Empirisk studie av nollföljdsimpedansen hos transformatorer utan deltalindning

Transkript

1 EXAMENSARBETE INOM ENERGI OCH MILJÖ, AVANCERAD NIVÅ, 30 HP STOCKHOLM, SVERIGE 2018 Empirisk studie av nollföljdsimpedansen hos transformatorer utan deltalindning CECILIA GERLITZ KTH SKOLAN FÖR ELEKTROTEKNIK OCH DATAVETENSKAP

2 1

3 Förord Detta projekt har genomförts på uppdrag av Svenska kraftnät (SvK) och uppfyller kraven för examensarbete på master nivå inom elektrisk teori och konstruktion på KTH. Författaren vill tacka projekthandledaren, Niclas Schönborg (SvK) för allt stöd under projektets gång, och projekts examinatorn, Hans Edin (KTH), för möjligheten att genomföra detta examensarbete. Författaren vill dessutom tacka Jose Duenas som agerat som ett bollplank för idéer under projektets gång. Cecilia Gerlitz Stockholm,

4 3

5 Sammanfattning För att på ett noggrannt sätt kunna beräkna felströmmar är det viktigt att ha kännedom om plus-, minusoch nollföljdsimpedansen hos alla komponenter i elnätet. Transformatorer är en nyckelkomponent i elnätet och är därför inget undantag. Att analytiskt bestämma nollföljdsimpedansen är ofta svårt och därför utförs en rad tester vid tillverkningen av transformatorer för att bestämma denna storhet. Dessvärre saknar Svk, Svenska kraftnät, information om nollföljdsimpedansen för en del transformatorer och för att kunna göra tillförlitliga nätberäkningar måste nollföljdsimpedansen istället approximeras. Med säkrare modellering kan felströmmar beräknas med högre noggrannhet, vilket har bäring på både drift- och personsäkerhet. Detta arbete presenterar en algoritm för att estimera nollföljdsimpedansen för en typ av transformatorer, trebenta kärntransformatorer som saknar -lindning. Algoritmen bygger på resultatet från en fallstudie, där lättillgänglig data för en population av transformatorer med känd nollföljdsimpedans, har analyserats. Fokus för analysen har varit på att identifiera samband mellan nollföljdsimpedansen och följande parametrar; märkeffekt, märkspänning, antal lindningar, tillverkare, tillverkningsår, tomgångsförluster, tomgångsström och slutligen kopplingstyp. Dessa parametrar har efter en inledande litteraturstudie om transformatorers konstruktion och teori identifierats som storheter som kan påverka nollföljdsimpedansen. Algoritmens inledning bygger på en kategorisering av transformatorerna efter kopplingstyp och antal lindningar och därefter en sortering efter märkeffekt. I nästa steg approximeras ett linjärt samband mellan nollföljdsimpedansen och tomgångsimpedansen, definierad som inversen av tomgångströmmen. Minsta kvadratmetoden används för framtagning av linjära samband, vilka har förbättrats genom tillämpning av Bisquaremetoden. Tillförlitligheten i den presenterade algoritmen diskuteras med flera olika utgångspunkter, bland annat datakvalitet och antal transformatorer i de analyserade kategorierna. För att få en så tillförlitlig och välgrundad modell som möjligt har extra tyngd i analysen lagts på de större transformatorgrupperna (fullindade YYkopplade transformatorer med två lindningar och motsvarande autokopplade samt fullindade YY-kopplade med tre lindningar). Kvalitén på den analyserade datan undersöktes genom att försöka hitta avvikande värden. Resultatet visade att transformatorer med avvikande värden var väldigt sällsynta och att kvalitén på datan var god. Resultatet från fallstudien visar att tomgångsimpedansen för de vanligt förekommande transformatortyperna (YNyn0, YNauto0 samt YNyn0yn0) kan användas för att estimera nollföljdsimpedansen. Vid jämförelse av de framtagna modellerna framgår det att det existerar skillnader mellan transformatorer med hög respektive låg märkeffekt. Dessutom visar det sig att det existerar ett samband mellan lindningarnas nollföljdsimpedans och deras märkspänningar. Approximationen av en lindnings nollföljdsimpedans baserat på information om en annan lindnings spänning och nollföljdsimpedans kan göras med stor noggrannhet medan resultatet från fallstudien visar att osäkerheten i de övriga modeller är relativt stor. 4

6 5

7 Abstract In order to accurate calculate currents during unsymmetrical faults in the electric power grid information about all components positive, negative and zero sequence impedances are important. Transformers are one key component in the power grid and accurate information about sequence impedances for power transformers are therefore essential. However, to analytically derive the zero sequence impedance is extremely hard. Therefore are the transformers tested before they are connected. The Swedish TSO (Transmission System Operator), Svenska kraftnät,svk, are responsible for operating and balancing the Swedish transmission grid. For Svk it is crucial that the grid is operated in a reliable and safe way so that the society always have available electricity at the same time as no persons working on the grid are exposed to unnecessary risks. Having accurate current calculations during unsymmetrical faults is one crucial part. Unfortunate, for some transformers in Svk area of responsibility the information about zero sequence impedance is missing and must therefore be estimated. This work propose, by applying a case study on a existing group of transformers (three limb design with no windings), a method for estimating the zero sequence impedance. The aim of the the analysis is to investigate if there are any relationship between the zero sequence impedance and some more basic operating data for the transformers. From an initial literature study it was concluded that the following parameters would affect the zero sequence impedance: rated power and voltage, no-load power and currents and information about winding configuration, manufacture and production year. In the case study linear relationships was found based on a least square method and was tuned using a robust linear square method called Bisquare. The results showed that several of the tested quantities showed a growing tr when they were correlated with the zero sequence impedance. The no-load impedance was identified as one interesting quantity that was investigated further. The tested transformers were divided into different groups based on number of windings and winding configuration. In the next step the transformers were ordered based on rated power. New linear relationships were derived for every group and the final results were compared between the different transformer groups. The reliability of the proposed algorithm is depent on the size of the tested transformer group and also on the data quality. The data quality was investigated by trying to identify transformer with abnormal values. The results showed that abnormal behaviour was very rare in the tested group of transformers. The results from the case study indicates that a relationship between the no-load impedance and the zero sequence impedance exists for the common types of transformers, the YNyn0, YNauto0 and YNyn0yn0. The results shows that these relationships differ deping on the rated power of the high voltage winding. The case study also concludes that it is possible to estimate a winding s zero sequence impedance if the zero sequence impedance for a second winding is known as well as the rated voltage of the two windings. The presented relationships have all some uncertainty related to them, for some relationships the uncertainty is relatively high whereas for others it is very low. The relationship with the lowest uncertainty found was the function describing a winding s zero sequence impedance as a function of another windings zero sequence impedance and the rated voltages. 6

8 7

9 INNEHÅLL Innehåll Förord 2 Sammanfattning 4 Abstract 6 1 Symboler 10 2 Bakgrund Mål och syfte Rapportstruktur Teori Transformatorer Ideala transformatorn Överreducering av impedanser Modell för en verklig transformator Tomgångsprov Kortslutningsprov Transformator konstruktion Kopplingstyper Sparkopplad transformator Osymmetriska fel i elnätet Symmetriska komponenter Ekvivalent sekvensdiagram för trefastransformatorer YY-kopplade transformatorer med två lindningar YYY-kopplade transformatorer med tre lindningar Sparkopplade transformatorer med två lindningar Metod Kända storheters korrelation till nollföljdsimpedansen Minsta kvadratmetoden Robustifiering Kategorisering Filtrering av misstänkta mätfel Nollföljdsimpedans hos en andra lindning Goodness of fit Mätfel och residualer Konfidensintervall och spridning RMSE och R Fallstudie Grundläggande analys av datasetet Generell korrelation Identifiering av vanliga transformatortyper YN0-kopplade transformatorer med två lindningar Prediktionsintervall Residualer AN0-kopplade transformatorer med två lindningar YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar Generell modell

10 INNEHÅLL 5.8 Trer kopplade till tillverkare Förhållande mellan lindningarna Diskussion Sammanfattning av algoritmen för bestämning av nollföljdsimpedansen Slutsats 62 Referenser 64 A Modeller med prediktionsintervall 66 B Matlab kod - Analys 68 B.1 mainfinal.m B.2 PowerFilter.m B.3 plot_korr_storheter.m B.4 model_sum.m B.5 prediktionsintervall.m B.6 residualer.m B.7 tillverkare_korrelera_storheter.m B.8 tillverkare_statistik.m B.9 tillverkare.m B.10 sortering_lind_kop.m B.11 sortering_lind_kop_13april.m B.12 ratio.m B.13 jmf_modeller.m C Matlab kod - Algoritm 92 9

11 1 SYMBOLER 1 Symboler nollföljdsimpedans för lindning 1,2 och 3 u(t), u 1 (t), u 2 (t) tidsberoe spänning N, N 1, N 2 antal lindningsvarv magnetiska flöde U 1, E 1, V 1, E p spänning över primärlindningen U 2, E 2, V 2, E s spänning över primärlindningen H c magnetisk fältstyrka i transformatorkärnan l c genomsnittlig kärnlinje I ström I om omsluten ström I 1, I 2 ström i lindning 1 och 2 I A, I B ström i lindning A och B I tom tomgångsström B c magnetisk flödestäthet µ r permeabilitet, materialkonstant µ 0 permeabilitet, vakuum A, A m tvärsnittsarea Z, Z impedans, komplex Z n, Z na, Z nb impedans till jord R resistans Z ea, Z eb magnetiseringsimpedans för lindning A resp. B Z noll1, Z noll2, Z noll3 Z kar Z tom R A, R B X X m L L m L A, L B M AB n P tom S S nom U 1, U 2, U 0 U a, U b, U c U nom K apple f y i ŷ i p 1, p 2 r adj r i h i s karaktäristik impedans tomgångsimpedans resistans för lindning A respektive B reaktans magnetiseringsreaktans induktans magnetiseringsinduktans sjävinduktans för lindning A resp. B ömsesidig induktans mellan lindning A och B antal mätvärden tomgångsförluster skenbar effekt märkeffekt auto-factor spänningar för plus-, minus- och nollföljd fasspänningar märkspänning kopplingskoefficient omsättning frekvens observation i approximerat värde för observation i koefficienter för samband justerad residual residual för observation i tygndfaktor, leverage robust varians 10

12 1 SYMBOLER MAD w i Z score Z HL, Z LL U HL, U LL R 2 RMSE SSE v Median absolute deviation of residuals robust vikt Z-score nollföljdsimpedans för hög- resp. lågspänningslindning spänning för hög- resp. lågspänningslindning R-square Root Mean Square Error Sum of Square Error residualens frihetsgrad 11

13 2 BAKGRUND 2 Bakgrund Samhället idag är till stora delar helt beroe av elektricitet. Elsystemet brukar delas in i fyra huvudkategorier som motsvarar funktionerna i nätet. Kategorierna är produktion, transmission, distribution och konsumtion. Elektriciteten produceras i olika typer av kraftverk, exempelvis kärnkraft och vattenkraft, och därefter behöver elektriciteten transporteras till konsumenterna. Transporten sker i tre olika typer av nät, stamnät, regionnät och lokalnät. Stamnätet används för att transportera elektriciteten långa sträckor. Den största skillnaden mellan de olika näten är spänningsnivåerna, där stamnätet har den högsta spänningsnivån och lokalnäten har den lägsta. För att koppla ihop två nät med olika spänningsnivåer används transformatorer. Transformatorer har med andra ord en central och viktig roll i elnätet. Kunskap om transformatorers karaktär är därför viktig för de aktörer som arbetar med elnäten, alltifrån aktörer på stamnätsnivå ner till lokala distributionsnätsägare. Höga spänningar och strömmar i nätet är en arbetsmiljörisk och det därför extra viktigt med säkerhet. Kunskap om spänningar och strömmar i komponenterna i elnätet är helt nödvändigt, inte minst i elnätets transformatorer. Det handlar både om att ha information om transformatorerna under normal drift men även under obalanserade förhållanden. Under osymmetriska fel, exempelvis när en fas jordas, kommer det magnetiska flödet i transformatorn att påverkas. Ett ändrat magnetiskt flöde kommer också att leda till ändrade strömmar. Ett sätt att uppskatta strömmar vid osymmetriska förhållanden är att använda symmetriska komponenter för att beskriva impedansen, det vill säga att impedansen ges av en plus-, en minus- och en nollföljdskomponent. I praktiken är plus- och minusföljdsimpedanserna identiska för transformatorer [1],[2]. Nollföljdsimpedansen är däremot beroe på ett flertal parametrar som t.ex. placering av lindningar och vilken väg det magnetiska flödet tar [1], och på grund av dessa beroen blir nollföljdsimpedansen svårare att bestämma [2]. Vid tillverkning av transformatorer genomförs tester i syfte att bestämma transformatorns nollföljdsimpedans, som är ett viktigt mått på hur stora strömmar som flyter i transformatorn under osymmetriska förhållanden. Som nämnts förekommer det transformatorer i drift som saknar uppgifter om nollföljdsimpedansen. För att nätoperatören ska kunna genomföra så korrekta felströmsberäkningar som möjligt behöver nollföljdsimpedansen kunna uppskattas. I Sverige finns det en rad olika aktörer som arbetar med drift av elnätet. Sedan avregleringen på elmarknaden under 90-talet drivs elnätet på region- och lokalnätsnivå av andra företag än stamnätsoperatören. I Sverige är det den statliga myndigheten Svenska kraftnät, Svk, som sköter stamnätet. Detta examensarbete har genomförts på uppdrag från Svk. 2.1 Mål och syfte Målet med detta arbete är att ta fram en algoritm för att uppskatta nollföljdsimpedansen hos trebenta kärntransformatorer utan -lindning utifrån information om: fabrikat typbeteckning tillverkningsår kopplingstyp och antal lindningar tomgångsström och tomgångsförluster märkspänning och märkeffekt Utvecklingen av algoritmen kommer att bygga på dataanalys av data för existerande transformatorer med känd nollföljdsimpedans. Syftet är att algoritmen ska leda till mer korrekta beräkningar av felströmmar vid osymmetriska förhållanden. 12

14 2 BAKGRUND 2.2 Rapportstruktur Rapporten behandlar först teorin för transformatorer, både elektriska scheman och design av transformatorer. Teoriavsnittet avslutas med en beskrivning av symmetriska komponenter och transformatorns ekvivalenta nollföljdsscheman. Därefter motiveras den utformade algoritmens metod, viss teori om dataanalys behandlas, annars kopplas metodvalen till teorin i rapportens första del. I rapportens kaptiel 5 implementeras den diskuterade metoden/algoritmen i en fallstudie på en uppsättning av transformatorer och resultat presenteras. Rapporten avslutas med en diskussion av resultatet från fallstudien och en sammanfattning av algoritmen, kaptiel 6. 13

15 3 TEORI 3 Teori Denna del av rapporten kommer behandla den bakomliggande teorin om transformatorer och symmetriska komponenter. Teori som betraktas som nödvändig för att förstå och uppskatta samband för nollföljdsimpedansen. 3.1 Transformatorer En förenklad transformator kan beskrivas som två spolar, även kallade lindningar, som är lindade runt en järnkärna, se fig. 1. Då en växelspänning appliceras över den ena spolen induceras en spänning över den andra, detta kan härledas från Faradays lag, se ekv. 1. u(t) representerar en tidsberoe spänning, N motsvarar antal varv i lindningen och slutligen (t) som representerar det magnetiska flödet. När en spänning appliceras över en spole med N varv kommer ett magnetiskt flöde att bildas. Det tidsberoe flödet kommer att flöda igenom den sekundära lindningen där detta flöde kommer att inducera en spänning. u(t) =N d (t) dt (1) De två spolarna är med andra ord inte elektriskt ihopkopplade utan ast magnetiskt, eftersom de är lindade kring samma järnkärna. Den lindning som används för att skicka över energi, i form av magnetiskt flöde kallas primärlindning och den som tar emot energin för sekundärlindning. Namnen primär och sekundärlindning ger ast information om det aktiva effektflödet. För transformatorer som används för att knyta samman nät med olika spänningsnivåer utgörs primärlindningen av den lindning som har högst märkspänning. För att tydliggöra spänningsnivåerna för lindningarna är det brukligt att istället namnge lindningarna efter spänningsnivå [3]. Högspänningslindning (H.S) och lågspänningslindning (L.S) är då vanliga namn som används och i de fall då det existerar fler spänningsnivåer kan även beteckningen mellanspänningslindning användas som benämning. Figur 1: Principschema för en transformator Ideala transformatorn Förhållandet mellan spänningarna hos primär och sekundärlindningarna förklaras ofta med den ideala transformatorn som utgångspunkt, [4], [5], [6]. En ideal transformator karaktäriseras av ett antal antaganden: 1. Lindningarnas resistans är försumbar, vilket betyder att lindningarna är förlustfria. 14

16 3 TEORI 2. Kärnans permeabilitet är oändlig. 3. Läckflöden försummas, vilket innebär att allt flöde stannar inne i kärnan. 4. Förluster i kärnan försummas. En ideal transformator kan representeras av det ekvivalenta enfas schemat i fig. 2. Figur 2: Ekvivalent enfasschema för en ideal transformator, [5]. När läckflödena försummas kommer allt magnetiskt flöde som induceras av primärlindningen att flöda igenom sekundärlindningen, vilket innebär att om ekv. 1 används kommer resultatet att bli u 1 (t) =N 1 d dt u 2 (t) =N 2 d dt =) U 1 U 2 = N 1 N 2 (2) Resultatet blir att kvoten mellan spänningen i lindningarna är beroe på förhållandet mellan lindningarnas antal varv. För att härleda strömmarna i respektive lindning används Amperes lag, se ekv. 3. I H c dl c = I om (3) Där H c motsvarar den magnetiska fältstyrkan i kärnan, som antas vara konstant för en ideal transformator, l c representerar en genomsnittlig kärnlinje som sluter flödet i kärnan och I om representerar summan av den ström som innesluts. Ur fig. 1 kan den inneslutna strömmen härledas fram med hjälp av högerhandsregeln och resultatet blir att Amperes lag kan skrivas på följande sätt för en ideal transformator. H c l c = N 1 I 1 N 2 I 2 Den magnetiska flödestätheten, B c,fåsfråndenmagnetiskafältstyrkanochmaterialetspermeabilitet,se ekv. 4. B c = µ r µ 0 H c (4) Med tvärsnittsarean, A i fig. 1, kan det totala magnetiska flödet beräknas enligt följande c = B c A 15

17 3 TEORI Kombineras ovanståe ekvationer kommer följande samband att erhållas för strömmarna och den magnetiska fältstyrkan N 1 I 1 N 2 I 2 = B cl c µ r µ 0 = l c Aµ r µ 0 c l där c Aµ rµ 0 motsvarar det motstånd som det magnetiska flödet möter i kärnan. Med en oändlig permeabilitet kommer det magnetiska motståndet gå mot noll. Detta innebär att ekvationen kan förenklas ytterligare, se ekv. 5. Ekvation 5 benämns ofta som amperevarvsbalans. N 1 I 1 N 2 I 2 =0 =) N 1 I 1 = N 2 I 2 (5) En ideal transformator saknar aktiva och reaktiva effektförluster. Detta går enkelt att bevisa med definitionen för skenbar effekt och en enkel energibalans, detta bevis lämnas åt läsaren Överreducering av impedanser För att underlätta analysen av spänningsfall i en transformator är det m.h.a. överreducering möjligt att transformera en impedans från sekundärsidan till en ekvivalent impedans på primärsidan, eller tvärtom. Överreducering av storheter bygger på den ideala transformatorns spännings- och strömförhållanden. Figur 3: Ideal transformator belastad med Z 2 Iföljandeexempelvisashurenimpedanspåsekundärsidankanreducerasövertillprimärsidan,exempletär taget från [7]. I fig. 3 och i resterande del av rapporten tydliggörs komplexa storheter med ett streck över. Från fig. 3 och Ohm s lag är den sekundära spänningen, U 2 given av U 2 = Z 2 I 2 De sekundära storheterna, U 2 och I 2 kan skrivas om med hjälp av ekv. 2 och 5 som en funktion av varvtalsförhållandet och motsvarande primärstorhet. Resultatet blir U 1 N 2 N 1 = Z 2 N 1 N 2 I 1 =) 2 N1 U 1 = Z 2 I 1 N 2 Termen Z 2 N 1 N 2 2 från det sista steget motsvarar den sekundära impedansen, överreducerad till primära storheter, och brukar betecknas med ett primtecken, Z 0 2.Närreduceringengörsåtandrahållet,d.v.s.från primärsidan till sekundärsidan, betecknas den reducerade storheten med ett bisstecken, Z

18 3 TEORI Figur 4: Exempel på överreducering av storheter Modell för en verklig transformator En verklig transformator skiljer sig från en ideal i avseet att för den verkliga transformatorn måste hänsyn tas till förluster från den elektriska och magnetiska kretsen. Detta innebär att egenskaper som är kopplade till järnkärnan, lindningsresistanser och läckflöden måste tas med i modellen. Primärlindningens inducerade spänning kommer att skilja sig något från den pålagda spänningen på grund av resistanser i lindningen. Denna spänningsskillnad kommer vara proportionell mot strömmen och resistansen för lindningen, se fig. 5a. För stora transformatorer är ofta spänningsfallet litet och försummas därför vanligtvis men för mindre transformatorer kan spänningsfallet vara betydande [7]. Om den sekundära lindningens resistans överreduceras till primärsidan går det att summera den totala primära kortslutningsresistansen ekv. 6, eller om den primära lindningsresistansen reduceras över till sekundärsidan kan den sekundära kortslutningsresistansen erhållas ekv. 7. (a) (b) (c) (d) Figur 5: Ekvivalent enfasschema R k1 = R 1 + R 0 2 = R 1 + N1 N 2 2 R 2 (6) 2 R k2 = R1 0 N2 + R 2 = R 1 + R 2 (7) N 1 17

19 3 TEORI Det magnetiska motståndet som finns i kärnan går att representera i det ekvivalenta enfasschemat med hjälp av en magnetiseringsinduktans, se fig. 5b. Magnetiseringsinduktansen kommer att bero på kärnans area (A m ), material (µ r ), längden på lindningen (l m )ochantalvarvilindningen(n), se ekv. 8. Magnetiseringsreaktansen X m fås sedan enkelt, ekv. 9. L m = N 2 µ r µ 0 A m l m (8) X m =!L m =2 fl m (9) Det existerar ytterligare förluster kopplade till järnkärnan. Dessa uppstår som hysteres- och virvelströmsförluster och förklaras mer ingåe i avsnittet om tomgångsprov, avsnitt I en modell för en verklig transformator representeras förlusterna i kärnan av en resistans parallellkopplad till magnetiseringsinduktansen, se fig. 5c. Förlusterna i kärnan uppkommer så snart en spänning läggs på en transformator och är oberoe på transformatorns belastning. Vägen som det magnetiska flödet möter kan jämföras med en vanlig elektrisk krets och precis som i en elektrisk krets måste den magnetiska kretsen slutas för att en ström ska bildas (eller ett flöde i det magnetiska fallet). Det magnetiska flödet kommer att välja den väg som har det lägsta motståndet, vilket innebär att flödet kommer föredra att sluta sig i material som visar ett lågt magnetisk motstånd. Permeabiliteten i ferromagnetiska material, material som används i kärnan, är ca ggr större än luft [7]. Trots att det är en relativt stor skillnad kommer det magnetiska flödet att kunna läcka ut i luften och tanken runt kärnan och sluta sig utanför kärnan. I den elektriska modellen av en verklig transformator representeras läckflödet av en reaktans. I fig. 5d är läckreaktansen, X 2 modellerad för sekundärsidan men den kan överreduceras till primärsidan. Då läckflödet uppstår mellan primär och sekundärlindningen är det i praktiken inte möjligt att dela upp reaktansen mellan lindningarna och därför spelar det mindre roll på vilken sida reaktansen placeras i modellen [7]. Ett annat namn för läckreaktans är kortslutningsreaktans. Ett annat sätt att härleda läckreaktansen är att utgå från lindningarnas självinduktans,l A och L B,ochömsesidigainduktansen,M AB, [2]. Trots de stora skillnaderna mellan en ideal och en verklig transformator kan märkspänningsförhållandet enligt [8] fortfarande användas som ett mått på varvförhållandet mellan lindningarna, med ast ett försumbart litet fel för verkliga transformatorer med förluster. Storheterna i det ekvivalenta enfasschemat bestäms genom två test, ett tomgångsprov där magnetiseringsimpedansen bestäms och ett kortslutningsprov där serieimpedanserna mäts. Teorin som beskriver proven och hur dessa prov genomförs beskrivs i de två näst kommande avsnitten Tomgångsprov Vid ett tomgångsprov mäts hur mycket aktiv energi som transformatorn förbrukar när en spänning läggs på en av lindningarna samtidigt som den/de andra lindningen/lindningarna hålls öppen/öppna, [3]. Detta innebär att ingen ström kommer att gå i den sekundära kretsen och att all ström som går i den primära kretsen kommer att gå till att magnetisera järnkärnan. Därmed är tomgångsströmmen lika med magnetiseringsströmmen under ett tomgångsprov. Tomgångsström mäts som ett rms-värde (root mean square") och motsvarar den ström som går i den lindningen som är ansluten till en växelspänning med normal frekvens under tomgångsprovet. Tomgångsströmmen är ofta given i procent av märkström för lindningen i fråga, men om transformatorn har fler än två lindningar är procentsatsen given med avsee på den lindning med högst märkeffekt, [3]. 18

20 3 TEORI Tomgångsförlusterna beror till stor del på kärnmaterialet. Idag ligger vanligtvis magnetiseringsströmmen på långt under 1 % av märkström vilket i praktiken innebär att magnetiseringsströmmens betydelse för spänningsfallet är obetydlig. Ur ett ekonomiskt perspektiv är tomgångsförlusterna mer intressanta. De aktiva energiförlusterna kommer för transformatorägaren att bli rena ekonomiska förluster, [9]. För äldre transformatorer var magnetiseringsströmmen betydligt högre. Den kärnplåt som då användes drog en betydande aktiv och reaktiv ström för att magnetiseras [9]. Sedan dess har kärnplåten utvecklats för att minimera tomgångsförlusterna. Itransformatoreranvändsvanligtvisferromagnetiskamaterialmedenhögmenintekonstantpermeabilitet, [10]. I praktiken betyder en hög permeabilitet att ast ett fåtal amperevarv behövs per längdenhet för att ett starkt magnetfält ska bildas. Hur det magnetiska fältstyrkan ändras under en spänningscykel illustreras ifig.6. Figur 6: Magnetisk hystereskurva [10] Ifig.6,vidextrempunkterna,kommerdetmagnetiskafältetochmagnetiseringsströmmenhamaximalmagnitud för att därefter sjunka. När kurvan skär B-axeln kommer magnetiseringsströmmen att vara noll, däremot kommer inte det magnetiska fältet att ändra riktning förrän vid det tillfälle då kurvan skär H-axeln. Anledningen till att det magnetiska flödet och magnetiseringsströmmen inte är i fas beror på materialegenskaper hos ferromagnetiska material. I ferromagnetiska material uppstår små magnetiska områden, kallade domäner. Under normala förhållanden, utan externa magnetiska fält, kommer dessa domäner att orientera sig helt slumpartat så att de små magnetiska fält som uppstår kring varje domän tar ut varandra och det totala nettoflödet blir noll. Om däremot materialet placera i ett externt magnetiskt fält kommer domänerna att orientera sig efter det externa fältet, vilket innebär att det totala magnetiska fältet kommer att förstärkas. Denna förstärkning kan uppgå till flera tusen gånger det externa fältets styrka, [10]. När domänerna orienterat sig i samma riktning och det externa magnetiska fältet tas bort kommer det ta tid innan domänerna återigen får en slumpartad orientering, därav förskjutning. För att ändra orienteringen hos domänerna krävs energi och denna energi frigörs som värme och blir rena energiförluster i transformatorn. Mängden energi som går åt, kan utläsas som den inneslutna arean i en hystereskurva, som den i fig. 6. Dessa förluster brukar benämnas hysteresförluster och är proportionell mot frekvensen, [10] Kortslutningsprov Som namnet avslöjar kortsluts en av lindningarna vid ett kortslutningsprov samtidigt som en spänning läggs på den andra lindningen. Den pålagda spänningen justeras så att märkström erhålls i lindningarna. Vid kortslutning krävs ast en liten spänning för att erhålla märkström. Förhållandet mellan ström och spänning ger en kortslutningsimpedansen och en låg spänning kommer därför resultera i en låg impedans. En låg spänning kommer att leda till en liten magnetisering av järnkärnan, vilket kan förstås med hjälp av ekv. 1. Magnetiseringskurvan kommer att vara nästintill linjär med en brant lutning. Detta leder till att magnetiseringsinduktansen blir mycket hög, vilket innebär att förlusterna i järnkärnan blir små. Med en mycket hög 19

21 3 TEORI magnetiseringsimpedans är antagandet om en försumbar magnetiseringsström under ett kortslutningsprov försvarbart. Vilket innebär att om den pålagda spänningen, strömmen och effekten mäts kan lindningarnas resistans och läckreaktansen bestämmas [7]. På transformatorer med fler än 2 lindningar genomförs testet beskrivet som ovan men där den tredje lindningen hålls öppen, mätningarna upprepas för de tre möjliga kombinationer av lindningar [3] Transformator konstruktion Transformatorns design beror på många faktorer som exempelvis användningsområde och kostnader. För att få en så effektiv transformator som möjligt behöver förlusterna minimeras. Enligt [8] kan de totala förlusterna delas in i två kategorier: 1. Tomgångsförluster 2. Belastningsförluster Tomgångsförlusterna är en effekt av magnetiseringen av kärnan och belastningsförlusterna härstammar från förluster från strömbelastningen. Förlusterna från magnetiseringen består av två typer, hysteresförluster och virvelströmsförluster. Hysteresförlusterna är den energi som krävs för att magnetisera kärnan och påverkas av bland annat hur domänerna är orienterade, föroreningar i materialet och ytans strävhet [8]. För att begränsa förlusterna från virvelströmmar byggs kärnan ihop av tunna isolerade järnplåtar. Att plåtarna är isolerade gör att virvelströmmarna begränsas vilket leder till lägre förluster i själva kärnan [8]. Ju tunnare kärnplåtar desto lägre virvelströmförluster och idag används plåtar med en några bråkdelar av en mm [8]. För att minimera förlusterna från strömbelastningen används idag nästan uteslutande lindningar av koppar eller i de fall då transformatorns vikt är en begränsande faktor kan aluminium användas som substitut [8]. Figur 7: Manteltransformator.[1] Det finns ett antal olika sätt att konstruera transformatorer på, bland annat kärn- och manteltyp. En typisk kärntransformator karaktäriseras av att lindningarna är lindande runt kärnan, på s.k. ben, vilka är ihopsatta med ok. Hos transformatorer av kärntyp är lindningens axel vertikal medan transformatorer av manteltyp har en horisontell lindningsaxel [9]. För manteltyp är dessutom lindningarnas utsida omsluten av en järnmantel, se fig. 7. Transformatorer av manteltyp är sällsynta och används oftast när stora strömmar går i lindningarna. Stora strömmar innebär stora mekaniska krafter och då har manteln fördelen att den mekaniskt hjälper till att hålla lindningarna stilla. Fortsättningsvis kommer all teori och analys att handla om kärntransformatorn, då denna typ kraftigt dominerar över manteltypen. För en trefastransformator lindas tre separata ben (lindningar runt en järnkärna), vars ben länkas ihop av ett ok. Fig. 8 visar hur lindningarna i en trebent trefastransformator är placerade runt kärnan och hur de lindade benen är ihoplänkade. Karaktäriserande för trebenta transformatorer är att alla ben är täckta med lindningar. Med en symmetrisk trefasspänning, med en fas per ben, kommer flödet att nå sitt max i en av faserna samtidigt som returflödet kommer att fördela sig jämnt över de övriga faserna. Detta innebär att tjockleken på oken måste vara lika med kärnbenens. Då storleken på transformatorer ofta är en begränsande faktor kan det uppstå problem när höjden på transformatorn blir för stor på grund av okets tjocklek. 20

22 3 TEORI Figur 8: Trebent kärntransformator.[1] Figur 9: Fembent kärntransformator.[1] Ienfembentkärntransformatorexisterardettvåolindadeben,sefig.9,placeradepåvarsinsidaomde lindade benen. Dessa ben fungerar som returväg för flödet och eftersom det finns en returväg på varje sida kan okets höjd halveras. Detta betyder att en fembent transformator kan vara fördelaktig om det exempelvis finns höjdbegränsningar under transporten. Vid osymmetriska förhållanden, när flödena i de tre faserna inte längre tar ut varandra, har den trebenta transformatorn den egenskapen att det inte existerar någon naturlig returväg för flödet, vilket innebär att flödet kommer sluta sig utanför järnkärnan, genom luften/oljan och transformatorkärlet. Det flöde som sluter sig utanför kärnan möter ett högt magnetiskt motstånd, vilket innebär att den ström som ska driva flödet möter ett lågt elektriskt motstånd. I fallet med en fembent transformator kan det obalanserade flödet sluta sig i de olindade ytterbenen, vilket innebär att det magnetiska motståndet för flödet är lågt och det elektriska motståndet för strömmen högt. [9] Förutom optimering av materialval och transformatortyp kan transformatorer bestå av fler än två lindningar, oftast tre lindningar. Om fler än en spänning efterfrågas vid till exempel en transformatorstation kan det vara mer ekonomiskt att introducera en extra lindning, än att installera en helt ny transformator Kopplingstyper De vanligaste kopplingstyperna för en trefastransformator är Y och,isällsyntafallkanävenfasernakopp- las ihop med en Z-koppling. Z-koppling används framförallt för mindre transformatorer. Fig. 10a visar en Y-Y-kopplad transformator och fig. 10b visar en - -kopplad transformator. Det förekommer även transformatorer där de olika kopplingstyperna kombineras i olika uppsättningar, t.ex. -Y eller Y-.NärY-koppling används finns möjlighet att jorda neutralpunkten antingen direkt eller via en impedans. Fördelar med de olika kopplingstyperna presenteras i tabell 2. Ett systematiskt sätt att namnge trefastransformatorer finns [3] och här nedan beskrivas de viktigaste delarna som behövs för fortsatt förståelse för denna text. Lindningarnas kopplingstyp återges i fallande märk- 21

23 3 TEORI (a) Y-Y-kopplad trefastransformator -kopplad trefastransfor- (b) mator Figur 10: Vanliga kopplingstyper Kopplingstyp Y Fördelar Mer ekonomisk för lindningar med hög spänning. Det existerar en åtkomlig neutral punkt. Möjligt att jorda direkt eller via en impedans. Tillåter mindre isolering av neutralen. Tillåter lindningskopplare i neutraländen. Tillåter enfasbelastning med ström genom neutralen. Mer ekonomisk för transformatorer med hög ström och lägre spänning. När en -kopplad lindning kombineras med en Y, kan nollföljdsimpedansen sedd från den Y-kopplade lindningen reduceras. Tabell 2: Fördelar för Y- respektive -koppling. [1] spänning, d.v.s första bokstaven återger högspänningslindningens kopplingstyp och därefter kommer mellaneller lågspänningslindningen. Högspänningslindningens kopplingstyp ges med versal/versaler medan resterande lindningar ges med gemener. Ett exempel är en tvålindnings trefastransformator med en Y-kopplad högspänningslindning och en Y-kopplad lågspänningslindning med en utrdragen nollpunkt som betecknas med Yyn, där n betyder att neutralen är direkt jordad, se fig. 11. Figur 11: Yyn Sparkopplad transformator En speciell typ av transformatorkoppling är sparkopplade transformatorer, på engelska autotransformer. I dessa är hög- och lågspänningslindningarna elektriskt ihopkopplade, se fig. 12. Dessa transformatorer består av en serielindning och en gemensam lindning. Dessa transformatorer är är fysiskt mindre än fullindade transformatorer med samma effekt. För att relatera en sparkopplad transformator till en fullindad används 22

24 3 TEORI en term som på engelska benämns auto-factor eller reduction factor, betecknad med. Definitionenav auto-factor är given i ekv. 10. U 1 I 1 = U 2 I 2 = S U 1 U 2 = I 2 I 1 = <1 U 1 I 2 (U 1 U 2 )I 1 =(I 2 I 1 )U 2 = S (10) Om en sparkopplad transformator har effekten S kommer motsvarande fullindad transformator med samma storlek och vikt ha en effekt på S. ResultatetblirattensparkoppladtransformatormedeffektenS kommer vara mindre än motsvarande fullindad transformator. SKortslutningsreaktansen, som påverkar nollföljdsimpedansen, går att härleda från den reaktiva effekten i läckflödet mellan lindningarna. Läckflödet beror på transformatorns design och storlek. Med sparkopplade transformatorns mindre storlek kommer läckflödet således att påverkas. Dessutom har beloppet på autofactor betydelse för storleken på läckflödet. [1] Figur 12: Ekvivalent enfasschema för en sparkopplad transformator.[1] 3.2 Osymmetriska fel i elnätet Det förekommer två sorters fel i elnät, isolationsfel som ofta leder till kortslutning, samt fel som leder till att strömmen bryts, [11]. Det finns ett antal olika typer av kortslutningsfel, enfas jordfel, tvåfas jordfel, trefas jordfel och fas-till-faskortslutningsfel. Av dessa typer leder alla utom trefasfelen till osymmetriska strömmar och spänningar, [11]. En händelse kan leda till att både strömmen bryts och en kortslutning. Ett exempel är när en luftledning bryts och en ände faller i marken och på så sätt jordas. Vanligtvis ändras inte ett fel under med tiden men det finns några undantag där till exempel en enfaskortslutning övergår i att en andra fas kortsluts. [11] 3.3 Symmetriska komponenter Sinusformade storheter går att representera med vektorer, som till exempel spänning och strömmar. Vid symmetriska förhållanden kan spänningar och strömmar i trefas representeras av tre vektorer med samma längd, men förskjutna 120 och en abc-fassekvens, se fig. 13a. Analytiskt representeras symmetrisk trefasspänning av ekv. 11, och samma struktur kan användas för symmetriska strömmar. 23

25 3 TEORI (a) Symmetrisk trefas (b) Exempel på osymmetrisk trefas Figur 13: Fasdiagram 8 >< U a = U U b = Ue >: j120 (11) U c = Ue j240 (a) Plusföjld (b) Minusföljd (c) Nollföljd Figur 14: Symmetriska komponenter När systemet inte längre är balanserat kommer inte vinkeln mellan faserna vara 120 och vektorlängderna inte vara lika långa. Fig. 13b visar ett exempel på hur en osymmetriska storhet (ström eller spänning) i trefas kan se ut. För att på ett systematiskt sätt beskriva osymmetriska förhållanden används något som kallas symmetriska komponenter. Teorin bygger på att trefasstorheter kan beskrivas i tre sekvenser, en plus-, en miuns- och en nollföljdskomponent. Ett annat namn för plus- och minusföljd är positiv- respektive negativföljd. Plusföljdskomponenten beskriver det symmetriska förhållandet, d.v.s magnituden är densamma i alla faserna, fassekvensen är abc och faserna är förskjutna med 120,sefig.14a.Minusföljdskomponentenbestårockså av tre faser med samma magnitud och förskjutna med 120 men skiljer sig från plusföljdskomponenten i det avsee att fassekvensen är acb, se fig. 14b. Det analytiska uttrycket för minusföljdskomponenten återges i ekv >< U a = U U b = Ue >: j240 (12) U c = Ue j120 Nollföljdskomponenten består av de tre faserna utan fasförskjutning och med samma magnitud, se fig. 14c. För att underlätta beräkningar inför man vanligtvis e j120 = a. Förattsärskiljadesymmetriskakompo- 24

26 3 TEORI nenterna åt indexerar man plusföljd med en 1, minusföljd med 2 och nollföljd med 0. De symmetriska komponenterna förhåller sig till faskomponenterna enligt ekv U 3 2 a U b 5 = a 2 a 15 4 U 3 1 U 2 5! U p = T U s (13) U c a a 2 1 U 0 Ekv. 13 innebär att spänningen i fas a består av en plus-, en minus- och en nollföljdskomponent. Under symmetriska förhållanden kommer minus- och nollföljdskomponenterna att vara noll. Med symmetriska komponenter är det möjligt att analysera spänningar och strömmar i de olika faserna även under osymmetriska förhållanden. Poängen är att det går att analysera plus-, minus- och nollföljdssekvenserna var för sig, för att i ett sista steg använda inversen av ekv. 13 för att återgå till faskomponenter. Detta betyder att en transformator kommer att kunna representeras av ett ekvivalent enfasschema för plusföljd, ett för minusföljd och ett för nollföljd. 3.4 Ekvivalent sekvensdiagram för trefastransformatorer Idettaavsnitthärledssekvensdiagrammenförtvå-ochtrelindadetrefastransformatorermedYY-koppling med och utan jordning, samt för sparkopplade transformatorer. Beskrivningen är baserad på härledningen presenterad i [2]. Ientransformatorråderperfektfassymmetri,vilketinnebärattdeträckeratthärledaettfasdiagramper sekvens, då de resterande faserna kommer vara identiska med den första fasen, [2]. Med definitionerna för positiv och negativ sekvens går det att dra slutsatsen att de positiva och negativa fasdiagrammen kommer vara identiska YY-kopplade transformatorer med två lindningar Inledningsvis presenteras här härledningen för en trefas transformator med två lindningar per fas. Innan den analytiska härledningen påbörjas måste några begrepp och definitioner först införas. Transformatorns lindningar betecknas A och B och är lindade på samma ben, se fig. 15. Figuren skiljer sig lite från verkligheten då lindningarna oftast är lindade ovanpå varandra, med lindningen med lägst potential vanligtvis placerad innerst. Impedansen Z AB motsvarar läckimpedansen mellan lindning A och B. Läckimpedansen definierad som lindningarnas resistanser, självinduktanser, L A och L B,samtdenömsesidiga induktansen M AB.Definitionenförlindningarnassjälvinduktansärgiveniekv.8ochdenömsesidigainduktansen är beroe på självinduktansen hos lindningarna och är definierad i ekv. 14. I ekv. 14 motsvarar K kopplingskoefficienten och denna beror på hur spolarna är placerade i förhållande till varandra och kan variera mellan 0 och 1. K kan sägas representera ett mått på hur stor andel av det magnetiska flödet som genereras av lindning A och som innesluts av lindning B. M AB = K p L A L B (14) Magnetiseringsimpedansen betecknas med Z AE för lindning A och Z BE för lindning B. Storleken på magnetiseringsimpedansen kan variera med mer än 100% om transformatorn är placerad inne i transformatortanken eller inte [2]. Detta leder till att Z AE är svår att bestämma analytiskt. Slutligen definieras transformatoromsättningen som apple iekv.15.omsättningenärettbegreppsomanvändspåsammasättsomöverreducering 25

27 3 TEORI av storheter, som behandlades i avsnitt En annan vanlig beteckning för omsättningen är n. apple = N A N B (15) Den observanta ser att uttrycket påminner om ekv. 2 och om magnetiseringsströmmen försummas kommer tomsättningen att ges av lindningarnas spänningskvot. Figur 15: Två lindningar, A och B, lindade kring samma ben, [2]. Spänningen över lindning A och B, se fig. 15, kommer att ges av V A = I A (R A + j!l A )+I B j!m AB och V B = I B (R B + j!l B )+I A j!m AB Om magnetiseringsströmmen försummas kommer strömmarna att ges av applei A + I B =0 Om ekvationerna för spänningar och strömmar kombineras fås följande uttryck V A applev B = I A R A + apple 2 R B + j!(l A + apple 2 L B 2appleM AB ) Uttrycket innanför ytterparenteserna motsvarar läckimpedansen. Om hänsyn också tas till magnetiseringsströmmen kommer det ekvivalenta schemat att ges av fig. 16. Spänningen applev B motsvarar den sekundära spänningen reducerad till primära storheter. Figur 16: Plus- och minusföljdsschema för en YY-kopplad trefastransformator. 26

28 3 TEORI Figur 17: Nollföljdsschema för en YY-kopplad transformator beståe av tre enfas lindningar jordade med Z na och Z nb ineutralpunkterna. Om neutralpunkterna i en YY-kopplad transformator jordas genom impedanserna Z na och Z nb blir det ekvivalenta schemat givet av fig. 17, [2]. Beroe på om neutralpunkterna i lindningarna jordas eller ej kan olika scheman härledas från fig. 17. Om båda lindningarna direktjordas blir Z na = Z nb =0.OmdäremotbådaisoleraskommerZ na = Z nb = 1, vilket innebär att kretsen öppnas i fig. 17. Härledningen av det ekvivalenta enfasschemat för nollföljdssekvensen har hittills baserats på att tre enfastransformatorer kopplats ihop. För att anpassa nollföljdsschemat för en kärntransformator, där alla faser är lindade på samma kärna kommer resultatet att skilja sig något. För en trebent trefas kärntransformator kommer impedansen Z AB ifig.17attdelasuppitvåseparataimpedanser,z A och Z B,somplaceraspåvar sin sida om Z AE,sefig.18. Figur 18: Nollföljdsschema för en YY-kopplad trefas kärntransformator jordad med Z na och Z nb inollpunkten. Att analytiskt bestämma impedanserna i fig. 18 är svårt. Anledningen är att en nollföljdsström, I 0,kommer att inducera ett magnetiskt flöde som inte kan sluta sig i kärnan. Det inducerade flödet måste använda transformatortanken som returväg, vilket innebär att höga virvelströmsförluster kommer att bildas. Den bästa metoden för att bestämma impedanserna är att genomföra laboratorietester, där transformatorn testas när den är placerad i sin transformatortank YYY-kopplade transformatorer med tre lindningar Precis som i presentationen för en transformator med två lindningar så representerar Z AB läckimpedansen mellan lindning A och B men för en transformator med tre lindningar återfinns ytterligare två läckimpedanser, Z AC och Z BC,somrepresenterarläckimpedansenmellandentredjelindningenochdetvåförsta.Även omsättningarna måste anpassas när en tredje lindning kopplas in, se ekv. 16 och

29 3 TEORI apple 1 = N A N B apple 2 = N A N C = V A V B om magnetiseringsströmmen försummas (16) = V A V C om magnetiseringsströmmen försummas (17) Med ovanståe definition för omsättningarna kan spänningar och strömmar i/över lindning B och C reduceras över till lindning A med hjälp av följande ekvationer. V 0 B = apple 1 V B I 0 B = 1 apple 1 I B (18) V 0 C = apple 2 V C I 0 C = 1 apple 2 I C (19) Samma procedur som för transformatorer med två lindningar kan användas för att få fram plus- och minusföljdssekvensediagrammen för en transformator med tre lindningar per fas. Först definieras spänningarna i lindningarna som funktion av strömmarna, lindningsresistanser och induktanser (både själv och ömsesidiga induktanser). Baserat spänningarna V A, V B och V C kan spänningsskillnaderna V A VB 0, V A VC 0 och VB 0 V C 0 beräknas på samma sätt som spänningsskillnaden V A VB 0 bestämdes för fallet med två lindningar. Här presenteras ast resultatet av denna förenkling; hela härledningen går att finna i [2]. Resultatet för impedanserna och motsvarande fasdiagram återges i ekv och fig. 19. Z A = R A + j!(l A apple 2 M AC apple 1 M AB + apple 1 apple 2 M BC ) (20) Z B = apple 2 1R B + j!(apple 2 1L B apple 1 M AB + apple 2 M AC apple 1 apple 2 M BC ) (21) Z C = apple 2 2R C + j!(apple 2 2L C apple 2 M AC + apple 1 M AB apple 1 apple 2 M BC ) (22) Figur 19: Plus och minusföljdsschema för en YY-kopplad trefastransformator med tre lindningar per fas, när magnetiseringsströmmen försummas. Hittills har presentationen byggt på att magnetiseringsströmmen går att försumma, d.v.s. presentationen bygger på en ideal transformator. Om magnetiseringsströmmen tas med i modellen kommer en extra impedans att framträda i fasdiagrammet, se fig. 20. Från presentationen av de tvålindade YY-kopplade transformatorerna syntes att det ekvivalenta nollföljdsdiagrammet starkt påminde om motsvarande diagram för plusföljden, med den skillnaden att en impedans motsvarande jordningen las till. Mönstret upprepar sig också för det YYY-kopplade fallet, den ekvivalenta nollföljdsschemat för en trelindad transformator ges av i fig

30 3 TEORI Figur 20: Plus och minusföljdsschema för en YYY-kopplad trefastransformator med tre lindningar per fas, med magnetiseringsströmmen modellerad. Figur 21: Ekvivalent nollföljdskrets för en YYY-kopplad transformator Från fig. 21 framgår det att för att få fram alla impedanser, jordningsimpedanserna Z nx antas vara kända (och lika med 0 vid direktjordning), behövs tre separata tester. Vid testen bestäms följande tre impedanser: Z noll1 = Z A + Z AE Z noll2 = Z B + Z AE Z noll3 = Z C + Z AE Vid proven så hålls en lindning öppen samtidigt som en kortsluts och märkström skickas genom den tredje. För fallet med två lindningar är existerar det tre obekanta impedanser, vilket innebär att tre prov behövs i nollföljd (1. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 öppen, 2. Inmatning på lindning 2 med lindning 1 öppen, 3. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 kortsluten). För de trelindade fallet är det fyra obekanta impedanser, vilket innebär 4 prov i nollföljd (1. Inmatning på lindning 1 med lindning 2 och 3 öppna, 2. Inmatning på lindning 2 med lindning 1 och 3 öppna, 3. Inmatning på lindning 3 med lindning 1 och 2 öppna, 4. Inmatning på lindning 1 med lindning2 kortsluten och lindning 3 öppen). 29

31 3 TEORI Sparkopplade transformatorer med två lindningar Ekv. 23 och 24 visar definitionen av spänningarna över de två lindningarna, som funktion av den gemensamma lindningens resistans och självinduktans (R 1 och L 1 ), av serielindningens resistans och självinduktans (R 2 och L 2 )samtdenömsesidigainduktansen,m 12.Spänningarnaochströmmarnaärdefinieradeenligtfig. 12. U 1 U 2 = I 1 (R 1 + j!l 1 ) (I 2 I 1 )j!m 12 (23) U 2 = (I 2 I 1 )(R 2 + j!l 2 )+j!m 12 I 1 (24) Från fig. 12 framgår det att den primära spänningen är given av U 1,vilketfåsomekv.23och24summeras. Resultatet enligt ekv. 25. U 1 = I 1 (R 1 + j!(l 1 + M 12 )) (I 2 I 1 )(R 2 + j!(l 2 + M 12 )) (25) Om den sekundära spänningen U 2 multipliceras med 1 1,där är auto-factorn och definierad av ekv. 10, går det att referera den sekundära spänningen till den primära sidan, på samma sätt som metoden för överreducering av storheter, se ekv. 26. U 0 2 = 1 1 (I 2 I 1 )(R 2 + j!l 2 )+j!m 12 I 2 (26) Spänningsfallet mellan den primära och den sekundära lindningen (uttrycket hänfört till primärsidan) blir U 1 U2 0 = I 1 R 1 +( 1 )2 R 2 + j!(l 1 +( 1 )2 L M 12) = I 1 Z 12 Resultatet blir att en sparkopplad transformator med två lindningar kan representeras av en krets med en impedans i plusföljd. Den ekvivalenta kretsen för nollföljdssekvensen blir identisk till plusföljden om neutralen är direktjordad. Om däremot neutralen jordas genom en impedans, Z n,kommerdennaimpedans att ha en ström lika med summan av alla fasströmmar till jord, 3(I 2 I 1 ).Dettainnebärattspänningsfallet över impedansen kommer att bli 3(I 2 I 1 )Z n.dettaspänningsfallgårattrefereratillhögspänningssidan genom multiplikation med I2 I1 I 1,varsresultatgårattförenklasåattspänningsfalletgårattuttryckasom en funktion av auto-factorn, se ekv Z n I 1 (27) 1 Det resulterande enfasschemat visas i fig. 22. Transformatorn kommer att dra en magnetiseringsström i nollföljd, till följd av att den är en kärntransformator och har alla benen lindade. Magnetiseringsströmmen modelleras med hjälp av en shunt impedans, Z E.Omneutralenskullevaraojordad,d.v.s.jordadviaen oändlig impedans, skulle även nollföljdsimpedansen bli oändlig, vilket framgår av fig

32 3 TEORI Figur 22: Ekvivalent nollföljdskrets för en sparkopplad transformator med två lindningar Precis som för en fullindad transformator är det generellt sett svårt att bestämma impedanserna analytiskt och därför genomförs en rad laboratorietest där dessa impedanser mäts. 31

33 4 METOD 4 Metod Följande kapitel behandlar metoden för identifiering och värdering av en algoritm för approximering av de fysiska nollföljdsimpedanserna som går att mäta vid ett laboratorieprov, dvs Z noll1 -Z noll3.metodenmotiveras från teorin från kap. 3 och olika statistiska verktyg. 4.1 Kända storheters korrelation till nollföljdsimpedansen Baserat på den tillgängliga informationen om transformatorerna, identifierades storheter som skulle kunna korrelera till nollföljdsimpedansen. Dessa storheter var lindningarnas märkeffekt (S nom )ochmärkspänning (U nom ), lindningarnas karaktäristiska impedans(z kar ), definierad som Z kar = U 2 nom S nom,procentuelltomgångsimpedans, definierad som Z tom = 1 I tom 1 100,tomgångsförlusterna(P tom) ochtillverkningsår.motiveringentill att testa S nom, U nom (och med dessa även Z kar )korrelationtillnollföljdsimpedansengåratthärledatill transformatorns storlek. Storleken på transformatorn kommer påverka designen av kärnan. Kärnans utformning kommer att inverka på nollföljdsimpedansen, varför det är motiverat att undersöka hur dessa storheter korrelerar till nollföljdsimpedansen. Det är inte bara kärnans form som påverkar nollföljdsimpedansen, utan även materialet i kärnan. Kärnmaterialet kommer påverka tomgångsförlusten och tomgångsströmmen och därför är det motiverat att undersöka även dessa. Kärnmaterialet i transformatorer har under åren utvecklats för att effektivisera transformatorerna, varför transformatorns tillverkningsår kan ha en inverkan på nollföljdsimpedansen. 4.2 Minsta kvadratmetoden För att fastställa om de identifierade storheterna har en inverkan på nollföljdsimpedansen implementeras en linjär approximation. Målet med algoritmen är att den ska ge en så exakt approximation som möjligt med så lite indata som möjligt. Högre gradtal på modellen är inte motiverat då algoritmen bygger på enkel indata, samt att den största delen av den bakomliggande teorin, avsnitt 3, bygger på linjära samband. Approximationen bygger på minsta kvadratmetoden, där summan av felet i kvadrat mellan uppmätt värde och approximationen ska minimeras, se ekv. 28. [12] min nx (y i ŷ i ) 2 (28) i=1 där n representerar antal datapunkter, y i uppmätt värde och ŷ i ett approximerat värde. Appliceras minsta kvadratmetoden på en linjär model kommer metoden att minimera ekv. 28 då ŷ i ges av ekv. 29, dvs optimeringsproblemet löses med avsee på p 1 och p 2. ŷ(x) =p 1 x + p 2 (29) Robustifiering En av nackdelarna med minsta kvadratmetoden är att den är känslig för uteliggare [12]. Generellt brukar det antas att avvikande värden (uteliggare) är sällsynta, men då minsta kvadratmetoden tar felet i kvadrat kommer inverkan från de avvikande värdena att ha en stor påverkan på slutresultatet. För att minimera de avvikande värdenas påverkan på slutresultatet, så finns det metoder för att vikta observationerna. I Matlabs cuvre fitting-toolbox finns två inbyggda metoder för robustifiering av minsta kvadrat lösningar, LAR (Least absolute residuals) och Bisquare. 32

34 4 METOD Med LAR minimeras de absoluta felen istället för kvadraten av felen, som görs i en vanlig minsta kvadratoptimering. Det innebär att om extrema värdena är sällsynta kommer dessa inte ha så stor effekt på den totala summan som ska minimeras i optimeringen. Bisquare-metoden minimerar en viktad summa av fel, där vikten bestäms av hur långt ifrån observationen är från den approximerade linjen. Observationer långt ifrån linjen tilldelas en låg vikt medan observationer nära linjentilldelas en hög. Resultatet blir att den approximerade linjen optimeras så att den passar den stora massan av observationer. Detta argument brukar användas för att förespråka Bisquare robustifiering [12]. Målet med algoritmen är att identifiera ett samband som förklarar nollföljdsimpedansen för så många transformatorer som möjligt vilket är ett argument för att välja Bisquare som robustifieringsmetod. Bisquare robustifiering bygger på en iterativ process i fyra steg, [12]. 1. Först approximeras ett samband med en viktad minsta kvadratoptimering. 2. Inästastegtasenjusteradresidual(eng. adjustedresidual )framfrånföljandeekvation: r adj,i = p 1 där r i är den vanliga residualen och h i en tyngdfaktor (eng. leverage ). Den justerade residualen standardiseras med följande ekvation: u i = r adj,i Ks där K är en konstant (4.685). Parametern s är den robusta variansen given av MAD ( median absolute deviation of residuals ) dividerat med Därefter beräknas den robusta vikten,w i som en funktion av u i enligt följande: ( (1 u 2 i w i = )2 u i < 1 0 u i 1 r i hi 4. Om lösningen konvergerar så är processen klar. Om inte, så upprepas processen. 4.3 Kategorisering Innan den numeriska dataanalysen påbörjas delas transformatorerna in i kategorier efter antal lindningar och kopplingsart, se fig.23. I fig. 23 motsvarar kopplinsart YN0 en Y-kopplad lindning med en utdragen nollpunkt, Y0 en Y-kopplad lindning utan utdragen nollpunkt och AN0 motsvarar en sparkopplad lindning. Dessa beteckningar kommer fortsättningsvis att användas för att tydliggöra vilken kopplingsart som transformatorerna har. Kategoriseringen fram hit bygger på information om transformatorerna som är kända utan att några tester behöver genomföras. Det är rimligt att anta att information om antal lindningar och kopplingstyp är korrekt, d.v.s. datamängden saknar mätfel och därför kan kategoriseringen, beskriven ovan, göras helt utan fel. Om fler än en parameter påvisar ett samband med nollföljdsimpedansen kan ett ytterligare sätt att minska spridningen vara att dela in transformatorerna i storleksordning, baserat på en av de identifierade parametrarna. Exempel på sådana storheter kan vara märkeffekt, märkspänning eller tillverkningsår. Baserat på resultatet i en inledande approximering, går det att identifiera vilka parametrar som har ett samband med nollföljdsimpedansen. Intervallen för de valda parametrarna väljs godtyckligt, men antalet intervall ska vara relativt lågt. Ett för högt antal undergrupper/intervall skulle medföra att algoritmens pricksäkerhet skulle minska, då modellerna iundergruppernaskullebaseratspåastettfåtaltransformatorer. 33

35 4 METOD Trebenta kärntransformatorer 2lindningar 3lindningar YN0 Y0 AN0 YN0 Y0 AN0 Figur 23: Kategorisering 4.4 Filtrering av misstänkta mätfel För att hitta en algoritm med så korrekta samband som möjligt, är det viktigt att den data som används för approximeringen innehåller så få och små mätfel som möjligt. Av denna anledning behövs en metod för att filtrera bort transformatorer från datamängden som har stora avvikande värden, där eventuella mätfel kan misstänkas. Enklast vore om en visuell inspektion av spridningsdiagram skulle genomföras för att upptäcka avvikande transformatorer, där eventuella mätfel skulle kunna förklara avvikelsen. I [13] presenteras en metod för att identifiera avvikande datapunkter med hjälp av begreppet Z score.definitionenavz score ges i ekv.30. x medel(x) Z score = standardavvikelsen(x) (30) där x motsvarar mätvärdet och X hela populationen av mätvärden. Enligt [13] är ett mätvärde en uteliggare om den har ett Z score -värde på mindre än -3 eller högra än 3, d.v.s. om absolutbeloppet av Z score är större än 3. Om absolutbeloppet av Z score -värdet är mycket större än 3 bör värdet undersökas närmare, då inmatningsfel eller andra uppenbara fel skulle kunna ligga bakom det höga värdet. Alla mätvärden som identifieras som uteliggare bör undersökas vidare innan dessa utesluts från analysen [13]. Vid en analys av de bortsorterade värdena kan man undersöka hittills oanvänd information om transformatorerna, som t.ex. tillverkare, typbeteckning eller tillverkningsår. För att kunna applicera metoden med Z score vid identifiering av en tr, där det förväntas att utfallet (i denna undersökning nollföljdsimpedansen) ökar eller minskar när prediktorn ändras, går det inte att bara applicera mätvärdena till ekv. 30. Om mätvärden, utan bearbetning, skulle användas i ekv. 30 skulle fler uteliggare identifieras bland utfallen från höga eller låga prediktorer. Istället approximeras alla mätvärden iundergruppernalinjärtmedminstakvadratmetoden.frånapproximeringenkanresidualerna(feletmellan approximationen och det uppmätta värdet)beräknas och användas i ekv. 30. Om datan antas vara normalfördelad kring den approximerade modellen, kommer medelvärdet av residualen vara normalfördeladsa med ett medelvärde kring Nollföljdsimpedans hos en andra lindning Under osymmetriska förhållanden kommer det obalanserade flödet i trebenta kärntransformatorer att sluta sig utanför kärnan. Flödet kommer att välja en väg att sluta sig så att det totala magnetiska motståndet blir minimerat. Precis samma fenomen uppstår vid ett tomgånge nollföljdsprov. Vid ett tomgånge nollföljdsprov kopplas faserna ihop och ansluts till en spänningskälla, se fig. 24. Den pålagda strömmen fördelar sig jämnt mellan faserna som nu är i fas med varandra. Resultatet blir att det inducerade flödet i kärnbenen kommer att vara riktat åt samma håll i alla tre ben. Då flödet går i slutna slingor kommer den att behöva sluta sig utanför kärnan, precis som vid osymmetriska förhållanden. 34

36 4 METOD Figur 24: Tomgånge nollföljdsprov Figur 25: Magnetisk krets Under flödets väg kommer detta att passera olika material och därför kommer det magnetiska motståndet att ändras under flödets väg. Minst magnetiskt motstånd återfinns i kärnan men under det tomgånge nollföljdssprovet tvingas flödet ut i områden utanför kärnan och i dessa områden kommer det magnetiska motståndet att vara betydligt högre. Den magnetiska kretsen kan sammanfattas i en ekvivalent krets, se i fig. 25. I fig. 25 står H för det den magnetiska fältstyrkan och l för längden och index c (core) refererar till storheter kopplade till flödet i kärnan. Utöver flödet i kärnan kommer det finnas ett flöde i luften runt transformatorlindningarna och i andra närliggande material, vilket indikeras i fig. 25. Från teorin i är det känt att det elektriska motståndet för en spole är beroe på materialet i vilket det magnetiska flödet induceras. Detta innebär att den ekvivalenta elektriska kretsen till fig. 25 kan representeras av tre reaktanser kopplade i serie, en reaktans per magnetiskt motstånd i fig. 25. Högt magnetiskt motstånd kommer leda till en liten elektrisk induktans och vice versa [9]. I fig. 25 kommer de magnetiska motstånden för luft och övriga material vara betydligt högre än motståndet i kärnan. Resultatet blir att den totala elektriska induktansen kommer att domineras av kärnans egenskaper. I en approximation kan därför de övriga bidragen (från luftgapet och intilliggande material) försummas. Resultatet från approximationen blir att den elektriska 35

37 4 METOD impedansen ges av ekv. 31. X =2 f L m =2 f µ rµ 0 AN 2 l (31) där f motsvarar frekvensen, µ r,µ 0 representerar kärnans relativa permeabilitet respektive vakuums permeabilitet, A är kärnans tvärsnittsarea, N motsvarar antal varav i lindningen och l är kärnbenets och okets längd. För att approximera nollföljdsimpedansen i en andra lindning baserat på en approximerad nollföljdsimpedans för högspänningslindningen görs några antaganden. Först antas att nollföljdsimpedansen till största del består av en reaktiv del, Z X. Därefterantasattförhållandetmellanspänningenochantaletvarv(ekv.2)gäller, vilket enligt [9] ast medför ett försumbart litet fel. Förhållandet mellan hög- och lågspänningslindningens nollföljdsimpedans kan med dessa antaganden summeras till ekv. 32. Z HL Z LL 2 µrµ0anhl 2 f l 2 f µrµ0an LL 2 l = N 2 HL N 2 LL = NHL N LL 2 (32) Iekv.32motsvararindexHL parameterar för högspänningslindningen, medan LL motsvarar en lindning med lägre spänning. Detta kan vara antingen lågspänningslindningen eller en mellanspänningslindning om transformatorn har tre lindningar. Kombineras resultatet i ekv. 32 med ekv. 2 fås följande samband mellan hög- och lågspänningslindningens nollföljsimpedans. Liknande resonemang kan appliceras på en eventuell mellanspänningslindning. Z HL Z LL UHL U LL 2 (33) 4.6 Goodness of fit För att validera resultatet från algoritmen behövs en metod för att beräkna hur säker uppskattningen av nollföljdsimpedansen är, samt ett mått på hur stor avvikelsen är mellan den sanna nollföljdsimpedansen och den approximerade. Goodness of Fit (GoF), ett begrepp som på svenska kan översättas till anpassningsgrad, vilket är ett samlingsnamn för grafiska och numeriska metoder som kan användas för att validera hur bra en approximerad modell är. Hur bra en modell är går att definera på ett antal olika sätt [12]. En bra modell kan vara en modell som predikterar data väl, under antaganden som görs för minsta kvadratmetoden. Andra tolkningar kan vara att en modell är bra om koefficienterna kan approximeras med hög säkerhet eller att modellen förklarar variationen i datan, vilket gör att modellen på så sätt kan användas för att förutspå en ny observation. Med statiska mått är det möjligt att jämföra olika approximationer. För att se hur säkert det approximerade sambandet är, kan modellens konfidens- och prediktionsintervall analyseras. Detta ger en indikation på inom vilket intervall nollföljdsimpedansen troligtvis befinner sig i, eller inom vilket intervall som sambandet troligtvis befinner sig i. I följande stycken beskrivs hur dessa verktyg fungerar och appliceras vid valideringen av algoritmen för estimering av nollföljdsimpedansen. I tabell 3 sammanfattas vad de grafiska och numeriska analyserna ska resultera i för att den approximerade modellen ska betraktas som bra Mätfel och residualer För implementering av minsta kvadratmetoden görs två antaganden angåe mätfel. Det första antagandet är att mätfel ast existerar i den parametern som ska approximeras, d.v.s. i denna undersökning innebär detta antagande att det ast existerar mätfel i nollföljdsimpedansen. Det andra antagandet är att mätfelen 36

38 4 METOD Mått Optimalt för en bra modell R 2 nära 1 RMSE nära 0 Residualer små och normalfördelade Prediktions- och konfidensintervall smala Tabell 3: Sammanfattning av GoF-verktyg är normalfördelade med medelvärdet 0. För att uppnå bra resultat med minsta kvadratmetoden behöver mätfelen vara små och om stora mätfel existerar bör dessa vara mycket ovanliga [12]. För att analysera felen kan residualer användas och definitionen av en resiudal ges av ekv. 34. Den observanta ser att detta är precis det uttryck som återfinns i målfunktionen för minsta kvadratmetoden. Minsta kvadratmetoden minimerar med andra ord summan av residualerna i kvadrat. r i = y i ŷ i (34) Om medelvärdet för residualerna är noll eller nära noll, kan det antas att felets medelvärde också är noll. Distributionen av mätfel kan uppskattas med residualernas sannolikhetsfördelning. Sannolikhetsfördelningen kan även ge en visuell indikation på om felet är så avvikande att det kan vara ett inmatningsfel eller ett mätfel, vilket gör att värdet kan sorteras bort. Stora avvikande residualer bör ha sorterats bort när Z score används för att identifiera uteliggare, vilket betyder att distributionen av residualerna bör ha en ungefärlig normalfördelad sannolikhetsfördelning Konfidensintervall och spridning Vid approximationer i Matlabs Curve Fitting Toolbox används två typer av mått på spridning och osäkerhet, konfidens- och prediktionsintervall. Exempelvis kan konfidensintervall används för att visa osäkerheten i det approximerade medelvärdet och prediktionsgränser för att analysera osäkerheten hos nya responsvärden. För både konfidensintervall och prediktionsintervall sätts en procentsats för att visa vilken noggrannhet som analysen baseras på, standard är 95%. Om konfidensintervallet för koefficienterna, p 1 och p 2,visarsigvarabrettförenmodell,gerdettaenindikation på att mer data borde användas till approximationen. Uppskattningen av spridningen bygger på att observationerna är normalfördelad. Om observationerna samplas fram slumpmässigt behövs ett stort antal, för att få en exakt approximation av medelvärdet. Vid implementering på en grupp av transformatorer ger konfidensintervallet för koefficienterna en indikation på om gruppen är tillräckligt stor eller om fler transformatorer behövs. Att få tillgång till data från fler transformatorer kan dock vara svårt, då transformatortypen kan vara sällsynt, samt att det helt enkelt inte finns fler exemplar av den transformatortypen. Om en ny prediktion av ett responsvärde ska göras är det intressant att veta inom vilket intervall responsvärdet troligtvis kommer att befinna sig i. Vid en sådan approximation måste hänsyn tas till både noggrannheten idetapproximerademedelvärdetochidetslumpmässigafelet,somantasfinnsnärvarandeidatan.därmed kommer ett prediktionsintervall alltid att vara bredare än ett konfidensintervall. Desto smalare intervall desto bättre är modellen, eftersom den ger en mer exakt approximation för ett responsvärde (nollföljdsimpedansen är i denna algoritm responsvärdet). Målet är att en ny estimerad observation ska vara så exakt som möjligt och det är prediktionsintervallet som anger inom vilket intervall en ny observation till 95% (eller en annan procentsats) av fallen kommer befinna sig i. 37

39 4 METOD RMSE och R 2 Ett statistiskt mått som används vid validering av approximerade samband är RMSE. RMSE är en approximation av standardavvikelsen för den slumpmässiga komponenten i datan. Definitionen av RMSE som användas i Matlab är given i ekv. 35. RMSE = r SSE (35) där SSE står för sum of square error, d.v.s. summan av felen i kvadrat, och är definierad av ekv. 36. SSE = nx (ŷ i y i ) 2 (36) i=1 Parametern är residualens frihetsgrad. Residualens frihetsgrad är definierad som antalet datapunkter som används i approximationen minus antalet koefficienter i modellen. SSE kan i sig självt också användas för att värdera en approximation, där SSE då blir ett mått på den totala avvikelsen mellan de approximerade responsvärderna och de faktiska responsvärderna. En bra modell har ett SSE nära 0, vilket i sig betyder att modellen kan användas för att approximera ett responsvärde, givet en prediktor. För att analysera hur väl modellen förklarar variationen i datamängden kan R 2 användas som mått. Definitionen av R 2 är given i ekv. 37. R 2 =1 SSE (37) nx (y i y) 2 i=1 En bra modell har ett R 2 nära 1. Till exempel innebär ett R 2 =0.87 att modellen förklarar 87% av den totala variationen i datan. Det kan inträffa att en modell ger ett negativt R 2 -värde, vilket betyder att det existerar datapunkter som inte hjälper till att estimera responsvärdet [12]. 38

40 39

41 5 FALLSTUDIE 5 Fallstudie Följande kapitel beskrivs hur den presenterade metoden appliceras på en population med trebenta kärntransformatorer utan -lindning i en fallstudie. Dataanalysen är genomförd i Matlab, där mycket av arbetet har baserats på funktioner i Curve Fitting Toolbox. 5.1 Grundläggande analys av datasetet Den data som använts för denna fallstudie består av data för 573 st trebenta kärntransformatorer utan - lindning. De analyserade transformatorerna tillverkades från 1940 fram till Störst antal transformatorer tillverkades under 70- och 80-talet, se fig. 26a. Endast ett fåtal enheter är tillverkade tidigare än 1970-talet. Under 1990-talet syns det tydligt att antalet nytillverkade transformatorer sjönk fram till tidigt 2000-tal, då nytillverkningen återigen tog fart. Transformatorerna kommer från 35 olika tillverkare och fördelningen mellan de olika tillverkarna illustreras i fig. 26b. ABB och ASEA är vanligast, med över 100 transformatorer vardera, medan Strömberg har 60 st. De övriga tillverkarna har så få transformatorer att några analyser i nollföljdsimpedansen kopplat till tillverkare är omöjliga att göra. Då ASEA och ABB under den undersökta tidsperioden köpte upp mindre transformatortillverkare existerar det transformatorer som är tillverkade i olika fabriker, men av samma tillverkare. En faktor som kan påverka nollföljdsimpedansen är valet av tillverkningsmetod. Olika fabriker använder olika tillverkningsmetoder och maskinparker, varför det är viktigt att separera transformatorerna efter var de är tillverkade. I den undersökta datan har alla transformatorer betecknade med ABB tillverkats på samma plats, innebärande ABB s anläggning i Ludvika, medan de övriga transformatorerna som är tillverkade av ABB är utsprida på andra fabriker. Samma resonemang kan appliceras på transformatorer tillverkade av ASEA, som under tidsperioden köpt upp de mindre tillverkarna Lepper och Per-Kure. (a) Tillverkningsår (b) Tillverkare Figur 26: Transformatorernas tillverkningsår och tillverkare 40

42 5 FALLSTUDIE 5.2 Generell korrelation För att undersöka vilken/vilka av de storheter som identifierades som intressanta i metodavnisttet och som dataanlysen skulle fokusera på, genomfördes först en övergripande analys där samband testades på all data, utan att dela upp transformatorerna efter antal lindningar och kopplingstyp. Resultatet visas i fig. 27. Figuren visar att tomgångsimpedansen, Z tom,troligtvishareninverkanpånollföljdsimpedansen.figur27 visar nollföljdsimpedansen (Z noll1 )somfunktionavu nom1, S nom1, Z kar, P tom, Z tom och tillverkningsår för samtliga transformatorer. De röda linjerna visar en linjär approximation av tren för varje storhet. Figur 27: Kända storheters linjära korrelation till nollföljdsimpedansen hos samtliga transformatorer. Samtliga grafer i fig. 27 visar stor spridning för Z noll1.genomvisuellinspektionidentifieradesattz tom och P tom uppvisade stark korrelation till Z noll1. Andra grafen i första raden i fig. 27 visar att märkeffekten korrelerar med nollföljdsimpedansen. Detta samband ser ut att vara som starkast för transformatorer med låga märkeffekter. Även märkspänningen verkar korrelera med Z noll1,måspridningenärstorfördeolikaspänningsnivåernabeslutadesattmärkspänningen inte skulle användas som prediktor i den fortsatta analysen. Den linjära approximationen för Z kar har en negativ lutning. Diskussionen ovan om märkeffekt och märkspänningens korrelation innebär att detta resultat är väntat, eftersom Z kar är en funktion av S nom och U nom. Det tydliggör också att märkeffekten skulle kunna ha en inverkan på nollföljdsimpedansen. Grafen med nollföljdsimpedansen som funktion av tillverkningsår visar en ökande tr för nollföljdsimpedansen. Förklaringen till tren skulle bl.a. kunna vara relaterad till transformatorns märkeffekt. De äldsta transformatorerna i den undersökta populationen alla har en låg märkeffekt (under 50 MVA) och att tren visar att tillverkningen av större transformatorer började ta fart först under 70-talet, se fig. 28. Dessutom har nyare transformatorer en högre tomgångsimpedans vilket resulterar i en högre nollföljdsimpedans. Efter den inledande analysen av de kända storheternas korrelation till nollföljdsimpedansen valdes i den fortsatta analysen att fokuseras på Z tom.märkeffektenpåhögspänningslindningenvaldessomstorhetför 41

43 5 FALLSTUDIE Figur 28: Utveckling av högspänningslindningens märkeffekt över tid. att sortera transfromatorerna efter storlek. Märkeffekten valdes att delas in i fem intervall: 0 apple S nom1 < 50 MVA 50 apple S nom1 < 100 MVA 100 apple S nom1 < 200 MVA 200 apple S nom1 < 200 MVA 300 apple S nom1 MVA 5.3 Identifiering av vanliga transformatortyper Resultatet av kategoriseringen av transformatorer visas i tabell 4. Resultatet ger in indikation om vilka transformatorer som är vanligt förekommande. Nyttan av en mer exakt algoritm för uppskattning av nollföljdsimpedansen ökar om algoritmen bygger på de vanligaste typerna av transformatorer och att antalet transformatorer i denna grupp är tillräckligt stor. Det är tydligt att trebenta kärntransformatorer med två lindningar i YN0-koppling är vanligast. Antalet Y0-kopplade transformatorer är i den undersökta datamängden av transformatorer lågt, ast en handfull, vilket gör att en statistisk analys av samband inte är möjlig att genomföra. Baserat på fördelningen valdes i den fortsatta analysen att fokusera på transformatorer med YN0-koppling (med två eller tre lindningar) och AN0-koppling (med två lindningar). Antal lindningar Kopplingstyp Antal transformatorer 2 3 YN0 482 Y0 5 AN0 59 YN0 25 Y0 0 AN0 2 Tabell 4: Antal transformatorerna i de olika grupperna För att kunna justifiera en algoritm för approximation av nollföljdsimpedansen även för de mer sällsynta transformatorerna, går det inte bara att analysera varje grupp för sig. För dessa behövs mer generella approximationer. 42

44 5 FALLSTUDIE 5.4 YN0-kopplade transformatorer med två lindningar Fem undergrupper valdes med intervall på märkeffekten på högspänningslindningen. Om transformatorns högspänningslindning var utrustad med en lindningsomkopplare användes data för transformatorn med lindningsomkopplaren i sitt huvudläge. Intervallen och antal transformatorer i intervallen syns i tab. 5. Antal lindningar Kopplingstyp Märkeffektintervall [MVA] Antal transformatorer S nom1 < apple S nom1 < YN0 100 apple S nom1 < apple S nom1 < apple S nom1 4 Tabell 5: Antal transformatorerna i de olika grupperna Resultatet visar att lägre märkeffekter är dominerande bland transformatorer med två lindningar och YN0- koppling. Detta är förväntat då det för stora transformatorer ofta blir mer lönsamt att bygga sparkopplade transformatorer, se tidigare avsnitt om sparkopplade transformatorer. Intervallen MVA och över 300 MVA visade sig ha ast ett fåtal transformatorer. Därför fokuserar resterande analys på de tre intervallen med lägre märkeffekter. De linjära sambanden för de tre största grupperna är sammanfattade i fig. 29. I varje klass har avvikande värden på nollföljdsimpedansen identifieras med metoden beskriven i 4.4. För den största gruppen, den med märkeffekter under 50 MVA, hittades tre avvikande värden på nollföljdsimpedansen, som alla uppfyllde kravet med ett absolutbelopp på Z score på över tre, se fig. 29a. För gruppen med märkeffekter mellan MVA hittades två avvikande transformatorer. I de övriga grupperna hittades inga avvikande transformatorer, vilket kan bero på att antalet transformatorer i dessa klasser var betydligt lägre. En djupare analys gjordes på de avvikande transformatorerna, där transformatorernas tillverkare, typbeteckning och tillverkningsår undersöktes. De avvikande transformatorerna tillverkades mellan och tillverkades av ASEA, ABB och Koncar. Två av de avvikande transformatorerna hade samma typbeteckning, vilket skulle kunna innebära att transformatorer av denna typ har en avvikande konstruktion eller materialval. Av denna anledning undersöktes om det existerade fler transformatorer med samma typbeteckning. Resultatet visade att denna transformatortyp var relativt vanlig. I hela populationen fanns det totalt 27st transformatorer med denna typbeteckning, de avvikande transformatorerna inräknade. De övriga avvikande transformatorerna hade alla typbeteckningar som också existerade i den övriga populationen. Ifig.29visasdenförstalinjäraapproximationen,rödalinjen,somsedananvändesföratthittaavvikande transformatorer. Den turkosa streckade linjen representerar en linjär approximation där de transformatorer som identifierades som avvikande filtrerats bort. Om en robust minsta kvadratmetod appliceras på transformatorerna i ett märkeffektintervall med uteliggarna kvar i datamängden blir resultatet den blå prickade linjen. Resultatet visar att både filtreringen och robustifieringen leder till samband med en lite lägre lutning ideintervalldäravvikandetransformatorerhittades. 43

45 5 FALLSTUDIE (a) Märkeffekt < 50 MVA (b) Märkeffekt MVA Figur 29: Nollföljdsimpedansen som funktion av tomgångsimpedansen, med transformatorerna grupperade efter märkeffekt. För att kunna jämföra om identifieringen av uteliggare eller Bisquare robustifieringen gav ett bättre resultat än den inledande approximationen, analyserades RMSE och R 2 för de 5 märkeffektintervallen. Resultatet 44

46 5 FALLSTUDIE för RMSE och R 2 visas i tabell 6-8, tillsammans med det approximerade linjära sambandet (där x motsvarar Z tom. Märkeffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom x Tabell 6: Approximerad modell och GoF-resultat (ofilterad) Märkeffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom x Tabell 7: Approximerad modell för filtrerad data och GoF-resultat Märkeffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom x Tabell 8: Approximerad modell och GoF-resultat med Bisquare Då inga uteliggare identifierades för de tre grupperna med högst märkeffektintervall, kommer den första och andra approximeringen för dessa grupper att vara identisk, d.v.s. inga förbättringar i modellen. För de övriga två grupperna identifierades några uteliggare som filtrerades bort. Resultatet av filtreringen var en förbättring i både RMSE, som sjönk, och R 2,somnärmadesig1.Resultatetinnebarattmodellens fel reducerades samtidigt som att modellen bättre lyckades förklara spridningen i nollföljdsimpedansen för transformatorerna. Identredjeapproximationenimplementeradesenrobustifieradminstakvardatlösningmeden Bisquare - metod, se den mörk blåa streckade approximationen i fig. 29. Resultatet visar att RMSE sjönk ytterligare för den största gruppen, den med märkeffekter i intervallet 0-50 MVA, se tabell 8. För den näst största gruppen försämrades RMSE, modellens fel, marginellt. Positivt var att för båda dessa intervall så förbättrades R 2 betydligt jämfört med de två inledande approximationerna. Som tidigare nämnt behöver hänsyn tas till mängden data när resultat från dataanalysen diskuteras. För de tre grupperna med högst märkeffektintervall var antalet transformatorer få och därför diskuteras dessa gruppers resultat inte så djupgåe. Värt att notera, både för RMSE och R 2,visardetsigatttransformatorerna i märkeffektintervall MVA alla kunde beskrivas med ett linjärt samband. I övrigt visar resultaten en mindre försämring med Bisquare-metoden, jämfört med den första ofiltrerade approximationen, för intervaller MVA. Trots försämringen bedöms Bisqaure ge ett bättre resultat för majoriteten av undergrupperna. Därför används Bisquare vid framtagningen av linjära samband för de övriga typspecifika modellerna, samt den generella modellen. 45

47 5 FALLSTUDIE För att lättare hitta likheter i samband för de olika märkeffektintervallen sammanfattades alla fem sambanden ienochsammafigur,fig.30a.genomvisuellinspektionframgårdetattdetärsvårtattuppfattanågra tydliga trer mellan märkeffekten och tomgångsimpedansen i förhållande till nollföljdsimpedansen. De linjära approximationerna visar små skillnader, om den grupp med transformatorer med högst märkeffekt undantas. Att bortse från de största transformatorerna är motiverat p.g.a. det faktum att denna typ av transformatorer är ovanlig. Baserat på denna observation kan alla transformatorer i denna grupp, utom de med märkeffekter över 300 MVA, sammanfattas med en och samma linjära approximation. Den slutgiltiga modellen med GoF-resultat visas i tabell 9 och fig. 30b. Märkeffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x S nom1 > x Tabell 9: Slutgiltig modell för YN0-kopplade transformatorer med två lindningar (a) Inledande indelning, fem märkeffektintervall. (b) Slutgiltig indelning, två märkeffektintervall Figur 30: YN0-kopplade transformatorer med två lindningar Prediktionsintervall Figur 31 visar prediktionsintervallet för de två identiferade märkeffektintervallen, MVA och >300 MVA. Om en ny transformators nollföljdsimpedans ska bestämmas med en tomgångsimpedans mellan 0 och 50 % kommer nollföljdsimpedansen med 95 % säkerhet ligga i det markerade intervallet. Baserat på resultat från Matlab identifierades linjära gränser för prediktionsintervallet. Gränserna approximerades med samma metod som modellen och det är den linjära approximationen som presenteras i fig. 31. De numeriska värderna för prediktionsintervallen presenteras i sin helhet i appix A. 46

48 5 FALLSTUDIE Figur 31: Prediktionsintervall för märkeffektgrupperna MVA (vänster) och >300 MVA (höger) Den stora gruppen, den med transformatorer i intervallet MVA, visar ett tydligt växande samband mellan tomgångsimpedansen och nollföljdsimpedansen. För den andra gruppen är sambandet inte lika tydligt. Gruppen med höga märkeffekter innehöll ast ett fåtal transformatorer, så en säker analys är här inte möjlig att genomföra. Nämnvärt är ändå att samtliga transformatorer i denna grupp hade en nollföljdsimpedans iettsmaltintervallkring120% Residualer Ett antagande som görs för approximeringen är att mätfelen bland observationerna är normalfördelande, dvs stora fel är osannolika. Då det är omöjligt att direkt från observationerna avgöra om ett värde innehåller ett mätfel eller inte och hur stort ett eventeullt mätfel är undersöktes residualernas fördelning. Resultatet visas i fig. 32. Från figuren framgår det att distributionen av residualerna påminner om en normalfördelningskurva för båda intervallen. För intervallet >300 MVA, är distributionen en exakt normalfördelningskurva, vilket återigen kan förklaras av antalet transformatorer i intervallet. För intervallet MVA påminner om en normalfördelningskurva, men ett högt värde på residualen sticker ut. Figur 32: Residualernas distribution för märkeffektgrupperna MVA (vänster) och över 300 MVA (höger) 47

49 5 FALLSTUDIE 5.5 AN0-kopplade transformatorer med två lindningar För de sparkopplade transformatorerna med två lindningar genomfördes samma analys som för de motsvarande fullindade transformatorerna. Idatasomanalyseradesexisteradedetingasparkoppladetransformatorermedtvålindningariintervallet MVA, vilket är väntat då sparkopplade transformatorer främst förekommer för stora effekter. Fördelningen mellan effektintervallen syns i tabell 10. Antal lindningar Kopplingstyp Märkeffektintervall [MVA] Antal transformatorer S nom1 < apple S nom1 < AN0 100 apple S nom1 < apple S nom1 < apple S nom1 50 Tabell 10: Antal transformatorerna i de olika märkeffektgrupperna För de tre märkeffektgrupperna genomfördes samma analysprocess som för YN0-kopplade transformatorer med två lindningar. Endast en avvikande transformatorn hittades, och denna hittades i den största gruppen, den med märkeffekter över 300 MVA. I fig. 33 visas resultatet för de tre approximationerna (en ofiltrerad, en filtrerad med Z score och en Bisquare) för gruppen 300 MVA apple S nom1.dådetexisterarenstörregrupp med transformatorer med en lägre nollföljdsimpedans ger den tredje approximerade modellen, med minsta kvadratmetoden och Bisquare, en näst intill horisontell linje, se fig. 33. Figur 33: Märkeffekt över 300 MVA Modellerna för samtliga märkeffektintervall syns i fig. 34a. Då de approximerade modellerna för intervallen MVA och MVA, ast bygger på ett litet antal transformatorer, samt att skillnaden mellan transformatorerna inte ser ut att skilja sig anmärkningsvärt mellan de två intervallen, beslutades det att slå ihop de två intervallen till en stor. Den slutgiltiga indelningen syns i fig. 34b. Även prediktionsintervallen för den slutgiltiga indelningen togs fram och resultaten för dessa presenteras i appix A. Itabell11visasresultatetfråndenslutgiltigamodellenfördetvåeffektintervallen.Jämförtmedgruppen med YN0-kopplade transformatorer med två lindningar har motsvarande grupp med sparkopplade transfor- 48

50 5 FALLSTUDIE (a) Inledande indelning, totalt tre intervall med transformatorer (b) Slutgiltig indelning, med två effektintervall. Figur 34: Sparkopplade transformatorer med två lindningar matorer betydligt högre RMSE, d.v.s. fel. Däremot visade resultaten för R 2 för den största gruppen (den med effekter över 300 MVA) ett bättre värde, d.v.s. variationen i data förklaras bättre av den approximerade modellen. Märkeffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x S nom1 > x Tabell 11: Slutgiltig modell för AN0-kopplade transformatorer med två lindningar 5.6 YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar Precis som för tidigare kategorier delades de trelindade transformatorn in efter samma ursprungliga effektintervall. Då de trelindade transformatorerna är sällsynta innehöll hela denna grupp ast 25 transformatorer och efter indelning av märkeffekt visade resultatet att data ast innehöll transformatorer i de två lägsta effektintervallen, se tabell 12. Antal lindningar Kopplingstyp Märkeffektintervall [MVA] Antal transformatorer S nom1 < apple S nom1 < YN0 100 apple S nom1 < apple S nom1 < apple S nom1 0 Tabell 12: Antal transformatorerna i de olika märkeffektgrupperna Ianalysenhittadesingaextremtavvikandetransformatorerochdenrobustifierademinstakvadratlösningen visas för de båda effektintervallen, se fig. 35a. Då ast mindre skillnader förelåg mellan de båda effektintervallen, ersattes dessa med ett större effektintervall, MVA. Resultatet från en robustifierad minsta kvadratapproximering för det nya effektintervallet visas i fig. 35b. Med det större effektintervallet inneslu- 49

51 5 FALLSTUDIE ter indelningen samtliga transformatorer, vilket i praktiken innebär att effektindelningen av YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar blir överflödig. (a) Inledande indelning med totalt två intervall. (b) Slutgiltig indelning med ett intervall. Figur 35: YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar Den slutgiltiga modellen och GoF-resultatet för YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar visas i tabell 13. Modell RMSE R x Tabell 13: Slutgiltig modell för YN0-kopplade transformatorer med tre lindningar Sammanslagningen av de inledande effektintervallen resulterade i ett RMSE-resultat som inte förändrades. Parametern R 2 försämrades jämfört med en av effektgrupperna i den inledande uppdelningen och förbättrades jämfört med den andra. De numeriska funktionerna som återger de linjäriserade prediktionsintervallen för den slutgiltiga indelningen presenteras i sin helhet i appix A. 5.7 Generell modell Om samtliga transformatorer i den analyserade populationen delas in efter storlek på märkeffekten och ett linjärt samband approximeras med en minsta kvadratapproximering med Bisqaure viktning, erhålls resultatet ifig.36a. Från resultatet framgår det att effektintervallen 0-50 MVA och MVA kan approximeras med ett samband istället för två. Även intervallen MVA och MVA påminner om varandra och därför är det även motiverat att slå ihop dessa intervall till ett stort. Resultatet blir att den generella modellen sorterar in transformatorerna tre effektintervall; MVA, MVA och över 300 MVA. En ny approximering med Bisquare genomfördes med de större effektintervallen och resultatet presenteras i fig. 36b. Från resultaten framgår det att transformatorer med hög märkeffekt terar att ha en mer konstant nollföljdsimpedans, samt att dessa transformatorer generellt har en högre tomgångsimpedans. Detta kan bero på att man generellt sett använder bättre kärnplåt i stora transformatorer.för de lägre märkeffektgrupperna terar transformatorerna att har ett växande samband mellan tomgångs- och nollföljdsimpedansen. 50

52 5 FALLSTUDIE (a) Inledande indelning med fem märkeffektintervall. (b) Slutgiltig indelning med tre märkeffektintervall Figur 36: Approximerade generella samband mellan nollföljdsimpedansen och tomgångsimpedansen för samtliga transformatorer. Med färre effektintervall blir antalet transformatorer i varje undersökt grupp större vilket gör att mätfel/avvikande transformatorer får mindre inverkan på det slutgiltiga approximerade sambandet. En sammanfattning med det approximerade sambandet och GoF-resultaten presenteras i tabell 14. GoF-resultaten visar att spridningen i data var hög, vilket leder till att den linjär representationen kommer att ge ett stort medelfel. Resultaten för R 2 visar att tren med ett linjärt växande samband är en bra representation av variationen idatan.mellanca40-80%avvariationenidatankanrepresenterasavdenapproximerademodellen. Märkenffektintervall [MVA] Modell RMSE R 2 S nom1 < x apple S nom1 < x apple S nom x Tabell 14: Approximerad modell och GoF-resultat för samtliga transformatorer IappixApresenterasprediktionsintervallenfördemodellersompresenteradesitabell Trer kopplade till tillverkare Tillverkarna ABB, ASEA och Strömberg identifierades i den inledande analysen som tillverkare med tillräckligt många transformatorer för att kunna genomföra en djupare analys över trer i nollföljdsimpedansen. Resultatet från den inledande kategoriseringen av transformatorerna enligt fig. 23 visade att ASEA hade flest transformatorer (194 st), därefter kom ABB (118 st) och sist Strömberg (53 st). Precis som de mer allmänna resultaten visar det sig att den vanligaste transformatortypen är YN0-kopplade med två lindningar. Ipopulationenhittades53transformatorermedYN0-kopplingochtvålindningar,somtillverkatsavStrömberg. Vid en närmare undersökning upptäcktes dock att data för dessa transformatorer var ofullständig, då det saknades information om typbeteckning och tomgångsström hos en av transformatorerna. Transformatorn med ofullständig data sorterades bort, vilket innebar att sambandet för Strömbergs transformatorer med YN0-koppling och två lindningar togs fram baserat på 52 st transformatorer. 51

53 5 FALLSTUDIE Resultatet från en inledande Bisqaure robustifierad minsta kvadratapproximering visade att tren med en ökande nollföljdsimpedans för ökande tomgångsimpedans höll i sig, vilket syns i fig. 37. Transformatorerna från ASEA och Strömberg uppvisade ett likartat samband, med en betydligt brantare lutning jämfört med transformatorerna från ABB. Den approximerade modellen för YN0-kopplade transformatorer med två lindningar tillverkade av ABB, uppvisade ett mer konstant samband mellan nollföljdsimpedansen och tomgångsimpedansen. Figur 37: Approximerade modeller för de tre största tillverkarna, ASEA, ABB och Strömberg. De approximerade modellerna och GoF-resultaten sammanfattas i tabell 15. Tillverkare Modell RMSE R 2 ASEA 1.189x ABB x Strömberg 2.079x Tabell 15: Approximerade modeller för YN0-kopplade transformatorer med 2 lindningar. Jämförs resultaten för de tre tillverkarna med den generella lösningen från tabell 9 inses att transformatorerna från ASEA följer nästan samma samband, vilket förklaras med att ASEA-transformatorerna utgör en stor del av den totala populationen med YN0-kopplade transformatorer med två lindningar. ABB är den tillverkare som avviker tydligast från den generella modellen. ABB-transformatorerna se ut att ha ett svagare beroe mellan nollföljdsimpedansen och tomgångsimpedansen. En förklaring till detta kan vara att transfromatorer tillverkade av ASEA och Strömberg har en större spridning i märkeffekt jämfört med transformatorer tillverkade av ABB, se fig. 38. Godness of fit -resultaten visade att ASEA- och Strömberg-modellerna gav ett bättre R 2 -värde, d.v.s. dessa modeller kunde bättre förklara variationen i data än den mer generella modellen. Även RMSE-resultatet visade en förbättring, men dessa resultat är inte lika relevanta att jämföra med resultatet från den generella analysen. Eftersom variationen i nollföljdsimpedansen är stor kommer det att bli ett större medelfel om fler punkter tas med i analysen. Den generella analysen, med transformatorer från alla tillverkare, bygger på data från betydligt fler transformatorer och därför är det naturligt att även medelfelet blir större. 52

54 5 FALLSTUDIE Figur 38: Spridning i märkeffekt för de tre största tillverkarna. 5.9 Förhållande mellan lindningarna 2 Sambandet i ekv. 33 innebär att om Z HL U Z LL och HL U LL visas i ett spridningsdiagram, och en linjär approximation görs av punkterna, bör den approximerade linjen ha ett samband enligt ekv. 38. f(x) =k 1 x + k 2 0 x +1 (38) 2 U Figur 39 visar förhållandet mellan HL U LL (x-axeln) och Z HL Z LL (y-axeln) för alla transformatorer och alla lindningar, vilket innebär att transformatorer med tre lindningar kommer att representeras av två punkter ifiguren.enförförhållandetmellanhög-ochlågspänningslindningenochenförförhållandetmellanhögoch mellanspänningslindningen. Den röda linjen är en linjär minsta kvartatapproximation av alla punkter. Värderna filtrerades med metoden för Z score,beskriveni4.4vilketresulteradeiattettmisstänktvärde identifierades som avvikande, se den rosa markeringen i fig. 39a. Figure 39b visare en inzoomad bild av den linjära approximationen. 53