Ruttplanering på fartyg Thomas Hellström Seapacer AB tel:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Ruttplanering på fartyg 1994-05-19 Thomas Hellström Seapacer AB tel: 090-44 55 6"

Transkript

1 1 Ruttplanering på fartyg Thomas Hellström Seapacer AB tel: Ruttplanering på fartyg innebär att fördela farten på olika delsträckor av en resa med avsikt att minska den totala bränsleåtgången. Projektet består i att utveckla och implementera en optimeringsalgoritm som kan bestämma fartfördelningen med hänsyn taget till angivna värden på ström, vind och vattendjup. Programmet ska kunna köras på en PC och optimera i realtid under fartygets drift. BAKGRUND Bränslekostnaderna utgör efter lönekostnaderna den största posten i ett fartygs driftsbudget. Bränsleförbrukningen för en stor personfärja är mellan 1000 och 5000 liter/timme. Den förbrukar alltså mer olja per timme än en normal villa förbrukar på ett års uppvärmning! Priset för den bunkerolja som normalt används i svenska färjor är ca 1100:-/m 3. Årskostnaden för en färja som kör 20 timmar/dygn är således i storleksordningen 20 miljoner kronor. Varje minskning av oljeförbrukningen med 1 % innebär alltså en årlig besparing på över kronor. VAD PÅVERKAR BRÄNSLEFÖRBRUKNINGEN? Några av de viktigaste faktorerna är följande: Fartygsspecifika parametrar som skrovform, vikt, typ av huvudmaskiner, propellrar mm. Antal inkopplade huvudmaskiner. Fartygets fart relativt botten mätt i knop (sk. bottom track speed eller fart över grund ). Ström (riktning samt styrka i knop) Vattendjup Fartygets djupgående beroende på aktuell last Vind (riktning samt styrka mätt i Beaufort)

2 2 HUR KAN BRÄNSLEFÖRBRUKNINGEN MINSKAS? Den metod som beaktas i detta projekt kallas ruttplanering och består i att variera fartygets fart på olika delar av en total resa (rutt). Eftersom de yttre omständigheterna (vind, ström och djup) varierar inses att minimal bränsleåtgång inte fås vid jämn fart under hela resan. Vi får således ett minimeringsproblem som måste lösas numeriskt för att erhålla den fartfördelning som minimerar den totala bränsleåtgången för en resa med bivillkoret att komma fram enligt tidtabell. Ruttplanering utförs mer eller mindre ambitiöst på de flesta fartyg. Beräkningen består i de allra flesta fall av manuella uppskattningar samt erfarenhet från tidigare resor. SEAPACER Seapacer AB har utvecklat en reglerdator kallad Seapacer som används på personfärjor och lastfartyg med syfte att spara bränsle genom bla. automatisk ruttplanering och farthållning. Vind, strömmar och vattendjup kan matas in före och under resan och Seapacerdatorn beräknar därefter en fartfördelning som minskar den totala bränsleåtgången. Den metod som används finns beskriven längre fram under STARTVÄRDESALGORITM 3. Den beräknade fartfördelningen används av Seapacern för att automatiskt styra hastigheten genom kontroll av fartygets huvudmaskiner och propellrar. Ankomsttiden hålls utan onödiga marginaler och besparingar på 5-15% erhålls på många fartyg. Det finns emellertid intresse av att studera en mer noggrann optimering enligt det som presenteras i denna projektbeskrivning.

3 3 MODELLER Oljeförbrukningens beroende av fart, vind och vattendjup bestäms med mätningar på fartyget. Inga matematiska samband antas förutom de mätvärden som erhålls. Följande modeller gäller för personfärjan MV Stena Europe som trafikerar Engelska kanalen mellan Hook van Holland och Harwich. De uppmätta värdena varierar naturligtvis från fartyg till fartyg. Karakteristiken hos kurvorna är dock vanligtvis likartade. Tabeller från andra fartyg finns tillgängliga vid behov. FARTMODELL F(xw) Utan påverkan av begränsande vattendjup eller vind erhålls tex följande tabell över bränsleförbrukning vid olika farter (knop): tabell 1: Fart genom vattnet (xw) Liter/timme DJUPMODELL D(x, d) Vid begränsande vattendjup fås en uppbromsning av farten på grund av ökat vattenmotstånd samt, vid mycket litet vattendjup (ett fåtal meter under fartygskölen), den sk squat -effekten som drar ner fartyget och därigenom bromsar farten. Följande tabell beskriver vattendjupets inverkan på oljeförbrukningen vid olika farter och vattendjup: tabell 2: Fart över grund (x) Djup (d) Ökad oljeförbrukning %

4 4 VINDMODELL W(w, wd) Vinden anges genom relativ riktning i förhållande till fartygets kurs samt vindstyrka uttryckt i Beaufort. Parametern wd anger riktningen i grader. w anger Beaufort-tal , 0-45 : Motvind , : Sidvind : Medvind Generellt kan sägas att sidvind, även snett bakifrån, påverkar bränsleförbrukningen negativt pga den stora fartygsytan vinden då verkar på. Följande tabell beskriver ett enkelt uppmätt samband mellan vindstyrka. riktning och ökad bränsleförbrukning: tabell 3: Riktning (wd) Ökad oljeförbrukning % (för varje Beaufort) , , För värden som hamnar mellan de uppmätta punkter som anges i ovanstående tabeller kan enklast linjär interpolering användas. Punkter utanför ändlägena extrapoleras. Om optimeringsalgoritmen kräver deriverbarhet i varje punkt kan lämpligen splineinterpolering användas. Observera att tabell 2 kräver interpolering i två dimensioner; fart och vattendjup. Exempel: Fartyget körs i 18 knop över grund. Strömmen 1 knop är riktad längs med färdriktningen. Vinden blåser 4 beaufort rakt mot styrbordssidan av fartyget (wd=90). Vattendjupet är 15 meter under kölen. Farten genom vattnet blir 18-1 = 17 knop. Tabell 1 ger förbrukningen 1300 liter/timme utan hänsyn tagen till vinden eller begränsat djup. Tabell 2 anger 10% ökning pga vattendjupet. Tabell 3 anger 4 2% = 8% ökning pga sidvinden. Total oljeförbrukning i exemplet är därför enligt modellerna : ,10 1,08 = 1544 liter/timme.

5 5 FORMULERING AV OPTIMERINGSPROBLEMET Rutten delas upp i n delar med likartade djup-, vind-, och strömförhållanden. n kan anta värden från 2 upp till 40. Varje del benämns rutt-ben eller bara ben. För varje ben i finns följande indata: längd s i (nautiska mil) longitudinell strömkomponent cl i, (enhet: knop) parallell med färdriktningen transversell strömkomponent ct i, (enhet: knop) vinkelrätt mot färdriktningen vindstyrka w i (Beaufort) relativ vindriktning wd i. (0.-360) (se tabell 3) vattendjup d i (meter) under fartygets köl minsta tillåtna fart xmin i (knop). högsta tillåtna fart xmax i (knop). För rutten som helhet finns följande indata: Total restid T (enhet: timmar) Antal ben i rutten Exempel på indata återfinns i appendix 1. Fartygets hastighet över grund (relativt botten) anges i knop. 1 knop motsvarar 1 nautisk mil/timme. Fart över grund x relateras till fart genom vattnet xw och strömkomponenterna ct och cl enligt: 2 2 xw = ct + ( x cl ) dvs vektoraddition av fart- och ström-vektorerna. Förbrukningen (liter) på ett ben i benämns C i och är en funktion av fart över grund x i samt egenskaperna hos ben i ; längden s i, strömmen cl i, ct i, vindstyrkan w i, vindriktningen wd i samt vattendjupet d i : C i ( x i ) = s i /x i F( xw i ) ( 1 + D(x i, d i )/100 ) ( 1 + W( w i, wd i )/100 ) där F, D och W ges av tabell 1, 2 respektive 3. Faktorn s i /x i är den tid (timmar) som fartyget befinner sig på rutt-ben i. Vi definierar vektorn x som ( x 1, x 2,..., x n ) med de sökta farterna (över grund) på de n delsträckorna. Den totalt förbrukningen φ under en resa ges av:

6 6 φ( x ) = n i= 1 C i (x i )

7 7 BIVILLKOR Som bivillkor har vi: 1) n i= 1 s i / x i = T dvs fartyget ska komma fram i tid. samt 2) xmin i x i xmax i i detta kan innefatta fartbegränsningar på vissa sträckor samt definiera det tillgängliga fartregistret för fartyget. φ( x ) ska nu minimeras map. x med hänsyn taget till bivillkoren ovan. Om man substituerar t i = s i /x i blir bivillkor 1 linjärt men φ blir å andra sidan olinjärare...

8 8 STARTVÄRDESALGORITMER Som startvärde till x är föreslås tre alternativ. 1) Ansätt jämn fart över grund på samtliga ben. Dvs: x i = n j= 1 s j / T i Denna metod kräver nästan inga beräkningar men tar i gengäld inte hänsyn till vare sig ström, vind eller vattendjup. 2) Bestäm ett fartvärde xw genom vattnet på samtliga ben som gör att fartyget kommer fram i tid (dvs uppfyller bivillkor 1 ovan).detta innebär att ben med motström körs med lägre fart genom vattnet än ben med medström. Dvs: bestäm ett xw som uppfyller: n i= 1 s i / x i = T xw = ct + ( x cl ) 2 2 i i i om bivillkoret 2) gör att x i inte är en giltig fart över botten på delsträckan i sätts x i till en lämplig ändpunkt i bivillkorets giltiga intervall. Denna metod ger en x-vektor som korrekt tar hänsyn till ström men ej till vattendjup och vind.

9 9 3) Välj den oljeförbrukning (liter/timme) som om den körs på samtliga ben gör att fartyget kommer fram i tid (uppfyller bivillkor 1 ovan). Detta innebär att ben med motström körs med lägre fart över grund än ben med medström samt att ben med tung belastning pga litet vattendjup eller bromsande vind körs långsammare än andra ben. Detta är intuitivt korrekt och ger ett så tillfredsställande resultat att metoden rekommenderas utan ytterligare beräkningar (se artikel Route-planering - några synpunkter ). Algoritmen kan beskrivas som två nästade iterativa endimensionella ekvationslösningar: Sök förbrukningstal (liter/timme) λ som löser H(λ) = 0 där H(λ) definieras enligt: H(λ) = T - n i= 1 s i /x i (λ) där x i (λ) är den fart över grund som erhålls med förbrukningen λ liter/timme på ben i. x i (λ) är alltså det x i som löser: ( C i (x i ) x i /s i ) - λ = 0 om bivillkoret 2) ovan gör att ett giltigt x i ej kan bestämmas sätts x i till lämplig ändpunkt i bivillkorets giltiga intervall. Denna metod ger oftast en x-vektor som ligger mycket nära optimalpunkten. Varför så är fallet bör utrönas mer i detalj (se uppgift b). Exempel på denna algoritm återfinns i appendix 1.

10 10 UPPGIFTER a) Den primära uppgiften är att utveckla och implementera en algoritm som löser ovanstående optimerings-problem på ett stabilt och framförallt snabbt sätt. Problemen uppenbarar sig när antalet delsträckor ökar till För att få kunskap om problemets karaktär bör n=2 och 3 först studeras och plottas. De föreslagna startvärdesalgoritmerna ska jämföras och utvärderas map. noggranhet och beräkningsarbete (flyttalsoperationer eller tidsåtgång). Programmet ska kunna läsa en valfri datafil med indata enligt appendix 1 samt producera en utfil enligt mallen i appendix 2. Modellerna (tabell 1, 2 och 3) ska läsas från datafil. Optimeringsparametrar (tex tillåtet fel på bivillkor 1 och stoppkriterier) ska också ligga på en datafil för att enkelt kunna ändras. Programmet kan delas i ett antal moduler: Inläsning av datafiler tabell 1, 2 och 3 som funktioner med någon form av interpolering Derivatafunktioner Startvärdesrutin Optimeringsrutin Utskriftsrutin b) Startvärdesalgoritm 3) ska jämföras med de verkliga optimeringskörningarna för att få fram hur stora förbättringar som erhålls samt i vilka situationer (litet djup eller stark ström eller vind?). Kan algoritm 3) ges någon mer formell motivering, kanske under speciella omständigheter (linjära modeller, liten djuppåverkan...). Studera φ:s partiella derivator map x i i den punkt som algoritm 3 föreslår. c) Kan optimeringsproblemet omformuleras som ett dualt problem? d) Hur förändras problemet om bivillkor 1 substitueras in i objektfunktionen.

11 11 APPENDIX 1 Format på indatafil De datafiler som kan användas för testning av optimeringsprogrammet innehåller mer data än vad som är nödvändigt. De intressanta datafälten är skrivna i VERSALER i nedanstående beskrivning. Datafält på samma rad separeras med ett eller flera blanktecken. Varierande antal decimaler kan förekomma. <indata-fil> ::= <rutt-namn> <ankomsttid> <TOTAL RESTID> <ANTAL BEN> <start del B> <slut del B> <DATA OM BEN 1> <DATA OM BEN 2>... <DATA OM BEN n> <DATA OM RUTTENS ÄNDPUNKT> (används ej i optimeringen) <data om ben i> ::= <kör-mode> <LÄNGD > <VATTENDJUP> <VINDSTYRKA> <vindriktning> <RELATIV VINDRIKTNING> <ström> <strömriktning> <LONGITUDINELL STRÖM> <TRANSVERSELL STRÖM> <kurs> <lattitud för benets start> <longitud> <MIN FART> <MAX FART> <bränsle-limit> <auto-limit> <waypoint nummer> De följande exemplen är verkliga ruttplaner som körts i Seapacersystem på ett flertal fartyg. De kan användas för att testa det utvecklade optimeringsprogrammet med exempel av olika svårighetsgrad. Som jämförelse redovisas resultatet av startvärdesalgoritm 3 för varje exempel.

12 12 forts. APPENDIX 1 indatafil 1: test P P P P Denna ruttplan har ingen ström, vind eller olika djup på rutt-benen. Den beräknade farten ska då med alla metoder ge samma fartvektor x. Startvärdesalgoritm 3 ger en medelförbrukning på 1167 liter/timme. Vektorn x blir då ( ). Totalförbrukningen blir då 778 liter. Totaldistansen är 12 nm. indatafil 2: HARWICH TO HOOK N.ROUTE P P P P D Denna ruttplan har ingen ström eller vind. Djupet varierar dock på de olika rutt-benen. Denna ruttplan ger med startvärdesalgoritm 3 en medelförbrukning på 1514 liter/timme. Vektorn x blir då ( ) Totalförbrukningen blir då 7315 liter. Totaldistansen är 101,4 nm.

13 13 forts. APPENDIX 1 indatafil 3: Göteborg-Kiel DW S P P P P P P P P P P P P P S S D P P P P P P P S S S P Denna ruttplan med 27 ben har såväl ström som vind och olika djupsiffror för de olika ruttbenen. Vissa delsträckor har även xmin=xmax, dvs fixerad fart. Startvärdesalgoritm 3 ger en medelförbrukning på 2963 liter/timme. Vektorn x blir då ( ). Totalförbrukningen blir då liter. Totaldistansen är nm.

14 14 APPENDIX 2 Mall till resultatfil: <optimeringsstatus> <namn på indatafil> <antal ben n> <den beräknade x-vektorn> < φ :s slutvärde> < bivillkor 1:s residual> < φ:s slutderivator)> <antal beräkningar (av C i eller...)för startvärdesalgoritmen> <startvärde på x> <antal beräkningar av C i för optimeringsalgoritmen>

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att

Läs mer

1. Vad är optimering?

1. Vad är optimering? . Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man

Läs mer

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst.

När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att hålla nere bränslekostnaden men inte till vilket pris som helst. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum när något är bäst. Men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. När det gäller en motor kanske man vill maximera verkningsgraden för att

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

Illustration och text Kim Jarl

Illustration och text Kim Jarl Illustration och text Kim Jarl Vi ska prata Longitud och Latitud Kartor och kartprojektioner Karttecken Kompassen Satelitnavigering Navigationsbegrepp Övning Jorden Som ett stort schackbräde Jorden Som

Läs mer

5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3

5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 1 Revision 4 2006-12-16 2. SIDFÖRTECKNING 5B1146 med Matlab Laborationsr Laborationsgrupp: Sebastian Johnson, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 Titel Sida 1. Uppgift 1.8.1....3 2. Uppgift 1.8.2....6 3. Uppgift

Läs mer

Den utetemperaturberoende delen av energiförbrukningen korrigerar man sedan genom att dividera sitt mätvärde med korrigeringsfaktorn.

Den utetemperaturberoende delen av energiförbrukningen korrigerar man sedan genom att dividera sitt mätvärde med korrigeringsfaktorn. Den utetemperaturberoende delen av energiförbrukningen korrigerar man sedan genom att dividera sitt mätvärde med korrigeringsfaktorn. Låt oss åter titta på exemplet med Stockholm. Antag att en fastighet

Läs mer

Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.

Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken. Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj

Läs mer

Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) Chalmers Institutionen för Sjöfart och Marin Teknik

Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) Chalmers Institutionen för Sjöfart och Marin Teknik Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) 1. Svara kort men också fullständigt innebörden/betydelsen av följande ord/benämningar och hur de används/betyder inom meteorologin och till sjöss. a Isobar

Läs mer

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster)

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Vi har lite olika upplägg i de kurser vi håller och i vissa kurser finns det med något som vi kallar "poster" (eng. "record"). I andra har vi inte med detta. Vi har

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat

Läs mer

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10 Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013

Optimering. Optimering av transportproblem. Linköpings universitet SL. Campusveckan VT2013 Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1 Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar

Läs mer

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2 17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger

Läs mer

Rätt fart såklart! Fem goda skäl att hålla koll på hastigheten

Rätt fart såklart! Fem goda skäl att hålla koll på hastigheten Rätt fart såklart! Fem goda skäl att hålla koll på hastigheten Har du koll på fördelarna med rätt fart? I detta häfte finns bra argument för varför vi som kör lastbil ska hålla hastighetsgränserna och

Läs mer

EUROPEISKA GEMENSKAPERNAS KOMMISSION. Förslag till RÅDETS BESLUT

EUROPEISKA GEMENSKAPERNAS KOMMISSION. Förslag till RÅDETS BESLUT EUROPEISKA GEMENSKAPERNAS KOMMISSION Bryssel den 08.06.2006 KOM(2006) 280 slutlig Förslag till RÅDETS BESLUT om bemyndigande för Förenade kungariket att införa en särskild åtgärd som avviker från artikel

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

SF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande

SF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa

Läs mer

Projektuppgift i Simulering och optimering av energisystem

Projektuppgift i Simulering och optimering av energisystem UMEÅ UNIVERSITET 2006-05-24 Institutionen för tillämpad fysik och elektronik Projektuppgift i Simulering och optimering av energisystem - Optimering av isoleringstjocklek på fjärrvärmekulvert - Optimering

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 8 januari 201 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Examen I skärgårdsnavigation 11.12.2015 modellösningar

Examen I skärgårdsnavigation 11.12.2015 modellösningar Examen I skärgårdsnavigation 11.12.2015 modellösningar Den i examen använda motorbåten är 13 m lång, dess djupgående är 1,2 m och höjd 3,4 m. Till båtens utrustning hör en huvudkompass (deviationstabell

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Varför djupare V-botten och större motor

Varför djupare V-botten och större motor Varför djupare V-botten och större motor Det är ofta mycket stort avstånd mellan tillgänglig kunskap och dess tillämpning i produktion och handel. Det cirkulerar många helt ogrundade slutsatser som kan

Läs mer

Ellära. Laboration 2 Mätning och simulering av likströmsnät (Thevenin-ekvivalent)

Ellära. Laboration 2 Mätning och simulering av likströmsnät (Thevenin-ekvivalent) Ellära. Laboration 2 Mätning och simulering av likströmsnät (Thevenin-ekvivalent) Labhäftet underskrivet av läraren gäller som kvitto för labben. Varje laborant måste ha ett eget labhäfte med ifyllda förberedelseuppgifter

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: januari 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Final i Wallenbergs Fysikpris

Final i Wallenbergs Fysikpris Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov Lösningsförslag 1. a) Vattens värmekapacitivitet: Isens värmekapacitivitet: Smältvärmet: Kylmaskinen drivs med spänningen och strömmen. Kylmaskinens

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 1 november 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar

Läs mer

Optimeringslära för T (SF1861)

Optimeringslära för T (SF1861) Optimeringslära för T (SF1861) 1. Kursinformation 2. Exempel på optimeringsproblem 3. Introduktion till linjärprogrammering Introduktion - Ulf Jönsson & Per Enqvist 1 Linjärprogrammering Kursinformation

Läs mer

Final i Wallenbergs Fysikpris

Final i Wallenbergs Fysikpris Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov 1. En kylmaskin som drivs med en spänning på 220 Volt och en ström på 0,50 A kyler vatten i en behållare. Kylmaskinen har en verkningsgrad på 0,70.

Läs mer

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)

Läs mer

Assigned Area Task -Strategi 1. Historia 2. Förberedelser 3. Mot första arean Medelhastighet Före eller efter tiden

Assigned Area Task -Strategi 1. Historia 2. Förberedelser 3. Mot första arean Medelhastighet Före eller efter tiden Assigned Area Task -Strategi 1. Historia 2. Förberedelser 3. Mot första arean Medelhastighet Före eller efter tiden 4. Flygning mellan areorna Flyg rakt 5. Rundning på rätt sätt Sidvind Med- och motvind

Läs mer

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar

Läs mer

Vektoriella storheter är storheter med både värde och riktning. t.ex. hastighet och kraft

Vektoriella storheter är storheter med både värde och riktning. t.ex. hastighet och kraft Skalära och vektoriella storheter Vektoriella storheter är storheter med både värde och riktning. t.ex. hastighet och kraft Skalära storheter är storheter med enbart värde. t.ex. tid och temperatur Skalära

Läs mer

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren

Läs mer

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING 22 januari 2009 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) Rörelsemotståndsarbetet på nervägen är A n = F motst s = k mg s = k (2 180 + 52 100)

Läs mer

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg

Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14

TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14 TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober 2016 1 / 14 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61

Läs mer

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf

Kapitel. 9-1 Innan graflösning används 9-2 Analys av en funktionsgraf Kapitel Graflösning Det går att använda följande metoder för att analysera funktionsgrafer och approximera resultat. Beräkning av roten Bestämning av lokalt maximivärde och lokalt minimivärde Bestämning

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund rf

Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund rf 1 Suomen Navigaatioliitto Finlands Navigationsförbund rf Examen i skärgårdsnavigation 22.4.2016 lösningar Den i examen använda motorbåten är 13 meter lång, dess djupgående är 1,0 meter och höjd 4,0 meter.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

transportlösningar Road show om energieffektiva färjor, Stockholm 15 maj 2013 Roger Karlsson & Magnus Forsberg, SSPA

transportlösningar Road show om energieffektiva färjor, Stockholm 15 maj 2013 Roger Karlsson & Magnus Forsberg, SSPA Energi och ruttoptimerade transportlösningar Road show om energieffektiva färjor, Stockholm 15 maj 2013 Roger Karlsson & Magnus Forsberg, SSPA Kan det vara så här? För att uppnå full potential av sjöburen

Läs mer

Ärende nr: TRV 2012/87759

Ärende nr: TRV 2012/87759 Mall Beredningsunderlag och Konsekvensutredning Trafikverket Region Mitt Fredrik Jansson SMt N Kungatan 1, Gävle Telefon: 0771-921 921 www.trafikverket.se fredrik.h.jansson@trafikverket.se 010-1235940

Läs mer

TSG rekommendation : Bestämning av bränsletal för skotare

TSG rekommendation : Bestämning av bränsletal för skotare Torbjörn Brunberg 2005-01-25 Paul Granlund TSG rekommendation 2005-01: Bestämning av bränsletal för skotare Innehåll Inledning...2 Skotningsarbetets tidsfördelning...2 Kranarbete...2 Körning...3 Allmänt...4

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden. Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt

Läs mer

Prov tentamen tidvatten & oceanografi dec 2003 LNC 040 CHALMERS LINDHOLMEN LNC 050 Sjöfartshögskolan

Prov tentamen tidvatten & oceanografi dec 2003 LNC 040 CHALMERS LINDHOLMEN LNC 050 Sjöfartshögskolan OBS Läs först igenom alla frågorna innan Du börjar lösa dem, det ger Dig möjlighet att ställa frågor till besökande lärare om Du upptäckt eventuella felaktigheter eller om något är oklart. Sjökortsarbete

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046)

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Tentamen 23 oktober 2008 em 14:00-18:00 Tid: 4 timmar. Lokal: "Väg och vatten"-salar. Lärare: Nikolce Murgovski, 772 4800 Tentamenssalarna besöks efter ca 1 timme

Läs mer

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

Föreläsning 6: Nätverksoptimering Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem

Läs mer

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering

Läs mer

Miljövägen framtidsvägen Optimal ruttplanering med hänsyn till miljön. Sandor Kiss Johan Stillman

Miljövägen framtidsvägen Optimal ruttplanering med hänsyn till miljön. Sandor Kiss Johan Stillman Optimal ruttplanering med hänsyn till miljön Sandor Kiss Johan Stillman RAPPORT I MARIN MILJÖ 2p Sjöfart och marin teknik Handledare: Göran Tibblin CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Göteborg, Sverige 2005 Innehållsförteckning

Läs mer

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: juni 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får

Läs mer

Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.

Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall

Läs mer

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor.

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll. Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,

Läs mer

KLIMAT INGEN KAN GÖRA ALLT MEN ALLA KAN GÖRA NÅGOT! Transporterna släpper ut allt mer!

KLIMAT INGEN KAN GÖRA ALLT MEN ALLA KAN GÖRA NÅGOT! Transporterna släpper ut allt mer! vardag KLIMAT INGEN KAN GÖRA ALLT MEN ALLA KAN GÖRA NÅGOT! Transporterna släpper ut allt mer! Vi reser idag mer och mer och ofta längre och längre. Redan för 40 år sedan var vägtrafiken det dominerande

Läs mer

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3. TNSL05 (10) (5p) Uppgift 1 Företaget XAJA tillverkar två olika sorters rengöringsprodukter för fönsterputsning, benämnda F1 och F. Förutom vatten, som ingår i båda produkterna är, innehållet ett antal

Läs mer

bergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11)

bergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11) bergerdata hb www.bergerdata.se/guidemaster info@bergerdata.se 0708-72 23 00 1.10 2015-05-19 Sid 1 (11) Vad, varför och hur?...2 Vad är?...2 Varför?...3 Hur fungerar?...3 Några tips om användningen...3

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som

Läs mer

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0 Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt

Läs mer

caeec712 Plattgrundläggning Användarmanual Eurocode Software AB

caeec712 Plattgrundläggning Användarmanual Eurocode Software AB caeec712 Plattgrundläggning Beräkningsprogram för grundplattor. Genererar resultat för sättning, glidning samt lasteffekt. Användarmanual Rev C Eurocode Software AB caeec712 Plattgrundläggning Sidan 2(13)

Läs mer

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

PM 2009-06-11 Trollhätte kanal. 1 Emissionsberäkning BVH. 1.1 Scenarier

PM 2009-06-11 Trollhätte kanal. 1 Emissionsberäkning BVH. 1.1 Scenarier 1 Emissionsberäkning BVH För att kunna göra en bedömning av det samhällsekonomiska värdet av åtgärder i farleden genom så behöver förändringarna i möjligaste mån kvantifieras. En av de parametrar som kommer

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

PM 2009-05-28 Trelleborgs Hamn rådgivning

PM 2009-05-28 Trelleborgs Hamn rådgivning Effekt av utbyggnaden av Trelleborgs Hamn avseende tång och erosion Trelleborgs Hamn planerar att expandera verksamheten och avser därför bygga ut hamnen. Det finns en oro att hamnutbyggnaden påverkar

Läs mer

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering

Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Intramuskulär koordination (koordination inom en muskel)( antalet samtidigt insatta motoriska enheter i rörelsen början)

Intramuskulär koordination (koordination inom en muskel)( antalet samtidigt insatta motoriska enheter i rörelsen början) SAMMANSTÄLLT AV KENNETH RIGGBERGER Jag har genom åren träffat många aktiva som säger att de vill bli mer explosiva i sin idrott och att de även vill bli snabbare. För mig är all idrott power = kraft x

Läs mer

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016

Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016 Problemlösning Anastasia Kruchinina Uppsala Universitet Januari 2016 Anastasia Kruchinina Problemlösning 1 / 16 Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport Anastasia Kruchinina Problemlösning 2 / 16

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 SAMMANSTÄLLNING

HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 SAMMANSTÄLLNING HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 SAMMANSTÄLLNING 2003-06-18 HÄNDELSER I STOCKHOLMS SKÄRGÅRD 1985-2000 Sammanställning av till Sjöfartsinspektionen inrapporterade händelser under tidsperioden 1

Läs mer

Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?

Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda

Läs mer

Konvergens för iterativa metoder

Konvergens för iterativa metoder Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd

Läs mer

Tentamensinstruktioner

Tentamensinstruktioner TNSL05 1(8) TENTAMEN Datum: 1 april 2016 Tid: XXX Sal: XXX Provkod: TEN1 Kursnamn: TNSL05 Optimering, modellering och planering Institution: ITN Antal uppgifter: 5 Betygskrav: För godkänt krävs normalt

Läs mer

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012 Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +

Läs mer

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Mäta rakhet Scanning med M7005

Mäta rakhet Scanning med M7005 Matematikföretaget jz M7005.metem.se 141121/150411/150704/SJn Mäta rakhet Scanning med M7005 Mätgivare Detalj Mäta rakhet - Scanning 1 (12) Innehåll 1 Ett exempel... 3 2 Beskrivning... 6 2.1 Scanna in

Läs mer

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM

TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning. Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som

Läs mer

Elteknik. Superposition

Elteknik. Superposition Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Superposition evma utbildning SPEPOSIION Superposition kan förenkla analys av linjära kretsar som har mer än en spänningskälla. LINJÄIE ill att börja med ska vi erinra oss

Läs mer