Kvantmekanik II - Föreläsning 14
|
|
- Lovisa Hedlund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanikens tolkningar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 1/36
2 Kvantmekanikens tolkningar Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 2/36
3 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 3/36
4 Kvantmekanikens tolkningar Om ψ beskriver ett kvantmekaniskt system så innehåller ψ information om sannolikheten att få ett visst resultat vid en mätning. Vi kan då göra två tolkningar: a) Realist-tolkningen. ψ är ofullständig. Systemet befann sig i ett välbestämt tillstånd före mätningen, fast vi vet inte vilket. b) Ortodoxa tolkningen. Systemet befann sig i en blandning av tillstånd före mätningen och ett nytt tillstånd skapas vid mätningen (vågfunktionen kollapsar). Låt oss titta närmare på dessa alternativ och se vad som gäller inom kvantmekaniken. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 4/36
5 Frågedags Fråga 1 Betrakta en partikel med spinn 1 2 som befinner sig i spinn upptillståndet i z-riktningen,. Om vi mäter spinnet i x-riktningen är sannolikheten 50% att få resultatet /2,, och 50% att få resultatet /2,. Enligt realist-tolkningen, vad beror det på? 1 Partikeln befinner sig i en blandning av tillstånden och och det är först när vi mäter som partikeln hamnar i det ena eller andra tillståndet. 2 Partikeln befinner sig i antingen eller före mätningen, det är bara att vi inte vet vilket. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 5/36
6 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 6/36
7 EPR-paradoxen Einstein, Podolsky och Rosen formulerade 1935 följande paradox: Betrakta sönderfallet av en π 0 -meson, π 0 e e + π 0 -mesonen har spinn 0 och elektronen och positronen kan i detta sönderfall inte få något banrörelsemängdsmoment. För att bevara det totala rörelsemängdsmomentet måste därför elektronen och positronen ha s = 0, dvs vara i singlettillståndet, e + spinn sm = 00 = 1 ( ) 2 e spinn Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 7/36
8 Sammanflätade tillstånd I Betrakta nu dessa två partiklar i singlettillståndet sm = 00 = 1 2 ( ) Mät nu spinnet på den ena partikeln, säg e : Om vi får måste e + ha. Om vi får måste e + ha. Så fort vi har mätt det ena spinnet vet vi vad det andra är. Detta kallas sammanflätade tillstånd (entangled states). Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 8/36
9 Sammanflätade tillstånd II Denna kollaps av vågfunktionen sker omedelbart, även om vi låter e och e + färdas mycket långt innan mätningen sker. Även om L = 1 ljusår (t.ex.) så vet vi så fort vi mäter spinnet på e vad spinnet på e + är 2 ljusår bort. EPR ansåg att detta var orimligt med den ortodoxa tolkningen ( action at a distance ) och förespråkade realist-tolkningen. Hur kan vågfunktionen kollapsa omedelbart över så stora avstånd? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 9/36
10 Realist-tolkningen Realist-tolkningen leder till att vi tvingas konstatera att ψ är ofullständig. Det borde finnas dolda variabler (som vi ej känner, men egentligen finns där). Idén är att om vi bara kände de dolda variablerna så skulle vi känna systemet fullständigt. Kan denna tolkning stämma? Är det så vi ska se på kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 10/36
11 Frågedags Fråga 2 (lite klurig) Betrakta de sammanflätade tillstånden vi har diskuterat ovan, Om vi mäter spinnet på den ena partikeln så vet vi vad en mätning på den andra skulle ge. Kan vi använda detta för att föra över information snabbare än ljuset? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 11/36
12 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 12/36
13 Bells teorem Låt oss undersöka Bells teorem visade Bell att dolda-variabel-teorier är inkompatibla med kvantmekanik. Realist-tolkningen kan ej vara rätt. Ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 13/36
14 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 14/36
15 Bells teorem I Vi ska nu bevisa Bells teorem (Bells olikhet). Beviset är elegant, men i flera steg så häng med! Grundidén är att istället för att mäta spinnet i samma riktning, t.ex. z-riktningen som för EPR-paradoxen, mät e och e + spinn i olika riktningar: { Mät e spinn i a-riktningen Mät e + a, b = enhetsvektorer spinn i b-riktningen Om a och b är parallella (anti-parallella) får vi perfekt antikorrelation (korrelation) mellan de uppmätta spinnen. Om a och b inte är parallella (antiparallella) får vi inte perfekt antikorrelation (korrelation). Om t.ex. a och b är vinkelräta får vi ingen korrelation alls. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 15/36
16 Bells teorem II Låt oss ange spinn upp (i den riktning vi mäter) med +1 och spinn ner med 1. Beräkna produkten av de uppmätta spinnen (för e /e + från π 0 -sönderfall). Vi skulle t.ex. kunna få e spinn [ /2] e + spinn [ /2] Produkt Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 16/36
17 Bells teorem III Definiera nu medelvärdet av produkten mellan spinnresultateten för många mätningar på identiskt preparerade system P(a, b) = medelvärdet av produkten för många mätningar Notera att a = b P(a, b) = 1 a = b P(a, b) = +1 För godtyckliga a och b har vi (visa!) P(a, b) = a b Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 17/36
18 Bells teorem IV: Dolda variabler Jämför nu med dolda variabler. Låt oss anta att en dold variabel (eller uppsättning av variabler) λ egentligen innehåller information om systemets tillstånd. Om λ innehåller information om systemets egentliga tillstånd: Resultatet vid a-detektorn (vid mätstation A) kan inte bero på orienteringen av b-detektorn (vid mätstation B). Låt oss definiera följande funktioner A(a, λ) = ±1 värdet på spinnet vid A i riktning a B(b, λ) = ±1 värdet på spinnet vid B i riktning b Dessa funktioner talar om vilket värde vi kommer att få vid en mätning av spinnet vid mätstation A och B om vi mäter i riktning a respektive b, givet den dolda variablen λ. De är deterministiska funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 18/36
19 Bells teorem V T.ex. så har vi A(a, λ) = B(a, λ) (1) dvs om vi mäter i samma riktning vid A och B får vi motsatt spinn. P(a, b) ges nu av P(a, b) = medelvärdet av A(a, λ)b(b, λ) Låt nu ρ(λ) vara sannolikhetstätheten för λ (helt godtycklig). Medelvärdet P ges då av P(a, b) = ρ(λ)a(a, λ) B(b, λ) dλ } {{ } A(b,λ) enl. Ekv.(1) = ρ(λ)a(a, λ)a(b, λ)dλ Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 19/36
20 Bells teorem VI Låt nu c vara en annan enhetsvektor (i vilken riktning vi kan mäta spinnet) P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) A(a, λ)a(b, λ) A(a, λ) A(c, λ) dλ Sätt in [A(b, λ)] 2 = 1 [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ)dλ Men vi har nu att 1 [A(a, λ)a(b, λ)] 1 [ ] ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) 0 }{{} } {{ } 0 +1 } {{ } 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 20/36
21 Bells teorem VII P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ) dλ } {{ } } {{ } 0 +1 och 1 P(a, b) P(a, c) = [ A(a, = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ)] λ)a(b, λ) dλ = [ ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) ρ(λ)dλ } {{ } 1 = 1 + P(b, c) } {{ } 1 ] dλ ρ(λ)a(b, λ)a(c, λ)dλ } {{ } + ρ(λ)a(b,λ)b(c,λ)dλ=p(b,c) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 21/36
22 Bells olikhet Detta ger oss slutligen Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet måste vara uppfylld för vilken dold-variabel-teori som helst. Men, är den uppfylld för kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 22/36
23 Frågedags Fråga 3 I Bells olikhet ingår termer av typen P(a, b) där P(a, b) är medelvärdet av produkten av spinnen för många mätningar. Vilket/vilka påståenden om P(a, b) är korrekta? 1 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på samma elektron och positron 2 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på identiskt preparerade system 3 P(a, b) beror inte på i vilka riktningar vi mäter spinnen Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 23/36
24 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 24/36
25 Bells olikhet och kvantmekaniken I Låt oss testa om Bells olikhet är uppfylld för kvantmekaniken! Antag att a, b och c ligger i ett plan som i figuren till höger. Kvantmekaniskt har vi att (visa!) oktober 20, 2011 P(a, b) = a b vilket med riktningarna i figuren ovan ger oss P(a, b) = a b = 0 2 P(a, c) = a c = cos 45 = 2 2 P(b, c) = b c = cos 45 = 2 5/8 Kvant II - kapitel 12 (5/8) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 25/36
26 Bells olikhet och kvantmekaniken II Sätt nu in 2 P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 2 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) 2 ; P(b, c) = 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) 2 2 = 2 = H.L. = 1 + P(b, c) = Men V.L. H.L Bells olikhet gäller inte för kvantmekaniken! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 26/36
27 Experimentellt belägg för Bells olikhet Experimentellt är det visat (Aspect, Grangier och Roger, 1982) att den kvantmekaniska förutsägelsen stämmer, dvs Bells olikhet är bruten! Dolda variabler är fel! Kvantmekaniken och den ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekaniken är helt enkelt inte kompatibel med dolda-variabel-teorier och experimentellt ser vi att det är den kvantmekaniska (ortodoxa) tolkningen som stämmer. Vågfunktionen ψ kollapsar momentant, även över stora avstånd. Naturen är icke-lokal, men vi kan trots det inte föra över information snabbare än ljuset. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 27/36
28 Den momentana kollapsen av vågfunktionen/tillståndet Den ortodoxa tolkningen gäller för kvantmekaniken! Men, det är ju trots det märkligt att vågfunktionen/tillståndet kan kollapsa momentant, även över godtyckligt stora tillstånd. Den momentana kollapsen kanske kan ske för att de sammanflätade partiklarna sitter ihop med ett maskhål? (se Maldacena och Susskind, arxiv: , 2013). arxiv: v2 [hep-th] 11 Jul 2013 Cool horizons for entangled black holes Juan Maldacena 1 and Leonard Susskind 2 1 Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA 2 Stanford Institute for Theoretical Physics and Department of Physics, Stanford University, Stanford, CA , USA Abstract General relativity contains solutions in which two distant black holes are connected through the interior via a wormhole, or Einstein-Rosen bridge. These solutions can be interpreted as maximally entangled states of two black holes that form a complex EPR pair. We suggest that similar bridges might be present for more general entangled states. In the case of entangled black holes one can formulate versions of the AMPS(S) paradoxes and resolve them. This suggests possible resolutions of the firewall paradoxes for more general situations. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 28/36
29 Frågedags Fråga 4 (klurig) Bells olikhet är bruten för det spinn-exempel vi har tittat på här. Om Ŝx, Ŝy och Ŝz skulle kommutera, skulle Bells olikhet ändå ha varit bruten? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 29/36
30 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 30/36
31 Klassiskt exempel I Låt oss för tydlighetens skull jämföra med hur ovanstående exempel skulle se ut helt klassiskt. Vi skulle då ha ett inre rörelsemängdsmoment som var fixt, fast vi inte visste exakt hur det ser ut. Antag t.ex. att vi har ett spinn som ligger i x-z-planet och är i en godtycklig riktning i detta plan. Vi kan då införa en variabel λ enligt S = (sin λ, 0, cos λ) ; λ [0, 2π] ρ(λ) = λ är nu vår dolda variabel. { 1 2π ; 0 λ 2π 0 annars Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 31/36
32 Klassiskt exempel II I en riktning n = (sin θ, 0, cos θ) får vi Antag nu att n S = sin θ sin λ + cos θ cos λ A(a, λ) = { +1 om a S > 0 1 om a S < 0 Detta är en enkel klassisk modell av en kvantiserat rörelsemängdsmoment. P(a, b) ges nu av 2π 1 P(a, b) = A(a, λ)a(b, λ)dλ 0 2π Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 32/36
33 Klassiskt exempel III Låt oss illustrera denna integral med några grafer För P(a, b) vill vi räkna ut P(a, b) = 2π 0 1 A(a, λ)a(b, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i halva vinkelintervallet och -1 i halva, dvs P(a, b) = 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 33/36
34 Klassiskt exempel IV För P(a, c) vill vi räkna ut P(a, c) = 2π 0 1 A(a, λ)a(c, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i 6 8 av vinkelintervallet och -1 i 2 8 av intervallet, oktober 20, 2011 dvs 7/8 Kvant II - kapitel 12 (7/8) ( 6 P(a, c) = 8 2 ) = På samma sätt får vi P(b, c) = 1 2 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 34/36
35 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet för det klassiska exemplet Sätt nu in P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 1 2 ; P(b, c) = 1 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) = 1 2 = 1 2 H.L. = 1 + P(b, c) = = 1 2 Dvs V.L. H.L 2 Bells olikhet är uppfylld för detta klassiska dolda-variabel-exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 35/36
36 Frågedags Fråga 5 Vad är den huvudsakliga skillnaden mellan det klassiska exemplet och det kvantmekaniska? 1 I det klassiska exemplet är spinnet i en given riktning, men vi vet inte i vilken, medan i det kvantmekaniska kollapsar tillståndet när vi mäter 2 I det kvantmekaniska fallet är spinnet kvantiserat, vilket det inte är klassiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 36/36
Kommer sig osäkerheten av att vår beskrivning av naturen är ofullständig, eller av att den fysiska verkligheten är genuint obestämd?
Inte mycket verkar säkert här...? Våg-partikeldualitet Ett system kan ha både vågoch partikelegenskaper i samma experiment. Vågfunktionen har en sannolikhetstolkning. Heisenbergs osäkerhetsrelation begränsar
Läs merKvantmekanik II - Föreläsning 10
Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Degenererad störningsteori (tidsoberoende) Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 10 Joakim Edsjö 1/26 Degenererad störningsteori Innehåll 1 Allmänt
Läs merKvantmekanik II - Föreläsning 7
Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44 Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar
Läs merKvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37
Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5
Läs merKvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp
Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.
Läs merInstuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7
Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mers 1 och s 2 är icke kvantmekaniska partiklar? e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln = /2?
FK003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 7e mars 018, kl 17:00 - :00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du klarar
Läs mer1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!
KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel
Läs mer1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner?
Session: okt28 Class Points Avg: 65.38 out of 100.00 (65.38%) 1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner? A 0% Vi måste ha haft "koincidens", dvs. flera
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 11/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 11/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 40-42* (*) 40.1-4 (översikt) 41.6 (uteslutningsprincipen) 42.1, 3, 4, 6, 7 koncept enklare uppgifter Översikt
Läs merKvantfysikens principer, FK2003 Extramaterial 2: Stern-Gerlach med fotoner, v1.1
Marcus Berg, 008-06-04 Kvantfysikens principer, FK003 Extramaterial : Stern-Gerlach med fotoner, v. Det står inget om S-G med fotoner i Feynman, så det här extrabladet utgör kurslitteratur för den här
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merFK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 16 december 2015, kl 17:00-22:00
FK003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 16 december 015, kl 17:00 - :00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du klarar
Läs merLösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande).
STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Materiens Minsta Byggstenar, 5p. Lördag den 15 juli, kl. 9.00 14.00 Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna
Läs mer4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella
KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.
Läs merKvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.
Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!
Läs merKvantteknologi. Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter
Kvantteknologi Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter Varför kvantteknologi? Därför att det finns pengar EU kommissionen lanserar 2017 en satsning av 1 000 000 000 på kvantteknologi
Läs merKvantteknologi. Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter
Kvantteknologi Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter Att ta med sig / kunna svara på Vad är skillnaden på en klassisk bit och en kvantbit? Vad är skillnaden på flera klassiska
Läs merRelativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi
Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merDeliberate Practice på en kurs i kvantmekanik. Emma Wikberg (& Stefano Bonetti) Fysikum, SU
Deliberate Practice på en kurs i kvantmekanik Emma Wikberg (& Stefano Bonetti) Fysikum, SU Generella principer Aktiv träning + feedback = effektiv inlärning Utnyttja klassrumstiden till problemlösning,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merDet står inget om S-G med fotoner i Feynman, så de här extrasidorna utgör kurslitteratur
Kvantfysikens principer, FK003 Extramaterial : Stern-Gerlach med fotoner Marcus Berg, 008--0 Det står inget om S-G med fotoner i Feynman, så de här extrasidorna utgör kurslitteratur för den här biten av
Läs merIf you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Quantum mechanics makes absolutely no sense.
If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Richard Feynman Quantum mechanics makes absolutely no sense. Roger Penrose It is often stated that of all theories proposed
Läs merKvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz
Kvantmekanik Kapitel 38-39 Natalie Segercrantz Centrala begrepp Schrödinger ekvationen i en dimension Fotoelektriska effekten De Broglie: partikel-våg dualismen W 0 beror av materialet i katoden minimifrekvens!
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merFK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00
FK2003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du
Läs merMer om E = mc 2. Version 0.4
1 (6) Mer om E = mc Version 0.4 Varifrån kommer formeln? För en partikel med massan m som rör sig med farten v har vi lärt oss att rörelseenergin är E k = mv. Denna formel är dock inte korrekt, även om
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs merKvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015
2015-09-29 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,
Läs merAndra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström
Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merKvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012)
2013-10-01 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merAtt förena gravitation och elektromagnetism i en (klassisk) teori. Kaluza [1919], Klein [1922]: Allmän
M-teori Strängteori Supersträngteori Einsteins Dröm Att förena gravitation och elektromagnetism i en (klassisk) teori Kaluza [1919], Klein [1922]: Allmän relativitetsteori i en extra dimension kanske ger
Läs merRäkneövning 5 hösten 2014
Termodynamiska Potentialer Räkneövning 5 hösten 214 Assistent: Christoffer Fridlund 1.12.214 1 1. Vad är skillnaden mellan partiklar som följer Bose-Einstein distributionen och Fermi-Dirac distributionen.
Läs merFöreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1
Föreläsning 6 Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50%
Läs merKapitel 4. Materievågor
Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Kapitel 4. Materievågor 1 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Överblick Överblick Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merTentamen, Kvantfysikens principer FK2003, 7,5 hp
Tentamen, Kvantfysikens principer FK2003, 7,5 hp Tid: 17:00-22:00, tisdag 3/3 2015 Hjälpmedel: utdelad formelsamling, utdelad miniräknare Var noga med att förklara införda beteckningar och att motivera
Läs merKEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från
KEMA00 Magnus Ullner Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från http://www.kemi.lu.se/utbildning/grund/kema00/dold Användarnamn: Kema00 Lösenord: DeltaH0 F2 Periodiska systemet
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs merFördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B
Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Syfte: Att ta till sig, sålla och sammanfatta naturvetenskapliga källor och formulera sig fysikaliskt med egna ord, samt att fördjupa sig inom 1900- talets fysik.
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merKvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl
TEORETISK FYSIK KTH Kvantfysik SI5 för F3 Tisdag 3008 kl. 8.00-3.00 Skriv på varje sida Namn och problemnummer Motivera noga Otillräckliga motiveringar leder till poängavdrag Hjälpmedel Teoretisk fysiks
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merVälkomna till Kvantfysikens principer!
Välkomna till Kvantfysikens principer! If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Richard Feynman Quantum mechanics makes absolutely no sense. Roger Penrose If quantum
Läs merEXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM
EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM Vi betraktar ett begnnelsevärdesproblem IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på normal form IVP1) Man
Läs merFaktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 00-1-03 Lars Engebretsen 00-1-03 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merDugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 6 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 10 Oktober, 2013 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1 : Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs merF3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
Läs merFördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B
Fördjupningsområden och uppsatsämne Fysik B Syfte: Att ta till sig, sålla och sammanfatta naturvetenskapliga källor och formulera sig fysikaliskt med egna ord, samt att fördjupa sig inom 1900 talets fysik.
Läs merKortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer
Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merMilstolpar i tidig kvantmekanik
Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik
Läs mer1 Den Speciella Relativitetsteorin
1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merStyrteknik : Programmering med IEC 61131-3. Styrteknik
PLC1B:1 Styrteknik Allmänt om styrsystem (PLC) Grundinstruktioner Introduktion av GX IEC Developer Benämningar Minne SET- och RST-instruktioner PLC1B:2 PLC står för Programmable Logical Controller Kom
Läs merFaktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 003-11-18 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske
Läs merSådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f : A B. Vi har oftast krav
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs merAtt skriva en matematisk uppsats
Att skriva en matematisk uppsats Del av kommunikationsspåret på matematikprogrammet. Tidigare har ni skrivit och presenterat kortare texter, nu ska vi fokusera på längre texter. Varför? Det räcker inte
Läs merInformation om kursen
Information om kursen Föreläsningar: Magnus Axelsson och Emma Wikberg Räkneövningar: Thomas Kvorning Kurshemsida: www.fysik.su.se/~emma/kvantprinciperna Kontaktinformation Schema Skannade föreläsningsanteckningar
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merBegrepp:: Kort om Kryssprodukt
Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer
Läs merFysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!
Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik
Läs merBFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin 13. Kärnfysik Föreläsning 13. Kärnfysik 2
Föreläsning 13 Kärnfysik 2 Sönderfallslagen Låt oss börja med ett tankeexperiment (som man med visst tålamod också kan utföra rent praktiskt). Säg att man kastar en tärning en gång. Innan man kastat tärningen
Läs merSupersymmetri. en ny värld av partiklar att upptäcka. Johan Rathsman, Lunds Universitet. NMT-dagar, Lund, Symmetrier i fysik
en ny värld av partiklar att upptäcka, Lunds Universitet NMT-dagar, Lund, 2011-03-10 1 i fysik 2 och krafter 3 ska partiklar och krafter 4 på jakt efter nya partiklar Newtons 2:a lag i fysik Newtons andra
Läs mer. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 3 oktober 2014 Skrivtid:
Läs merHiggsbosonens existens
Higgsbosonens existens Ludvig Hällman, Hanna Lilja, Martin Lindberg (9204293899) (9201120160) (9003110377) SH1012 8 maj 2013 Innehåll 1 Sammanfattning 2 2 Standardmodellen 2 2.1 Kraftförmedlarna.........................
Läs merBedömningsanvisningar
NpMab vt 01 Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs mer10. Relativitetsteori Tid och Längd
Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merWriting with context. Att skriva med sammanhang
Writing with context Att skriva med sammanhang What makes a piece of writing easy and interesting to read? Discuss in pairs and write down one word (in English or Swedish) to express your opinion http://korta.nu/sust(answer
Läs merHemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16
Introduction to Semigroups Hemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16 Övningsuppgifterna lämnas in senast onsdagen 14.9. till David Stenlund, per e-post den 16 september.
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merTentamen Fysikaliska principer
Institutionen för fysik, kemi och biologi (IFM) Marcus Ekholm NFYA02/TEN1: Fysikaliska principer och nanovetenskaplig introduktion Tentamen Fysikaliska principer 15 januari 2016 8:00 12:00 Tentamen består
Läs merZeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013
Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att
Läs merNumber 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057).
LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Hans Weber, Avdelningen för Fysik, 2004 Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). 1. Partikel i en en dimensionell
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 11/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 11/14 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-39* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs! 2 Introduktion Kvantmekanik
Läs mer