Geometriupplevelse och skolgeometri 2
|
|
- Anton Hermansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Geometriupplevelse och skolgeometri 2 I detta nummer avslutar Bengt Ulin, Bromma, sin artikel om geometrin som impulskälla till utveckling av kreativt tänkande och förmåga att dra logiska slutsatser 3. Gör tänkandet rörligt: öva geometrisk förvandling I hela vår boendemiljö och i den mineraliska världen spelar den räta vinkeln en mycket stor roll, ävenså parallellitet. Den uppträder ofta i symmetriformer. Det är dessa, som med sin vilande, stationära karaktär, verkar inkarnerande på skolbarnen. Men i alla åldrar förblir vi starkt förankrade i denna gren av geometrin, eftersom vår egen kropp och dess funktioner i många avseenden bygger på symmetri. Allra tydligast kommer beroendet av den räta vinkeln i dagen, när vi besinnar den upprätta gången och kroppsbalansens beroende av jämviktssinnet, som i sin tur har en fysisk grundval i de tre halvcirkelformade båggångarna i innerörat. Dessa båggångar befinner sig i tre plan, som parvis bildar räta vinklar med varandra (fig 13 a). I växt, djur och människa intar formförvandlingar en central plats, ofta i tidiga utvecklingsskeden. Men även i tekniken är förvandling av former viktig. I en förvandling råder rörelse. Den statiska formen är endast temporär (fig 13 b). Det är angeläget att skolan ger gott utrymme åt övningar i formförvandling. Några exempel: 1. Vi fixerar basen i en vald likbent triangel. Hur förändras triangelformen om triangelspetsen rör sig på triangelns symmetrilinje? (Eleverna ritar en skara sådana trianglar.) Närmar sig trianglarna någon gränsform, när de blir mycket höga (eller långa)? 33
2 2. Vi utgår från en (exempelvis vågrät) rektangel, fixerar en sida och låter motsatt sida med fix längd röra sig på parallellen till den fixerade sidan. Vilka former uppträder då? Finns det något gemensamt hos alla uppkomna figurer? (Fig 14.) ändpunkt på a. Rita kurvan för den andra ändpunktens rörelse och studera kurvans förvandling då den avsatta sträckans längd ökas. 5. En cirkel rullar på en given linje. Vilken kurva beskriver en på cirkeln vald fixpunkt? Hur ändras kurvan om man väljer en annan fix punkt a) på en radie i cirkeln? b) på förlängningen av en radie? 3. Vi utgår ånyo från en rektangel, säg ABCD, där AB är vågrät. Vi håller fast vid vågrät resp lodrät riktning hos AB resp AD och låter hörnet C röra sig så att a) rektangelarean bibehålls (fig 15); b) rektangelns omkrets bibehålls. Hur rör sig C och hur ser de uppkomna rektanglarna ut? Resultaten får visa sig åtminstone empiriskt genom figurritningen. 4. I fig 16 är linjen a och punkten P givna. Genom P går en rörlig linje p. Från p:s skärningspunkt med a avsätts en fix sträcka på p i riktning mot P. När p vrider sig kring P glider sträckans ena 6. Fig 17 visar en fix liksidig triangel T och en rörlig likadan triangel T'. Den senares spets rör sig nedåt genom parallellförskjutning så att spetsen alltid tillhör en av T:s höjder eller dess förlängning. Studera hur trianglarnas gemensamma område förvandlas. Finns det speciella lägen av intresse? 7. För att härleda cirkelns area ur kännedom om dess omkrets kan man dela cirkelarean i 4 lika stora sektorer, som omplaceras enligt figur
3 Arean bibehålls men antar en helt annan form. Man kan göra samma procedur med 8 lika stora sektorer, därefter med 16, 32, 64 etc. Mot vilken gränsfigur går då den i sidled utlagda arean och till vilken formel kommer man på så sätt? I exempel 7 hålls areans storlek invariant, medan dess form stegvis förändras. Utnyttjande av invarianter har spelat och spelar en stor roll i matematiken. Som intressant kontrast mot formförändrade procedurer bör man ställa övningar i förstoring och förminskning, likställighet och likformighet. Här förändras figurernas storlek, medan formen bibehålls. Arbetsuppgifter Här följer några förslag på utredande arbetsuppgifter: Delar av en viss typkurva kan ha olika form, medan kurvan som helhet har en och samma form, oavsett storleken. Exempel: cirkeln. Finns det andra kända typkurvor med denna egenskap? En parallellogram med två sidor a och två sidor b har den ena a-sidan fixerad. I alla fyra hörnen finns det leder. När den andra a-sidan får röra sig ändras parallellogrammens form. Finns det något som inte ändras (mer än a- och b-längderna)? Hur utnyttjas detta exempelvis i bussar, i en viss typ av gungor och i en typ av rörliga lådor för sömnadsmaterial? (Fig 20.) [6] Till kapitlet förvandling av ytor hör även den geometriska illustrationen av konjugatregeln. Fig 19 visar geometriskt att a 2 b 2 kan skrivas (a + b)(a b). Förvandlingar av en figuryta kan även användas för bevis av Pythagoras sats. [5] Vi utgår från två linjer a och b som är vinkelräta mot varandra. En sträcka av fix längd, AB, rör sig så att A glider på a och B på b. Vilken kurva beskriver mittpunkten på AB? Och hur förändras kurvan om mittpunkten byts mot en annan fix punkt på AB? 35
4 I fig 21 är en cirkel med lodrät diameter given. Vinkelrätt mot denna är en skara kordor dragna. Varje sådan korda förflyttas i sin egen riktning åt höger tills dess mittpunkt kommer på den givna linjen a. Rita den kurva (ellips) som kordorna nu tillhör. Hur förändras ellipsformen, om a vrids till ett läge som alltmer närmar sig den vågräta riktningen? Finns det övningar i detta avsnitt som är av intresse i skuggläran, dvs vid konstruktion av skuggor till givna föremål? Genomsnitt av en turmalin kan ge vackra exempel på triangelförstoring. Samla på andra exempel från naturen som visar förstoring (förminskning) eller formförvandling (fig 22). Beträffande kurv- och formförvandling vill jag avslutningsvis betona att detta tema tas upp analytiskt i gymnasieskolans matematik, då man studerar hur variationen av en parameter i en ekvation förändrar en kurvas förlopp. Genom lämpligt parameterval kan man uppnå att kurvan går genom en önskad punkt, ett viktigt kapitel tillämpad matematik. Exempelvis kan man genom att beräkna ett visst värde på parametern k uppnå att hyperbeln xy = k går genom en given punkt i xy-planet. (Fig 23.) Av utrymmesskäl måste här en orientering om tredimensionella förvandlingar utelämnas. 36
5 4. Låt gymnasieeleverna få en kurs i projektiv geometri Eftersom projektiv geometri är tämligen okänd, måste detta avsnitt få karaktären av ett debattinlägg. När nu rätt starka röster höjs för en bredare geometriundervisning vill jag ta tillfället i akt och bryta en lans för projektiv geometri, efter många års erfarenhet av undervisning på detta område i klasser på gymnasienivå. Låt oss först bli medvetna om att geometrin sedan drygt femton år har en mycket svag ställning i svensk skola. Visst räknar eleverna ut areor och volymer fortfarande, kanske bättre än förut, men de övningar i ren "syntetisk" geometri som borde bedrivas parallellt med kvantitetsberäkningar har en ringa omfattning. Den analytiska "geometrin" finns företrädd, men i denna löser man geometriska problem på algebraisk väg; man går en ofta effektiv väg till det resultat man söker men utför ej någon geometrisk aktivitet. Vad skulle då syftet med projektiv geometri vara? Proj ektiv geometri kan ge ungdomarna en unik övning i flexibelt tänkande och mångfasetterad omdömesbildning, speciellt ur rakt motsatta aspekter en betydelsefull integration av klarhet i begreppsbildning, aktiv åskådning och estetisk upplevelse värdefulla perspektiv på Västerlandets idéhistoria. Kort historisk orientering Den projektiva geometrin växte fram på 1600-talet ur de problem som perspektivmåleriet ställde. Efter grundläggande insatser på 1640 talet av Gerard Desargues och den då mycket unge Blaise Pascal de gav namn åt "Desargues' sats" resp "Pascals sats" föll denna unga geometri i en törnrosasömn fram till ungefär år 1810, då den snabbt expanderade. Efter banbrytande och övergripande insatser av fransmän, främst J V Poncelet, utvecklades den projektiva geometrin i England och Tyskland och kom att bli "all geometry" (A Cayley): den visade sig innehålla euklidisk geometri och dess icke-euklidiska syskongeometrier som specialfall. Vad är projektiv geometri? I facklitteratur presenteras projektiv geometri i regel i analytisk dräkt, med hjälp av koordinater. Vad jag här vill plädera för är en elementär icke analytisk, syntetisk projektiv geometri. Perspektivläran redogör för samband som råder då objekt med hjälp av projektionsstrålar till ett tänkt punktformigt öga projiceras på ett bildplan. Denna lära utvecklades av matematiker och utvidgades till projektiv geometri. Viktiga delar av denna handlar om central projektion, vars avbildningar kallas perspektiviteter. Avbildningar som erhålls genom två eller flera perspektiviteter sägs vara projektiva. Till detta kommer att den projektiva geometrin inte minst kan engagera elever som finner algebra och analytisk geometri svårbemästrade. 37
6 Fig 24 visar perspektivavbildning av en linje a på en linje a'; C är perspektivcentrum. Euklidiskt uttryckt råder en 1 1 korrespondens mellan punkter på a och punkter på a' utom i två fall: då a-punkten (X i fig) är så belägen, att strålen genom C går parallellt med a', "saknas" bildpunkt X'; om däremot C-strålen går parallellt med a, "saknas" på a en punkt Y som svarar mot en punkt Y' på a'. Dessa euklidiska undantagsfall undanröjs i projektiv geometri genom introduktion av oändligt avlägsna punkter. Till varje euklidisk linje (ändlös åt två håll) tillfogas en oändligt avlägsen punkt, varigenom linjen (nu kallad projektiv linje) blir en sluten punktmängd. Den projektiva tolkningen av fig 24 blir då följande: När strålen genom C vrider sig genomlöper dess skärningspunkt med a resp a' hela linjen a resp a'. Mot X svarar den oändligt avlägsna punkten X'. och mot Y' den oändligt avlägsna punkten Y,. Parallella linjer har gemensam oändligt avlägsen punkt (fig 25). Introduktionen av oändligt avlägsna punkter den funktionella ekvivalensen till parallellitet kan göras helt osökt genom ett studium av Desargues' sats, en av den projektiva geometrins viktigaste och vackraste satser. Enligt Desargues' sats ligger de tre skärningspunkterna P, Q och R till motsvarande par av sidor i två (med avseende på en punkt 0) perspektiviska trianglar i rät linje, d i fig 26. Här är P=ABxA'B', Q=BCxB'C' och R=ACxA'C'. Trianglarna kan vara perspektiviska i rummet eller i planet. Fig 26 föreställer en tredimensionell realitet men är i sig själv tvådimensionell. Linjen d har fått namnet Desargues' linje. Man kan visa satsens omvändning: Om två trianglar har en Desargueslinje, så är de perspektiviska med avseende på en punkt. Om exempelvis AB//A'B' blir P en oändligt avlägsen punkt P ; om även BC//B'C', så blir alla de tre sidparen parallella, dvs både P, Q och R blir oändligt avlägsna. I denna situation introduceras planets oändligt avlägsna linje, l : mängden av planets samtliga oändligt avlägsna punkter. På så vis "räddas" Desargues' sats till att bli generellt gällande. 38
7 Om perspektivitetscentrum O är oändligt avlägset blir den centrala projektionen av ABC på A'B'C' euklidiskt uttryckt en parallellprojektion. Men kan på olika sätt bevisa att det s k dubbelförhållandet är invariant vid projektiv avbildning; Här några korta kommentarer: 1. Desargues' figur omfattar 10 punkter och 10 linjer, 3 punkter per linje och 3 linjer per punkt. Den är dual i sig själv: linjer och punkter deltar i funktioner som motsvarar varandra. Man kallar därför figuren för Desargues' konfiguration. Eleverna får utreda om perspektivitetscentrum kan väljas i vilken som helst av de 10 punkterna och omvänt, om Desargues-linjen kan vara vilken som helst av de 10 linjerna. Det gäller därvid att finna de två trianglarna. Övningen blir synnerligen flexibel, om en eller flera av de 10 punkterna är oändligt avlägsna. (Se fig 28.) Förhållandet PA PB = QA QB ändras ej (fig 27). Vid parallellprojektion bibehålls redan de vanliga förhållandena PA PB och QA QB Det finns betydligt mer djupgående satser men dessa skulle leda för långt i en skolkurs. Vad skulle en skolkurs innehålla? Främst tre kapitel: 1. Flexibla övningar i anknytning till Desargues' sats 2. Mångsidig övning av dualitet i figurer 3. Ett studium av geometriska axiom 2. Någon gång på 1810-talet upptäckte man att de oberoende av varandra uppställda satserna av Pascal (1640) och Brianchon (sannolikt 1810) utgör en och samma sats, formulerad ur dualt motsatta aspekter. (Fig 29.) I Pascals sats utgår man från 6 punkter på ett kägelsnitt, i Brianchons från 6 tangenter till ett kägelsnitt. Den förra figuren ger tre punkter i rät linje, den senare tre linjer genom en punkt. 39
8 I den dualitet som råder i planet är punkter och linjer motsatta element. Skärningspunkt och sammanbindningslinje motsvarar varandra. Skärning och sammanbindning är duala operationer. I rummet är punkten och planet varandras motsatser. Linjerna förmedlar mellan punkter och plan, varvid sammanbindningslinjer har skärningslinjer som dual motsvarighet och vice versa. Redan den plana dualiteten mellan punkter och linjer erbjuder en mångfald övningar. Fig visar exempel på duala figurer. Den ena av dem är given, den andra skall ritas. 40
9 Under dualitetsövningarnas gång visar det sig, hur "indoktrinerade" vi är i fråga om punktaspekter och hur svårt det är att bli hemmastadd med de mot punktfigurer svarande linjefigurerna. Att eleverna får arbeta med duala motsatser, så att de blir förtrogna med dem och säkra i åskådningen är särskilt värdefullt. 3. Studiet av dualitetens grunder leder till en analys av axiomen. Härvid gäller det att även undersöka oändlighetselementens roll. Har exempelvis två punkter alltid en sammanbindningslinje? Hur är det om den ena punkten eller båda är en oändligt avlägsen punkt? I axiomstudiet är dörren öppen för en orientering om de geometriska fundament som lades av David Hubert omkring sekelskiftet. Som komplement till detta inlägg vill jag rekommendera en genomläsning av kapitlen 10, "Måleri och perspektiv", och 11, "Projektiv geometri" i SIGMA ([7]). Den senare uppsatsen finns i en bättre version i avsnitt 7, del VIII i samma verk. Referenser [1] Van der Waerden, B.L., Er wachende Wissenschaft, Birkhäuser, Basel [2] Dito, samt Scientific American, nr 6, [3] Ulin, B, Att finna ett spår, Utbildningsförlaget [4] Weyl, H., Symmetri, avsnitt 9, del VIII av SIGMA (se [7]). [5] Van Baravalle, H., Geometrie als Sprache der Formen. Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart. [6] Bolt, B., Boken om aktiviteter i matematik. Gothia, [7] SIGMA, En matematikens kulturhistoria. (Red J Newman) Forum,
Explorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merMa7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs mer8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
8A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp
Läs mer9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
9A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merPlanering Geometri år 7
Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande
Läs merEn parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant?
En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant? P har större omkrets än Q. P har mindre omkrets än Q. P har mindre area än Q Q och P har
Läs merMatematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON
Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON MÅL Grundkurs Mäta (med gradskiva) och beräkna vinklar Känna till triangelns vinkelsumma och använda den för att räkna ut vinklar Kunna namnen på några
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merGeometri med fokus på nyanlända
Geometri med fokus på nyanlända Borås 17 januari 2017 Madeleine Löwing Tala matematik Bygga och Begripa Begrepp i Geometri Använda förklaringsmodeller som hjälper eleven att bygga upp långsiktigt hållbara
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merElevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing
Elevers kunskaper i geometri Madeleine Löwing Elevers kunskaper i mätning och geometri Resultaten från interna=onella undersök- ningar, såsom TIMSS, visar ac svenska elever lyckas mindre bra i geometri.
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merEtt engagerande övningsfält
Ett engagerande övningsfält Bengt Ulin Den projektiva geometrin har sin grund i det perspektivmåleri som utvecklades i Europa under renässansen. En teoretisk grund lades av den franske arkitekten Gerard
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp och samband
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merOrdlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden
Ordlista 5A:1 Öva orden Dessa ord ska du träna term Talen som du räknar med i en addition eller subtraktion kallas termer. faktor Talen som du räknar med i en multiplikation kallas faktorer. täljare Talet
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merMätning och geometri
Mätning och geometri LMN100 Matematik, del 2 I den här delen av kursen skall vi gå igenom begrepp som längd, area och volym. Vi skall också studera Euklidisk geometri och bevisa satser om och lära oss
Läs merKongruens och likformighet
Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna
Läs merLathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)
Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8
Läs merProblemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F
På jakt efter förmågor i undervisningen Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F Aktivitetens namn: Triangelmatte Syfte Undervisningen ska
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större
Läs mer9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att:
9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merArea och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem
Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem Torbjörn Tambour Mullsjö den 20 juni 2018 Inledning Att arean av en triangel ges av formeln A = b h 2, där b är (längden av) basen och h (längden
Läs merSkönhet och kreativitet: en introduktion till projektiv geometri
U.U.D.M. Project Report 2015:35 Skönhet och kreativitet: en introduktion till projektiv geometri Henrik Gustavsson Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg September 2015
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merGeometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
Läs merVid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets
Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn Elevers kunskaper i mätning och geometri I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merGeometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.
. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande tre (fyra) delområden: MGF Förberedande mätning och geometri
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Geometri ELEV Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och
Läs merProblemlösning med hjälp av nycklar
Problemlösning med hjälp av nycklar I denna problemavdelning finns förutom ett antal geometriproblem även förslag på ett arbetssätt som avser underlätta för elever att komma igång med problemlösning och
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 35, 1952 Första häftet 1793. I en cirkel med centrum O och radien R är inskriven en spetsvinklig triangel ABC, vars höjder råkas i H. Bestäm maximum och minimum för summan av PO och PH, när punkten
Läs merSpegeln i Snövit och de sju dvärgarna kunde ge den elaka drottningen
Bengt Ulin Spegling i plan geometri En vanlig spegel presenterar en avbild av oss när vi tittar i den. Vissa geometriska konstruktioner kan kallas speglingar, när ett objekt avbildas på ett annat i relation
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 46, 1963 Årgång 46, 1963 Första häftet 2405. På fokalaxeln till en hyperbel, vars ena brännpunkt är F, finns en punkt K så belägen, att PK 2 : PF PF har ett konstant värde, när P genomlöper
Läs merSkolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik
Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet
Läs mer9 Geometriska begrepp
9 Geometriska begrepp Rita figurer som visar vad vi menar med... 261 a) 4 cm och 4 cm 2 b) 5 cm och 5 cm 2 262 Rita två olika figurer som båda har arean 8 cm 2 263 Rita tre olika figurer som alla har arean
Läs merTESTVERSION. Geometri. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.
Geometri. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande fyra delområden: Symmetri, GSy Geometriska former,
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs mer1 Euklidisk geometri.
1 Euklidisk geometri. Pythagoras (ca 570 497 f. kr.) grundade i Kroton i nuvarande södra Italien en skola vars motto var Allt är tal. Skolans medlemmar, pytagoreerna, försökte visa att allt i deras omvärld
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2
Läs merÄven kvadraten är en rektangel
Åsa Brorsson Även kvadraten är en rektangel Vad innebär det att arbeta med geometriska objekt och deras egenskaper i årskurs 1 3? Hur kan vi använda det centrala innehållet i geometri för att utveckla
Läs merAtt skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU
Kleindagarna 2013, IML, Stockholm, 14-16 juni 2013 Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Det kommer nog inte som någon större överraskning
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs mer.I Minkowskis gitterpunktssats
1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för åk 8
Lokal pedagogisk planering i matematik för åk 8 Arbetsområde Geometri kap. 3 PRIO Syfte http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/grundskoleutbildning/sameskola/matematik#anchor2 formulera och
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merFöreläsning 5: Geometri
Föreläsning 5: Geometri Geometri i skolan Grundläggande begrepp Former i omvärlden Plangeometriska figurer Symmetri och tessellering Tredimensionell geometri och geometriska kroppar Omkrets, area, volym
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 5, 94 Årgång 5, 94 Första häftet 04. Toppen i en pyramid utgöres av ett regelbundet n-sidigt hörn. Tre på varandra följande sidokanter ha längderna a, b och c. Beräkna de övrigas längd.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 27, 1944 Första häftet 1316. I vilka serier äro t1 3 +t3 2 +t3 3 + +t3 n = (t 1 +t 2 +t 3 + +t n ) 2 för alla positiva heltalsvärden på n? 1317. Huru stora äro toppvinklarna i en regelbunden n-sidig
Läs merDetta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning
Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del
Läs merc) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.
Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merDel ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan
Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merKursplan Grundläggande matematik
2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merDelprov A Muntligt delprov
Delprov A Muntligt delprov Äp6Ma15 Delprov A 15 Beskrivning av delprov A, muntligt delprov Det muntliga delprovet kan genomföras fr.o.m. vecka 11 och resten av vårterminen. Det muntliga delprovet handlar
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merArbetsblad 3:1. Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är. 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är.
Arbetsblad :1 Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är a) rät b) spetsig c) trubbig A C D F E G 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är. A C D E F G Mät vinklarna och
Läs mer