Statistisk Fysik. Jens Fjelstad. 23 oktober 2007

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Statistisk Fysik. Jens Fjelstad. 23 oktober 2007"

Transkript

1 Statistisk Fysik Jens Fjelstad 23 oktober 2007 Dessa anteckningar är ämnade att användas som kurslitteratur för kursdelen statistisk fysik (motsvarande 2p, 3hp) i kursen Termodynamik och statistisk fysik på Karlstads Universitet. Innehållet är anpassat för strukturen på fysikprogrammet som den ser ut under höstterminen 07, dvs kursen läses parallellt med analys B1. Innehåll 1 Introduktion: kinetisk gasteori för ideal gas Inledning Kinetisk teori för klassisk ideal gas Sannolikhet och statistik Regler för sannolikhet Medelvärden Bernoulliprocesser och binomialfördelningen Normalfördelning (Gaussfördelning) System med många frihetsgrader: Ensembler Från termodynamik till statistisk fysik Mikrokanonisk ensemble Kanonisk ensemble Stor kanonisk ensemble Tillämpningar på system av fria partiklar Klassiska partikelsystem Einsteinmodellen Oskiljbara partiklar, Bosoner och Fermioner Ideala kvantgaser A Matematiskt appendix 72 A.1 Gaussisk integral A.2 Stirlings approximation

2 1 Introduktion: kinetisk gasteori för ideal gas 1.1 Inledning Statistisk fysik handlar om fysiken hos system med många frihetsgrader, exempelvis makroskopiska mängder materia. Skillnaden mot den (klassiskt) termodynamiska beskrivningen är att vi i statistisk fysik utgår från de mikroskopiska frihetsgraderna (ex: individuella molekyler i en gas eller vätska) och deras egenskaper för att beskriva makroskopiska egenskaper som tryck, temperatur etc. Makroskpiska system har typiskt mikroskopiska frihetsgrader, och en exakt beskrivning blir därför hopplös. Istället används metoder från matematisk statistisk. Vi använder vår oförmåga att urskilja detaljerna i ett makroskopiskt system till att ersätta detaljerad information om systemets exakta konfiguration med en sannolikhetsfördelning. Liksom i termodynamik pratar vi om statistisk fysik för system i jämvikt, och för system ur jämvikt. I den här texten behandlas endast system i jämvikt. Det finns även olika angreppspunkter för en mikroskopisk behandling, med olika fördelar och nackdelar. En metod som tar hänsyn till många mikroskopiska detaljer, och är kapabel att även beskriva system ur jämvikt, är s.k. kinetisk teori. Vi studerar i nästa avsnitt den enklaste versionen av kinetisk teori, den för en klassisk ideal gas. Avsikten är delvis att visa hur man med relativt enkla argument delvis kan härleda egenskaperna hos en ideal gas, men också att introducera begrepp och metoder som används i statistisk fysik. Vi fortsätter sedan med att diskutera sannolikhet och statistik något mer detaljerat. Därefter behandlas grunderna till den statistiska fysiken, vi försöker t.ex. motivera varför de egenskaper vi kan beräkna verkligen motsvarar de egenskaper vi använder oss av i klassisk termodynamik. Slutligen använder vi oss av de metoder vi lärt oss för att beskriva termodynamiken hos några enkla system. Mer specifikt behandlas klassisk och kvantmekanisk ideal gas, svartkroppsstrålning, samt värmekapaciteten hos fasta ämnen. 1.2 Kinetisk teori för klassisk ideal gas I kinetisk teori är vi främst intresserade av mångpartikelsystem där individuella partiklar kan röra sig relativt fritt, typiskt gaser, och vi antar därför i resten av avsnittet att vi studerar en gas med ett stort antal molekyler. Grundantagandet i kinetisk teori är att all växelverkan sker mellan två molekyler åt gången, dvs vi bortser från simultana kollisioner mellan fler än två molekyler. Ett extremfall av detta har vi om vi antar att molekylerna överhuvudtaget inte kolliderar med varandra. En ideal gas i klassisk termodynamik är en gas som uppfyller tillståndsekvationen PV = NkT (dvs allmäna gaslagen, eller Boyles lag). Konstanten k kallas Boltzmanns konstant (i SIenheter: k = 1, J/K), och N är antalet molekyler i gasen. Vi jämför detta med 2

3 uttrycken Pv = RT och PV = mrt som är alternativa formuleringar av gaslagen, där R är gasens gaskonstant och kan skrivas R = N mk där m är massan hos en enskild gasmolekyl. Denna tillståndsekvation beskriver en gas där De enskilda molekylerna (el. atomerna) är punktformiga partiklar, dvs de tar själva inte upp någon volym. Molekylerna i gasen kolliderar inte med varandra, den enda växelverkan är elastiska, ögonblickliga kollisioner med systemets gränsyta. Molekylernas rörelse beskrivs av klassisk, icke-relativistisk mekanik. Vi skall nu se hur man utifrån dessa antaganden (nästan) kan härleda allmäna gaslagen, betrakta därför en gas med N molekyler i volym V V Låt N N A = 1 mol Vi vet ingenting om hur varje enskild molekyl rör sig i gasen, speciellt känner vi inte hastigheten v hos en enskild molekyl, men antag för ögonblicket att medelvärdet av alla molekylers hastigheter känt, och beteckna detta v (= v ). Vi antar vidare att systemet som sådant inte rör sig, och att molekylerna inte påverkas av några yttre krafter som gravitationskraften eller elektriska eller magnetiska krafter (dvs vi antar att systemet är enkelt kompressibelt). Då finns ingenting i systemet som säger att en riktning i rummet är mer speciell än någon annan (alla riktningar ekvivalenta), och eftersom N är stort är det rimligt att anta v = v x = v y = v z = 0. Uttryckt annorlunda: då N är väldigt stort är det rimligt att anta att för varje molekyl som har hastighet v så finns en annan molekyl som har hastighet v. Däremot gäller 3

4 v 2 0 ( notera v 2 v 2 ). Eftersom alla riktningar är ekvivalenta är det rimligt att anta v 2 x = v2 y = v2 z, dvs v 2 = v 2 x + v2 y + v2 z = 3v2 x. (1.1) Inre energin i en ideal gas Den inre energin i en gas ges av summan av alla individuella molekylers energier, och i en ideal gas är detta bara summan av alla molekylers rörelseenergi. En molekyl med hastigheten v har kinetisk energi E k = 1 2 mv2, och medelvärdet av denna är därför E k = 1 2 mv2 Summerar vi ihop all kinetisk energi i gasen får vi alltså den inre energin: U = NE k = N 1 2 mv2, (1.2) och speciellt drar vi slutsatsen vx 2 = 1 3 v2 = 2 U 3 mn. (1.3) Trycket i en ideal gas Trycket uppstår då molekylerna kolliderar med väggarna Vi betraktar en molekyl som v z v 2 v y v x v 1 studsar mot en vägg placerad någonstans längs x-axeln, sådan att väggen är parallell med (y z)-planet. Innan kollisionen har molekylen hastighetenv 1 = v x i+v y j+v z k, och eftersom kollisionen är elastisk blir hastigheten efter kollisionen v 2 = v x i + v y j + v z k. Molekylen får impulsen p 2 p 1 = 2mv x i under kollisionen, och väggen får därmed impulsen p = 2mv x i 4

5 För att beräkna trycket (dvs kraften per areaenhet) som gasen utverkar på väggen måste vi veta hur många kollisioner som sker per tidsenhet. Antag v y = v z = 0 och alla molekyler har farten v x. Antalet molekyler som träffar en area A under tiden dt ges av hälften (ty hälften rör sig bort från väggen) av alla molekyler som befinner sig inuti en tänkt cylinder med basyta A och längd v x dt. v x A v x dt Eftersom N/V är partikeltätheten i gasen har vi antalet molekyler som träffar tvärsnittsarean A under tiden dt att vara 1 2 Av xdt N V Vad händer om v y, v z godtyckliga? Så länge N är stort är det rimligt att anta att för varje molekyl inuti den tänkta cylindern som rör sig ut ur cylindern innan den träffar tvärsnittsarean, finns en molekyl utanför cylindern som träffar arean. (1.4) v v Antalet är alltså oförändrat (1.4). 5

6 Den totala impulsen som väggen får under tiden dt ges av varje impulsen för varje kollision multiplicerat med antalet kollisioner under tiden dt, dvs dp x = 2mv x 1 2 Av xdt N V. (1.5) Impulslagen i Newtonsk mekanik, dp dt = F, relaterar kraften till tidsderivatan av rörelsemängden, dvs impulsen som överförs per tidsenhet. Om vi förkortar med dt i (1.5) och använder impulslagen ger detta F x = dp x dt = N V mav2 x (1.6) Nu vill vi ta hänsyn till att vi har olika möjliga värden på v x, och eftersom vi inte kan känna till varje enskild molekyls hastighet så är det enda vi kan göra att medelvärdesbilda. Trycket på denna vägg blir därmed Med hjälp av (1.3) v 2 x = 2 3 U mn P = F x A = N V mv2 x. (1.7) kan vi skriva om detta som PV = 2 3 U (1.8) vilket är en tillståndsekvation för vår ideala gas. Om vi accepterar den empiriskt funna ideala gaslagen, PV = NkT, kan vi dra följande slutsatser U = 3 NkT (1.9) 2 E k = 3 kt. (1.10) 2 Kom ihåg att faktorn 3 kommer från att molekylerna kan röra sig i ett tredimensionellt rum. Om vi istället betraktar en ideal gas i en dimension får vi E k = 1 2kT, och i två dimensioner gäller E k = kt. Exempel 1.1 Hastigheten hos molekyler i ideal gas vid rumstemperatur T = 293K. E k = 3 2 kt = 3 2 1, J = 6, J Om gasen är O 2 så är m = 5, kg, och vi får vilket leder till v 2 = 2E kin m 2 6, = 5, m 2 /s 2 = 2, m 2 /s 2 v rms = v 2 = 478m/s Om vi istället postulerar E k = 3 2kT kan vi från (1.8) härleda allmäna gaslagen. Givetvis vill vi hellre härleda medelvärdet av molekylernas kinetiska energi, men för detta behöver vi kunna beräkna v 2. 6

7 Fördelningsfunktioner En hastighets-fördelningsfunktion anger hur många partiklar som har en viss hastighet, eller hastighet i ett visst intervall (jfr sannolikhetstätheten i p-rummet i kvantmekanik). Exempel 1.2 Antag att vi har 10 partiklar, och endast 5 hastigheter är möjliga Medelhastigheten: Hastighet Antal partiklar v 1 = 1m/s 2 v 2 = 2m/s 0 v 3 = 3m/s 5 v 4 = 4m/s 1 v 5 = 5m/s 2 v = 1 10 (2 v v v v v 5 ) = 3, 1m/s = 0,2 v v 2 + 0,5 v 3 + 0,1 v 4 + 0,2 v 5 = p 1 v 1 + p 2 v 2 + p 3 v 3 + p 4 v 4 + p 5 v 5 p 1 är sannolikheten att en partikel har hastigheten v 1, p 2 är sannolikheten att partikeln har hastigheten v 2, etc. Mer allmänt: värden v 1, v 2,..., v N med sannolikheter p 1, p 2,..., p N ger v = N p i v i (1.11) i=1 och på samma sätt eller där f är en godtycklig funktion. N v 2 = p i vi 2 (1.12) i=1 N f(v) = p i f(v i ) (1.13) i=1 7

8 Låt v vara en kontinuerlig variabel med tillåtna värden mellan v 1 och v 2, och p(v)dv sannolikheten att en partikel skall ha hastighet i intervallet [v,v + dv]. Då har vi v = v 2 = f(v) = v2 v 1 v2 v 1 v2 v 1 vp(v)dv v 2 p(v)dv f(v)p(v)dv. Vi måste kräva v2 v 1 p(v)dv = 1, dvs sannolikheten att finna någon hastighet =1. p i och p(v) kallas fördelningsfunktioner, eller sannolikhetsfördelningar Hastighetsfördelningsfunktionen för en ideal gas Det är möjligt ge argument för att hastighetsfördelningen i en ideal gas måste se ut på ett visst sätt. I avsnitt (3.3) visar vi detta istället från grundläggande principer, och här nöjer vi oss med resultatet. För en ideal gas med temperatur T i en dimension är hastigheterna fördelade enligt p(v) = och i tre dimensioner ges hastighetsfördelningen av p(v) = ( m ) 1/2 e mv2 2kT (1.14) 2πkT ( m ) 3/2 e mv2 2kT. (1.15) 2πkT Detta uttryck kallas Maxwell-Boltzmann fördelningen. Om vi använder (1.15) för att beräkna medelvärden får vi v 2 = 3kT/m, vilket leder till E k = 3 2kT och därmed U = 3 2NkT och allmäna gaslagen. Figur 1 visar hur fördelningen för beloppet på hastigheten beror på temperaturen, för partiklar vars hastigheter följer Maxwell-Boltzmann fördelningen. Entropin för en ideal gas Vi har hittills visat hur man via enkla resonemang kan härleda allmäna gaslagen utgående från klassisk mekanik applicerad på ett stort antal fria partiklar. Det krävs inte särskilt mycket mera arbete för att skriva ner ett uttryck för entropin hos en ideal gas, så låt oss göra detta. Vi antar att entropin är en funktion av V, T, och N (eftersom vi studerar totala istället för specifika entropin måste vi ange tre egenskaper istället för två), dvs S S(V,T,N). Vi använder oss dessutom av Gibbs 1:a ekvation 8

9 p( v ) T 1 T 2 > T 1 T 3 > T 2 T 4 > T 3 Figur 1: Sannolikhetsfördelningen för v som följer från Maxwell-Boltzmann fördelningen, plottad för några olika temperaturer. v du = TdS pdv + µdn, och betraktar en isoterm process för slutet system med ideal gas. Att systemet är slutet betyder att N (mängden materia) inte kan ändras. Från uttrycket (1.9) ser vi att U U(T,N), och Gibbs ekvation ger därför 0 = TdS PdV ds = P T dv = NkdV V, där vi i sista steget har använt P V = N kt. Detta gäller för en isoterm process, och om vi integrerar upp detta sluter vi oss till S(V,T,N) = Nk ln V + f(t,n) där "integrationskonstanten"f är en okänd funktion av N och T. Betrakta nu en kvasistatisk adiabatisk process för slutet system ( ds = 0). Gibbs 1:a ekvation ger du = pdv = NkT dv V 3 dt 2 T = dv V V T 3/2 konstant där vi har använt U = 3 2NkT. Detta bestämmer delvis funktionen f, och vi får [ S(V,T,N) = Nk ln V T 3/2] [ + g(n) = k ln (V T 3/2 ) N] + g(n) där g är en okänd funktion av N. 9

10 Vi vet att entropin är extensiv, dvs om vi delar upp volymen i två delar med storlekarna V 1, N 1 respektive V 2, N 2 så skall S(V 1 + V 2,T,N 1 + N 2 ) = S(V 1,T,N 1 ) + S(V 2,T,N 2 ), vilket ställer villkor på funktionen g(n). Ett annat sätt att uttrycka extensiviteten är att säga att om vi håller T och N/V konstant så skall S vara linjär i N, och vi väljer helt enkelt g(n) sådan att detta gäller. Det uppenbara svaret är g(n) = Nk ln N + αnk + β, vilket i en exakt behandling visar sig vara fel. Lösningen är att vi endast får kräva att S är extensiv då N (om vi håller N/V konstant brukar detta kallas den termodynamiska gränsen). I detta fall kan vi ta g(n) = k ln N!, vilket ger det korrekta uttrycket [ ] (V T 3/2 ) N S(V,T,N) = k ln. (1.16) N! Faktorn N! i nämnaren följer inte ur någon klassisk härledning av S, men kommer automatiskt in om vi utgår från en kvantmekanisk beskrivning. V är volymen som en (punktformig) molekyl har att röra sig i, och v rms T 1/2 T 3/2 är volymen i hastighetsrummet som en molekyl kan röra sig i. Följaktligen är (V T 3/2 ) N = Ω volymen i fasrummet 1 för N (punktformiga) molekyler. Uttryckt i dessa termer har vi S = k ln Ω (1.17) vilket, som vi kommer att se, är ett av postulaten som statistisk fysik vilar på. 2 Sannolikhet och statistik 2.1 Regler för sannolikhet Betrakta en process eller operation med flera olika möjliga utfall, exempelvis processen kasta en tärning med de möjliga utfallen,,,, och, eller processen singla slant med möjliga utfall krona och klave. Ett utförande av processen eller operationen kallas ett försök. Mängden av alla möjliga utfall av en given operation kallas utfallsrum. För tärningsexemplet är utfallsrummet W = {,,,,, }, och för myntexemplet ges utfallsrummet av W = {krona,klave}. Vi antar att utfallen är inbördes uteslutande, dvs om vi får utfallet A vid ett försök så utesluter detta utfallet B A vid samma försök. Om antalet utfall är ändligt så är det lämpligt att numrera de möjliga utfallen från 1 till n där n är antalet möjliga utfall, t.ex. kan vi tänka oss utfallsrummet som W = {X 1,X 2,...,X n } 1 Med fasrum menar man vanligtvis rummet som parametriseras av läge och hastighet eller rörelsemängd för en partikel. 10

11 där X i representerar det i : te möjliga utfallet. Till varje utfall associerar vi en sannolikhet P(i) 0 sådan att n P(i) = 1 i=1 P(i) = 0 utfallet X i är ej möjligt P(i) = 1 utfallet vid varje försök är X i. Sannolikheterna P(i), i = 1,... n, antages även uppfylla följande regler: P(i eller j) = P(i) + P(j) P(ej i) = 1 P(i) samt om utfallen X i och X j är oberoende av varandra så gäller vid två successiva försök P(i och j) = P(i)P(j). Det är inte nödvändigt att tolka detta som att vi måste utföra ett försök efter ett annat för att produktregeln skall gälla. Vi kan också tolka successiva som att vi utför ett försök i två identiska processer samtidigt. Exempelvis kan vi kasta två tärningar samtidigt, och sannolikheten att få utfallet på tärning nr. 1 och på tärning nr. 2 är P( )P( ) = = Vi kan betrakta sannolikheterna P(i) som värdena av en reell funktion P : W R på utfallsrummet, denna funktion kallas sannolikhetsfördelning. I verkliga exempel är sannolikhetsfördelningen associerad till en given process alltid ett val som beror på mer eller mindre rimliga antaganden. Det förefaller t.ex. vara ett rimligt antagande att ge alla möjliga utfall av ett kast med en (ideal) tärning, eller kast med ett mynt, lika stor sannolikhet, dvs 1/6 respektive 1/2, men detta är ett antagande och inget som kan bevisas. Vi har ovan antagit att antalet möjliga utfall är ändligt, men detta är givetvis inte nödvändigt. Om antalet utfall är uppräkneligt så gäller allt i samma form som ovan med n =. Om utfallsrummet å andra sidan är en överuppräknelig mängd (vi kallar detta vanligtvis kontinuerligt), så måste vi justera formalismen något 2. Ett exempel på en process med kontinuerligt utfallsrum ges t.ex. av kast med pil mot en piltavla, om vi säger att utfallet av ett försök är avståndet mellan pilen och centrum på tavlan. Utfallsrummet är i detta fall intervallet W = [0, ). För kontinuerliga utfallsrum är sannolikhetsfördelningen fortfarande en (ej nödvändigtvis kontinuerlig) reell funktion 2 För att göra detta strikt matematiskt är det nödvändigt att introducera nya matematiska begrepp; sigmaalgebra, mått och mätbar mängd. Våra exempel kräver inte den formalismen, och vi använder den därför inte. 11

12 f : W R, men vi kräver istället 3 W f(x)dx = 1. Det är viktigt att inse att i det kontinuerliga fallet så är det inte meningsfullt att tolka f(x) som sannolikheten för utfallet x W, utan vi måste istället betrakta sannolikheten för att utfallet skall ligga i en delmängd I W till utfallsrummet, vilket ges av P(I) = f(x)dx. Alternativt (och ekvivalent) kan vi säga att f(x)dx är sannolikheten för ett utfall i det infinitesimala intervallet [x, x + dx] W. En (reell) funktion X : W R på utfallsrummet kallas en stokastisk variabel eller slumpvariabel. I exemplet kast med en tärning har vi ett enkelt exempel på en stokastisk variabel X, nämligen funktionen som ger antalet prickar på tärningen, dvs X( ) = 1, X( ) = 2,...,X( ) = 6. I exemplet med ett mynt kan vi t.ex. definiera en stokastisk variabel via X(krona) = 0, X(klave) = 1. För att ge ett mindre trivialt exempel betraktar vi processen kast med två tärningar. Om vi inte kan särskilja tärningarna (dvs om utfallet (, ) räknas som samma utfall som (, )) så är utfallsrummet för denna process W = {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ), I (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ), (, ),(, ),(, ),(, ),(, )}. Vi kan definiera en slumpvariabel X som för varje utfall ger totala antalet prickar som syns på tärningarna, dvs X(, ) = 8 etc. Exempel 2.1 Betrakta processen kast med två tärningar. Finn sannolikheten P(n) för att den stokastiska variabeln X definierad ovan tar värdet n vid ett försök (dvs sannolikheten att få talet n då vi kastar två tärningar). Om vi kan skilja de två tärningarna åt, och ordningen mellan tärningarna därmed spelar roll, så är sannolikheten för varje par av tärningar = Eftersom ordningen mellan de två tärningarna här inte spelar roll så är sannolikheten att få exempelvis (, ) = 1 18, och detsamma gäller för alla utfall då de två tärningarna inte visar samma antal prickar. Eftersom det bara finns ett möjligt utfall (, ) så är sannolikheten för detta 1 36, och detta gäller för alla 3 Notera att för att kunna integrera över W på detta sätt så måste vi identifiera U med en delmängd av R, eller mer allmänt med en delmängd av R n för något n. I de flesta fall ger processen i fråga ett naturligt sätt att göra denna identifikation, i exemplet med pilkastning kan vi t.ex. ta värdetalet av avståndet i lämpliga enheter, dvs avståndet 30cm ger utfallet 30 R. 12

13 fall då båda tärningarna visar samma antal synliga prickar. Det är endast en tärningskombination som ger n = 2, nämligen (, ), så P(2) = Det är återigen endast en tärningskombination som ger n = 3, men eftersom (, ) = (, ) så har vi P(3) = För n = 4 blir resultatet P(4) = = 1 12, detta eftersom vi har två möjliga utfall med n = 4 nämligen (, ) = (, ), samt (, ). För n = 5 har vi P(5) = svarande mot utfallen (, ) och (, ). P(6) = 36 med utfall (, ), (, ), (, ). P(7) = 1 6 med utfall (, ), (, ), (, ). P(8) = 5 36 med utfall (, ), (, ), (, ). P(9) = svarande mot (, ), (, ). P(10) = 12 svarande mot (, ) och (, ). P(11) = svarande mot utfallet (, ), och slutligen P(12) = 36 med det enda utfallet (, ). Resultatet visas i följande tabell n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 P(n) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 Om vi plottar P(n) som funktion av n får vi följande graf: P n n 2.2 Medelvärden Givet en slumpvariabel X så definierar vi medelvärdet, eller väntevärdet, av X som n X = X(i)P(i). i=1 För en godtycklig funktion f av en stokastisk variabel X så definieras analogt medelvärdet av f som n f(x) = f(x(i))p(i), i=1 13

14 och speciellt har vi det så kallade m:te momentet av X definierat som X m. För variabler som kan ta både positiva och negativa värden är begreppet rms-värde ( root mean square ) användbart: X rms = X 2. Om sannolikhetsfördelningen P(i) har en (och endast en) skarp topp med värdet P max så är det meningsfullt att prata om det mest sannolika värdet X av en stokastisk variabel X. Detta definieras som X i sådant att P(i) = P max. Vi har ovan antagit att utfallsrummet är ändligt, men liksom förut generaliserar uttrycken direkt till fallet då utfallsrummet är oändligt men uppräkneligt om vi sätter n =. Om vi istället har ett kontinuerligt utfallsrum W med en sannolikhetsfördelning p(x), så ges medelvärdet av en stokastisk variabel X : W R som X = X(x)p(x)dx. W Medelvärden uppfyller vissa enkla räkneregler. Antag t.ex. att vi har två funktioner f och g av samma stokastiska variabel X, då gäller f(x) + g(x) = f(x) + g(x). Detta följer direkt ur definitionen av medelvärde. Lika enkelt visas att λf(x) = λf(x) för ett godtyckligt λ R (eller C). Vi kan dock inte dra slutsatsen att medelvärdet av produkten av två funktioner är produkten av medelvärdena, ett enkelt motexempel får vi från kvadraten på en variabel X som bara tar negativa värden. Eftersom X 2 är positivt följer att X 2 > X 2. Exempel 2.2 Låt P(n) vara fördelningen från exempel 2.1. Denna fördelning ger n = 12 n=2 np(n) = (2 + 12) (3 + 11) + (4 + 10) (5 + 9)1 5 + (6 + 8) = 7, dvs medelvärdet av n är 7, något vi hade kunnat gissa oss till eftersom grafen ovan är centrerad och symmetrisk kring 7. Notera att om grafen inte är symmetrisk, så behöver inte heller medelvärdet vara i mitten av variabelns definitionsområde. Vi ser också att n = 7 = n. Givet en stokastisk variabel X är det intressant att ha ett mått på hur bred dess sannolikhetsfördelning är, betrakta därför en ny variabel X = X X. 14

15 Variansen σx 2 av X är definierad enligt σ 2 X = ( X)2 = (X X) 2, (2.1) dvs variansen är medelvärdet av kvadraten på variabelns avvikelse från sitt medelvärde. Ett alternativt uttryck får vi om vi utvecklar kvadraten, och kommer ihåg att X bara är ett tal: ( X) 2 = X 2 2XX + X 2 = X 2 2X 2 + X 2 = X 2 X 2, dvs variansen av en variabel är medelvärdet av kvadraten på variabeln (alltså variabelns 2:a moment) minus kvadraten av medelvärdet av variabeln. Kvadratroten av variansen kallas standardavvikelsen: σ X = ( X) 2 = X 2 X 2. (2.2) Ofta är det mer relevant att ha ett mått på bredden av en fördelning av en variabel X som tar hänsyn till den typiska storleken på X (om vi t.ex. har tagit fram en fördelning över priset på en viss vara i olika butiker är det relevant att jämföra skillnaden mellan höga och låga priser med genomsnittspriset). Ett sådant mått ges av den relativa bredden på fördelningen: σ X X. Exempel 2.3 Betrakta två fördelningar P 1 (n) och P 2 (n), n = 0,...,100 givna av ( ) n 50 1 P 1 (n) = N och P 2 (n) = N 2 ( 1 e 1 (n 50) 2 ) där N 1 och N 2 är normeringskonstanter sådana att 100 n=0 P 1(n) = 1 = 100 n=0 P 2(n), och P 2 (50) N 2 (dvs vi definierar e 1/0 att vara 0). De båda fördelningarna visas i figuren nedan. Båda fördelningarna ger samma värde på n, nämligen n = 50. Detta är intuitivt uppenbart eftersom fördelningarna är fullständigt symmetriska och centrerade kring n, men vi verifierar detta även genom explicit beräkning. Medelvärdet av n m.a.p. fördelningen P 1 (P 2 ) kallar vi n 1 15

16 (a) Fördelningen P 1(n) (b) Fördelningen P 2(n) (n 2 ). n 1 = = = = = 100 np 1 (n) n=0 49 n=0 49 n=0 49 n=0 49 n=0 np 1 (n) + np 1 (n) + np 1 (n) n= np 1 (n) + 50P 1 (50) np 1 (100 n) + 50P 1 (50) n=51 49 n=0 (100 n)p 1 (n) + 50P 1 (50) (n n)p 1 (n) + 50P 1 (50) 49 = 100 P 1 (n) + 50P 1 (50) = 50 n=0 49 n=0 100 P 1 (n) + 50 = 50 P 1 (n) = 50 n=0 100 n=51 P 1 (n) + 50P 1 (50) I tredje steget har vi använt att P 1 (n) är symmetrisk kring 50, dvs P 1 (n) = P 1 (100 n), i fjärde steget har vi bara skrivit om den andra summan, och i steget efter är första och andra summorna ihopslagna. I sjunde steget använder vi igen symmetrin hos fördelningen, och sista steget följer från 100 n=0 P 1(n) = 1. Eftersom P 1 verkar vara en väldigt bred fördelning medan P 2 är väldigt smal förväntar vi oss att standardavvikelsen är större för P 1 än för P 2. En numerisk beräkning av n = 16

17 n 2 n 2 bekräftar detta, med resultaten n , n I beräkningen ovan använde vi endast att fördelningen var symmetrisk kring mittpunkten på den stokastiska variabelns definitionsområde, och det gäller därmed för alla symmetriska fördelningar att n är precis mitt mellan minsta och största värdena som variabeln n antar. Vi noterar också att för både P 1 och P 2 så är det mest sannolika värdet, n, samma som medelvärdet n. 2.3 Bernoulliprocesser och binomialfördelningen En process med två möjliga utfall där resultatet av varje försök är oberoende av resultaten av alla tidigare försök kallas Bernoulliprocess. Ett exempel är singla slant, där de två möjliga utfallen är krona respektive klave. I detta exempel har de två utfallen lika stor sannolikhet, nämligen 1 2. I en allmän Bernoulliprocess har utfallen sannolikheterna p respektive q, vilka således måste uppfylla p + q = 1, eller q = 1 p. Det räcker alltså att specificera en sannolikhet för att definiera en Bernoulliprocess. Random walk Ett vanligt exempel på en Bernoulliprocess är en en-dimensionell s.k. Random walk (också kallad drunkards walk ): Antag att en person endast kan ta steg längs en linje, åt höger eller åt vänster, och att varje steg är lika långt. Antag vidare att personen i fråga är berusad och snarare raglar än går, och sannolikheten för att ett steg sker åt vänster (höger) är p (q = 1 p). Om personen tar totalt N steg, hur stor är då sannolikheten att precis n av dessa steg har varit åt vänster? Vi kallar denna sannolikhet P N (n), och försöker bestämma den. Om n av totalt N steg sker åt vänster, så sker förstås N n steg åt höger. Produktregeln för sannolikheter ger sannolikheten p n q N n för varje N-stegs promenad med n steg åt vänster (t.ex. om N = 3 och n = 2 ges en möjlighet av vänster-höger-vänster med sannolikhet pqp = p 2 q, och en annan möjlighet ges av höger-vänster-vänster med sannolikhet qpp = p 2 q). Således är P N (n) proportionell mot p n q N n, och det återstår att bestämma proportionalitetsfaktorn. Om sannolikheten för varje enskild N-stegs promenad med precis n steg åt vänster är p n q N n så ges sannolikheten för en N-stegs promenad att vara någon av dessa promenader av p n q N n multiplicerat med antalet dylika promenader. Antalet sådana promenader är lika med antalet sätt på vilka vi kan välja ut n olika element ur en mängd med N element (om det inte spelar någon roll i vilken ordning vi väljer elementen). Detta antal är som bekant 4 givet av binomialkoefficienten ( N n ( ) N P N (n) = p n q N n = n ) = N! n!(n n)!, och vi har N! n!(n n)! pn q N n. (2.3) 4 I fall detta inte är bekant ger vi här ett snabbt bevis. Vi kan välja ett element ur en N-element mängd 17

18 Av uppenbara skäl kallas denna sannolikhetsfördelning för binomialfördelningen. Vi antog ingenting som är specifikt för random walk, så om vi i en godtycklig Bernoulliprocess frågar efter sannolikheten att precis n utfall av N försök är av det ena slaget (svarande mot sannolikheten p) får vi alltid svaret P N (n). Vi kontrollerar snabbt att fördelningen P N (n) uppfyller villkoren för en sannolikhetsfördelning. Eftersom p,q > 0 och ( N n) > 0 då n N, så följer att PN (n) > 0 för alla n < N. För att kontrollera att N n=0 P N(n) = 1 är det lämpligt att studera binomialutvecklingen av (p + q) N : (p + q) N = N n=0 ( ) N p n q N n = n N P N (n), men i en Bernoulliprocess måste p + q = 1, så (p + q) N = 1 och därmed har vi visat att alla sannolikheter adderar till 1. n=0 Exempel 2.4 Vad är sannolikheten för att vi får krona precis 3 gånger om vi en singlar slant 5 gånger? Vi har en Bernoulliprocess med p = q = 1 2, och det frågas efter P 5(3). P 5 (3) = ( 5 3 )( 1 2 ) 3 ( ) 1 (5 3) = 5! 2 3!2! = 5 16 System av N fria spinn Man kan tycka att Bernoulliprocesser är alltför enkla för att ha någon som helst betydelse för fysikaliska system, men faktum är att den enklaste modellen för magnetism i kristallina material beskrivs med hjälp av en Bernoulliprocess. Vi introducerar därför vad som brukar kallas ett system av N fria spinn. Antag att vi har N st. frihetsgrader som kan ta två värden: spinn upp ( ) och spinn ner ( ), och numrera dessa från 1 till N. Varje frihetsgrad är tänkt att motsvara en kvantmekanisk partikel 5 med spinn 1 2, där spinnet kan peka antingen upp eller ner längs någon given riktning (vanligtvis antaget att vara z-riktningen i något koordinatsystem). på N olika sätt. Efter att vi har valt ett element kan vi välja ett till på N 1 sätt, osv. Iteration ger att vi kan välja n olika element ur en mängd med N element på N(N 1)(N 2)... (N n 1) sätt. Om ordningen på de valda elementen inte spelar någon roll så måste vi dessutom dela med antalet olika ordningsföljder vi kan välja n givna element, vilket är n! Svaret är alltså N(N 1)...(N n 1) N! = 5 n! n!(n n)! Beroende på förkunskaper kan det möjligtvis låta märkligt att vi kan numrera kvantmekaniska frihetsgrader. Man lär sig i kvantmekanik att fria partiklar inte är åtskiljbara, vilket precis betyder att vi inte kan sätta namn (eller nummer) på enskilda partiklar. Detta förutsätter dock att partiklarna är fria att 18

19 Vi visualiserar t.ex. alla möjliga konfigurationer med N = 3 fria spinn där n = 1 spinn pekar upp som,,. Varje frihetsgrad har ett magnetiskt moment µ. Detta innebär att om vi lägger på ett yttre magnetfält riktat uppåt (i positiva z-axelns riktning) med styrkan B så har ett spinn som är riktat uppåt energin µb, och ett spinn som är riktat nedåt har energin µb. Om B = 0 antar vi att varje spinn kan vara riktat uppåt eller nedåt med lika stor sannolikhet, 1 2. Om å andra sidan B 0 så är sannolikheterna för att hitta ett spinn upp respektive ner olika. Vi kan ännu inte bestämma på vilket vis de ändras (detta dyker upp i avsnitt 3.3), så tillsvidare antar vi att sannolikheterna för spinn upp resp. ner är p resp. q = 1 p då B 0. Till spinn nr. i associerar vi en stokastisk variabel s i {±1} som är positiv om spinnet är riktat upp, och negativ annars, dvs den är positiv med sannolikhet p och negativ med sannolikhet q. Energin för samma spinn kan då skrivas som ǫ i = µbs i. Den totala energin för systemet av N fria spinn ges av E = N N ǫ i = µb s i = BM (2.4) i=1 där vi har introducerat systemets magnetisering M = µ i=1 N s i. (2.5) Kopplingen till Bernoulliprocesser är uppenbar: mätning av ett spinn är en Bernoulliprocess. Frågan vad är sannolikheten att hitta precis n spinn upp i ett system med N fria spinn? är ekvivalent med frågan vad är sannolikheten att precis n steg i en N-stegs promenad sker åt vänster? så svaret är P N (n) = ( N n) p n q N n, dvs binomialfördelningen. i=1 Exempel 2.5 Vad är medelvärdet av M i ett system av N fria spinn? Det är instruktivt att lösa detta på två sätt. 1. Notera först att N N M = µ s i = µ s i. i=1 i=1 röra sig i rummet, men systemet med fria spinn vi beskriver här är tänkt att motsvara kvantmekaniska partiklar som sitter fast på bestämda punkter i ett kristallgitter, och därmed kan skiljas åt (vi kan t.ex. numrera punkterna i gittret, och vi antar att partiklarna inte kan flytta sig mellan olika gitterpunkter). Ordet fria betyder alltså här inte att spinn-frihetsgraderna är fria att röra sig hur som helst, utan snarare att det inte verkar några krafter mellan olika spinn. Det faktum att fria identiska partiklar kvantmekaniskt är oåtskiljbara har stora konsekvenser för statistisk fysik, och är något vi återkommer till senare i kursen. 19

20 Varje spinn är oberoende av alla andra, och s i = ±1 med sannolikhet p resp. q = 1 p. Medelvärdet ges alltså av s i = p q = 2p 1. Speciellt gäller detta för alla i = 1,...,N, så s 1 = s 2 =... = s N = p q =: s. Resultatet är alltså M = µns = µn(p q) = µn(2p 1). (2.6) 2. Om n av variablerna s i tar värdet 1, och resten (N-n) tar värdet 1 så blir magnetiseringen M = M n := µ(n (N n)) = µ(2n N). Vi vet att sannolikheten att hitta precis n spinn upp är P N (n) = ( N n) p n q (N n), så vi kan beräkna medelvärdet av magnetiseringen enligt M = = µ N M n P N (n) n=0 = 2µ N N! (2n N) n!(n n)! pn q N n n=0 N N! n n!(n n)! pn q N n µn n=0 N n=0 N! n!(n n)! pn q N n (2.7) Summan i den andra termen har värdet 1 (det är summan av alla P N (n)), och för att beräkna den första summan noterar vi följande: Med andra ord gäller p N n=0 N N! n n!(n n)! pn q N n = p p n=0 ( ) N p n q N n = n N n=0 N ( ) N n p n 1 q N n. n n=0 ( ) N p n q N n = p n p (p + q)n = pn(p + q) N 1 = pn där vi i sista steget har använt p + q = 1. Insättning i (2.7) ger samma resultat som i föregående metod, dvs M = µn(2p 1) = µn(p q). Som förväntat får vi M = 0 om p = q = 1 2, och M = ±µn om p = 1 resp. 0. Den andra metoden i exemplet ovan visar på en väldigt användbar metod för att beräkna medelvärden, som dessutom kan itereras, och t.o.m. generaliseras till andra sannolikhetsfördelningar. Den första summan i (2.7) är precis n, dvs vi har n = p p (p + q)n p+q=1 = pn(p + q) N 1 p+q=1 = Np. (2.8) Detta resultat är precis vad vi förväntar oss: medelvärdet av antalet spinn som är upp ges av totala antalet spinn multiplicerat med sannolikheten att ett enskilt spinn är upp. 20

21 Det är även intressant att bestämma variansen σ 2 n och standardavvikelsen σ n. Vi vet att variansen ges av ( n) 2 = n 2 n 2, så vi behöver beräkna n 2. dvs n 2 = N ( ) N n 2 p n q N n = p n p n=0 Vi har alltså N ( N n n n=0 ) p n q N n = p p p p (p + q)n p+q=1, n 2 = Np + N(N 1)p 2 = (Np) 2 + Np(1 p) = n 2 + Npq. (2.9) σ 2 n = n 2 n 2 = Npq, σ n = Npq. (2.10) Den relativa bredden på fördelningen av n blir σ n n = vilken minskar med antalet spinn N. ( ) q 1/2 1, p N 2.4 Normalfördelning (Gaussfördelning) Den utan tvekan viktigaste kontinuerliga fördelningen är den s.k. normalfördelningen, eller Gaussfördelningen: α 2 (x x p(x) = 0 ) 2 π e α2 (2.11) där α och x 0 är reella konstanter, och x R. Normeringen av p(x) följer om vi gör substitutionen x y = (x x 0 )α och använder Gaussintegralen (se appendix (A.1)) e y2 dy = π. För att se tolkningen av α och x 0 beräknar vi först x: x = xp(x)dx α 2 = xe α2 (x x 0 ) 2 dx π = /y = (x x 0 )α/ = 1 (y/α + x 0 )e y2 dy π = 1 απ ye y2 dy + x 0 π e y2 dy = x 0. (2.12) 21

22 Det sista steget följer från värdet på Gaussintegralen, samt att integranden i den första integralen är udda. Tolkningen av α ser vi om vi beräknar variansen av x: σ 2 x = (x x) 2 = (x x 0 ) 2 = α 2 π (x x 0 ) 2 e α2 (x x 0 ) 2 dx. Den sista integralen kan vi beräkna på ett enkelt sätt m h a ett trick liknande det vi använde för binomialfördelningen. Om vi tänker oss integralen e α2 (x x 0 ) 2 dx = π α (2.13) som en funktion av α kan vi derivera denna, med resultatet d dα dvs vi har visat att e α2 (x x 0 ) 2 dx = 2α (x x 0 ) 2 e α2 (x x 0 ) 2 dx = 1 d 2α dα Om vi istället deriverar högerledet i (2.13) får vi vilket visar att dvs 1 d 2α dα π α = (x x 0 ) 2 e α2 (x x 0 ) 2 dx, π 2α 3, e α2 (x x 0 ) 2 dx. σ 2 x = 1 2α 2 (2.14) σ x = 1 α 2. Resultaten ovan medför att man ofta skriver p(x) = 2 2σx 2. 1 e (x x) 2πσ 2 x Maxwell-Boltzmann fördelningen En av tillämpningarna av normalfördelningen är sannolikhetsfördelningen av hastigheter i en klassisk ideal gas. Beteckna med v = (v x,v y,v z ) hastigheten i tre dimensioner hos en punktpartikel med massan m. I en klassisk ideal gas med temperaturen T ges sannolikheten att hitta en partikel med hastighet i intervallet [v,v + dv] av uttrycket ( m ) 3/2 mv 2 e 2kT dvx dv y dv z, 2πkT 22

23 dvs sannolikhetsfördelningen är produkten av tre (motsvarande tre linjärt oberoende riktningar i hastighetsrummet) normalfördelningar: p(v) = = ( m 2πkT ( m 2πkT ) 3/2 e mv2 x 2kT e mv2 y 2kT e mv2 z 2kT ) 3/2 e mv2 2kT. (2.15) Denna fördelning kallas Maxwell-Boltzmannfördelningen. Medelvärdet av en funktion f(v) beräknas enligt ( m ) 3/2 f(v) = f(v)e mv2 2kT dv 2πkT vilket ofta förenklas eftersom fördelningen ser likadan ut i alla riktningar i hastighetsrummet. T.ex. beräknar vi enkelt v = v x i + v y k + v z k. För den första termen får vi [ ( m ) 1/2 ] [ v x = v x e mv2 x ( m ) 1/2 2kT dvx e mv 2 ] y 2kT dvy 2πkT 2πkT [ ( m ) 1/2 ] e mv2 z 2kT dv z 2πkT ( m ) 1/2 = v x e mv2 x 2kT dvx 2πkT = 0. (2.16) I första steget har vi utfört integralerna över v y och v z, vilka båda ger värdet 1, och andra steget följer av att integranden är en udda funktion. Alternativt kan vi identifiera fördelningen i x-led med en normalfördelning (2.11), och vi ser i så fall direkt att v x = 0. Samma jämförelse ger också α 2 = m 2kT, och ur (2.14) följer att σ2 v x = vx 2 = kt m. Uppenbarligen har vi vx 2 = v2 y = v2 z, och därför v2 = 3vx 2 = 3kT m. Exempel 2.6 Beräkna medelvärdet av den kinetiska energin hos partiklarna i en ideal gas. Vi antar att hastigheten hos partiklarna är fördelade enligt Maxwell-Boltzmann fördelningen. Den kinetiska energin hos en partikel med massa m och hastighet v ges av E k = 1 2 mv2, dvs vi skall beräkna E k = 1 2 mv2. Diskussionen ovan ger E k = 3 kt. (2.17) 2 Faktorn 3 kommer från att vi befinner oss i tre rumsdimensioner, om vi istället studerar ett system av partiklar med Maxwell-Boltzmannfördelade hastigheter i en eller två rumsdimensioner blir resultatet 1 2kT resp. kt. 23

24 Exempel 2.7 I en ideal gas där hastigheten är Maxwell-Boltzmannfördelad, bestäm sannolikhetsfördelningen n(v) för farten v = v 2. Vi vet att sannolikheten att finna en partikel med hastighet i intervallet"[v,v + dv] är p(v)dv = ( m ) 3/2 mv e 2 2kT dv x dv y dv z. 2πkT För att få n(v) uttrycker vi v i sfäriska koordinater (v,v θ,v φ ). Ett infinitesimalt volymselement i sfäriska koordinater skriver vi som v 2 dv sin v θ dv θ dv φ (jfr uttrycket r 2 dr sin θdθdφ). Alltså kan vi skriva ( m ) 3/2 mv p(v)dv = 2 e 2kT v 2 sin v θ dvdv θ dv φ. 2πkT Vi kan integrera över alla riktningar, dvs över vinkelkoordinaterna, och få ett uttryck som endast innehåller v. Ingenting i fördelningsfunktionen beror på riktningen, så vi behöver endast utföra integralen π 2π sin vθ dv θ dv φ = 4π, 0 vilket är arean hos en enhetssfär. Om vi utför vinkelintegralen i båda leden av ovanstående uttryck har vi slutligen ( m ) 3/2 n(v)dv = 4π v 2 e mv2 2kT dv (2.18) 2πkT Figur 1 (sid. 9) visar n(v) för några olika temperaturer. 0 Normalfördelningen som gräns av binomialfördelningen Vi visar här att om vi tar gränsen N av binomialfördelningen P N (n), så får vi en normalfördelning. Fakultetsfunktionen n! kan utvidgas till att vara definierad för alla positiva reella tal (m h a gammafunktionen som uppfyller Γ(n + 1) = n! när n är ett positivt heltal), och det följer att även P N (n) är en väldefinierad funktion för alla positiva reella tal. Vi har sett att den relativa bredden på binomialfördelningen minskar med N, och för stora värden på N kommer därför fördelningen att ha ett tydligt maximum i det mest sannolika värdet n, vilket sammanfaller med medelvärdet n = Np. Låt oss därför finna ett approximativt uttryck för P N (n) nära n. Vi skulle kunna försöka att Taylorutveckla fördelningsfunktionen kring n, men om vi undersökerp N (n) så ser vi att den varierar starkt kring n för stora N, så det är bättre att Taylorutveckla ln (P N (n)). Till andra ordningen har vi ln (P N (n)) ln (P N (n )) + (n n ) dln (P N(n)) dn n=n }{{} = (n n ) 2 dln (P N(n)) dn (2.19) n=n }{{} = β<0 24

25 där den linjära termen försvinner eftersom vi utvecklar kring ett extremvärde, och konstanten β är positiv eftersom extremvärdet är ett maximum. Vi behöver koefficienten β, och skriver därför ut uttrycket vi skall derivera. ( ) N! ln (P N (n)) = ln n!(n n)! pn q N n = ln (N!) ln (n!) ln (N n)! + ln p n + ln q N n }{{}}{{} =n lnp =(N n)ln q För att kunna arbeta med detta uttryck använder vi Stirlings approximation: ln N! N lnn N (2.20) som gäller för stora N. Denna approximation, tillsammans med en något noggrannare version, är mycket användbar i statistik, och vi visar den i appendix A.2. En enkel beräkning visar att d dn (n ln n n) = ln n, och insättning ovan ger d dn ln (P N(n)) ln n + ln (N n) + ln p ln q (2.21) Vi deriverar en gång till och evaluerar uttrycket i n = n = Np: d 2 ln (P N (n)) dn = 1 n=np Np 1 N(1 p) = 1 Npq, (2.22) dvs β = 1 Npq = 1. Konstanten ln(p σn 2 N (Np)) beräknas på liknande vis, men där måste vi använda den noggrannare versionen av Stirlings approximation (A.3). Resultatet är ln (P N (Np))) 1, och om vi exponentierar (2.19) får vi slutligen 2πσ 2 n P N (n) 1 ) 2 2πσn 2 e (n n 2σn 2. (2.23) Detta resultat är en konsekvens av ett mer allmänt resultat, centrala gränsvärdessatsen: Sannolikhetsfördelningen för summan av N stokastiska variabler är i gränsen N en normalfördelning, oberoende av de N enskilda variablernas fördelningar. I fallet med binomialfördelningen så motsvarar P N (n) sannolikhetsfördelningen för summan av N stokastiska variabler, t.ex. fria spinnvariabler. Centrala gränsvärdessatsen brukar bevisas i en grundkurs i matematisk statistik, men se även Gould & Tobochnik. 25

26 Problem 2.1 Hur stor är sannolikheten att få minst en sexa om man kastar en tärning 24 gånger? 2.2 Antag tre tärningar kastas samtidigt. Vad är sannolikheten att det totala antalet synliga prickar är 10?, 9? 2.3 Vad är sannolikheten att totala antalet synliga prickar är 11 om tre tärningar kastas samtidigt? Vad är sannolikheten att totala antalet synliga prickar är 12? Vad är fel i följande resonemang? Talet 11 erhålles på 6 olika vis: (1,4,6), (2,3,6), (1,5,5), (2,4,5), (3,3,5), (3,4,4). Talet 12 erhålles också på 6 olika vis: (1,5,6), (2,4,6), (3,3,6), (2,5,5), (3,4,5), (4,4,4), och därför är sannolikheterna lika stora. 2.4 Ett par har två barn. a) Vad är sannolikheten att minst ett av barnen är en flicka? b) Antag att vi känner till att minst ett barn är en flicka. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en flicka? c) Antag istället att vi känner till att det äldsta barnet är en flicka. Vad är sannolikheten att även det yngsta barnet är en flicka? 2.5 Antag att variabeln x tar värdena 2, 1, 0, 1, och 2 med sannolikheterna 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, och 1/16. Beräkna x och x Beräkna medelvärdet, variansen och standardavvikelsen för variabeln x som ges av antalet synliga prickar vid kast av en tärning. 2.7 Hur många gånger måste man kasta en tärning i genomsnitt innan man får en sexa? 2.8 Processen att kasta ett mynt N gånger är ekvivalent med systemet med N fria spinn om vi associerar antalet krona med n och antalet klave med N n. För ett rättvist mynt är sannolikheten för krona p = 1 2, och sannolikheten för klave q = 1 p = 1 2. Vad är sannolikheten att vi efter tre kast med myntet har fått krona precis två gånger? 2.9 Antag att en endimensionell slumpgångare tar steg med längd a, med sannolikhet p åt vänster. Låt variabeln x vara avståndet från utgångspunkten. Beräkna x och ( x) 2 för en N-stegspromenad Den stokastiska variabeln X har sannolikhetsfördelning { Ae p(x) = λx för 0 X < 0 annars där A och λ är positiva konstanter. 26

27 a) Bestäm A i termer av λ b) Vad är medelvärdet av X? Vad är det mest sannolika värdet på X? c) vad är medelvärdet av X 2? d) Välj λ = 1 och beräkna sannolikheten att en mätning av X ger ett värde mellan 0 och 1. e) Välj λ = 1 och beräna sannolikheten att en mätning av X ger ett värde mindre än Antag att hastigheten hos molekylerna i en gas är Maxwell-Boltzmann-fördelade: p(v) = ( m ) 3/2 e mv2 2kT 2πkT Om vi mäter hastigheten hos en molekyl i gasen, vad är sannolikheten att vi får v x 0, v y 0, och v z 0? 27

28 3 System med många frihetsgrader: Ensembler Om vi accepterar att materia inte kan behandlas exakt som ett kontinuerligt medium utan i själva verket består av en stor mängd mikroskopiska frihetsgrader (molekyler, enskilda atomer, eller ännu mindre beståndsdelar) så vill vi som fysiker gärna kunna förklara de fenomen vi observerar, och de storheter vi mäter, utgående från de mikroskopiska beståndsdelarna. Vi såg redan i avsnitt 1.2 att det är möjligt att delvis härleda allmäna gaslagen direkt från Newtons mekanik tillämpad på ett stort partikelsystem. Det står klart att den enkla modellen av kinetisk teori inte kan beskriva alla tänkbara system, t.ex. tog vi endast hänsyn till en egenskap hos molekylerna, nämligen deras massa, och vi vet att olika ämnen kan ha radikalt olika termodynamiska egenskaper. Vi kan delvis förbättra modellen genom att ta hänsyn till att de enskilda molekylerna kolliderar med varandra, och om vi dessutom antar att endast två partiklar är inblandade i varje enskild kollision leder oss detta till den s.k. Boltzmannekvationen som ligger till grund för området kinetisk teori. Men inte heller en sådan modell kan beskriva alla typer av system som vi är intresserade av. Det är t.ex. svårt att se hur vi beskriver andra faser, som vätskor och fasta ämnen, än mindre övergångar mellan olika faser. I detta avsnitt går vi igenom en allmän och framgångsrik metod att behandla mångpartikelsystem som är i jämvikt i termodynamisk mening. Vi börjar med att försöka motivera metoden, och fortsätter med att tillämpa den på ett antal olika situationer. 3.1 Från termodynamik till statistisk fysik Betrakta en gas instängd i ett kärl med volym V, och de termodynamiska egenskaperna vi använder för att beskriva gasen (T, P, U, S, etc). Vi förväntar oss att vissa av dessa, t.ex. trycket P, i själva verket är ett tidsmedelvärde som uppstår därför att vi mäter under en ändlig tid (om våra mätningar kunde utföras under ett mycket kortare tidsindtervall skulle vi se att egenskaperna fluktuerar med tiden). Vi förväntar oss dock inte att alla egenskaper har en tolkning som ett tidsmedelvärde. Antag t.ex. att vårt kärl är perfekt isolerat; eftersom den totala energin är bevarad så kan den inre energin U inte ändras med tiden, utan har ett konstant fixt värde. Om vi i stället antar att kärlet är i termisk kontakt och jämvikt med en temperaturreservoir så kan energi i form av värme transporteras in till och ut från systemet, dvs systemets energi kan fluktuera. I denna situation är det rimligt anta att det värde på U som vi tillskriver systemet har tolkning som ett tidsmedelvärde. Vår definition på termisk jämvikt, å andra sidan, medför nu att temperaturen T har ett fixt konstant värde 6. För att ta oss vidare inför vi ett par nya begrepp. Med ett makrotillstånd menar vi värden på en eller flera termodynamiska egenskaper, t.ex. specificerar vi ett makrotillstånd av V, U, och N (vilket beskriver ett termodynamiskt tillstånd för ett isolerat system), eller V, T, N (beskriver tillståndet för ett slutet 6 Den här diskussionen implicerar att vissa egenskaper är mer naturliga än andra för att beskriva ett givet system. T.ex. är temperaturen T naturligt att ange för ett system i termisk jämvikt med ett annat system, medan den inre energin U ur denna synvinkel blir mindre naturlig. För ett isolerat system är U en naturlig egenskap, medan T är mindre naturlig. 28

29 system i termisk jämvikt med ett annat system), eller V, T, µ (där µ är den kemiska potentialen), vilket ger ett termodynamiskt tillstånd för ett öppet system i kontakt med en generaliserad temperaturreservoir. Med ett mikrotillstånd menar vi en mikroskopisk konfiguration för ett system, dvs ett tillstånd för varje mikroskopisk frihetsgrad. Med tillståndet för en klassisk partikel menar vi dess läge och rörelsemängd, så för att beskriva ett mikrotillstånd för en gas av klassiska partiklar måste vi veta varje partikels läge och rörelsemängd. Tillståndet för en kvantmekanisk partikel ges av en vågfunktion som beskriver partikeln, vilken i sin tur ofta karakteriseras av några få s.k. kvanttal, t.ex. energin, rörelsemängden, totala rörelsemängdsmomentet, och rörelsemängdsmomentets komponent i z-riktningen. Ofta är det därför möjligt att beskriva ett mikrotillstånd för ett system av kvantmekaniska partiklar genom att ange en uppsättning kvanttal. En viktig skillnad mellan klassiska och kvantmekaniska partiklar är att man för de senare inte kan ange läge och rörelsemängd med godtycklig noggrannhet samtidigt (detta är en konsekvens av Heisenbergs osäkerhetsrelation). Exempel 3.1 Alla möjliga mikrotillstånd för ett system av N = 3 fria spinn:,,,,,,, För att motivera en statistisk behandling av mångpartikelsystem antar vi att vårt system beter sig ergodiskt (antagandet brukar kallas den ergodiska hypotesen), vilket innebär att allt eftersom tiden går så passerar systemet genom alla tillgängliga mikrotillstånd, och att systemet tillbringar lika mycket tid i alla mikrotillstånd med samma totala energi. Det är känt att alla system inte är ergodiska, och det faktum att vissa system inte är det har t.o.m. viktiga konsekvenser för deras termodynamik (t.ex. kan fasövergångar inte kunna förekomma i exakt ergodiska system), men vi antar för ögonblicket att de system vi studerar är ergodiska. Säg att vi vill veta värdet på en makroskopisk storhet A som ges av tidsmedelvärdet a A = 1 T T 0 A(t)dt, där A(t) bestäms av systemets mikrotillstånd vid tiden t. Om systemet under tidsintervallet T vi utför vår mätning hinner passera genom en stor del av alla tillgängliga mikrotillstånd så kan vi ersätta tidsmedelvärdet med medelvärdet över alla tillgängliga mikrotillstånd, A = p(x)a(x)dx mikrotillst med en än så länge okänd sannolikhetsfördelning p(x). Ergodicitet medför att systemet tillbringar lika mycket tid i alla mikrotillstånd med samma totala energi, så vi drar slutsatsen att p(x) endast beror på systemets totala energi. 29

Statistisk Fysik. Jens Fjelstad, Marcus Berg. 3 november 2011

Statistisk Fysik. Jens Fjelstad, Marcus Berg. 3 november 2011 Statistisk Fysik Jens Fjelstad, Marcus Berg 3 november 2011 Dessa anteckningar är ämnade att användas som kurslitteratur för kursdelen statistisk fysik i kursen Termodynamik och statistisk fysik (FYGB02)

Läs mer

Statistisk Termodynamik

Statistisk Termodynamik Statistisk Termodynamik Jens Fjelstad, Marcus Berg 13 oktober 2011 Dessa anteckningar är ämnade att användas som kurslitteratur för kursdelen statistisk termodynamik i kursen EMGA70. För att göra tentauppgifterna

Läs mer

Statistisk Fysik Avancerat kompendium

Statistisk Fysik Avancerat kompendium Statistisk Fysik Avancerat kompendium Jens Fjelstad, Marcus Berg 8 september 208 Sektion (Fördjupning), samt det matematiska bihanget, är fördjupning av det som står i grundkompendiet. Tentan Del 2 får

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Kap 4 energianalys av slutna system

Kap 4 energianalys av slutna system Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =

Läs mer

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 8 Allmänna gaslagen 4: 9 Trycket i en ideal gas 4:3 10 Gaskinetisk tolkning av temperaturen 4:6 Svar till kontrolluppgift 4:7 rörelsemängd 4:1 8 Allmänna gaslagen

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.

Läs mer

Termodynamik och inledande statistisk fysik

Termodynamik och inledande statistisk fysik Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från

Läs mer

Kinetisk Gasteori. Daniel Johansson January 17, 2016

Kinetisk Gasteori. Daniel Johansson January 17, 2016 Kinetisk Gasteori Daniel Johansson January 17, 2016 I kursen har vi under två lektioner diskuterat kinetisk gasteori. I princip allt som sades på dessa lektioner sammanfattas i texten nedan. 1 Lektion

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik

Läs mer

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Entropi 1.1 Inledning Entropi införs med relationen: S = k ln(ω (1 Entropi har enheten J/K, samma som k som är Boltzmanns konstant. Ω är antalet

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3

Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3 Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3 Olle Edholm September 15, 2010 1 Introduktion Denna studieanvisning är avsedd att användas tillsammans med boken och exempelsamlingen. Den är avsedd

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

@

@ Kinetisk gasteori F = area tryck Newtons 2:a lag på impulsformen: dp/dt = F, där p=mv Impulsöverföringen till kolven när en molekyl reflekteras i kolvytan A är p=2mv x. De molekyler som når fram till ytan

Läs mer

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Laboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration

Laboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration Laboration 3 Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration Hela labben måste vara redovisad och godkänd senast 3 januari för att generera bonuspoäng till tentan. Kom väl förberedd och med

Läs mer

Kapitel II. Termodynamikens statistiska bas

Kapitel II. Termodynamikens statistiska bas Kapitel II Termodynamikens statistiska bas Introduktion Termodynamik vs. Statistik mekanik En gas består av ett stort antal atomer Termodynamiken beskriver gasens jämviktstillståndet med ett fåtal tillståndsvariabler

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik

Föreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad

Läs mer

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den

Läs mer

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.

Läs mer

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}

Läs mer

Termodynamik Föreläsning 4

Termodynamik Föreläsning 4 Termodynamik Föreläsning 4 Ideala Gaser & Värmekapacitet Jens Fjelstad 2010 09 08 1 / 14 Innehåll Ideala gaser och värmekapacitet TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 3.6 3.11 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall

Läs mer

F3 Introduktion Stickprov

F3 Introduktion Stickprov Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.

Läs mer

Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin

Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.

Läs mer

1 Mätdata och statistik

1 Mätdata och statistik Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt

Läs mer

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen April 26, 2013, KoK kap. 6 Centrala ekvationer i statistisk mekanik Mikrokanonisk ensemble (U,,N konst):p s = 1/g,

Läs mer

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler Johan Thim (johan.thim@liu.se) 1 november 18 Vi fokuserar på två-dimensionella variabler. Det är steget från en dimension till två som är det

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter! KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Stokastiska signaler. Mediesignaler Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Betingning och LOTS/LOTV

Betingning och LOTS/LOTV Betingning och LOTS/LOTV Johan Thim (johan.thim@liu.se 4 december 018 Det uppstod lite problem kring ett par uppgifter som hanterade betingning. Jag tror problemen är av lite olika karaktär, men det jag

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0

Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0 LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning

Läs mer

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett "kallare" till ett "varmare" system utan att samtidigt utföra arbete.

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett kallare till ett varmare system utan att samtidigt utföra arbete. Entropi Vi har tidigare sett hur man kunde definiera entropi som en funktion (en konstant gånger naturliga logaritmen) av antalet sätt att tilldela ett system en viss mängd energi. Att ifrån detta förstå

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 203-0-9. Sambandet mellan tryck och temperatur för jämvikt mellan fast och gasformig HCN är givet enligt: ln(p/kpa) = 9, 489 4252, 4 medan kokpunktskurvan

Läs mer

Mekanik Föreläsning 8

Mekanik Föreläsning 8 Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln

Läs mer

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik = läran om värmets natur och dess omvandling till andra energiformer (Nationalencyklopedin, band 18, Bra Böcker, Höganäs, 1995) 1

Läs mer

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet

Läs mer

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 204-08-30. a Vid dissociationen av I 2 åtgår energi för att bryta en bindning, dvs. reaktionen är endoterm H > 0. Samtidigt bildas två atomer ur en molekyl,

Läs mer

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik. Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 5 FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 8 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018 SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser

Läs mer

Repetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F8 System (isolerat, slutet, öppet) Första huvudsatsen U = 0 i isolerat system U = q + w i slutet system Tryck-volymarbete w = -P ex V vid konstant yttre tryck w = 0 vid expansion mot vakuum

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Om Markov Chain Monte Carlo

Om Markov Chain Monte Carlo Om Markov Chain Monte Carlo Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Ht 2001 1 Inledning Markov Chain Monte Carlo MCMC är en modern teknik att simulera komplicerade fördelningar som har fått stora tillämpningar

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd

Läs mer

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O 1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Gamla tentafrågor, FYS022:2, Statistisk Fysik, rörande statistisk fysik och statistisk kvantfysik. P i = 1 Z exp( βe i), Z = i.

Gamla tentafrågor, FYS022:2, Statistisk Fysik, rörande statistisk fysik och statistisk kvantfysik. P i = 1 Z exp( βe i), Z = i. Gamla tentafrågor, FYS022:2, Statistisk Fysik, rörande statistisk fysik och statistisk kvantfysik. En typisk tentamen omfattar ca 30 poäng, varav hälften krävs för godkänt. Obs! Många deluppgifter kan

Läs mer