MAS110B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS INFERENSTEORI

Transkript

1 MAS110B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS INFERENSTEORI LABORATIONER OCH PROJEKT HT 04 ( ) Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM

2

3 MAS110B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI Laborationer och projekt

4

5 Innehåll Användbara Matlabkommandon i kursen 1 Laboration 1 5 Laboration 2 9 Projektuppgifter 13 Formulär för gruppvis kamratgranskning 15 Projekt Svaveldioxid i luft 19 Projekt Kvävedioxid från naturgaseldad värmepanna 27 Lund den 6 november 2001 Lena Zetterqvist Ändrad november 2003 Sara Larsson Ändrad oktober 2004 Henrik Bengtsson Ändrad december 2004 Henrik Bengtsson Se TeX-filerna för detaljerad versionshistoria. 1

6 2

7 Användbara Matlabkommandon i kursen För mer fullständig information se help för respektive kommando! Generella kommandon load filnamn laddar in filen filnamn till Matlabs arbetsområde save filnamn v1 v2... sparar variablerna v1, v2, etc. på filen filnamn.mat whos ger aktuella variabler i Matlabs arbetsområde clear rensar bort alla variabler ur arbetsområdet Skapa variabler x=[ ] genererar en radvektor med talen 2, 8, 5 och 12 x=[1:100] generar en radvektor med talen 1, 2, 3,..., 100 zeros(m,n) ger en m n matris av enbart nollor ones(m,n) ger en m n matris av enbart ettor size(x) ger storleken på matrisen X length(x) ger storleken på vektorn x Skapa delmatriser X(:,j) gerdenj:tekolonnenix X(i,:) ger den i:te raden i X y=x(villkor) ger de värden på x som uppfyller villkor, vilket kan t ex vara av formen >,<, ==. Ex: Med y=x(x>=0) läggs alla element i x-vektorn som är 0ivektorny. Deskriptiv statistik sum(x) ger en radvektor vars element är de olika kolonnsummorna i X sum(r.*r) ger kvadratsumman av elementen i vektorn r (bra då man vill beräkna - skattning ur residualer i linjär regression) mean(x) ger en radvektor innehållande aritmetiska medelvärdena för varje kolonn i matrisen X median(x) ger en radvektor innehållande medianen för varje kolonn i matrisen X std(x) ger en radvektor innehållande standardavvikelserna för varje kolonn i matrisen X cov(x) beräknar kovariansmatrisen för variablerna som är kolonner i X corrcoef(x) beräknar korrelationsmatrisen för variablerna som är kolonner i X normplot(x) ritar ut datamaterialet i x på ett normalfördelningspapper hist(x,n) ritarutettn-intervalls histogram för elementen i vektorn x (utelämnas n blir antalet intervall 10) histfit(x,n) ritar ut ett n-intervalls histogram för elementen i vektorn x, samtidigt ritas en normalfördelning med parametrar mean(x) och std(x) 2 ifiguren 3

8 Fördelningar I Matlab kan du simulera slumptal, beräkna täthetsfunktion (eller sannolikhetsfunktion), beräkna fördelningsfunktion eller kvantiler från en rad olika fördelningar. Några av de fördelningar som vi kommer att använda i kursen är: Matlabnamn Beteckning norm N(Ñ, 2 ) normalfördelning poiss Po(Ñ) poissonfördelning bino Bin(n, p) binomialfördelning exp Exp(a) exponentialfördelning logn Ä(Ñ, 2 ) lognormalfördelning unif R(a, b) likformig fördelning (rektangelfördelning) t t(f ) t-fördelning Slumptal, täthetsfunktion osv fås med hjälp av följande kommandon som kombineras med Matlabnamnen ovan. pdf anger värdet på täthetsfunktionen (sannolikhetsfunktionen) för en specificerad fördelning cdf anger värdet på fördelningsfunktionen för en specificerad fördelning rnd simulerar slumptal för en specificerad fördelning inv anger inversen av fördelningsfunktionen för en specificerad fördelning, användbart då man vill beräkna kvantiler Några exempel: exprnd(a,m,n) ger en m n matris av exponentialfördelade slumptal med parameter a rand(m,n) ger en m n matris av rektangelfördelade slumptal i intervallet (0,1) normrnd(ñ,,m,n) ger en m n matris av normalfördelade slumptal från N(Ñ, 2 ) normpdf(x,ñ, ) beräknar täthetsfunktionen av en normalfördelning med väntevärde Ñ och varians 2 i punkten x (om x är en vektor beräknas täthetsfunktionen för samtliga element) normcdf(x,ñ, ) beräknarp(x x) då X N(Ñ, 2 ) tinv(0.975,6) beräknart (6) Rita figurer hold on håller kvar aktuellt grafikfönster så att man kan rita in flera figurer i samma fönster hold off avslutar kvarhållningen av grafikfönster subplot(m,n,p) därm, n och p är ensiffriga heltal, delar upp grafikfönstret i ett m n nät av små grafikfönster och väljer ut fönster nr p som aktuellt ritfönster. Delfönstren numreras från vänster till höger, uppifrån och ned. subplot återställer det normala fallet, det vill säga ett odelat fönster. axis([x min x max y min y max ]) sätter axlarnas skalor plot(x,y, * ) ger ett tvådimensionellt diagram med * som tecken (man kan t ex välja på.,*,o,x,+) 4

9 plot(x(villkor),y(villkor), * ) plottar x mot y men tar endast med de talpar för vilka villkor gäller. Ex: plot(x(x>0),y(x>0), * ) ritar enbart ut de talpar för vilka x>0. plotmatrix(x) skaparenmatrisavn n grafer, där n är antal kolonner i matrisen X. På diagonalen ritas histogram ut för värdena i respektive matriskolonn. I graf (i,j) plottas datapunkterna i kolonn i mot dem i kolonn j. plot3(x,y,z) ger en kurva genom punkterna som definieras av (x i, y i, z i ). Vektorerna x, y och z måste ha samma längd. plot3(x,y,z, * ) ritar som föregående men ger * i stället för heldragen linje. Regressionskommando reggui(x,y) specialskriven m.fil för polynomregression med enkel linjär regression som specialfall. [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x, ) utför regressionsanalys där y är beroende variabel (responsvariabel), X är designmatrisen som innehåller de oberoende x-variablerna som kolonner och är konfidensgraden i konfidensintervallen bint. Observera att första kolonnen i X måste vara en kolonnvektor av ettor (kan fås genom ones(m,1) där m är antalet observationer av y). Som utargument fås b skattningar av -parametrarna, bint konfidensintervall för -parametrarna, r residualerna, rint konfidensintervall för residualer samt stats som bl a innehåller R 2 förklaringsgraden Några olika tester [muhat, sigmahat, muci, sigmaci]=normfit(x,alpha) x antas komma från en normalfördelning med väntevärde Ñ och standardavvikelse. Väntevärdet skattas med muhat medan muci anger ett konfidensintervallför Ñ med konfidensgrad 1-alpha. Motsvarande storheter för normalfördelningens standardavvikelse anges i sigmahat och sigmaci. [h sig ci]=ttest(x,m,alpha,tail) testar med ett t-test att väntevärdet är M på signifikansnivå alpha. Här antas att x är ett datamaterial från en normalfördelning. Mothypotesen kan vara olika beroende på värdet på tail. Utparametern ci ger ett tvåsidigt konfidensintervall för väntevärdet, h är 1 eller 0 beroende om nollhypotesen förkastas eller ej och sig är testets P-värde. [h sig ci]=ttest2(x,y,alpha,tail) testar med ett t-test att väntevärdena i två fördelningar är lika på signifikansnivå alpha. Här antas att x är ett datamaterial från N (Ñ 1, 2 )ochyfrånn (Ñ 2, 2 ). Mothypotesen kan vara olika beroende på värdet på tail. Utparametern ci ger ett tvåsidigt konfidensintervall för skillnaden i väntevärden, h är 1 eller 0 beroende om nollhypotesen förkastas eller ej och sig är testets P-värde. styrka(sigma,n,alpha,ts) ritar styrkefunktionen vid hypotestest av Ñ=Ñ 0 (alternativt Ñ Ñ 0 eller Ñ Ñ 0 )därñ är väntevärdet i en normalfördelning med standardavvikelse sigma, n är antalet observationer som testet baserar sig på och alpha är den valda signifikansnivån. Nollhypotesen kan väljas olika beroende på värdet på ts. 5

10 6

11 Laboration 1 För att bli godkänt på denna laboration krävs att du kommer väl förderedd till laborationstillfället och att du jobbar aktivt under passet. Arbetet ska sparas i en m-fil. Till laborationen behövs en del datafiler (avslutas med.mat) och några specialskrivna m-filer (avslutas med.m). De går att finna på kursens hemsida Statistics Toolbox i Matlab Bekanta dig med vilka rutiner som ingår i Statistics Toolbox genom att skriva >> help stats I kursen kommer vi att ha mest användning av de kommandon som ges under rubrikerna Probability density functions (pdf) anger värdet på täthetsfunktionen för en specificerad fördelning Matlab: help help stats Cumulative Distribution functions (cdf) anger värdet på fördelningsfunktionen för en specificerad fördelning Random Number Generators simulerar slumptal från en specificerad fördelning Descriptive Statistics innehåller t ex medelvärde, varians och andra användbara mått vid dataanalys Hypothesis Tests innehåller olika beräkningar av hypotestest, av vilka vi kommer att använda några Statistical Plotting innehåller plotrutiner Egna Matlabrutiner För kursen finns ett antal specialskrivna m-filer som finns att hämta via kursens hemsida. De är uppbyggda på samma sätt som Matlabs egna rutiner, dvs genom att använda help-rutinen får du en beskrivning av m-filens funktion. I det följande ska du få pröva några av rutinerna genom att analysera en del material. 1.2 Sjödata I två olika sjöar, Sjö 1 och Sjö 2, har man en klar sommardag på olika platser i sjöarna gjort ett antal mätningar av ett visst näringsämne. Data finns i filen sjodata.mat där variablerna heter lake1 respektive lake2.användload sjodata för att ladda in data. Med kommandot whos ser du vilka variabler som blev inlästa. Genom att t ex skriva variabelnamnet lake1 ser du vilka de 12 mätningarna från denna sjö var. Matlab: hist load subplot whos 7

12 (a) Titta på data genom att göra histogram över mätningarna från respektive sjö. Pröva först att bara skriva hist(lake1), då gör Matlab en egen klassindelning på mätningarna från Sjö 1. Om du vill ha två histogram i samma figur (en för varje sjö) och med en klassindelning där klassmitt är placerade i heltalen (1,..., 15) kan du få det genom följande matlabkommandon (Kommandot subplot(2,1,1) delar fönstret i 2 1 figurer och gör redo att rita i position 1.) >> X=[1:15]; >> subplot(2,1,1) >> hist(lake1,x) >> subplot(2,1,2) >> hist(lake2,x) (b) Tänk ut vilka sammanfattande numeriska mått av data som du kan ha till hjälp i studien och beräkna dessa. (c) När mätningarna var gjorda upptäckte man att mätproceduren denna dag hela tiden gav ca 0.6 enheter för högt värde (man hade alltså introducerat ett så kallat systematiskt fel i mätningarna på 0.6). Hur kommer histogrammen att förändras när man ska korrigera för detta systematiska fel? Hur kommer de mått du beräknat i föregående deluppgift att förändras? (d) Kan du uttala dig någonting om nivån av detta näringsämne i Sjö 1? (e) Kan du uttala dig någonting om eventuella skillnader i näringsnivå mellan sjöarna? (Vi återkommer till data senare i kursen i samband med jämförelser mellan stickprov.) Matlab: mean normplot normrnd std 1.3 Normalfördelning? I skogsområdet ASA försökspark i Småland är 94 olika gropar grävda i marken och från varje grop är jordprover tagna där bland mycket annat aluminiumhalt och calciumhalt är uppmätta (mg/g). Data finns i filen jordprov.mat och är hämtade från Johan Holmqvist, Kemisk teknologi, LTH. (a) Rita ut aluminiumhalterna i ett histogram, beräkna medelvärde och standardavvikelse. (b) För att undersöka om data kan tänkas komma från en normalfördelning kan man använda matlabrutinen normplot. Simulera 94 observationer från en normalfördelning med det väntevärde och standardavvikelse som du skattat för aluminiumhalterna. (Kan göras med x=normrnd(mean(al),std(al),94,1) där variabeln x blir en vektor av längd 94 som innehåller de önskade slumptalen; se help normrnd för att förstå kommandot.) Plotta sedan de simulerade normalfördelade data i normplot (normplot(x)) förattsehurde beter sig i en sådan. (c) Använd normplot på aluminiumhalterna, verkar det rimligt att de är normalfördelade? (d) Gör samma sak med calciumhalterna. Undersök också om anpassningen blir bättre om du logaritmerar data först, dvs anpassar en lognormalfördelning till calciumhalterna. Matlab: hist normrnd normcdf 1.4 Hur bra är skattningarna? Du ska undersöka hur skattningar av väntevärde och varians beror av stickprovsstorleken. Utgå från en normalfördelning N(3, 2). Antag att väntevärdet 3 och variansen 4 är okända för oss och att vi vill skatta dem genom att ta ett stickprov, x 1,...,x n,omn observationer och bilda x respektive s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2. Hur nära kommer skattningarna de sanna värdena om stickprovsstorleken är 5? om den är 25? 8

13 (a) Simulera 1000 stickprov om 5 värden från N(3, 2) och skatta Ñ och 2 ivarjestickprov. Gör histogram över väntevärdesskattningarna. (b) Gör samma sak för 1000 stickprov som alla består av 25 observationer. (c) Vann man mycket på att öka stickprovsstorleken från 5 observationer till 25? Hur stor är sannolikheten att skattningen avviker mer än 1 enhet från det sanna värdet Ñ=3? då du använder 5 värden i stickprovet, 25 värden i stickprovet? (d) Gör även histogram för 2 -skattningarna och jmfr de två stickprovsstorlekarna n=5 och n=25. Är det ovanligt att skattningen av 2 avviker mer än 2 från det sanna värdet 4 (dvs understiger 2 eller överstiger 6) då n=5? då n=25? 1.5 Simulering av konfidensintervall (a) Fundera först på vad ett konfidensintervall beskriver. Vad betyder det att konfidensintervall för en parameter har gränserna, g 1 och g 2? (b) Simulera % konfidensintervall för Ñ ienn(ñ, )därñ=3 och =2 och intervallet är baserat på n=5 värden i stickprovet. Rita ut intervallen, hur många missar det sanna värdet Ñ=3? Matlab: normrnd plot (c) Gör samma sak med intervall som baseras på n=25 observationer. Hur skiljer sig dessa intervall från de som baserades på 5 observationer? Är det fler eller färre intervall som missar Ñ=3? 1.6 Projektet I SO 2 -projektet kan ni göra punkterna 1, 2 samt 4 i projektbeskrivningen. I NO X -projektet kan ni göra kan ni göra t o m avsnittet Simuleringsstudie Är modellen rimlig? i projektbeskrivningen. 9

14 10

15 Laboration 2 För att bli godkänt på denna laboration krävs att du kommer väl förderedd till laborationstillfället och att du jobbar aktivt under passet. Arbetet ska sparas i en m-fil. Till laborationen behövs en del datafiler (avslutas med.mat) och några specialskrivna m-filer (avslutas med.m). De går att finna på kursens hemsida Gäddor Kvicksilverhalten hos gäddor med ungefär samma storlek varierar från gädda till gädda. De uppmätta halternakan ses som observationer av N(Ñ, ). För 10 gäddor fångade i en sjö erhöll man halterna (enhet: mg/kg): Matlab: ttest Kan man med de erhållna resultaten på nivån 0.05 (a) förkasta H 0 : Ñ 1.0motH 1 : Ñ > 1.0? (b) förkasta H 0 : Ñ 1.0motH 1 : Ñ < 1.0? (c) Använd kommandot ttest i Matlab (mata in data själv) för att göra ovanstående tester och förvissa dig om att du förstår Matlabs utskrifter. 2.2 Illustration av enkel linjär regressionsmodell Simulera data för att undersöka hur värdet på påverkar den enkla linjära regressionsmodellen och de slutsatser man kan dra från data. (a) Skapa en vektor x med värden 1, 2,..., 10 och en variabel y som erhålls genom det teoretiska linjära sambandet y= + x, där och är kända. Välj t ex y=10+2x. Addera normalfördelade mätfel N(0, ) med = 2.3 till variabeln y. I matrisform är vår modell alltså y 1 1 x x 2 ) 2 y ( 2. =.. y n 1 x n + med y i som observation i, x i som kovariat i, regressionsparametrar = 10, = 2. Antalet datapunkter är n = 10. I Matlab:. n Matlab:.* hold plot regress >> x=[1:10] % kovariater >> sigma=2.3 % std.av. för mätfel >> epsilon=normrnd(0,sigma, 10,1) % simulerade mätfel 11

16 >> y=10+2*x+epsilon % observationer >> plot(x,10+2*x) >> hold on >> plot(x,y, x ) (b) Skatta regressionslinjen. Matlab: För att skatta regressionslinjen utnyttjar vi Matlabs rutiner för ekvationslösning. Bilda matrisen X som är en (10 x 2) matris med första kolumnen enbart ettor och andra kolumnen bestående av x-värdena. Skattningarna av alpha och beta fås genom att lösa ekvationssystemet X*BETA=y, där BETA=[alpha, beta]. Skatta regressionslinjen och rita ut den tillsammans med den teoretiska linjen. (Här används Matlabs inbyggda metod \ för lösning av ekvationssystem med minsta kvadratmetoden.) >> X=[ones(10,1) x] >> BETAhat=X\y % skattar alfa och beta i modellen >> yhat=x*betahat % predikterar y mha alfa och beta >> plot(x,yhat, : ) % ritar den skattade linjen >> hold off (c) Titta på residualerna för den skattade modellen/linjen. Skatta och jämför med sant. >> r=y-yhat; % beräknar residualer >> plot(x,zeros(10,1)) % plottar en x-axel >> hold on >> plot(x,r, x ) % plottar residualerna >> sigmahat=sqrt(sum(r.*r)/8) % skattar standardavvikelsen >> hold off Hur påverkas skattningarna av och ifall ändras? (d) I Matlab finns en inbyggd funktion för regressionsanalys, regress. Pröva hjälpkommandot help regress för att ta reda på hur in- och utargumenten ser ut. Använd regress för att skatta regressionslinjen ovan. Hur beräknas konfidensintervall för parametrarna? Jämför de intervall som erhålls från regress. Jämför med de sanna värdena på och ; täcker intervallen över parametrarna? Matlab: reggui 2.3 Kalibrering av HPLC-instrument För att kalibrera ett high pressure liquid chromotography (HPLC) instrument avlästes instrumentet för en rad kända koncentrationer. Data finns i filen kalibrering.mat. Dye conc HPLC peak area Dye conc HPLC peak area Använd den av oss specialskrivna Matlabrutinen reggui för att analysera data. Bekanta dig med alla de finesser som denna rutin erbjuder (vilka intervall den kan rita ut, hur man kan identifiera outliers osv.) (a) Verkar data kunna beskrivas väl av ett linjärt samband? Titta på residualerna, uppvisar de någon trend? Är de normalfördelade? Om normalfördelning, vad skattar du väntevärdet till i denna fördelning? Skriv ner en modell för data. (b) Vad är den skattade regressionslinjen? Hur stor är den skattade variansen kring linjen? Ledtråd: Klick med musen i grafen och studera reggui:s resultat som visas i övre delen av fönstret. 12

17 (c) Då koncentrationen är 0 borde HPLC instrumentet ge utslag 0. Motsäger dina data detta? (d) Om man har koncentrationen 0.22, vad är det 95 % konfidensintervallet för genomsnittligt HPCL värde? (e) Om man har koncentrationen 0.22, vad är det 95 % prediktionsintervallet för motsvarande HPCL värde? (f) Eftersom man vill använda den skattade linjen som en kalibreringskurva: antag att HPCL instrumentet på ett prov med okänd koncentration visar 22.1 enheter, vad kan du säga om koncentrationen i provet? Vilken osäkerhet har du i din utsaga? 2.4 Cement Detta datamaterial illustrerar hur x-variabler som är (approximativt) linjärt beroende, s k kolinjära, kan påverka regressionsanalysen. Experimentet beskrevs i Industrial and Engineering Chemistry redan I 13 försök har man mätt värmeutvecklingen i stelnande cement som funktion av viktprocenten av några ingående ämnen. I filen cement.mat finns följande variabler: Matlab: corrcoef plotmatrix regress varme utvecklad värme i kalorier per gram cement cem1 viktprocent av 3CaO Al 2 O 3 cem2 viktprocent av 3CaO SiO 2 cem3 viktprocent av 4CaO Al 2 O 3 Fe 2 O 3, cem4 viktprocent av 2CaO SiO 2 Man vill kunna avgöra vilken eller vilka av de fyra cementvariablerna som ska användas i en modell för att förutsäga värmeutvecklingen. Man ansätter en multipel linjär regressionsmodell där varme är responsvariabel och cementvariablerna oberoende variabler. Problemet är att vissa av de fyra cementvariablerna samvarierar kraftigt med varandra vilket kommer att påverka regressionsanalysen. (a) Undersök om det finns någon samvariation mellan de fem olika variablerna genom att t.ex. beräkna korrelationsmatrisen mellan variablerna. Med kommandot corrcoef([cem1 cem2 cem3 cem4 varme]) får du en matris där elementen på t.ex. rad 2 är korrelationskoefficienterna mellan cem2 och variablerna cem1, cem2, cem3, cem4 respektive varme. Plotta i tvådimensionella diagram de variabler mot varandra som verkar samvariera. Kommandot plotmatrix är till stor hjälp. (b) Beräkna först en full regressionsmodell med varme som responsvariabel och samtliga fyra cementvariabler som förklarande variabler, dvs y i = x i,1 + 2 x i,2 + 2 x i,3 + 4 x i,4 + i, i = 1,...,n, där y i är responsvariabeln (varme), x i,1...,x i,1 är de fyra cementvariablerna (cem1,..., cem4) och i är oberoende likafördelade störningar med väntevärdet 0 och variansen 2. Använd regress och kom ihåg att designmatrisen X ska inledas med en kolumn av ettor, dvs y 1 1 x 1,1... x 1,4 0 1 y 2.. = 1 x 2,1... x 1, y n 1 x n,1... x n,4 4 n Vilka koefficienter är signifikant skilda från noll? Enligt detta resultat, vilka variabler ska vara med i modellen? Är svaret rimligt? (c) Pröva olika kombinationer av förklarande variabler i regressionsmodellen (använd den nyss beräknade korrelationsmatrisen för att gissa vilka variabler som bör vara med). Jämför konfidensintervallen för -koefficienterna, skattningen av och residualerna för de olika 13

18 modellerna. Vilka cementvariabler verkar vara de viktigaste för att förutsäga värmeutvecklingen? Matlab: reggui 2.5 Koldioxidhalt över en vulkan Datamaterialet som du skall arbeta med i denna uppgift är koldioxidhalter uppmätta över en vulkanvarjemånad under en period av 32 år, dvs totalt finns = 384 mätvärden. Materialet finns i filen co2.mat. Månadsdata finns i variabel co2data och genomsnittlig årsdata finns i co2medel. (a) Plotta månadsdata. Notera den kraftiga periodiciteten (årsvariationen) i mätningarna. Eftersom periodiciteter inte låter sig fångas så lätt med en polynomiell regressionsfunktion har månadsdata medelvärdesbildats årsvis. Plotta årsmedelvärdena. (b) Vi skall nu göra polynomregression på materialet, dvs vår modell är y i = x i + 2 x 2 i + + k x k i + i, i = 1,...,n, där i är oberoende likafördelade störningar med väntevärdet 0 och variansen 2.Tänk efter att detta är en multipel linjär regressionsmodell, vilka är de oberoende variablerna? (c) Börja med att anpassa en enkel linjär regressionsmodell till datamaterialet, dvs polynomets ordningsgrad k = 1. Skattningarna av och = 1 erhålles med hjälp av funktionen reggui. Verkar en rät linje vara en tillfredsställande regressionsmodell? Studera residualerna (ev trender, ev normalfördelade) samt konfidensintervallen för parametrarna. (c) Pröva med polynomregressionsmodeller med k=2 och högre. Vilket k-värde på modellen beskriver årsmedelvärdena bäst? 2.6 Projektet Nikangörasamtligapunkterianalysen. 14

19 Projektuppgifter I kursens projektuppgift arbetar du tillsammans med en kurskamrat. Handledning ges enligt kursschemat. Det är möjligt att du behöver mer tid utöver det schemalagda för att slutföra uppgifterna. Samtliga datafiler skall du kunna nå via kursens hemsida. Du blir tilldelad en av uppgifterna: Svaveldioxid i luft eller Kväveoxider från en naturgaseldad värmepanna. Målsättningen med projektet är bl a att du: skall träna på att hämta ett problem ur verkligheten och med hjälp av ett insamlat material konstruera en rimlig statistisk modell samt göra en kritisk granskning av modellen och dess förmåga att beskriva verkligheten; skall tillämpa dina kunskaper och med hjälp av Matlab analysera ett miljöstatistiskt datamaterial; skall träna på att skriftligt redovisa antaganden, modeller och slutsatser från en statistisk analys; skall träna på att läsa och kritiskt granska en skriftlig rapport. Redovisningen görs i form av en skriftlig rapport. Vilka krav det finns på utformningen kan du läsa om i avsnittet utformning av projektredovisning nedan. Senast torsdag 8 december kl lämnas den till en annan grupp i kursen som ej har samma uppgift som ni. Samtidigt får din grupp en rapport att läsa. Under schemalagd tid, måndag 13 december, lämnar ni synpunkter och kommentarer på era respektive rapporter till varandra samtidigt som en granskningsrapport lämnas till handledare. En mall som lämpligtvis används för granskningsrapporten finns i detta material och delas också ut i god tid före granskningsmomentet. Rapporterna skall uppdateringar enligt granskarnas krav och lämnas in till handledare senast måndag 13 december kl 17.00(..). Återlämning, diskussion och eventuell korrigering eller komplettering sker på handledningstid torsdag 16 december. Utformning av projektredovisning Målgruppen för rapporten är en person med bakgrundskunskaper som en student i samma årskurs, som läst den aktuella kursen men inte är insatt i detaljerna i den aktuella uppgiften. Språket i skriften skall vara anpassat för målgruppen och texten skall vara tillräckligt fyllig för att en person i målgruppen utan större ansträngning skall kunna följa med i resonemang och motiveringar. Skriften skall vara korrekturläst så att språk- och skrivfel är rättade. Rapporten skall fungera fristående från laborationshandledningen. Den löpande texten bör vara väl strukturerad med tydliga avsnittsrubriker. Rapporten skall ha en inledning där uppgiftens problemställningar beskrivs samt en sammanfattning. Om det motiveras av innehållet och underlättar förståelsen av texten skall skriften vara försedd med figurer, diagram och tabeller. Figurer och tabeller skall vara försedda med titel och en beskrivande text, vara tydligt numrerade samt vara infogade i anslutning till den löpande texten. Notera om Matlab-kod som ingår i rapporten får endast finnas som bilagor. I analysen skall matematiska modeller och term användas, ej Matlab-kod. 15

20 Rapporten skall lämnas häftad eller infogad i en enklare mapp och den skall vara skriven med hjälp av ordbehandlingsprogram. Vi rekommenderar LaTeX framför program som Microsoft Word eftersom LaTeX underlättar och sparar mycket tid då man skall författa rapporter med matematiska uttryck eller skapa automatiska innehållsförteckningar etc. LaTeX finns på våra datorsystem, men finns även gratis till alla operativsystem för att installera hemma. Datoransvarig Carl-Gustav Werner (MH:403) säljer en CD för Windows med LaTeX m.m. för självkostnadspris. Lathunden Att skriva rapporter med LaTeX av Per Foreby går att köpa på institutionen. Kommentarer från kamratgranskare ges dels skriftligt i form av ett granskningsformulär, dels muntligt vid en diskussion där handledare är närvarande. Kommentarer från rättande lärare kommer att vara relativt utförliga. De kommer att framföras skriftligt eller muntligt och med tillfälle till en kort diskussion. Kamratgranskning Några saker att tänka på när man läser en annans rapport: Du kommer säkert många gånger i ditt kommande arbetsliv att behöva granska rapporter. Du kommer också att skriva rapporter som du kanske vill ha kommentarer på innan de blir mer offentliga. Tag därför din granskningsuppgift på allvar, det kan vara en hjälp både för dig och din kurskamrat. Ett vanligt fel när man skriver denna typ av rapport är att man inte är tillräckligt tydlig. Man är så uppe i sitt eget resonemang att vissa saker är självklara fast det inte är det för läsaren. Kommentera om det brister i tydlighet, om du saknar någon bild eller information som du tror dina kurskamrater kunde ha presenterat. Kommentera naturligtvis om du tycker att den statistiska modellen eller angreppssättet är felaktigt. Ni kommer att ha gott om schemalagd tid att diskutera och korrigera. Stavfel och språkliga fel kan kännas petigt eller tråkigt att kommentera, men dina kommande arbetskamrater (eller chef!) kommer inte att vara lika finkänsliga! Slutligen..., Ha följande visdomsord i åtanke när du arbetar med uppgifterna. Som alltid när man är utkastad i verkligheten: Det finns inte något facit till problemet eller uppgiften, bara bra eller mindre bra lösningar. Som alltid i en kurs: Det är inlärningen under tiden, själva processen, som avgör hur framgångsrikt projektet är. Lycka Till! 16

21 Formulär för gruppvis kamratgranskning Detta formulär är avsett att användas för gruppvis kamratgranskning av projektuppgiftens rapporter. Anvisningar Läs först igenom frågorna i detta formulär. Orientera dig om frågeställningarna i det projekt som du granskar. Läs igenom rapporten utan att skriva något i formuläret. Fyll därefter i formuläret tillsammans med de övriga i gruppen. Diskutera och motivera era synpunkter! Gör gärna även kommentarer direkt i rapporten. Efter genomförd granskning, lämna formuläret tillsammans med den granskade rapporten till rapportförfattarna. Lämna samtidigt en kopia av formuläret till handledaren. Rapportdata Datum: Uppgifter om granskare: Namn 1: Namn 2: Uppgifter om författare: Namn 1: Namn 2: 17

22 Granskningsfrågor Frågeställningar angående innehållet Ja Nej 1. Är alla uppgifterna i projektuppgiften utförda? 2. Finns det relevanta figurer och tabeller i rapporten? 3. Har förutsättningar, förenklingar och gjorda antaganden tydligt redovisats? 4. Vid den statistiska analysen finns det relevanta: modellantaganden? rimlighetsbedömning/kontroll av modellantaganden? hypoteser? beräkningar av test eller konfidensintervall? tydliga slutsatser? Frågeställningar kring utformningen Ja Nej 5. Är rapporten försedd med: titelsida med författarnas namn? sammanfattning? innehållsförteckning? sidnumrering? datum? 6. Har rapporten blivit korrekturläst? Är språk- och skrivfel rättade? 7. Är figurer, tabeller och liknande försedda med figurtexter och tydlig numrering? 8. Har alla figurer storheter inskrivna på alla axlar? 9. Är den löpande texten väl strukturerad med tydliga avsnittsrubriker? 10. Är rapporten lättläst och läsbar utan tillgång till laborationshandledningen? 11. Är rapporten anpassad till målgruppen? 18

23 Kommentarer Nedan finns utrymme för kommentarer till granskningen. Både positiv och negativ kritik bör finnas med. Tänk efter vilka synpunkter ni själva hade haft nytta av, om ni varit rapportförfattare. Om ni svarat nej på någon fråga, bör ni motivera detta. Om ni behöver, fortsätt på baksidan. 19

24 20

25 PROJEKTUPPGIFT: Svaveldioxid i luft Det datamaterial som ni ska studera består av drygt 10 års dagliga mätningar av halten av svaveldioxid i luft vid Rörvik i norra Halland och vid Ekeröd/Vavihill i Skåne under perioden Några frågeställningar som ni ska arbeta med är: Hur påverkas halterna av luftmassans ursprung? Kan man t.ex. påvisa att en luftmassa från Polen i genomsnitt innehåller mer SO 2 än luft från Tyskland? Kan extremt höga halter kopplas till ett visst ursprungsområde? Hur varierar svaveldioxidhalten under året? När på året uppmäts SO 2 -halter med extremt höga värden? Har det skett någon långsiktig förändring av föroreningshalten under de år mätningarna pågått? Är trenden den samma för luftmassor från kontinenten som för luft från Sverige? Vid den skånska mätstationen Ekeröd flyttade man mätningarna till Vavihill under Har detta påverkat uppmätta SO 2 -halter? Mätningarna är utförda av IVL (Institutet för Vatten- och Luftvårdsforskning). Den följande texten är delvis hämtad från rapporterna Lövblad G, Omstedt G och K. Sjöberg: Vädrets inverkanpå föroreningshalteroch depositioner i bakgrundsluft i Sverige, IVL-Rapport B 922. H. Rodhe: Kompendium i luftföroreningsmeteorologi, Meteorologiska institutionen, Stockholms universitet, Vädrets inverkan på halten av föroreningar i luft De föroreningar som släpps ut till luften transporteras och omvandlas kemiskt i atmosfären innan de slutligen deponeras. Alla dessa processer påverkas av vädret och dess variationer i tid och rum. källa CO 2 N 2 O 2 atmosfären substans SO x sänka torrdeposition våtdeposition N 2 O 2 CO 2 atmosfären ny substans SO y sänka torrdeposition våtdeposition Figur 2.1: Modell för en substans flöde genom atmosfären. Några exempel: Vinden bestämmer vart föroreningar tar vägen och hur fort. Atmosfärens turbulens bestämmer hur föroreningar sprids och blandas. 21

26 Solinstrålningen, temperaturen och fuktigheten påverkar de kemiska processerna i luften. Nederbörden bestämmer våtdepositionen. Vintertid i samband med låga vindhastigheter, liksom nattetid vid klart väder, är temperaturen lägst närmast marken på grund av värmeutstrålning från marken. Detta kan resultera i ett kraftigt markinversionsskikt inom vilket föroreningar som emitterats inom skiktet ansamlas, (figur 2.2). Höga halter av olika antropogena föroreningar kan då uppstå i marknära skikt. Vintertid kan sådana förhållanden vara flera dygn, ibland lokalt mer än en vecka. I tätorter förekommer knappast markinversionsskikt bland annat på grund av att markytans skrovlighet även vid svaga vindar ger upphov till en omblandning av luften vilket gör temperaturskiktningen neutral, lufttemperaturen avtar med höjden. Omblandningen som förosakas av trafiken samt den konvektiva omblandningen från värmeutsläppen i en tätort bidrar också till den neutrala temperaturskiktningen. Däremot kan det bildas ett inversionsskikt på lite högre höjd, (figur 2.2). Detta är en normal situation i tätorter, speciellt vintertid. markinversion nattlig markinversion extremt stabil höjdinversion tätort vintern höjd över markytan inversionsskikt temperatur temperatur temperatur neutral skiktning Figur 2.2: Exempel på inversionsskikt. Temperaturförhållandena i marknivå styr också i viss mån utsläppens storlek såväl från energiproduktion (ökat uppvärmningsbehov under kalla dagar) som från trafiken (kalla motorer ger t. ex. större utsläpp av oförbrända kolväten). Under kalla perioder samverkar alltså ofta större utsläpp och sämre omblandningsförhållanden vilket resulterar i starkt förorenad luft i områden kring utsläppskällor. Den i området aktuella luftmassan kommer då att präglas av dessa föroreningar. Dessa egenskaper kommer den då att bära med sig vid fortsatt transport. Vi kan få en långväga transport av kraftigt förorenad luft. Transport av föroreningar i atmosfären I atmosfären utsläppta föroreningar kan transporteras långa sträckor, över 1000 km, innan de via olika sänkprocesser försvinner ur denna. Sänkprocessen kan till exempel utgöra en kemisk reaktion där föroreningen reagerar tillsamman med övriga ämnen i atmosfären, solljuset utgör här en viktig katalysator. Då syrgas utgör en av huvudbeståndsdelarna i atmosfären, är olika former av oxidationsprocesser sannolika. Motsvarande gäller för kvävgas, (jmfr smogbildning). Föroreningarna kan också lämna atmosfären (luftmassan) och via olika depositionsprocesser övergå till mark och vatten. Se figur 2.1. Luftföroreningar som deponerats i Sverige kan härledas till utsläppskällor på avsevärda avstånd. Olika väderprocesser, transportväg och utsläppsförhållanden kommer därför att påverka luftföroreningarna på ett komplicerat sätt. Vid en plats kommer därför halten i luft att variera kraftigt beroende på variationer i dessa processer. 22

27 Ibland inträffar perioder ofta av kort varaktighet (så kallade episoder) då luftföroreningshalten stiger markant jämfört med normalvärdena. Typexempel på väderförhållanden som leder till förhöjda halter i skandinavisk bakgrundsluft, framförallt av svaveldioxid, är att ett mäktigt och omfattande högtryck över central- och östeuropa sakta förflyttar sig österut. Vid kall väderlek i samband med högtrycket förekommer stora utsläpp och dålig omblandning, därmed får vi höga halter lokalt varvid förorenad luft transporteras med svaga sydvindar norrut (figur 2.3). Vid spridning av föroreningar över större avstånd (regionalt eller globalt) hinner tranformations- och depositionsprocesser påverka halterna på ett avgörande sätt. N L H O Figur 2.3: Schematisk bild av luftens strömning i lägre höjdskikt kring låg- och högtryckscentra för norra halvklotet. Depositionsprocesser Atmosfären har en självrenande förmåga, som är av stor betydelse i luftföroreningssammanhang. Nederbörden är en av de viktigaste leden i självreningen, det krävs i princip endast att föroreningen är vattenlöslig eller på något sätt kan bindas till vattendroppar och snökristaller. Föroreningen tvättas bokstavligen ur atmosfären - våtdeposition. En annan form av rening sker när föroreningen direkt avsätter sig på marken, ett föremål eller en växt - torrdeposition. Vid torrdeposition är olika former av sedimentations-, impaktions- samt diffusionsprocesser betydelsefulla. Våtdeposition sker direkt via nederbörden. Svaveldioxid Förbränning av fossila bränslen utgör den viktigaste källan till svaveldioxid. De fossila bränslena innehåller varierande halter av olika spårämnen bland annat svavel. Kol och olja kan innehålla ganska höga halter mellan 0.1 och 5 procent svavel, medan det i naturgas sällan finns mer än 0.1 procent svavel. Vid förbränningen av det fossila bränslet kommer svavlet att reagera (oxidera) med syret i den tillförda förbränningsluften varvid främst svaveldioxid SO 2 (i gram) bildas, som i princip kommer att kunna släppas ut i atmosfären tillsammans med rökgaserna. En fortsatt oxidation kommer att ske varvid det bildas svaveltrioxid, SO 3, som direkt tar upp vatten och därmed har det bildats svavelsyra, H 2 SO 4. Svaveldioxiden som släpps ut i atmosfären utgör alltså inte en stabil förening utan en källa som tillsammans med övriga ämnen i atmosfären reagerar till nya ämnen. Omfattningen och fördelningen av den totala emissionen av svaveldioxid i Europa i början av 1970-talet exemplifieras i figur 2.4. Mätvariabler Mätningar i bakgrundsluft i Sverige utförs sedan slutet av 1970-talet inom den svenska delen av EMEP (The Cooperative Programme for Monitoring and Evaluation of the Long Range Trans- 23

28 Norge 0.15 milj. ton ton/km2 Sverige 0.55 milj. ton ton/km Finland 0.54 milj. ton ton/km Storbritannien Sovjetunionen 4.98 milj. ton 24 milj. ton Rörvik ton/km ton/km Danmark Tyskland Polen 0.46 milj. ton 5.6 milj. ton 3.0 milj. ton 10.7 ton/km ton/km 9.60 ton/km Figur 2.4: Svaveldioxidemissioner i några europeiska länder 1973, milj. ton SO 2 /år. missions of Air Pollutantsin Europe) vilket är ett europeiskt nät för miljöövervakning. De svenska stationerna (figur 2.5) är belägna så att den lokala påverkan på halterna ska vara obetydlig. Vi kommer att koncentrera oss på mätningar av svaveldioxid från halländska Rörvik, belägen ca 50 km söder om Göteborg, och från Ekeröd/Vavihill mitt i Skåne. Det aktuella datamaterialet består av dagliga mätningar av SO 2 under perioden Den skånska stationen är lite speciell eftersom data är hämtade från två olika mätstationer, placerade ca två kilometer från varandra. Från Ekeröds mätstation finns data under perioden och från Vavihills mätstation under perioden Observera alltså att under en period i september 1984 finns data från båda stationerna. Luftföroreningstransporten över Europa följer vädersystemens rörelser. Transportbanan för ett luftpaket (s.k. trajektoria) kan beräknas ur meteorologiska data. Vid trajektorieberäkningarna erhålles luftpaketets läge med ett koordinatpar var 4:e timme under 96 timmar innan det anländer till den aktuella mätstationen. För att underlätta utvärderingen har ett klassningssystem utarbetats: Kring varje beräkningspunkt (mätstation) ritas två cirklar, med radierna 150 respektive 1500 km (figur 2.6). Endast koordinatpar mellan dessa cirklar beaktas. Området delas i åtta sektorer om vardera 45. De numreras medurs från 1 till 8. Om hälften av koordinatparen återfinns inom en sektor, tillskrivs den dagen transport från denna sektor, är koordinatparen spridda till flera sektorer ansätts de som sektor 0 (Rörviksdata) eller 9 (Ekeröd/Vavihilldata), obestämt ursprung. För det aktuella dataunderlaget är sektoruppdelningarna gjorda utifrån dygnsvärden med tillhörande bestämbar transportriktning. Transportriktningsberäkningarna har erhållits från Norske Meteorologiske Institutt och är framtagna inom ramen för EMEP-programmet. 24

29 Bredkälen o o Velen Rörviko o Vavihill/Ekeröd o Hoburg Figur 2.5: De svenska mätstationerna inom EMEP-nätet. Datamaterialet Datafiler Varje grupp får en bit av det stora datamaterialet från Rörvik att analysera, mätningar från juli 1979 till juni 1990 men dygnsmedelvärde enbart för var 10:e dag (ca 410 observationer från vardera station). Dessa data finns tillgängliga i filerna rorvikxx där xx är ert gruppnummer (grupp 7 hämtar alltså sina data från rorvik07). Ni kommer också, i en av uppgifterna, att behöva samtliga mätningar från Ekeröd/Vavihill. De finns i filerna ekerod och vavihill. Sammanfattningsvis finns följande filer: N V 7 150km 3 Ö 1500km S Figur 2.6: Klassning av trajektorier enligt det Norske Meteorologiske Institutt. 25

30 rorvikxx Mätningar gjorda var 10:e dag från Rörvik under perioden ekerod Mätningar gjorda varje dag från Ekeröd under perioden vavihill Mätningar gjorda varje dag från Vavihill under perioden Observera att de överlappar något mätningarna från Ekeröd, man har alltså i september 1984 mätningar från både Ekeröd och Vavihill. Uppmätta variabler De variabler som finns tillgängliga i filerna är: so2y (där y är r, e eller v beroende på mätstationen) Dygnsmedelvärde av SO 2 (Ñg/m 3 )i luft, var 10:e dag, under den aktuella tidsperioden. Värdena är angivna i tidsföljd. När av någon anledning inga bestämningar kunnats göra anges värdet 99. manady (där y är r, e eller v beroende på mätstationen) Månad (1 12) vid vilken SO 2 - mätningen är gjord. Observera att manady är kopplad till so2y på så sätt att element nr k i manady hör ihop med elementet nr k i so2y. sektory (där y är r, e eller v beroende på mätstationen) Transportriktningen (sektor 1 8) hos den luftmassa vid vilken SO 2 -mätningen är gjord enligt beskrivning ovan (se figur 2.4) Om trajektoriet är obestämt eller inga bestämningar är gjorda anges värdet 0 i Rörvikdata men värdet 9 i Ekeröd/Vavihilldata. Observera att sektory är kopplad till so2y och manady på så sätt att element nr k i sektory hör ihop med elementeten nr k i so2y och manady. Analys 1. Preliminär analys Börja med att titta på data från Rörvik. Finns det några konstigheter i data? Ange enkla statistiska egenskaper som t. ex. medelvärde, standardavvikelse, histogram. Vilken fördelning verkar SO 2 följa? Är det kanske lämpligt att göra en transformation av svaveldioxidhalten? 2. Finns det skillnad mellan transportriktningar? Använd data från Rörvik och jämför SO 2 -halter för luftmassor från olika ursprungsområden. Använd gärna en figur som är uppbyggd som figur 2.4 för att illustrera eventuella skillnader. Relatera era resultat till den europeiska kartan. Undersök om det finns skillnader i SO 2 -halt mellan luftmassor som passerat via Ryssland och de som har sitt ursprung från Tyskland. (Eventuella skillnader måste verifieras, dvs vara statistiskt påvisbara.) 3. Hur varierar SO 2 -halten under året? Dela upp rörviksmätningarna beroende på vilken årstid de är gjorda, förslagsvis vår (mar maj), sommar (juni aug), höst (sep nov) och vinter (dec feb). Finns det påvisbara skillnader i SO 2 -halt mellan sommar och vinter? 4. Finns det någon trend i SO 2 -halt under den observerade tiden? Har SO 2 -halten förändrats under den studerade perioden? Antag att logaritmerad SO 2 -halt i Rörvik följer en linjär trend och ange ett konfidensintervall för förändringen. Verkar trenden vara den samma för luftmassor från kontinenten som från Sverige? 26

31 5. Påverkade flyttningen av mätstationen mätdata? Använd data från filerna ekerod och vavihill för att undersöka om det finns någon skillnad mellan SO 2 -värdena före och efter flyttningen av mätinstrumenten vid skånestationen? Gör ett konfidensintervall för skillnaden i genomsnittsvärden. Kan du utnyttja att man under en kort period har mätningar från båda platserna? 6. Sammanfattning Sammanfatta de viktigaste resultaten från er undersökning. 27

32 28

33 PROJEKTUPPGIFT: Kväveoxider från en naturgaseldad värmepanna Det datamaterial ni ska studera består av fem vintermånaders mätningar av NO x -mängden i luften kring en naturgaseldad värmepanna i ett bostadsområde i Åkarp. Några frågeställningar som ni ska arbeta med är: Är halten av kväveoxider i värmepannans avgaser så stor att den är hälsofarlig för dem som bor i huset? Hur stort är pannans tillskott av kväveoxider till luften? Hur förändras de slutsatser ni gör om överskridande av gränsvärde då ni tar hänsyn till att mätningarna störs av mätfel? Bakgrund till mätningarna, mätuppställning och mätinstrument är beskrivna i detta avsnitt. Texten är i huvudsak hämtad från rapporten Vannerberg, Christina & Holmstedt Göran : Spridning av NO 2 från en naturgaseldad väggpanna, Institutionen för brandteknik, LTH, Inledning Naturgaseldning ger i förhållande till eldning med kol, olja, torv och ved väsentligt mycket mindre emissioner av stoft, svaveldioxider, tungmetaller och oförbrända kolväten. När det gäller emission av kväveoxider, NO x, ger natugaseldning, med nuvarande teknik, halter av NO x /MJ i samma storleksordning som eldning med övriga bränslen. Vid vissa konstruktioner av naturgaseldade villapannor krävs korta tillufts- och avgasvägar, varför panna placeras nära en yttervägg med avgasröret monterat rakt genom väggen. För denna typ av utsläppsanordning är man intresserad av att veta hur nära marken pannans avgasutsläpp kan placeras, utan att man riskerar hälsofarliga halter av NO 2 där människor vistas. Målsättning En mätning av NO x -halten på olika avstånd från avgasutsläppet från en naturgaseldad villapanna, en sk väggpanna, har gjorts under perioden december 1987 april Målsättningen med mätningarna har varit att erhålla långtidsvärden för NO 2 (6 månaders medelvärden). Dessa långtidsvärden ska sedan jämföras med Naturvårdsverkets NO 2 -gränsvärde för 6-månader, och tjäna som underlag för bedömning av riskavstånden från pannans avgasutsläpp till fönster, ventilationsöppningar och mark. Mätplatsen Mätningarna gjordes i ett bostadsområde i Åkarp, ett samhälle som ligger ca 1 mil NV om Malmö. Bakgrundshalten av NO x i området är påverkad av källor från Malmö stad, motorvägarna E6 och E22 samt Lund. Avståndet från E6 och E22 till mätplatsen är ca 500 m respektive 1500 m. 29

34 Totalt 25 mätpunkter var utplacerade på och kring ett av husen med gaseldad panna. Invid fasaden på olika avstånd från avgasutsläppet placerades 21 punkter medan 4 mätpunkter har placerats framför eller bakom huset enligt figur 2.7. I denna uppgift ska ni studera mätningarna från punkt 3, placerad invid fasaden 3 m ovanför avgasutsläppet, samt från punkt 25, placerad på 1.5 mhöjdca10mbakomhuset. Placeringen av punkt 25 är av speciellt intresse eftersom man tänker sig att bakgrundsnivån av kväveoxider i området representeras av just denna mätpunkt. Söder om mätpunkt 25 finns ett bostadsområde med 20 gaseldade pannor av just den typ vi studerar. I östlig och västlig riktning om mätpunkt 25 finns de två motorvägarna medan ett större åkerområde, med inga direkta utsläpp av kväveoxider, utbreder sig norr om mätpunkt 25. #3 #25 N utsläpp 1 S Figur 2.7: Plan över mätpunkternas placering Data om villapannan Villapannan är av typen Vaillant VC 112 E. Pannan eldas med naturgas och har en maxeffekt på ca 10.5 kw. Vid denna effekt är rökgasvolymen ca 20 Nm 3 /h, dvs brännarens luftöverskottsfaktor eller Ð-tal är lika med Temperaturen i rökgaserna är ca 120 C. Rökgaserna innehåller ca ppm NO x varav ca 20% är NO 2. Koncentrationen av O 2, CO 2 och H 2 O irökgaserna uppskattades till 9.2, 5.5 resp %. Avgaserna leds inte upp genom en skorsten utan avgaskanalen mynnar horisontellt direkt i fasaden. Utsläppet sker med forcerat drag, vilket innebär att rökgaserna blåses ut horisontellt, med enhastighetpåca2m/s.pannansutsläppärplaceratpåenhöjdavca2.6movanmarkplanetoch ca 0.6 m från hörnet. Mätsystemet Mätsystemets insamlingsenhet bestod av 25 st 3.75 l tuber, som via 6 mm teflonslangar tog in luft från de olika mätpunkterna. Innehållet i tuberna analyserades med en period om 35 minuter. NO x -analysen för varje tub tog 40 sekunder. Efter analysen evakuerades tuben så att en ny mängd luft kunde sugas in. Samtidigt spolades analysatorn igenom med N 2 för att en nollnivå för nästa mätning skulle erhållas. Detta gjordes under ytterligare 20 sekunder. Således tog analysen av samtliga mätpunkter, en sk mätcykel, 25 minuter. Efter en mätcykel gjordes ytterligare genomspolning av ren kvävgas på samtliga tuber. Orsaken till att analysatorn spolades med ren kvävgas, kalibreringsgas, var att en betydande drift observerades i NO x -analysatorn. 30

35 Förutom NO x -halt har vindriktning, vindhastighet, utomhustemperatur och pannans avgastemperatur registrerats kontinuerligt. Mätningen av avgastemperaturen gav en indikation på om pannan var i drift eller inte. NO x -analysatorn Instrumentet som använts vid mätningen av kväveoxider är en AAL-model 443, NO/NO x chemiluminescent analyser, med mätområde 0-10 ppm. Mätprincipen för analysatorn bygger på den kemiluminescenta reaktionen mellan kväveoxid och ozon NO + O 3 NO 2 + O 2 vilken utsänder ljus med en intensitet som är direkt proportionell mot kväveoxidhalten. Ljusstyrkan mäts med ett fotomultiplikatorrör. Den totala halten av NO och NO 2 i luften erhölls genom att först katalytiskt omvandla NO 2 till NO. Den valda analysatorn är speciellt konstruerad för att mäta på förbränningsgaser. Vid mätningen kondenseras vattnet ej ut och detektorcellen arbetar vid ett så lågt tryck att inverkan av gassammansättningen (luft - CO 2, H 2 O förhållande) på mätsignalen kan försummas. Datamaterialet Datafiler Varje grupp får en bit av det stora datamaterialet att analysera, ca 3000 mättillfällen från punkt 3 (på fasaden) och punkt 25 (bakom huset). Data från den mätpunkt ni ska studera finns tillgängligt ifilnoxgrxx där xx är ert gruppnummer (grupp 3 hämtar alltså sina data från noxgr03). Uppmätta variabler De variabler som finns tillgängliga i nox-filerna är: p3nox NO x -mätarens signal vid analys av luft (ppm) från mätpunkt 3. p25nox NO x -mätarens signal vid analys av luft (ppm) från mätpunkt 25. Observera att p25nox är kopplad till p3nox på så sätt att element nr k i p25nox hör ihop med elementet nr k i p3nox eftersom mätningarna är gjorda nästan samtidigt. p3n2 NO x -mätarens signal vid mätning på ren kvävgas (ppm) från mätpunkt 3. Observera att p3n2 är kopplad till p3nox på så sätt att element nr k i p3n2 hör ihop med elementet nr k i p3nox eftersom kvävgasmätningen är gjord omedelbart före NO x -mätningen som en kalibreringsmätning. p25n2 NO x -mätarens signal vid mätning på ren kvävgas (ppm) från mätpunkt 25. Observera att p25n2 är kopplad till p25nox på så sätt att element nr k i p25n2 hör ihop med elementet nr k i p25nox eftersom kvävgasmätningen är gjord omedelbart före NO x - mätningen som en kalibreringsmätning. p25vind ger vindriktningen i mätpunkt 25, där 0 är rakt norrut. Analys Som i all statistisk analys av ett datamaterial startar ni med att göra en översikt över data varefter analysen förfinas och fördjupas efterhand. 31