S0005M, Föreläsning 2 Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 2 / 18 Stokastiska variabler Stokastisk variabel (slumpvariabel) (eng: random variable) En variabel vars värde är ett numeriskt utfall av ett slumpmässigt fenomen. Betecknas ofta med stor bokstav X. Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 3 / 18
Diskreta variabler Diskret stokastisk variabel Stokastisk variabel som har a ndligt ma nga mo jliga va rden. (Antal av ngt a r ett vanligt exempel.) Varje mo jligt utfall har en sannolikhet och summan av dessa sannolikheter a r 1. Mykola Shykula (LTU) S0005M, Fo rela sning 2 4 / 18 Kontinuerliga variabler Kontinuerlig stokastisk variabel Stokastisk variabel som kan anta alla va rden i ett intervall. Sannolikhetsfo rdelningen beskrivs av en ta thetsfunktion (frekvensfunktion) Arean under ta thetsfunktionen a r 1. OBS! P(X = a) = 0 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Fo rela sning 2 5 / 18 Exempel: Kasta en skruvkork (diskret) U: Ha ndelsen att o ppna sidan a r synlig (upp), P(U)=0.7 X = antal ga nger U intra ffar vid tre kast The probability of any event is the sum of the probabilities pi of the values of X that make up the event. A bottle cap is tossed three times. We define the random variable X as the number of number of times the cap drops with the open side up. What is the probability that at least two Value of X 0 times the cap lands with the open side Probability.027 up ( at least two means two or more )? P(X 2) = P(X=2) + P(X=3) =.441 +.343 = 0.784 DDD 1 2 3.189.441.343 UDD DUD DDU UUD UDU UUD UUU What is the probability that cap lands with the open side up fewer than three times? P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =.027 +.189 +.441 = 0.657 or P(X<3) = 1 P(X=3) = 1-0.343 = 0.657 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Fo rela sning 2 6 / 18
Exempel: Vänta på tågavgång (kontinuerlig) X = Hur länge får man vänta på nästa tågavgång då tågen avgår 1 gång i timmen? Intervals The probability of a single event is meaningless for a continuous random variable. Only intervals can have a non-zero probability, represented by the area under the density curve for that interval. The probability of a single event is zero: P(X=1) = (1 1)*1 = 0 Height = 1 X The probability of an interval is the same whether boundary values are included or excluded: P(0 X 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(0 < X < 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(0 X < 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(X < 0.5 or X > 0.8) = P(X < 0.5) + P(X > 0.8) = 1 P(0.5 < X < 0.8) = 0.7 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 7 / 18 Normalfördelningen X N(µ, σ), Z = X µ σ N(0, 1) N(64.5, 2.5) N(0,1) => x Standardized height (no units) z Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 8 / 18 Exempel: Kontinuerlig fördelning Anta att P(X k) = 0, k < 5 k 5 5, 5 k 10 1, k >= 10 a) Vad är P(X 7)? Svar: 2/5 d.v.s. 40% b) Bestäm d så att P(X d) = 0.25? Svar: d = 6.25 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 9 / 18
Medelvärde / väntevärde för en stokastisk variabel Medelvärde / väntevärde Medelvärdet µ till en variabel är medelvärdet av oändligt många observationer. Denna kvantitet benämns ofta väntevärde (expected value), µ = µ X = E(X ). Obs! Ej samma sak som observerat stickprovsmedelvärde Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 10 / 18 Väntevärde (medelvärde) för diskret variablel X är en diskret variabel med utfallsrummet S = {x 1, x 2,..., x k } P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Värde på X x 1 x 2 x k Sannolikheter p 1 p 2 p k µ X = E(X ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p k x k = k p i x i i=1 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 11 / 18 Exempel: Väntevärde vid tärningskast Värde på X 1 2 3 4 5 6 Sannolikheter 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 µ X = E(X ) = 1 6 1 + 1 6 2 + 1 6 3 + 1 6 4 + 1 6 5 + 1 6 6 = 3.5 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 12 / 18
Exempel: Väntevärde vid lotteri X är vinsten (kr) på en lott Värde på X 0 100 1000 Sannolikheter 0.97 0.025 0.005 µ X = E(X ) = 0.97 0 + 0.025 100 + 0.005 1000 = 7.5 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 13 / 18 Väntevärde (medel) för kontinuerlig variabel Väntevärdet ligger i tyngdpunktenför täthetsfunktionen Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 14 / 18 Stora talens lag Om antalet observationer i ett stickprov växer så närmar sig stickprovets medelvärde, x, till populationens väntevärde µ. Detta gäller för alla populationer/fördelningar Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 15 / 18
Varians för stokastiska variabler X är en diskret variabel med utfallsrummet S = {x 1, x 2,..., x k } P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Värde på X x 1 x 2 x k Sannolikheter p 1 p 2 p k Variansen är σ 2 X = p 1(x 1 µ X ) 2 + p 2 (x 2 µ X ) 2 + + p k (x k µ k ) 2 = Obs! Ej samma sak som observerat stickprovsvarians k p i (x i µ X ) 2 i=1 Stardardavvikelse σ X = σx 2 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 16 / 18 Lotteri forts.. X är vinsten (kr) på en lott Värde på X 0 100 1000 Sannolikheter 0.97 0.025 0.005 µ X = E(X ) = 0.97 0 + 0.025 100 + 0.005 1000 = 7.5 σ 2 X = 0.97 (0 7.5) 2 + 0.025 (100 7.5) 2 + 0.005 (1000 7.5) 2 5194, σ X = 5194 = 72 Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 17 / 18 Räkneregler för väntevärden och varianser, s. 254 och 258 i 9e uppl (resp s. 272 och 275 i 8e uppl) Om X och Y är stokastiska variabler med korrelation ρ, 1 ρ 1, och a och b är konstanter, då gäller (Example 4.38): µ a+bx = a + bµ X µ X +Y = µ X + µ Y σa+bx 2 = b 2 σx 2 σx 2 +Y = σx 2 + σ2 Y + 2ρσ X σ Y σx 2 Y = σx 2 + σ2 Y 2ρσ X σ Y Läxa: läs extra noga alla exempel på s. 254-260 i 9e uppl (resp s. 272-278 i 8e uppl) Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 18 / 18