Speciell relativitetsteori

Transkript

1 4.Speciell relativitetsteori 4. Grundläggande postulat: I De lagar som beskriver fysikaliska fenomen, är desamma i alla inertialsystem II. Ljusets hastighet i vakuum är detsamma i alla inertialsystem. 4.2 Galileiinvarians i förra läroboken Bedford-Fowler En student skall leka Kolmårdenveterinär och skjuta en sövande pil mot en noshörning, som kommer med farten v 30 m/s mot studenten. 3.6 På vilket avstånd från noshörningen skall studenten släppa i väg pilen med utgångsriktning och utgångsfart v 0 relativt den än så länge stillastående skytten? Två lösningsmetoder: Ett traditionellt med inertialsystemet fixt relativt marken. Ett annat sätt är att införa ett referenssystem som följer med noshörningen. I detta referenssystem är pilens hastighet i x-led v 0 cos v, där v är noshörningens hastighet och i y-led v 0 sin. Kastparabeln blir i detta fall enligt Physics Handbook y x v 0 sin gx 2 v 0 cos v 2(v 0 cos v 2 y 0förx x, som uppfyller v x 0 sin gx2 v 0 0 cos v 2(v 0 cos v 2 x 2 g v 0 cos vv 0 sin Detta är den sökta sträckan till noshörningen när studenten skall släppa i väg pilen. x 82.5m Svar: Noshörningen skall vara 82.5 m bort. Vi skulle också kunna räkna i det system, som är i vila relativt marken och kalla de koordinaterna för x, y,z Transformationen mellan koordinaterna i de bägge inertialsystemen benämns Galileitransformation. Om vi löser problemen med hjälp av Newtons andra lag i det oprimade eller det primade systemet får vi samma svar. 4.3 Transformationsegenskaper för rum-tid, Lorentztransformationen. K K (rör sig med hastigheten vê relativt K) Kalla koordinaterna för x, x 2 och x 3 i stället för xyz.

2 x x vt () x x vt (2) Symmetri (postulaten) Ljuspuls från gemensamt origo vid t t 0 uppfyller x ct x ct Insättning i transf. ekv () och (2 ) med ger ct c v )t ct c v )t som multiplicerade ger tt v 2 ) 2 tt varav följer att 2 v 2 / v 2 / Elimineras x mellan () och (2) fås x v 2 / v 2 / varav t t vx /. v 2 / x vt vt Inspirationskälla var ett problem med en student, som skall skjuta en sövande pil mot en noshörning, som kommer med farten v mot studenten. Genom att införa ett referenssystem K som följer med noshörningen kunde problemet i princip lösas med Physics Handbook direkt. Det referenssystem K i vilket skytten är i vila rör sig med hastigheten vê relativt K. Lorentz transformation på symmetrisk form ser ut som följer x x v c ct # v2 x 2 x 2 # x 3 x 3 # ct ct v c x v2 # Härärtypisktx x 2 x 3 bedövningspilens läge vid tiden t i systemet K och x x 2 x 3 bedövningspilens läge vid tiden t i systemet K Inversa transformationen fås enkelt genom att byta tecken på v och byta primat mot oprimat och vice versa: x x v c ct # v2 x 2 x 2 #

3 x 3 x 3 # ct ct v c x v2 # Detta anger transformationsegenskaperna hos x,x 2, x 3, ct, där alla tre komponenterna har samma dimension, läge. c är ljusets fart i vakuum. Med u dx / u 2 dx 2 / u 3 dx 3 / som komponenter av bedövningspilens hastighet i systemet K och u dx / u 2 dx 2 / u 3 dx 3 / som motsvarande komponenter av bedövningspilens hastighet i systemet K och med v2 fås u u 2 dx v v dx dx 2 v dx dx / v v dx / u 3 dx 3 v dx, varav u u v v u u 2 u 2 v u u 3 u 3 v u Detta är hastighetens transformationsegenskaper Egentiden. Låt ū vara hastigheten för en partikel Med u 2 u 2 u 2 2 u 3 2 u 2 u 2 u 2 2 u 3 2 kan man med hjälp av transformationsegenskaperna för hastigheten visa att u 2 / u 2/ Vi tolkar d u 2 / som egentiden, den tid som mäts av en klocka som medföljer partikeln med hastighet ū (t ex bedövningspilen i exemplet).

4 Myonsönderfall Δ s i myonens vilosystem u0.98c ger Δ Δt 5.025Δ u 2 / 5-dubblad livslängd för betraktare i laboratoriesystemet. 4.5 Relativistisk Dopplereffekt, senare. 4.6 Tvillingparadoxen. Läs själva 4.7 Relativistiska rörelsemängden, För en partikel (t ex bedövningspilen i vårt noshörningsexempel) definierar vi relativistiska rörelsemängden som p mdx /d,där dx / ū,dvs p Med denna definition fås att p,p 2,p 3,m d d ct, dvsp,p 2,p 3, mū u 2 / # mc u 2 / transformeras som x,x 2,x 3,ct under Lorentz transformation. Vi har alltså att E mc p,p 2,p 3, c med E 2 transformeras som x,x 2,x 3,ct under Lorentz transformation. u 2 / 4.8 Energi. Generalisering av Newtons andra lag F dp /: F d mū u 2 / Tag skalärprodukten med ū F ū ū d mū ū d u 2 / mū ū dū u 2 / m u du u 2 / u 2 / u 2 / d u 2 / 3/3 mu du m u 2 / mu 2 d m u2 u du u 2 / 3/3 m u 2 / u 2 / Manipulationer ger således F ū d m (*) u 2 / F ū dt enligt principen rörelseenergi -effekt kombinerad med (*) ger mc dt/ de/ med E 2 u 2 / T 0föru 0ger T E m mc med E 2 u 2 / SambandmellanEochpförenpartikelmedmassanm: E 2 p 2 m 2 c Transformationsegenskaper igen (Obs! Skilj på v som är noshörningens fart,

5 vê är K :s hastighet relativt K och u, som är bedövningspilens /partikelns fart): Noteras att (p,p 2,p 3, E c m dx,m dx 2,m dx 3 dct,m fås transformationssambanden d d d d E c p p v c # v2 p 2 p 2 # p 3 p 3 # E c E c v c p v2 # (p,p 2,p 3, E c transformeras som (x,x 2,x 3,ct under Lorentz transformation. 4.0 Lagrangefunktionen för en partikel massa m och laddning q i ett elektromagnetiskt fält svarande mot skalära elektriska potentialen och magnetisk vektorpotentialen Ā kan visas vara given av m u 2 u 2 2 u 2 3 / qū Ā q. där u identifieras med q i i den vanliga Lagrangeformalismen. Notera att i detta fall blir den generaliserade rörelsemängden u mu u 2 / qa 4. Fotonen, Kollisionsprocesser Fotonen Utgå från sambandet mellan E och p för en partikel med massan m: E 2 p 2 m 2 c 4 För en foton gäller att m 0 varav E cp. Transformationsegenskaperna hos p, p 2, p 3 E/c ger för en foton upphov till aberrationsformeln (uppgift 4.5 i läroboken). Utnyttjas sambandet E h, där är ljusets frekvens och h är Plancks konstant erhålls formeln för Dopplereffekten (se nedan): Fotonens rörelsemängd är p h/c h/, och fotonens energi är E h hc/. frekvensen, våglängden. Betrakta en foton, som rör sig i xy-planet p pcos p 2 psin p 3 0 E c p p p cos p 2 p sin

6 p 3 0 E c p Lorentz transformation ger p cos pcos v c p p p v c pcos v2 Division ger v2 cos cos v c v c cos Detta är aberrationsformeln. Med p h/c och p h /c erhålls ur p p v c pcos sambandet v2 Detta är relativistiska Dopplereffekten. v c cos v2 Kollisionsprocesser Det faktum att transformationsegenskaperna avser rörelsemängd och energi får stora konsekvenser för den relativistiska beskrivningen av kollisionsprocesser. I Mekanik gjorde vi i fråga om partikelkollisoner åtskillnad på situationer, då rörelsemängd och energi bevarades (fullständigt elastiska kollisioner) och situationer, då endast rörelsemängden bevarades. Den sistnämnda situationen är ej möjlig i relativistiska kollisioner, eftersom rörelsemängden då skulle vara bevarad i ett referenssystem men inte i ett annat. Detta skulle strida mot objektivitetsprincipen. Vimåsteiställetövergedenstökiometriskaprincipen,dvsantagandetattmassan är bevarad kan inte upprätthållas. Vid kollision mellan två partiklar, som kan betraktas som isolerade. gäller för totala rörelsemängden och totala energin omedelbart före och omedelbart efter kollisionen p efter p före E efter E före Ett ibland praktiskt sätt att lösa kollisionsproblem är användande av CM-systemet (centre of momentum system, masscentrumsystemet ) Man använder då ett system där p 0 och transformerar sedan till laboratoriesystemet med hjälp av Lorentz transformation för p, p 2, p 3 E/c 4.24 i läroboken: En proton infaller mot en proton i vila och resultatet blir två protoner samt en proton och en antiproton. Bestäm den minsta energi hos den infallande protonen, som möjliggör reaktionen.. Detta är ett mycket intressant problem. Det illustrerar en reaktion, där

7 den stökiometriska principen (massa före reaktionen lika med massa efter reaktionen) inte längre gäller utan ersätts av energins bevarande. Det är också ett värdefullt exempel på hur Lorentz transformation kan användas. Problemet kan också ge en förberedelse till laborationen relativistisk stöt.. Vi börjar med att titta på ett till synes annat problem. Antag att vi som i LHC (Large hadron collider) i CERN kan rikta två partikelstrålar mot varandra. Detta innebär att vi i stället för upplägget i problemet skulle ha en proton collider där en proton kolliderar med en motriktad proton. Protonerna som kolliderar har till beloppet lika rörelsemängder. p x p x Resultatet skall bli två protoner och ett proton-antiprotonpar. Cirkeln med prick i mitten representerar antiprotonen. Vardera av de fyra partiklarna antas ha energi m isitt vilosystem. Tröskelenergin svarar mot att samtliga bildade partiklar är i vila. Då är totala energin 4m (före och efter reaktionen eftersom energin bevaras). Före kollisionen har de två kolliderande protonerna vardera energin c p 2 m 2 dvs 2c p 2 m 2 4m p 2 m 2 2mc p 2 m 2 4m 2 p 2 3m 2 Vi har kommit fram till att i vår proton collider måste vardera protonen ha (minst) rörelsemängd och energi p mc 3, E 2m för att reaktionen skall kunna äga rum. E 2m utgör tröskelenergi för vardera protonen i det beskrivna upplägget.. Kan vi återanvända detta enkla resultat för fallet att en accelererad proton fås att träffa en proton i vila? Jo, det kan vi göra med en Lorentztransformation. Antag att det aktuella problemet svarar mot att en proton med rörelsemängd p och energi E infaller mot en proton med rörelsemängd 0 och energi m. Det redan lösta problemet svarar mot en dellösning av det aktuella problemet nämligen när vi transformerat till CM-systemet, det inertialsystem, där totala rörelsemängden är noll. Och problemet i CM-systemet har vi redan löst. Transformera nu tillbaka till laboratoriesystemet. Benämn den relativa hastigheten mellan systemen med v (som skall bestämmas). Transformering av rörelsemängden för vardera protonen ger p p ve /c2 för den ena protonen och för den andra 0 p ve /c2 (*) v 2 / v 2 / Transformering av energin för vardera protonen ger E/c E /cp v/c eller E E p v (**) för den ena och för den andra v 2 / v 2 /

8 E p v m v 2 / Insättning av p mc 3 E 2m i (*) ger 0 mc 3 2mv 0 varav v c 3 /2 Vi har således v 2 / 3/4 och v 2 / /2 Dessutom gäller p v3m /2 och enligt tidigare E 2m. Insättning i (**) ger E 2mc2 3m /2 7m. 2 E 7m är tröskelenergin för infallande protonen i en reaktion där en proton med energin E infaller mot en proton i vila och som ett resultat av kollisionen två protoner samt ett proton-antiprotonpar bildas. Lös gärna problemet själv genom att beskriva kollisionen direkt i laboratoriesystemet och utnyttja rörelsemängdens och energins bevarande. Avslutande kommentarer: Längdkontraktion Låt och 2 representera olika händelser t 2 t t2 vx 2/ v 2 / varav t2 t v x2 x och x 2 x v2 / v2 x 2 x x2 x x 2 x 2 v c ct2 v2 # x x v c ct v2 # t vx /c2 v 2 / 0omt 2 t x2 x om t 2 t v2 om t 2 t Detta är exemple på längdkontraktion, se läroboken. Tidsdilation t 2 t t2 vx 2/ v 2 / t vx /c2 v 2 / Om x 2 x fås t 2 t t2 t v 2 / Observera att klockan är fix i K-systemet men ej i K -systemet. Exempel där massan ej bevaras: En meson i vila sönderfaller i en meson och en neutrino. Massorna för mesonen och -mesonen är m och m, respektive.

9 Neutrinons massa kan sättas till noll. Bestäm energin hos den bildade neutrinon. Lösning:Energin hos systemet före sönderfallet är m Energin hos den bildade mesonen är enligt ovan cp 2 m 2 Energin hos systemet efter sönderfallet är cp 2 m 2 E, däre söks. Energins bevarande ger cp 2 m 2 E m, varav cp 2 m 2 m E Kvadrering och omformning ger cp 2 m E 2 m 2 m E m m E m, varav p m c m c E/cm c m c E/c Rörelsemängdens bevarande ger 0 p p varav följer att mymesonen och neutrinon har samma rörelsemängd till beloppet. För neutrinon uttrycks rörelsemängden i den sökta energin via sambandet E cp (se ovan) varav p E/c och således ger rörelsemängdens bevarande sambandet E c m c m c E/cm c m c E/c Kvadrering ger E 2 m c m cm c m c 2m E E2, varav division med 2m och omformning ger E m 2 m m m Notera att totala massan hos systemet före sönderfallet är m och efter sönderfallet m,dvsmassanbevarasej. Laborationen relativistisk stöt uppgift 2. I laborationen relativistisk stöt används rörelseekvationen för en laddad partikel i ett magnetfält, och det händer då och då att någon laborerande student återupptäcker Einsteins formel för normalkomponenten (den inte helt riktiga). Vi ger nedan den korrekta härledningen av det i laborationens uppgift 2 önskade sambandet: Förenkraftsomärvinkelrätmotū ger ekvationen (*) i avsnitt 4.8 ovan 0omF ū d m u 2 / varav följer att u är en konstant och därigenom att mu p är en konstant om F ū. u 2 / Exempel på en sådan kraft är Lorentzkraften för en laddad partikel i ett magnetfält B F qū B och för det fall att (som i laborationen) B Bẑ ges Lorentzkraftens komponenter av ger F x qbu y qb dy F y qbu x qb dx F z 0 dp z / 0samt som insatta i rörelseekvationerna dp x / F x dp y / F y dp z / F z

10 dp x / qb dy dp y / qb dx Vi antar nu att p z 0 0, vilket på grund av dp z / 0gerp z t 0. p konstant innebär med p z 0attp 2 x p 2 y p 2 ekvationerna ovan för fallet att B är konstant, så erhålls p x qby A p y qbx A, där A, A är integrationskonstanter. Men p 2 x p 2 y p 2 är konstant, varav (qby A 2 qbx A 2 p 2 (konstant) q 2 B 2 x A qb 2 y A qb 2 p 2 Med x 0 A, y qb 0 A fås en cirkelbana. qb x x 0 2 y y 0 2 p 2 q 2 B 2 är konstant. Integrera Frågor att besvara (som ersätter fråga 2 i ursprungliga labben) Vilken är cirkelns radie? Är det någon inskränkning att välja x 0 0, y 0 0?