Murray Gell-Mann och

Transkript

1 Matriser Institute of Geometry, Algebra and Topology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Sonja Kovalevskydagarna Uppsala, den 7 november 2008

2 Matriser

3 Översikt 1 Matriser 2 Matriser 3

4 Kvarkar Kvarkar är elementarpartiklar, byggklossarna varav andra, större partiklar, som kallas hadroner uppbyggas. Så vitt fysikerna vet, finns det sex kvarkar: u (upp), d (ner), s (sär), c (charm), b (botten) t (topp). Matriser Varje kvark har vissa fysikaliska egenskaper, som mätas genom olika kvanttal: laddning, isospin, baryontal, särtal, charmtal, bottental, topptal, färgladdning. För varje kvark, finns det en antikvark, som har motsatta kvanttal.

5 Hadroner Mesoner är hadroner som byggas upp av en kvark en antikvark. Till exempel, pi-mesonen π + byggas upp av en upp-kvark en ner-antikvark. Matriser Baryoner är hadroner som består av tre kvarkar eller tre antikvarkar. Till exempel, en proton består av två upp-kvarkar en ner-kvark, mens en neutron består av en upp-kvark två ner-kvarkar. Än så länge har fysikerna inte upptäckt några andra sorters hadroner i naturen.

6 Kvarkmodellen I Naturliga symmetrier bland egenskaper av de olika hadronerna inspirerade att utveckla en teori som organiserade de dåkända 9 mesonerna i Matriser en särskild ensamstående partikel, en oktett som bestod av en sexkant samt två besläkta ensamstående partiklar.

7 Mesonoktetten Matriser

8 Kvarkmodellen II Å andra sidan organiserade Gell-Mann de dåkända 26 baryonerna i en särskild ensamstående partikel, två oktetter, Matriser en dekuplet, som bestod av nio partiklar liggande på en trekant en besläkt ensamstående partikel förutom att det fattades ett hörn av trekanten... En partikels läge i sin gruppering bestämdes av sina fysikaliska egenskaper (laddning, särtal isospin).

9 Baryondekupleten Matriser

10 Gell-Manns förutsägelse Gell-Mann var helt säker på att hans teori var rätt. Han förutspådde alltså år 1962 att de måste finnas en baryon som kompletterade dekupleten. År 1964 upptäcktes Gell-Manns partikel, Ω. År 1969 fick Gell-Mann Nobelpriset i fysik för sin kvarkmodell. Matriser

11 Komplexa tal Om a är ett reellt tal, är a 2 0. Alltså, för att kunna ta kvadratroten ur negativa tal, måste vi lägga till nya tal, bl a: i = 1 : den imaginära enheten. Mängden C av komplexa tal består av summorna Matriser a + ib, där a b är reella tal (möjligtivis 0!). Summan produkten definieras så här: (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ) (a + ib)(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ).

12 Matriser: definition (2 2)-matriser: ( ) a1 a 2 (3 3)-matriser: b 1 b 2 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Matriser Osv! (n n)-matriser: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn

13 Matriser: summan skalärmultiplikationen Fallet 2 2: ( ) a1 a 2 b 1 b 2 ( a + 1 a 2 ) ( a1 + a b 1 b 2 = 1 a 2 + a 2 ) b 1 + b 1 b 2 + b 2 Matriser ( ) ( ) a1 a c 2 ca1 ca = 2 b 1 b 2 cb 1 cb 2 För alla n, kan man ta summan av två (n n)-matriser eller multiplicera ett komplext tal en (n n)-matris likadant.

14 Matrisprodukter kommutatorer ( ) a1 a 2 b 1 b 2 ( a 1 a 2 ) ( a1 a b 1 b 2 = 1 + a 2b 1 a 1 a 2 + a 2b 2 ) b 1 a 1 + b 2b 1 b 1 a 2 + b 2b 2 Matriser För n > 2, definieras produkten av två (n n)-matriser likadant. Om M M är (n n)-matriser, definierar vi [M, M ] = M M M M : kommutatoroperationen

15 En Lie-algebra består av en mängd L, samt tre operationer för alla x, y L a C: summan: x + y L, skalärmultiplikationen: a x L, liebracketen: [x, y] L. Dessa operationer måste uppfylla vissa axiom, som är egenskaper av de naturliga matrisoperationerna, t ex: Matriser [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], [x, x] = 0 [ x, [y, z] ] + [ y, [z, x] ] + [ z, [x, y] ] = 0.

16 Exempel på : gl n (C) Matriser Lie-algebran gl n (C) består av alla (n n)-matriser, med den vanliga summan skalärmultiplikationen där liebracketen är kommutatoroperationen.

17 Exempel på : sl 2 (C) Lie-algebran sl 2 (C) består av alla (2 2)-matriser ( ) a b, c a där a, b, c är godtyckliga komplexa tal, med samma operationer som gl 2 (C). sl 2 (C) är verkligen en lie-algebra, eftersom ( ) ( ) a b da db d =, c a dc da Matriser ( ) a b c a ( ) ( ) a b + a + a b + b c a = c + c a a, [ (a ) ( ) ] ( ) b a b, bc c a c a = b c 2(ab a b) 2(a c ac ) b c bc.

18 Exempel på : sl 3 (C) Lie-algebran sl 3 (C) består av alla (3 3)-matriser a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 a 1 b 2 Matriser där a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1, c 2 är godtyckliga komplexa tal, med samma operationer som gl 3 (C). Beviset att sl 3 (C) verkligen är en Lie-algebra liknar fallet sl 2 (C).

19 Vad är en representation? Låt L vara en Lie-algebra. En representation av L är en avbildning ϕ : L gl n (C) Matriser sådan att: ϕ(a x) = a ϕ(x), ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ ( [x, y] ) = [ ϕ(x), ϕ(y) ] för alla x, y L a C.

20 Exempel på representationer av sl 3 (C) Den regulära representationen: ι : sl 3 (C) gl 3 (C) : M M Dualen till den regulära representationen: Matriser ι : sl 3 (C) gl 3 (C) Om då har vi a 1 a 2 a 3 M = b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 a 1 b 2 a 1 b 1 c 1 ι(m) = a 2 b 2 c 2. a 3 b 3 a 1 + b 2

21 Tensorprodukter: fallet 2 2 = 4 Låt ϕ : L gl 2 (C) ψ : L gl 2 (C) vara representationer av en Lie-algebra L. Tensorprodukten av ϕ ψ är en representation sådan att för alla x L, ( ) a1 a ϕ(x) = 2 b 1 b 2 ϕ ψ : L gl 4 (C) ( a ψ(x) = 1 a 2 ) b 1 b 2 Matriser innebär att ϕ ψ(x) = a 1 + a 1 a 2 a 2 0 b 1 a 1 + b 2 0 a 2 b 1 0 b 2 + a 1 a 2 0 b 1 b 1 b 2 + b 2.

22 Tensorprodukter: fallet 3 3 = 9 Låt ϕ : L gl 3 (C) ψ : L gl 3 (C) vara representationer av en Lie-algebra L. Tensorprodukten av ϕ ψ är en representation Matriser ϕ ψ : L gl 9 (C) som definieras på ett sätt som liknar fallet 2 2 = 4.

23 Gell-Manns teori: allmäna påståenden De tre riktningarna i den regulära representationen ι : sl 3 (C) gl 3 (C) motsvarar de tre kvarkarna: u, d, s. De tre riktningarna i den duala representationen Matriser ι : sl 3 (C) gl 3 (C) motsvarar de tre antikvarkarna: ū, d, s. Tensorprodukter av dessa representationer motsvarar uppbyggning av hadroner från kvarkar.

24 Gell-Manns teori: mesoner Eftersom varje meson består av en kvark en antikvark, är antalet mesoner uppbyggda av u, d, s dess antikvarkar lika med antalet riktningar i representationen Matriser ι ι : sl 3 (C) gl 9 (C). Alltså måste det finnas 9 mesoner uppbyggda av u, d, s dess antikvarkar, vilket är lika med antalet mesoner som man kände till år 1962.

25 Gell-Manns teori: baryoner Antalet baryoner uppbyggda av u, d s är lika med antalet riktningar i representationen Matriser ι ι ι : sl 3 (C) gl 27 (C). Alltså måste det finnas 27 baryoner uppbyggda av u, d, s, men år 1962 kände man bara till 26 baryoner...