Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei"

Transkript

1 Kraft och dynamik 8 Vad innebär Newtons lagar? Hur kan en krockkudde rädda liv? Är det sant att en bil som kör med konstant fart inte påverkas av några krafter?

2 Mekanikens historia Aristoteles och Galilei Det kan tyckas rimligt att tro att det finns ett samband mellan ett föremåls toppfart och den kraft som föremålet påverkas av ju större kraft i bilmotorn, desto snabbare kan bilen köra. Eller? Detta är en missuppfattning som är mycket gammal. Vi sätter klockan till 300 år f. Kr och byter ut bilen mot en grekisk häst och vagn på en dammig landsväg. Greken Aristoteles, som levde då, var den förste som formulerade regler för ett föremåls rörelse. Aristoteles menade t.ex. att två hästar kan dra en vagn dubbelt så fort som en häst. Vagnens maximala fart skulle alltså vara direkt proportionell mot den kraft som verkade på vagnen en vanlig uppfattning under många århundraden. Aristoteles skrev många verk om bland annat fysik, kemi, ekonomi och filosofi och var en naturvetenskaplig auktoritet under nästan 000 år. Ända fram till slutet av 500-talet bestod studier i fysik av att läsa Aristoteles verk och sedan försöka förklara det som stod i böckerna. På 500-talet var det inte många vetenskapsmän som ens kunde drömma om göra egna experiment för att pröva om det som stod skrivet i Aristoteles böcker verkligen stämde. Om böckerna inte stämde överens med verkligheten, måste det helt enkelt bero på att man inte förstod det som stod skrivet i böckerna på ett korrekt sätt. Teckningen i bakgrunden är från mitten av 500-talet och visar ett av problemen att beskriva verkligheten med hjälp av Aristoteles fysik. Bilden visar hur en kanonkula avfyras snett uppåt (från höger). Kanonkulan fortsätter i en snett uppåtriktad bana så länge som en kraft driver den framåt. Vid en viss tidpunkt, ganska långt från kanonen, är plötsligt all kraft förbrukad och kulan faller rakt ner mot jorden (till vänster). Under 500- och 600-talet började många fysiker tycka att det var orimligt att acceptera Aristoteles verk texterna stämde så illa överens med vad man kunde se i naturen. Några enstaka fysiker började med något för den tiden så revolutionerande som att ställa upp nya teorier och utföra egna experiment. 0 Krafter och dynamik

3 Galileo Galilei levde från 564 till 64. Isaac Newton levde från 64 till 77. Den mest framstående av experimentalfysikerna vid denna tid var Galilei. Han mätte krafter, utförde fallförsök och observerade stjärnhimlen med sin nykonstruerade kikare. Galilei blev banbrytande i sitt nya sätt att studera fysik. Han gjorde iakttagelser och experiment och använde matematik som ett redskap för att kunna beskriva fysikaliska förlopp. Med Galilei kunde fysiken träda ut ur Aristoteles skugga efter nästan 000 år. Newtons mekanik Även om många fysiker försökte lösa problemet med hur kraft och hastighet hänger samman var det länge en svår nöt att knäcka. I slutet av 600-talet revolutionerade engelskmannen Isaac Newton mekaniken genom att formulera tre grundläggande rörelselagar: tröghetslagen, kraftlagen samt lagen om verkan och motverkan. Dessa tre lagar utgör grunden för hela dynamiken. Vi återkommer till dem senare i kapitlet. De tre rörelselagarna är bara en liten del av de resultat som beskrivs i Newtons kända verk Principia eller som det mera fullständigt heter: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer). Principia är ett av de mest betydelsefulla naturvetenskapliga dokument som någon människa skapat. Då det gavs ut 687 väckte det en kolossal uppståndelse i Europas vetenskapliga kretsar. Principia skapade förutsättningarna att med hjälp av naturvetenskap beskriva vår värld och har haft en avgörande betydelse för vår vetenskapliga utveckling. Kvantmekanik och relativitetsteori I början av 900-talet insåg fysiker att den newtonska mekaniken inte kan beskriva allt i den fysikaliska världen. Eftersom teorin inte kunde göra bra förutsägelser på atomnivå, utvecklades en ny teori för detta, kvantmekaniken. Dessutom visade det sig att den klassiska mekaniken inte kunde beskriva kroppars rörelser vid hastigheter nära ljusets. För att förklara detta behövs Einsteins relativitetsteori, som vi redan stiftat bekantskap med. Lös uppgift 80 på sidan S Krafter och dynamik 03

4 Krafter Ett äpple som faller, en bil som ökar sin fart för att kunna köra om och en fotboll som sparkas iväg har något gemensamt alla accelereras och alla påverkas av en yttre kraft. F luft F tyngd En kraft har både storlek och riktning. Här verkar tyngdkraften, F tyngd, nedåt och luftmotståndet, F luft, som bromsar rörelsen, uppåt (observera att pilarnas längd inte är proportionella mot värdena i texten). Den resulterande kraften är: F res = F tyngd F luft som är riktad nedåt. Ett föremål kan naturligtvis påverkas av flera krafter samtidigt. I exemplen ovan påverkas föremålen av tyngdkraft och luftmotstånd. Vi är intresserade av summan av alla krafter på föremålet. Denna kraft kallar vi för den resulterande kraften, F res, på föremålet. När vi ska räkna med krafter, måste vi ta hänsyn till att krafterna har både storlek och riktning. I exemplet med det fallande äpplet kommer den resulterande kraftens storlek att vara skillnaden mellan den nedåtriktade tyngdkraften och den uppåtriktade bromskraften orsakad av luftmotståndet, F res = F tyngd - F luft. Om vi t.ex. har att F tyngd =,4 N och F luft = 0,0 N så är F res =, N riktad neråt. Kraftlagen Newton upptäckte att det inte fanns något direkt samband mellan hastighet och kraft. Det gör det däremot mellan acceleration och kraft ju större kraft ett föremål påverkas av desto större är dess acceleration. Detta samband brukar kallas kraftlagen eller Newtons andra lag: Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. Newton gav en matematisk beskrivning av sambandet mellan acceleration och kraft: F Bilen accelererar i samma riktning som den resulterande kraften. F res = m a Här är F res den resulterande kraften på föremålet, m föremålets massa och a den acceleration föremålet får under kraftpåverkan. Ett föremål med stor massa behöver alltså en större kraft för att få samma acceleration som ett föremål med liten massa. 04 Krafter och dynamik

5 När bilen bromsar känns det som om vi slungas framåt. Vad som egentligen händer är att medan bilen bromsar fortsätter vi framåt med samma hastighet som bilen tidigare hade. Kraft och acceleration Ett föremål som faller fritt påverkas bara av tyngdkraften (om luftmotståndet försummas). Tyngdkraften blir alltså den resulterande kraften, F res = m g. Med hjälp av kraftlagen har vi att F res = m a. Det innebär att mg = ma och att a = g = 9,8 m/s. Tröghetslagen Newton visade att ett föremål kan röra sig utan att det påverkas av någon kraft. Om bara en kraft sätter föremålet i rörelse, fortsätter det att röra sig tills någon annan kraft stoppar det. En flicka på skridskor som glider fram på isen kommer nära en sådan beskrivning. För att komma igång måste hon påverkas av någon kraft hon kan bli ivägknuffad eller själv sätta fart. Sedan kan hon glida fram över isen utan att hon påverkas av någon resulterande kraft. Om det inte fanns något luftmotstånd eller friktion mot isen skulle hon fortsätta att röra sig så länge hon inte bromsar själv eller bromsas av något. Flickan på skridskor är ett exempel på tröghetslagen eller Newtons första lag: Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. Vi kan visa att detta stämmer genom att utnyttja kraftlagen. Om den resulterande kraften på ett föremål är 0 N så får vi att: 0 = m a Eftersom detta ger a = 0 får föremålet accelerationen 0 m/s. Det innebär att om föremålet redan rör sig, fortsätter det att röra sig med samma hastighet. Om föremålet är i vila (ligger stilla), förblir det i vila S Krafter och dynamik 05

6 Lagen om aktion och reaktion Lagen om aktion och reaktion beskriver vad som händer då två föremål påverkar varandra med krafter. Om du t.ex. trycker din handflata mot en kamrats handflata påverkar du henne med en kraft som är riktad bort från dig. Samtidigt påverkar din kamrat dig med en lika stor och motriktad kraft. Observera att den första kraften påverkar din kamrat, den andra dig. Detta är ett exempel på lagen om aktion och reaktion eller Newtons tredje lag: Två föremål påverkar varandra med krafter som är lika stora och motsatt riktade. Bilden visar ett annat exempel på Newtons tredje lag. Om en boll kastas mot en vägg påverkar bollen väggen med en viss kraft, och väggen påverkar bollen med en lika stor motriktad kraft. Verkan av kraften på bollen blir att den vänder tillbaka. Bollen påverkas av en kraft åt vänster och väggen av en kraft åt höger. Dessa båda krafter är lika stora och motriktade. Experiment Kraftlagen En vagn placeras på en luftkuddebana. I vagnen fästs ett snöre som via ett hjul leder till ett antal tyngder som kan accelerera vagnen. Häng t.ex. en 0-gramsvikt i snöret och placera två 0-gramsvikter på vagnen. Släpp sedan vagnen, mät hastigheten och beräkna accelerationen. Placera sedan en 0-gramsvikt i snöret och 30 g på vagnen och upprepa. Rita hur accelerationen beror av den accelererande kraften. Att fundera över: Varför är det viktigt att flytta tyngder mellan snöre och vagn? Försöket kan upprepas med konstant dragkraft men varierande massa på vagnen. Hur beror accelerationen på massan? 06 Krafter och dynamik

7 Experiment Lagen om aktion och reaktion Du behöver en våg, en liten bägare, en tyngd och en dynamometer. Fyll bägaren till drygt hälften med vatten och placera den på vågen. Fäst vikten i dynamometern och sänk ner vikten i vattnet. Studera vad som händer med vågens och med dynamometerns utslag då du sänker ned vikten. Förklara först det du ser och gör sedan mätningar för att kontrollera att din förklaring stämmer. 3 EXEMPEL En kula, vars massa är 50 g, rullar nerför ett lutande plan. Kulans acceleration bestäms till,4 m/s. Hur stor är den resulterande kraften på kulan? EXEMPEL Lisa står i en hiss som accelererar uppåt med, m/s. Lisa väger 5 kg. a) Hur stor är den accelererande kraften på Lisa? b) Hur stor är den uppåtriktade kraften på Lisa? c) Med hur stor kraft pressar Lisa mot golvet när hissen accelererar och när den går med konstant fart? Experiment Fundera över hur du ska kunna mäta accelerationen hos en hiss med hjälp av en badrumsvåg. Genomför experimentet! Kulans massa är m = 50 g = 0,50 kg. Kraftlagen ger: F = m a = (0,50,4) N = 0,36 N Svar: Den resulterande kraften utmed planet är 0,36 N. a) Enligt kraftlagen är den accelererande kraften på Lisa: F res = m a = 5, N = 6,4 N b) Eftersom Lisa påverkas av sin tyngd neråt, så gäller att: F res = F upp - F g (där F g = m g) Det innebär att: F upp = F g + F res = (5 9,8 + 6,4)N (50,6 + 6, 4)N 573N c) Den kraft Lisa påverkar golvet med är lika stor som den kraft golvet påverkar Lisa med och motriktad. När hissen accelererar påverkar alltså Lisa golvet med en nedåtriktad kraft på 570 N. Då hissen går med konstant fart påverkar Lisa golvet med en nedåtriktad kraft som är lika stor som hennes tyngd, dvs. ca 50 N, och golvet påverkar Lisa uppåt med en lika stor kraft. Svar: a) Den accelererande kraften är 6 N. b) Den uppåtriktade kraften är 570 N. c) Hissen påverkas av en neråtriktad kraft, som vid acceleration är 570 N och vid konstant fart 50 N S Lös uppgifterna på sidan 8 Krafter och dynamik 07

8 Krocktest. Impulslagen För att ett föremål ska kunna ändra sin hastighet krävs att det påverkas av en resulterande kraft. Ju längre denna kraft får verka, desto större blir hastighetsändringen. Om en bil kör in i en vägg, så som krocktestet på bilden visar, är det en fördel om kraften får verka under längre tid. Ju längre tid hastighetsförändringen tar, desto mindre blir kraften som påverkar personerna i bilen. Moderna bilar är därför försedda med deformationszoner som gör att krocktiden förlängs. Utöver detta är moderna bilar utrustade med krockkuddar som fördelar kraften och på så sätt ytterligare förlänger den tid som kraften verkar. Impuls När ett föremål påverkas med en resulterande kraft accelereras det. Sambandet mellan kraft och acceleration ges av kraftlagen, F = m a. Om accelerationen skrivs som a = Dv/Dt kan kraftlagen tecknas: F = m v t F Dt = m Dv Sambandet F Dt = m Dv brukar kallas impulslagen. 08 Krafter och dynamik

9 Produkten av kraften, F, och den tid kraften verkar, Dt, kallas impuls, I, och har enheten Ns: I = F Dt Rörelsemängd Produkten av massa, m, och fart, v, kallas rörelsemängd, p, och har enheten kgm/s: p = m v Impulslagen kan alltså skrivas som: F Dt = m Dv I = Dp eller formuleras i ord: Impulsen är lika stor som förändringen av rörelsemängd. Exempel på impuls En trapetskonstnär på cirkus har oftast ett säkerhetsnät under sig för att kunna överleva ett eventuellt fall. Om trapetskonstnären misslyckas är rörelsemängdsändringen densamma, p = m Dv, oavsett om det finns ett säkerhetsnät eller inte. Av impulslagen ser du att: F Dt = m Dv Skillnaden mellan de båda fallen är att utan säkerhetsnät verkar en stor ( dödande ) kraft under en kort tid. Med säkerhetsnät är Dt stort kraften verkar under lång tid och är ofarlig för trapetskonstnären. För att tydliggöra skillnaderna kan du tänka dig en bil som bromsas till stillastående genom att köra in i en bergvägg eller i en höstack. I båda fallen är rörelsemängdsändringen lika stor, men om inbromsningstiden är hundra gånger längre för bilen som kör in i höstacken, är kraften endast en hundradel ( eftersom impulsen är konstant ) S I många fall kan impulslagen användas istället för kraftlagen. Detta är speciellt lämpligt då hastigheter är kända eller ska beräknas. Krafter och dynamik 09

10 Kollision med en vagn Vi ska nu visa ett experiment med vars hjälp impulslagen kan verifieras. I försöket rör sig en liten vagn mot och kolliderar med en kraftgivare. Efter kollisionen vänder vagnen och rullar tillbaks i motsatt riktning. Kraften som funktion av tiden. Genom att låta vagnen kollidera med en kraftgivare kan den variation i kraft som påverkar vagnen vid kollisionen registreras och impulsen kan beräknas. Om vagnen dessutom förses med en reflektor kan vagnens rörelse studeras med hjälp av en ultraljudsdetektor. På så sätt kan rörelsemängden beräknas. Bilderna visar dels kraften, dels hastigheten som funktion av tiden. Kraften växer upp mot ett maxvärde för att sedan avta ned till noll när vagnen släpper kontakten med givaren. Hastigheten ändras direkt efter kollisionsögonblicket eftersom vagnen ändrar rörelseriktning. Tidsskalan är väsentligt olika i de båda bilderna. Hela kraftkurvan utspelas under den korta tid då hastigheten ändrar riktning. Hastigheten som funktion av tiden. Rörelsemängdsändring Genom att placera markören på lämpliga ställen i v( t )-grafen kan vagnens hastighetsförändring vid kollisionen bestämmas. Av de båda bilderna framgår att hastighetsförändringen är: Dv = ( -0,33 0,464 ) m/s = -0,787 m/s Vagnens massa är 35 g. Rörelsemängdsändringen blir alltså : m Dv = -,35 0,787 kgm/s -0,893 kgm/s Det negativa tecknet ska tolkas så att hastighetsändringen och rörelsemängdsändringen är motsatta positiv rörelseriktning, dvs. motsatt vagnens ursprungliga rörelseriktning. Hastigheten vid t =,997 s är 0,464 m/s. Hastigheten vid t =,96 s är -0,33 m/s. 0 Krafter och dynamik

11 kraft F Dt F 5 Dt EXEMPEL 3 tid tid Impulsen fås genom att summera mätvärden och multiplicera med tidsintervallet mellan mätpunkterna (se översta bilden på föregående sida). En bil, som väger 950 kg, påverkas under 5,0 s av en accelererande kraft som är, kn. a) Hur stor blir impulsen på bilen? b) Hur stor rörelsemängdsändring får bilen? c) Hur stor blir bilens fartändring? Impuls Om kraften varit konstant, skulle vagnens impuls kunna beräknas som arean av rektangeln under kraftkurvan. I detta fall varierar kraften med tiden. Du kan därför betrakta kraftkurvan som sammansatt av smala rektanglar, vars bas är tidsintervallet mellan mätpunkterna ( 0,005 s ). Om du antar att kraften som registrerats av kraftgivaren är konstant under ett sådant intervall, kan impulsen bestämmas som: F Dt + F Dt + F 3 Dt F n Dt = Dt ( F + F + F F n ) Genom att summera mätvärdena som registrerats av kraftgivaren och sedan multiplicera värdet med 0,005 s får du värdet 0,898 Ns på impulsen på kraftgivaren. Enligt Newtons tredje lag är impulsen på vagnen motriktad ( -0,898 Ns ), vilket stämmer bra överens med den registrerade rörelsemängdsändringen ( se föregående sida ). Om ni gjort experimentet kan det vara intressant att göra om det, fast med en liten skumgummibit fasttejpad i fronten på vagnen. Försök få vagnen att träffa med samma hastighet och jämför sedan kurvorna. Vad är detta exempel på? a ) Impulsen är: I = F Dt =, 0 3 5,0 Ns = 5,5 0 3 Ns b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 0 3 kgm/s, lika stor som impulsen. c ) Eftersom du vet rörelsemängdsändringen och massan, kan fartändringen beräknas: 550, Dv = 950 Svar : a ) Impulsen är 5,5 0 3 Ns. 3 m/s 5,79 m/s 0,8 km/h b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 0 3 kgm/s. c ) Fartändringen är km/h S Lös uppgifterna på sidan 9 Krafter och dynamik

12 Stöt Många händelser kan beskrivas som en kollision mellan två eller flera föremål. Exempel på kollisioner är t. ex. en krock mellan två biljardkulor, mellan en atomkärna och en alfapartikel, mellan jorden och en meteorit eller mellan två bilar i trafiken. En kollision ( eller en stöt ) innebär inom fysiken en händelse då två eller flera föremål kortvarigt växelverkar med varandra. Det kan vara mycket komplicerat att beskriva de krafter som verkar i själva kollisionsögonblicket. Lyckligtvis kan man ändå förutsäga vad som kommer att inträffa efter en stöt om man bara har tillräckligt med information om de inblandade föremålens rörelser före stöten. Rörelsemängd är ett centralt begrepp vid diskussion av stötförlopp eftersom rörelsemängden bevaras vid stöten. Det innebär att den sammanlagda rörelsemängden hos föremålen före stöten är lika stor som efter stöten. Krafter och dynamik

13 ex 4 ex 3 s 3 s 4ö s 4n Rak central stöt Du kommer i fortsättningen att i huvudsak studera raka centrala stötar. Föremålen rör sig då hela tiden längs samma riktningslinje. v f v f F F v e v e m m m m m m Föremålens rörelse före stöten. Kraftverkan på föremålen under stöten. Föremålens rörelse efter stöten. Bilderna ovan visar vad som händer vid kollisionen. Under kollisionen verkar kraften F på det vänstra föremålet och F på det högra. Krafterna är, i enlighet med Newtons tredje lag, lika stora och motriktade och verkar under lika lång tid, Dt. Om du tillämpar impulslagen på det vänstra föremålet får du att: F Dt = m v e m v f och på motsvarande sätt för det högra föremålet: F Dt = m v e m v f Eftersom de båda krafterna är motriktade är F = F. Om du summerar krafterna blir alltså: F Dt + F Dt = 0 = m v e m v f + m v e m v f Detta kan du skriva som : m v f + m v f = m v e + m v e I vänstra ledet står summan av rörelsemängderna före stöten och i högra ledet summan av rörelsemängderna efter stöten. Rörelsemängderna är alltså lika stora före och efter stöten. Detta gäller för alla stötar: Rörelsemängden bevaras vid en stöt S Krafter och dynamik 3

14 s 3 ex 3 s 4ö s 3 s 4n s 4ö s 4n Före stöten: v f 0 m/s m m Efter stöten: v e v e m m Stöt vid special fallet v f = 0. Är stöten fullkomligt elastisk gäller att v e - v e = v f - 0, den relativa hastigheten bevaras. Vad händer med v e och v e om m = m? Det är viktigt att du tänker på att rörelsemängden har riktning. Om föremålen rör sig åt olika håll, kommer alltså en rörelsemängd att betraktas som positiv och en annan som negativ. I allmänhet bevaras inte rörelseenergin vid en stöt. Vid de flesta kollisioner uträttas ett deformationsarbete och en del av rörelseenergin omvandlas till värme. Den totala rörelseenergin minskar därför oftast vid en stöt. I den mikroskopiska världen ( vid kollisioner mellan partiklar ) förekommer stötar där rörelseenergin bevaras. Sådana stötar kallas fullkomligt elastiska. Ibland approximerar man och säger att en stöt, t. ex. mellan två vagnar med fjädrar eller repellerande magneter, är så gott som elastisk. Vid en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten. Det innebär att: v f v f = v e v e Observera att detta enbart gäller då stöten är fullkomligt elastisk. Rörelseenergin och den relativa hastigheten bevaras vid en fullständigt elastisk stöt. Vid vissa stötar häftar föremålen ihop vid kollisionen. En stöt där detta sker kallas fullkomligt oelastisk. Sammanfattningsvis kan sägas att oavsett om stöten är fullkomligt elastisk eller fullkomligt oelastisk eller något mellanliggande så bevaras alltid rörelsemängden. Endast om stöten är fullkomligt elastisk bevaras rörelseenergin och därmed också den relativa hastigheten. Experiment Rörelsemängd Låt två personer som sitter på varsin lättrullad kontorsstol ta spjärn mot varandra med kraftigt böjda armar och skjuta isär stolarna. Kan sträckorna utnyttjas för att visa att rörelsemängderna hos de båda stolarna är lika och motriktade? Låt gärna personer med olika massor upprepa försöket och mät upp de sträckor som stolarna rullar. Förklara experimentet med hjälp av impulslagen och energiresonemang. 4 Krafter och dynamik

15 ex 4 ex 3 s 3 EXEMPEL 4 Två vagnar rör sig mot varandra och kolliderar i en frontalkollision. Vid kollisionen fastnar vagnarna i varandra. a) Hur stor fart får vagnarna efter stöten? b) Hur förändras den totala rörelseenergin hos vagnarna? Före stöten:,5 m/s -,3 m/s 0,50 kg 0,80 kg Efter stöten: v (0,50 + 0,80) kg a ) Rörelsemängden bevaras : ( 0,50,5 0,80,3 ) kgm/s = 0,430 kg v v 0,33 m/s b ) Den totala rörelseenergin före kollisionen är : ,, + 003,, J 0, 433 J Efter kollisionen är den totala rörelseenergin: 0, , J 0, 03 J Den totala rörelseenergin minskar från 0,433 J till 0,03 J, dvs. med ca 95 %. Svar : a ) Vagnarna får farten 0,33 m/s åt den tyngre vagnens håll. b ) Rörelseenergin minskar med ca 95 %, från 0,43 J till 0,0 J s 4ö s 4n ex 4 ex 4 EXEMPEL 5 En kollision mellan två vagnar med fjädrande stötfångare på en luftkuddebana är så gott som elastisk. Före kollisionen rör sig vagn A med massan 350 g och farten,5 m/s in mot vagn B med massan 70 g som står stilla. Vilka farter får vagnarna efter stöten? Före stöten:,5 m/s Efter stöten: 0 m/s 0,350 kg 0,70 kg v e v e Alla enheter anges i kg resp. m/s. Vagn A har hastigheten u efter stöten och vagn B har hastigheten v efter stöten. Rörelsemängden bevaras : 0,350,5 = 0,350 v e + 0,70 v e Eftersom det är en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten :,5 = v e v e v e = v e +,5 Sätt in v i den första ekvationen : 0,350,5 = 0,350 v e + 0,70 ( v e +,5 ) 0,875 = 0,350 v e + 0,70 v e + 0,675 0,00 = 0,60 v e v e 0,3 v e,8 Svar : Efter stöten har vagn A farten 0,3 m/s och vagn B,8 m/s S ex 3 0,350 kg 0,70 kg Lös uppgifterna på sidan 9 ex 3 Krafter och dynamik 5 s 3

16 F F N F friktion Så länge som den kraft man puttar med understiger den fullt utvecklade friktionskraften är kraft och friktionskraft lika stora. Den resulterande kraften på bilen är noll bilen rör sig inte. F F friktion När den kraft man puttar med överstiger den fullt utbildade friktionskraften är den resulterande kraften riktad framåt bilen accelererar. F tyngd Friktion Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas alltid av ett visst motstånd. Denna motståndskraft orsakas av ojämnheter i ytan hos föremålet. När ytorna är i kontakt, griper ojämnheterna tag i varandra. Denna motståndskraft kallas friktionskraft. Friktionskraftens storlek beror av strukturen hos de båda ytor, som är i kontakt med varandra. Däremot beror den inte nämnvärt på hur snabbt föremålet förflyttas längs ytan. Om ett föremål ligger stilla och man utsätter det för en kraft parallell med underlaget kommer föremålet att börja röra sig först då kraften man drar med blir tillräckligt stor. Tänk dig att du ska försöka putta igång en bil som fått motorstopp. Innan du börjar putta är friktionskraften = 0 N. När du börjar putta och successivt ökar kraften, ökar även friktionskraften friktionskraften är hela tiden lika stor som dragkraften och bilen rör sig inte ur fläcken. Men när du tar i på allvar kan inte friktionskraften längre motverka den kraft du puttar med. Man säger att friktionskraften är fullt utvecklad den kan inte bli större. Eftersom kraften du puttar med är större än friktionskraften börjar bilen röra sig. I och med att bilen rör sig kan du fortsätta att putta med en kraft som är lika stor som friktionskraften. Bilen fortsätter då att röra sig med konstant fart. Vad händer om du puttar med en större eller mindre kraft? Låt oss studera en situation där ett föremål ligger på ett horisontellt bord. Tyngden, F tyngd, påverkar föremålet med en nedåtriktad kraft. Från bordet verkar en uppåtriktad kraft som är lika stor och motsatt riktad. Denna kraft kallas normalkraften, F N. Normalkraften är alltid vinkelrätt mot underlaget, även om underlaget inte är horisontellt. Man kan visa att den fullt utvecklade friktionskraften är proportionell mot normalkraften. Detta gäller även då underlaget lutar. Vi kan formulera detta som: F friktion = μ F N 6 Krafter och dynamik

17 Exempel på ytor Stål mot is 0,0 Skida mot snö 0,03-0,06 Trä mot trä 0,-0,7 Glas mot glas 0,4 Bildäck mot isbelagd asfalt 0,0 Bildäck mot våt asfalt 0,5 Bildäck mot torr asfalt 0,7 Gummi mot betong,0-,5 EXEMPEL 6 En trälåda med äpplen står på ett trägolv. Lådan med äpplen väger 0,0 kg. Friktionstalet mellan de båda ytorna är 0,65. Tänk dig att du drar i lådan med en kraft som är parallell med golvet. Hur stor är friktionskraften mellan lådan och golvet om du drar i lådan med kraften a) 85 N b) 40 N EXEMPEL 7 Lådan i föregående exempel kommer ut på ett golv där det räcker med kraften 85 N för att flytta den med konstant fart längs golvet. Hur stort är friktionstalet mellan ytorna nu? μ Konstanten μ kallas friktionstalet. Friktionstalets storlek beror på de båda kontaktytornas struktur. Ju skrovligare de är, desto större. Friktionstalet är dimensionslöst, det saknar alltså enhet. Om du löser ut konstanten μ ur sambandet: m = F friktion FN ser du att m saknar enhet. I tabellen ser du några olika exempel på friktionstal. Eftersom en bils bromskraft beror på friktionstalet, ser du tydligt hur bromskraften snabbt kan förändras när det regnar och fryser. Normalkraften på lådan är lika stor som lådans tyngd: F N = m g = 0 9,8 N = 96 N Den fullt utvecklade friktionskraften är alltså: F f = μ F N = 0,65 96 N = 7,4 N 30 N a) Om jag drar i lådan med kraften 85 N, är friktionskraften lika stor och motriktad, 85 N. Lådan befinner sig alltså fortfarande i vila. b) Om jag drar i lådan med kraften 40 N, överstiger dragkraften den fullt utvecklade, vilken är 30 N. Lådan kommer alltså att röra sig med den accelererande kraften 0 N. Svar: a) Friktionskraften är 85 N. b) Friktionskraften är 30 N. Eftersom lådan flyttas med konstant fart om dragkraften är 85 N, är friktionskraften lika stor som dragkraften, dvs. 85 N. Vi kan beräkna friktionstalet μ ur sambandet F f = μ F N : Ff 85 N μ = = 043, F 96 N N Svar: Friktionstalet är 0, S Lös uppgifterna på sidan 30 Krafter och dynamik 7

18 A B C F fjäder F fjäder = 0 F fjäder x x jämviktsläge Hookes lag Om vi vill förlänga eller pressa samman en fjäder måste vi påverka den med en kraft. Om vi försöker pressa samman en fjäder känner vi att fjädern pressar tillbaka, vilket är helt i överensstämmelse med Newtons tredje lag. Om vi å andra sidan drar ut en fjäder upptäcker vi att fjädern drar tillbaka. Denna kraft kallas fjäderkraften. Man kan visa att fjäderkraften är proportionell mot fjäderns förlängning eller hoptryckning från jämviktsläget. Sambandet kallas Hookes lag och skrivs: F fjäder = k x Här motsvarar x förlängningen och k kallas fjäderkonstanten. EXEMPEL 8 En vikt med massan m hänger i en fjäder med fjäderkonstanten k. Fjädern förlängs då sträckan x. a) Hur stor är den resulterande kraften? b) För en fjäder blir förlängningen cm då fjädern belastas med en vikt med massan 50 g. Hur stor är fjäderkonstanten? a) Då vikten är i jämvikt är den uppåtriktade kraften lika stor som den nedåtriktade kraften, dvs. k x = m g. Den resulterande kraften är alltså 0 N. b) Enligt texten är x = cm = 0, m och m = 50 g = 0,50 kg. Ekvationen ovan ger då att: mg k = 0, 50 98, N = 0, 5 N/m x 0, 0 m Svar: a) Den resulterande kraften är 0 N. b) Fjäderkonstanten är 0 N/m. F fjäder = k x F tyngd = m g Lös uppgifterna på sidan 30 8 Krafter och dynamik

19 m m F F r Torsionsvåg. Krafter på avstånd Vi har nu i huvudsak studerat kraftverkan mellan föremål som är i kontakt med varandra. Kraftverkan kan också ske på avstånd, dvs. utan att föremålen är i kontakt med varandra. Exempel på detta är gravitationslagen och Coulombs lag. Det finns flera krafter som påverkar på avstånd. I Orbit återkommer vi till dessa. Gravitationslagen Jorden påverkar dig med en kraft oavsett om du står på marken eller hoppar upp i luften. Och på samma sätt som jorden och månen påverkar varandra med lika stora, motsatt riktade krafter, så påverkar du jorden med en lika stor kraft som den påverkar dig. Enligt Newtons gravitationslag beror attraktionskraften av de ingående kropparnas massor och avståndet mellan dem: F G m = m r Här står m och m för de båda kropparnas massor och r för avståndet mellan deras centra. Proportionalitetskonstanten G 6, Nm /kg. När Newton 687 publicerade sina rön som gav gravitationslagen fanns det inga möjligheter att bestämma gravitationskonstanten. Det dröjde över 00 år innan den engelske fysikern och kemisten Henry Cavendish kunde bestämma G med hjälp av en torsionsvåg En torsionsvåg består av en arm med blykulor i ändarna som är upphängd i en tunn tråd. Om två andra blykulor närmas de som ligger i ändan på armen kommer de att attrahera varandra och armen kommer att svänga någon bråkdels grad mot blykulorna. När Cavendish bestänt gravitationskonstanten fick man en möjlighet att beräkna jordens massa och densitet och man förvånades då av att densiteten hos jorden var mycket större än jordskorpans densitet. Detta ledde till att man fick revidera de teorier som fanns om hur jordens inre var uppbyggt S Krafter och dynamik 9

20 Q F F q Coulombs lag Som du tidigare sett i kapitel 4, påverkar två laddade partiklar varandra. Har laddningarna samma tecken repellerar partiklarna varandra, annars attraherar de varandra. Enligt Coulombs lag beror attraktionskraften av de ingående partiklarnas laddningar och avståndet mellan: r F k Q = q r Här betecknar F kraften, som verkar på var och en av laddingarna, Q och q laddningarna hos respektive punktladdning och r avståndet mellan deras centra. Konstanten k har värdet k = 8, Nm /C. EXEMPEL 9 Utnyttja din egen tyngd och tabellvärdet för jordens diameter för att bestämma jordens massa. Min egen massa betecknas m. Jordens massa betecknas M. Vid jordytan är min tyngd F tyngd = m g där g = 9,8 m/s som orskas av jordens attraktionskraft: F = G m M attr R där R är jordens radie. Jordens diameter vid ekvatorn är 757 km. Radien är alltså R 6,8 0 6 m. Eftersom jag befinner mig vid jordens yta är radien detsamma som avståndet till jordens centrum. Men jordens attraktionskraft är min tyngd. Alltså är: m g G m = M R Dividera bägge sidor med m: g = G M R Lös ut M: M = g R 98, ( 6, 38 0 ) G 6670, 6 kg 5, kg Svar: Jordens massa är ca 6,0 0 4 kg. Lös uppgifterna 88-8 på sidan 30 0 Krafter och dynamik

21 Var ligger höjdhopparens tyngdpunkt? F friktion F luft F driv På bilen verkar den accelererande kraften F acc i framåtrikningen : F acc = F driv F friktion F luft Kraftresultant Om flera krafter verkar på ett föremål, kan vi alltid slå samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten. De krafter som adderas kallas komposanter. Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter som verkar på föremålet har tillsammans. Genom att bestämma resultanten förenklar vi beräkningarna, eftersom vi inte behöver ta hänsyn till många olika krafter, utan endast en. Tyngdkraften påverkar alla föremål på jorden. Men tyngdkraften på ett föremål med utsträckning är egentligen inte en enda kraft. Det är många små krafter som påverkar kroppens beståndsdelar. Vi bör rentav se tyngdkraften som resultanten till alla de krafter som påverkar föremålet. Tyngdkraftens angreppspunkt kallar vi för föremålets tyngdpunkt. Vi har redan i tidigare avsnitt sett hur man kan bestämma resultanten till krafter som verkar längs samma riktningslinje. I exemplet med det fallande äpplet verkar fruktens tyngd, F tyngd, nedåt och luftmotståndet, F luft, bromsar rörelsen. Ett annat exempel är när vi skjuter en kundvagn framför oss i snabbköpet. Vi påverkar vagnen framåt med en viss kraft, och vagnen bromsas av en friktionskraft. Om dessa båda krafter är lika stora, rullar kundvagnen med konstant fart resultanten till de bägge krafterna är 0 N. En bil som accelererar vid omkörning påverkas av en resulterande kraft i bilens riktning. Motorns drivande kraft verkar genom friktion mellan hjulen och vägen framåt. Den bakåtriktade, bromsande kraften orsakas av luftmotstånd och friktion. Kraftresultanten är alltså större än 0 N och framåtriktad bilen accelererar alltså. Om krafterna inte verkar längs samma riktningslinje blir det lite svårare att bestämma resultanten. Krafterna adderas, men nu måste du även ta hänsyn till krafternas riktning. Detta inser du om du tänker dig att du vill addera två krafter vars storlek är t.ex. 3 N och 5 N. Beroende på hur krafterna är riktade, får resultanten olika storlek och riktning. I de två bilderna nedan kan du enkelt ta reda på resultanten, men om krafterna bildar en annan vinkel måste du använda vektoraddition (se nästa sida) S 3 N 5 N 3 N 5 N Krafter och dynamik 3 N

22 Vektoraddition När du ska addera två vektorer, konstruerar du ett parallellogram med de båda vektorerna som sidor. Storleken av resultanten får du genom att rita en skalenlig figur och mäta diagonalen som utgår från den gemensamma angreppspunkten. Om krafterna bildar rät vinkel med varandra, kan du beräkna resultantens storlek med hjälp av Pytagoras sats. 3 N 3 N 5 N 5 N För att kunna räkna ut resultantens storlek i den högra bilden, måste du känna till krafternas storlek och vinkeln mellan dem. Den matematik du behöver för att klara av en sådan beräkning ingår i senare matematikkurser. Du kan dock bestämma resultanten redan nu genom att rita en skalenlig figur och mäta. Om krafterna verkar på olika punkter av ett föremål, förflyttar du dem till en tänkt, gemensam angreppspunkt. Om du tänker dig att du drar i ett föremål med hjälp av ett rep inser du att detta är tillåtet det spelar ju ingen roll om du fattar tag i repet närmare punkten där repet är fästat eller längre bort, så länge du drar lika mycket och i samma riktning som tidigare. häst Bilden visar två krafter, F och F, som verkar på olika punkter på ett föremål. Genom att förflytta krafterna får du en gemensam angreppspunkt. F F F flodpråm F F F + F F flodhäst häst Krafter och dynamik

23 EXEMPEL 0 Tre krafter verkar på kulan i bilden. Hur stor är krafternas resultant? EXEMPEL 5 N 3 N 4 N Två krafter verkar på ett föremål. Den ena kraften har storleken 4,8 N och den andra 3,4 N. Hur stor är resultanten till krafterna: a) om vinkeln är rät? b) om vinkeln är trubbig (se figur)? Resultanten till de båda krafterna som är riktade åt höger är 3 N + 4 N = 7 N. Den totala resultanten är då 7 N 5 N = N. Resultanten är riktad åt höger. Svar: Resultanten är N riktad åt höger. a) Riktningen av den resulterande kraften framgår av bilden. Resultantens storlek bestäms med Pytagoras sats: b) De båda krafterna ritas i skala. Om du låter N motsvara cm blir det enkelt att avläsa kraften. Om du konstruerar ett parallellogram kan du mäta resultanten till,5 cm, vilket motsvarar 4,3 N. Svar: Figurerna ovan visar resultanternas riktningar. Kraftens storlek är 5,9 N resp. 4,3 N. Lös uppgifterna på sidan 30 N R res = 48, + 34, N 5,9 N S Krafter och dynamik 3

24 F N F res 0 mg a) Lutningsvinkeln 0. F N F res mg 30 b) Lutningsvinkeln 30. F N F res mg 40 c) Lutningsvinkeln 40. hp hp hp Lutande planet Bild a visar ett föremål som befinner sig på ett lutande plan. Om du bortser från friktionskrafter, påverkas föremålet av två krafter: tyngdkraften (mg) och normalkraften (F N ) från underlaget. Tyngdkraften är alltid riktad mot jordens centrum och därför riktad vinkelrätt mot horisontalplanet (som kallats hp i bilden). Normalkraften är alltid vinkelrät mot underlaget. Båda krafterna har för enkelhets skull ritats med samma startpunkt i föremålets tyngdpunkt. De båda krafterna, mg och F N, kan adderas till en resulterande kraft, F res, som är riktad utmed planet. Lägg märke till att F res inte är en ytterligare kraft som påverkar föremålet, utan en kraft som ersätter de båda andra. Parallellogramkonstruktionen av resultanten finns inritad i figuren med hjälp av de streckade linjerna. Föremålet i bilden kommer att accelereras nedåt längs planet på grund av den accelererande kraften, F res. Lutningsvinkeln på planet, som i bilden är 0, bestämmer både den resulterande kraftens, F res, och normalkraftens, F N, storlek. Vad som händer om du ökar lutningsvinkeln framgår av bilderna b och c. Jämför storleken hos normalkrafterna vid de tre lutningsvinklarna, 0, 30 och 40. Vad kan du säga om dem? Vad gäller för den resulterande kraften? Vinkeln mellan tyngdkraften och den streckade linjen vinkelrät mot planet i kraftparallellogrammen är lika stor som planets lutningsvinkel mot horisontalplanet, i den vänstra figuren ovan alltså 30. Försök att visa detta. Med hjälp av trigonometri kan du alltså teckna olika samband mellan lutningsvinkeln och sidorna i den rätvinkliga triangel som utgör halva kraftparallellogrammen. Om du kallar lutningsvinkeln för α gäller att: F F res N sinα= och cosα= mg mg Att täljaren i den senare ekvationens högerled är F N inser du av att den streckade närliggande kateten är lika stor som F N eftersom det är en parallellogram. 4 Krafter och dynamik

25 EXEMPEL Ett föremål med tyngden 5 N ligger på ett glatt lutande underlag med lutningsvinkeln 40. Beräkna normalkraften och den accelererande kraften. Bestäm också föremålets acceleration längs planet EXEMPEL 3 En låda som väger 4,7 kg ligger på ett lutande plan som har lutningsvinkeln 5 mot horisontalplanet. Om lutningsvinkeln ökas det allra minsta börjar lådan glida. Hur stort är friktionstalet mellan lådan och underlaget? Dessa samband ska du inte plugga in som minneskunskap eftersom du direkt kan plocka fram dem trigonometriskt vid behov. Om mg = 5 N och α = 40 är normalkraften: F N = mg cos α = 5 cos 40 9, N På motsvarande sätt blir den accelererande kraften: F res = 5 sin 40 6, N Eftersom friktionen är försumbar gäller enligt kraftlagen att accelerationen blir: F a = res m = 6, m/s g 63, m/s ( 5 / ) Svar: Normalkraften är 9 N, den resulterande kraften 6 N och accelerationen 6,3 m/s. Eftersom lådan precis nätt och jämt ligger kvar är friktionen mellan lådan och underlaget fullt utbildad. Då gäller att friktionskraften F f = μ N, där μ betecknar friktionstalet. Eftersom lådan är i jämvikt är F res = F f. Alltså är F res = μ N. Tillsammans med de båda andra sambanden blir detta: mg sin 5 = μmg cos 5 som kan förenklas till: sin 5 = μ cos 5 μ = sin 5 /cos 5 = tan 5 0,466. Svar: Friktionstalet är 0,47. Observera att uppgiften om lådans massa är onödig för att bestämma friktionstalet. Skulle däremot friktionskraften också varit efterfrågad hade du behövt denna uppgift. Hur stor blir friktionskraften? S Lös uppgift 85 på sidan 3 Krafter och dynamik 5

26 Sammanfattning Newtons första lag tröghetslagen Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. Newtons andra lag kraftlagen Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. Sambandet mellan kraft och acceleration är: F = m a där m betecknar kroppens massa. Newtons tredje lag lagen om aktion och reaktion Två föremål påverkar varandra med krafter som är lika stora och motsatt riktade. Impuls och rörelsemängd Ett föremåls impuls, I, är detsamma som produkten av kraften och den tid som kraften verkar under : Enligt impulslagen är impulsen lika stor som ändringen av rörelsemängden : F Dt = m Dv Impulsen kan beräknas som arean mellan grafen och den horisontella axeln i ett diagram där kraften ritats som funktion av tiden. Stöt Den totala rörelsemängden bevaras vid en stöt. Med detta menas att summan av rörelsemängderna med hänsyn till rörelseriktningar är lika stor före som efter stöten. Detta gäller oavsett om stöten är elastisk eller oelastisk. Vid en fullkomligt oelastisk stöt häftar föremålen samman och rör sig som ett föremål efter stöten. En stor del av den sammanlagda rörelseenergin hos föremålen före stöten omvandlas vid stöten till värme genom deformationsarbete den totala rörelseenergin efter stöten är väsentligt mindre än före stöten. Vid en fullkomligt elastisk stöt bevaras rörelseenergin och den relativa hastigheten. I = F Dt Ett föremåls rörelsemängd, p ges av sambandet : p = m v 6 Krafter och dynamik

27 Friktion Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas av den fullt utbildade friktionskraften F f. Den fullt utbildade friktionskraften beräknas som: F f = m F N där F N är normalkraften från underlaget och μ är friktionstalet. Hookes lag För att dra ut eller trycka samman en fjäder sträckan x, behövs kraften: F = k x där k är fjäderkonstanten. Gravitationslagen Två kroppar med massorna m och m påverkar varandra med attraktionskraften: F G m = m r där r är avståndet mellan de båda kropparnas centra. Gravitationskonstanten G har värdet 6, Nm /kg. Coulombs lag Två partiklar med laddningarna q och q, påverkar varandra med kraften: F k q = q r där r är avståndet mellan de laddade partiklarnas centra. Konstanten k har värdet 8, Nm /C. Kraften är attraktiv om laddningarna har olika tecken, annars repulsiv. Resultant till krafter Om flera krafter verkar på ett föremål, kan man slå samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten. Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter som verkar på ett föremål har tillsammans. Resultanten till krafter med riktningslinjer som skär varandra kan bestämmas genom parallellogramkonstruktion S Krafter och dynamik 7

28 Uppgifter 80 Galileis ränna. Galilei föddes 564 i Pisa. Som 7-åring började han studera medicin men övergav snart detta, eftersom han tyckte naturvetenskap var mer intressant. Ett av de många praktiska försök Galilei utförde var att rulla kulor nerför en ränna. Avsikten med experimentet var att hitta ett samband mellan kulans läge och tiden den rullat. Målet var att kunna ge en matematisk beskrivning av rörelsen. 803 Vid en 00-metersstart mäts löparens acceleration i framåtriktningen till 4,7 m/s. Löparen väger 6 kg. Hur stor är den resulterande kraften på löparen i startögonblicket? 804 En bil med massan, ton accelererar från 50 km/h till 60 km/h på 6,0 s. Hur stor accelererande kraft behövs? I Galileis försöksuppställning slog kulan mot små klockor på vägen ned. a Vilken uppgift tror du att klockorna hade. b Varför är avståndet mellan klockorna allt längre efterhand som kulan rullat längre i rännan? c Beräkna avstånden mellan de övriga klockorna om avståndet mellan de två första är 50 cm. 80 Ett par personer skjuter fart på en bil som fått motorstopp. De lyckas ge bilen en resulterande kraft framåt som är 00 N. Bilens massa är 980 kg. Vilken acceleration får bilen? 805 En fönsterputsare tappar sin spann som väger 850 g. a Hur långt faller spannen under de första 0,59 s av fallet. b Efter en stund bromsas spannen märkbart av luftmotståndet. Om spannens acceleration minskat till 3, m/s, med hur stor kraft påverkar luftmotståndet spannen? 806 Louise väger 60 kg och är på väg upp i en hiss. Hissen börjar med att accelerera med,5 m/s uppåt, fortsätter efter en stund med konstant fart, och bromsar slutligen in till stillastående med accelerationen -, m/s. Med hur stor kraft påverkar Louise hissgolvet när hissen: a accelererar uppåt? b går med konstant fart? c bromsar in? 8 Krafter och dynamik

29 807 En lastbil har massan ton. a Hur stor impuls måste den utsättas för om farten ska ökas från 50 km/h till 90 km/h? b Hur stor medelkraft behövs om fartändringen sker på 5 s? 808 En boll som väger 85 g har den nedåtriktade farten 3,6 m/s precis innan den slår i golvet. Omedelbart efter studsen är den uppåtåtriktade farten,7 m/s. a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring? b Hur stor impuls har bollen påverkats av under studsen mot golvet? c Hur har bollens rörelseenergi förändrats vid studsen? Vart har rörelseenergin tagit vägen? 809 Försök hitta några exempel på olika tekniska lösningar där impulslagen utnyttjas för att ge en liten kraft under lång tid eller för att ge en stor kraft under kort tid. 80 En skytt ligger på en lättrullande vagn och avfyrar en projektil. Projektilen har massan 0,50 g och hastigheten 400 m/s. Skytten väger tillsammans med vagnen och geväret 00 kg. Vilken rekylhastighet får skytten? 8 En lastbil och en personbil kolliderar i en frontalkrock. Lastbilens fart vid kollisionsögonblicket är 40 km/h och personbilens 60 km/h. Lastbilen väger 5, ton och personbilen,3 ton. Vid kollisionen fastnar bilarna i varandra. a Hur stor hastighet har de sammanhängande bilarna omedelbart efter krocken? b Beräkna den totala rörelseenergin före och efter kollisionen. Hur mycket energi omvandlas till värme vid kollisionen? 8 En astronaut på rymdvandring befinner sig 00 m från sin farkost. Han väger 50 kg inklusive utrustning. För att återvända till farkosten avfyrar han sin strålpistol i riktning bort från farkosten. På så sätt påverkas han av kraften 5 N under 6 s. Hur lång tid tar det innan han kommer tillbaka till rymdfarkosten? Bortse från den tid accelerationen tar S Krafter och dynamik 9

30 83 Två vagnar, A och B, hålls samman. Mellan vagnarna är en fjäder hoptryckt. Vagn A har massan 3,0 kg och vagn B har massan 5,0 kg. När fjädern utlöses sätts vagnarna i rörelse. Då vagn A släppt kontakten med fjädern har den hastigheten 0,80 m/s. Hur stor energi var lagrad i fjädern? Fjäderns massa kan försummas. (CP 9) 84 En stålplatta, som väger 50 g, placeras på ett isblock. Hur stor kraft behövs för att skjuta plattan med konstant fart över isen? 85 En skidåkare har i ett visst ögonblick farten 9,0 m/s och börjar glida längs det horisontella underlaget. a Hur långt glider han innan han stannar? b Hur lång tid tar det att stanna? 86 Ett metallstycke som väger 0,50 kg hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 50 N/m. a Rita en figur som visar krafterna på metallstycket då det hänger stilla. b Hur långt är fjädern utdragen, då metallstycket hänger i sitt jämviktsläge? c Tänk dig att du fattar tag i metallstycket och drar neråt så att fjädern förlängs 0 cm. Rita en ny figur som visar krafterna på metallstycket och ange hur stora de olika krafterna är. 87 Ett metallstycke med okänd massa hängs i en fjäder. Fjädern förlängs då med 8,8 cm. Om fjäderkonstanten är 95 N/m, hur stor massa har metallstycket? 88 Anta att du fick möjlighet att befinna dig i en satellit 600 km över jordytan. Hur stor skulle din tyngd vara där jämfört med din tyngd på jorden? 89 Med hur stor kraft påverkas du av en bil, då du står alldeles intill den utan att röra vid den. Gör lämpliga antaganden om massorna och avståndet mellan din och bilens tyngdpunkter. 80 Torsionsvågen på sidan 9 finns på Katedralskolan i Lund. De små blykloten i ändarna på armen väger 0,0 g och de stora blykloten (som kan närmas från sidan) väger,00 kg. När kloten är som närmast varandra är avståndet mellan deras medelpunkter 5,0 cm. Hur stor blir kraften på armen? 8 Redan för 500 år sedan mättes jordens radie (se kap ). Enligt meterdefinitionen är jordens omkrets ungefär km. Tyngdfaktorn, g, vid jordytan är 9,8 m/s. Använd detta och den allmänna gravitationslagen för att beräkna jordens massa. 8 I Bohrs atommodell tänker man sig att väteatomen består av en proton och en elektron som befinner sig 0,05 nm från varandra. a Med hur stor elektrostatisk kraft påverkar protonen elektronen? b Med hur stor gravitationskraft påverkar protonen elektronen? c Jämför de bägge krafterna och dra slutsatser av dina beräkningar. 83 I punkten P verkar två krafter som är vinkelräta mot varandra. Den ena kraften är 5 N och den andra är 35 N. a Bestäm resultanten (både storlek och riktning) till krafterna. b Anta att du ska tillfoga en kraft så att punkten P kommer i jämvikt. Vilken storlek och riktning ska denna kraft ha? 30 Krafter och dynamik

31 84 Två snören S och S är fästade i ett häftstift P (se figuren). I snöre S verkar kraften 4,8 N och i snöre S kraften 6, N. Bestäm resultanten till de båda krafterna genom noggrann konstruktion. P S S 85 En blomkruka som har tyngden 50 N står på en ramp som lutar 5 mot horisontalplanet. Friktionstalet mellan blomkrukan och rampen år 0,68. a Hur stor är friktionskraften mellan krukan och rampen? b Man vill flytta krukan uppför rampen genom att dra den längs med planet. Hur stor är den minsta kraft som behövs för att göra detta? Blandade uppgifter: Till vissa av de blandade uppgifterna måste du göra egna antaganden. Glöm inte att redovisa dessa! 86 En bil med massan 850 kg påverkas av en framåtriktad resulterande kraft på 350 N. Hur stor blir bilens acceleration? 87 Två krafter på 3,5 N och 4,3 N verkar på ett föremål. Beräkna storleken på den resulterande kraften om vinkeln mellan de båda krafterna är Hur stor är rörelsemängden hos en person med massan 75 kg som springer med hastigheten 6,8 m/s? 89 När en hundragramsvikt hängs i en fjäder förlängs fjädern med 3,7 cm. Beräkna fjäderkonstanten. 830 En cyklist med farten 0 km/h påverkas av krafter som beror på friktion och luftmotstånd. Sammanlagt är dessa bakåtriktade krafter 40 N. Hur stor måste den framåtdrivande kraften från cyklisten vara för att cykeln ska fortsätta framåt med konstant fart? 83 9,0 3,0 v /(m/s) 5,0 t /s Grafen visar ett föremåls rörelse under fem sekunder. Föremålet väger kg. Hur stor är den resulterande kraft som behövs? 83 En boll som väger 0 gram faller från ett torn och uppnår sin gränsfart. a Rita en bild med samtliga krafter utritade. b Vad kan du säga om de krafter som verkar på bollen? 833 Eddie vill kontrollera hur stor friktionskraften är när han cyklar. Han slutar därför trampa när farten är 0 km/h. Cykeln rullar då 40 m längs den horisontella vägen. Hur stor är den resulterande friktionskraften om Eddie och cykeln tillsammans väger 85 kg? S Krafter och dynamik 3

Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei

Mekanikens historia. Aristoteles och Galilei Kraft och dynamik 9 Vad innebär Newtons lagar? Hur kan en krockkudde rädda liv? Är det sant att en bil som kör med konstant fart inte påverkas av några krafter? Mekanikens historia Aristoteles och Galilei

Läs mer

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1 11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella

Läs mer

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment G1. Ett föremål med massan 1 kg lyfts upp till en nivå 1,3 m ovanför golvet. Bestäm föremålets lägesenergi om golvets nivå motsvarar nollnivån. G10. En kropp,

Läs mer

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018 Introhäfte Fysik II för Teknisk bastermin ht 2018 Innehåll Krafter sid. 2 Resultant och komposanter sid. 5 Kraft och acceleration sid. 12 Interna krafter, friläggning sid. 15 1 Kraftövningar De föremål

Läs mer

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan

Läs mer

Upp gifter. 1. På ett bord står en temugg. Rita ut de krafter som verkar på muggen och namnge dessa.

Upp gifter. 1. På ett bord står en temugg. Rita ut de krafter som verkar på muggen och namnge dessa. 1. På ett bord står en temugg. Rita ut de krafter som verkar på muggen och namnge dessa. 2. En såpbubbla dalar genom luften med den konstanta hastigheten 1,1 cm/s. Vilken kraft känner den av från luften

Läs mer

Sid Tröghetslagen : Allting vill behålla sin rörelse eller vara i vila. Bara en kraft kan ändra fart eller riktning på något.

Sid Tröghetslagen : Allting vill behålla sin rörelse eller vara i vila. Bara en kraft kan ändra fart eller riktning på något. Björne Torstenson KRAFTER sid 1 Centralt innehåll: Hävarmar och utväxling i verktyg och redskap, till exempel i saxar, spett, block och taljor. (9FVL2) Krafter, rörelser och rörelseförändringar i vardagliga

Läs mer

I stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden.

I stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden. I stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden. 60 Du vandrar omkring bland din mosters äppelträd och får ett jättestort äpple i huvudet. Av din moster (som är

Läs mer

Krafter och Newtons lagar

Krafter och Newtons lagar Mekanik I, Laboration 2 Krafter och Newtons lagar Newtons andra lag är det viktigaste hjälpmedel vi har för att beskriva vad som händer med en kropp och med kroppens rörelse när den påverkas av andra kroppar.

Läs mer

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina

Läs mer

Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03. och. kompletterande teorimateriel. Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan

Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03. och. kompletterande teorimateriel. Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan Planering mekanikavsnitt i fysik åk 9, VT03 och kompletterande teorimateriel Nikodemus Karlsson, Abrahamsbergsskolan Planering mekanikavsnitt, VT 03 Antal lektioner: fem st. (9 jan, 16 jan, 3 jan, 6 feb,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Fysik 1

Repetitionsuppgifter i Fysik 1 Repetitionsuppgifter i Fysik 1 Uppgifterna i detta häfte syftar till att kort repetera några begrepp från fysiklektionerna i höstas. Det är inte på något sätt ett komplett repetionsmaterial, utan tanken

Läs mer

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Institutionen för teknik, fysik och matematik Nils Olander och Herje Westman Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Max: 30 p A-uppgifterna 1-8 besvaras genom att ange det korrekta

Läs mer

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft.

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. Kraft Allmänt om kraft * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. * Det finns olika krafter t ex; tyngdkraft, friktionskraft, motkraft. * Krafter kan

Läs mer

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006 Kinetik Kinematiken: beskrivning av translationsrörelse och rotationsrörelse Kinetik: Till rörelsen kopplas även krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Kinetiken är ganska komplicerad,

Läs mer

Laboration 1 Mekanik baskurs

Laboration 1 Mekanik baskurs Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen

Läs mer

Det finns olika typer av krafter och alla mäts med enheten newton. Enheten newton förkortas med stort N.

Det finns olika typer av krafter och alla mäts med enheten newton. Enheten newton förkortas med stort N. Ugglans NO Fysik - Mekanik Mekanik är en av fysikens äldsta vetenskaper. Den handlar om rörelse och jämvikt och vad som händer när föremål utsätts för krafter. Kunskap om mekanik är nödvändig och grundläggande

Läs mer

Tentamen i Fysik TEN 1:2 Tekniskt basår 2009-04-14

Tentamen i Fysik TEN 1:2 Tekniskt basår 2009-04-14 Tentamen i Fysik TEN 1: Tekniskt basår 009-04-14 1. En glaskolv med propp har volymen 550 ml. När glaskolven vägs har den massan 56, g. Därefter pumpas luften i glaskolven bort med en vakuumpump. Därefter

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter

Läs mer

Instuderingsfrågor Krafter och Rörelser

Instuderingsfrågor Krafter och Rörelser 1. Hur stor tyngd har ett föremål med massan: a) 4 kg b) 200 g Instuderingsfrågor Krafter och Rörelser 2. Hur stor massa har ett föremål om tyngden är: a) 8 N b) 450 N 3. Hur stor är jorden dragningskraft

Läs mer

Provmoment: Ladok-kod: A133TG Tentamen ges för: TGIEA16h, TGIEL16h, TGIEO16h. Tentamens Kod: Tentamensdatum: Tid: 14-18

Provmoment: Ladok-kod: A133TG Tentamen ges för: TGIEA16h, TGIEL16h, TGIEO16h. Tentamens Kod: Tentamensdatum: Tid: 14-18 Naturvetenskap Provmoment: Ladok-kod: A133TG Tentamen ges för: TGIEA16h, TGIEL16h, TGIEO16h 7,5 högskolepoäng Tentamens Kod: Tentamensdatum: 2017-01-12 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Grafritande miniräknare (ej

Läs mer

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r  p = r  F (1) 1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??

Läs mer

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft.

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. Kraft Allmänt om kraft * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft. * Det finns olika krafter t ex; tyngdkraft, friktionskraft, motkraft. * Krafter kan

Läs mer

Kraft, tryck och rörelse

Kraft, tryck och rörelse Kraft, tryck och rörelse Kraft En kraft kan ändra form, fart och rörelseriktning hos föremål. Kraft mäts i Newton, N. Enheten är uppkallad efter fysikern Isaac Newton som levde på 1600- talet. 1 N är ungefär

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen Biomekanik Mekanik Skillnad? Ambition: Att ge översiktliga kunskaper om mekaniska sammanhang och principer som hör samman med kroppsrörelser och rörelser hos olika idrottsredskap. Mekaniken är en grundläggande

Läs mer

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten. Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på

Läs mer

a. b a. b. 7.

a. b a. b. 7. 1. Mattias och hans vänner badar vid ett hopptorn som är 10,3 m högt. Hur lång tid tar det innan man slår i vattnet om man hoppar rakt ner från tornet? 2. En boll träffar ribban på ett handbollsmål och

Läs mer

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål. 1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2

Läs mer

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 GÖTEBORGS UNIVERSITET 181011 Institutionen för fysik Kl 8.30 13.30 Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 Examinator: Hjälpmedel: Betygsgränser: Carlo Ruberto Valfri tabell- och formelsamling

Läs mer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning). STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när

Läs mer

27,8 19,4 3,2 = = 1500 2,63 = 3945 N = + 1 2. = 27,8 3,2 1 2,63 3,2 = 75,49 m 2

27,8 19,4 3,2 = = 1500 2,63 = 3945 N = + 1 2. = 27,8 3,2 1 2,63 3,2 = 75,49 m 2 Lina Rogström linro@ifm.liu.se Lösningar till tentamen 150407, Fysik 1 för Basåret, BFL101 Del A A1. (2p) Eva kör en bil med massan 1500 kg med den konstanta hastigheten 100 km/h. Längre fram på vägen

Läs mer

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. öreläsning 2,dynamik Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. Exempel ges på olika typer av krafter, dessa kan delas in i mikroskopiska och makroskopiska. De makroskopiska krafterna kan

Läs mer

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 GÖTEBORGS UNIVERSITET HT 018 Institutionen för fysik EXEMPELTENTAMEN Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00 Examinator: Hjälpmedel: Carlo Ruberto Valfri tabell- och formelsamling för gymnasiet

Läs mer

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006 Pass 4 Jämvikt, fortsättning Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Statisk jämvikt (vila) Dynamisk jämvikt (rörelse i konstant hastighet) (ge ex)

Läs mer

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt Arbete När en kraft F verkar på ett föremål och föremålet flyttar sig sträckan s i kraftens riktning säger vi att kraften utför ett arbete på föremålet. W = F s Enheten blir W = F s = Nm = J (joule) (enheten

Läs mer

Laboration 2 Mekanik baskurs

Laboration 2 Mekanik baskurs Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Friktionskraft är en förutsättning för att våra liv ska fungera på ett mindre omständigt sätt. Om friktionskraften

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära Jämvikt Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Jämvikt kräver att: Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ F = 0 (translationsjämvikt) Alla verkande

Läs mer

Krafter och Newtons lagar

Krafter och Newtons lagar Mekanik I, Laboration 2 Krafter och Newtons lagar Fysiska föremål, kroppar, kan påverka varandra ömsesidigt, de kan växelverka. För att förklara hur denna växelverkan går till har fysikvetenskapen uppfunnit

Läs mer

Mekanik Laboration 2 (MB2)

Mekanik Laboration 2 (MB2) Institutionen för fysik Ingvar Albinsson/Carlo Ruberto Naturvetenskapligt basår, NBAF00 Laborationen genomförs i grupper om två-tre personer och består av fem olika försök som genomförs i valfri ordning

Läs mer

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Carl Hemmingsson/Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 Fredag 2018-08-23 kl. 8.00-13.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar

Läs mer

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar

Läs mer

1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna.

1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna. Fysik 1 övningsprov 1-13 facit Besvara 6 frågor. Återlämna uppgiftspappret! 1. Beskriv Newtons tre rörelselagar. Förklara vad de innebär, och ge exempel! Svar: I essäform, huvudpunkterna i rörelselagarna..

Läs mer

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Inlämningsuppgift 1 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Oftast använder vi apparater och motorer till att omvandla

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13. Mekanik rovmoment: tentamen Ladokkod: TT8A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: -3- Tid: 9.-3. Hjälpmedel: Hjälpmedel vid tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

Ord att kunna förklara

Ord att kunna förklara Rörelse och kraft Ord att kunna förklara Rörelse Hastighet Acceleration Retardation Fritt fall Kraft Gravitationskraft (=tyngdkraft) Friktionskraft Centripetalkraft Tyngdpunkt Stödyta Motkraft Rörelse

Läs mer

ARBETE VAD ÄR DET? - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

ARBETE VAD ÄR DET? - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. Inledning ARBETE VAD ÄR DET? När vi till vardags pratar om arbete är det en helt annan sak än begreppet arbete i fysikens värld. Ett lönearbete är t ex att arbeta som vaktpost utanför Buckingham Palace.

Läs mer

När du har arbetat med det här ska du kunna: förklara vad som menas med en rörelse genom att ge exempel på hastighet, acceleration och fritt fall.

När du har arbetat med det här ska du kunna: förklara vad som menas med en rörelse genom att ge exempel på hastighet, acceleration och fritt fall. MÅL med arbetsområdet När du har arbetat med det här ska du kunna: förklara vad som menas med en rörelse genom att ge exempel på hastighet, acceleration och fritt fall. ge exempel på krafter som påverkar

Läs mer

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,

Läs mer

5 Energi och rörelsemängd

5 Energi och rörelsemängd 5 Energi och rörelsemängd 501. a) Arbete är kraft gånger sträcka. Kraften mäts i sträckans riktning. W = F s s b) Energiändring är lika med utfört arbete. E = W c) Lägesenergi E p = mgh Svar: a) W = F

Läs mer

Kursupplägg Vecka 11-19

Kursupplägg Vecka 11-19 Kursupplägg Vecka 11-19 Det gäller att lista ut hur ni ska släppa ett rått ägg från 10 meter utan att det går sönder. Till hjälp har vi undervisning i fysik gällande kraft, tryck och rörelse. Antar ni

Läs mer

TENTAMEN. Linje: Tekniskt-Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik A Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling. Umeå Universitet. Lärare: Joakim Lundin

TENTAMEN. Linje: Tekniskt-Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik A Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling. Umeå Universitet. Lärare: Joakim Lundin Umeå Universitet TENTAMEN Linje: Tekniskt-Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik A Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling Lärare: Joakim Lundin Datum: 09-10-28 Tid: 09.00-15.00 Kod:... Grupp:... Betyg Poäng:...

Läs mer

= + = ,82 = 3,05 s

= + = ,82 = 3,05 s Lina Rogström linro@ifm.liu.se Lösningar till Exempeltentamen HT2014, Fysik 1 för Basåret, BFL101 Del A A1. (2p) En boll kastas rakt uppåt och har hastigheten = 30 m/s då den lämnar handen. Hur högt når

Läs mer

Det här ska du veta. Veta vad som menas med kraft och i vilken enhet man mäter det i. Veta vad som menas motkraft, bärkraft, friktionskraft

Det här ska du veta. Veta vad som menas med kraft och i vilken enhet man mäter det i. Veta vad som menas motkraft, bärkraft, friktionskraft Kraft Det här ska du veta Veta vad som menas med tyngdkraft Veta vad som menas med kraft och i vilken enhet man mäter det i Veta vad som menas motkraft, bärkraft, friktionskraft Känna till begreppet tyngd

Läs mer

Kraft och rörelse åk 6

Kraft och rörelse åk 6 Kraft och rörelse åk 6 Kraft En kraft kan ändra farten eller formen hos ett föremål. Krafter kan mätas med en dynamometer. Den består av en fjäder och en skala. Enhet för kraft är Newton, N. Dynamometer

Läs mer

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss.

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss. Repetition, del II Lufttryck Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss. Med samma resonemang som för vätskor kommer vi fram till att lufttrycket på en viss yta ges av tyngden

Läs mer

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 ! Sida 4/4 Laboration 1: Fallrörelse på portalen ikväll Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: 2014 Fallrörelse Institutionen för Fysik och Astronomi!

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Krafter. Jordens dragningskraft, tyngdkraften. Fallrörelse

Krafter. Jordens dragningskraft, tyngdkraften. Fallrörelse Krafter 1 Krafter...2 Jordens dragningskraft, tyngdkraften...2 Fallrörelse...2 Repetera lutande plan...3 Friktion...4 Tröghet...5 Tröghet och massa...6 Tyngdpunkt...6 Ta reda på tyngdpunkten för en oregelbunden

Läs mer

Laboration: Krafter och Newtons lagar

Laboration: Krafter och Newtons lagar Institutionen för fysik och astronomi Laboration: Krafter och Newtons lagar Instruktionen består av två delar: 1. Laborationsinstruktion (detta häfte) 2. Svarshäfte Laborationsinstruktionen, detta häfte,

Läs mer

MEKANIKENS GYLLENE REGEL

MEKANIKENS GYLLENE REGEL MEKANIKENS GYLLENE REGEL Inledning Det finns olika sätt att förflytta föremål och om du ska flytta en låda försöker du säkert komma på det enklaste sättet, det som är minst jobbigt för dig. Newton funderade

Läs mer

Svar och anvisningar

Svar och anvisningar 160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:

Läs mer

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j. 1 KOMIHÅG 4: --------------------------------- Enkraftsresultantens existens. Vanliga resultanter vid analys av jämvikter. Jämviktsanalys: a) Kraftanalys - rita+symboler b) Jämviktslagar- Euler 1+2 c)

Läs mer

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1 Newtons lagar 2 1 2 NEWTONS LAGAR 2.1 Inledning Ordet kinetik används ofta för att beteckna läranom kroppars rörelse under inflytande av krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare område där även kinematiken

Läs mer

Mer Friktion jämviktsvillkor

Mer Friktion jämviktsvillkor KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning

Läs mer

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med

Läs mer

KONTROLLSKRIVNING. Fysikintroduktion för basterminen. Datum: Tid: Hjälpmedel:

KONTROLLSKRIVNING. Fysikintroduktion för basterminen. Datum: Tid: Hjälpmedel: KONTROLLSKRIVNING Kurs: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälmedel: Omfattning och betygsgränser: ysikintroduktion för basterminen KS Teknisk bastermin Staffan Linnæus Staffan

Läs mer

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O 1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

 = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G. 1 KOMIHÅG 6: --------------------------------- Masscentrum: --3 partiklar: r G = ( x G,y G,z G ) = m r + m r + m r 1 1 2 2 3 3 M --Kontinuum: ( ) = 1 M dmr r G = x G,y G,z G " = 1 M ----------------------------------

Läs mer

Fysik 1 Rörelsemängd och Ellära, kap. 6 och 9

Fysik 1 Rörelsemängd och Ellära, kap. 6 och 9 Fysik 1 Rörelsemängd och Ellära, kap. 6 och 9 Skrivtid: kl. 14:15-17:15 Hjälpmedel: Formelsamling, grafritande miniräknare, linjal Lärare: ASJ, HPN, JFA, LEN, MEN, NSC Möjliga poäng: 20 E-poäng + 12 C-poäng

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

TENTAMEN. Umeå Universitet. P Norqvist och L-E Svensson. Datum: Tid: Namn:... Grupp:... Poäng:... Betyg U G VG ...

TENTAMEN. Umeå Universitet. P Norqvist och L-E Svensson. Datum: Tid: Namn:... Grupp:... Poäng:... Betyg U G VG ... Umeå Universitet TENTAMEN Linje: Kurs: Hjälpmedel: Fysik A Miniräknare, formelsamling Lärare: P Norqvist och L-E Svensson Datum: 07-01-10 Tid: 16.00-22.00 Namn:... Grupp:... Poäng:... Betyg U G VG... Tentamen

Läs mer

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006 Pass 2 Aktions- reaktionskraft Nu är det dags att presentera grundstenarna inom Mekanik Newtons lagar: 1. Tröghetslagen: En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse om den inte av

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt: KOMIHÅG 19: ------------------------------------------------------ Dämpade vibrationer: Fria fallet Kritisk dämpningsrörelse x(t) = e "# nt ( B + Ct) + x j Svag dämpningsrörelse x(t) = e "#$ nt ( Bcos(

Läs mer

Upp gifter. 1. Vilken hastighet måste en boll minst ha för att kunna nå 14,5 m upp i luften?

Upp gifter. 1. Vilken hastighet måste en boll minst ha för att kunna nå 14,5 m upp i luften? 1. Vilken hastighet måste en boll minst ha för att kunna nå 14,5 m upp i luften? 2. En bil som väger 143 kg har hastigheten 9 km/h. Vilken rörelseenergi har bilen? 3. Det högsta vattenfallet i världen

Läs mer

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook

Läs mer

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

 e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Repetition Mekanik Fy2 Heureka 2: kap. 2, 3.1-3, version 2016

Repetition Mekanik Fy2 Heureka 2: kap. 2, 3.1-3, version 2016 Repetition Mekanik Fy2 Heureka 2: kap. 2, 3.1-3, 4.1-3 version 2016 Kraftmoment (vridmoment) En krafts förmåga att vrida ett föremål runt en vridningsaxel kallas för kraftmoment (vridmoment). Moment betecknas

Läs mer

Kollisioner, rörelsemängd, energi

Kollisioner, rörelsemängd, energi Kollisioner, rörelsemängd, energi I denna laboration kommer ni att undersöka kollisioner, rörelsemängd och energi, samt bekanta er ytterligare med GLX Xplorer som används i mekaniklabbet för utläsning

Läs mer

Mekanik Laboration 3 (MB3)

Mekanik Laboration 3 (MB3) Institutionen för fysik Ingvar Albinsson/Carlo Ruberto Naturvetenskapligt basår, NBAF00 Laborationen genomförs i grupper om två-tre personer och består av fem olika försök som genomförs i valfri ordning

Läs mer

Mekanik KF, Moment 1 Del 1 (Lämna in denna del med dina svar) Skriv provkod el. namn o personnummer på varje blad Flera alternativ kan vara rätt.

Mekanik KF, Moment 1 Del 1 (Lämna in denna del med dina svar) Skriv provkod el. namn o personnummer på varje blad Flera alternativ kan vara rätt. Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-12-03 Författare: Lennart Selander Hjälpmedel: Physics handbook, Beta Mathematics handbook, Valfri formelsamling, tabellverk, Kompendium Centrala samband, Pennor, linjal,

Läs mer

Grekernas världsbild. Gravitation & Newtons lagar. Aristoteles definition av rörelse. Aristoteles och de fyra elementen

Grekernas världsbild. Gravitation & Newtons lagar. Aristoteles definition av rörelse. Aristoteles och de fyra elementen Grekernas världsbild Gravitation & Newtons lagar En snabbkurs i klassisk mekanik 3/2-2010 Aristoteles 384 322 f.kr Grekisk filosof Student till Platon Lärare till Alexander den store Porträtt av Aristoteles.

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:

Läs mer

Mekanik Föreläsning 8

Mekanik Föreläsning 8 Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGSTÄVLING 8 januari 016 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG KVALTÄVLINGEN 016 1. a) Den stora och lilla bollen faller båda,0 m. Energiprincipen ger hastigheten då

Läs mer

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11 Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd

Läs mer

Lösningar till övningar Arbete och Energi

Lösningar till övningar Arbete och Energi Lösningar till övningar Arbete och Energi G1. Lägesenergin E p = mgh = 1. 9,8. 1,3 J = 153 J Svar: 150 J G10. Arbetet F s = ändringen i rörelseenergi E k Vi får E k = 15,4 J = 36 J Svar: 36 J G6. Vi kan

Läs mer

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen 2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block

Läs mer

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system 1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla

Läs mer

Hur kan en fallskärm flyga?

Hur kan en fallskärm flyga? Umeå Universitet Institutionen för fysik Hur kan en fallskärm flyga? Vardagsmysterier förklarade 5p Sommarkurs 2006 Elin Bergström Inledning En fallskärm finns till för att rädda livet på den som kastar

Läs mer

FRÅN MASSA TILL TYNGD

FRÅN MASSA TILL TYNGD FRÅN MASSA TILL TYNGD Inledning När vi till vardags pratar om vad något väger använder vi orden vikt och tyngd på likartat sätt. Tyngd associerar vi med tung och söker vi på ordet tyngd i en synonymordbok

Läs mer

Final i Wallenbergs fysikpris

Final i Wallenbergs fysikpris Final i Wallenbergs fysikpris 5-6 mars 011. Teoriprov. Lösningsförslag. 1) Fysikern Hilda leker med en protonstråle i en vakuumkammare. Hon accelererar protonerna från stillastående med en protonkanon

Läs mer

Laboration 4 Mekanik baskurs

Laboration 4 Mekanik baskurs Laboration 4 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 015 03 7 Introduktion Denna laboration handlar om två specialfall av kollisioner, inelastiska och elastiska kollisioner. Vi ska

Läs mer

# o,too 26L 36o vq. Fy 1-mekaniken i sammandrag. 1 Rörelsebeskrivning (linjebunden rörelse) )-'f* 1.1 Hastighet och acceleration, allmänt

# o,too 26L 36o vq. Fy 1-mekaniken i sammandrag. 1 Rörelsebeskrivning (linjebunden rörelse) )-'f* 1.1 Hastighet och acceleration, allmänt Fy 1-mekaniken i sammandrag version 0.3 [140820] Christian Karlsson En del saker nedan tas inte upp i Fy 1-kursen, men är bra att med sig inför Fy 2. Dessa saker är markerade med [NYTT!]. 1 Rörelsebeskrivning

Läs mer

Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola

Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Tid: Måndagen 5/3-2012 kl: 8.15-12.15. Hjälpmedel: Räknedosa. Bifogad formelsamling. Lösningar: Lösningarna skall vara väl

Läs mer