Kvantmekanik II - Föreläsning 14

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kvantmekanik II - Föreläsning 14"

Transkript

1 Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanikens tolkningar Joakim Edsjö Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 1/36

2 Kvantmekanikens tolkningar Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 2/36

3 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 3/36

4 Kvantmekanikens tolkningar Om ψ beskriver ett kvantmekaniskt system så innehåller ψ information om sannolikheten att få ett visst resultat vid en mätning. Vi kan då göra två tolkningar: a) Realist-tolkningen. ψ är ofullständig. Systemet befann sig i ett välbestämt tillstånd före mätningen, fast vi vet inte vilket. b) Ortodoxa tolkningen. Systemet befann sig i en blandning av tillstånd före mätningen och ett nytt tillstånd skapas vid mätningen (vågfunktionen kollapsar). Låt oss titta närmare på dessa alternativ och se vad som gäller inom kvantmekaniken. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 4/36

5 Frågedags Fråga 1 Betrakta en partikel med spinn 1 2 som befinner sig i spinn upptillståndet i z-riktningen,. Om vi mäter spinnet i x-riktningen är sannolikheten 50% att få resultatet /2,, och 50% att få resultatet /2,. Enligt realist-tolkningen, vad beror det på? 1 Partikeln befinner sig i en blandning av tillstånden och och det är först när vi mäter som partikeln hamnar i det ena eller andra tillståndet. 2 Partikeln befinner sig i antingen eller före mätningen, det är bara att vi inte vet vilket. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 5/36

6 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 6/36

7 EPR-paradoxen Einstein, Podolsky och Rosen formulerade 1935 följande paradox: Betrakta sönderfallet av en π 0 -meson, π 0 e e + π 0 -mesonen har spinn 0 och elektronen och positronen kan i detta sönderfall inte få något banrörelsemängdsmoment. För att bevara det totala rörelsemängdsmomentet måste därför elektronen och positronen ha s = 0, dvs vara i singlettillståndet, e + spinn sm = 00 = 1 ( ) 2 e spinn Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 7/36

8 Sammanflätade tillstånd I Betrakta nu dessa två partiklar i singlettillståndet sm = 00 = 1 2 ( ) Mät nu spinnet på den ena partikeln, säg e : Om vi får måste e + ha. Om vi får måste e + ha. Så fort vi har mätt det ena spinnet vet vi vad det andra är. Detta kallas sammanflätade tillstånd (entangled states). Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 8/36

9 Sammanflätade tillstånd II Denna kollaps av vågfunktionen sker omedelbart, även om vi låter e och e + färdas mycket långt innan mätningen sker. Även om L = 1 ljusår (t.ex.) så vet vi så fort vi mäter spinnet på e vad spinnet på e + är 2 ljusår bort. EPR ansåg att detta var orimligt med den ortodoxa tolkningen ( action at a distance ) och förespråkade realist-tolkningen. Hur kan vågfunktionen kollapsa omedelbart över så stora avstånd? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 9/36

10 Realist-tolkningen Realist-tolkningen leder till att vi tvingas konstatera att ψ är ofullständig. Det borde finnas dolda variabler (som vi ej känner, men egentligen finns där). Idén är att om vi bara kände de dolda variablerna så skulle vi känna systemet fullständigt. Kan denna tolkning stämma? Är det så vi ska se på kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 10/36

11 Frågedags Fråga 2 (lite klurig) Betrakta de sammanflätade tillstånden vi har diskuterat ovan, Om vi mäter spinnet på den ena partikeln så vet vi vad en mätning på den andra skulle ge. Kan vi använda detta för att föra över information snabbare än ljuset? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 11/36

12 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 12/36

13 Bells teorem Låt oss undersöka Bells teorem visade Bell att dolda-variabel-teorier är inkompatibla med kvantmekanik. Realist-tolkningen kan ej vara rätt. Ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 13/36

14 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 14/36

15 Bells teorem I Vi ska nu bevisa Bells teorem (Bells olikhet). Beviset är elegant, men i flera steg så häng med! Grundidén är att istället för att mäta spinnet i samma riktning, t.ex. z-riktningen som för EPR-paradoxen, mät e och e + spinn i olika riktningar: { Mät e spinn i a-riktningen Mät e + a, b = enhetsvektorer spinn i b-riktningen Om a och b är parallella (anti-parallella) får vi perfekt antikorrelation (korrelation) mellan de uppmätta spinnen. Om a och b inte är parallella (antiparallella) får vi inte perfekt antikorrelation (korrelation). Om t.ex. a och b är vinkelräta får vi ingen korrelation alls. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 15/36

16 Bells teorem II Låt oss ange spinn upp (i den riktning vi mäter) med +1 och spinn ner med 1. Beräkna produkten av de uppmätta spinnen (för e /e + från π 0 -sönderfall). Vi skulle t.ex. kunna få e spinn [ /2] e + spinn [ /2] Produkt Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 16/36

17 Bells teorem III Definiera nu medelvärdet av produkten mellan spinnresultateten för många mätningar på identiskt preparerade system P(a, b) = medelvärdet av produkten för många mätningar Notera att a = b P(a, b) = 1 a = b P(a, b) = +1 För godtyckliga a och b har vi (visa!) P(a, b) = a b Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 17/36

18 Bells teorem IV: Dolda variabler Jämför nu med dolda variabler. Låt oss anta att en dold variabel (eller uppsättning av variabler) λ egentligen innehåller information om systemets tillstånd. Om λ innehåller information om systemets egentliga tillstånd: Resultatet vid a-detektorn (vid mätstation A) kan inte bero på orienteringen av b-detektorn (vid mätstation B). Låt oss definiera följande funktioner A(a, λ) = ±1 värdet på spinnet vid A i riktning a B(b, λ) = ±1 värdet på spinnet vid B i riktning b Dessa funktioner talar om vilket värde vi kommer att få vid en mätning av spinnet vid mätstation A och B om vi mäter i riktning a respektive b, givet den dolda variablen λ. De är deterministiska funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 18/36

19 Bells teorem V T.ex. så har vi A(a, λ) = B(a, λ) (1) dvs om vi mäter i samma riktning vid A och B får vi motsatt spinn. P(a, b) ges nu av P(a, b) = medelvärdet av A(a, λ)b(b, λ) Låt nu ρ(λ) vara sannolikhetstätheten för λ (helt godtycklig). Medelvärdet P ges då av P(a, b) = ρ(λ)a(a, λ) B(b, λ) dλ } {{ } A(b,λ) enl. Ekv.(1) = ρ(λ)a(a, λ)a(b, λ)dλ Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 19/36

20 Bells teorem VI Låt nu c vara en annan enhetsvektor (i vilken riktning vi kan mäta spinnet) P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) A(a, λ)a(b, λ) A(a, λ) A(c, λ) dλ Sätt in [A(b, λ)] 2 = 1 [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ)dλ Men vi har nu att 1 [A(a, λ)a(b, λ)] 1 [ ] ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) 0 }{{} } {{ } 0 +1 } {{ } 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 20/36

21 Bells teorem VII P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ) dλ } {{ } } {{ } 0 +1 och 1 P(a, b) P(a, c) = [ A(a, = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ)] λ)a(b, λ) dλ = [ ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) ρ(λ)dλ } {{ } 1 = 1 + P(b, c) } {{ } 1 ] dλ ρ(λ)a(b, λ)a(c, λ)dλ } {{ } + ρ(λ)a(b,λ)b(c,λ)dλ=p(b,c) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 21/36

22 Bells olikhet Detta ger oss slutligen Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet måste vara uppfylld för vilken dold-variabel-teori som helst. Men, är den uppfylld för kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 22/36

23 Frågedags Fråga 3 I Bells olikhet ingår termer av typen P(a, b) där P(a, b) är medelvärdet av produkten av spinnen för många mätningar. Vilket/vilka påståenden om P(a, b) är korrekta? 1 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på samma elektron och positron 2 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på identiskt preparerade system 3 P(a, b) beror inte på i vilka riktningar vi mäter spinnen Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 23/36

24 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 24/36

25 Bells olikhet och kvantmekaniken I Låt oss testa om Bells olikhet är uppfylld för kvantmekaniken! Antag att a, b och c ligger i ett plan som i figuren till höger. Kvantmekaniskt har vi att (visa!) oktober 20, 2011 P(a, b) = a b vilket med riktningarna i figuren ovan ger oss P(a, b) = a b = 0 2 P(a, c) = a c = cos 45 = 2 2 P(b, c) = b c = cos 45 = 2 5/8 Kvant II - kapitel 12 (5/8) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 25/36

26 Bells olikhet och kvantmekaniken II Sätt nu in 2 P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 2 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) 2 ; P(b, c) = 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) 2 2 = 2 = H.L. = 1 + P(b, c) = Men V.L. H.L Bells olikhet gäller inte för kvantmekaniken! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 26/36

27 Experimentellt belägg för Bells olikhet Experimentellt är det visat (Aspect, Grangier och Roger, 1982) att den kvantmekaniska förutsägelsen stämmer, dvs Bells olikhet är bruten! Dolda variabler är fel! Kvantmekaniken och den ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekaniken är helt enkelt inte kompatibel med dolda-variabel-teorier och experimentellt ser vi att det är den kvantmekaniska (ortodoxa) tolkningen som stämmer. Vågfunktionen ψ kollapsar momentant, även över stora avstånd. Naturen är icke-lokal, men vi kan trots det inte föra över information snabbare än ljuset. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 27/36

28 Den momentana kollapsen av vågfunktionen/tillståndet Den ortodoxa tolkningen gäller för kvantmekaniken! Men, det är ju trots det märkligt att vågfunktionen/tillståndet kan kollapsa momentant, även över godtyckligt stora tillstånd. Den momentana kollapsen kanske kan ske för att de sammanflätade partiklarna sitter ihop med ett maskhål? (se Maldacena och Susskind, arxiv: , 2013). arxiv: v2 [hep-th] 11 Jul 2013 Cool horizons for entangled black holes Juan Maldacena 1 and Leonard Susskind 2 1 Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA 2 Stanford Institute for Theoretical Physics and Department of Physics, Stanford University, Stanford, CA , USA Abstract General relativity contains solutions in which two distant black holes are connected through the interior via a wormhole, or Einstein-Rosen bridge. These solutions can be interpreted as maximally entangled states of two black holes that form a complex EPR pair. We suggest that similar bridges might be present for more general entangled states. In the case of entangled black holes one can formulate versions of the AMPS(S) paradoxes and resolve them. This suggests possible resolutions of the firewall paradoxes for more general situations. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 28/36

29 Frågedags Fråga 4 (klurig) Bells olikhet är bruten för det spinn-exempel vi har tittat på här. Om Ŝx, Ŝy och Ŝz skulle kommutera, skulle Bells olikhet ändå ha varit bruten? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 29/36

30 Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 30/36

31 Klassiskt exempel I Låt oss för tydlighetens skull jämföra med hur ovanstående exempel skulle se ut helt klassiskt. Vi skulle då ha ett inre rörelsemängdsmoment som var fixt, fast vi inte visste exakt hur det ser ut. Antag t.ex. att vi har ett spinn som ligger i x-z-planet och är i en godtycklig riktning i detta plan. Vi kan då införa en variabel λ enligt S = (sin λ, 0, cos λ) ; λ [0, 2π] ρ(λ) = λ är nu vår dolda variabel. { 1 2π ; 0 λ 2π 0 annars Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 31/36

32 Klassiskt exempel II I en riktning n = (sin θ, 0, cos θ) får vi Antag nu att n S = sin θ sin λ + cos θ cos λ A(a, λ) = { +1 om a S > 0 1 om a S < 0 Detta är en enkel klassisk modell av en kvantiserat rörelsemängdsmoment. P(a, b) ges nu av 2π 1 P(a, b) = A(a, λ)a(b, λ)dλ 0 2π Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 32/36

33 Klassiskt exempel III Låt oss illustrera denna integral med några grafer För P(a, b) vill vi räkna ut P(a, b) = 2π 0 1 A(a, λ)a(b, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i halva vinkelintervallet och -1 i halva, dvs P(a, b) = 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 33/36

34 Klassiskt exempel IV För P(a, c) vill vi räkna ut P(a, c) = 2π 0 1 A(a, λ)a(c, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i 6 8 av vinkelintervallet och -1 i 2 8 av intervallet, oktober 20, 2011 dvs 7/8 Kvant II - kapitel 12 (7/8) ( 6 P(a, c) = 8 2 ) = På samma sätt får vi P(b, c) = 1 2 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 34/36

35 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet för det klassiska exemplet Sätt nu in P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 1 2 ; P(b, c) = 1 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) = 1 2 = 1 2 H.L. = 1 + P(b, c) = = 1 2 Dvs V.L. H.L 2 Bells olikhet är uppfylld för detta klassiska dolda-variabel-exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 35/36

36 Frågedags Fråga 5 Vad är den huvudsakliga skillnaden mellan det klassiska exemplet och det kvantmekaniska? 1 I det klassiska exemplet är spinnet i en given riktning, men vi vet inte i vilken, medan i det kvantmekaniska kollapsar tillståndet när vi mäter 2 I det kvantmekaniska fallet är spinnet kvantiserat, vilket det inte är klassiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 36/36

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande).

Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna inte är uttömmande). STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Materiens Minsta Byggstenar, 5p. Lördag den 15 juli, kl. 9.00 14.00 Lösningar - Rätt val anges med fet stil i förekommande fall (obs att svaren på essäfrågorna

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 2015-09-29 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012)

Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) 2013-10-01 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,

Läs mer

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer

Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

Styrteknik : Programmering med IEC 61131-3. Styrteknik

Styrteknik : Programmering med IEC 61131-3. Styrteknik PLC1B:1 Styrteknik Allmänt om styrsystem (PLC) Grundinstruktioner Introduktion av GX IEC Developer Benämningar Minne SET- och RST-instruktioner PLC1B:2 PLC står för Programmable Logical Controller Kom

Läs mer

10. Relativitetsteori Tid och Längd

10. Relativitetsteori Tid och Längd Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

DRIVERS PG 2-9 DRIVERS

DRIVERS PG 2-9 DRIVERS DRIVERS PG 2-9 Glasögonen i vårt Drivers sortiment har Blue blocker linser som passar bra för bilkörning. Linsen har ett gul-orange filter som förhöjer kontrasterna. Baksidan av linsen har en blå spegel-yta

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Ljusets polarisation

Ljusets polarisation Ljusets polarisation Viktor Jonsson och Alexander Forsman 1 Sammanfattning Denna labb går ut på att lära sig om, och använda, ljusets polarisation. Efter utförd labb ska studenten kunna sätta upp en enkel

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Labbrapport. Isingmodel

Labbrapport. Isingmodel Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1 17 januari 214 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1 Sidan 47 Responsen, dvs. induktionsströmmen, är sådan att förändringar av systemets totaa ström motverkas. Induktionsströmmens riktning

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

Förändrade förväntningar

Förändrade förväntningar Förändrade förväntningar Deloitte Ca 200 000 medarbetare 150 länder 700 kontor Omsättning cirka 31,3 Mdr USD Spetskompetens av världsklass och djup lokal expertis för att hjälpa klienter med de insikter

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

15. Ferromagnetism. [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1

15. Ferromagnetism. [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1 15. Ferromagnetism [HH 8, Kittel 15] Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2015 1 15.1. Allmänt Med ferromagnetiska material menas sådana som har spontant ett makroskopiskt magnetiskt moment, även då

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Denna pdf-fil är nedladdad från Illustrerad Vetenskaps webbplats (www.illvet.com) och får ej lämnas vidare till tredjepart.

Denna pdf-fil är nedladdad från Illustrerad Vetenskaps webbplats (www.illvet.com) och får ej lämnas vidare till tredjepart. Käre användare! Denna pdf-fil är nedladdad från Illustrerad Vetenskaps webbplats (www.illvet.com) och får ej lämnas vidare till tredjepart. Av hänsyn till copyright innehåller den inga foton. Med vänlig

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Sönderfallsserier N 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134. α-sönderfall. β -sönderfall. 21o

Sönderfallsserier N 148 147 146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134. α-sönderfall. β -sönderfall. 21o Isotop Kemisk symbol Halveringstid Huvudsaklig strålning Uran-238 238 U 4,5 109 år α Torium-234 234 Th 24,1 d β- Protaktinium-234m 234m Pa 1,2 m β- Uran-234 234 U 2,5 105 år α Torium-230 230 Th 8,0 105

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

attraktiv repellerande

attraktiv repellerande Magnetism, kap. 24 Eleonora Lorek Magnetism, introduktion Magnetism ordet kommer från Magnesia, ett område i antika Grekland där man hittade konstiga stenar som kunde lyfta upp järn. Idag är magnetism

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Lägg därför största delen av energin på första sidan i ansökan, för det är här det avgörs om du ska bli finansierad eller inte.

Lägg därför största delen av energin på första sidan i ansökan, för det är här det avgörs om du ska bli finansierad eller inte. Lägg därför största delen av energin på första sidan i ansökan, för det är här det avgörs om du ska bli finansierad eller inte. Titel det första du kommunicerar till granskaren Ska vara kort max 100 tecken.

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Föreläsning 5 Att bygga atomen del II

Föreläsning 5 Att bygga atomen del II Föreläsning 5 Att bygga atomen del II Moseleys Lag Pauliprincipen Det periodiska systemet Kemi på sidor Vad har vi lärt hittills? En elektron hör till ett skal med ett kvanttal n Varje skal har en specifik

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Att rekrytera internationella experter - så här fungerar expertskatten

Att rekrytera internationella experter - så här fungerar expertskatten Att rekrytera internationella experter - så här fungerar expertskatten Johan Sander, partner Deloitte. jsander@deloitte.se 0733 97 12 34 Life Science Management Day, 14 mars 2013 Expertskatt historik De

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Atomens historia. Slutet av 1800-talet trodde man att man hade en fullständig bild av alla fysikaliska fenomen.

Atomens historia. Slutet av 1800-talet trodde man att man hade en fullständig bild av alla fysikaliska fenomen. Atomfysik ht 2015 Atomens historia Atom = grekiskans a tomos som betyder odelbar Filosofen Demokritos, atomer. Stort motstånd, främst från Aristoteles Trodde på läran om de fyra elementen Alla ämnen bildas

Läs mer

Från snökaos till kvantkaos

Från snökaos till kvantkaos 020302 Kaosforskning var högsta mode på åttiotalet. Sedan blev det tyst. Men för väderprognoser är kaosmatematiken fortfarande högaktuell, liksom för den nya nanotekniken. Från snökaos till kvantkaos Av

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot. Självstyrda bilar. Datum: 2015-03-09

Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot. Självstyrda bilar. Datum: 2015-03-09 Teknikprogrammet Klass TE14A, Norrköping. Jacob Almrot Självstyrda bilar Datum: 2015-03-09 Abstract This report is about when you could buy a self-driving car and what they would look like. I also mention

Läs mer

Fotoelektriska effekten

Fotoelektriska effekten Fotoelektriska effekten Bakgrund År 1887 upptäckte den tyska fysikern Heinrich Hertz att då man belyser ytan på en metallkropp med ultraviolett ljus avges elektriska laddningar från ytan. Noggrannare undersökningar

Läs mer

Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22

Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22 Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22 Närvarande: Oliver Stenbom, Andreas Estmark, Henrik Almén, Ellinor Ugland, Oliver Jonstoij Berg. 1. Mötets öppnande. Ordförande Oliver Stenbom öppnade mötet. 2.

Läs mer

Collaborative Product Development:

Collaborative Product Development: Collaborative Product Development: a Purchasing Strategy for Small Industrialized House-building Companies Opponent: Erik Sandberg, LiU Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Vad är egentligen

Läs mer

Språkteknologi (SV2122) Föreläsning 3: Programmering i Python

Språkteknologi (SV2122) Föreläsning 3: Programmering i Python Språkteknologi (SV2122) Föreläsning 3: Programmering i Python Richard Johansson richard.johansson@svenska.gu.se 29 januari 2014 översikt inledning första stegen grundläggande begrepp större byggstenar

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Välkomna till kursen i elektroniska material! Martin Leijnse

Välkomna till kursen i elektroniska material! Martin Leijnse Välkomna till kursen i elektroniska material! Martin Leijnse Information Innehåll: fasta tillståndets fysik med fokus på halvledarfysik. Dioder, solceller, transistorer... Lärare: Martin Leijnse (föreläsare,

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Kanban är inte din process. (låt mig berätta varför) #DevLin2012 15 Mars 2012

Kanban är inte din process. (låt mig berätta varför) #DevLin2012 15 Mars 2012 Kanban är inte din process (låt mig berätta varför) #DevLin2012 15 Mars 2012 Torbjörn Tobbe Gyllebring @drunkcod tobbe@cint.com Är du eller känner du en Kanban hipster? Förut körde vi X nu kör vi Kanban

Läs mer

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0]

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0] Namn: Område: Elektromagnetism Datum: 13 Oktober 2014 Tid: 100 minuter Hjälpmedel: Räknare och formelsamling. Betyg: E: 25. C: 35, 10 på A/C-nivå. A: 45, 14 på C-nivå, 2 på A-nivå. Tot: 60 (34/21/5). Instruktioner:

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR Kontrollera vilka kurser du vill söka under utbytet. Fyll i Basis for nomination for exchange studies i samråd med din lärare. För att läraren ska kunna göra en korrekt

Läs mer

Undervisning och lärande med case: en guide för läraren

Undervisning och lärande med case: en guide för läraren Undervisning och lärande med case: en guide för läraren Version 1.0, oktober 2013 Inledning Denna lärarhandledning syftar till att ge en kortfattad introduktion till casemetodiken och de olika stegen i

Läs mer

Implementering - teori och tillämpning inom hälso- och sjukvård

Implementering - teori och tillämpning inom hälso- och sjukvård Implementering - teori och tillämpning inom hälso- och sjukvård Siw Carlfjord Leg sjukgymnast, Med dr IMH, Linköpings universitet There are not two sciences There is only one science and the application

Läs mer

VINDKRAFT. Alternativ Användning

VINDKRAFT. Alternativ Användning Datum (2012-03-14) VINDKRAFT Alternativ Användning Elev: Andreas Krants Handledare: Anna Josefsson Sammanfattning Alternativa användningssätt för vindkraft är vad denna rapport handlar om, och med alternativ

Läs mer

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING

LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING LABORATION 1 AVBILDNING OCH FÖRSTORING Personnummer Namn Laborationen godkänd Datum Labhandledare 1 (6) LABORATION 1: AVBILDNING OCH FÖRSTORING Att läsa före lab: Vad är en bild och hur uppstår den? Se

Läs mer

Materiens Struktur II Del II Atomkärnan och kärnprocesser

Materiens Struktur II Del II Atomkärnan och kärnprocesser Materiens Struktur II Del II Atomkärnan och kärnprocesser 2 Innehåll II Atomkärnan och kärnprocesser 5 II.1 Inledning....................................... 5 II.2 Kärnpartiklar....................................

Läs mer

Tangenter till tredjegradsfunktioner

Tangenter till tredjegradsfunktioner Tangenter till tredjegradsfunktioner I bilden intill ser du grafen av en tredjegradsfunktion som har tre nollställen nämligen x = 2, x = 1 och x = -1. Om man ritar en tangent till funktionsgrafen kommer

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 1 december 2011

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 1 december 2011 Räkneövning 6 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 december 20 Problem 36.23 Avståndet mellan två konvexa linser i ett mikroskop, l = 7.5 cm. Fokallängden för objektivet f o = 0.8 cm och för okularet f

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod F0006T Kursnamn Fysik 3 Datum LP4 10-11 Material Laborationsrapport radioaktivitet Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning

Läs mer

Säsongrensning i tidsserier.

Säsongrensning i tidsserier. Senast ändrad 200-03-23. Säsongrensning i tidsserier. Kompletterande text till kapitel.5 i Tamhane och Dunlop. Inledning. Syftet med säsongrensning är att dela upp en tidsserie i en trend u t, en säsongkomponent

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Tips & tricks för redigering

Tips & tricks för redigering Tips & tricks för redigering Det har kommit flera nyheter och förbättringar i redigeringsmiljön och användargränssnittet för version 10.0. Den första stora skillnaden som märks är att redigeringsverktygsfältet

Läs mer

Authentication Context QC Statement. Stefan Santesson, 3xA Security AB stefan@aaa-sec.com

Authentication Context QC Statement. Stefan Santesson, 3xA Security AB stefan@aaa-sec.com Authentication Context QC Statement Stefan Santesson, 3xA Security AB stefan@aaa-sec.com The use case and problem User identities and user authentication is managed through SAML assertions. Some applications

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

PROFINET MELLAN EL6631 OCH EK9300

PROFINET MELLAN EL6631 OCH EK9300 PROFINET MELLAN EL6631 OCH EK9300 Installation och beskrivningsfil Exemplet visar igångkörning av profinet mellan Beckhoff-master och Beckhoff-kopplare för EL-terminaler. Med ny hårdvara är det viktigt

Läs mer

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09 EXTENAL ASSESSENT SAPLE TASKS SWEDISH BEAKTHOUGH LSPSWEB/0Y09 Asset Languages External Assessment Sample Tasks Breakthrough Stage Listening and eading Swedish Contents Page Introduction 2 Listening Sample

Läs mer

Genusstudier i Sverige

Genusstudier i Sverige Genusstudier i Sverige Genusvetenskapliga studier och genusforskning bedrivs på alltfler högskolor och universitet i Sverige. Genusforskning kan ses som övergripande term för ett fält som också kan benämnas

Läs mer

mer om kvantmekanik relativitetsteori

mer om kvantmekanik relativitetsteori 18 mer om kvantmekanik och relativitetsteori Detta kapitel ingår inte i grundkursen. Det lämpar sig för självstudier för den som valt kvantmekanik eller relativitetseori som fördjupningsuppgift. mer om

Läs mer

Innovation in the health sector through public procurement and regulation

Innovation in the health sector through public procurement and regulation Innovation in the health sector through public procurement and regulation MONA TRUELSEN & ARVID LØKEN 1 14/11/2013 Copyright Nordic Innovation 2011. All rights reserved. Nordic Innovation An institution

Läs mer

Förnybar energi inom ekologiskt känsliga områden. - Ett EU-rättsligt perspektiv. Melina Tervahauta Juridiska fakulteten, Uppsala universitet

Förnybar energi inom ekologiskt känsliga områden. - Ett EU-rättsligt perspektiv. Melina Tervahauta Juridiska fakulteten, Uppsala universitet Förnybar energi inom ekologiskt känsliga områden - Ett EU-rättsligt perspektiv Melina Tervahauta Juridiska fakulteten, Uppsala universitet Upplägg EU:s kompetens på energiområdet Relationen mellan förnybarhetsdirektivet

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Beskrivning av temperatur och relativ fuktighet ute i svenskt klimat

Beskrivning av temperatur och relativ fuktighet ute i svenskt klimat Beskrivning av temperatur och relativ fuktighet ute i svenskt klimat Dennis Johansson Avdelningen för installationsteknik Institutionen för bygg- och miljöteknologi Lunds tekniska högskola Lunds universitet,

Läs mer

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

2014-2015 LIX LÄSGLASÖGON

2014-2015 LIX LÄSGLASÖGON 2014-2015 08 07 LIX LÄSGLASÖGON LIX - LÄSGLASÖGON Våra Lix läsglasögon är förpackade med putsduk Med hjälp av vårt test-set kan konsumenten prova ut sin styrka utan att öppna förpackningen. Vi rekommenderar

Läs mer

UTBILDNINGSPLAN Magisterprogram i pedagogiskt arbete 60 högskolepoäng. Master Program in Educational Work 60 credits 1

UTBILDNINGSPLAN Magisterprogram i pedagogiskt arbete 60 högskolepoäng. Master Program in Educational Work 60 credits 1 UTBILDNINGSPLAN Magisterprogram i pedagogiskt arbete 60 högskolepoäng Master Program in Educational Work 60 credits 1 Fastställd i Områdesnämnden 2015-XX-XX Gäller fr.o.m. HT 2015 1. PROGRAMMETS MÅL 1.1.

Läs mer

Läsanvisningar - Medicinsk statistik - Läkarprogrammet T10

Läsanvisningar - Medicinsk statistik - Läkarprogrammet T10 Läsanvisningar - Medicinsk statistik - Läkarprogrammet T10 Läsanvisningarna baseras på boken Björk J. Praktisk statistik för medicin och hälsa, Liber Förlag (2011), som är gemensam kursbok för statistikavsnitten

Läs mer

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Bakgrund Varje dag utsätts miljontals arbetstagare för kroppsvibrationer (helkroppsoch handarm vibrationer). För att förebygga och minska

Läs mer

Kvalitativ Analys. Utvärderingsmetoder inom MDI DH2408

Kvalitativ Analys. Utvärderingsmetoder inom MDI DH2408 Kvalitativ Analys Utvärderingsmetoder inom MDI DH2408 Inlämningsuppgift 2 Era gruppinlämningar ligger här framme, leta reda på er egen!!! Jag har godtyckligt gett er ett gruppnummer, referera till det

Läs mer