Ruttplanering på fartyg Thomas Hellström Seapacer AB tel:
|
|
- Jan-Erik Viklund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 Ruttplanering på fartyg Thomas Hellström Seapacer AB tel: Ruttplanering på fartyg innebär att fördela farten på olika delsträckor av en resa med avsikt att minska den totala bränsleåtgången. Projektet består i att utveckla och implementera en optimeringsalgoritm som kan bestämma fartfördelningen med hänsyn taget till angivna värden på ström, vind och vattendjup. Programmet ska kunna köras på en PC och optimera i realtid under fartygets drift. BAKGRUND Bränslekostnaderna utgör efter lönekostnaderna den största posten i ett fartygs driftsbudget. Bränsleförbrukningen för en stor personfärja är mellan 1000 och 5000 liter/timme. Den förbrukar alltså mer olja per timme än en normal villa förbrukar på ett års uppvärmning! Priset för den bunkerolja som normalt används i svenska färjor är ca 1100:-/m 3. Årskostnaden för en färja som kör 20 timmar/dygn är således i storleksordningen 20 miljoner kronor. Varje minskning av oljeförbrukningen med 1 % innebär alltså en årlig besparing på över kronor. VAD PÅVERKAR BRÄNSLEFÖRBRUKNINGEN? Några av de viktigaste faktorerna är följande: Fartygsspecifika parametrar som skrovform, vikt, typ av huvudmaskiner, propellrar mm. Antal inkopplade huvudmaskiner. Fartygets fart relativt botten mätt i knop (sk. bottom track speed eller fart över grund ). Ström (riktning samt styrka i knop) Vattendjup Fartygets djupgående beroende på aktuell last Vind (riktning samt styrka mätt i Beaufort)
2 2 HUR KAN BRÄNSLEFÖRBRUKNINGEN MINSKAS? Den metod som beaktas i detta projekt kallas ruttplanering och består i att variera fartygets fart på olika delar av en total resa (rutt). Eftersom de yttre omständigheterna (vind, ström och djup) varierar inses att minimal bränsleåtgång inte fås vid jämn fart under hela resan. Vi får således ett minimeringsproblem som måste lösas numeriskt för att erhålla den fartfördelning som minimerar den totala bränsleåtgången för en resa med bivillkoret att komma fram enligt tidtabell. Ruttplanering utförs mer eller mindre ambitiöst på de flesta fartyg. Beräkningen består i de allra flesta fall av manuella uppskattningar samt erfarenhet från tidigare resor. SEAPACER Seapacer AB har utvecklat en reglerdator kallad Seapacer som används på personfärjor och lastfartyg med syfte att spara bränsle genom bla. automatisk ruttplanering och farthållning. Vind, strömmar och vattendjup kan matas in före och under resan och Seapacerdatorn beräknar därefter en fartfördelning som minskar den totala bränsleåtgången. Den metod som används finns beskriven längre fram under STARTVÄRDESALGORITM 3. Den beräknade fartfördelningen används av Seapacern för att automatiskt styra hastigheten genom kontroll av fartygets huvudmaskiner och propellrar. Ankomsttiden hålls utan onödiga marginaler och besparingar på 5-15% erhålls på många fartyg. Det finns emellertid intresse av att studera en mer noggrann optimering enligt det som presenteras i denna projektbeskrivning.
3 3 MODELLER Oljeförbrukningens beroende av fart, vind och vattendjup bestäms med mätningar på fartyget. Inga matematiska samband antas förutom de mätvärden som erhålls. Följande modeller gäller för personfärjan MV Stena Europe som trafikerar Engelska kanalen mellan Hook van Holland och Harwich. De uppmätta värdena varierar naturligtvis från fartyg till fartyg. Karakteristiken hos kurvorna är dock vanligtvis likartade. Tabeller från andra fartyg finns tillgängliga vid behov. FARTMODELL F(xw) Utan påverkan av begränsande vattendjup eller vind erhålls tex följande tabell över bränsleförbrukning vid olika farter (knop): tabell 1: Fart genom vattnet (xw) Liter/timme DJUPMODELL D(x, d) Vid begränsande vattendjup fås en uppbromsning av farten på grund av ökat vattenmotstånd samt, vid mycket litet vattendjup (ett fåtal meter under fartygskölen), den sk squat -effekten som drar ner fartyget och därigenom bromsar farten. Följande tabell beskriver vattendjupets inverkan på oljeförbrukningen vid olika farter och vattendjup: tabell 2: Fart över grund (x) Djup (d) Ökad oljeförbrukning %
4 4 VINDMODELL W(w, wd) Vinden anges genom relativ riktning i förhållande till fartygets kurs samt vindstyrka uttryckt i Beaufort. Parametern wd anger riktningen i grader. w anger Beaufort-tal , 0-45 : Motvind , : Sidvind : Medvind Generellt kan sägas att sidvind, även snett bakifrån, påverkar bränsleförbrukningen negativt pga den stora fartygsytan vinden då verkar på. Följande tabell beskriver ett enkelt uppmätt samband mellan vindstyrka. riktning och ökad bränsleförbrukning: tabell 3: Riktning (wd) Ökad oljeförbrukning % (för varje Beaufort) , , För värden som hamnar mellan de uppmätta punkter som anges i ovanstående tabeller kan enklast linjär interpolering användas. Punkter utanför ändlägena extrapoleras. Om optimeringsalgoritmen kräver deriverbarhet i varje punkt kan lämpligen splineinterpolering användas. Observera att tabell 2 kräver interpolering i två dimensioner; fart och vattendjup. Exempel: Fartyget körs i 18 knop över grund. Strömmen 1 knop är riktad längs med färdriktningen. Vinden blåser 4 beaufort rakt mot styrbordssidan av fartyget (wd=90). Vattendjupet är 15 meter under kölen. Farten genom vattnet blir 18-1 = 17 knop. Tabell 1 ger förbrukningen 1300 liter/timme utan hänsyn tagen till vinden eller begränsat djup. Tabell 2 anger 10% ökning pga vattendjupet. Tabell 3 anger 4 2% = 8% ökning pga sidvinden. Total oljeförbrukning i exemplet är därför enligt modellerna : ,10 1,08 = 1544 liter/timme.
5 5 FORMULERING AV OPTIMERINGSPROBLEMET Rutten delas upp i n delar med likartade djup-, vind-, och strömförhållanden. n kan anta värden från 2 upp till 40. Varje del benämns rutt-ben eller bara ben. För varje ben i finns följande indata: längd s i (nautiska mil) longitudinell strömkomponent cl i, (enhet: knop) parallell med färdriktningen transversell strömkomponent ct i, (enhet: knop) vinkelrätt mot färdriktningen vindstyrka w i (Beaufort) relativ vindriktning wd i. (0.-360) (se tabell 3) vattendjup d i (meter) under fartygets köl minsta tillåtna fart xmin i (knop). högsta tillåtna fart xmax i (knop). För rutten som helhet finns följande indata: Total restid T (enhet: timmar) Antal ben i rutten Exempel på indata återfinns i appendix 1. Fartygets hastighet över grund (relativt botten) anges i knop. 1 knop motsvarar 1 nautisk mil/timme. Fart över grund x relateras till fart genom vattnet xw och strömkomponenterna ct och cl enligt: 2 2 xw = ct + ( x cl ) dvs vektoraddition av fart- och ström-vektorerna. Förbrukningen (liter) på ett ben i benämns C i och är en funktion av fart över grund x i samt egenskaperna hos ben i ; längden s i, strömmen cl i, ct i, vindstyrkan w i, vindriktningen wd i samt vattendjupet d i : C i ( x i ) = s i /x i F( xw i ) ( 1 + D(x i, d i )/100 ) ( 1 + W( w i, wd i )/100 ) där F, D och W ges av tabell 1, 2 respektive 3. Faktorn s i /x i är den tid (timmar) som fartyget befinner sig på rutt-ben i. Vi definierar vektorn x som ( x 1, x 2,..., x n ) med de sökta farterna (över grund) på de n delsträckorna. Den totalt förbrukningen φ under en resa ges av:
6 6 φ( x ) = n i= 1 C i (x i )
7 7 BIVILLKOR Som bivillkor har vi: 1) n i= 1 s i / x i = T dvs fartyget ska komma fram i tid. samt 2) xmin i x i xmax i i detta kan innefatta fartbegränsningar på vissa sträckor samt definiera det tillgängliga fartregistret för fartyget. φ( x ) ska nu minimeras map. x med hänsyn taget till bivillkoren ovan. Om man substituerar t i = s i /x i blir bivillkor 1 linjärt men φ blir å andra sidan olinjärare...
8 8 STARTVÄRDESALGORITMER Som startvärde till x är föreslås tre alternativ. 1) Ansätt jämn fart över grund på samtliga ben. Dvs: x i = n j= 1 s j / T i Denna metod kräver nästan inga beräkningar men tar i gengäld inte hänsyn till vare sig ström, vind eller vattendjup. 2) Bestäm ett fartvärde xw genom vattnet på samtliga ben som gör att fartyget kommer fram i tid (dvs uppfyller bivillkor 1 ovan).detta innebär att ben med motström körs med lägre fart genom vattnet än ben med medström. Dvs: bestäm ett xw som uppfyller: n i= 1 s i / x i = T xw = ct + ( x cl ) 2 2 i i i om bivillkoret 2) gör att x i inte är en giltig fart över botten på delsträckan i sätts x i till en lämplig ändpunkt i bivillkorets giltiga intervall. Denna metod ger en x-vektor som korrekt tar hänsyn till ström men ej till vattendjup och vind.
9 9 3) Välj den oljeförbrukning (liter/timme) som om den körs på samtliga ben gör att fartyget kommer fram i tid (uppfyller bivillkor 1 ovan). Detta innebär att ben med motström körs med lägre fart över grund än ben med medström samt att ben med tung belastning pga litet vattendjup eller bromsande vind körs långsammare än andra ben. Detta är intuitivt korrekt och ger ett så tillfredsställande resultat att metoden rekommenderas utan ytterligare beräkningar (se artikel Route-planering - några synpunkter ). Algoritmen kan beskrivas som två nästade iterativa endimensionella ekvationslösningar: Sök förbrukningstal (liter/timme) λ som löser H(λ) = 0 där H(λ) definieras enligt: H(λ) = T - n i= 1 s i /x i (λ) där x i (λ) är den fart över grund som erhålls med förbrukningen λ liter/timme på ben i. x i (λ) är alltså det x i som löser: ( C i (x i ) x i /s i ) - λ = 0 om bivillkoret 2) ovan gör att ett giltigt x i ej kan bestämmas sätts x i till lämplig ändpunkt i bivillkorets giltiga intervall. Denna metod ger oftast en x-vektor som ligger mycket nära optimalpunkten. Varför så är fallet bör utrönas mer i detalj (se uppgift b). Exempel på denna algoritm återfinns i appendix 1.
10 10 UPPGIFTER a) Den primära uppgiften är att utveckla och implementera en algoritm som löser ovanstående optimerings-problem på ett stabilt och framförallt snabbt sätt. Problemen uppenbarar sig när antalet delsträckor ökar till För att få kunskap om problemets karaktär bör n=2 och 3 först studeras och plottas. De föreslagna startvärdesalgoritmerna ska jämföras och utvärderas map. noggranhet och beräkningsarbete (flyttalsoperationer eller tidsåtgång). Programmet ska kunna läsa en valfri datafil med indata enligt appendix 1 samt producera en utfil enligt mallen i appendix 2. Modellerna (tabell 1, 2 och 3) ska läsas från datafil. Optimeringsparametrar (tex tillåtet fel på bivillkor 1 och stoppkriterier) ska också ligga på en datafil för att enkelt kunna ändras. Programmet kan delas i ett antal moduler: Inläsning av datafiler tabell 1, 2 och 3 som funktioner med någon form av interpolering Derivatafunktioner Startvärdesrutin Optimeringsrutin Utskriftsrutin b) Startvärdesalgoritm 3) ska jämföras med de verkliga optimeringskörningarna för att få fram hur stora förbättringar som erhålls samt i vilka situationer (litet djup eller stark ström eller vind?). Kan algoritm 3) ges någon mer formell motivering, kanske under speciella omständigheter (linjära modeller, liten djuppåverkan...). Studera φ:s partiella derivator map x i i den punkt som algoritm 3 föreslår. c) Kan optimeringsproblemet omformuleras som ett dualt problem? d) Hur förändras problemet om bivillkor 1 substitueras in i objektfunktionen.
11 11 APPENDIX 1 Format på indatafil De datafiler som kan användas för testning av optimeringsprogrammet innehåller mer data än vad som är nödvändigt. De intressanta datafälten är skrivna i VERSALER i nedanstående beskrivning. Datafält på samma rad separeras med ett eller flera blanktecken. Varierande antal decimaler kan förekomma. <indata-fil> ::= <rutt-namn> <ankomsttid> <TOTAL RESTID> <ANTAL BEN> <start del B> <slut del B> <DATA OM BEN 1> <DATA OM BEN 2>... <DATA OM BEN n> <DATA OM RUTTENS ÄNDPUNKT> (används ej i optimeringen) <data om ben i> ::= <kör-mode> <LÄNGD > <VATTENDJUP> <VINDSTYRKA> <vindriktning> <RELATIV VINDRIKTNING> <ström> <strömriktning> <LONGITUDINELL STRÖM> <TRANSVERSELL STRÖM> <kurs> <lattitud för benets start> <longitud> <MIN FART> <MAX FART> <bränsle-limit> <auto-limit> <waypoint nummer> De följande exemplen är verkliga ruttplaner som körts i Seapacersystem på ett flertal fartyg. De kan användas för att testa det utvecklade optimeringsprogrammet med exempel av olika svårighetsgrad. Som jämförelse redovisas resultatet av startvärdesalgoritm 3 för varje exempel.
12 12 forts. APPENDIX 1 indatafil 1: test P P P P Denna ruttplan har ingen ström, vind eller olika djup på rutt-benen. Den beräknade farten ska då med alla metoder ge samma fartvektor x. Startvärdesalgoritm 3 ger en medelförbrukning på 1167 liter/timme. Vektorn x blir då ( ). Totalförbrukningen blir då 778 liter. Totaldistansen är 12 nm. indatafil 2: HARWICH TO HOOK N.ROUTE P P P P D Denna ruttplan har ingen ström eller vind. Djupet varierar dock på de olika rutt-benen. Denna ruttplan ger med startvärdesalgoritm 3 en medelförbrukning på 1514 liter/timme. Vektorn x blir då ( ) Totalförbrukningen blir då 7315 liter. Totaldistansen är 101,4 nm.
13 13 forts. APPENDIX 1 indatafil 3: Göteborg-Kiel DW S P P P P P P P P P P P P P S S D P P P P P P P S S S P Denna ruttplan med 27 ben har såväl ström som vind och olika djupsiffror för de olika ruttbenen. Vissa delsträckor har även xmin=xmax, dvs fixerad fart. Startvärdesalgoritm 3 ger en medelförbrukning på 2963 liter/timme. Vektorn x blir då ( ). Totalförbrukningen blir då liter. Totaldistansen är nm.
14 14 APPENDIX 2 Mall till resultatfil: <optimeringsstatus> <namn på indatafil> <antal ben n> <den beräknade x-vektorn> < φ :s slutvärde> < bivillkor 1:s residual> < φ:s slutderivator)> <antal beräkningar (av C i eller...)för startvärdesalgoritmen> <startvärde på x> <antal beräkningar av C i för optimeringsalgoritmen>
När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs mer1. Vad är optimering?
. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man
Läs merNär det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.
Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merIllustration och text Kim Jarl
Illustration och text Kim Jarl Vi ska prata Longitud och Latitud Kartor och kartprojektioner Karttecken Kompassen Satelitnavigering Navigationsbegrepp Övning Jorden Som ett stort schackbräde Jorden Som
Läs mer5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3
1 Revision 4 2006-12-16 2. SIDFÖRTECKNING 5B1146 med Matlab Laborationsr Laborationsgrupp: Sebastian Johnson, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 Titel Sida 1. Uppgift 1.8.1....3 2. Uppgift 1.8.2....6 3. Uppgift
Läs merDen utetemperaturberoende delen av energiförbrukningen korrigerar man sedan genom att dividera sitt mätvärde med korrigeringsfaktorn.
Den utetemperaturberoende delen av energiförbrukningen korrigerar man sedan genom att dividera sitt mätvärde med korrigeringsfaktorn. Låt oss åter titta på exemplet med Stockholm. Antag att en fastighet
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj
Läs merOmtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) Chalmers Institutionen för Sjöfart och Marin Teknik
Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) 1. Svara kort men också fullständigt innebörden/betydelsen av följande ord/benämningar och hur de används/betyder inom meteorologin och till sjöss. a Isobar
Läs merUppgift 1a (Aktiekurser utan poster)
Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Vi har lite olika upplägg i de kurser vi håller och i vissa kurser finns det med något som vi kallar "poster" (eng. "record"). I andra har vi inte med detta. Vi har
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013
Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar
Läs mer17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2
17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger
Läs merRätt fart såklart! Fem goda skäl att hålla koll på hastigheten
Rätt fart såklart! Fem goda skäl att hålla koll på hastigheten Har du koll på fördelarna med rätt fart? I detta häfte finns bra argument för varför vi som kör lastbil ska hålla hastighetsgränserna och
Läs merEUROPEISKA GEMENSKAPERNAS KOMMISSION. Förslag till RÅDETS BESLUT
EUROPEISKA GEMENSKAPERNAS KOMMISSION Bryssel den 08.06.2006 KOM(2006) 280 slutlig Förslag till RÅDETS BESLUT om bemyndigande för Förenade kungariket att införa en särskild åtgärd som avviker från artikel
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merSF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa
Läs merProjektuppgift i Simulering och optimering av energisystem
UMEÅ UNIVERSITET 2006-05-24 Institutionen för tillämpad fysik och elektronik Projektuppgift i Simulering och optimering av energisystem - Optimering av isoleringstjocklek på fjärrvärmekulvert - Optimering
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merExamen I skärgårdsnavigation 11.12.2015 modellösningar
Examen I skärgårdsnavigation 11.12.2015 modellösningar Den i examen använda motorbåten är 13 m lång, dess djupgående är 1,2 m och höjd 3,4 m. Till båtens utrustning hör en huvudkompass (deviationstabell
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVarför djupare V-botten och större motor
Varför djupare V-botten och större motor Det är ofta mycket stort avstånd mellan tillgänglig kunskap och dess tillämpning i produktion och handel. Det cirkulerar många helt ogrundade slutsatser som kan
Läs merEllära. Laboration 2 Mätning och simulering av likströmsnät (Thevenin-ekvivalent)
Ellära. Laboration 2 Mätning och simulering av likströmsnät (Thevenin-ekvivalent) Labhäftet underskrivet av läraren gäller som kvitto för labben. Varje laborant måste ha ett eget labhäfte med ifyllda förberedelseuppgifter
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merFinal i Wallenbergs Fysikpris
Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov Lösningsförslag 1. a) Vattens värmekapacitivitet: Isens värmekapacitivitet: Smältvärmet: Kylmaskinen drivs med spänningen och strömmen. Kylmaskinens
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merOptimeringslära för T (SF1861)
Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation
Läs merFinal i Wallenbergs Fysikpris
Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov 1. En kylmaskin som drivs med en spänning på 220 Volt och en ström på 0,50 A kyler vatten i en behållare. Kylmaskinen har en verkningsgrad på 0,70.
Läs merOptimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Läs merAssigned Area Task -Strategi 1. Historia 2. Förberedelser 3. Mot första arean Medelhastighet Före eller efter tiden
Assigned Area Task -Strategi 1. Historia 2. Förberedelser 3. Mot första arean Medelhastighet Före eller efter tiden 4. Flygning mellan areorna Flyg rakt 5. Rundning på rätt sätt Sidvind Med- och motvind
Läs merKTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup
KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar
Läs merVektoriella storheter är storheter med både värde och riktning. t.ex. hastighet och kraft
Skalära och vektoriella storheter Vektoriella storheter är storheter med både värde och riktning. t.ex. hastighet och kraft Skalära storheter är storheter med enbart värde. t.ex. tid och temperatur Skalära
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs merWALLENBERGS FYSIKPRIS
WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 22 januari 2009 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) Rörelsemotståndsarbetet på nervägen är A n = F motst s = k mg s = k (2 180 + 52 100)
Läs merOptimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min
Läs merEulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Läs merTAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober 2016 1 / 14 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61
Läs merKapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf
Kapitel Graflösning Det går att använda följande metoder för att analysera funktionsgrafer och approximera resultat. Beräkning av roten Bestämning av lokalt maximivärde och lokalt minimivärde Bestämning
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merSuomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund rf
1 Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund rf Examen i skärgårdsnavigation 22.4.2016 lösningar Den i examen använda motorbåten är 13 meter lång, dess djupgående är 1,0 meter och höjd 4,0 meter.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mertransportlösningar Road show om energieffektiva färjor, Stockholm 15 maj 2013 Roger Karlsson & Magnus Forsberg, SSPA
Energi och ruttoptimerade transportlösningar Road show om energieffektiva färjor, Stockholm 15 maj 2013 Roger Karlsson & Magnus Forsberg, SSPA Kan det vara så här? För att uppnå full potential av sjöburen
Läs merÄrende nr: TRV 2012/87759
Mall Beredningsunderlag och Konsekvensutredning Trafikverket Region Mitt Fredrik Jansson SMt N Kungatan 1, Gävle Telefon: 0771-921 921 www.trafikverket.se fredrik.h.jansson@trafikverket.se 010-1235940
Läs merTSG rekommendation : Bestämning av bränsletal för skotare
Torbjörn Brunberg 2005-01-25 Paul Granlund TSG rekommendation 2005-01: Bestämning av bränsletal för skotare Innehåll Inledning...2 Skotningsarbetets tidsfördelning...2 Kranarbete...2 Körning...3 Allmänt...4
Läs merTentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merProv tentamen tidvatten & oceanografi dec 2003 LNC 040 CHALMERS LINDHOLMEN LNC 050 Sjöfartshögskolan
OBS Läs först igenom alla frågorna innan Du börjar lösa dem, det ger Dig möjlighet att ställa frågor till besökande lärare om Du upptäckt eventuella felaktigheter eller om något är oklart. Sjökortsarbete
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva
Läs merSystemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046)
Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Tentamen 23 oktober 2008 em 14:00-18:00 Tid: 4 timmar. Lokal: "Väg och vatten"-salar. Lärare: Nikolce Murgovski, 772 4800 Tentamenssalarna besöks efter ca 1 timme
Läs merFöreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merMiljövägen framtidsvägen Optimal ruttplanering med hänsyn till miljön. Sandor Kiss Johan Stillman
Optimal ruttplanering med hänsyn till miljön Sandor Kiss Johan Stillman RAPPORT I MARIN MILJÖ 2p Sjöfart och marin teknik Handledare: Göran Tibblin CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Göteborg, Sverige 2005 Innehållsförteckning
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får
Läs merNumerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall
Läs merTANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,
Läs merKLIMAT INGEN KAN GÖRA ALLT MEN ALLA KAN GÖRA NÅGOT! Transporterna släpper ut allt mer!
vardag KLIMAT INGEN KAN GÖRA ALLT MEN ALLA KAN GÖRA NÅGOT! Transporterna släpper ut allt mer! Vi reser idag mer och mer och ofta längre och längre. Redan för 40 år sedan var vägtrafiken det dominerande
Läs merVinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.
TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal
Läs merbergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11)
bergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11) Vad, varför och hur?...2 Vad är?...2 Varför?...3 Hur fungerar?...3 Några tips om användningen...3
Läs merÖvningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.
KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.
Läs merRapportexempel, Datorer och datoranvändning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som
Läs merk 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0
Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt
Läs mercaeec712 Plattgrundläggning Användarmanual Eurocode Software AB
caeec712 Plattgrundläggning Beräkningsprogram för grundplattor. Genererar resultat för sättning, glidning samt lasteffekt. Användarmanual Rev C Eurocode Software AB caeec712 Plattgrundläggning Sidan 2(13)
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merPM 2009-06-11 Trollhätte kanal. 1 Emissionsberäkning BVH. 1.1 Scenarier
1 Emissionsberäkning BVH För att kunna göra en bedömning av det samhällsekonomiska värdet av åtgärder i farleden genom så behöver förändringarna i möjligaste mån kvantifieras. En av de parametrar som kommer
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs merPM 2009-05-28 Trelleborgs Hamn rådgivning
Effekt av utbyggnaden av Trelleborgs Hamn avseende tång och erosion Trelleborgs Hamn planerar att expandera verksamheten och avser därför bygga ut hamnen. Det finns en oro att hamnutbyggnaden påverkar
Läs merDynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
Läs merLAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merIntramuskulär koordination (koordination inom en muskel)( antalet samtidigt insatta motoriska enheter i rörelsen början)
SAMMANSTÄLLT AV KENNETH RIGGBERGER Jag har genom åren träffat många aktiva som säger att de vill bli mer explosiva i sin idrott och att de även vill bli snabbare. För mig är all idrott power = kraft x
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merExempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016
Problemlösning Anastasia Kruchinina Uppsala Universitet Januari 2016 Anastasia Kruchinina Problemlösning 1 / 16 Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport Anastasia Kruchinina Problemlösning 2 / 16
Läs merLaboration 1: Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merApproximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning
Läs merHÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 SAMMANSTÄLLNING
HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 SAMMANSTÄLLNING 2003-06-18 HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 Sammanställning av till Sjöfartsinspektionen inrapporterade händelser under tidsperioden 1
Läs merOptimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?
Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda
Läs merKonvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Läs merTentamensinstruktioner
TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merExperimentella metoder 2013, Räkneövning 3
Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merMäta rakhet Scanning med M7005
Matematikföretaget jz M7005.metem.se 141121/150411/150704/SJn Mäta rakhet Scanning med M7005 Mätgivare Detalj Mäta rakhet - Scanning 1 (12) Innehåll 1 Ett exempel... 3 2 Beskrivning... 6 2.1 Scanna in
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merElteknik. Superposition
Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Superposition evma utbildning SPEPOSIION Superposition kan förenkla analys av linjära kretsar som har mer än en spänningskälla. LINJÄIE ill att börja med ska vi erinra oss
Läs mer