Kvantmekanik II - Föreläsning 14

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kvantmekanik II - Föreläsning 14"

Transkript

1 Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanikens tolkningar Joakim Edsjö Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 1/36

2 Kvantmekanikens tolkningar Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 2/36

3 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 3/36

4 Kvantmekanikens tolkningar Om ψ beskriver ett kvantmekaniskt system så innehåller ψ information om sannolikheten att få ett visst resultat vid en mätning. Vi kan då göra två tolkningar: a) Realist-tolkningen. ψ är ofullständig. Systemet befann sig i ett välbestämt tillstånd före mätningen, fast vi vet inte vilket. b) Ortodoxa tolkningen. Systemet befann sig i en blandning av tillstånd före mätningen och ett nytt tillstånd skapas vid mätningen (vågfunktionen kollapsar). Låt oss titta närmare på dessa alternativ och se vad som gäller inom kvantmekaniken. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 4/36

5 Frågedags Fråga 1 Betrakta en partikel med spinn 1 2 som befinner sig i spinn upptillståndet i z-riktningen,. Om vi mäter spinnet i x-riktningen är sannolikheten 50% att få resultatet /2,, och 50% att få resultatet /2,. Enligt realist-tolkningen, vad beror det på? 1 Partikeln befinner sig i en blandning av tillstånden och och det är först när vi mäter som partikeln hamnar i det ena eller andra tillståndet. 2 Partikeln befinner sig i antingen eller före mätningen, det är bara att vi inte vet vilket. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 5/36

6 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 6/36

7 EPR-paradoxen Einstein, Podolsky och Rosen formulerade 1935 följande paradox: Betrakta sönderfallet av en π 0 -meson, π 0 e e + π 0 -mesonen har spinn 0 och elektronen och positronen kan i detta sönderfall inte få något banrörelsemängdsmoment. För att bevara det totala rörelsemängdsmomentet måste därför elektronen och positronen ha s = 0, dvs vara i singlettillståndet, e + spinn sm = 00 = 1 ( ) 2 e spinn Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 7/36

8 Sammanflätade tillstånd I Betrakta nu dessa två partiklar i singlettillståndet sm = 00 = 1 2 ( ) Mät nu spinnet på den ena partikeln, säg e : Om vi får måste e + ha. Om vi får måste e + ha. Så fort vi har mätt det ena spinnet vet vi vad det andra är. Detta kallas sammanflätade tillstånd (entangled states). Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 8/36

9 Sammanflätade tillstånd II Denna kollaps av vågfunktionen sker omedelbart, även om vi låter e och e + färdas mycket långt innan mätningen sker. Även om L = 1 ljusår (t.ex.) så vet vi så fort vi mäter spinnet på e vad spinnet på e + är 2 ljusår bort. EPR ansåg att detta var orimligt med den ortodoxa tolkningen ( action at a distance ) och förespråkade realist-tolkningen. Hur kan vågfunktionen kollapsa omedelbart över så stora avstånd? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 9/36

10 Realist-tolkningen Realist-tolkningen leder till att vi tvingas konstatera att ψ är ofullständig. Det borde finnas dolda variabler (som vi ej känner, men egentligen finns där). Idén är att om vi bara kände de dolda variablerna så skulle vi känna systemet fullständigt. Kan denna tolkning stämma? Är det så vi ska se på kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 10/36

11 Frågedags Fråga 2 (lite klurig) Betrakta de sammanflätade tillstånden vi har diskuterat ovan, Om vi mäter spinnet på den ena partikeln så vet vi vad en mätning på den andra skulle ge. Kan vi använda detta för att föra över information snabbare än ljuset? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 11/36

12 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 12/36

13 Bells teorem Låt oss undersöka Bells teorem visade Bell att dolda-variabel-teorier är inkompatibla med kvantmekanik. Realist-tolkningen kan ej vara rätt. Ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 13/36

14 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 14/36

15 Bells teorem I Vi ska nu bevisa Bells teorem (Bells olikhet). Beviset är elegant, men i flera steg så häng med! Grundidén är att istället för att mäta spinnet i samma riktning, t.ex. z-riktningen som för EPR-paradoxen, mät e och e + spinn i olika riktningar: { Mät e spinn i a-riktningen Mät e + a, b = enhetsvektorer spinn i b-riktningen Om a och b är parallella (anti-parallella) får vi perfekt antikorrelation (korrelation) mellan de uppmätta spinnen. Om a och b inte är parallella (antiparallella) får vi inte perfekt antikorrelation (korrelation). Om t.ex. a och b är vinkelräta får vi ingen korrelation alls. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 15/36

16 Bells teorem II Låt oss ange spinn upp (i den riktning vi mäter) med +1 och spinn ner med 1. Beräkna produkten av de uppmätta spinnen (för e /e + från π 0 -sönderfall). Vi skulle t.ex. kunna få e spinn [ /2] e + spinn [ /2] Produkt Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 16/36

17 Bells teorem III Definiera nu medelvärdet av produkten mellan spinnresultateten för många mätningar på identiskt preparerade system P(a, b) = medelvärdet av produkten för många mätningar Notera att a = b P(a, b) = 1 a = b P(a, b) = +1 För godtyckliga a och b har vi (visa!) P(a, b) = a b Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 17/36

18 Bells teorem IV: Dolda variabler Jämför nu med dolda variabler. Låt oss anta att en dold variabel (eller uppsättning av variabler) λ egentligen innehåller information om systemets tillstånd. Om λ innehåller information om systemets egentliga tillstånd: Resultatet vid a-detektorn (vid mätstation A) kan inte bero på orienteringen av b-detektorn (vid mätstation B). Låt oss definiera följande funktioner A(a, λ) = ±1 värdet på spinnet vid A i riktning a B(b, λ) = ±1 värdet på spinnet vid B i riktning b Dessa funktioner talar om vilket värde vi kommer att få vid en mätning av spinnet vid mätstation A och B om vi mäter i riktning a respektive b, givet den dolda variablen λ. De är deterministiska funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 18/36

19 Bells teorem V T.ex. så har vi A(a, λ) = B(a, λ) (1) dvs om vi mäter i samma riktning vid A och B får vi motsatt spinn. P(a, b) ges nu av P(a, b) = medelvärdet av A(a, λ)b(b, λ) Låt nu ρ(λ) vara sannolikhetstätheten för λ (helt godtycklig). Medelvärdet P ges då av P(a, b) = ρ(λ)a(a, λ) B(b, λ) dλ } {{ } A(b,λ) enl. Ekv.(1) = ρ(λ)a(a, λ)a(b, λ)dλ Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 19/36

20 Bells teorem VI Låt nu c vara en annan enhetsvektor (i vilken riktning vi kan mäta spinnet) P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) A(a, λ)a(b, λ) A(a, λ) A(c, λ) dλ Sätt in [A(b, λ)] 2 = 1 [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ)dλ Men vi har nu att 1 [A(a, λ)a(b, λ)] 1 [ ] ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) 0 }{{} } {{ } 0 +1 } {{ } 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 20/36

21 Bells teorem VII P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ) dλ } {{ } } {{ } 0 +1 och 1 P(a, b) P(a, c) = [ A(a, = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ)] λ)a(b, λ) dλ = [ ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) ρ(λ)dλ } {{ } 1 = 1 + P(b, c) } {{ } 1 ] dλ ρ(λ)a(b, λ)a(c, λ)dλ } {{ } + ρ(λ)a(b,λ)b(c,λ)dλ=p(b,c) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 21/36

22 Bells olikhet Detta ger oss slutligen Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet måste vara uppfylld för vilken dold-variabel-teori som helst. Men, är den uppfylld för kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 22/36

23 Frågedags Fråga 3 I Bells olikhet ingår termer av typen P(a, b) där P(a, b) är medelvärdet av produkten av spinnen för många mätningar. Vilket/vilka påståenden om P(a, b) är korrekta? 1 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på samma elektron och positron 2 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på identiskt preparerade system 3 P(a, b) beror inte på i vilka riktningar vi mäter spinnen Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 23/36

24 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 24/36

25 Bells olikhet och kvantmekaniken I Låt oss testa om Bells olikhet är uppfylld för kvantmekaniken! Antag att a, b och c ligger i ett plan som i figuren till höger. Kvantmekaniskt har vi att (visa!) oktober 20, 2011 P(a, b) = a b vilket med riktningarna i figuren ovan ger oss P(a, b) = a b = 0 2 P(a, c) = a c = cos 45 = 2 2 P(b, c) = b c = cos 45 = 2 5/8 Kvant II - kapitel 12 (5/8) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 25/36

26 Bells olikhet och kvantmekaniken II Sätt nu in 2 P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 2 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) 2 ; P(b, c) = 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) 2 2 = 2 = H.L. = 1 + P(b, c) = Men V.L. H.L Bells olikhet gäller inte för kvantmekaniken! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 26/36

27 Experimentellt belägg för Bells olikhet Experimentellt är det visat (Aspect, Grangier och Roger, 1982) att den kvantmekaniska förutsägelsen stämmer, dvs Bells olikhet är bruten! Dolda variabler är fel! Kvantmekaniken och den ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekaniken är helt enkelt inte kompatibel med dolda-variabel-teorier och experimentellt ser vi att det är den kvantmekaniska (ortodoxa) tolkningen som stämmer. Vågfunktionen ψ kollapsar momentant, även över stora avstånd. Naturen är icke-lokal, men vi kan trots det inte föra över information snabbare än ljuset. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 27/36

28 Den momentana kollapsen av vågfunktionen/tillståndet Den ortodoxa tolkningen gäller för kvantmekaniken! Men, det är ju trots det märkligt att vågfunktionen/tillståndet kan kollapsa momentant, även över godtyckligt stora tillstånd. Den momentana kollapsen kanske kan ske för att de sammanflätade partiklarna sitter ihop med ett maskhål? (se Maldacena och Susskind, arxiv: , 2013). arxiv: v2 [hep-th] 11 Jul 2013 Cool horizons for entangled black holes Juan Maldacena 1 and Leonard Susskind 2 1 Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA 2 Stanford Institute for Theoretical Physics and Department of Physics, Stanford University, Stanford, CA , USA Abstract General relativity contains solutions in which two distant black holes are connected through the interior via a wormhole, or Einstein-Rosen bridge. These solutions can be interpreted as maximally entangled states of two black holes that form a complex EPR pair. We suggest that similar bridges might be present for more general entangled states. In the case of entangled black holes one can formulate versions of the AMPS(S) paradoxes and resolve them. This suggests possible resolutions of the firewall paradoxes for more general situations. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 28/36

29 Frågedags Fråga 4 (klurig) Bells olikhet är bruten för det spinn-exempel vi har tittat på här. Om Ŝx, Ŝy och Ŝz skulle kommutera, skulle Bells olikhet ändå ha varit bruten? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 29/36

30 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 30/36

31 Klassiskt exempel I Låt oss för tydlighetens skull jämföra med hur ovanstående exempel skulle se ut helt klassiskt. Vi skulle då ha ett inre rörelsemängdsmoment som var fixt, fast vi inte visste exakt hur det ser ut. Antag t.ex. att vi har ett spinn som ligger i x-z-planet och är i en godtycklig riktning i detta plan. Vi kan då införa en variabel λ enligt S = (sin λ, 0, cos λ) ; λ [0, 2π] ρ(λ) = λ är nu vår dolda variabel. { 1 2π ; 0 λ 2π 0 annars Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 31/36

32 Klassiskt exempel II I en riktning n = (sin θ, 0, cos θ) får vi Antag nu att n S = sin θ sin λ + cos θ cos λ A(a, λ) = { +1 om a S > 0 1 om a S < 0 Detta är en enkel klassisk modell av en kvantiserat rörelsemängdsmoment. P(a, b) ges nu av 2π 1 P(a, b) = A(a, λ)a(b, λ)dλ 0 2π Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 32/36

33 Klassiskt exempel III Låt oss illustrera denna integral med några grafer För P(a, b) vill vi räkna ut P(a, b) = 2π 0 1 A(a, λ)a(b, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i halva vinkelintervallet och -1 i halva, dvs P(a, b) = 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 33/36

34 Klassiskt exempel IV För P(a, c) vill vi räkna ut P(a, c) = 2π 0 1 A(a, λ)a(c, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i 6 8 av vinkelintervallet och -1 i 2 8 av intervallet, oktober 20, 2011 dvs 7/8 Kvant II - kapitel 12 (7/8) ( 6 P(a, c) = 8 2 ) = På samma sätt får vi P(b, c) = 1 2 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 34/36

35 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet för det klassiska exemplet Sätt nu in P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 1 2 ; P(b, c) = 1 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) = 1 2 = 1 2 H.L. = 1 + P(b, c) = = 1 2 Dvs V.L. H.L 2 Bells olikhet är uppfylld för detta klassiska dolda-variabel-exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 35/36

36 Frågedags Fråga 5 Vad är den huvudsakliga skillnaden mellan det klassiska exemplet och det kvantmekaniska? 1 I det klassiska exemplet är spinnet i en given riktning, men vi vet inte i vilken, medan i det kvantmekaniska kollapsar tillståndet när vi mäter 2 I det kvantmekaniska fallet är spinnet kvantiserat, vilket det inte är klassiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 36/36

Kvantmekanik II - Föreläsning 10

Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Degenererad störningsteori (tidsoberoende) Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 10 Joakim Edsjö 1/26 Degenererad störningsteori Innehåll 1 Allmänt

Läs mer

Kvantmekanik II - Föreläsning 7

Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44 Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar

Läs mer

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor

Läs mer

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5

Läs mer

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter! KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner?

1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner? Session: okt28 Class Points Avg: 65.38 out of 100.00 (65.38%) 1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner? A 0% Vi måste ha haft "koincidens", dvs. flera

Läs mer

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik. Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!

Läs mer

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande).

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande). STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Materiens Minsta Byggstenar, 5p. Lördag den 15 juli, kl. 9.00 14.00 Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna

Läs mer

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.

Läs mer

If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Quantum mechanics makes absolutely no sense.

If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Quantum mechanics makes absolutely no sense. If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Richard Feynman Quantum mechanics makes absolutely no sense. Roger Penrose It is often stated that of all theories proposed

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Kvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz

Kvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz Kvantmekanik Kapitel 38-39 Natalie Segercrantz Centrala begrepp Schrödinger ekvationen i en dimension Fotoelektriska effekten De Broglie: partikel-våg dualismen W 0 beror av materialet i katoden minimifrekvens!

Läs mer

Mer om E = mc 2. Version 0.4

Mer om E = mc 2. Version 0.4 1 (6) Mer om E = mc Version 0.4 Varifrån kommer formeln? För en partikel med massan m som rör sig med farten v har vi lärt oss att rörelseenergin är E k = mv. Denna formel är dock inte korrekt, även om

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 2015-09-29 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

Module 6: Integrals and applications

Module 6: Integrals and applications Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important

Läs mer

Räkneövning 5 hösten 2014

Räkneövning 5 hösten 2014 Termodynamiska Potentialer Räkneövning 5 hösten 214 Assistent: Christoffer Fridlund 1.12.214 1 1. Vad är skillnaden mellan partiklar som följer Bose-Einstein distributionen och Fermi-Dirac distributionen.

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012)

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) 2013-10-01 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den

Läs mer

Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B

Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Syfte: Att ta till sig, sålla och sammanfatta naturvetenskapliga källor och formulera sig fysikaliskt med egna ord, samt att fördjupa sig inom 1900- talets fysik.

Läs mer

KEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från

KEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från KEMA00 Magnus Ullner Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från http://www.kemi.lu.se/utbildning/grund/kema00/dold Användarnamn: Kema00 Lösenord: DeltaH0 F2 Periodiska systemet

Läs mer

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Tentamen i Matematik 2: M0030M. Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p

Läs mer

Tentamen, Kvantfysikens principer FK2003, 7,5 hp

Tentamen, Kvantfysikens principer FK2003, 7,5 hp Tentamen, Kvantfysikens principer FK2003, 7,5 hp Tid: 17:00-22:00, tisdag 3/3 2015 Hjälpmedel: utdelad formelsamling, utdelad miniräknare Var noga med att förklara införda beteckningar och att motivera

Läs mer

Välkomna till Kvantfysikens principer!

Välkomna till Kvantfysikens principer! Välkomna till Kvantfysikens principer! If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Richard Feynman Quantum mechanics makes absolutely no sense. Roger Penrose If quantum

Läs mer

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p) UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant

Läs mer

Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3

Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B

Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Syfte: Att ta till sig, sålla och sammanfatta naturvetenskapliga källor och formulera sig fysikaliskt med egna ord, samt att fördjupa sig inom 1900 talets fysik.

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

Milstolpar i tidig kvantmekanik

Milstolpar i tidig kvantmekanik Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik

Läs mer

Information om kursen

Information om kursen Information om kursen Föreläsningar: Magnus Axelsson och Emma Wikberg Räkneövningar: Thomas Kvorning Kurshemsida: www.fysik.su.se/~emma/kvantprinciperna Kontaktinformation Schema Skannade föreläsningsanteckningar

Läs mer

Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen

Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 003-11-18 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att

Läs mer

Writing with context. Att skriva med sammanhang

Writing with context. Att skriva med sammanhang Writing with context Att skriva med sammanhang What makes a piece of writing easy and interesting to read? Discuss in pairs and write down one word (in English or Swedish) to express your opinion http://korta.nu/sust(answer

Läs mer

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Tentamen i Matematik 2: M0030M. Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna

Läs mer

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen Fysikaliska principer Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 2016 8:00 12:00 Tentamen består

Läs mer

Föreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1

Föreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Föreläsning 6 Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50%

Läs mer

Fysik TFYA68. Föreläsning 11/14

Fysik TFYA68. Föreläsning 11/14 Fysik TFYA68 Föreläsning 11/14 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-39* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs! 2 Introduktion Kvantmekanik

Läs mer

Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!

Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd

Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd Kvantbrunnar Kvantiserade energier och tillstånd Inledning Syftet med denna laboration är att undersöka kvantiseringen av energitillstånd i kvantbrunnar. Till detta används en java-applet som hittas på

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

Kapitel 6, 7, o 8: ARP Vägval Från användare till användare. Jens A Andersson (Maria Kihl)

Kapitel 6, 7, o 8: ARP Vägval Från användare till användare. Jens A Andersson (Maria Kihl) Kapitel 6, 7, o 8: ARP Vägval Från användare till användare Jens A Andersson (Maria Kihl) Att skicka data över flera länkar All data som skickas mellan två slutnoder kommer att passera flera vägväljare

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen Fysikaliska principer Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 2014 14:00

Läs mer

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION 1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen

Läs mer

Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057).

Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Hans Weber, Avdelningen för Fysik, 2004 Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). 1. Partikel i en en dimensionell

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering

Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner En orientering Nikodemus Karlsson Februari 00 . Bohrs Postulat Niels Bohr (885-96) ställde utifrån iakttagelser upp fyra postulat gällande väteatomen ¹:. Elektronen

Läs mer

Styrteknik : Programmering med IEC 61131-3. Styrteknik

Styrteknik : Programmering med IEC 61131-3. Styrteknik PLC1B:1 Styrteknik Allmänt om styrsystem (PLC) Grundinstruktioner Introduktion av GX IEC Developer Benämningar Minne SET- och RST-instruktioner PLC1B:2 PLC står för Programmable Logical Controller Kom

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Fysik TFYA86. Föreläsning 10/11

Fysik TFYA86. Föreläsning 10/11 Fysik TFYA86 Föreläsning 10/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-41* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 40.1-4 (översikt) koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs!

Läs mer

Halogenlampa Spektrometer Optisk fiber Laserdiod och UV- lysdiod (ficklampa)

Halogenlampa Spektrometer Optisk fiber Laserdiod och UV- lysdiod (ficklampa) Elektroner och ljus I den här laborationen ska vi studera växelverkan mellan ljus och elektroner. Kunskap om detta är viktigt för många tillämpningar men även för att förklara fenomen som t ex färgen hos

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012. Föreläsning 10 Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur

Läs mer

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen Fysikaliska principer Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 23 april 2014 8:00 12:00

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall

Föreläsning 3. Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Radioaktivitet, alfa-, beta-, gammasönderfall Halveringstid (MP 11-3, s. 522-525) Alfa-sönderfall (MP 11-4, s. 525-530) Beta-sönderfall (MP 11-4, s. 530-535) Gamma-sönderfall (MP 11-4, s. 535-537) Se även

Läs mer

Även kvantmekaniken måste tolkas!

Även kvantmekaniken måste tolkas! Även kvantmekaniken måste tolkas! I Förnuft och kvantfysik. Tankar om verklighet och medvetande i SP 4 tar Tord Bergmark upp stora och svåra frågor om kvantmekanik, strängteori och M- teori. Han visar

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

10. Relativitetsteori Tid och Längd

10. Relativitetsteori Tid och Längd Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I Mekanik FK2002m Föreläsning 4 Kraft och rörelse I 2013-09-05 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 4 Introduktion Hastighet Langt under 3x10 8 Nara : 3x10 8 Storlek 10 9 Langt over : 10 9 Klassisk

Läs mer

Standardmodellen. Figur: HANDS-ON-CERN

Standardmodellen. Figur: HANDS-ON-CERN Standardmodellen Den modell som sammanfattar all teoretisk kunskap om partikelfysik i dag kallas standardmodellen. Standardmodellen förutspådde redan på 1960-talet allt det som man i dag har lyckats bevisa

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Murray Gell-Mann och

Murray Gell-Mann och Matriser Institute of Geometry, Algebra and Topology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Sonja Kovalevskydagarna Uppsala, den 7 november 2008 Matriser Översikt 1 Matriser 2 Matriser 3 Kvarkar Kvarkar

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012 Räkneövning 10 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 9 januari 20 Problem 42.1 Vad är det orbitala rörelsemängdsmomentet, L, för en elektron i a) 3p-tillståndet b) 4f-tillståndet? Det orbitala rörelsemängdsmomentet

Läs mer

Kapitel 7. Atomstruktur och periodicitet

Kapitel 7. Atomstruktur och periodicitet Kapitel 7 Atomstruktur och periodicitet Avsnitt 7.1 Elektromagnetisk strålning Fyrverkeri i olika färger Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Avsnitt 7.2 Materians karaktär Illuminerad saltgurka

Läs mer

Måndag 29 september: Resonansfenomen (Janusz)

Måndag 29 september: Resonansfenomen (Janusz) Måndag 9 september: Resonansfenomen (Janusz) Inledning De flesta fysikaliska system i vår omgivning karakteriseras av viss stabilitet. Om man utsätter systemet för en svag störning, strävar det att återgå

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Vågfysik. Ljus: våg- och partikelbeteende

Vågfysik. Ljus: våg- och partikelbeteende Vågfysik Modern fysik & Materievågor Kap 25 (24 1:st ed.) Ljus: våg- och partikelbeteende Partiklar Lokaliserade Bestämd position & hastighet Kollision Vågor Icke-lokaliserade Korsar varandra Interferens

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Tentamen i Matematik 3: M0031M. Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna

Läs mer

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator

1.1 Mätning av permittiviteten i vakuum med en skivkondensator PERMITTIVITET Inledning Låt oss betrakta en skivkondensator som består av två parallella metalskivor. Då en laddad partikel förflyttas från den ena till den andra skivan får skivorna laddningen +Q och

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Föreläsning 3 Heisenbergs osäkerhetsprincip

Föreläsning 3 Heisenbergs osäkerhetsprincip Föreläsning 3 Heisenbergs osäkeretsprincip Materialet motsvarar Kap.1,.,.5 and.6 i Feynman Lectures Vol III + Uncertainty in te Classroom - Teacing Quantum Pysics K.E.Joansson and D.Milstead, Pysics Education

Läs mer

Labbrapport. Isingmodel

Labbrapport. Isingmodel Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik

FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik FyU02 Fysik med didaktisk inriktning 2 - kvantfysik Rum A4:1021 milstead@physto.se Tel: 5537 8663 Kursplan 17 föreläsningar; ink. räkneövningar Laboration Kursbok: University Physics H. Benson I början

Läs mer

Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14.

Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14. Stockholms Universitet Fysikum Tentamensskrivning i Experimentell fysik för lärare 7.5 hp, för FK2004. Onsdagen den 14 december 2011 kl 9-14. Skrivningen består av tre delar: A, B och C. Del A innehåller

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-03-17 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Strängar och extra dimensioner

Strängar och extra dimensioner Strängar och extra dimensioner Världens vackraste ekvation? Rummet, rymden, är arenan där allt i universum utspelar sig. Tiden ger rörelse och dynamik. Av materia är vi alla uppbyggda. Men hur hänger allt

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER I detta experiment ska du mäta graden av dubbelbrytning hos glimmer (en kristall som ofta används i polariserande optiska komponenter). UTRUSTNING Förutom

Läs mer

TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner

TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och eponentialfunktioner Johan Thim augusti 06 Den naturliga logaritmen Vi börjar med att introducera den naturliga logaritmen. Definition. Den naturliga logaritmen ln

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Möte 7: Uppföljning av föreläsningen med Peer Instruction - (PI)

Möte 7: Uppföljning av föreläsningen med Peer Instruction - (PI) Möte 7: Uppföljning av föreläsningen med Peer Instruction - (PI) Som sagt så kommer den här kursen endast innehålla en enda föreläsning och det var förra gången. Från och med nu så kommer vi förutsätta

Läs mer

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga

Läs mer