Elevers användande av strategier inom tal i bråkform vid behandling av diskreta mängder

Transkript

1 Elevers användande av strategier inom tal i bråkform vid behandling av diskreta mängder Cecilia Lindegren Ida Welin C-uppsats 15 hp Inom Matematik med didaktisk inriktning 61-90hp Handledare Bernt Hernell Robert Gunnarsson Lärarutbildningen Höstterminen 2012 Examinator Björn Hellquist

2 HÖGSKOLAN FÖR LÄRANDE OCH KOMMUNIKATION (HLK) Högskolan i Jönköping C-uppsats 15 hp inom Matematik med didaktisk inriktning 61-90hp Lärarutbildningen Höstterminen 2012 SAMMANFATTNING Cecilia Lindegren, Ida Welin Elevers användande av strategier inom tal i bråkform vid behandling av diskreta mängder Antal sidor: 37 Syftet med denna kvalitativa studie är att beskriva variationen av strategier som elever använder sig av vid behandling av diskreta mängder inom tal i bråkform, då uppgifterna är av varierad art och där objekten är ordnade såväl som oordnade. För att erhålla ett brett underlag genomfördes uppgiftsdiagnoser, på 78 elever i årskurs sex, vilka utifrån elevernas svar och anteckningar analyserades för att identifiera förekommande strategier. Analysen resulterade i elva skilda strategier inom fyra övergripande kategorier: heltalstillämpning av tal i bråkform, formation av helhet, formation av enhet och operation på och med tal i bråkform. De ingående strategierna i kategorin heltalstillämpning av tal i bråkform nyttjar bråkuttryck som heltal på så vis att de ingående talen antingen utgör ett antal objekt eller ses som föremål för en operation. Inom formation av helhet ingår strategier inom vilka eleverna på olika sätt delar upp helheten utifrån nämnarens storlek medan strategierna inom formation av enhet har det gemensamt att eleverna utifrån sin förförståelse grupperar de ingående objekten i enheter. I vissa fall samlar eleverna objekten i större grupper medan elever i andra fall ser till varje enskilt objekt. Slutligen innefattar kategorin operation på och med tal i bråkform strategier som använder sig av aritmetiska resonemang. Utmärkande för och centralt i de identifierade strategierna är genomgående förståelsen för bråkbegreppets innebörd. Utifrån kunskap om den variation av strategier som elever använder hoppas vi att lärare kan få en större förståelse för de resonemang som elever för och att undervisningen därigenom utformas för att möta alla elevers individuella förutsättningar och behov av stöd. Sökord: bråkuttryck, diskret mängd, resonemang, strategi, tal i bråkform Postadress Högskolan för lärande och kommunikation (HLK) Box JÖNKÖPING Gatuadress Gjuterigatan 5 Telefon Fax

3 Innehållsförteckning 1 Inledning 1 2 Bakgrund Definitioner och avgränsningar Bråkbegreppets fem underkonstruktioner Skolans styrdokument Bråkuttryckens problematik Strategier enligt tidigare studier 10 3 Syfte och frågeställningar 13 4 Metod Vetenskapliga forskningsansatser Urval Genomförande Bortfall Analys Reliabilitet och Validitet Etiska ställningstaganden Metoddiskussion 17 5 Resultat Heltalstillämpning av tal i bråkform Formation av helhet Formation av enhet Operation på och med tal i bråkform 24 6 Diskussion Vilka strategier använder sig elever av vid behandling av diskreta mängder? Vad utmärker de i studien identifierade elevstrategierna? Vilka bakomliggande skäl kan kopplas till elevers användande av en specifik strategi? Förslag till vidare studier 33 7 Referenser 35 Bilagor

4 1 Inledning Matematik är ett av de ämnen i skolan som det läggs allt större vikt vid. Enligt utbildningsminister Jan Björklund krävs det att skolmatematiken får ett lyft om Sverige i framtiden ska vara ett framgångsrikt land. Utan en ordentlig matematisk grund kommer vi att sakna framstående ingenjörer, forskare och ekonomer menar utbildningsministern i ett pressmeddelande (Utbildningsdepartementet, 2011). En följd av 2011 års regeringssatsning på matematiken i skolan är att det från och med år 2013 kommer att vara ytterligare 120 timmar matematikundervisning i grundskolan (Utbildningsdepartementet, 2011). Detta tillskott i undervisningstid innebär ungefär tolv extra timmar per läsår, eller 20 minuter varje vecka. Som blivande lärare inom matematik ställer vi oss då en rad frågor. Vad förväntas dessa 20 minuter extra per vecka resultera i, är mer undervisning tillräckligt för att eleverna ska nå kursplanemålen och ha möjlighet att söka vidare till sina drömmars gymnasieutbildning? Kan elever med svårigheter i matematik förväntas ha förmågan att ytterligare 20 minuter varje vecka koncentrera sig i en grupp om elever med en pedagog i klassrummet, eller är det snarare utökade resurser och mindre grupper som hjälper dessa elever? En annan men lika väsentlig aspekt, som observerats under vår verksamhetsförlagda utbildning (VFU) och som riktar sig mot matematikundervisningen för de senare åldrarna, är elevers intresse för matematik eller snarare avsaknad av intresse. I de tidigare åldrarna anses matematik ofta vara ett roligt ämne och de flesta elever ser med förväntan fram emot matematiklektionerna. Inom de högre årskurserna anses matematik bland många elever istället vara ett svårt och tråkigt ämne och resultaten blir ofta därefter. Fenomenet är troligen direkt beroende av undervisningen och avsaknaden av relevans för många elever. Vi tror inte att uppradade rutinuppgifter i boken är stimulerande för en tonåring, eller för ett barn som har problem hemma. Trots att skolmatematiken är uppdelad i områden som till exempel taluppfattning, algebra, geometri, sannolikhet och statistik (Skolverket 2011a) är dessa områden inte på något sätt oberoende, utan snarare direkt beroende av förståelsen för varandra. Forskning (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Löwing, 2002) visar att förståelsen för tal i bråkform är viktig för vidare matematisk utveckling i skolan och för en god algebraisk förståelse. Det framkommer också både i tidigare forskning (Charles & Nason, 2000; McIntosh, 2008) och i denna studie att många av de missuppfattningar som råder beträffande tal i bråkform härstammar från missuppfattningar som uppstått redan i de tidiga skolåren. I skolmatematiken är mötet med rationella tal ett skrämmande möte för många elever. Mötet med denna talmängd innebär att ett och samma tal då kan representeras på en rad olika sätt och de räknelagar som tidigare varit gällande är inte längre det för den nya talmängd som ska hanteras. Vetskapen om detta och en nyfikenhet till varför så många elever upplever bråkuttryck som svårt i skolmatematiken är anledningen till valet av ämne för denna C-uppsats. En ökad förståelse för elevers svårigheter inom en av matematikundervisningens många delar kan troligtvis appliceras och användas i flera andra områden, eftersom de som tidigare nämnts är beroende av varandra. För att förstå vilka missupp- 1

5 fattningar som ligger bakom elevers svårigheter räcker det inte med att ta reda på vilka sorters uppgifter som är särskilt svåra, eller vilka bråkuttryck som är lättare för eleverna att använda än andra. För att kunna hjälpa elever med svårigheter i matematik krävs en förståelse för deras resonemang och en kunskap om vilka strategier som används. Genom kännedom om elevers strategier kan kopplingar dras mellan en viss missuppfattning och ett påföljande tillvägagångssätt. Utifrån kunskap om den variation av strategier som elever använder hoppas vi att lärare kan få en större förståelse för de resonemang som elever för och att undervisningen därigenom kan utformas mot att möta alla elevers individuella förutsättningar och behov av stöd. 2

6 2 Bakgrund Bakgrundsdelen inleds med att de begrepp som studien avgränsats till klargörs för att tydliggöra studiens utgångspunkt. De för skolan utformade styrdokumenten avhandlas därefter då de påverkar den kunskap som elever ges möjlighet att ta till sig och därmed indirekt berör såväl inriktningen på, som resultatet av vår studie. I påföljande avsnitt behandlas de svårigheter som kan anses relevanta för studiens avgränsning och avslutningsvis redogörs för de strategier som enligt tidigare forskning används av elever vid behandling av diskreta mängder. 2.1 Definitioner och avgränsningar För att, vilket nämns ovan, tydliggöra utgångspunkten för denna studie är det viktigt att definiera och på så vis skilja de begrepp som används åt, då de ofta används i ett och samma sammanhang. Rationella tal och tal i bråkform Enligt det centrala innehållet i kursplanen för årskurs fyra till sex ska skolmatematiken behandla såväl rationella tal som tal i bråk-, decimal- och procentform (Skolverket, 2011a). Då inget annat anges baseras följande definitioner i detta avsnitt på Kiselman och Mouwitz (2008), Råde och Westergren (2004) samt Thompson (1991). Tal kan beskrivas med hjälp av mängder. Med en mängd avses i det fallet en samling av objekt det vill säga element. En sådan talmängd är de rationella talen vilka definieras som ett tal som kan skrivas som en kvot av två heltal ( ), där det andra ( ) är skilt från noll likt nedan: Rationella tal kan liksom tal ur andra talmängder skrivas i olika former; bråkform, decimalform och procentform. Ett tal i bråkform definieras som ett uttryck på formen eller, där benämns som täljare och som nämnare. Utifrån denna definition kan ett rationellt tal uttryckas på formen och därmed skrivas som ett bråkuttryck. Märk väl att alla tal uttryckta i bråkform dock inte är rationella tal. Exempelvis är inte ett rationellt tal eftersom talet inte är en kvot av två heltal (Billstein, Liebeskind & Lott, 2007). Även talmängderna heltal och naturliga tal kan ses som rationella tal då de kan uttryckas som en kvot utav två heltal där det andra talet är skiljt från noll, såsom heltalet 4 kan ses som en kvot av 4 och 1. Samma heltal skulle också kunna vara ett tal i bråkform men enbart då talet uttrycks på den formen, t.ex.. Ett rationellt tal är ett tal med en periodisk decimalutveckling, t.ex. =. Tal med en ändlig decimalutveckling kan bli periodiska genom att tillfoga nollor på slutet, t.ex.. Det finns 3

7 även tal i decimalform där periodutvecklingen är oändlig och icke-periodisk. Sådana tal, till exempel π = tillhör inte talmängden rationella tal. Ett intressant exempel som beskrivs av Lamon (2005) är. Detta uttryck kan enligt definitionen ses som ett tal i bråkform där täljare och nämnare är uttryckta i decimalform. Ovanstående uttryck kan också ses som ett rationellt tal eftersom det även kan uttryckas som. Ett rationellt tal kan alltså uttryckas på flera olika sätt. När det gäller tal i procentform är dess primära syfte att utifrån en andel uttrycka förhållandet mellan dess del och helhet. Definitionen av procent är hundradel och talformen bör enligt Billstein et al. (2007) ses som ett sätt att uttrycka denna andel i en lagom stor enhet. Eftersom vi även här talar om en kvot av ett heltal kan tal i procentform även ses som rationella tal. Exempelvis kan uttryckas både som 0,2 och. För att sammanfatta kan man konstatera att rationella tal kan skrivas på olika talformer. Rationella tal kan anges som tal i decimalform med en periodisk decimalutveckling samt i bråk- och procentform. I denna studie används begreppen tal i bråkform och bråkuttryck. Trots att alla tal i bråkform inte är rationella kommer studien endast att behandla de tal som innefattas i den talmängden. Andra begrepp som kan vara bra att känna till är stambråk och allmänna tal i bråkform. Ett stambråk är enkelt beskrivet ett tal uttryckt i bråkform där täljaren är ett (1), till exempel.. Med ett allmänt tal i bråkform avser vi de bråkuttryck där täljaren inte är ett, exempelvis. Diskret mängd och kontinuerlig mängd Begreppsbildningen inom det som denna studie syftar till att undersöka är inte helt okomplicerad då terminologin inte är konsekvent använd utan skiljer sig åt sett till svenska skolan och internationella studier, men även mellan olika forskare. Kursplanen i matematik (Skolverket, 2011a) använder sig av begreppen del av antal och del av helhet. Engström (1997) använder begreppen diskret mängd och kontinuerlig mängd, Behr, Wachsmuth & Post (1988) uttrycker det som kontinuerlig mängd och uppsättning av diskreta objekt medan Cramer och Wyberg (2009) använder diskret modell och kontinuerlig modell. I studier varierar alltså benämningen, men generellt används begreppen diskret och kontinuerlig för att beskriva del helhetsbegreppet. Denna begreppsförvirring kräver därmed konsekvens i användandet och hädanefter kommer därför begreppen diskret mängd och kontinuerlig mängd att användas. Det som skiljer diskreta mängder och kontinuerliga mängder åt är hur de representeras och vad det centrala i tolkningen av dem är. För diskreta mängder gäller att helheten definieras av ett antal åtskilda objekt t.ex. tolv karameller och det centrala vid hantering av diskreta mängder är att antalet objekt i varje del är lika många. Utseende som till exempel form och storlek är inte väsentligt vid behandling av diskreta 4

8 mängder. För kontinuerliga mängder är det istället utseendet som är det centrala, varje del av helheten måste vara lika stor. Helheten hos en kontinuerlig mängd bestäms av en area, exempelvis en cirkel eller en rektangel (Engström, 1997; Petit, Laird & Marsden, 2010). I Vejde och Leander (2005) förklaras diskret med betydelsen isär och växa medan kontinuerlig förklaras som något som fortsätter utan avbrott, vilket ytterligare klargör begreppens användning inom tal i bråkform. Denna studie är avgränsad till att beröra det som utifrån ovanstående resonemang kommer att benämnas som diskret mängd. 2.2 Bråkbegreppets fem underkonstruktioner Tal i bråkform kan utifrån användningen ge sig till uttryck på ett flertal sätt. Över tid har utformningen av sådana underkonstruktioner diskuterats men huvudsakligen delas de upp i: del - helhet, mätning, division/kvot, operator och förhållande (Behr et al., 1983; Kieren, 1976; 1980). Dessa fem underkonstruktioner, varav de flesta kan tillämpas både på diskreta mängder och kontinuerliga mängder, förklaras nedan både i text och med exempel. Del helhet. Tal i bråkform kan ses som en fördelning eller uppdelning av en helhet i lika delar. Figur 1. Bråkuttrycket 1 2 med hjälp av markering. illustrerat med hjälp av sex cirklar där helheten delats upp i två lika stora delar Mätning. Ett bråkuttryck kan ses som ett mått, t.ex. ett avstånd mellan två tal på en tallinje. Figur 2. Bråkuttrycket kan även uttryckas som ett mått eller en sträcka på en tallinje, t.ex. från 0 till 1 2. Division/kvot. Bråkuttrycket kan uttryckas som en division. Denna konstruktion är beroende av både uppdelning och delning i lika delar. Figur 3. En helhet divideras med två, där lika delar (kvoter) av vardera 1 2 erhålls. 5

9 Operator. Tal i bråkform kan användas och betecknas som en operator till exempel då ett givet värde omformas så att ett annat värde erhålls. Figur 4. Tal i bråkform som operator kan t.ex. illustreras med att två delar om vardera 1 2 adderas. Förhållande. Bråkuttryck kan även ses som en jämförelse mellan två kvantiteter eller mått som relateras eller sätts i proportion till helheten. Figur 5. Andelen trianglar i förhållande till helheten utgör Skolans styrdokument I kursplanen för matematik (Skolverket, 2011a) är det centrala innehållet för undervisningen specificerat och i kommentarmaterialet (Skolverket 2011b) är innehållet tydligare beskrivet. För bråkområdet innebär uppdelningen av innehållet för respektive årskurs 1-3, 4-6 och 7-9 följande: Årskurs 1-3: Det ska läggas en grund för elevers förståelse för begreppen del av helhet och del av antal samt hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla tal i bråkform. Arbetet ska handla om hur tal kan uttryckas på olika sätt och hur enkla bråkuttryck förhåller sig till naturliga tal. Årskurs 4-6: Arbetet ska behandla rationella tal och deras egenskaper. Detta innefattar tal i bråkoch decimalform och deras användning i vardagliga situationer. Eleverna ska få en större förståelse för hur de kan använda matematiken i vardagen, vid till exempel mätning och inköp. Tal i bråkform ska kopplas samman med procent och sambandet mellan bråk, decimal och procentform ska tydliggöras. Årskurs 7-9: Elevernas taluppfattning ska vidare utvecklas till reella tal och deras egenskaper samt till att innefatta centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform, vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metoderna ska kunna tillämpas i olika situationer. 6

10 Då studien genomfördes under första terminen efter att Lgr11 trätt i kraft, får elevernas kunskaper om tal i bråkform jämföras med tidigare läroplan, Lpo94, och dess kursplan för matematik. I mål att uppnå i kursplanen för matematik i Lpo94 (Skolverket, 2009, s.6-8) står det om tal i bråkform att: I slutet av tredje skolåret ska eleven kunna dela upp helheter i olika antal delar samt kunna beskriva, jämföra och namnge delarna som enkla bråk. I slutet av femte skolåret ska eleven ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform. I slutet av nionde skolåret ska eleven ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 2.4 Bråkuttryckens problematik I följande avsnitt avhandlas flera olika svårigheter som berör tal i bråkform. De problemområden som tas upp är allmänna svårigheter, svårigheter med diskret mängd och kontinuerlig mängd, problem vid övergången från naturliga tal till rationella tal i bråkform, N-distraktion samt svårigheter med allmänna tal i bråkform. Allmänna svårigheter För många elever innebär inlärningen av tal i bråkform stora problem och är kanske ett av de största hindren när det gäller elevers matematiska utveckling (Charles & Nason, 2000; McIntosh, 2008). Behr et al. (1983) och Löwing (2002) menar att många elevers svårigheter för algebra beror på att de inte har en komplett förståelse för bråkbegreppet. McIntosh (2008, s. 29) tar upp fyra grundläggande aspekter som det enligt honom är viktigt att eleverna inledningsvis förstår: För att vara bråkdelar krävs det att alla ingående delar måste vara lika stora (gällande diskreta mängder behöver inte nödvändigtvis delarna ha samma form och utseende i konkreta exempel). Nämnaren hos ett bråkuttryck visar i hur många delar en hel har delats. Ju större nämnaren är när täljaren är densamma, dvs ju fler delar helheten är delad i, desto mindre är bråket eftersom varje ingående del då blir mindre. Täljaren hos ett bråkuttryck visar hur många delar av helheten som representeras. Liksom McIntosh (2008) beskriver måste delarna vara lika stora för att vara bråkdelar. Svårigheter med detta kan visa sig när eleverna ska dela en area i tredjedelar. Ett vanligt misstag är att de först delar på hälften och sedan delas en av halvorna på hälften en gång till, se figur 6. Figur 6. Figuren illustrerar hur elever som har svårt att dela arean i lika stora tredjedelar, delar cirkeln på mitten och sedan en av halvorna ytterligare en gång på hälften. 7

11 Engström (1997; 1998) liksom Lamon (1996) och McIntosh(2008) framhåller vikten av att eleverna lägger en grund till sin bråkförståelse genom att de lär sig hur tal i bråkform delas in i lika delar. Att ha den kunskapen menar de är viktigt för hur processen om att konstruera tal i bråkform och förståelsen för relationen del - helhet förankras. Svårigheter med kontinuerlig mängd och diskret mängd Det finns skilda meningar huruvida det uppfattas som svårare för elever att förstå kontinuerliga mängder än diskreta mängder eller tvärtom. Nedan presenteras därför olika teorier om detta problem. Forskning (Hiebert & Tonnesen; Nik Pa refererad i Engström, 1997) har visat att elever presterar bättre på uppgifter som behandlar diskreta mängder än på uppgifter som behandlar kontinuerliga mängder och en förklaring skulle kunna vara att när det gäller de kontinuerliga mängderna krävs det att eleven kan föreställa sig lösningen innan den görs. Diskreta mängder kan däremot behandlas genom delning eller distribuering, då eleverna kan se till de enskilda delarna en i taget och fördela dem. Behr et al. (1988) menar att det finns både likheter och skillnader i hur en modell med en kontinuerlig mängd jämfört med en diskret mängd uppfattas. Likheterna menar de ligger i att både en kontinuerlig mängd och en diskret mängd kräver att eleven kan identifiera en enhet och att de kan dela in helheten i lika stora delar. Skillnaden som Behr et al. beskriver ligger i elevers syn på helheten. För de diskreta mängderna krävs att eleven kan se en uppsättning med enskilda objekt som en helhet medan helheten hos kontinuerliga mängder är sammanhängande och därmed enklare för eleven att uppfatta. För att förstå hur en diskret mängd, exempelvis femton objekt, ska delas upp i femtedelar måste eleven först se de femton objekten som en helhet. Därefter krävs det att eleven kan gruppera objekten i grupper om tre i varje och se dessa grupper som nya enheter. En annan skillnad ligger enligt författarna i sättet som de olika mängdmodellerna representeras. För en kontinuerlig mängd är det viktigt att delarna ser likadana ut och har samma form, då just det är det centrala i lösningen av uppgifter med kontinuerliga mängder. Men när det gäller diskreta mängder saknar det betydelse. Inom de diskreta mängderna är det istället antalet objekt i varje grupp som är det väsentliga, delarna behöver inte alls ha samma storlek eller form. Diskreta mängder kan med fördel därmed presenteras med objekt av skild storlek och form, vilket kräver en annan tolkning av eleven än vad som krävs om alla objekt ser likadana ut. Samma resonemang som förs av Behr et al. i beskrivningen ovan återfinns hos Lamon (2005). Hon menar att en av anledningarna till elevers svårigheter är att de har svårt att förstå att en helhet kan bestå av fler än ett objekt, vilket enligt henne är en för eleverna viktig förståelse. Engström (1997) kunde i sin studie se att det var vanligare med mer generella tankescheman hos eleverna vid lösning av uppgifter som behandlade kontinuerliga mängder än med diskreta mängder vilket han förklarar med att det är lättare för eleverna att bevara helheten vid uppgifter med kontinuerlig mängd. 8

12 Problem vid övergången från naturliga tal till rationella tal i bråkform En del av de problem som uppstår i samband med mötet med tal i bråkform beror på hur de representeras. Tal i bråkform representeras av flera symboler till skillnad från de naturliga talen som bara representeras av en symbol och trots att ett bråkuttryck skrivs med två siffror så står det bara för ett tal (Engström, 1997; Lamon, 2005; McIntosh, 2008). Dessvärre tolkas tal i bråkform av många elever som två naturliga tal som är oberoende av varandra (Pitkethly & Hunting, 1996). och är exempel på hur flera olika bråkuttryck kan representera samma rationella tal och kräver därför en helt annan tolkning än de naturliga talen (Engström, 1997). Det krävs att eleverna kan jämföra bråkuttryck med varandra i många olika sammanhang, både i hur flera tal i bråkform kan representera en och samma sak, men även när de ska storleksordnas, vilket de inte heller kan göras lika självklart som de naturliga talen. För att kunna storleksordna tal i bråkform krävs det att eleverna förstår deras innebörd som bråkuttryck, inte som täljare för sig och nämnare för sig (Engström, 1998; Lamon, 2005). N-distraktion Begreppet N-distraktion används för att beskriva hur elever distraheras av de naturliga talen vid möte med tal i bråkform. Streefland (1993) menar att det finns en stark intention hos eleverna så länge de inte har bråkbegreppet helt klart för sig att använda sig av de räknelagar som gäller för de naturliga talen. Engström (1997) resonerar kring orsakerna till att många, framförallt svagpresterande elever har svårt att se till hela bråktalet när de löser uppgifter som behandlar tal i bråkform. Enligt författaren beror detta troligen dels på en N-distraktion, men också på hur tal i bråkform introduceras för elever. Exempelvis illustreras fjärdedelar ofta som en del av fyra. Engström menar vidare att följderna av detta blir att många elever fokuserar antingen enbart på täljaren eller enbart på nämnaren. N-distraktionen används till exempel som förklaring för nedanstående felreaktioner hos elever (Engström, 1998, s. 28). Täljare och nämnare adderas var och en för sig, t.ex.. Nämnarna jämförs vid storleksordning, t.ex.. Täljare och nämnare jämförs var för sig, t.ex., 3 är mindre än 5 och 5 är mindre än 12. Svårigheter med allmänna tal i bråkform Bland elever är uppgifter som behandlar allmänna tal i bråkform allmänt sett svårare för elever än uppgifter som behandlar stambråk. Det innebär att vissa elever klarar av att lösa uppgifter av typen av, men inte av. Denna svårighet kan, enligt Kullberg och Runesson (2011), bero på att det med ett stambråk är lättare för eleven att hantera täljaren än då ett allmänt tal i bråkform behandlas. Vid de allmänna talen i bråkform krävs det att eleven fokuserar på täljare och nämnare samtidigt och att de dessutom kan skilja på deras betydelse, vilket inte behövs på samma sätt när det gäller stambråk. 9

13 2.5 Strategier enligt tidigare studier Eftersom denna studie inriktar sig mot hur elever resonerar och hur dessa resonemang kan kategoriseras är tidigare studier och deras kategorisering av elevlösningar gällande diskreta mängder intressanta (Behr et al., 1988; Engström, 1997; Lamon, 1996). Flera av de olika strategierna liknar varandra eller sammanfaller, men för att tydliggöra forskarnas egna slutsatser presenteras de var för sig. Lamon (1996) lät i en studie elever lösa tre olika slags uppgifter: uppdelning av helheter som består av sammanhängande, delbara och lika element; uppdelning av helheter som består av sammanhängande, delbara och olika element och uppdelning av sammansättningar av enskilda element. I sin rapport visar hon på tre olika strategier som elever använder sig av. Preserved-pieces strategy. Denna strategi går ut på att eleverna bevarar de enheter de inte behöver dela på som helheter, och endast delar upp det som är nödvändigt. Elever som använder sig av den här strategin ser till helheter vid uppdelning av diskreta mängder och om varje del kommer att innehålla mer än exempelvis en hel förpackning visar man den som en mängd, istället för att visa på varje enskild enhet i förpackningen. Mark-all strategy. Elever inom strategin markerar alla enheter, även de som inte kommer att behöva delas. Efter markeringen delas endast de enheter som är nödvändiga att dela på. For these students, a whole pizza was not yet conceptually a composite unit; it was six 1/6-unit (s.189). Distribution strategy. De elever som använder den här strategin markerar och delar först alla enheter och fördelar sedan en enhet i taget i rätt antal grupper. I diskussionen talar Lamon om att strategierna är situationsbundna och att de utvecklas och förfinas över tid och med erfarenheter från flera olika sammanhang. Dock visar resultatet att även om eleverna i takt med ökande ålder är mer så kallade ekonomiska i sin delning är det ändå få som använder sig av en preserved-pieces strategy. Behr et al. (1988) har tittat både på strategier som leder till korrekta lösningar och på strategier som leder till felaktiga lösningar av kontinuerliga mängder och diskreta mängder. Följande strategier har de hittat när det gäller lösning av uppgifter som behandlar diskreta mängder. Strategier som leder till korrekta svar (Behr et al., 1988) Generaliserande. Svar i denna kategori ger en indikation om att eleverna löser problemen abstrakt genom att beräkna av Diskret. Då uppgiften av ägg skulle lösas gjorde elever i den här kategorin om bråkuttrycket till ett uttryck där nämnaren överensstämmer med helheten,. Lösningen på uppgiften är då nio ägg av tolv. Uppdelande. För att beräkna av ägg delade elever i den här kategorin in helheten i sex grupper med två i varje och plockade ut två av dessa grupper. 10

14 Uppdelning efter nämnare. Dessa elever delade in helheten i grupper med lika många enheter i varje grupp som storleken på nämnaren, de plockar sedan ut lika många ur varje grupp som storleken på täljaren. För att visa av ägg lägger eleven äggen i grupper om fyra och markerar tre ägg i varje grupp. Figur 7. Figuren visar hur elever delar upp helheten i grupper efter nämnarens storlek. I varje grupp identifieras det efterfrågade bråkuttrycket 3 4. Strategier som inte leder till korrekta svar (Behr et al., 1988) Omdefiniering av enheten. Elevsvar i den här kategorin koncentrerar sig bara på en del av helheten. För att visa av identifierar eleven först fyra enskilda objekt och väljer sedan ut tre av dem. Isomorf representation. Elever i denna kategori markerar, vid lösning av uppgiften av 12 kuber som är placerade i två rader, två kuber på första raden och sex kuber på andra raden. Adderande. Elevsvaren indikerar att de lägger ihop täljare och nämnare och markerar lika många enheter som summan av denna addition. Multiplicerande. Eleven multiplicerar täljare och nämnare och tror att det är svaret på hur många enheter ur helheten som ska markeras. Engström (1997) har i sin studie gjort scheman utifrån vad han kallar elevens kognitiva mönster bakom en handling. Dessa scheman grundar sig på ett bråktest och intervjuer med sex elever. De uppgifter i bråktestet som behandlade diskreta mängder var konstruerade så att eleverna antingen skulle skugga en del av en uppsättning med kulor eller så skulle de ange hur stor del av en uppsättning kulor som var skuggade. Fyra av Engströms scheman behandlar resonemang vid behandling av diskreta mängder (Engström, 1997, s ). Schema a. Elever i denna grupp räknar både antalet skuggade kulor och det totala antalet kulor. Eleverna kan inte forma en ny enhet och se att då två kulor av sex är skuggade så är skuggad, istället svarar eleven. Schema b. Elever i denna grupp kan forma en ny enhet till skillnad från eleverna i föregående grupp. De kan gruppera kulorna i helheten och på så vis förenkla bråkuttrycket och svara istället för då två av sex kulor är skuggade. Schema c. Elever i denna grupp fokuserar på de skuggade och icke-skuggade kulorna var för sig och svaret blir ett uttryck för relationen mellan de olika delarna. Då två kulor av sex är skuggade svarar eleven eftersom två kulor är skuggade och de återstående fyra kulorna är omarkerade. Resonemanget tolkas som att eleverna har svårt att bevara helheten. 11

15 Schema d. Eleverna i denna grupp fokuserar antingen på täljaren eller på nämnaren när de själva ska skugga en viss del av en uppsättning kulor. Är uppgiften konstruerad så att eleven ska skugga av kulor fokuserar eleven antingen på täljaren och skuggar en kula eller så fokuserar eleven på nämnaren och då skuggas tre kulor. Detta resonemang kopplas dels till en N-distraktion men även till hur tal i bråkform introduceras i undervisningen (se avsnitt 2.4). 12

16 3 Syfte och frågeställningar Tidigare forskning om elevers resonemang omfattar ofta samtidigt både kontinuerliga mängder och diskreta mängder, och man kan tycka att de saknar den fördjupning som en inriktad studie kan ge. De studier som berör diskreta mängder grundar därtill främst sina slutsatser på diagnos- eller intervjuuppgifter med objekt av enbart samma färg, storlek och form samt där objekten vanligtvis är ordnade i till exempel rader. Vi har därför valt att endast fokusera på hur elever behandlar tal i bråkform vid uppgifter med diskreta mängder. Syftet med denna studie är därmed att beskriva variationen av strategier som elever använder sig av vid behandling av diskreta mängder inom tal i bråkform, då uppgifterna är av varierad art och där objekten är ordnade såväl som oordnade. Detta syfte ämnar vi uppfylla genom att besvara följande frågeställningar: Vilka strategier använder sig elever av vid behandling av diskreta mängder? Vad utmärker de i studien identifierade elevstrategierna? Vilka bakomliggande skäl kan kopplas till elevers användande av en specifik strategi? 13

17 4 Metod Metodavsnittet avhandlar först en kort introduktion kring studiens vetenskapliga forskningsansats, fenomenografin. Därefter beskrivs det tillvägagångssätt som lett fram till resultatet i form av urval, genomförande, bortfall och analys. Studiens reliabilitet och validitet samt de etiska ställningstaganden som gjorts redovisas därefter innan kapitlet avslutas med en diskussion kring den aktuella metod som använts. 4.1 Vetenskapliga forskningsansatser Dimenäs (2007) menar att då en undersökning bygger på en eller flera vetenskapliga teorier ges läsaren en större möjlighet att förstå de redovisade resultaten och bakgrunden till de problem eller frågeställningar som undersökningen syftar till att besvara. Denna studie syftar till att finna och kategorisera elevresonemang inom matematiken och valet av en fenomenografisk utgångspunkt kan då anses vara rimlig. Fenomenografin är en forskningsansats som används inom kvalitativa studier då syftet är att få reda på människors uppfattning inom ett valt område (Kihlström, 2007, Larsson, 1986). Fundamentalt görs alltså en åtskillnad mellan hur något är och hur något uppfattas vara (Larsson, 1986). Inom denna forskningsansats anses det generellt att människors skilda uppfattningar kan kategoriseras och ordnas hierarkiskt (Stensmo, 2002). De ovan beskrivna utgångspunkterna stämmer väl överens med studiens syfte, även om resultatets kategorier inte ordnats strikt hierarkiskt utan att tankegångar istället förts huruvida en strategi är generellt gångbar eller inte. Precis som den fenomenografiska ansatsen förespråkar har de identifierade strategierna, vilka därmed utgör studiens indelningskategorier, inte formulerats i förväg utan bildats och bearbetats under analysarbetets gång, vilket medför att dessa strategier ligger nära elevernas resonemang (Kihlström, 2007; Stensmo, 2002). 4.2 Urval I studien ingick elever från tre olika grundskolor. De utvalda skolorna, belägna i södra Sverige valdes utifrån kontakter genom VFU eller via andra personliga anknytningar och kan med andra ord ses som ett bekvämlighetsurval. Genom att använda sig av bekvämlighetsurval förloras enligt Bryman (2002) chansen till att kunna generalisera sitt resultat till en större population. Studiens ansats är dock inte att generalisera eller att mäta antal rätt eller fel svar utan att studera variationen av de strategier som används av elever. Ur en sådan synvinkel kan ett bekvämlighetsurval vara godtagbart (Stukát, 2005). De 78 eleverna i studien tillhörde årskurs sex och var därmed elva till tolv år gamla. Eftersom studien genomfördes i början av läsåret kan dessa elever förväntas ha den kunskap som motsvarar de uppsatta kursplanemål som fram till juli 2011 fanns för skolår fem (Skolverket, 2009). Studien genomfördes i denna årskurs eftersom eleverna enligt den tidigare kursplanen i matematik (Skolverket, 2009) bör ha kommit i kontakt med grunderna inom bråkbegreppet men ännu inte fullt ut utvecklat sin taluppfattning kring rationella tal i bråkform. När det gäller kvantitativa studier är det vanligtvis viktigt att urvalet är representativt (Bryman, 2002) men för kvalitativa studier där man vill få en så stor variation av uppfattningar som möj- 14

18 ligt är detta inte av samma betydelse, däremot bör man ta hänsyn till variabler som kan skilja sådana uppfattningar åt (Stukát, 2005). I studien var deltagarna homogena i fråga om ålder men inte gällande sammansättning av kön, etnicitet, social klass, ekonomiska hemförhållande och matematisk förförståelse. Utifrån studiens strävan om att upptäcka den variation som finns bland elever och den kompromiss mellan tid och precision som förekommit anser vi att denna typ av urval varit godtagbart. 4.3 Genomförande På de aktuella skolorna genomfördes diagnoserna i klassrumsmiljö under elevernas ordinarie lektionstid. Eleverna som arbetade enskilt vid sin arbetsplats fick hela lektionstiden, minuter, till att besvara uppgifterna. Genomsnittstiden för diagnosens genomförande var cirka 20 minuter. Den undervisande läraren var under genomförandet närvarande men passiv och hänvisade eventuella frågor till oss. Då elever bad om hjälp lästes och förtydligades endast uppgiften för dem för att i så liten utsträckning som möjligt påverka resultatet. Uppgifternas utformning var sådan att de löstes direkt på den utdelade diagnosen och inga hjälpmedel var tillåtna. 4.4 Bortfall Det finns enligt Stensmo (2002) två typer av bortfall, totalt bortfall och internt bortfall. Totalt bortfall är när informanten inte svarar alls. I förarbetet till studien kontaktades ursprungligen ytterligare två skolor, förutom de tre som ingår i studien, genom e-post både till rektor och till klassföreståndare. Eftersom dessa skolor inte besvarade vår kontakt kan de ses som en del av det totala bortfallet. Som en konsekvens av detta blev det slutliga urvalet också bekvämlighetsstyrt. I flera av de i studien deltagande klasserna saknades det även elever som på grund av sjukdom, annan godkänd frånvaro eller undanbedjande av deltagande i studien inte kunde eller ville närvara vid diagnosen. Denna del utgjorde 15,2 % av det totala antalet elever i de deltagande klasserna. Ett internt bortfall sker när uppgiftslämnaren svarat slarvigt eller inte svarat fullt ut (Stensmo, 2002). I studien förekom det att elever inte svarade på enstaka uppgifter. Störst var bortfallet på uppgift nio (10,3 %) och fyra (7,7 %) (se bilaga 2). Utifrån en avsaknad av svar på uppgifter går det enbart att spekulera i orsakerna men möjliga förklaringar är att eleven inte förstod frågan, inte var van vid uppgiftstypen eller inte visste hur den skulle gå tillväga för att lösa uppgiften. 4.5 Analys Avsikten med en analys inom en studie med fenomenografisk ansats är att genom jämförelser av svar hitta kvalitativt skilda kategorier det vill säga indelningsgrupper som beskriver de olika typer av resonemang som framstått (Larsson, 1986). För att åstadkomma detta har elevernas diagnoser analyserats, jämförts och tolkats i flera omgångar. En första indelning av elevernas resonemang upprättades i direkt samband med varje undersökningstillfälle. Viktigt att påpeka är att det alltså var elevernas användande av strategier som tolkades och inte rätt eller fel svar på uppgifterna. Efter att hela studien slutförts analyserades alla diagno- 15

19 ser ytterligare, fråga för fråga, för att kunna jämföra svar, tillförsäkra en likvärdig tolkning och få en tydlig uppdelning av elevernas strategier. Flera av de strategier som kunde uttydas har sedan slagits samman för att på så vis samla liknande resonemang i välavgränsade kategorier. Kategoriena kan förhoppningsvis ge en mer översiktlig bild av hur eleverna resonerat vid lösning av uppgifterna. 4.6 Reliabilitet och Validitet Med reliabilitet menar man undersökningens tillförlitlighet och följdriktighet medan god validitet avgörs av huruvida ett instrument, i detta fall diagnosen, verkligen mäter det den är avsedd att mäta. Valet av uppgifter till diagnosen grundade sig framförallt på tidigare forskning inom området (Engström, 1997; Lamon, 2005; Petit et al. 2010). De modifierades dock till viss del för att passa både studiens syfte och elevernas kontext bättre. Den öppna frågan (se uppgift 9, bilaga 2) var inte av sådan karaktär, utan ett moment som tillfördes för att se hur eleverna utifrån sin förförståelse relaterade till bråkbegreppet. I studien fanns ett internt bortfall. För att minska ett sådant bortfall testades uppgifterna i förväg i liten skala i flera omgångar och omarbetades däremellan för att säkerställa att frågorna inte riskerade att missuppfattas. Under diagnosen fanns vi också till hands för att ytterligare kunna förtydliga diagnosens uppgifter. Fördelarna med användandet av diagnoser har varit att eleverna skrivit ner sina beräkningar och eller tankegångar. Vid analysen har materialet därför varit relativt enkelt att bearbeta. Det finns dock även nackdelar med detta då det i vissa fall varit svårt att tolka elevers lösningar. I dessa fall har utomstående personer som tidigare arbetat med elever i denna ålderskategori konsulterats för hjälp med ytterligare tolkningar, då det inte funnits möjlighet att fråga eleverna. Eftersom eleverna endast kunnat skriva ner sina strategier finns hos oss en medvetenhet om att en del resonemang på så vis kan ha gått förlorade, men då syftet varit att hitta en variation av elevstrategier kan användandet av denna typ av diagnos ändå anses ge ett större underlag än några få djupintervjuer. Det totala bortfallet i studien kan dock ha påverkat resultatet på så sätt att någon strategi gått förlorad. Studien syftar dock inte till att beskriva det absoluta utfallsrummet av strategier utan den variation som förekommer inom denna ålderskategori. Utifrån den ståndpunkten och det faktum att det under analysen uppnåtts en mättnad, vilket motiveras närmare nedan, finns det anledning till att tro att även dessa elevers strategier kunnat innefattas i någon av resultatets kategorier. Vid utförandet av diagnosen påverkas reliabiliteten även av den omgivande miljön. Då fenomenet undersöktes på tre olika skolor reducerades den risk som kan uppstå då elever i en studie formas av varandra och/eller av läraren. Att undersökningen ägde rum under en vanlig matematiklektion och eleverna fick tid att tänka självständigt talar också till studiens fördel. Samtidigt finns det alltid en risk att elever i klassrumsmiljöer blir störda av andra elever eller av skolpersonal som går in och ut ur klassrummet, vilket var fallet under våra undersökningstillfällen. Självfallet påverkar även varje enskild elevs dagsform resultatet. En riskfaktor vid analysen var att vår förförståelse, det faktum att vi tagit del av tidigare forskning och därtill satt samman diagnosmaterialet påverkat vår syn på undersökningsmaterialet. Vid analysen fanns en 16

20 strävan att inte låta ovanstående riskfaktor påverka tolkningen av elevlösningarna, vilket minimerades genom ett aktivt deltagande och en hög överensstämmelse oss emellan gällande tolkningarna. För att ytterligare öka trovärdigheten av analysen och de tolkningar av elevers strategier som gjorts har strategibeskrivningarna i resultatet kompletterats med elevexempel. Utfallsrummet av strategier jämfördes inte heller med tidigare forskning förrän efter kategoriseringen slutförts. Under analysen, vilket även nämnts tidigare, har en mättnad uppnåtts då samma kategorier av strategier återkom gång på gång. Att mättnad uppnåtts styrks av att det vid analystillfället av sista klassen fanns en hög överensstämmelse med tidigare funna strategier. Detta fenomen talar, enligt oss, för en hög reliabilitet i studien. 4.7 Etiska ställningstaganden I en vetenskaplig studie, och då även i denna studie, finns det en viss etisk kod att förhålla sig till. Denna kod är framtagen av Vetenskapsrådet och specificeras av fyra krav, som en studie måste svara mot för att vara individskyddad (Stensmo, 2002). Studien bygger på genomförandet av en elevdiagnos med elever i årskurs sex. Informanterna och deras vårdnadshavare informerades därför genom ett skriftligt meddelande (se bilaga 1) där syftet med studien, deltagandets villkor och hur underlaget kom att nyttjas framgick. I detta brev ansöktes även om vårdnadshavares samtycke, eftersom det krävs när informanterna är under sexton år. Informanterna har i denna rapport helt anonymiserats och det framgår därmed inte vilka elever som använts i resultatets elevexempel. 4.8 Metoddiskussion Innan en mer ingående metoddiskussion förs är det rimligt att först utvärdera valet av metod. Utifrån studiens syfte, det vill säga att beskriva variationen av strategier som elever använder sig av vid behandling av diskreta mängder inom tal i bråkform, då uppgifterna är av varierad art och där objekten är ordnade såväl som oordnade, kan man tänka sig att ett alternativ hade varit att använda intervjuer. Genom intervjuer hade det givits möjlighet att ställa följdfrågor, vilket kunnat höja validiteten. Eleverna hade även haft chans att utveckla sina svar ytterligare eller till att ge mer ingående förklaringar till sina resonemang. Det inre bortfallet hade eventuellt minskat då det kan vara enklare för elever att med ord uttrycka hur de resonerar snarare än att skriva ner det på ett papper. Samtidigt kan den situation som elever ställs inför vid en intervju upplevas som ovan och betydligt mer pressande än en diagnossituation i ett klassrum. Utifrån studiens syfte och den tid som funnits till förfogande har denna typ av metod inte varit möjlig. Dels med tanke på den tid det tar att genomföra sådana djupintervjuer och dels med tanke på den mängd data som dessa intervjuer genererar. Med hänsyn till de förutsättningar som gavs, i form av tid, användes ett instrument i form av en diagnos. Diagnosen ansågs ge ett tillräckligt stort underlag för att kunna uppfatta de variationer av strategier som elever i denna ålderskategori använde sig av. Sett till ovanstående val bör man rikta stor betydelse till de 17

21 ingående uppgifterna. De hade på förväg testats i liten skala och arbetats om för inte kunna missförstås. Trots detta upptäcktes det under analysen att vissa av uppgifterna borde formulerats på ett annorlunda sätt för att inte riskera att misstolkas. I två fall, uppgift sex och nio (se bilaga 2), var uppgifterna dessutom formulerade på ett för eleverna relativt öppet sätt. En risk med detta, vilket också upptäcktes i samband med analysen, är att eleverna avger så kallade bekvämlighetssvar utan någon matematisk eftertanke, till exempel då en elev motiverar sitt val av godisskål (se uppgift 6, bilaga 2) med orden Den för att jag älskar choklad. Ytterligare en risk som kan uppstå är att eleverna är ovana vid öppna uppgiftstyper och därför inte svarar alls, vilket till viss del kan ligga bakom bortfallet på uppgift nio. En faktor som sänker studiens validitet. Samtidigt kan öppna uppgifter ge elever en chans till att utveckla sina resonemang på sätt som inte är begränsande. Ovanstående reflektioner visar på betydelsen av uppgifternas sammansättning och en noggrant genomförd förstudie. Gällande analysen av elevers strategier finns det självklart en del att diskutera. Inom fenomenografin bör man enligt Marton och Booth (2000) under hela studien inta sin motparts synvinkel och bortse från sitt eget erfarande. Trots att försök till en sådan utgångspunkt gjordes, genom att skapa en god förtrogenhet med materialet, vore det naivt att mena att vår förförståelse inte till viss del kunnat påverka våra tolkningar. Om andra personer utgått från samma material hade de möjligtvis kommit fram till andra kategorier. Det intressanta i ett sådant fall är dock inte om dessa kategorier eller strategier skulle namngetts annorlunda utan om innehållet i dem radikalt skilt sig åt. Är i så fall de i studien identifierade strategierna berättigade? Detta går enbart att spekulera i. Det faktum, att det trots skillnader oss två författare emellan, till exempel vad gäller ålder, tidigare utbildning och erfarenhet, funnits en hög samstämmighet och att en mättnad uppfattats vid analysen, anser vi talar positivt för studiens resultat och den metod som använts. Liksom Larsson (1986) antyder, beskriver man som författare endast det som framträder av analysen. Detta innebär inte att det speglar hur något egentligen är utan endast hur det uppfattas vara. Samtidigt kan all inlärning ses ur perspektivet hur något ter sig för någon annan, och genom det anser vi att elevers uppfattningar och därmed resultatet av denna studie kan bidra till att utveckla lärares förståelse av hur elever uppfattar tal i bråkform och därigenom förhoppningsvis förändra undervisningen i matematik. 18

22 5 Resultat Genom analys av undersökningsmaterialet har kategorier arbetats fram för att visa på elevers strategier vid lösning av uppgifter som behandlar diskreta mängder. Strategier med likartade resonemang har grupperats under fyra övergripande rubriker. Inom dessa övergripande kategorier återfinns både strategier som leder till ett korrekt svar och de som inte gör det. I figur 8 sammanfattas resultatet i ett överskådbart träddiagram. Vid analysen har elevernas lösningar på alla uppgifter analyserats, men i resultatet nedan redovisas endast exempel från ett fåtal uppgifter för att underlätta för läsaren. Vid val av exempel har strävan varit att hitta exempel, som på ett så tydligt sätt som möjligt exemplifierar den beskrivna strategin. Följande avsnitt beskriver dessa kategorier och undergrupper mer i detalj. Elevstrategier Heltalstillämpning av tal i bråkform Formation av helhet Formation av enhet Operation på och med tal i bråkform Täljare eller nämnare som antal Ny helhetsbildning Oberoende gruppering av delar Fördubbling eller halvering Nyttjande av givna tal Nämnaren som utgångspunkt Gruppering utan hänsyn till lika delar Multiplikation och/eller division Gruppering som enskilda enheter Gruppering med markering Tankemässigt konstruerad gruppering Figur 8. Sammanfattning av resultatet i form av ett träddiagram. Fyra huvudkategorier har hittats och inom dessa återfinns elva undergrupper av strategier. 19

23 5.1 Heltalstillämpning av tal i bråkform De ingående strategierna i kategorin heltalstillämpning av tal i bråkform har det gemensamt att de baseras på en elevsyn om tal i bråkform som heltal. De i uppgiften givna bråkuttrycken ses som heltal på det sättet att de ingående talen antingen utgör ett antal objekt eller är föremål för en aritmetisk operation. Täljare eller nämnare som antal Vid användande av denna strategi använder eleverna sig antingen av täljaren eller av nämnaren som ett antal för att lösa uppgiften. I exemplet nedan (figur 9) har antalet trianglar markerats utifrån täljarens storlek. Bland elevlösningarna förekommer även elevsvar då hänsyn tagits till nämnarens storlek till exempel att fyra respektive tre trianglar har markerats när de givna bråkuttrycken är respektive. Figur 9. Vid lösning av 1 4 och 2 3 av 24 trianglar använder eleven täljaren som instrument för att lösa uppgiften. Täljaren uppfattas som det antal trianglar som ska markeras, en respektive två. Nyttjande av givna tal Denna kategori kännetecknas av att talen i de givna uttrycken nyttjas för att lösa uppgiften. I det första elevexemplet (figur 10) har täljare och nämnare i uttrycket tolkats som faktorer för multiplikation och bildat produkten tolv. I det andra exemplet i samma figur har en annan elev adderat täljare och nämnare i talet och utifrån summan fyllt i antalet stjärnor, det vill säga åtta stycken. Figur 10. I det övre exemplet används de i bråkuttrycket ingående talen som instrument vid en multiplikation. I figurens nedre exempel adderas täljare och nämnare och blir för eleven ett svar på hur många stjärnor som ska fyllas i. 20

24 5.2 Formation av helhet Inom formation av helhet ingår två strategier, ny helhetsbildning och nämnaren som utgångspunkt inom vilka eleverna på olika sätt delar upp helheten utifrån nämnarens storlek. Ny helhetsbildning Utan att ta hänsyn till den i uppgiften givna helheten bildar eleven en ny helhet för att lösa uppgiften. Den nya helheten bildas med hänsyn till nämnarens storlek och eleven markerar sedan antalet delar av den nya helheten. Figur 11 visar på två olika varianter av denna strategi. Dels visas hur en elev ringat in den nya helheten (fem stjärnor) och hur delen (tre stjärnor) sedan markerats i den nya helheten. Det andra elevexemplet är snarlikt, men skillnaden är att denna elev endast identifierat stambråket och därmed endast markerat en stjärna av den nya helheten. Figur 11. Exemplen visar på hur två olika elever bildar en ny helhet utifrån nämnarens storlek och därefter löser uppgiften med hjälp av den nya helheten. Det övre exemplet visar en elev som finner det allmänna bråkuttrycket 3 i den nya helheten, medan det undre exemplet visar en elev som 5 endast hittar stambråket 1 5. Nämnaren som utgångspunkt Inom strategin används nämnaren som utgångspunkt för uppdelning av helheten i grupper. Storleken på nämnaren avgör antingen hur många delar som ska ingå i varje grupp eller hur många delar helheten ska delas in i. I varje grupp markeras sedan delen (täljarens storlek) för att lösa uppgiften. För att till exempel lösa uppgiften av ägg grupperas äggen i grupper om tre, där två ägg i varje grupp markeras, se figur 12. Figur 12. Eleven har grupperat äggen i grupper om tre efter nämnarens storlek i bråkuttrycket 2 3. Sett till täljaren har sedan två ägg i varje grupp om tre markerats och på så vis har eleven löst uppgiften. 21

25 I det andra lösningsexemplet, figur 13, har eleven delat upp helheten i tre lika delar utifrån nämnarens storlek, men endast markerat stambråket istället för. I nedanstående fall tas inte någon hänsyn till täljarens storlek i jämförelse med föregående exempel (figur 12). Figur 13. Eleven har delat helheten, 24 ägg, efter nämnarens storlek och därigenom fått ut att varje tredjedel innehåller åtta ägg. Därefter sammankopplar inte eleven den erhållna tredjedelen med de i uppgiften efterfrågade 2 utan markerar istället ett stambråk Formation av enhet Strategierna inom kategorin formation av enhet har det gemensamt att eleverna utifrån sin förförståelse grupperar de ingående objekten i enheter. Elevernas gruppering är beroende av förståelsen för helheten. I vissa fall samlar eleverna objekten i större grupper medan elever i andra fall ser till varje enskilt objekt. Oberoende gruppering av delar Inom denna strategi bildar eleverna två skilda enheter utifrån ett förhållande uttryckt i helheten. I figur 14, som visar två olika elevexempel, utgör de svarta rutorna tre delar och de vita rutorna sex delar. Dessa oberoende delar som egentligen representerar relationen mellan de vita och svarta rutorna uttrycks sedan i bråkform. Då täljare och nämnare enligt denna strategi inte är direkt kopplade till helheten förekommer båda lösningsexemplen bland elevernas svar. Figur 14. De i uppgiften ingående delarna (svarta och vita rutor) behandlas i de två elevexemplen ovan var för sig. Eftersom det inom denna strategi saknas en direkt koppling till helheten förekommer båda lösningsexemplen bland eleverna. 22

26 Gruppering utan hänsyn till lika delar Helheten delas inom strategin in i grupper utan att hänsyn tas till att alla delar ska vara lika stora. Det kan resultera i att eleven utan tanke på att alla delar ska vara lika stora, det vill säga innehålla lika antal objekt, gör en uppdelning där antalet grupper överensstämmer med det i uppgiften givna, fyra grupper om det i uppgiften är fjärdedelar som efterfrågas men där antalet objekt i grupperna inte är lika. Ibland har strategin en koppling till att eleverna inte kan hantera en rest vid ojämna delningar och av bekvämlighetsskäl blir då resultatet av uppdelningen ojämn. Det kan också visa sig som i figur 15, där har eleven efter att den i de två första deluppgifterna ringat in och kryssat över ett visst antal trianglar sett tre olika grupper av trianglar. Resonemanget hos eleven är då att det finns inringade, överkryssade och orörda trianglar, av dessa är de orörda trianglarna en del av tre,, av alla trianglar trots att grupperna inte innehåller lika antal objekt. Figur 15. I ovanstående exempel grupperas trianglarna efter utseende, om de är överkryssade, inringande eller orörda. Eleven ser inte att en central aspekt för tal i bråkform är lika delar, i detta fall antalet trianglar i varje del. Antalet trianglar i varje tredjedel blir därmed inte lika stort. Gruppering som enskilda enheter Varje enskilt objekt i helheten ses som en enhet och samlas inte i en större sammanhängande grupp. Elever som använder sig av denna strategi räknar antalet enskilda enheter av objekt i både delen och helheten för att utnyttja detta i sitt svar på uppgiften, se figur 16. Figur 16. Eleven ser varje ruta som en enskild enhet utav helheten. De ingående delarna ses alltså inte som delar av en större enhet, utan räknas var för sig. 23

27 Gruppering med markering Inom denna strategi delas helheten upp med hjälp av markering i lika stora grupper där antalet grupper är lika med nämnarens storlek. Antalet grupper som sedan väljs ut baseras på täljarens storlek. I figur 17 visas hur en elev grupperar helheten med hjälp av markering. Figur 17. Eleven gör genom markering en tydlig uppdelning av helheten. Då 3 efterfrågas markeras helheten utifrån nämnarens storlek in i fem lika stora delar utifrån vilka de tre delarna som 5 efterfrågas i täljaren kan identifieras. Tankemässigt konstruerad gruppering Denna strategi skiljer sig från föregående strategi på så vis att eleverna bildar nya enheter utan att markera. Detta skulle kunna tolkas som att eleverna istället ser och bildar en ny enhet i en given situation. Då rutorna är ordnade är det lättare för eleverna att mentalt skapa sig nya enheter. Exemplet nedan (figur 18) visar hur samma elev som i figur 16 ser de svarta rutorna som en ny enhet jämfört med i gruppering som enskilda enheter då eleven uppfattar varje ruta som en enskild enhet. Figur 18. Eleven skapar en ny enhet genom att den ser den svarta raden som en av totalt tre rader, 1 3. När de svarta rutorna är skilda från varandra likt i figur 16 är det svårare för eleven att skapa nya enheter. 5.4 Operation på och med tal i bråkform Kategorin operation på och med tal i bråkform innefattar strategier som använder sig av aritmetiska tankegångar inom främst multiplikation och division. Möjligen används liknande tankegångar inom andra strategier, men för de i kategorin ingående strategierna har aritmetiska resonemang en framträdande roll. 24

28 Fördubbling eller halvering Strategin kännetecknas av att det ursprungliga uttrycket fördubblas eller halveras i flera steg. Vid fördubbling multipliceras båda delar av det ursprungliga uttrycket med två tills nämnaren motsvarar helhetens antal. Strategin är nära kopplad till multiplikation och division, men är speciell på så vis att den enbart behandlar operationer med faktor två. Texten i figur 19 visar hur en elev vid behandling av fjärdedelar använder halvering av helheten. I exemplet, av, halveras och ger. Kvoten halveras i sin tur vilket ger en ny kvot på, vilka tillsammans utgör summan. Figur 19. Exempel där lösningsstrategin som innebär halveringar i flera steg används. För fjärdedelar halveras helheten först en gång och sedan halveras den erhållna delen en gång. Lösningen på uppgiften erhålls i detta fall genom att eleven adderar kvoten av en halv respektive en fjärdedel. Ett närbesläktat tillvägagångssätt visas i figur 20 där en elev använt sig av ovanstående strategi med varierat resultat. I första deluppgiften ( av har eleven försökt fördubbla men det har blivit fel vid fördubbling av. Märk väl att fördubbling inte fungerar i detta fall då inte går att nå genom fördubbling av fyra. Däremot fungerar strategin utmärkt vid lösning av av i den andra deluppgiften. Figur 20. Eleven använder konsekvent en fördubblingsstrategi där den utgår från givna bråkuttryck och fördubblar dessa tills nämnarens storlek överensstämmer med antalet objekt. Anteckningen inuti den streckade rutan har flyttats för att tydligare visa elevens resonemang. 25

29 Multiplikation och/eller division Inom strategin använder eleverna sig av aritmetiska resonemang. Strategin är kopplad till användandet av stambråk då eleverna i många fall ser ett allmänt bråkuttryck t.ex. som en multiplikation mellan och, vilket texten i elevlösningen i figur 21 visar. Figur 21. I texten framgår det att eleven använder ett stambråksresonemang där helheten först delas in utifrån nämnarens storlek. Det erhållna stambråket 1 multipliceras sedan med den efter- 4 frågade täljarens storlek, i detta fall tre, för att erhålla 3 4. Utifrån ett stambråk kan ett multiplikativt resonemang användas för att kontrollera delarnas giltighet gentemot helhetens storlek. I figur 22 visas ett elevexempel där upprepad addition av fyra används för att utifrån en del hitta helheten sexton. Figur 22. Eleven använder upprepad addition för att utifrån fjärdedelar beräkna helheten. Fjärdedelarnas giltighet kontrolleras alltså med hjälp av antalet bollar i helheten. 26

30 6 Diskussion I nedanstående diskussion ämnar vi besvara de frågeställningar som utgör studiens syfte. De i studien identifierade strategierna jämförs med tidigare forskning och utmärkande drag redovisas. Därefter görs en uppdelning av strategiernas gångbarhet för att tydliggöra de orsaker som kan kopplas till elevers resonemang. Avslutningsvis ges två uppslag till vidare studier inom detta område. 6.1 Vilka strategier använder sig elever av vid behandling av diskreta mängder? Analysen av de 78 genomförda diagnoserna resulterade i elva strategier som användes av elever vid behandling av diskreta mängder (se figur 8, s. 19). Dessa strategier har grupperats i fyra övergripande kategorier utan att hänsyn tagits till strategiernas gångbarhet. Flera av de strategier som identifierats i denna studie liknar i olika grad de strategier av Behr et al. (1988), Engström (1997) och Lamon (1996) som lyfts fram i bakgrunden, vilket redovisas nedan. För att inom avsnitt 6.1 skilja de i studien identifierade strategierna från de strategier som framkommit i tidigare forskning har studiens strategier markerats med fet kursiverad stil medan övriga strategier enbart kursiverats. Heltalstillämpning Inom strategin täljare eller nämnare som antal liksom i Engströms (1997) schema d använder sig eleverna antingen av täljaren eller av nämnaren som ett antal för att lösa uppgiften. I likhet med strategierna adderande och multiplicerande beskrivna av Behr et al. (1988) utför eleverna inom nyttjande av givna tal aritmetiska operationer med de i uppgiften givna talen. Inom nyttjande av givna tal förekommer dock, till skillnad från de av Behr et al. beskrivna strategierna ovan, lösningar där elever använt sig av tal i både ett och flera bråkuttryck vilket möjligtvis kan bero på de olika studiernas skilda uppgiftskaraktär. Ytterligare en strategi som påminner om ovanstående resonemang men där objekten skiljs åt och alltså inte adderas, är isomorf representation (Behr et al.) där eleverna på t.ex. skilda rader markerar både två objekt och sex objekt då efterfrågas, till skillnad från addition då åtta sammanhängande objekt vanligtvis markeras. Formation av helhet Utan att ta hänsyn till den i uppgiften givna helheten bildar eleven en ny helhet i strategin ny helhetsbildning. Liksom i omdefiniering av enheten (Behr et al., 1988) koncentrerar sig eleverna i ovanstående strategi endast på en del av helheten. Inom nämnaren som utgångspunkt avgör storleken på nämnaren hur många delar helheten ska delas in i. Jämfört med tidigare forskning omfattar ovanstående strategi två av de strategier som Behr et al. beskriver, dels uppdelande där helheten delas upp i grupper vilka till antal stämmer överens med nämnarens storlek och dels uppdelning av nämnare där objekten istället delas upp i grupper där antalet objekt i varje grupp överensstämmer med nämnarens storlek. Beroende på hur uppdelningen utifrån nämnarens storlek sker inom strategin nämnaren som utgångspunkt kan även vissa likheter ses med Lamons (1996) distribution strategy där elever fördelar en enhet i taget i rätt antal grupper. 27

31 Formation av enhet Överensstämmelsen är hög är mellan strategin oberoende gruppering av delar och schema c hos Engström (1997). Båda strategierna visar hur eleverna fokuserar på relationen mellan de i uppgiften skilda enheterna av objekt. Strategin gruppering utan hänsyn till lika delar där helheten delas in i delar där antal objekt i varje del inte är lika till antal, kan inte direkt kopplas till tidigare funna strategier. Strategin bör snarare ses som ett resultat av missuppfattningar kring hur helheter ska grupperas vid behandling av tal i bråkform, vilket diskuteras vidare i avsnitt 6.3. Inom gruppering som enskilda enheter ses liksom i Engströms schema a varje enskilt objekt i helheten som en enhet och samlas inte i en större sammanhängande grupp. Elever inom denna strategi formar inte enheter utan räknar antalet enskilda enheter av objekt i både delen och helheten. Ytterligare ett exempel där paralleller till tidigare studier finns är mellan gruppering med markering och den av Lamon (1996) kallad mark-all strategy. Lamons beskrivning av sin strategi baseras främst på delning av en kontinuerlig mängd, men i båda strategier markeras de ingående objekten i enheter oavsett om det är relevant för lösningen eller inte. Tankemässigt konstruerad gruppering är en strategi där eleverna kan se och bilda en ny enhet i en given situation. Liknande resonemang kan man hitta i Lamons preserved-pieces strategy där eleverna bevarar de enheter de inte behöver dela på som helheter, och endast delar upp det som är nödvändigt och i Engströms schema b där eleverna formar en enhet och genom det kan förenkla bråkuttryck. Operation på och med tal i bråkform Strategin fördubbling eller halvering och då främst fördubbling är ett exempel som påminner om strategin diskret som beskrivits av Behr et al. (1988). Likheten mellan strategierna är att båda eftersträvar liknämnighet med helheten, men en stor skillnad ligger i att fördubblingsstrategin inte är generell då den alltid grundas på en faktor av två. Strategin multiplikation och/eller division inom vilken ett eller flera aritmetiska resonemang förs liknar strategin generaliserande (Behr et al.) på så vis att eleverna genom en form av beräkning löser en uppgift. Inom den generaliserande strategin bygger resonemanget på ett abstrakt tänkande till skillnad från strategin multiplikation och/eller division där enbart redovisade tankegångar har kategoriserats. Möjligen har studiens utformning varit avgörande för skillnaden då det i en skriftlig diagnos saknas möjlighet till att tolka elevers abstrakta tankegångar. Vid jämförelse mellan tidigare forskning och studiens resultat kan alltså flera likheter ses. Trots att tidigare studier till stor del grundat sina slutsatser på diagnos- eller intervjuuppgifter med objekt av enbart samma färg, storlek och form, och där objekten vanligtvis varit ordnade i t.ex. rader finns en överensstämmelse med de strategier som denna studie resulterat i. Samstämmighet med tidigare forskning tyder på att de i studien identifierade strategierna är de som elever inom denna ålderskategori använder vid behandling av diskreta mängder. 28

32 6.2 Vad utmärker de i studien identifierade elevstrategierna? Kortfattat kan de identifierade elevstrategierna utifrån de övergripande kategorierna beskrivas likt nedan. För utförligare beskrivningar kring vad som utmärker varje strategi hänvisas till resultatet, se avsnitt De ingående strategierna i kategorin Heltalstillämpning av tal i bråkform har det gemensamt att de baseras på en elevsyn om tal i bråkform som heltal. Inom täljare eller nämnare som antal använder eleverna sig antingen av täljaren eller av nämnaren som ett antal för att lösa uppgiften medan eleverna i nyttjande av givna tal utför en aritmetisk operation med de i uppgiften givna talen. Formation av helhet är en kategori inom vilken eleverna på olika sätt delar upp helheten utifrån nämnarens storlek. Utan att ta hänsyn till den i uppgiften givna helheten bildar eleven en ny helhet inom strategin ny helhetsbildning. Inom nämnaren som utgångspunkt avgör storleken på nämnaren antingen hur många delar som ska ingå i varje grupp eller hur många delar helheten ska delas in i. Strategierna inom kategorin formation av enhet har det gemensamt att eleverna utifrån sin förförståelse grupperar de ingående objekten i enheter. I oberoende gruppering av delar bildar eleverna två skilda enheter som representerar relationen mellan de ingående objekten i uppgiften. Det av eleverna bildade förhållandet är oberoende av helheten men uttrycks i bråkform. Att helheten delas in i grupper utan att hänsyn tas till att alla delar ska vara lika stora är signifikant för gruppering utan hänsyn till lika delar. Inom gruppering som enskilda enheter ses varje enskilt objekt i helheten som en enhet och samlas inte i en större sammanhängande grupp. Elever inom ovanstående strategi räknar antalet enskilda enheter av objekt i både delen och helheten. Gruppering med markering är en strategi där helheten med hjälp av markering delas upp i lika stora delar utifrån nämnarens storlek. Kategorins sista strategi, tankemässigt konstruerad gruppering bygger på att eleverna kan se och bilda en ny enhet i en given situation. Kategorin operation på och med tal i bråkform innefattar strategier som använder sig av aritmetiska tankegångar. Fördubbling eller halvering kännetecknas av att det ursprungliga uttrycket fördubblas eller halveras med en faktor av två i ett eller flera steg. Multiplikation och/eller division är en strategi där ett eller flera aritmetiska resonemang förs för att kunna bilda en efterfrågad del till exempel genom att dela eller kontrollera helheten. 6.3 Vilka bakomliggande skäl kan kopplas till elevers användande av en specifik strategi? För att resultatet av denna studie ska kunna användas vidare är det viktigt att föra en diskussion kring de identifierade strategiernas bakomliggande orsaker och därtill strategiernas användbarhet. En uppdelning mellan generellt gångbara och icke generellt gångbara strategier har upprättats då det kan fungera som ett stöd för lärare (se figur 23). Det som skiljer de generellt gångbara strategierna från de icke generellt gång- 29

33 bara strategierna är elevernas förståelse av tal i bråkform. De strategier som bygger på en korrekt förståelse av tal i bråkform har bedömts som generella förutsatt att de utförts på ett riktigt sätt, medan de strategier som representerar en felaktig förståelse därmed bedömts som icke generellt gångbara. Elevstrategier Heltalstillämpning av tal i bråkform Formation av helhet Formation av enhet Operation på och med tal i bråkform Generell Icke generell Generell Icke generell Generell Icke generell Generell Icke generell Täljare eller nämnare som antal Nämnaren som utgångspunkt Ny helhetsbildning Gruppering som enskilda enheter Oberoende gruppering av delar Multiplikation och/eller division Fördubbling eller halvering Nyttjande av givna tal Gruppering med markering Gruppering utan hänsyn till lika delar Tankemässigt konstruerad gruppering Figur 23. Strategierna har delats upp utifrån sin gångbarhet, det vill säga utifrån förståelsen för tal i bråkform. Under varje övergripande kategori återfinns därmed denna uppdelning. Vid analysen av undersökningsmaterialet har det visat sig att svårigheter med att behandla allmänna tal i bråkform förekommer såväl inom generellt gångbara strategier som inom icke generellt gångbara strategier. I en sådan situation bortser eleven från täljarens värde och ombildar ett allmänt bråkuttryck till ett stambråk, exempelvis då enbart ägg av markerats även om efterfrågas (se figur 13). Svårigheten kan enligt Kullberg och Runesson (2011) bero på att det är lättare att hantera täljaren vid ett stambråk än vid ett allmänt tal i bråkform. Denna stambråksproblematik, har bland elever kunnat kopplas samman med flera av de identifierade strategierna. Den bildar därför inte någon egen strategi utan återkommer i diskussionen nedan vid flera tillfällen. Generellt gångbara strategier Nedan nämnda strategier anser vi är generellt gångbara och utgör därmed möjliga vägar för elever vid behandling av tal i bråkform. Genom att som lärare vara medveten om vilka strategier som är generellt gångbara och resonemangen bakom dessa, vidgas möjligheterna till att anpassa undervisningen till att stödja elevers kunskapsutveckling mot generella tankemönster. 30

34 Vi finner två olika slags tankemönster hos elever med nämnaren som utgångspunkt. Dels återfinns de elevlösningar som bevarar helheten och använder nämnaren som instrument för delning till exempel då helheten delas in i tre delar vid tredjedelar. Resonemanget är generellt gångbart, dock kan stambråksproblematiken förekomma, vilket visas i resultatet (se avsnitt 5.2). Dels finns de lösningar där helheten grupperas efter nämnarens storlek i vad man skulle kunna kalla delhelheter. En delhelhet bildas då eleven t.ex. grupperat helheten i grupper om tre då efterfrågas. De bildade grupperna hjälper sedan eleven att identifiera det allmänna bråkuttrycket inom varje delhelhet. Elever med ovan nämnda resonemang har förmodligen svårt att se helheten men löser problemet genom att se till varje delhelhet för sig, vilket gör resonemanget generellt gångbart. Gruppering som enskilda enheter innefattar de lösningar som tyder på att eleven har räknat varje ingående del av helheten. Lösningarna visar i många fall att eleven inte kan skapa sig konstruktioner av nya enheter. Gruppering med markering och tankemässigt konstruerad gruppering kan betraktas som mentala progressioner av ovanstående strategi eftersom eleverna inom dessa strategier kan bilda nya enheter. Genom att eleverna med hjälp av markering grupperar helheten efter nämnarens storlek, kan vi inom strategin gruppering med markering se att de förstår innebörden hos ett tal i bråkform. Denna typ av gruppering har nära koppling till användandet av stambråk eftersom varje markerad grupp av helheten utgör ett sådant. Ytterligare ett kognitivt steg kan, som tidigare nämnts, ses hos de elever som tankemässigt grupperar helheten. Att det finns skillnader i elevernas mentala konstruktioner visas i resultatet från diagnosen då det fanns elever som kunde bilda nya enheter när de färglagda rutorna (se uppgift 3 & 7, bilaga 2) var ordnade på samma rad, men inte när de var spridda över hela figuren. Om dessa elever verkligen bildat nya enheter mentalt är, då vi inte kunnat ställa följdfrågor, svårt att avgöra. Tidigare studier av Behr et al (1988) och Engström (1997) styrker dock förekommandet av sådana tankemönster. Multiplikation och/eller division är av oss framställd som en operationsstrategi utifrån aritmetiska resonemang. Det innebär inte att aritmetiska tankegångar inte förekommer inom andra strategier, men i analysen har det inte varit möjligt att konstatera om sådana resonemang förts i de fall där det saknas anteckningar om på de inlämnade diagnoserna. För elever med stambråksproblematik kan strategin enligt oss vara en möjlig väg för att kunna operera med allmänna tal i bråkform, då kan uttryckas som. Vi vill dock poängtera att tyngdpunkten även i denna strategi måste ligga i elevernas förståelse och inte bli en processfokuserad metod. Icke generellt gångbara strategier 31

35 Nedanstående strategier anses icke generellt gångbara då de bygger på missuppfattningar om tal i bråkform. För att i en undervisningssituation kunna motverka felaktiga strategier krävs en insikt i de bakomliggande resonemang som elever inom dessa strategier för. Strategierna täljare eller nämnare som antal och nyttjande av givna tal bygger båda två på att eleverna till stor del saknar förståelse för bråkuttryckets innebörd och istället tolkar de ingående siffrorna som heltal. Resonemang likt de som förs i strategierna ovan kan enligt tidigare forskning förklaras med en N-distraktion, där de naturliga talen stör elevers tolkning av bråkuttryck, och med de svårigheter som kan uppstå vid övergången från naturliga tal till rationella tal i bråkform (Engström, 1997; Lamon, 2005; McIntosh, 2008; Streefland, 1993). Inom strategin ny helhetsbildning klarar inte eleverna av att bevara den givna helheten då de löser uppgiften utan bildar en ny helhet utifrån nämnarens storlek, stambråksproblematiken visar sig därigenom konkret. Enligt Empson (1999) beror resonemang likt dem inom ny helhetsbildning på att eleverna har en föreställning om att helheten endast utgörs av exempelvis fem objekt då uppgiften behandlar femtedelar, en föreställning som tyder på ett undervisningsmissförstånd. Strategin ovan kan även observeras i de fall en uppgift innehåller flera deluppgifter likt diagnosuppgift 8 (se bilaga 2). Eleven kan då i första deluppgiften se till helheten, men i efterföljande deluppgift ser eleven endast till den del av helheten som inte använts tidigare. Hos elever som använder strategin oberoende gruppering av delar och gruppering utan hänsyn till lika delar är avsaknaden av förståelse för innebörden hos ett tal i bråkform stor. Likt Engströms (1997) resonemang i schema c, har eleverna inom oberoende gruppering av delar svårt att bevara helheten och relaterar endast till de olika delarna var för sig. De skapar en egen relation och grupperar på ett för dem relevant sätt. För elever med denna strategi finns det troligtvis inte någon betydelse för hur uttrycket formuleras, det vill säga om det i svaret står eller eftersom delarna inte relaterar till helheten. Strategin gruppering utan hänsyn till lika delar beror på missuppfattningar om hur helheter ska grupperas, vilka kan se olika ut. För en del elever handlar det om att antalet inte är lika i de skapade grupperna. För andra elever är det den diskreta mängden som utgör en svårighet eftersom de fokuserar på delarnas utseende och inte på antalet, vilket enligt Behr et al. (1988) och Lamon (2005) är det centrala när det gäller diskreta mängder. Båda dessa missuppfattningar tyder på att eleverna saknar grundläggande förståelse för tal i bråkform och mer specifikt betydelsen av lika delning. Ytterligare en aspekt av strategin är många elevers problem med delningar som inte går jämnt ut, t.ex. delat på till vilken orsaken skulle kunna vara att eleverna använder sig av kort division, en i skolan vanligt förekommande metod. Då erhålls kvoten med en rest på, vilken inte hanteras vidare inom metoden och därmed inte heller av elever inom denna strategi. Elever borde dock ha kommit i kontakt med situationer i sitt vardagsliv där tal inte enbart representeras som heltal. Möjligtvis är det uppgifternas kontext som avgör hur elever bemöter uppgifter av detta slag, till exempel är elever förmodligen mer vana vid att dela upp en pizza än en karamell. 32

36 Fördubbling eller halveringsstrategin är en form av multiplikation eller division där faktorn vid operationen alltid är två. Denna strategi är inte generellt gångbar då den enbart är användbar i vissa speciella situationer, de fall där det går att förkorta eller förlänga med en faktor av två. Strategin är troligtvis beroende av hur bråkuttrycket introduceras. McIntosh (2008) menar att elever lär sig att till exempel fjärdedelar erhålls genom att man delar på hälften och sedan på hälften en gång till. Enligt Cramer och Wyberg (2009) är det ett problem att många elever, likt de i strategin ovan, lär sig en regel utan att förstå att denna regel endast fungerar under vissa förhållanden. Den centrala skillnaden mellan de elever som använder generellt gångbara strategier och de elever vars strategier inte är generellt gångbara är genomgående förståelsen för bråkbegreppets innebörd. Bråkbegreppet innefattar enligt oss de grundläggande aspekter som beskrivs av McIntosh (2008). De för studien uppmärksammade aspekterna är framförallt förståelsen för att alla bråkdelar ska vara lika stora, att nämnaren visar antalet delar av helheten och att täljaren anger antalet bråkdelar av helheten. Missuppfattningar kring någon av ovanstående aspekter leder till att elever skapar sig felaktiga uppfattningar för hur tal i bråkform kan uttryckas och användas. Det intressanta är likväl orsakerna bakom. Är det möjligtvis så att matematikundervisningen lägger större vikt vid förståelsen för de naturliga talen än för de rationella talen där tal uttryckta i bråkform innefattas? Enbart att förstå begreppet helhet kräver att elever kan se att helheten, beroende på kontext, kan variera i storlek, form, färg och antal. Mötet med tal i bråkform kräver att elever har förmågan att tolka ett bråkuttrycks många sidor samtidigt. Därtill är utformningen av undervisningen om tal i bråkform avgörande för vilken förståelse elever får. Tidigare studier visar att enkla modeller ofta används vid introduktion av bråkuttryck (Cramer & Wyberg, 2009; Engström, 1997). Att som lärare visa på att olika modeller kan användas för att illustrera samma tal i bråkform kan därmed vara ett tillvägagångssätt för att stärka elevers uppfattning av tal i bråkform. Bråkbegreppet är ett mångfacetterat begrepp och trots att denna studie främst berör underkonstruktionen del - helhet anser vi att det för en helhetsbild och en vidare matematisk uppfattning är viktigt att elever får förståelse för och kan växla mellan de fem underkonstruktionerna; del - helhet, mätning, division/kvot, operator och förhållande (Behr et al. 1983; Kieren 1976; 1980). 6.4 Förslag till vidare studier I denna studie har variationen av de strategier som elever använder sig av inom matematikens bråkområde beskrivits. Som tidigare nämnts kan all inlärning ses ur ett perspektiv om hur något ter sig för någon annan. Vi hoppas att vi med denna studie bidragit till att öka kunskapen om elevers förståelse för bråkbegreppet och därmed väckt tankar mot en mer varierad undervisning där förståelsen står i centrum. Under analysen av diagnoserna väcktes dock funderingar kring huruvida eleverna är konsekventa i sitt användande av strategier. Trots att vi inte studerat detta fenomen närmare kunde vi se att flera elever använde sig av olika strategier sett till hela diagnosen. Vi finner det intressant att undersöka om växlandet mellan strategier exempelvis beror på uppgifternas kontext, de modeller som används i undervisningen 33

37 och eller elevernas förståelse för bråkuttryckets olika representationsformer. Ytterligare en fundering är till vilken grad läromedlens utformning och disposition påverkar såväl undervisning som elevers val av strategier vid behandling av uppgifter inom tal i bråkform som berör diskreta mängder. 34

38 7 Referenser Behr, M., Lesh, R.., Post, T. & Silver, E. (1983). Rational - number concepts. I R. Lesh & M. Landau (Red.), Acquisition of mathematics concepts and processes (s ). New York: Academic Press. Behr, M., Wachsmuth, I. & Post, T. (1988). Rational number learning aids: Transfer from continious models to discrete models. Focus on learning problems in mathematics, 10, (4), Billstein, R., Libeskind, S. & Lott, J. (2007). A problem solving approach to mathematics for elementary school teachers. Boston: Addison Wesley. Bryman, A. (2002). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber ekonomi. Charles, K. & Nason, R. (2000). Young children s partitioning strategies. Educational studies in mathematics, 43, (2), Cramer, K & Wyberg, T. (2009). Efficacy of different concrete models for teaching the part-whole construct for fractions. Mathematical thinking and learning, 11, (4), Dimenäs, J. (2007). Teori som redskap. I J. Dimenäs (Red.), Lära till lärare. Att utveckla läraryrket vetenskapligt förhållningssätt och vetenskaplig metodik (s ). Stockholm: Liber. Empson, S. (1999). Equal sharing and shared meaning: The development of fraction concepts in a firstgrade classroom. Cognition and instruction, 17, (3), Engström, A. (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Om elevers konstruktioner av bråk. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Engström, A. (1998) Om bråken i den grundläggande matematikundervisningen. I B. Gran (Red.), Matematik på elevens villkor (s ). Lund: Studentlitteratur. Kieren, T. (1976). On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational numbers. I R. Lesh (Red.), Number and measurement: Papers from a research workshop (s ). Columbus: ER- IC/SMEAC. Kieren, T. (1980). The rational number construct Its elements and mechanisms. I T. Kieren (Red.), Recent research on number learning (s ). Columbus: ERIC/SMEAC. Kihlström, S. (2007). Fenomenografi som forskningsansats. I J. Dimenäs (Red.), Lära till lärare. Att utveckla läraryrket vetenskapligt förhållningssätt och vetenskaplig metodik (s ). Stockholm: Liber. Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: NCM. 35

39 Kullberg, A. & Runesson, U. (2011). What is critical for learning nonunit fractions? Grade 3 pupils understanding of unit in fractions. Opublicerat manuskript, Göteborgs universitet, Utbildningsvetenskapliga fakulteten. Lamon, S. (1996). The development of unitizing: Its role in children s partitioning strategies. Journal for research in mathematics education, 27, (2), Lamon, S. (2005). Teaching fractions and ratios for understanding: essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Mahwah: Erlbaum. Larsson, S. (1986). Kvalitativ analys: exemplet fenomenografi. Lund: Studentlitteratur. Löwing, M. (2002). Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning: ämneskunskapers relation till individ och omvärld. Göteborg: Institutionen för pedagogik och didaktik, Göteborgs universitet. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. Göteborg: NCM. Petit, M., Laird, R. & Marsden, E. (2010). A focus on fractions: Bringing research to the classroom. New York: Routledge. Pitkethly, A. & Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational studies in mathematics, 30, (1), Råde, L. & Westergren, B. (2004). Mathematics handbook for science and engineering. Lund: Studentlitteratur. Skolverket (2009). Kursplan med kommentarer till mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret i ämnena matematik, svenska och svenska som andra språk. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011b). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket. Stensmo, C. (2002). Vetenskapsteori och metod för lärare en introduktion. Uppsala: Kunskapsföretaget i Uppsala AB. Streefland, L. (1993). Fractions: A realistic approach. I T. Carpenter, E, Fennema & T. Romberg (Red.), Rational numbers: An integration of research (s ). Hillsdale: Erlbaum. Stukát, S. (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur. Thompson, J. (1991). Wahlström & Widstrands matematiklexikon. Stockholm: Wahlström & Widstrand. 36

40 Utbildningsdepartementet (2011). Mattelyftet - 2,6 miljarder ska höja resultaten. Pressmeddelande av Jan Björklund 6 september Vejde, O. & Leander, E. (2005). Ordbok i statistik. Borlänge: Olle Vejde förlag. 37

41 Bilaga 1 Hej! Vi är fyra lärarstudenter på Högskolan för lärande och kommunikation i Jönköping. Under den här terminen ingår vi ett projekt inom matematikplattformen på HLK. Vi ska där undersöka hur elever förstår delar av området rationella tal (bråk). Vi kommer därför att genomföra en diagnos och vid ett senare tillfälle under terminen en uppföljande intervju med ett antal elever. Intervjun innebär att eleven kommer att diskutera kring några uppgifter tillsammans med oss. Diagnosen kommer att ligga som underlag till intervjun. En intervju kommer att ta ca minuter och kommer att spelas in på band för att underlätta vår analys. Alla resultat kommer givetvis att behandlas konfidentiellt och ert barn såväl som skolan och orten kommer att avidentifieras. Vi ber här om ert godkännande till deltagande i diagnos och denna form av intervju. Med vänliga hälsningar Anna Jansson, Cecilia Lindegren, Ida Welin, och Sofia Ivarsson Jag tillåter att deltar i diagnos och intervju. (Elevens namn) (Vårdnadshavare)

42 Bilaga 2 1. a) Fyll i av kvadraterna b) Fyll i av kvadraterna 2. Fyll i tre femtedelar av stjärnorna. 3. Hur stor del av rutorna är svarta? Svara i bråkform. 4. I kylskåpet står det 2 hela äggpaket med 12 ägg i varje paket. Markera av äggen

43 5. Nedanför finns ett antal bollar, vilken av bollsorterna visar talet? Förklara eller visa med bild hur du tänker. 6. Fyra vänner ska dela på Toms godisskål och fem vänner ska dela på Jennys godisskål. Du får välja en av grupperna, vilken väljer du? Försök visa hur du tänkte när du valde grupp Toms skål (4 vänner) Jennys (5 vänner) skål 7. Hur stor del av rutorna är svarta? Svara i bråkform.