MODELLERING AV EN HELIKOPTERS RÖRELSER I LUFTEN

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MODELLERING AV EN HELIKOPTERS RÖRELSER I LUFTEN"

Transkript

1 Linköpings universitet, Campus Norrköping Institutionen för teknik och naturvetenskap (ITN) TNM85 Modelleringsprojekt Vårterminen 28 Handledare: Anna Lombardi, MODELLERING AV EN HELIKOPTERS RÖRELSER I LUFTEN Christian Alfons, Eirik Fredäng, Elias Holmström, Per Lind, 23 mars 28

2 Omslagsbild: Wireframerepresentation av helikoptermodell (Bell 47)

3 Skrivs sist... Sammanfattning

4 INNEHÅLL INNEHÅLL Innehåll 1 Inledning Bakgrund Syfte Metod och källor Struktur Avgränsningar Bakgrundsbeskrivning 2 3 Definitioner och förutsättningar Helikoptern Helikopterns delar och deras funktioner Specifikationer Koordinatsystem och basbyten Val av koordinatsystem Rotation och translation Lokala koordinatsystem Användarinput Fysikaliska modeller Helikopterns motorer Tröghetsmoment Tröghetsmoment för huvudrotorn Tröghetsmoment för helikopterkroppen Tyngdkraft Huvudrotorns roll Lyftkraft Translationsrörelse Rotationsrörelse Vridmoment för huvudrotor och helikopter Vind och luftmotstånd Vind Luftmotstånd för translationsrörelse Luftmotstånd för rotationsrörelse Stjärtrotorns roll Stjärtrotorns motverkande vridmoment Reglering av stjärtrotorns vinkelhastighet Rotation Translation Implementation Numerisk metod Grafisk animation Modellering Animering Kollisionshantering Ljud Körning

5 INNEHÅLL INNEHÅLL 6 Resultat och analys Resultat Analys och slutsatser Avslutande diskussion 22 Referenser 23

6 TABELLER FIGURER Tabeller 1 Data för Bell Figurer 1 Styrsignalens indirekta inverkan på lyftkraften Helikopterns hastighet vid fritt fall Helikopterns vinkelhastighet i horisontalplanet Styrsignalens inverkan på stjärtrotorns genererade vridmoment Vindens variation och inverkan Skärmdump från applikationen; helikoptern lyfter Skärmdump från applikationen; helikoptern flyger

7 1 INLEDNING 1 Inledning 1.1 Bakgrund Denna rapport behandlar ett projekt i kursen TNM85 Modelleringsprojekt, Linköpings universitet, Campus Norrköping. Rapporten är del av examinationsmomentet av projektet. 1.2 Syfte Syftet med projektet är att skapa en grafisk animering av ett valfritt fysiskt system. Det fysiska system som kommer behandlas i denna rapport är en helikopter. Syftet är att undersöka hur en helikopter rör sig genom luften, hur huvudrotor och stjärtrotor styr helikopterns rörelser. 1.3 Metod och källor Den grafiska simuleringen sker i Java 3D med modeller skapade i 3ds Max. För att få en uppfattning om den fysikaliska modellen rådfrågades Ulf Sannemo och handledare Anna Lombardi. Information hämtades även från tekniska rapporter inom aerodynamik och källor på Internet. 1.4 Struktur Först i projektet samlades nödvändig information in för att kunna ta fram fysikaliska ekvationer för systemet och för att kunna gå vidare i arbetet. Implementeringen kom tidigt i projektet för att snabbt se att ekvationer som tagits fram fungerade. Senare när fysiken var implementerad lades vikt på de grafiska modellerna. Förbättringar av systemet har lagts till efter tester som förflutit under hela projektets gång. 1.5 Avgränsningar Vår modell har fokus på hur en helikopter rör sig i luften, och vilka krafter som ger upphov till rörelsen. Bakomliggande mekanik i helikoptern modelleras till den detaljgrad som krävs för modellens helhet. Exkluderat: Stall, detaljerad mekanik... 1

8 2 BAKGRUNDSBESKRIVNING 2 Bakgrundsbeskrivning Som fysiskt system valdes en helikopter av modellen Bell 47. Detta då en helikopter är ett intressant och utmanande system att studera. Det finns mycket som kan tas med i en sådan modell då det är många krafter som verkar på helikoptern när den rör sig genom luften. 2

9 3 DEFINITIONER OCH FÖRUTSÄTTNINGAR 3 Definitioner och förutsättningar Där ej annat anges gäller SI-enheter för samtliga storheter. 3.1 Helikoptern Helikopterns delar och deras funktioner Kropp, huvudrotor, stjärtrotor Specifikationer Vi modellerar vår helikopter med utgångspunkt i helikoptermodellen Bell 47. Tabell 1: Data för Bell 47 Parameter Värde Enhet Helikopterns tomvikt [1] 121 kg Helikopterns maximala lyftvikt [1] 2722 kg Motorns effekt [2] 813 hk Huvudrotorns maximala vinkelhastighet [1] 413 RPM Huvudrotorbladens längd [3] 5.33 m Huvudrotorbladens bredd [3].27 m Stjärtrotorbladens längd [3].825 m Stjärtrotorbladens bredd [3].15 m 3.2 Koordinatsystem och basbyten Val av koordinatsystem Samtliga koordinatsystem är högerorienterade, kartesiska koordinatsystem, med vänster i positiv x-riktning, uppåt i positiv y-riktning och framåt i positiv z-riktning som standard Rotation och translation Kontinuerligt uppdaterande, separata rotations- och translationsmatriser Lokala koordinatsystem Basbyten (endast rotation). Fyra koordinatsystem; globalt (w), helikopter (h), huvudrotor (r), stjärtrotor (s). 3x3-transformationsmatriser, som beskriver rotation: A w, A h, A r, A s Positionsvektor: p = p x p y p z 3

10 3.3 Användarinput 3 DEFINITIONER OCH FÖRUTSÄTTNINGAR 3.3 Användarinput Användarens input når systemet översatt till fyra parametrar, 1 betyder fullt utslag, betyder inget utslag och -1 betyder fullt negativt utslag: fwd [ 1, 1] sdw [ 1, 1] upd [, 1] trn [ 1, 1] fwd är styrsignal för huvudrotorns lutning framåt och bakåt, sdw är styrsignal för huvudrotorns lutning höger och vänster, upd är huvudrotorns drivande motors styrsignal, och trn är påverkar stjärtrotorns motors styrsignal. 4

11 4 FYSIKALISKA MODELLER 4 Fysikaliska modeller 4.1 Helikopterns motorer Eftersom vi i vår modellering har fokus på helikopterns rörelser i luften och de krafter som verkar på den, snarare än att i detalj modellera helikopterns mekanik, beslutade vi oss att göra förenklingen att modellera samtliga motorer i helikoptern som enkla servomotorer med sluten överföringsfunktion på formen K är motorns förstärkning, och τ är motorns tidkonstant. 4.2 Tröghetsmoment G(s) = K τ s + 1, Vi valde att lagra tröghetsmoment som matriser, med tröghetsmomenten för rotation kring de olika axlarna på diagonalen, för att enkelt kunna gå mellan vridmoment och vinkelacceleration [4]: M är vridmomentsvektorn, I är tröghetsmatrisen, och α är vinkelaccelerationsvektorn Tröghetsmoment för huvudrotorn M = I α α = I 1 M, (1) I x I = I y, I z För att beräkna huvudrotorns tröghetsmoment approximerade vi den med två korslagda, oändligt tunna homogena stänger med längd 1.66 m (dubbla rotorbladslängden) [5]: I huvudrotory = 2 3 m huvudrotor r 2 huvudrotor (2) m huvudrotor är huvudrotorns massa (estimerad till 25 kg), och r huvudrotor är huvudrotorbladens längd Tröghetsmoment för helikopterkroppen Helikoptern approximerade vi med en liggande cylinder med höjd 6 m och radie 1 m, och erhöll följande uttryck för dess tröhetsmoment [5]: I helikopterx = (m body (3 r 2 + h 2 ))/12 I helikoptery = (m body (3 r 2 + h 2 ))/12 I helikopterz = (m body r 2 )/2 m body är helikopterns massa, med huvudrotorns massa borträknad, h är den approximerande cylinderns höjd, och r är den approximerande cylinderns radie. (3) 5

12 4.3 Tyngdkraft 4 FYSIKALISKA MODELLER 4.3 Tyngdkraft Tyngdaccelerationen verkar i rät global y-led (konstant, förenkling): g w = g, (4) g = 9.82m/s 2 Minustecknet indikerar att tyngdaccelerationen verkar nedåt. Den tyngdkraft som verkar på helikoptern beräknas: F Gw är tyngdkraftsvektorn i globala koordinater, m helikopter är helikopterns totala massa, inklusive rotorer, och g w är tyngdaccelerationen. 4.4 Huvudrotorns roll Lyftkraft F Gw = m helikopter g w, (5) Den lyftkraft huvudrotorn genererar beror dels på dess vinkelhastighet, dels på rotorbladens area och form. Vi erhöll följande formel för att beräkning av helikopterns lyftkraft [6]: F L = C L c ρ ω 2 r3 3, (6) F L är lyftkraften (skalärvärd), C L är rotorns lyftkoefficient, som beror på rotorbladens form, ρ är luftens densitet, r är rotorbladens längd, c är rotorbladens bredd, och ω är rotorns vinkelhastighet kring rotationsaxeln. Vi gjorde förenklingen att sätta luftdensiteten till ett konstant värde (luftdensiteten vid havsnivå): ρ = ρ = 1.2kg/m 3 Då vi vet helikopterns maximala lyftvikt, kan vi skatta den maximala lyftkraft huvudrotorn kan generera: F Lmax = g maxvikt = kN (7) Huvudrotorns maximala lyftkraft ges vid dess maximala vinkelhastighet (413 RPM, eller 43 rad/s). Genom att nyttja detta kan lyftkoefficienten (C L ) skattas: C L = 3 F Lmax c ρ ω 2 max r 3 (8) För senare beräkningar behövs vektorer som beskriver lyftkraftens riktning och storlek, både i helikopteroch världskoordinater: F Lh = A 1 r F L, (9) F Lw = A 1 h F Lh (1) 6

13 4.4 Huvudrotorns roll 4 FYSIKALISKA MODELLER Translationsrörelse Genom att vinkla huvudrotorn kan lyftkraften riktas, och med ge upphov till acceleration framåt, bakåt och i sidled [7]. För detta brukas den globala lyftkraftsvektorn, F Lw. Vi skapade denna vinkling med hjälp av två servomotorer med förstärkning 5 (maximal vinkling i grader) och tidkonstant.1 s; en för vinkling framåt och bakåt (styrsignal fwd) och en för vinkling höger och vänster (styrsignal sdw) Rotationsrörelse Vinklingen av lyftkraften kommer även ge upphov till en vridande effekt (pitch och roll), i och med att lyftkraftens angreppspunkt inte är densamma som helikopterns masscentrum; vi satte dess angreppspunkt till huvudrotorns origo. Det vridmoment den riktade lyftkraften ger upphov till kan beräknas på följande sätt [5]: M Lh = r L F Lh, (11) M Lh är vridmomentsvektorn i helikopterns koordinatsystem, F Lh är lyftkraftsvektorn i helikopterns koordinatsystem, och r L är positionsvektorn från helikopterns masscentrum till lyftkraftens angreppspunkt Vridmoment för huvudrotor och helikopter Helikopterns huvudrotor, som genererar lyftkraften, kommer att drivas av ett vridmoment (M huvudrotor ) från helikoptern (dess motor). Enligt Newtons tredje lag kommer då huvudrotorn verka på helikoptern med ett lika stort, men motriktat, vridmoment (M helikopter ) [4]: M helikopter = M huvudrotor (12) Vridmoment till huvudrotorn ger upphov till huvudrotorns vinkelacceleration kring rotationsaxeln: α huvudrotor = 1 I huvudrotory M huvudrotor (13) För senare beräkningar bildar vi en vektor som beskriver helikopterns vridmoment. Motorns rotationsaxel är helikopterns y-axel, och vektorn bildas som följer: M helikopter = M helikopter (14) För att modellera den drivande motorn behövde vi en uppfattning om hur stort vridmoment den kan generera. Då vi känner till den högsta vinkelhastigheten (413 RPM) och effekten (813 hk), kan vi skatta detta vridmoment [8]: M max är vridmomentet, P är effekten (i hk), och R är vinkelhastigheten (i RPM). M max = 5252 P R, (15) 7

14 4.5 Vind och luftmotstånd 4 FYSIKALISKA MODELLER Detta ger M max 13 Nm. Vi beslutade att använda en servomotor med förstärkning 1 4 (maximalt vridmoment i Nm) och tidkonstant 5 s, vi baserade skattningen av tidkonstanten på egna observationer. Styrsignalen för denna motor är upd. Motorns mekaniska friktion Vind och luftmotstånd Vind Vind, vindvektor Luftmotstånd för translationsrörelse Den friktionskraft luftmotståndet ger upphov till valde vi att modellera enligt följande formel [9]: F Dw = 1 2 ρ A C D v w 2 ˆv w, (16) F Dw är friktionskraften, ρ är luftens densitet, A är tvärsnittsarean [?], C D är friktionskoefficienten, v w är hastighetsvektorn, och ˆv w är en enhetsvektor som anger hastighetens riktning Luftmotstånd för rotationsrörelse Luftmotståndet kommer även ha en inbromsande effekt på helikopterns rotationshastighet. 4.6 Stjärtrotorns roll Stjärtrotorns motverkande vridmoment Eftersom helikopterns tröghetsmoment är betydligt större än huvudrotorns, får huvudrotorn en större vinkelacceleration. Den vinkelacceleration som uppstår i helikoptern kan dock inte försummas, utan måste motverkas med hjälp av stjärtrotorn [7]. För att motverka ett i helikoptern givet vridmoment måste stjärtrotorn rotera med en viss vinkelhastighet. Stjärtrotorn kommer då generera en kraft, som vi valde att beskriva på samma form som huvudrotorns lyftkraft: F S är lyftkraften (skalärvärd), C S är rotorns motsvarighet till lyftkoefficient, ρ är luftens densitet, r är rotorbladens längd, c är rotorbladens bredd, och ω är rotorns vinkelhastighet kring rotationsaxeln. F S = C S c ρ ω 2 r3 3, (17) 8

15 4.6 Stjärtrotorns roll 4 FYSIKALISKA MODELLER Exakt vilket värde vi väljer på stjärtrotorns motsvarighet till lyftkoefficient (C S ) spelar inte så stor roll för stjärtrotorns funktionalitet; samma vridmoment kan genereras, C S avgör endast vilken vinkelhastighet som krävs av stjärtrotorn för att ge upphov till ett visst vridmoment. Typiskt förhållande mellan huvudoch stjärtrotors vinkelhastigheter är att stjärtrotorn roterar med tre till sex gånger huvudrotorns vinkelhastighet [1]. Med detta intervall som utgångspunkt valde vi ett värde på C S som resulterade i att kvoten mellan huvudrotorns och stjärtrotorns vinkelhastigheter att vid full drift hamnade på 3.4: C S = 2. Den kraft som genereras av stjärtrotorn kommer som i sin tur kommer ge upphov till ett vridande moment, i och med att den inte verkar på masscentrum, och beräknas utifrån den verkande kraften och hävarmen (avstånd från kraftens angreppspunkt till masscentrum). Vi valde att beskriva detta vridmoment i endast en dimension (kring y-axeln), vilket vi ansåg var en rimlig förenkling: M S = F S r S, (18) M S är vridmomentet, F S är den verkande kraften, och r S är hävarmen; avståndet från kraftens angreppspunkt till masscentrum. Naturligt följer, likt vid lyftkraftsberäkningen, att även här genereras en skalärvärd kraft. Vi förenklar även vridmomentet till en dimension, och bildar sedan en vektor som beskriver vridmomentet i helikopterns koordinatsystem: M Sh = A 1 s M S (19) Då stjärtrotorn endast roterar kring sin lokala x-axel gäller: M S M Sh = (2) Reglering av stjärtrotorns vinkelhastighet I praktiken drivs en helikopters bägge rotorer egentligen av en och samma motor, och utväxlingen till de olika rotorerna regleras av en eller flera växellådor [1]. Vi valde dock att modellera detta som två separata motorer, med motiveringen att växellådesystemet var för invecklat för vår modell. För att uppnå reglering av stjärtrotorns vinkelhastighet som är tillräckligt snabb för vridmomentskompensation och manövrering, valde vi att modellera stjärtrotorns drivande motor som en servomotor med förstärkning 1 (vinkelhastighet) och tidkonstant 1 ms, och det vridmoment som uppstår i helikoptern på grund av stjärtrotorns drift ansåg vi försumbart i vår modell. För att bilda denna motors styrsignal, behöver vi veta vilken kraft den ska generera, vilket vi baserar på vilket vridmoment vi vill åstadkomma. Det vridmoment vi vill motverka är känt (M helikopter ), alltså gäller följande för enbart kompensation: M in = M helikopter = M huvudrotor, (21) M in är det vridmoment vi vill att stjärtrotorn ska ge upphov till, M helikopter är vridmomentet i helikoptern, som vi vill motverka, och M huvudrotor är vridmomentet i huvudrotorn. 9

16 4.7 Rotation 4 FYSIKALISKA MODELLER Dock vill vi kunna få det genererade vridmomentet att avvika något från detta riktvärde; svängning (yaw) sker genom att stjärtrotorns vinkelhastighet (och med det vridmoment den ger upphov till) regleras, så den avviker något från den kompenserande vinkelhastigheten; vill man svänga höger ökar man vinkelhastigheten något, och på liknande sätt minskar man vinkelhastigheten om man vill svänga vänster. Detta löste vi genom att addera ett bidrag till det önskade vridmomentet, och med få det att avvika upp till 3 Nm från det rena kompensationsvärdet: M in = M huvudrotor + trn 3 (22) Stjärtrotorns rotation sker dock endast i en riktning, och för låter vi M in endast anta positiva värden (eller noll). Detta får till följd att ett vridmoment i helikoptern från huvudrotorns drift krävs för att helikoptern ska kunna svänga höger. Den styrsignal vi ger till stjärtrotorns motor är den önskade vinkelhastigheten, vilken beräknas utifrån stjärtrotorns kraftekvationer: 4.7 Rotation F in = M in /r S, (23) ω in = 3 F in r 3 ρ c C S (24) Genom att nyttja våra modeller för vridmoment och tröghetsmoment kan vi beräkna vilka vinkelaccelerationer de vridande momenten ger upphov till i helikoptern. Först summerar vi samtliga bidrag till helikopterns totala vridmoment: M totalh = M helikopter + M Lh + M Sh, (25) M totalh är det totala vridmomentet som verkar på helikoptern, M helikopter är vridmomentsbidraget från huvudrotordriften, M Lh är vridmomentet som är resultatet av den riktade lyftkraften, och M Sh är det vridmoment stjärtrotorn ger upphov till. Helikopterns vinkelacceleration, i det egna koordinatsystemet, blir: α h = I 1 helikopter M totalh (26) Sambandet mellan vinkelposition, vinkelhastighet och vinkelacceleration är som följer [4]: r h är vinkelpositionsvektorn, ω h är vinkelhastighetsvektorn, och α h är vinkelaccelerationsvektorn. 4.8 Translation r h = ω h = α h (27) Likt dess vinkelacceleration, kan även helikopterns acceleration beräknas. Först beräknas den totala kraften som verkar på helikoptern: F totalw = F Lw + F Gw + F Dw, (28) 1

17 4.8 Translation 4 FYSIKALISKA MODELLER F totalw är den totala kraften som verkar på helikoptern, F Lw är lyftkraften, F Gw är tyngdkraften, och F Dw är friktionskraften från luftmotståndet. Helikopterns acceleration, i det globala koordinatsystemet, blir: a w = Sambandet mellan position, hastighet och acceleration är som följer [4]: p w är positionsvektorn, v w är hastighetsvektorn, och a w är accelerationsvektorn. 1 m helikopter F totalw (29) p w = v w = a w (3) 11

18 5 IMPLEMENTATION 5 Implementation Modellen implementerades i Java 3D. Målet i simuleringen är att förflytta sig från en helikopterplatta till en annan. En grön pil visar riktning till den andra helikopterplattan. Helikoptern kommer att ha en begränsad mängd bensin i tanken så att tiden som helikoptern kan hållas luftburen blir begränsad. Villkor för lyckad landning? 5.1 Numerisk metod Som numerisk metod valdes Eulers metod. Integrationssteget baserades på modellens snabbaste komponent; stjärtrotorns motor med tidkonstant 1 ms. Genom att undersöka när överföringsfunktionens nämnare blir noll kunde dess pol (egenvärde) bestämmas: λ är polen, och τ är tidkonstanten. τ λ + 1 = λ = 1 τ = 1 = 1, (31).1 Polen nyttjades för att bestämma det maximala integrationssteget för stabil simulering [11]: h är integrationssteget, och λ är polen. 1 + h λ < 1 (32) 1 < 1 + h λ < 1 2 < 1 h < < 1 h < 2 < h < 1 5 =.2, Integrationssteget valdes till.1 s, vilket med god marginal uppfyller stabilitetskravet, eftersom tätare uppdateringar ger mjukare och naturligare rörelser i simuleringen. 5.2 Grafisk animation Modellering Helikoptermodellen skapades i 3ds Max, med utgångspunkt i riktningar för Bell 47, och texturerades med uv-mappning. Samma tillvägagångssätt användes för att framställa elva byggnader, som utgör miljön. Objekten med texturkoordinater lästes in i Java 3D-applikationen och texturer lades till. För att få mer storstadskänsla utan att behöva modellera hela staden lades en tät dimma till. Objekten modellerades i generic units, en unit motsvarar en meter i Java 3D-applikationen. Helikoptern modellerades som tre separata objekt (helikopterkropp, huvud- och stjärtrotor) med egna lokala koordinatsystem. 12

19 5.3 Kollisionshantering 5 IMPLEMENTATION Animering 5.3 Kollisionshantering Kollisionsdetektion ingick ej i den ursprungliga modellen, men en enkel metod var önskvärd i tillämpningen. Genom att skapa en linje genom helikopterns origo, parallell med den globala y-axeln, kunde terrängens högsta punkt under helikoptern detekteras som den första skärningen med linjen. Befinner sig helikopterns origo under denna punkt registreras kollision. Vid lätt kollision med helikopterplatta studsar helikoptern (elastisk stöt med elasticitetskoefficient.2), och vid kollision med byggnad startas simuleringen om. 5.4 Ljud För att ge ökad känsla i simuleringen lades ljud till för helikoptern. Pitchen för huvudrotorns ljud beror av huvudrotorns vinkelhastighet och är indelad i tolv nivåer. Förutom huvudrotorns ljud är även ett kontinuerligt motorljud inlagt. 5.5 Körning För att starta simuleringen, kompilera och kör filen GUI.java i huvudkatalogen (kräver Java 3D eller senare). 13

20 6 RESULTAT OCH ANALYS 6 Resultat och analys 6.1 Resultat x 1 4 Lyftkraft Vridmoment [Nm] Kraft [N] Vinkelhastiget [rad/s] Tid [s] Huvudrotorns vinkelhastighet Styrsignal Tid [s] Drivande motorns vridmoment Tid [s] Styrsignal Tid [s] Figur 1: Styrsignalens indirekta inverkan på lyftkraften Styrsignalen styr motorns vridmoment, som ger upphov till en vinkelacceleration i huvudrotorn. Lyftkraften ökar då huvudrotorns vinkelhastighet ökar (se figur 1, sida 14). 14

21 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Hastighet [m] Kraft [N] Hastighet nedåt vid fritt fall Tid [s] x 1 4 Luftmotstånd och tyngdkraft (absolutbelopp) 2 1 Luftmotstånd Tyngdkraft Tid [s] Figur 2: Helikopterns hastighet vid fritt fall Hastigheten når ett gränsvärde (65 m/s) då luftmotståndet tar ut tyngdkraften (se figur 2, sida 15). 15

22 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Vridmoment [Nm] Vinkelhastighet [rad/s] Vinkelhastighet vid rotation i horisontalplanet Tid [s] Bromsande vridmoment från luftmotståndet Tid [s] Figur 3: Helikopterns vinkelhastighet i horisontalplanet Helikopterns vinkelhastighet i horisontalplanet vid maximal svängning åt vänster med hjälp av stjärtrotorn. Vinkelhastigheten når ett gränsvärde (21 rad/s) då luftmotståndets bromsande vridmoment når 3 Nm, vilket motsvarar det resulterande vridmoment som stjärtrotorn ger upphov till (se figur 3, sida 16). 16

23 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Vridmoment för huvudrotor och vridmoment från stjärtrotor (absolutbelopp) Vridmoment [Nm] 1 5 Vridmoment från stjärtrotor Vridmoment för huvudrotor Tid [s] 1 Styrsignal Styrsignal Tid [s] Figur 4: Styrsignalens inverkan på stjärtrotorns genererade vridmoment Vridmomentet från stjärtrotorn följer huvudrotorns vridmoment då styrsignalen är noll, men avviker då styrsignalen ändras (se figur 4, sida 17). 17

24 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Position [m] Hastighet [m/s] Hastighet [m/s] 5 Position i vindens riktning Tid [s] Hastighet i vindens riktning Tid [s] Vindens hastighet Tid [s] Figur 5: Vindens variation och inverkan Helikopterns hastighet närmar sig vindens hastighet (se figur 5, sida 18). 18

25 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Figur 6: Skärmdump från applikationen; helikoptern lyfter 19

26 6.1 Resultat 6 RESULTAT OCH ANALYS Figur 7: Skärmdump från applikationen; helikoptern flyger 2

27 6.2 Analys och slutsatser 6 RESULTAT OCH ANALYS 6.2 Analys och slutsatser Vissa parametervärden är skattade, och kan skilja sig nämnvärt från verkligheten, men får man tag på mer precis data kan dessa värden enkelt bytas ut i ekvationerna. Vridmoment för högt? Egentligen är inte huvudrotorn direkt kopplad till motorn, utan drivs via en växellåda. 21

28 7 AVSLUTANDE DISKUSSION 7 Avslutande diskussion Jag är en gnu. 22

29 REFERENSER REFERENSER Referenser [1] Aerospace Technology. Specifications - Bell 47 Seven-Seat Light Helicopter, USA. Website, 27. Access: February 18, 28. [2] Arlanda Helicopter AB. Bell 47 Superior. Website, N/A. arlandahelicopter.se/flotta-bell47.html. Access: February 23, 28. [3] Bell Helicopter. Bell 47 Specifications. Website, 26. com/en/aircraft/commercial/pdf/47_26_jan_web.pdf. Access: February 18, 28. [4] D. Halliday, R. Resnick, and J. Walker. Fundamentals of Physics. Wiley, Ort, 25. [5] C. Nordling and J. Österman. Physics Handbook. Studentlitteratur, Lund, 26. [6] J.O. Linton. The physics of flight - i. fixed and rotating wings. Website, 27. The-physics-of-flight-I-Fixed-and-rotating-wings-Linton. Access: February 18, 28. [7] D. Gibbings and Taylor Cox. Principles of Rotary Flight. Website, N/A. com/howflies/prflight.php. Access: February 2, 28. [8] B. Augenstein. Torque and Horsepower - A Primer. Website, N/A. torquehp.html. Access: February 22, 28. [9] Wikipedia. Drag (physics). Website, 28. The-physics-of-flight-I-Fixed-and-rotating-wings-Linton. Access: February 26, 28. [1] D. Gibbings and Taylor Cox. The Tail Rotor. Website, N/A. howflies/tailrot.php. Access: February 2, 25. [11] L. Ljung and T. Glad. Modellbygge och simulering. Studentlitteratur, Lund,

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Uppgifter till KRAFTER

Uppgifter till KRAFTER Uppgifter till KRAFTER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell 1 Innehåll 1 Introduktion till statiken... 3 A-uppgifter...3 2 Krafter... 5 A-uppgifter...5 B-uppgifter...5 3 Moment... 7 A-uppgifter...7 B-uppgifter...9

Läs mer

Kraft, tryck och rörelse

Kraft, tryck och rörelse Kraft, tryck och rörelse Kraft En kraft kan ändra form, fart och rörelseriktning hos föremål. Kraft mäts i Newton, N. Enheten är uppkallad efter fysikern Isaac Newton som levde på 1600- talet. 1 N är ungefär

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell KRATER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell örord Denna skrift har tagits fram för att utgöra kurslitteratur i kursen Mekanik för Industri Design vid Lunds Tekniska Högskola. Skriften börjar med en introduktion

Läs mer

ARBETE VAD ÄR DET? - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

ARBETE VAD ÄR DET? - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. Inledning ARBETE VAD ÄR DET? När vi till vardags pratar om arbete är det en helt annan sak än begreppet arbete i fysikens värld. Ett lönearbete är t ex att arbeta som vaktpost utanför Buckingham Palace.

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Massa och vikt Mass and weight

Massa och vikt Mass and weight Massa och vikt Mass and weight Massa beskriver hur mycket materia e> föremål innehåller, det är ju konstant oavse> vilken tyngdkraeen är. Kapitel 4: Newtons 2:a lag Vikten beror enbart på hur tyngdkraeen

Läs mer

WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING

WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING Energin i vinden som blåser, vattnet som strömmar, eller i solens strålar, måste omvandlas till en mera användbar form innan vi kan använda den. Tyvärr finns

Läs mer

Chalmers. Matematik- och fysikprovet 2009 Fysikdelen

Chalmers. Matematik- och fysikprovet 2009 Fysikdelen Chalmers Teknisk fysik Teknisk matematik Arkitektur och teknik Matematik- och fysikprovet 2009 Fysikdelen Provtid: 2h. Hjälpmedel: inga. På sista sidan finns en lista över fysikaliska konstanter som eventuellt

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2013

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2013 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2013 Tävlingsuppgifter (Finaltävlingen) Riv loss detta blad och lägg det överst tillsammans med de lösta tävlingsuppgifterna i plastmappen. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla.

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1 Newtons lagar 2 1 2 NEWTONS LAGAR 2.1 Inledning Ordet kinetik används ofta för att beteckna läranom kroppars rörelse under inflytande av krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare område där även kinematiken

Läs mer

Svängprestanda & styrning

Svängprestanda & styrning Svängprestanda & styrning Svängprestanda Hur påverkas flygplanet vid sväng? Begrepp: lastfaktor, vingbelastning Styrning av flygplan Flygplanets sex frihetsgrader Styrning av flygplan Olika metoder för

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer

ryckigt Kör 28 PORSCHEMAG

ryckigt Kör 28 PORSCHEMAG PorscheMag17_28-33_Jarlmark.qxp:Layout1 11-03-03 Kör 12.59 Sida 28 ryckigt Vad går all bensin egentligen åt till när vi kör? Dagligen tar ingenjörerna hos Porsche väldigt avancerade beräkningar till hjälp

Läs mer

Smarttelefonen som verktyg för datainsamling

Smarttelefonen som verktyg för datainsamling Smarttelefonen som verktyg för datainsamling Ray Pörn (Yrkeshögskolan Novia) 1 och Mats Braskén (Åbo Akademi) En modern smarttelefon eller surfplatta innehåller ett stort antal sensorer. I de flesta telefoner

Läs mer

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Vindkraftverk. Principen bakom vårt vindkraftverk

Vindkraftverk. Principen bakom vårt vindkraftverk Vindkraftverk Min grupp har gjort ett speciellt vindkraftverk som är inspirerat av det flygande vindkraftverket Buoyant airborne turbine. Det som gör vårt vindkraftverk annorlunda jämfört med andra är

Läs mer

ROCKJET GRUPP A (GY) FRITT FALL

ROCKJET GRUPP A (GY) FRITT FALL GRUPP A (GY) FRITT FALL a) Hur långt är det till horisonten om man är 80 m.ö.h.? Titta på en karta i förväg och försök räkna ut hur långt man borde kunna se åt olika håll när man sitter högst upp. b) Titta

Läs mer

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046)

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Tentamen 23 oktober 2008 em 14:00-18:00 Tid: 4 timmar. Lokal: "Väg och vatten"-salar. Lärare: Nikolce Murgovski, 772 4800 Tentamenssalarna besöks efter ca 1 timme

Läs mer

Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1

Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1 Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1 Vindkraft...1 Inledning...3 Bakgrund...4 Frågeställning...5 Metod...5 Slutsats...7 Felkällor...8 Avslutning...8 2 Inledning Fördjupningsveckan i skolan har som tema,

Läs mer

MEKANIK KOMPENDIUM I FYSIK. Thomas Lundström. Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010

MEKANIK KOMPENDIUM I FYSIK. Thomas Lundström. Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010 Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010 KOMPENDIUM I FYSIK MEKANIK Thomas Lundström Hämtat från The Physics Teacher 1997 The Variety of Learning Physics Innehållsförteckning: 1.

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Gunga med Galileo matematik för hela kroppen

Gunga med Galileo matematik för hela kroppen Ann-Marie Pendrill Gunga med Galileo matematik för hela kroppen På en lekplats eller i en nöjespark finns möjlighet att påtagligt uppleva begrepp från fysik och matematik med den egna kroppen. Med hjälp

Läs mer

Kan hagel bli hur stora som helst?

Kan hagel bli hur stora som helst? Lennart.wern@smhi.se 2010-03-12 Kan hagel bli hur stora som helst? Det dök upp ett ärende här på vår avdelning "Information och Statistik" på SMHI angående ett hagel som skulle ha vägt 600 gram och fallit

Läs mer

Simulering och reglerteknik för kemister

Simulering och reglerteknik för kemister Simulering och reglerteknik för kemister Gå till http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm och gå igenom några av följande exempel. http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm Följ gärna de beskrivningarna

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Konstruktion av en radiostyrd legobil. Digitala projekt av Arbon Vata Leonardo Vukmanovic Amid Bhatia

Konstruktion av en radiostyrd legobil. Digitala projekt av Arbon Vata Leonardo Vukmanovic Amid Bhatia Konstruktion av en radiostyrd legobil Digitala projekt av Arbon Vata Leonardo Vukmanovic Amid Bhatia 1 1.Innehållsförtäckning Rapport Radiostyrd LEGO bil...1 1. Innehållsförtäckning...2 2.0 Inledning...3

Läs mer

Var i en nöjespark får man uppleva de starkaste krafterna? Enligt

Var i en nöjespark får man uppleva de starkaste krafterna? Enligt Ann-Marie Pendrill & David Eager Studsmattematte fritt fall och harmonisk svängningsrörelse Studsmattor finns i många trädgårdar och lekplatser. Under studsandet rör man sig huvudsakligen i vertikalled

Läs mer

Systemskiss. Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24. Status. Platooning 2012-09-24. Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24

Systemskiss. Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24. Status. Platooning 2012-09-24. Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24 2012-09-24 Systemskiss Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24 Status Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24 Systemskiss i 2012-09-24 Projektidentitet, TSRT10, HT2012, Tekniska högskolan

Läs mer

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska

Läs mer

Vibrerande verktyg och maskiner

Vibrerande verktyg och maskiner Korta fakta Vibrerande verktyg och maskiner En skakande upplevelse... Vibrerande verktyg och maskiner Vibrerande verktyg innebär risk för ohälsa. Mest känt är risken för vita fingrar. Även neurologiska

Läs mer

Övningar till datorintroduktion

Övningar till datorintroduktion Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)

Läs mer

Så här är den elektromagnetiska bromsen konstruerad: Inkoppling 230 VD och 400 VY för motorer upp t.o.m. 3 kw W2 U2 V2. Spole Matning 3x230V U1 V1 W1

Så här är den elektromagnetiska bromsen konstruerad: Inkoppling 230 VD och 400 VY för motorer upp t.o.m. 3 kw W2 U2 V2. Spole Matning 3x230V U1 V1 W1 61 TEKNISKA DATA BROMSMOTORER TYP FE Så här är den elektromagnetiska bromsen konstruerad: a) När motorn inkopplas och elektromagneten (8) får spänning, attraheras ankaret (4). Trycket från fjädern (5)

Läs mer

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 1. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 1 2010-10-23 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 1 NOGa Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Systemkonstruktion Z2

Systemkonstruktion Z2 Systemkonstruktion Z2 (Kurs nr: SSY 045) Tentamen 27 Maj 2006 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset. Lärare: Stefan Pettersson, tel 772 5146, 0739907981 Tentamenssalarna besöks ca kl. 10.00 och 11.30. Tentamen

Läs mer

LEGO Energimätare. Att komma igång

LEGO Energimätare. Att komma igång LEGO Energimätare Att komma igång Energimätaren består av två delar: LEGO Energidisplay och LEGO Energilager. Energilagret passar in i botten av energidisplayen. För att montera energilagret låter du det

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Ett par av attraktionerna i Kaninlandet är lite äldre. Låt oss titta närmare på ett par av dem:

Ett par av attraktionerna i Kaninlandet är lite äldre. Låt oss titta närmare på ett par av dem: Liseberg - En matematik, fysik och tekniktur 2015 Ann-Marie.Pendrill@fysik.lu.se, tivoli.fysik.org och physics.gu.se/liseberg/ Några artiklar om fysik i nöjesparker (och lekplatser): http://tivoli.fysik.org/english/articles/

Läs mer

Hype Smart Gyro Competition

Hype Smart Gyro Competition Hype Smart Gyro Competition Version C. 2004 05-04 Hype Smart Gyro Competition är ett mycket modernt gyro som kan växlas mellan två olika lägen Mode:r där mode 1 är en standard inställning där gyrot hela

Läs mer

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Niels Chr. Overgaard 015-09- c N. Chr. Overgaard Förel. 9 015-09- logoonly 1 / 17 Data från 1 vuxna män vikt (kg) längd (m) 58 1,69 83 1,77 80 1,79 77 1,80

Läs mer

Grundläggande energibegrepp

Grundläggande energibegrepp Grundläggande energibegrepp 1 Behov 2 Tillförsel 3 Distribution 4 Vad är energi? Försök att göra en illustration av Energi. Hur skulle den se ut? Kanske solen eller. 5 Vad är energi? Energi används som

Läs mer

Strukturdynamiska simuleringar och PDE

Strukturdynamiska simuleringar och PDE Strukturdynamiska simuleringar och PDE Staffan Häglund 4 november 2014 Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 1 / 16 Struktur Struktur Om FS Dynamics Exempel, vad kan man

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m

λ = T 2 g/(2π) 250/6 40 m Problem. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 7 januari 0 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG. (a) Falltiden fås ur (positiv riktning nedåt) s v 0 t + at t s 0 a s,43 s. 9,8 (b) Välj origo

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

Grundritning Platta på mark

Grundritning Platta på mark Grundritning Platta på mark Inställning för grund i vån. 1 av projektet... 2 Ritningsnummer Grundritning... 4 Startfil för Grundritning... 4 Inställning för Grundritning... 5 Grundritning för golvvärme

Läs mer

FlyBot. Copyright Sagitta Pedagog AB

FlyBot. Copyright Sagitta Pedagog AB FlyBot FlyBot är en flyplansmodell med fyra lysdioder, en tuta och en motor som driver propellern. Här lär du dig att programmera DC-motorns fart och riktning. 41 Robotfakta LED-kort På LED-kortet sitter

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

PLE PLE EGENSKAPER. Dimensioner. Åkrörelse. Hastighet. Acceleration. Driftstemperatur ANVÄNDNINGSOMRÅDEN. PLE max. 6 m fribärande

PLE PLE EGENSKAPER. Dimensioner. Åkrörelse. Hastighet. Acceleration. Driftstemperatur ANVÄNDNINGSOMRÅDEN. PLE max. 6 m fribärande PLE 24 20 16 12 8 4 0 0 PLE användningsområden 67 PLE mått 68 PLE modeller 69 PLE dimensioner 71 PLE delar 72 PLE montering 73 PLE artikelnummer 76 last/(kg/m) invändig höjd/(mm) 118 115 80 50 30 16 7

Läs mer

1. Allmänt vågrörelser mekaniska vågrörelser

1. Allmänt vågrörelser mekaniska vågrörelser 1. Allmänt vågrörelser mekaniska vågrörelser Definition En mekanisk vågrörelse utgörs av en regelbundet upprepad (periodisk) störning i en del av ett medium (material) som fortplantas (utbreder sig) genom

Läs mer

Miniprojektuppgift i TSRT04: Mobiltelefontäckning

Miniprojektuppgift i TSRT04: Mobiltelefontäckning Miniprojektuppgift i TSRT04: Mobiltelefontäckning 19 augusti 2015 1 Uppgift Enligt undersökningen Svenskarna och internet 2013 (Stiftelsen för Internetinfrastruktur) har 99 % av alla svenskar i åldern

Läs mer

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering

Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Effekt från beteende- och fysisk faktor på vibrationsexponering Bakgrund Varje dag utsätts miljontals arbetstagare för kroppsvibrationer (helkroppsoch handarm vibrationer). För att förebygga och minska

Läs mer

TSS till Mulle Meck bygger en bil

TSS till Mulle Meck bygger en bil TSS till Mulle Meck bygger en bil Marie Andersson Elin Nordin Detta är ett teckenmaterial till boken Mulle Meck bygger bil. Vi har valt att teckna substantiv och verb som stöder förståelsen för berättelsen.

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei

Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei Kraft och dynamik 9 Vad innebär Newtons lagar? Hur kan en krockkudde rädda liv? Är det sant att en bil som kör med konstant fart inte påverkas av några krafter? Mekanikens historia Aristoteles och Galilei

Läs mer

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p) Problem Energi. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (p) b) Ge en tydlig förklaring av hur frekvens, period, våglängd och våghastighet hänger

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Bo R. ndersson Fluida och Mekatroniska System, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköping, Sverige E-mail: bo.andersson@liu.se Sammanfattning

Läs mer

KOMPLETTERINGAR TILL FYSIK A FÖR TEKNIK/NATURVETENSKAPLIGA BASÅRET N 2. Juni 2006 NILS ALMQVIST

KOMPLETTERINGAR TILL FYSIK A FÖR TEKNIK/NATURVETENSKAPLIGA BASÅRET N 2. Juni 2006 NILS ALMQVIST KOMPLETTERINGAR TILL YSIK A ÖR TEKNIK/NATURVETENSKAPLIGA BASÅRET Mg N N Juni 006 NILS ALMQVIST INSTITUTIONEN ÖR TILLÄMPAD YSIK, MASKIN- OCH MATERIALTEKNIK örord Detta kompendium och bifogade laborationshandledningar

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Slutrapport av projektet moment och varvtalsstyrning av vindkraftverk

Slutrapport av projektet moment och varvtalsstyrning av vindkraftverk Slutrapport av projektet moment och varvtalsstyrning av vindkraftverk Torbjörn Thiringer Juli 2005 STEM projektnummer: 21450-1 STEM diarienummer: 5210-2003-03864 Institutionen för Energi och Miljö, Chalmers

Läs mer

Flervariabel reglering av tanksystem

Flervariabel reglering av tanksystem Flervariabel reglering av tanksystem Datorövningar i Reglerteori, TSRT09 Denna version: oktober 2008 1 Inledning Målet med detta dokument är att ge möjligheter att studera olika aspekter på flervariabla

Läs mer

Hjälpmedel: Typgodkänd räknare, Physics Handbook, Mathematics Handbook.

Hjälpmedel: Typgodkänd räknare, Physics Handbook, Mathematics Handbook. CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA 2009-01-13 Teknisk Fysik 14.00-18.00 Sal: V Tentamen i Optik för F2 (FFY091) Lärare: Bengt-Erik Mellander, tel. 772 3340 Hjälpmedel: Typgodkänd räknare, Physics Handbook, Mathematics

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

1. Förklara på vilket sätt energin från solen är nödvändig för alla levande djur och växter.

1. Förklara på vilket sätt energin från solen är nödvändig för alla levande djur och växter. FACIT Instuderingsfrågor 1 Energi sid. 144-149 1. Förklara på vilket sätt energin från solen är nödvändig för alla levande djur och växter. Utan solen skulle det bli flera hundra minusgrader kallt på jorden

Läs mer

Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling, TeFyMa eller någon annan liknande fysik- eller matematikformelsamling, valfri miniräknare, linjal, passare

Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling, TeFyMa eller någon annan liknande fysik- eller matematikformelsamling, valfri miniräknare, linjal, passare Mekaniska konstruktioner Provmoment: Tentamen Ladokkod: 41I30M Tentamen ges för: Af-ma3, Htep2 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 12 januari

Läs mer

Varje laborant ska vid laborationens början lämna renskrivna lösningar till handledaren för kontroll.

Varje laborant ska vid laborationens början lämna renskrivna lösningar till handledaren för kontroll. Strömning Förberedelser Läs i "Fysik i vätskor och gaser" om strömmande gaser och vätskor (sid 141-160). Titta därefter genom utförandedelen på laborationen så att du vet vilka moment som ingår. Om du

Läs mer

SwemaMan 7 Bruksanvisning vers 1.00 MB20140521

SwemaMan 7 Bruksanvisning vers 1.00 MB20140521 SwemaMan 7 Bruksanvisning vers 1.00 MB20140521 OBS! Innan du börjar mäta med ditt nya instrument läs kapitel 6. Grundinställningar (Set). Vid leverans är k2-faktor aktiv. SWEMA AB Pepparvägen 27 123 56

Läs mer

FYSIK ÅK 9 AKUSTIK OCH OPTIK. Fysik - Måldokument Lena Folkebrant

FYSIK ÅK 9 AKUSTIK OCH OPTIK. Fysik - Måldokument Lena Folkebrant Fysik - Måldokument Lena Folkebrant FYSIK ÅK 9 AKUSTIK OCH OPTIK Ljud är egentligen tryckförändringar i något material. För att ett ljud ska uppstå måste något svänga eller vibrera. När en gitarrsträng

Läs mer

Massa, densitet och hastighet

Massa, densitet och hastighet Detta är en något omarbetad verion av Studiehandledningen om använde i tryckta kuren på SSVN. Sidhänviningar hänför ig till Quanta A 000, ISBN 91-7-60500-0 Där det har varit möjligt har motvarande aker

Läs mer

8. Verifiera och utvärdera konceptet

8. Verifiera och utvärdera konceptet 8. Verifiera och utvärdera konceptet 8.1 Prototyptillverkning Projektgruppen har valt att göra en digitalt tillverkad prototyp. Diskussion har förts med Håkan Almius om möjligheterna att tillverka en fysisk

Läs mer

www.eurocodesoftware.se

www.eurocodesoftware.se www.eurocodesoftware.se caeec220 Pelare betong Program för dimensionering av betongtvärsnitt belastade med moment och normalkraft. Resultat är drag-, tryckarmering och effektiv höjd. Användarmanual Rev

Läs mer

Datorlaboration 1. Enkla hydraulsystem

Datorlaboration 1. Enkla hydraulsystem Datorlaboration 1 Enkla hydraulsystem Grundläggande hydrauliska system och dess ekvationer Datorlaboration i kursen TMMI13 Hydraulik och Pneumatik för Mi2 Namn:.. Namn:.. Personnummer:.. Personnummer:..

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

VINDENERGI Dan Inborr Mathias Björk Högskolen I Östfold, Elektro Energiteknikk, 11.3.2010

VINDENERGI Dan Inborr Mathias Björk Högskolen I Östfold, Elektro Energiteknikk, 11.3.2010 VINDENERGI Dan Inborr Mathias Björk Högskolen I Östfold, Elektro Energiteknikk, 11.3.2010 SAMMANFATTNING Vinden är en förnybar energikälla, så den tar aldrig slut. För att få ett lönsamt (ekonomiskt) vindkraftverk

Läs mer

KNÄKONTROLL FÖREBYGG SKADOR - PRESTERA BÄTTRE HANDBOLL

KNÄKONTROLL FÖREBYGG SKADOR - PRESTERA BÄTTRE HANDBOLL KNÄKONTROLL FÖREBYGG SKADOR - PRESTERA BÄTTRE Denna cd-romskiva vänder sig främst till er som är tränare inom barn- och ungdomsidrotten. Vår förhoppning är att ni använder er av materialet i er träning

Läs mer

Mål 2020: 20% av Mitsubishi Motors produktion ska vara elbilar

Mål 2020: 20% av Mitsubishi Motors produktion ska vara elbilar Anders Erngren PR- och produktchef Mitsubishi Motors: Miljövision 2020 Utveckla elbilstekniken n Mål 2020: 20% av Mitsubishi Motors produktion ska vara elbilar (300 000 bilar) Reducera miljöpåverkan under

Läs mer

Projekt 3: Diskret fouriertransform

Projekt 3: Diskret fouriertransform Projekt 3: Diskret fouriertransform Diskreta fouriertransformer har stor praktisk användning inom en mängd olika områden, från analys av mätdata till behandling av digital information som ljud och bildfiler.

Läs mer

Emissioner från Volvos lastbilar (Mk1 dieselbränsle)

Emissioner från Volvos lastbilar (Mk1 dieselbränsle) Volvo Lastvagnar AB Meddelande 1 (6) För att underlätta beräkning av emissioner från transporter har Volvo Lastvagnar sammanställt emissionsfaktorer per liter förbrukat bränsle. Sammanställningen avser

Läs mer

4-SERIE BIOGAS. Biogas för en renare värld. www.ravo4.com

4-SERIE BIOGAS. Biogas för en renare värld. www.ravo4.com 4-SERIE BIOGAS Biogas för en renare värld www.ravo4.com www.ravo4.com RAVO 4-Serie, biogas Tillverkad för en renare sopning. Världens första sopmaskin med biogasmotor. Biogas: Ert rena val! Fler och fler

Läs mer

The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition

The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition Tartu, Estonia Tuesday, July 17 th 2012 Skrivtiden är 5 timmar, med 3 uppgifter om totalt 30 poäng. Du får inte öppna kuvertet med uppgiftstexterna

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Slutrapport för Internetfonden

Slutrapport för Internetfonden Slutrapport för Internetfonden Webbprogrammering i matematik och fysikundervisning Mikael Tylmad mikael@roboro.se Fredrik Atmer fredrik.atmer@gmail.com Ella Kai-Larsen e@k-l.se 10 april 2014 http://www.profyma.se/

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer