och rörelsemönster. Denna kompensering medför att materialkoefficienterna inte stämmer överens med materialets verkliga materialparametrar. Vid uppsättning av en DEM simuleringsmodell är det därför centralt att utföra någon form av kalibrering. Då utförandet av denna typ av kalibrering inte är standardiserat eller vanligen beskrivet i litteraturen har en enkel kalibrerings procedur utvecklats. Metoden bygger på ett slumptest där en specifik mängd partiklar placeras i ett rör som med konstant hastighet förs uppåt tills partiklarna bildat en hög. Höjden och radien på högen mäts och används sedan för att beräkna rasvinkeln. Testet upprepas ett antal gånger och ett medelvärde beräknas. Därefter sätts en motsvarande DEM modell upp med samma geometriegenskaper och partikelstorleksfördelning som i det verkliga testet. En parameterstudie för att erhålla följande koefficienter genomförs; Statisk friktion ( ) Rullfriktion ( ) Studskoefficient ( ) 21

22 3.3 DEM SIMULERING CAD All modellering av geometrier att gjorts genom CATIA V5. Matlab har även använts för att beräkna kritiska kurvgeometrier som sedan matats in i CATIA. En manuell uppmätning av laborationskrossen i Sandviks laboratorium i Svedala har utförts då ritningar eller annan dokumentation inte fanns tillgänglig Analys av utgångshastigheten För att kunna utvärdera och validera modellen för absoluthastigheten beskriven av Rychel (2001), se Figur 2 och Appendix A, har en teoretisk VSI rotor modellerats i CAD. En parameterstudie har därefter utförts enligt Tabell 5 där värden för parametrarna är hämtade från Rychel (2001). Valet av parametrar är därmed gjorda så att en jämförande analys kan utföras. Variationen av friktions och rotorhastighetsparametrarna kan åstadkommas direkt i EDEM genom att ändra värden på motsvarande materialkoefficient och dynamisk parameter. Eftersom tangentialvinkeln beror direkt av rotorns design har fyra separata rotorgeometrier modellerats. Geometrin för den teoretiska glidbanan i rotorn följer den kurvgeometri som beskrivs i ekvation E 3-1. E 3-1 En första uppsättning simuleringar gjordes med en partikelmodell där varje partikel motsvarades av en sfär. Då resultatet från denna serie ej stämde med Rychel (2001) gjordes hela serien om, nu med en mer avancerad partikelmodell där varje partikel bestod av 10 sub-sfärer (Kruggel-Emden, Rickelt et al. 2008). Detta för att bättre efterlikna geometrin hos en verklig partikel och därmed erhålla ett mer korrekt rörelseförlopp för partiklarna i simuleringen (Price). Den första serien simuleringar betecknas i resultatkapitlet som DEM_0 och den andra serien som DEM_1, vidare betecknas data från Rychel som Rychel. Tabell 5 Valda värden för parameterstudie av VSI rotor enligt Figur 2. Dessa ger en serie om 24 simuleringar. Parameter Bet. Värde Friktion [-] 0,3 0,5 Rotorhastighet [rad/s] 74,3 146,4 196,5 Tangentialvinkel [⁰]

23 3.3.3 Analys av Laborationskross och kollisionsenergier För att utvärdera hur förändringar rotorhastighet inverkar på flödesförloppet och kollisionsenergifrekvensen har Sandviks laborationskross modellerats, se Figur 10. En partikelmodell från företaget Cogency (2009) bestående av 5 sub-sfärer har använts för att skapa en partikelpopulation med liknande egenskaper som i det verkliga försöket (Kruggel-Emden, Rickelt et al. 2008). Koefficienterna för partikelmodellen har kalibrerats mot Gladö Kvarn materialet enligt Nedan presenteras de steg som utförts för att åstadkomma simuleringsresultatet. Varje delsteg skulle kunna förklaras och motiveras långt mer ingående men av utrymmesskäl har detta begränsats till följande beskrivning; I. Före simulering 1. Geometrier skapas i CAD 2. Materialkoefficienter kalibreras genom separata simuleringar 3. Temporär partikelpopulation baserad på verkliga scannade partiklar skapas med rätt storlek och mängd kontra verklig gradering baserat på fyra olika partikelsorter. 4. Dynamiska parametrar matas in 5. Partikelfabriker skapas 6. DEM-parametrar väljs 7. Systemet simuleras under okänd tidsperiod till det når steady state. 8. En ny, mer avancerad partikelmodell skapas med en separat partikeltyp för varje storleksklass;, se Figur Nya partikelfabriker skapas för den nya partikelmodellen II. Test 1. Systemet körs under en bestämd tidsperiod 2. Postprocessningsstegen utförs som kontroll 3. Olika delar av steg I ändras - Iteration 4. Analys utförs på resultat för att bestämma simuleringstiden för batchen III. Simulering 1. Batchen av simuleringar körs IV. Postprocessning i EDEM 1. Alla simuleringar kontrolleras 2. Data extraheras 3. Filmer och bilder skapas V. Postprocessning Matlab/Excel 1. Data importeras till Excel 2. Vald data exporteras vidare till matlab 3. Program skrivs för behandling av data och för skapandet av grafer. 23

24 Figur 10 - DEM simulering och modellering av Sandvik laborationskross körd till steady state. I Figur 11 ses en närbild av flödesförloppet i rotorn. De grå partiklarna har först skapats för att bygga upp en stenbädd både i rotorn och i stenkammaren. De partiklar som därefter skapas i steg I.8 rör sig i den, av grå partiklar uppbyggda, rotorbanan. Därefter kolliderar de nya partiklarna mot den uppbyggda stenbädden i krosskammaren och alla kollisioner som de nya partiklarna utsätts för registreras. 24

25 Figur 11 Närbild från DEM-simulering där de grå partiklarna motsvarar den temporära partikelpopulationen. De färgade partiklarna motsvarar de partiklar där registrering av kollisionsenergier utförs. Djupröd färg i bilden motsvarar ~56 m/s och djup blå färg motsvarar ~0 m/s. Gula maskinkomponenter är slitagedelar och övriga komponenter har gjorts transparenta. 25

26 % - Accumulated MinBaS 4 RESULTAT Följande kapitel redovisar i diagramform de resultat som framkommit vid analys av försök och DEM-simuleringar. 4.1 FÖRSÖK Partikelstorleksfördelning I Figur 12 ses PSD för Bro materialet och resultatet antyder att graderingen förändras stegvis från m/s och att olika sönderdelningseffekter är verksamma vid de olika krossförloppen med reservation för att 55m/s och 65m/s tycks ligga i samma område. 100% Sieve analysis - Bro 90% 80% 70% B_FEED 60% B45 50% B55 40% 30% B65 20% B75 10% 0% 0,01 0, Aperture opening (mm) Figur 12 - Partikelstorleksfördelning Bro (F8-22) I Figur 13 ses PSD för Gladö Kvarn materialet med feed 8-22 mm. Reduceringsgraden ökar med jämna steg mellan de olika hastigheterna till skillnad från Bro materialet där PSD kurvorna för 55 m/s och 65 m/s följs åt. Den befintliga VSI-krossen som är körd vid ca 55 m/s periferihastighet följer ej motsvarande kurva för försökskrossen. Detta beror dels på att absoluthastigheten för partiklarna ur den befintliga krossen är något högre då den har större rotordiameter. Men även olikheter i maskingeometri mellan de olika krossarna och dermed annan storlek på stenbädden. Det som dock troligen förklarar den största skillnaden är det högre massflödet i den befintliga krossen. Vid ett relativt sett högre massflöde sker fler partikel-partikel interaktioner (Nikolov 2002). 26

27 % - Accumulated MinBaS Detta styrker hypotesen att ett högre massflöde vid konstant utgångshastighet genererar mer finmaterial pågrund av mer krossning genom sönderdelningseffekterna e-f (abrasion, nötning), se Tabell % Sieve analysis - Gladö 1 (F8-22) 90% 80% 70% 60% 50% G1_FEED G1_45 G1_55 40% G1_65 30% 20% 10% G1_75 VSI bef 0% 0,01 0, Aperture opening (mm) Figur 13 - Partikelstorleksfördelning - Gladö Kvarn 1 (F8-22) I Figur 14 kan det observeras att det vid 45m/s endast har åstadkommits mycket liten förändring på feeden. Detta antyder att endast abrasion och nötnings effekter har varit verksamma och att energinivån inte varit tillräcklig för att klyva eller splittra någon substantiell andel av partiklarna. Skillnaden i reduktionsgrad mellan G1 och G2 stödjer hypotesen att partiklarna ökar i styrka vid minskad storlek. Om man studerar skillnaden mellan G2_75 och G2_75F kan det ses att en ökning av matningen resulterar i en något minskad reduktionsgrad. 27

28 SI [%] SI [%] % - Accumulated MinBaS Sieve analysis - Gladö 2 (F0-8) 100% 90% 80% 70% 60% G2 FEED G2 45m/s 50% 40% G2 55m/s G2 65m/s 30% 20% G2 75m/s G2 75m/s full 10% 0% 0,01 0, Aperture opening (mm) Figur 14 - Partikelstorleksfördelning - Gladö Kvarn 2 (F0-8) Kornform (>d4) I Figur 15.a-d kan kornformen för partiklar större än 4 mm ses. Alla prover som körts genom VSI-krossen en mycket god kornform i allmänhet och de körda vid 75m/s i synnerhet. Intressant är att kornformen för Gladö 2 materialen, se Figur 15.b, uppvisar en sämre kornform än Gladö 1. Detta beror på att kornformen för 0-8 feeden, som är konkrossat, är relativt dålig. Dock förbättras de som väntat betydligt efter att ha körts genom VSI. Provet G2 75F som körts med maximal matning uppvisar en signifikant bättre kornform respektive prov G2 75 som vid försöken strömatades. Detta stödjer hypotesen att inte bara partikelhastigheten utan även massflödet och således nivån av partikel -partikel interaktioner inverkar på kornformen. Även de FI -tester som utförts av STEM-projektet på utvalda prover uppvisar en tydlig kornformsförbättring, se Figur 15.d. Shape Index (SI) - Gladö 1 (F8-22) Shape Index - Gladö 2 (F0-8) 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% , ,2 5, ,6 G1_FEED G1_45 G1_55 G1_65 G1_75 VSI bef 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 8-11,2 5, ,6 G2 FEED G2 45m/s G2 55m/s G2 65m/s G2 75m/s G2 75m/s full a. b. 28

29 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 Massflöde [g/s] Massflöde [g/s] SI FI [%] MinBaS Bro - Shape index (SI) Flisighets Index (FI) 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% B_FEED B45 B55 B65 B75 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% S_B75 S_B_oldSTEM S_G1 75 S_G1_Bef , ,2 5, ,6 3,15/4 1, ,25 c. d. Figur 15 - Kornformsanalys för partiklar större än 4mm a) Shape Index Gladö 1. b) Shape Index Gladö 2. c) Shape Index Bro. d) Flisighets Index för prover skickade till och utförda av STEM-projektet Massflöde På grund av misstag i siktningsprocessen togs en för låg mängd av 0,063-0,125 mm fraktionen fram. Därför var det inte möjligt att med den nya flödesmätningsmetoden generera korrekta mätdata. Detta dels på grund av att själva flödesförloppet genom konan ej når ett stabilt linjärt flödesbeteende vid låga volymer och dels på grund av för låg mätfrekvens. De massflödesvärden för 0,063-0,125 mm fraktionen som redovisas i Figur 16.f och Figur 17 kommer därför från den första manuella flödesmätningen. Massflöde 0,063-2mm Massflöde 1-2mm a. b. 29

30 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 REF VSI 75 Massflöde [g/s] Massflöde [g/s] G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F G2 FEED S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 Massflöde [g/s] Massflöde [g/s] 40 Massflöde 0,5-1mm MinBaS 44 Massflöde 0,25-0,5mm c. d. Massflöde 0,125-0,25mm Massflöde 0,063-0,125mm e. f. Figur 16 - Massflöde för olika fraktioner. a) 0,063-2mm b) 1-2mm c) 0,5-1mm d) 0,25-0,5mm e) 0,125-0,25mm f) 0,063-0,125mm För Gladö Kvarn materialen kan en stark korrelation mellan ökat massflöde och ökad partikelhastighet ses för de flesta fraktioner. Bro materialet uppvisar en något skilt resultat och beter sig inte lika linjärt som Gladö materialet. Dock kan det ses att även Bromaterialet har det högsta massflödet vid 75 m/s i de flesta fraktioner. Det kan dock observeras att noggrannheten och signifikansen för mätresultaten försämras nedåt i fraktionerna. 30

31 Massflöde [g/s] 50,00 48,00 46,00 44,00 42,00 40,00 38,00 36,00 34,00 32,00 30,00 28,00 26,00 24,00 22,00 20,00 MinBaS 0,063 0,125 0,25 0,5 1 0,063-2 G1 Bef VSI 36,02 41,39 40,22 36,04 28,35 42,43 S_G1_Bef 25,83 33,88 34,92 31,09 24,51 35,31 G ,93 41,10 35,59 27,75 42,49 G ,91 40,15 40,15 35,76 28,18 42,65 G ,02 41,46 40,75 36,53 28,46 43,29 G ,88 40,53 41,07 36,83 28,93 43,66 S_G ,06 31,25 35,01 31,73 24,80 35,51 G ,34 39,42 39,57 36,39 28,34 41,80 G ,77 43,42 40,19 36,95 28,91 41,59 G ,90 41,95 40,73 36,94 29,34 43,05 G ,15 43,97 41,06 37,60 29,48 43,08 G2 75F 38,39 42,79 40,96 37,34 29,59 43,35 G2 FEED 46,49 39,08 37,40 33,41 25,50 39,08 S_B_oldSTEM 25,67 31,89 35,71 32,64 25,61 37,20 B45 41,37 40,83 39,11 35,56 28,05 42,86 B55 36,88 39,71 39,10 35,61 28,26 42,81 B65 32,84 40,40 39,33 36,19 28,32 42,51 B75 42,58 40,18 39,57 36,24 28,38 43,68 S_B75 24,04 32,05 34,72 31,89 25,99 34,44 REF N1 46,07 45,62 39,23 30,94 47,55 REF VSI 75 49,25 Massflöde - Alla prover och fraktioner Figur 17 - Massflöde för alla prover. Resultat för fraktionen 0,063-0,125 mm är utförda med konventionell mätmetod med undantag för prov (REF VSI 75) där en noggrannare analys utförts, se Figur Packningsgrad Packningsgraden följer inte lika tydligt hypotesen att ökad partikelhastighet ger ökad packning som det gör med massflödet. Om man studerar Gladö materialen (0,063-2 mm) i Figur 19.a kan dock ett mycket tydligt samband ses. Detta stämmer inte lika bra för Bro materialet. Anmärkningsvärt är att mätningar utförda av STEM-projektet (röda) har en mycket dålig överensstämmelse med försök i denna studie. 31

32 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 Packningsgrad [%] Packningsgrad [%] REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 Packningsgrad [%] Packningsgrad [%] REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 REF N1 G1 Bef VSI S_G1_Bef G1 45 G1 55 G1 65 G1 75 S_G1 75 G2 FEED G2 45 G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F S_B_oldSTEM B45 B55 B65 B75 S_B75 Packningsgrad [%] Packningsgrad [%] MinBaS 61% 60% 59% 58% 57% 56% 55% 54% 53% 52% Packningsgrad 0,063-2 mm 54% 53% 52% 51% 50% 49% 48% Packningsgrad mm a. b. 56% 54% 52% 50% 48% 46% 44% 42% Packningsgrad - 0,5-1 mm 54% 52% 50% 48% 46% 44% 42% Packningsgrad - 0,25-0,5 mm c. d. 50% 49% 48% 47% 46% 45% 44% 43% 42% 41% 40% Packningsgrad - 0,125-0,25 mm 46% 45% 44% 43% 42% 41% 40% 39% 38% Packningsgrad - 0,063-0,125 mm e. f. Figur 18 Packningsgrad (PG) för olika fraktioner. a) 0,063-2mm b) 1-2mm c) 0,5-1mm d) 0,25-0,5mm e) 0,125-0,25mm f) 0,063-0,125mm Sandflöde Analys Vid sammanvägning av hålrumsandel (HA) (HA=1-PG) och massflödet för 0,063-2mm materialen indikeras dess lämplighet som tillverkad sand i betong. Figur 19 visar tydligt att prover körda vid 75 m/s uppvisar bäst resultat. Anmärkningsvärt är att det konkrossade 0-8 materialet uppvisar en signifikant prestandaökning efter att ha VSIkrossats vid 75m/s, se Figur 21. Proverna i G1-serien uppvisar ett linjärt samband mellan prestandaökning i analysdiagrammet och partikelhastighet, se Figur 20. Bro- 32

33 Eq. Flow time (1000g) [s] Eq. Flow time (1000g) [s] MinBaS materialen uppvisar ingen tydligt samband mellan prestandaförbättring och partikelhastighet, se Figur Sandflöde - Analysdiagram Alla material (Gradering B) 25 Coarser grading Worse particle shape (higher water demand) G1 REF B G1 45 G G1 65 G1 75 G G2 55 G2 65 G G2 75F G2 FEED 21 Improved particle shape (reduced water demand) Finer grading B45 B55 B65 B75 REF N ,00% 39,00% 40,00% 41,00% 42,00% 43,00% 44,00% 45,00% 46,00% Voids [%] Figur 19 - Analysdiagram för sandflöde enligt NZS 3111 Alla material (ej STEM prover) 26 Sandflöde - Analysdiagram Gladö Kvarn 1 (F8-20) 25 Coarser grading Worse particle shape (higher water demand) 24 G1 REF B 23 G1 45 G1 55 G G1 75 REF N1 Improved particle shape (reduced water demand) 21 Finer grading 20 38,00% 39,00% 40,00% 41,00% 42,00% 43,00% 44,00% 45,00% 46,00% Voids [%] Figur 20 - för sandflöde enligt NZS 3111 Gladö Kvarn 1 (F8-20) 33

34 Eq. Flow time (1000g) [s] Eq. Flow time (1000g) [s] MinBaS 26 Sandflöde - Analysdiagram Gladö Kvarn 2 (F0-8) 25 Coarser grading Worse particle shape (higher water demand) 24 G G2 55 G2 65 G2 75 G2 75F Improved particle shape (reduced water demand) Finer grading G2 FEED REF N ,00% 39,00% 40,00% 41,00% 42,00% 43,00% 44,00% 45,00% 46,00% Voids [%] Figur 21 - för sandflöde enligt NZS 3111 Gladö Kvarn 2 (F0-8) 26 Sandflöde - Analysdiagram Bro 25 Coarser grading Worse particle shape (higher water demand) B45 B55 B65 B75 REF N1 21 Improved particle shape (reduced water demand) Finer grading 20 38,00% 39,00% 40,00% 41,00% 42,00% 43,00% 44,00% 45,00% 46,00% Voids [%] Figur 22 - för sandflöde enligt NZS 3111 Bro (F8-20) 34

35 Utflyt [mm] 136,00 134,00 132,00 130,00 128,00 126,00 124,00 122,00 120,00 118,00 MinBaS Camflow försök på utvalda prover S_G1_Bef S_G1 75 S_B75 S_B_oldSTEM Kurva 2 Original Figur 23 Camflow-försök utförda på STEM-prover med två olika graderingskurvor. I Figur 23 ses resultaten av de CamFlow-bruksförsök som utförts av STEM-projektet på de utvalda proverna med två olika graderingskurvor. I serien benämnd Kurva 2 har varje prov siktats enligt CBI-kurva 2 (0-2mm). Detta betyder att kornkurvorna är identiska vilket innebär att det är möjligt att jämföra kornform och specifik yta eftersom man kan utgå från att varje fraktion innehåller ett likvärdigt antal korn. I serien benämnd Original studeras 0,063-2 mm fraktionen med kornkurvan utan övrig anpassning. Gladö: Vid en jämförelse mellan G_bef och G1_75 ses att det är mycket liten skillnad (t.o.m. negativ) i utbredning för bruken med gradering enligt Kurva 2. Detta antyder att ingen förbättring har åstadkommits med avseende på kornform och reologi. En möjlig förklaring är att en högre andel glimmerpartiklar har anrikats i de fina fraktionerna för G1_75 vilket försämrat mikrobrukets egenskaper relativt G_bef. Även då bruk blandats enligt Original kurvan utan filler har ingen förbättring åstadkommits. Detta är anmärkningsvärt då en tydlig förbättring kan ses vid packnings- och massflödesmätningarna. Bro: För Bro -materialet finns inte samma möjlighet till jämförelse då ingen referens siktad enligt Original kornkurva fanns tillgänglig från tidigare STEM-analyser. Om bruken siktade enligt Kurva 2 betraktas kan man även här se att referensen uppvisar en något större utbredning. Även här är en möjlig förklaring ökad glimmeranrikning i fina fraktioner vilket påverkar mikrobrukets reologi negativt. 4.2 DEM Analys av utgångshastighet, I Figur 24 ses resultatet från simuleringarna utförda med den teoretiska modellen för en VSI rotor utvecklad av Rychel (2001). De streckade linjerna motsvarar den första 35

36 simuleringsserien ( DEM_0 ) som utfördes med en enkel partikelmodell där varje partikel bestod av en sfär. Eftersom dessa sfäriska partiklar tilläts att rulla utmed partikelbanan i rotorn minimerades inverkan av friktionskraften vilket ledde till ett felaktigt resultat i första serien. Den andra simuleringsserien ( DEM_1 ), med en förbättrad partikelmodell, uppvisar en mycket god likformighet med Rychels modell. För närmare beskrivning av tangentialvinken ψ se Figur 2. Vabs [m/s] Absolute velocity - Tangential angle ψ [⁰] ωdem_0=74,3 [rad/s] ωdem_1=74,3 [rad/s] ωrychel=74,3 [rad/s] ωdem_0=146,3 [rad/s] ωdem_1=146,3 [rad/s] ωrychel=146,3 [rad/s] ωdem_0=196,5 [rad/s] ωdem_1=196,5 [rad/s] ωrychel=196,5 [rad/s] Figur 24 - Tangentialvinkelns inverkan på absoluthastigheten. Rychels (2001) modell för beräkning av absoluthastigheten jämförs med två olika serier av DEM simuleringar. I Figur 25 visas att förändringar för friktionen i rotorns partikelbana har en tydlig inverkan på absoluthastigheten. Både Figur 24 och Figur 25 visar att rotorer bör konstrueras så att tangentialvinkeln någonstans mellan 50⁰ och 60⁰. Detta för att uppnå maximal utgångshastighet men även minsta inverkan av rotorväggfriktionen. V abs [m/s] Absolute velocity - Tangential angle ψ [⁰] ωdem_µc0.3=74,3 [rad/s] ωdem_µc0,5=74,3 [rad/s] ωdem_µc0.3=146,3 [rad/s] ωdem_µc0,5=146,3 [rad/s] ωdem_µc0.3=196,5 [rad/s] ωdem_µc0,5=196,5 [rad/s] Figur 25 Tangentialvinkelns inverkan på absoluthastigheten simulerat vid två olika friktionsnivåer 36

37 Cumulative Nr. of Impacts [%] Cumulative Nr. of Impacts [%] Cumulative Nr. of Impacts [%] MinBaS DEM simulering av Labb VSI Graferna i Figur visar att en högre andel kollisioner har skett i det låga energiintervallet, under (~10-15 [J/kg]) där abrasion och nötning verkar, vid 65m/s relativt 45m/s. En mycket liten del av kollisionerna verkar över den kritiska energinivån, (~1000 [J/kg]) (Powell 2008). Det är en mycket tidskrävande uppgift att hantera den data som produceras av DEM simuleringarna. Därmed visas endast kollisionsenergifördelningen för två hastigheter m/s - Class 8 45m/s - Class 9 45m/s - Class 10 45m/s - Class 11 45m/s - Class 12 45m/s - Class 13 45m/s - Class 14 45m/s - Class Specific Normal Collision Energy [J/Kg] 65m/s - Class 8 65m/s - Class 9 65m/s - Class 10 65m/s - Class 11 65m/s - Class 12 65m/s - Class 13 65m/s - Class 14 65m/s - Class Specific Normal Collision Energy [J/Kg] Figur 26 - Distribution av specifik kollisionsenergi vid 45m/s och 65m/s för olika storleksklasser m/s - All classes 65m/s - All Classes Normal Collision Energy [J] Figur 27 - Distribution av kollisionsenergi vid 45m/s och 65m/s för alla klasser 37

38 Cumulative Nr. of Impacts [%] MinBaS m/s - Class 8 45m/s - Class 9 45m/s - Class 10 45m/s - Class 11 45m/s - Class 12 45m/s - Class 13 45m/s - Class 14 45m/s - Class 15 65m/s - Class 8 65m/s - Class 9 65m/s - Class 10 65m/s - Class 11 65m/s - Class 12 65m/s - Class 13 65m/s - Class 14 65m/s - Class Normal Collision Energy [J] Figur 28 - Distribution av kollisionsenergi vid 45m/s och 65m/s för alla klasser v abs v rel v t ψ ψ v abs v rel v t ψ ψ Figur 29 Partikelbana i laborationskross. I vänstra bilden ses den partikelbädd som formas i rotorkammaren. Till höger ses den partikelbana som initialt förväntades. I Figur 29 ses partikelrörelsebanan i rotorn. Initialt förväntades partikelbanan ha formen enligt höger i bilden. Vid närmare analys upptäcktes dock att en intern vägg byggs upp från den vertikala uppfångningsplattan fram till partikelfördelningsplattan. Denna form kan även bekräftas från observationer gjorda på den verkliga rotorns bädduppbyggnad, se Figur 30. Om en jämförelse görs till Rychels (2001) modell så inses det att det ej är en självklarhet hur en önskad partikelbana skall uppnås. Dessutom är det möjligt att nuvarande rotorgeometrier ej är optimalt utformade för att uppnå optimal utgångshastighet vid ett specifikt varvtal. Detta fenomen visar på styrkan i att använda DEM för att analysera funktionen, prestanda och eventuella problemområden för maskiner som hanterar granulera material. 38

39 Figur 30 - Verklig rotorbädd i laborationskross 39

40 5 ANALYS 5.1 PARTIKELSTORLEK OCH STYRKA Yashima (1987) och Tavares (2004) visar att stenpartiklars styrka ökar med minskad storlek. Detta beror på att förekomsten av svagheter och sprickor är lägre vid minskad storlek i samband med faktumet att de närmar sig storleken för mineralkornstorleken. Vid produktion av tillverkad sand är det emellertid ej av något högre intresse att totalt sönderdela dessa mindre partiklar. Däremot är det av högsta intresse att de har god kornform. Kornformen för partiklar mindre än 500µm beror i ett första skeda av hur de skapades och vilken kornform de då fick. Vidare om och i vilken grad de blivit utsatta för ytterligare sönderdelningseffekter som förbättrat formen. Detta gäller med undantag för glimmer som är ett flakigt mineral som vi åverkan spjälkar upp sig i platta partiklar med mycket hög specifik yta. Figur 31 - Inverkan av luftmotståndet på partiklar med olika storlek [m] och form [sfär, kub] med utgångshastighet 50 m/s Förmågan att forma partiklar under 500 µm försämras även av det faktum att luftmotståndet bromsar upp partiklarna när de färdas mot stenbädden. I Figur 31 kan sambandet mellan minskad flyghastighet och partikelstorlek till följd av luftmotståndet ses. 40

41 Ackumulerad massa [g] Massflöde [g/s] MinBaS 5.2 MASSFLÖDESMÄTNING I Figur 32a,b visas mätvariationen för en serie av provmängder för samma material (Ref VSI 75 0,063-0,125). Resultatet visar att en relativt stor provmängd måste testas för att ett stabilt signifikant mätvärde skall uppnås vid mätning av denna fraktion. Det är svårt att utifrån detta test rekommendera en viss minsta provmängd. En större testserie skulle i så fall behöva utföras. Denna studie visar dock att provmängden vid mätningar av massflöde för 0,063-0,125 fraktionen för vara större än ca gram. Provmängd - Massflöde Provmängd - R R 2 1, ,998 0,996 0,994 0,992 0,99 0,988 0,986 0,984 0, Provmängd (0,063-0,125mm 75m/s) [g] Provmängd (0,063-0,125mm 75m/s) [g] a. b. Figur 32 - Provmängdens inverkan på mätnogrannheten för massflödet. a) Uppmätt massflöde för en serie olika provmängder. b) Medelvärdet för determinationskoefficienten R2 för de olika körningarna vid de testade provmängderna Massflöde 0,063-0,125 mm 75 m/s y = 49,305x - 100,32 R² = 0,9998 y = 16,323x - 34,318 R² = 0, Rensiktad Dåligt siktad Tid [s] Figur 33 - Registrerad data från våg för samma provmaterial (REF VSI 75, 0,063-0,125 mm) testat efter först undermålig siktning och sedan efter omsiktning. I Figur 33 ses hur stor skillnad det kan vara mellan ett dåligt siktat och ett rensiktat prov av samma material (0,063-0,125mm). Om provet innehåller för stora mängder filler förloras både det linjära sambandet och massflödet försämras radikalt. Vid 41

42 Massflöde [g/s] MinBaS mätning mod konventionell metod är det mycket svårt att upptäcka och kontrollera dessa fenomen. 5.3 MASSFLÖDE REGRESSIONSANALYS För att studera sambandet mellan rotorhastighet och massflöde har en linjär regressionsanalys utförts, se Figur För fraktionerna större än 0,125 mm ses en god korrelation. För 0,063.0,125 materialet kan som väntat ej någon slutsats göras och dessa data för därför förbises i stort då ej alla datapunkter kan garanteras vara signifikanta. Bro materialet och materialet från Gladö kvarn uppvisar en viss skillnad vilket starkt indikerar att bergarten, med dess skilda egenskaper har en inverkan på utfallet y = 0,0413x + 40,543 R² = 0, y = 0,005x + 40,463 R² = 0,0218 G1_0,063 G1_0, y = 0,0193x + 39,463 R² = 0,0811 y = 0,0452x + 33,469 R² = 0,9436 G1_0,25 G1_0,5 G1_1 G1_0, Linjär (B_0,063) Linjär (B_0,125) 33 Linjär (B_0,25) y = 0,4895x + 8,3172 R² = 0,6366 y = 0,0381x + 26,046 R² = 0,9911 Linjär (B_0,5) Linjär (B_1) Linjär (B_0,063-2) Periferihastighet rotor [m/s] Figur 34 - Samband mellan rotorhastighet och massflöde för Gladö Kvarn 1 materialet 42

43 Massflöde [g/s] Massflöde [g/s] MinBaS y = -0,3245x + 63,013 R² = 0, y = 0,053x + 39,202 R² = 0,7383 y = 0,0502x + 37,379 R² = 0,9822 y = 0,1218x + 34,882 R² = 0,5976 G2_0,063 G2_0,125 G2_0,25 G2_0,5 G2_1 G2_0, y = 0,0361x + 34,801 R² = 0,8934 Linjär (B_0,063) Linjär (B_0,125) Linjär (B_0,25) 33 Linjär (B_0,5) y = 0,0387x + 26,697 R² = 0,9404 Linjär (B_1) Linjär (B_0,063-2) Periferihastighet rotor [m/s] Figur 35 - Samband mellan rotorhastighet och massflöde för Gladö Kvarn 2 materialet y = 0,0217x + 41,663 R² = 0, y = -0,0124x + 41,023 R² = 0, y = -0,0038x + 38,647 R² = 0,0001 B_0,063 B_0, y = 0,0265x + 34,31 R² = 0,8642 B_0,25 B_0,5 B_1 B_0, y = 0,0356x 2-4,2732x + 162,28 R² = 0,851 Linjär (B_0,063) Poly. (B_0,063) 31 Linjär (B_0,125) Linjär (B_0,5) Linjär (B_1) 29 y = 0,0104x + 27,631 R² = 0,8961 Linjär (B_0,063-2) Periferihastighet rotor [m/s] Figur 36 - Samband mellan rotorhastighet och massflöde för Bro materialet 43

44 6 SLUTSATSER Generellt stämmer resultat från VSI -försöken relativt bra med slutsatser dragna i CBIrapporten Energibesparing vid framställning av betong baserad på krossat bergmaterial, s 19-23(56). Försöken visar att en ökning av partikelhastigheten ut ur rotorn ger en förbättring av kornformen ner till ca 250 µm, därefter är det svårt att se en korrelation. Intressanta frågeställningar är; Hur påverkas anrikningen av glimmer i olika fraktioner av partikelhastigheten? Hur förändras kvalitén för material i µm fraktionen, kört vid olika hastigheter, om glimmer avlägsnas med vindsikt? Hur är kvalitén för kvarvarande, glimmerfritt material? Shape Index för fraktioner >4 mm för alla material körda genom VSI-kross uppvisar generellt låga värden. För prover körda vid 75 m/s är SI värdet genomgående 0,0 % för alla fraktioner. Det är förväntat att korformen skall vara god då erfarenheter visar att VSI-krossar över lag alltid producerar material med en bättre kornform än exempelvis konkrossar. Flödes- och hålrumsandelstester skiljer mellan försök utförda av Chalmers och STEMprojektet pågrund av olika mättekniker. Flödesmätningarna och utvecklingen av den nya mätproceduren visar att man med konventionell tidtagning inte mäter materialets massflöde, utan endast passeringstiden. De randeffekter som uppkommer vid början och slutet av flödesförloppet påverkar mätresultatet och ser sannolikt inte ut på samma sätt ut för olika kongeometrier. Eventuellt skiljer sig även randeffekterna åt för olika bergarter. Genom att mäta massflöde direkt med digitalvåg kopplad till PC elimineras mätfel och randeffekter. Vid mätning av den minsta fraktionen, 0,063-0,125mm är det mycket viktigt att provet är så rent som möjligt från filler. Dessutom bör en relativt stor provmängd testas som inte understiger g. Den föreslagna nya metoden för mätning av massflöde bör vidare studeras och förbättras. Än så länge är inte den konventionella metoden så utbredd att en förändring vore omöjlig. Diskret Element Modellering (DEM) är ett kraftfullt verktyg när det gäller att analysera och modellera maskiner som hanterar granulera material. De ansträngningar som gjorts på detta område har givit insyn i en mängd fenomen som tidigare endast kunde angripas analytiskt. Än så länge är post-processningen mycket tidskrävande och relativt omständlig att utföra. Den teoretiska modell av VSI-rotorn presenterad av Rychel (2001) är validerad och stämmer väl med resultat från DEM-simulering. Det är även visat att partikelbanan i en VSI rotor ej är trivial att bestämma. DEM är ett bra verktyg för att utvärdera hur olika rotorgeometriförändringar påverkar stenmaterialets bädduppbyggnad och därmed förutsäga partikelbanan. 44

45 Eventuellt bör vidare studier göras där 0,063-0,5 mm material hanteras i separat process för att uppnå förbättrad kornform och avskiljning av glimmer i denna kritiska fraktion. Det har i projektet inte tagits hänsyn till faktumet att krossning vid en högre energinivå naturligtvis är mer kostsamt och dessutom påverkar kapaciteten. Vidare studier bör utreda samband mellan olika typer av förbättringsåtgärder i processen och hur dessa påverkar energi och kostnadseffektiviteten. 45

46 7 NOMENKLATUR x partikelstorlek (m) konstant (-) 1 konstant (-) 2 d konstant (m) 1 d konstant (m) 2 konstant (-) v abs absoluthastighet (m/s) konstant (-) C konstant (-) k konstant (-) d partikeldiameter (m) r I innerradie rotor (m) r O ytterradie rotor (m) m massa (kg) a acceleration (m/s 2 ) l Längd som partikel färdas (m) Vinkelhastighet rotor (rad/s) R friktion (-) C friktion (-) f Tangentialvinkel (⁰) t tid (s) v t Tangentialhastighet (m/s) v rel Relativhastighet (m/s) 46

47 8 REFERENSER Bengtsson, M. (2009). Quality-Driven Production of Aggregates in Crushing Plants. Dep. Product and production Development. Gothenburg, Sweden, Chalmers University of Technology. PhD. Bengtsson, M., Evertsson, C. Magnus (2006). "Measuring characteristics of aggregate material from vertical shaft impact crushers." Minerals Engineering 19: CCAA (2008). Guide to the Specification and Use of Manufactured Sand in Concrete, Cement Concrete & Aggregates Australia. Cogency. (2009). "ASG Software." from DEM-solutions. (2010). from Evertsson, C. M. (1999). "Modelling of flow in cone crushers." Minerals Engineering 12(12): Evertsson, C. M. (2000). Cone Crusher Performance. Dep. of Machine and Vehicle Design. Göteborg, Chalmers University of Technology. PhD. Kruggel-Emden, H., S. Rickelt, et al. (2008). "A study on the validity of the multi-sphere Discrete Element Method." Powder Technology 188(2): Lagerblad, B., Westerholm, M., Fjällberg, L., Gram, H.E. (2008). Bergkrossmaterial som ballast i betong. Stockholm, CBI Betonginstitutet AB. Mindlin, R. D. (1949). Journal of Applied Mechanics 71. Mishra, B. K. and C. V. R. Murty (2001). "On the determination of contact parameters for realistic DEM simulations of ball mills." Powder Technology 115(3): Nikolov, S. (2002). "A performance model for impact crushers." Minerals Engineering 15: Nikolov, S. (2004). "Modelling and simulation of particle breakage in impact crushers." Int. J. Miner. Process. 74S: Powell, M. S., Govender, I., McBride, A.T. (2008). "Applying DEM outputs to the unified comminution model." Minerals Engineering 21: Price, M., Murariu, V., Morrison, G. Sphere clump generation and trajectory comparison for real particles. Cape Town, Department of Electrical Engineering, University of Cape Town. 47

48 Rychel, R. (2001). Modellierung des Betriebsverhaltens von Rotorschleuderbrechern. Von der Fakultät für Maschinenbau, Verfahrens- und Energietechnik. Freiberg, der Technischen Universität Bergakademie Freiberg. Dr.-Ing.: 101. Salman, A. d., Reynolds, G.K., Fu, J.S., Cheong, Y.S., Biggs, C.A., Adams, M.J., Gorham, D.A., Lukenics, J., Hounslow, M.J. (2004). "Descriptive classification of the impact failure modes of spherical particles." Powder Technology : Sandvik (1995). Abrasion Index - Test Report (Gladö Kvarn). TÅH. Svedala, Sandvik Mining and Construction. Sandvik (1995). Impact Work Index - Test Report (Gladö Kvarn). TÅH. Svedala, Sandvik Mining and Construction. Sandvik (2007). Abrastion Index - Test Report (Bro). GMM. Svedala, Sandvik Mining and Construction. Sandvik (2007). Impact Work Index - Test Report (Bro). GMM. Svedala, Sandvik Mining and Construction. Schubert, W., Khanal, M., Tomas, J. (2005). "Impact crushing of particle-particle compounds - experiment and simulation." Int. J. Miner. Process. 75: Standard, N. Z. (1986). Methods of test for water and aggregate for concrete. NZS 3111:1986, Standards Association of New Zealand. Tavares, L. M. (2004). "Optimum routes for particle breakage by impact." Powder Technology 142: Unland, G., M. G. Agba D. Salman, et al. (2007). The Principles of Single-Particle Crushing. Handbook of Powder Technology, Elsevier Science B.V. Volume 12: Whiten, W. J. (1972). "The Simulation of Crushing Plants with Models Developed using Multiple Spline Regression." J. SAIMM 072(10): Wigum, B. J., Hólmgeirsdóttir, D., Danielsen, S.W., Andersen, O.V. (2004). Production and Utilisation of Manufactured Sand for Concrete Purposes. Hönnun. Reykjavík, Nordic Atlantic Co-operation. Yashima, S., Kanda, Y., Sano, S. (1987). "Relationships Between Particle Size and Fracture Energy or Impact Velocity Required to Fracture as Estimated from Single Particle Crushing." Powder Technology 51:

49 9 APPENDIX 9.1 APPENDIX A BERÄKNING AV Nedan ses lösningen till differentialekvationen beskrivande kraftjämvikten för en partikel i rotorn vilket vidare ger ekvationen för en exciterad partikels hastighet(rychel 2001). Friläggning R F Z F C v abs v rel v t ro r F R r i Kraftjämvikt A.1 A.2 Där, A.3 A.4 A.5 A.3-5 i A2 ger en andra ordningens linjära differentialekvation; A.6 Med lösningen;

50 A.7 där, A.8 A.9 Och, A.10 A.11 Genom att derivera uttrycket i A.7 erhålls relativhastigheten för en partikel i rotorn: A.12 II

51 9.2 APPENDIX B - MS PROCESSMODELL Figur 37 - Schematisk bild över produktionen av tillverkad sand och betong III