TAOP61 Projekt 2. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
|
|
|
- Charlotta Eliasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TAOP61 Projekt 2 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
2 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
3 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
4 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
5 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
6 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Formulera problemet för lösning med dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
7 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Formulera problemet för lösning med dynamisk programmering. Gör ett program som löser problemet med dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
8 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Formulera problemet för lösning med dynamisk programmering. Gör ett program som löser problemet med dynamisk programmering. Lös det lilla testproblemet för att se att allt fungerar korrekt. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
9 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Formulera problemet för lösning med dynamisk programmering. Gör ett program som löser problemet med dynamisk programmering. Lös det lilla testproblemet för att se att allt fungerar korrekt. Lös de stora problemen. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
10 TAOP61 Projekt 2 Optimering av elmotorutnyttjandet i en laddhybrid med hjälp av dynamisk programmering. Programvara: Matlab/Octave/Python, eget program. Material: Fallbeskrivning: Laddhybrid. Uppgifter: Formulera problemet för lösning med dynamisk programmering. Gör ett program som löser problemet med dynamisk programmering. Lös det lilla testproblemet för att se att allt fungerar korrekt. Lös de stora problemen. Skriv en rapport om resultaten. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
11 Laddhybrid Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
12 Laddhybrid Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
13 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi har fyra inställningar för framdrivningssättet: 1. Bara el. 2. Mest el, med bidrag av bensin. 3. Lite el, med mera bensin. 4. Bara bensin. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
14 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi har fyra inställningar för framdrivningssättet: 1. Bara el. 2. Mest el, med bidrag av bensin. 3. Lite el, med mera bensin. 4. Bara bensin. Vägarna delas upp i fem kategorier: 1. Motorväg. 2. Landsväg. 3. Mindre väg, backig och/eller kurvig. 4. Väg i gles tätort (liten stad eller förort). 5. Väg i innerstad (trafikljus, många start och stopp). Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
15 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi förutsätter att man har bestämt vilken väg man ska ta. Hela vägen delas upp i n stycken vägavsnitt av olika typer och olika längder. Vägavsnitt j har längden l j (m) och är av typen t j. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
16 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi förutsätter att man har bestämt vilken väg man ska ta. Hela vägen delas upp i n stycken vägavsnitt av olika typer och olika längder. Vägavsnitt j har längden l j (m) och är av typen t j. Baserat på förväntad medelhastighet har man uppskattat hur mycket batterinivån sjunker om man färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och det betecknas med b kt. Dessutom har man beräknat en kostnad (inkluderande allt, dvs. bensin, slitage, miljöpåverkan etc) för att färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och den betecknas med d kt. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
17 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi förutsätter att man har bestämt vilken väg man ska ta. Hela vägen delas upp i n stycken vägavsnitt av olika typer och olika längder. Vägavsnitt j har längden l j (m) och är av typen t j. Baserat på förväntad medelhastighet har man uppskattat hur mycket batterinivån sjunker om man färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och det betecknas med b kt. Dessutom har man beräknat en kostnad (inkluderande allt, dvs. bensin, slitage, miljöpåverkan etc) för att färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och den betecknas med d kt. Eftersom vägavsnitt j har längden l j, sjunker batterinivån med a jk = l j b ktj om man kör den med inställning k, och kostnaden blir c jk = l j d ktj. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
18 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi förutsätter att man har bestämt vilken väg man ska ta. Hela vägen delas upp i n stycken vägavsnitt av olika typer och olika längder. Vägavsnitt j har längden l j (m) och är av typen t j. Baserat på förväntad medelhastighet har man uppskattat hur mycket batterinivån sjunker om man färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och det betecknas med b kt. Dessutom har man beräknat en kostnad (inkluderande allt, dvs. bensin, slitage, miljöpåverkan etc) för att färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och den betecknas med d kt. Eftersom vägavsnitt j har längden l j, sjunker batterinivån med a jk = l j b ktj om man kör den med inställning k, och kostnaden blir c jk = l j d ktj. Man kan använda sig av variablerna x jk = 1 om vi kör vägavsnitt j med inställning k, och 0 om inte. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
19 TAOP61 Projekt 2: Laddhybrid Vi förutsätter att man har bestämt vilken väg man ska ta. Hela vägen delas upp i n stycken vägavsnitt av olika typer och olika längder. Vägavsnitt j har längden l j (m) och är av typen t j. Baserat på förväntad medelhastighet har man uppskattat hur mycket batterinivån sjunker om man färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och det betecknas med b kt. Dessutom har man beräknat en kostnad (inkluderande allt, dvs. bensin, slitage, miljöpåverkan etc) för att färdas en meter på en väg av kategori t med framdrivningssätt k, och den betecknas med d kt. Eftersom vägavsnitt j har längden l j, sjunker batterinivån med a jk = l j b ktj om man kör den med inställning k, och kostnaden blir c jk = l j d ktj. Man kan använda sig av variablerna x jk = 1 om vi kör vägavsnitt j med inställning k, och 0 om inte. (Om alla koefficienter för en variabel blir noll, kommer den att elimineras.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
20 TAOP61 Projekt 2: Modell Kappsäcksproblem: min c jk x jk j k x jk = 1 för alla j k j a jk x jk L 0 x jk 0 för alla j och k Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
21 TAOP61 Projekt 2: Modell Kappsäcksproblem: min c jk x jk j k x jk = 1 för alla j k j a jk x jk L 0 x jk 0 för alla j och k Notera att antal vägavsnitt (j) avgör antalet iterationer, medan högerledet L 0 avgör storleken av tabellen i dynamisk programmering. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
22 TAOP61 Projekt 2: Indata Data till detta problem består av koefficienterna b kt och d kt. Dessa data återfinnes på filerna linkbatt.txt och linkcost.txt. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
23 TAOP61 Projekt 2: Indata Data till detta problem består av koefficienterna b kt och d kt. Dessa data återfinnes på filerna linkbatt.txt och linkcost.txt. Dessutom behövs längd l j och typ t j för varje vägavsnitt, vilket kan vara många. Dessa data återfinnes på filerna path0.txt, path1.txt etc. Slutligen behövs startladdningen, L 0. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
24 TAOP61 Projekt 2: Indata Data till detta problem består av koefficienterna b kt och d kt. Dessa data återfinnes på filerna linkbatt.txt och linkcost.txt. Dessutom behövs längd l j och typ t j för varje vägavsnitt, vilket kan vara många. Dessa data återfinnes på filerna path0.txt, path1.txt etc. Slutligen behövs startladdningen, L 0. Programmet läser in dessa data, och beräknar koefficienterna a och c. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
25 TAOP61 Projekt 2: Indata linkbatt.txt: linkcost.txt: Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
26 TAOP61 Projekt 2: Instanser Instans Antal sträckor L 0 Vad? path Litet test path Mellantest path Större test path Från slumpad karta path Linköping - Jönköping path Linköping - Jönköping path Östergötland, öst till väst path Östergötland, norr till syd path Slumpat path Slumpat path Slumpat path Slumpat path Slumpat Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
27 TAOP61 Projekt 2: path6 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
28 TAOP61 Projekt 2: path8 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
29 TAOP61 Projekt 2: path9 Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
30 TAOP61 Projekt 2: Kod På filen initeldynp.m finns ett förslag på början av matlab-koden. Den läser in indatafilerna. Programmet kontrollerar om batteriladdningen räcker till att köra på bara el hela vägen. (Dvs. om L 0 är tillräckligt stort.) Då minskas L 0 till precis vad som behövs för eldrift. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
31 TAOP61 Projekt 2: Kod På filen initeldynp.m finns ett förslag på början av matlab-koden. Den läser in indatafilerna. Programmet kontrollerar om batteriladdningen räcker till att köra på bara el hela vägen. (Dvs. om L 0 är tillräckligt stort.) Då minskas L 0 till precis vad som behövs för eldrift. Efter detta ska ni skriva in er optimeringsalgoritm. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
32 TAOP61 Projekt 2: Kod På filen initeldynp.m finns ett förslag på början av matlab-koden. Den läser in indatafilerna. Programmet kontrollerar om batteriladdningen räcker till att köra på bara el hela vägen. (Dvs. om L 0 är tillräckligt stort.) Då minskas L 0 till precis vad som behövs för eldrift. Efter detta ska ni skriva in er optimeringsalgoritm. Några tips (matlab-kommandon som kan vara bra att ha): ix=ix-a; Minskar indexvektorn ix med a enheter. nix=1-ix>0; nix blir 0 i de positioner där ix är större än noll och 1 i de positioner där ix mindre eller lika med noll. ft0=circshift(ft1,[0 a]); Vektorn ft0 är vektorn ft1 skiftad (flyttad) a steg åt höger. ft3(nix)=inf; Elementen med index där nix=1 i vektorn ft3 sätts till ett stort tal. (De kommer därför aldrig att ge minimum.) Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
33 TAOP61 Projekt 2 1 Gör nödvändiga definitioner och formuleringar för att lösa problemet med dynamisk programmering. 2 Gör ett program som löser problemet med dynamisk programmering. 3 Lös det lilla testproblemet för att se att allt fungerar korrekt. 4 Lös de större problemen. Notera målfunktionsvärde och lösning. 5 Lös problem path7 för olika startladdning. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 28 oktober / 14
LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter
LP-problem Vårt första exempel Ett LP-problem: max z = c T x då Ax b, x 0. Den tillåtna mängden är en polyeder och konvex. Målfunktionen är linjär och konvex. Så problemet är konvext. Var ligger optimum?
TAOP61 Förprojekt 4: GPS
TAOP61 Förprojekt 4: GPS Snöröjningsfordon (bl.a.) är numera utrustade med GPS-mottagare som registrerar plats och tidpunkt med regelbundna intervall. Kaj Holmberg (LiU) TAOP61 Optimering 26 november 2018
Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 11 januari 2017 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Speciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta s Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2014-01-15 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: (Detta problem
min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då n c j x j j= n a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Projektinformation TAOP61 Optimering av realistiska sammansatta system Projekt 4: Lösning av snöröjningsproblemet
Linköpings Tekniska Högskola 2016 10 27 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Projektinformation TAOP61 Optimering av realistiska sammansatta system Projekt 4: Lösning av snöröjningsproblemet
Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.
Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är
Linköpings Universitet. Matematiska institutionen/optimeringslära 140915 Kaj Holmberg IT Termin 5. IT Termin 5 2014. Vinjetter
Linköpings Universitet Vinjetter Matematiska institutionen/optimeringslära 0915 Kaj Holmberg IT Termin 5 IT Termin 5 20 Vinjetter Inledning Miljöaspekter blir allt viktigare att ta med i beräkningen vid
min c 1 x 1 + c 2 x 2 då x 1 + x 2 = 1, x 1 {0, 1}, x 2 {0, 1} plus andra bivillkor. Vi måste göra k st av n alternativ:
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j a ij x j b i x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland u j
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 26 augusti 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg.
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2015-01-14 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Givna data:
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2017-08-22 Kaj Holmberg Lösningar/svar Uppgift 1 1a: Variabeldefinition:
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 19 mars 2011 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
Linköpings Universitet. Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg IT Termin 5. IT Termin Vinjetter
Linköpings Universitet Vinjetter Matematiska institutionen/optimeringslära 160808 Kaj Holmberg IT Termin 5 IT Termin 5 2016 Vinjetter Inledning Miljöaspekter blir allt viktigare att ta med i beräkningen
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: april 2018 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg: Optimering
Optimering. Optimering
TAOP88 Optimering för ingenjörer Examinator: Kaj Holmberg kaj.holmberg@liu.se Kurshemsida: http://courses.mai.liu.se/gu/taop88 Lärare: Föreläsningar: Kaj Holmberg Lektioner, labbar: Oleg Burdakov, William
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2018 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 29 januari 2017 Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering Den första delen av laborationen
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 13 januari 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Projekt i programmering 1 (ver 2)... 2 Projektidé... 2 Planering... 2 Genomförande... 2 Testning och buggar... 3 Utvärdering... 3 Planering...
Projekt i programmering 1 (ver 2)... 2 Projektidé... 2 Planering... 2 Genomförande... 2 Testning och buggar... 3 Utvärdering... 3 Planering... 4 Bussen (projektförslag)... 5 Bakgrund... 5 Klassen Buss
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 23 augusti 2016 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: januari 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering
Linköpings universitet Optimeringslära grundkurs för Y Matematiska institutionen Laboration 1 Optimeringslära 30 januari 2013 Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering Den första delen av laborationen
Laborationsinformation TAOP88 Optimering för ingenjörer, VT17
Linköpings Tekniska Högskola 2017 03 16 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg Laborationsinformation TAOP88 Optimering för ingenjörer, VT17 1 Information om snowplan Snowplan version 3
Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1
Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Miniprojekt: Vattenledningsnäten i Lutorp och Vingby 1
11 oktober 215 Miniprojekt 1 (5) Beräkningsvetenskap I/KF Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Besöksadress: MIC hus 2, Polacksbacken Lägerhyddsvägen 2 Postadress: Box 337 751
z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet
Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 15 januari 2014 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Inledande matematik för I1. MVE011 läsperiod Matlab vecka 2 övningsuppgifter
Inledande matematik för I1 MVE011 läsperiod 1 010 Matlab vecka övningsuppgifter Linjära ekvationssystem Matlab har många kraftfulla redskap för att hantera matriser och därmed också linjära ekvationssystem.
Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
1 VIGROPT: Visual Group Optimization
Linköpings Tekniska Högskola 2016 06 20 Matematiska institutionen/optimeringslära Kaj Holmberg 1 VIGROPT: Visual Group Optimization 1.1 Introduktion Vigropt är ett program som hjälper till att skapa en
Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 08 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 19 oktober 2017 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 1 oktober 01 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: januari 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Optimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min
Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
kl Tentaupplägg
Tentaupplägg TIPS 1: Läs igenom ALLA uppgifterna. Välj den du känner är lättast först. Det kan gärna ta 10-20 minuter. Försök skriva saker som kan vara problem i uppgifterna. Är det något du absolut kommer
Värmedistribution i plåt
Sid 1 (6) Värmedistribution i plåt Introduktion Om vi med konstant temperatur värmer kanterna på en jämntjock plåt så kommer värmen att sprida sig och temperaturen i plåten så småningom stabilisera sig.
FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 10 mars 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: 1 april 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen,
Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: 29 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Miniprojekt: Vattenledningsnäten i Lutorp och Vingby 1
22 januari 214 Miniprojekt 1 (6) Beräkningsvetenskap I/KF Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Besöksadress: ITC hus 2, Polacksbacken Lägerhyddsvägen 2 Postadress: Box 337 751 5
5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3
1 Revision 4 2006-12-16 2. SIDFÖRTECKNING 5B1146 med Matlab Laborationsr Laborationsgrupp: Sebastian Johnson, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 Titel Sida 1. Uppgift 1.8.1....3 2. Uppgift 1.8.2....6 3. Uppgift
Tentamen TEN1 HI
Tentamen TEN1 HI1029 2015-03-17 Skrivtid: 8.15-13.00 Hjälpmedel: Referensblad (utdelas), papper (tomma), penna Logga in med tentamenskontot ni får av skrivvakten. Det kommer att ta tid att logga in ha
Tentamen i. för D1 m fl, även distanskursen. fredag 13 januari 2012
1 of 6 Örebro universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Thomas Padron-McCarthy (thomas.padron-mccarthy@oru.se) Tentamen i Programmering grundkurs och Programmering C för D1 m fl, även distanskursen
MATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc.
Introduktion till MATLAB Martin Nilsson Avdelningen för teknisk databehandling Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet MATLAB the Matrix Laboratory utvecklat av MathWorks, Inc. Matematisk
Micro:bit. Börja skapa egna program
Micro:bit Börja skapa egna program Att programmera är mer än att skriva kod 1. När man ska bygga något behövs först en ritning. Formulera i talspråk vad programmet ska göra. 2. Förbered att skriva koden
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 11 mars 2013 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)
Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5) Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet 16 september 2015 Dessa sidor innehåller kortfattade
1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 4
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 4 2018-11-14 2 Kursmål: idag Studenten ska efter avslutad kurs kunna: Analysera och formulera optimeringsmodeller inom ekonomiska tillämpningsområden
Instruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik ANL/TB SANNOLIKHETSTEORI I, HT07. Instruktion för laboration 1 De skrifliga laborationsrapporterna skall vara skrivna så att
TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 18 januari 2019 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Optimering av NCCs klippstation för armeringsjärn
Optimering av NCCs klippstation för armeringsjärn Sammanfattning I det här arbetet har vi försökt ta reda på optimal placering av en klippningsstation av armeringsjärn för NCCs räkning. Vi har optimerat
Laboration: Vektorer och matriser
Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix
Laboration 1, M0039M, VT16
Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.
Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2
Laboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Sanningar om programmering
Block 3: Programmering, del 1 Beräkningsvetenskap I Sanningar om programmering n Ett program är ett antal kommandon och särskilda strukturer lagrade i en eller flera filer n Att utveckla och skriva program
Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform. Billigaste väg: Matematisk modell i vektor/matrisform
Vägar: Bllgaste väg Bllgaste väg s t Indata: Rktad graf med bågkostnader c, start/slutnod s, t. Bllgaste väg-problemet: Fnn en väg från s tll t med mnmal kostnad. Kostnaden för en väg är summan av kostnaderna
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 2 oktober 2013 Tid:.00-13.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Optimering.
Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska
Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från
De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Instruktion för laboration 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för matematisk statistik MD, ANL, TB (rev. JM, OE) SANNOLIKHETSTEORI I Instruktion för laboration 1 De skriftliga laborationsrapporterna skall vara
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: oktober 08 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Övningsuppgifter till föreläsning 2 Variabler och uttryck
Sid 1 (5) Övningsuppgifter till föreläsning 2 Variabler och uttryck Syfte Syftet med övningsuppgifterna är att träna på: Aritmetik, variabler, tilldelning, scanf och printf Generellt Diskutera gärna uppgifterna
2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP8/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR Datum: 10 januari 201 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg:
Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.
Universitetet i Linköping Institutionen för datavetenskap Anders Haraldsson
1 2 - Block, räckvidd Dagens föreläsning Programmering i Lisp - Bindning av variabler (avs 14.6) fria variabler statisk/lexikalisk och dynamisk bindning - Felhantering (kap 17) icke-normala återhopp catch
k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0
Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt
3.0. Tips och Trix Sida 1 av 18
3.0 https://beta.scratch.mit.edu/ Tips och Trix 2018-08-31 Sida 1 av 18 Innehåll Starta nytt program 3 Scenens koordinatsystem 3 Centrumpunkt / rotationspunkt 4 Sprajtens inställningar 5 Placering i Z-led
TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: juni 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering. Kaj
Dagens föreläsning Programmering i Lisp. - Bindning av variabler (avs 14.6) fria variabler statisk/lexikalisk och dynamisk bindning
1 Dagens föreläsning Programmering i Lisp - Block, räckvidd - Bindning av variabler (avs 14.6) fria variabler statisk/lexikalisk och dynamisk bindning - Felhantering (kap 17) icke-normala återhopp catch
Optimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten