3. Vad är ett prediktionsintervall och hur räknas det ut? 4. Vad är ett kalibreringsintervall och hur kan det konstrueras?

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3. Vad är ett prediktionsintervall och hur räknas det ut? 4. Vad är ett kalibreringsintervall och hur kan det konstrueras?"

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT16 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med det i praktiken kanske viktigaste området inom kursen nämligen Enkel linjär regression Multipel linjär regression 1 Förberedelseuppgifter Som förberedelse till laborationen bör du repetera normalfördelningsdiagram, läsa igenom hela regressionsdelen i statistikkompendiet (avsnitt 4-6) och hela laborationshandledningen. Till laborationens start har du med dig lösningar till förberedelseuppgifterna. 1. Ange modellen för enkel linjär regression med normalfördelade fel. Hur skattar man, och 2? Vilken fördelning får och? Hur gör man konfidensintervall för,? Hur kan man testa huruvida linjens lutning är 0? 2. Hur ser ett konfidensintervall för Ñ 0 = + x 0 ut? 3. Vad är ett prediktionsintervall och hur räknas det ut? 4. Vad är ett kalibreringsintervall och hur kan det konstrueras? 5. Residualanalys är ett centralt moment i all regressionsanalys. Hur bör residualerna se ut vid en korrekt regressionsanalys? Ange några tekniker för att kontrollera detta. 6. Ange modellen för multipel linjär regression på matrisform. Hur ser normalekvationerna ut och hur löser man dessa? Vad blir kovariansmatrisen för? 7. Lös uppgift ST35. 2 Enkel linjär regression Vid enkel linjär regression söker man anpassa en rät linje till datamaterialet, dvs modellen är y i = + x i + i, i = 1,..., n, där i är oberoende likafördelade störningar med väntevärdet 0 och variansen 2. Vi kommer i den följande framställningen att arbeta med matrisformuleringen av modellen, Y = X +, där de ingående matriserna har följande form: y 1 1 x 1 y 2 Y =., X = 1 x 2.., = y n 1 x n ( ) 1 2 och =.. n

2 2 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 Vi skall använda MATLAB-funktionen Ö Ö som skattar parametrar, beräknar konfidensintervall för dem, beräknar residualer och litet till. Gör ÐÔ Ö Ö för att se vad funktionen gör. Uppgift: Använd Ö Ö för att räkna uppgift ST35: Ü ½ ³ ± Ò ÓÐÙÑÒ Ñ Ü¹ÚÖ Òº Ý ½º ¾º ½º ¾º¼ ¾º ½º ¾º¾ ¾º ³ ± Ò ÓÐÙÑÒ Ñ Ý¹ÚÖ Òº ÓÒ Þ Üµµ Ü ± Ò ÓÐÙÑÒ Ñ ØØÓÖ Ó Ò Ñ ± ܹÚÖ Ò º ÒØ Ö Ö Ý µ ± Ë ØØ Ð Ó Ø ÑØ ± ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ñº ÑÙ ± Ö Ò Ò ØØ Ð Ò Òº ÔÐÓØ Ü Ý ³ ³ Ü ÑÙ ³¹³µ ± Ê Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ó ØØ Ð Ò º Identifiera och I i och ÒØ och jämför med dina tidigare beräkningar i förberedelseuppgift 7. Vill man bara skatta parametrarna kan man snabbt göra detta utan regress med Ý. Det finns en specialskriven funktion, Ö Ù, som, förutom att skatta modellparametrarna, också ritar upp data, skattad linje, residualer och konfidens- och prediktionsintervall. Använd den för att lösa uppgift ST35 igen: ÐÔ Ö Ù Ö Ù Ü Ýµ Identifiera och I i figuren och jämför med dina tidigare beräkningar. 3 Polynomregression Datamaterialet som du skall arbeta med i detta avsnitt är koldioxidhalter uppmätta över en vulkan varje månad under en period av 32 år, dvs totalt finns = 384 mätvärden. Materialet finns i filen Ó¾º Ø, och den kan laddas in i MATLAB med kommandot ÐÓ Ó¾º Ø. Mätvärdena hamnar då i en vektor med namnet Ó¾. Plotta mätvärdena. Ù ÔÐÓØ ÔÐÓØ Ó¾µ Det finns uppenbarligen en kraftig periodicitet (årsvariation) i mätningarna, och en sådan låter sig inte så lätt fångas med en polynomiell regressionsfunktion. Detta problem kan lösas på flera sätt. Ett är att införa en sinus-funktion som modellerar variationen, ett annat är att differentiera datasekvensen, dvs undersöka z i = y i y i 1 i stället för y-värdena själva. Vi skall dock välja den mycket enkla lösningen att medelvärdesbilda över varje år. Detta fordrar litet trixande i MATLAB. Först gör vi om vektorn co2 till en matris med 12 rader (en rad per månad och en kolonn för varje år). Þ Ö Ô Ó¾ ½¾ µ Vi kan nu använda funktionen Ñ Ò för att beräkna årsmedelvärdena (transponerad till kolonnvektor med ³). Ý Ñ Ò Þµ³

3 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 3 Vi har nu skapat den mätvärdesvektor vi skall arbeta med. Vi skapar även en vektor med den förklarande variabeln (årtalet, räknat från lämplig nollpunkt). Ü ½ ¾µ³ (Utrycket skapar en radvektor med värden från till i steg om.) Plotta mätvärdena. ÔÐÓØ Ü Ý ³Ó³µ Uppenbarligen är den periodiska variationen borta, vilket också var syftet med medelvärdesbildningen. Vi skall nu göra polynomregression på materialet, dvs vår modell är y i = x i + 2 x 2 i k x k i + i, i = 1,..., n, där i är oberoende likafördelade störningar med väntevärdet 0 och variansen 2. För använda matrisformuleringen inför vi de nya förklarande variablerna x ij = x j i för j = 1,..., k, i = 1,..., n, och kan skriva skriva y i = x i1 + 2 x i k x ik + i, i = 1,..., n. Detta är den modell vi skall arbeta med. Vi börjar med att anpassa en linjär funktion till datamaterialet, dvs polynomets ordningsgrad k = 1. Skattningarna av 0 och 1 erhålles med hjälp av funktionen Ö Ù. Ö Ù Ü Ýµ Verkar en rät linje vara en tillfredsställande regressionsmodell? Diagrammet visar att residualerna i mitten av mätserien tycks komma från en annan fördelning är residualerna i början och slutet av densamma. Alternativt finns en stark korrelation mellan störningarna vilket strider mot oberoendeantagandet. Vi drar alltså slutsatsen att en enkel linjär regressionsmodell inte passar det aktuella datamaterialet. Nästa steg är att försöka anpassa en kvadratisk funktion till mätvärdena, dvs vi använder ordningstalet k = 2 för regressionspolynomet (använd knappen degree i reggui). Verkar den kvadratiska modellen vara bättre än den linjära? Kan residualerna tänkas komma från samma fördelning? Kan de tänkas vara normalfördelade? Avsluta med att studera de 95 %-iga konfidensintervallen för 0, 1 och 2. Är 2 signifikant skild från 0, dvs, om H 0 : 2 = 0 och H 1 : 2 0, kan vi då förkasta H 0 (på nivån 5 %)? I så fall kan vi med gott samvete anta den kvadratiska modellen före den linjära.

4 4 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 På samma sätt kan man gå vidare och testa om en tredjegradsterm i regressionsfunktionen är relevant. Undersök de olika möjligheterna Ö Ù ger dig att studera en regressionsmodell och välj olika gradtal i modellen. Fick du några varningsmeddelanden i kommandofönstret? Vad kan det i så fall bero på? Gör en bedömning av figurerna och utskriften med de skattade parametrarna och konfidensintervallen och avgör vilken polynommodell som är mest adekvat. 4 Multipel regression I och med att vi redan vid enkel linjär regression arbetat med matrismodeller, erbjuder multipel linjär regression inget nytt vad beträffar parameterskattningarna. Vi får utöka matrisen X med ytterligare en kolonn för varje ny förklarande variabel, men minsta-kvadrat-problemet löser vi på samma sätt som tidigare. 4.1 Cementdata I detta smått klassiska experiment (beskrevs i Industrial And Engineering Chemistry redan 1932) har man i 13 försök mätt värmeutvecklingen i stelnande cement som funktion av viktprocenten av några ingående ämnen. I filen Ñ ÒØ finns följande variabler kolonnvis: cem1 viktprocent av 3CaO Al 2 O 3 cem2 viktprocent av 3CaO SiO 2 cem3 viktprocent av 4CaO Al 2 O 3 Fe 2 O 3 cem4 viktprocent av 2CaO SiO 2 värme utvecklad värme i kalorier per gram cement Vissa av de fyra cementvariablerna samvarierar kraftigt med varandra vilket påverkar regressionsanalysen. Utnyttja gärna ÓÖÖÓ, som räknar ut korrelationsmatrisen. Plotta de olika cementvariablerna mot värme och även de olika cementvariablerna mot varandra. ÐÓ Ñ Òغ Ø Ñ ÒØ ÓÖÖÓ Ñ Òص Ü Ñ ÒØ ½ µ Ñ ÒØ µ ÐÔ ÔÐÓØÑ ØÖ Ü ÔÐÓØÑ ØÖ Ü Ñ Òص Uppgift: Vilka variabler verkar samvariera?

5 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 5 Börja med att bestämma en full regressionsmodell med värme som responsvariabel och samtliga fyra cementvariabler som förklarande variabler: ÓÒ Þ µµ Ü Ø Ö ¹ Ø Ò Þ µ Ò¹ ¾ ÙÑ Ö º ¾µ» Î Ø ¾ ÒÚ ³ µ ÔÐÓØ Ö ³Ó³µ Uppgift: Vilka regressionskoefficienter är signifikant skilda från noll? Ser det bra ut? (t-kvantiler kan fås med Ø ÒÚ ½¹¼º¼»¾ µ som ger t 0.05/2 (f )-värdet) Ú ÒØ Ð Ø ÒÚ ½¹¼º¼»¾ µ Á Ø Ä Ø ¹ Ú ÒØ Ð ÕÖØ Î Ø µµ Á Ø À Ø Ú ÒØ Ð ÕÖØ Î Ø µµ Givetvis kunde vi också använt funktionen Ö Ö direkt Ø Á Ø Ö Ö ÒØ Ø Ø Ö Ö ¼º¼ µ Förmodligen är du inte alls nöjd med den fulla regressionsmodellen du just bestämt för cementdata, t ex samvarierade några av de förklarande variablerna kraftigt och kanske skall inte alla vara med. Försök komma fram till en bra regressionsmodell, vilket ju inte är helt lätt... Funktionen Ø ÔÛ kan vara till stor hjälp vid modellvalet ÐÔ Ø ÔÛ Ø ÔÛ Ü µ Uppgift: Vilken modell kom du fram till? 5 Kalibrering av flödesmätare Bakgrund Kalibrering av en flödesmätare genomförs oftast i en speciell kalibreringsrigg. Här finns en referensmätare eller referensmetod för att mäta flödet. För att erhålla en god bild av hur den testade flödesmätaren fungerar utförs kalibreringen vid ett stort antal flöden. Tyvärr kan man även vid kalibrering råka ut för situationer där den testade mätaren störs av testförhållandena. Om t.ex. pulsationer uppträder i flödet kommer detta att negativt påverka resultaten för den testade mätaren. Detta visar sig oftast vid låga flödeshastigheter, då ultraljudsmätare tenderar att överskatta flödeshastigheten. Detta orsakas av att vi erhåller en laminär flödesprofil i röret, vilket medför att en ultraljudsmätare kan överskatta flödet med upp till 33% vid fullt utbildad laminär strömning.

6 6 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 Vid låga flöden ser vi även att vi har stora fluktuationer i resultaten. Detta beror troligen på att vi har flödespulsationer i flödesriggen vilka kommer att orsaka fluktuerande resultat för ultraljudsflödesmätaren, bland annat orsakat av s.k. aliasproblem (d.v.s mätsystemet arbetar med en för låg sampelfrekvens i förhållande till frekvenserna hos det uppmätta). Vid höga flöden uppträder troligen kavitation (ett slags bubbelbildning) inne i ultraljudsflödesmätaren vilket kan förklara de positiva felen och den ökade spridningen för strömningshastigheter över 6.3 m/s. Metod Vi har nu tillgång till data från en kalibrering av en ultraljudsflödesmätare. Datamaterialet, som kommer från institutionen för värme- och kraftteknik, omfattar 71 mätningar och är lagrat i matrisen ÐÓÛ, där varje rad innehåller data från en mätning, variabeln ܾ avser referensflödesmätningar från kalibreringsriggen och ݾ avser respektive flöden uppmätta med den testade ultraljudsflödesmätaren (flödeshastigheterna givna i enheten m/s). Den använda kalibreringsriggen använder kontinuerlig vägning av det genomströmmande vattnet för att bestämma ett massflöde som sedan kan räknas om till medelhastighet i röret, vilket är vad ultraljudsmätaren mäter. Tanken är här att vi med hjälp av de gjorda mätningarna med givare och referens skall skatta parametrarna i en enkel linjär regressionsmodell. Vi antar då att referensmätningarnas fel kan försummas i jämförelse med ultraljudsgivarens (varför måste vi bekymra oss om detta?) och att ultraljudsgivarens fel är oberoende, likafördelade och har väntevärdet noll. För att studera detta datamaterial ska vi använda funktionen Ö Ù vars finesser du förhoppningsvis redan bekantat dig med. Observera att du t.ex. automatiskt kan rita ut konfidensintervall och prediktionsintervall genom att markera i tillämplig ruta. För att bilden skall bli tydligare börjar vi med att studera en liten delmängd av materialet, 10 talpar av flödesmätningar som ges i variablerna ܽ och ݽ. ÐÓ ÐÓÛºÑ Ø Ö Ù Ü½ ݽµ Använd nu funktionen interaktivt för att göra följande beräkningar: Beräkna det förväntade värdet enligt ultraljudsmätaren, då flödet enligt kalibreringsriggen är 0.40m/s. Beräkna också ett 95%-igt konfidensintervall för detta förväntade värde. Beräkna dessutom ett 95%-igt prediktionsintervall för en framtida observation från ultraljudsmätaren, då kalibreringsriggen ger mätvärdet 0.40m/s. Identifiera dessa två intervall i figuren och förklara vad det är som skiljer dem åt. Notera också värdena på de två intervallen eftersom du ska använda dem senare i laborationen. När vi sedan skall använda den kalibrerade ultraljudsmätaren, innebär det i princip att vi läser baklänges i kalibreringskurvan. Antag att vi med ultraljudsmätaren får mätvärdet 0.48m/s. Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för den sanna flödeshastigheten (dvs det värde som kalibreringsriggen skulle ge). Identifiera i figuren de kurvor som används vid den grafiska bestämningen av detta konfidensintervall och förklara varför det är just dem, man skall använda.

7 Laboration 5, Matstat AK för F och fysiker, VT16 7 När vi enligt det ovanstående beräknat olika konfidens- och prediktionsintervall har vi stillatigande förutsatt att mätfelen hos ultraljudsmätaren är normalfördelade med konstant varians. Var i beräkningarna utnyttjas detta antagande? Om vi vill använda kalibreringskurvan i seriösa sammanhang måste vi först utföra en modellvalidering, dvs vi måste kontrollera att den linjära regressionsmodellen ger en adekvat beskrivning av sambandet. Vi kan bland annat validera modellen genom en grafisk residualanalys. Vid en sådan residualanalys får följande tre diagram, som alla kan fås i Ö Ù, anses vara standard: Residualer gentemot observerade eller predikterade y-värden. Residualer gentemot den oberoende variabelns värden. Residualer i normalfördelningsdiagram. Detta skall vi nu ta itu med, men låt oss göra detta med en modell anpassad till hela datamaterialet. Då kan vi också passa på att studera vissa andra egenskaper hos de olika intervallskattningarna. Ö Ù Ü¾ ݾµ Upprepa nu beräkningarna från första frågepunkten ovan, dvs Beräkna det förväntade värdet enligt ultraljudsmätaren, då flödet enligt kalibreringsriggen är 0.40m/s. Beräkna också ett 95%-igt konfidensintervall för detta förväntade värde. Beräkna dessutom ett 95%-igt prediktionsintervall för en framtida observation från ultraljudsmätaren, då kalibreringsriggen ger mätvärdet 0.40m/s. Skriv ner de båda intervallen. Jämför intervallbredderna baserade på de 10 mätningarna med motsvarande intervallbredder för den modell som är anpassad till alla de 71 mätpunkterna, Nu är det inte säkert att du lyckats pricka in precis samma x-värde i de två fallen, men vissa allmänna iakttagelser bör ändå vara möjliga. Jämför de två konfidensintervallen. Skiljer de sig väsentligt åt (eller inte)? Hur kan det förklaras? Jämför de två prediktionsintervallen. Skiljer de sig väsentligt åt (eller inte)? Hur kan det förklaras? Innan vi törs använda den skattade regressionslinjen för prediktion, måste vi naturligtvis förvissa oss om att modellen är adekvat. Ger plottarna anledning att förkasta modellen eller anser du att du på goda grunder kan använda den skattade regressionslinjen för kalibrering av ultraljudsmätaren?

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT09

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT09 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT09 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Laboration 4: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression

Laboration 4: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMSF45/MASB03, VT18 Laboration 4: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen

Läs mer

3. Vad är ett prediktionsintervall och hur räknas det ut? 4. Vad är ett kalibreringsintervall och hur kan det konstrueras?

3. Vad är ett prediktionsintervall och hur räknas det ut? 4. Vad är ett kalibreringsintervall och hur kan det konstrueras? LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

1 Förberedelseuppgifter

1 Förberedelseuppgifter LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 4 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys

Laboration 5: Regressionsanalys Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 5 Matematisk statistik AK för Π och E, FMS012, HT14/VT15 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med det i praktiken kanske viktigaste området inom kursen nämligen

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med det i praktiken kanske viktigaste området inom kursen nämligen LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 6 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 6: Regression Syftet med den här laborationen är att du skall bli

Läs mer

Datorövning 5 Regression

Datorövning 5 Regression Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5 HP FÖR E, HT-15 Datorövning 5 Regression Syftet med den här laborationen är att du skall bli

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Laboration 4: Lineär regression

Laboration 4: Lineär regression LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 4: Lineär regression 1 Syfte Denna laboration handlar om regressionsanalys och

Läs mer

1 Syfte. 2 Enkel lineär regression MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Lineära regressionsmodeller i allmänhet

1 Syfte. 2 Enkel lineär regression MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Lineära regressionsmodeller i allmänhet * ) LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIKCENTRUM MTEMTISK STTISTIK MTEMTISK STTISTIK K ÖR L MS HT- " # 1 Syfte Detta projekt handlar om regressionsanalys och är uppdelad i två delar Del ett handlar om enkel lineär

Läs mer

1 Förberedelseuppgifter

1 Förberedelseuppgifter LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: bli

Läs mer

Laboration 2: Styrkefunktion samt Regression

Laboration 2: Styrkefunktion samt Regression Lunds Tekniska Högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Styrkefunktion & Regression FMSF70&MASB02, HT19 Laboration 2: Styrkefunktion samt Regression Syfte Styrkefunktion Syftet med dagens

Läs mer

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här

Läs mer

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,

Läs mer

Gör uppgift 6.10 i arbetsmaterialet (ingår på övningen 16 maj). För 10 torskar har vi värden på variablerna Längd (cm) och Ålder (år).

Gör uppgift 6.10 i arbetsmaterialet (ingår på övningen 16 maj). För 10 torskar har vi värden på variablerna Längd (cm) och Ålder (år). Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 4, 21 MAJ 2018 REGRESSION OCH FORTSÄTTNING PÅ MINIPROJEKT II Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska bekanta

Läs mer

Laboration 4 R-versionen

Laboration 4 R-versionen Matematikcentrum 1(5) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 VT13, lp3 Laboration 4 R-versionen Regressionsanalys 2013-03-07 Syftet med laborationen är att vi skall bekanta oss med lite av de funktioner

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Matematisk statistik kompletterande projekt, FMSF25 Övning om regression

Matematisk statistik kompletterande projekt, FMSF25 Övning om regression Lunds tekniska högskola, Matematikcentrum, Matematisk statistik Matematisk statistik kompletterande projekt, FMSF Övning om regression Denna övningslapp behandlar regression och är tänkt som förberedelse

Läs mer

förstå modellen enkel linjär regression och de antaganden man gör i den Laborationen är dessutom en direkt förberedelse inför Miniprojekt II.

förstå modellen enkel linjär regression och de antaganden man gör i den Laborationen är dessutom en direkt förberedelse inför Miniprojekt II. Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 2, 6 DECEMBER 2017 Syfte Syftet med den här laborationen är att du ska

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

F13 Regression och problemlösning

F13 Regression och problemlösning 1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell

Läs mer

Stapeldiagram. Stolpdiagram

Stapeldiagram. Stolpdiagram Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

F12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24

F12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24 1/24 F12 Regression Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/2 2013 2/24 Dagens föreläsning Linjära regressionsmodeller Stokastisk modell Linjeanpassning och skattningar

Läs mer

Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys

Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys

Läs mer

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys

Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys

Läs mer

Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning

Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den

Läs mer

Laboration 4 Regressionsanalys

Laboration 4 Regressionsanalys Matematikcentrum Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 VT14, lp4 Laboration 4 Regressionsanalys 2014-05-21/23 Syftet med laborationen är att vi skall bekanta oss med lite av de funktioner som finns

Läs mer

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval

Läs mer

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1 Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs

Läs mer

Residualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen

Residualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då

Läs mer

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 16 augusti 2007 9 14 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 16 augusti 2007 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression

Läs mer

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT17 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION.

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. MATEMATISKA INSTITUTIONEN Tillämpad statistisk analys, GN STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2011 Avd. Matematisk statistik GB 2011-04-13 DATORLABORATION 3: MULTIPEL REGRESSION. Under Instruktioner och data på

Läs mer

Föreläsning 13: Multipel Regression

Föreläsning 13: Multipel Regression Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på

Läs mer

oberoende av varandra så observationerna är

oberoende av varandra så observationerna är Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 1, 1-5-7 REGRESSION (repetition) Vi har mätningarna ( 1, 1 ),..., ( n, n

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Matematisk statistik, Föreläsning 5

Matematisk statistik, Föreläsning 5 Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk

Läs mer

Föreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression

Föreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression Föreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression Anna Lindgren 14 december, 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F13 1/22 Linjär regression Vi har n st par av

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5

Läs mer

6 Skattningar av parametrarna i en normalfördelning

6 Skattningar av parametrarna i en normalfördelning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATIONER DEL II, HT-11 MATEMATISK STATISTIK FÖR BIO-, KEMI- OCH NANOTEKNIK För att få tillgång till de datafiler som hänvisas till

Läs mer

Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression

Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys

TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Problem 1 PS29 Vid ett test av bromsarna på en bil bromsades bilen upprepade gånger från en hastighet

Läs mer

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.

Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen. Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar

Läs mer

TVM-Matematik Adam Jonsson

TVM-Matematik Adam Jonsson TVM-Matematik Adam Jonsson 014-1-09 LABORATION 3 I MATEMATISK STATISTIK, S0001M REGRESSIONSANALYS I denna laboration ska du lösa ett antal uppgifter i regressionsanalys med hjälp av statistikprogrammet

Läs mer

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3

Föreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3 Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest

Läs mer

s N = i 2 = s = i=1

s N = i 2 = s = i=1 ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ

Läs mer

Enkel linjär regression: skattning, diagnostik, prediktion. Multipel regression: modellval, indikatorvariabler

Enkel linjär regression: skattning, diagnostik, prediktion. Multipel regression: modellval, indikatorvariabler UPPSALA UNIVESITET Matematiska institutionen Jesper ydén Matematisk statistik 1MS026 vt 2014 DATOÖVNING MED : EGESSION I den här datorövningen studeras följande moment: Enkel linjär regression: skattning,

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen

Läs mer

FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 9,

FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 9, Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 9, 8-5-4 EXEMPEL: Hur mycket kunder förlorar vi om vi höjer biljettpriset?

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Modellering av en Tankprocess

Modellering av en Tankprocess UPPSALA UNIVERSITET SYSTEMTEKNIK EKL och PSA 2002, AR 2004, BC2009 Modellering av dynamiska system Modellering av en Tankprocess Sammanfattning En tankprocess modelleras utifrån kända fysikaliska relationer.

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x

Läs mer

Datorövning 5 Exponentiella modeller och elasticitetssamband

Datorövning 5 Exponentiella modeller och elasticitetssamband Datorövning 5 Exponentiella modeller och elasticitetssamband Datorövningen utförs i grupper om två personer. I denna datorövning skall ni använda Minitab för att 1. anpassa och tolka analysen av en exponentiell

Läs mer

bli bekant med summor av stokastiska variabler.

bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate

Läs mer

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test.

F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Partiella t-test F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Då man testar om en enskild variabel X i skall vara med

Läs mer

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet 732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris

Läs mer

Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik. FMS035: Matematisk statistik för M Datorlaboration 5

Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik. FMS035: Matematisk statistik för M Datorlaboration 5 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS035: Matematisk statistik för M Datorlaboration 5 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska lära dig tolka ett av de vanligaste beroendemåtten

Läs mer

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ

Läs mer

10.1 Enkel linjär regression

10.1 Enkel linjär regression Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,

Läs mer

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion

repetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.

DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse

Läs mer

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av A.3 Skattningarnas fördelning...

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av A.3 Skattningarnas fördelning... UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI LINJÄR REGRESSION OCH STOKASTISKA VEKTORER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Innehåll 4 Enkel linjär

Läs mer

lära dig tolka ett av de vanligaste beroendemåtten mellan två variabler, korrelationskoefficienten.

lära dig tolka ett av de vanligaste beroendemåtten mellan två variabler, korrelationskoefficienten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FMS035: MATEMATISK STATISTIK FÖR M DATORLABORATION 5, 11 MAJ 2012 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska lära dig tolka ett av de

Läs mer

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0

x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp

Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29 Översikt moment 2: linjär

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i

Läs mer

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi

Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò

Läs mer

Metod och teori. Statistik för naturvetare Umeå universitet

Metod och teori. Statistik för naturvetare Umeå universitet Statistik för naturvetare -6-8 Metod och teori Uppgift Uppgiften är att undersöka hur hjärtfrekvensen hos en person påverkas av dennes kroppstemperatur. Detta görs genom enkel linjär regression. Låt signifikansnivån

Läs mer

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt. "!$#"%'&)(*,&.-0/ 177 Syftet med denna övning är att ge en introduktion till hur man arbetar med programsystemet MATLAB så att du kan använda det i andra kurser. Det blir således inga matematiska djupdykningar,

Läs mer

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov

PLANERING MATEMATIK - ÅK 7. Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter. Elevens namn: Datum för prov PLANERING MATEMATIK - ÅK 7 HÄLLEBERGSSKOLAN Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 1 Tal och räkning Kapitel : 2 Stort, smått och enheter Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor

Läs mer

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2

x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2 ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ

Läs mer

Ö Ò histogramtransformationº

Ö Ò histogramtransformationº ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò

Läs mer

I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Parametriska Icke-parametriska

I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Parametriska Icke-parametriska Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser Univariata analyser Univariata analyser

Läs mer

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú

ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ

Läs mer

LABORATION 3 - Regressionsanalys

LABORATION 3 - Regressionsanalys Institutionen för teknikvetenskap och matematik S0001M Matematisk statistik LABORATION 3 - Regressionsanalys I denna laboration ska du lösa ett antal uppgifter i regressionsanalys med hjälp av statistik-programmet

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 3 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Samband mellan två kvantitativa variabler Matematiska samband Statistiska samband o Korrelation Svaga och starka samband När beräkna korrelation?

Läs mer

Föreläsning 9. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 9. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 9 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 (kap. 20) Introduktion I föregående föreläsning diskuterades enkel linjär regression, där en oberoende variabel X förklarar variationen hos en

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F1

Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp

Läs mer

InStat Exempel 4 Korrelation och Regression

InStat Exempel 4 Korrelation och Regression InStat Exempel 4 Korrelation och Regression Vi ska analysera ett datamaterial som innehåller information om kön, längd och vikt för 2000 personer. Materialet är jämnt fördelat mellan könen (1000 män och

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.

Läs mer

Imperativ programering

Imperativ programering Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

1 Bakgrund DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF Något om Radon och Radonmätningar. 1.2 Statistisk modell

1 Bakgrund DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF Något om Radon och Radonmätningar. 1.2 Statistisk modell LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för punkt- och intervallskattningar.

Läs mer