OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4 78 p 36 w Hur stor är vinkeln p i den här figuren? Hur stor är vinkeln w i den här figuren? Sid 1
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr Uppgift nr 7 G v H är en diameter. Hur stor är vinkeln v? Uppgift nr 6 Vilken vinkel i den här figuren är lika stor som den markerade vinkeln GH? Uppgift nr 8 r s t q Vad kan man säga om de markerade vinklarna i figuren? yrhörningen ligger med alla fyra hörnen på en cirkels rand. Vad gäller för vinklarna i fyrhörningen? Sid 2
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 9 Uppgift nr 11 o 3,9 n 6, 114 Hur stora är vinklarna n och o i fyrhörningen? Uppgift nr 10 b eräkna tredje sidans längd i den här triangeln. Måtten har enheten dm. Uppgift nr 12 I en rätvinklig triangel är kateterna 7, m och 18 m. Hur lång är triangelns hypotenusa? a c Uppgift nr 13 I en rätvinklig triangel är kateterna 8,7 cm och 11,6 cm. Hur lång är triangelns hypotenusa? Vad innebär Pythagoras sats? Uppgift nr 14 I en rätvinklig triangel är kateterna 8,4 m och 11,2 m. Hur lång är triangelns hypotenusa? Sid 3
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 17 Två vinklar i en triangel är lika med var sin vinkel i en annan triangel. Vad kan man säga om trianglarna? 9 Uppgift nr 18 Man vet att två figurer i matematiken (tex två trianglar eller två fyrhörningar) är likformiga. Vad menas med det?,4 eräkna tredje sidans längd i den här triangeln. Måtten har enheten dm. Uppgift nr 19 nhet dm Uppgift nr 16 7 6 24 9,2 11, Trianglarna är likformiga (här inte ritade med rätt innebördes storlek). eräkna sidorna och. eräkna tredje sidans längd i den här triangeln. Måtten har enheten cm. Sid 4
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 20 Uppgift nr 22 nhet mm nhet cm 7 0 80 20 8 d e 6 30 a b Trianglarna är likformiga (här inte ritade med rätt innebördes storlek). eräkna sidorna och. Uppgift nr 21 nhet mm I dessa trianglar (här inte ritade med rätt innebördes storlek) är a = d och b = e. eräkna sidorna och. Uppgift nr 23 nhet cm 4 6 44 e 8 d a 96 72 b Trianglarna är likformiga (här inte ritade med rätt innebördes storlek). eräkna sidorna och. I dessa trianglar (här inte ritade med rätt innebördes storlek) är a = d och b = e. eräkna sidorna och. Sid
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 24 Uppgift nr 26 nhet mm nhet dm 6 d e 9 7 a 27 18 b 17,4 20,3 I dessa trianglar (här inte ritade med rätt innebördes storlek) är a = d och b = e. eräkna sidorna och. Uppgift nr 2 nhet m Sträckan i den här triangeln är en parallelltransversal. eräkna sträckorna och. Uppgift nr 27 nhet cm 14 4 19,6 6 4 2,4 Sträckan i den här triangeln är en parallelltransversal. eräkna sträckorna och. Sträckan i den här triangeln är en parallelltransversal. eräkna längden på sträckan Sid 6
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 28 nhet cm Uppgift nr 30 1,6 2 Sträckan i den här triangeln är en parallelltransversal. eräkna längden på sträckan / Vad kallas denna figur i matematiken? / Vad gäller för vinklarna i den? Uppgift nr 29 nhet m Uppgift nr 31 Vad gäller för sidorna och vinklarna i en triangel, om den är / likbent? / liksidig? 7,2 9 Uppgift nr 32 Två vinklar i en triangel är 93 och 61. eräkna triangelns tredje vinkel. Δ och Δ är rätvinliga. eräkna sträckan Sid 7
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 33 Uppgift nr 3 29 40 37 y t eräkna storleken på vinkeln t i denna triangel. Uppgift nr 34 eräkna storleken på den vinkel, som markerats med y. Uppgift nr 36 33 107 v 6 0 g eräkna storleken på den vinkel, som markerats med v. eräkna storleken på den vinkel, som markerats med g. Sid 8
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 37 117 g 26 eräkna storleken på den vinkel, som markerats med g. Sid 9
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 Uppgift nr 26 z M 13 180 M Vinkeln z och vinkeln står båda på samma båge (bågen ). å är medelpunktsvinkeln z dubbelt så stor som randvinkeln. Svar: Vinkeln z = 2. Uppgift nr 2 s Vinkeln s och vinkeln M står båda på samma båge (bågen ). å är randvinkeln s hälften så stor som medelpunktsvinkeln M. Svar: Vinkeln s = 67,. Uppgift nr 4 iametern är en medelpunktsvinkel M med storleken 180, som står på halvcirkelbågen. et gör randvinkeln också. en är alltså hälften så stor. Svar: Vinkeln v = 90 Uppgift nr 6 78 p M 36 w Vinkeln p och vinkeln står båda på samma båge (bågen ). å är medelpunktsvinkeln p dubbelt så stor som randvinkeln. Svar: Vinkeln p = 72. Vinkeln w och vinkeln M står båda på samma båge (bågen ). å är randvinkeln w hälften så stor som medelpunktsvinkeln M. Svar: Vinkeln w = 39. åda vinklarna är randvinklar, som står på samma båge (bågen ). Svar: Vinklarna är lika stora. Sid 1
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 7 G Svar: Vinkeln GH är lika stor som vinkeln GH. åda är randvinklar på samma båge (bågen GH). Uppgift nr 8 s t Svar: Motstående vinklar är tillsammans 180. I den här figuren gäller alltså att q + s = 180 och att r + t = 180. (lla är naturligtvis 360 tillsammans.) q H r Uppgift nr 9 yrhörningen har alla hörn på en cirkels rand. å är motstående vinklar tillsammans 180. Här gäller alltså att n + 90 = 180 och att 114 + o = 180 Svar: Vinkeln o = 66 Vinkeln n = 90 Uppgift nr 10 b Svar: I en rätvinklig triangel gäller alltid att om man adderar kateternas kvadrater, blir summan lika mycket som hypotenusans längd i kvadrat. Kan skrivas som en formel: a 2 + b 2 = c 2 ormeln kallas Pythagoras sats. a c Uppgift nr 11 ntag att tredje sidan är z dm. Triangeln är rätvinklig. å ger Pythagoras sats: z 2 + 3,9 2 = 6, 2 z 2 = 6, 2-3,9 2 z 2 = 42,2-1,21 z 2 = 27,04 z = ± 27,04 z = ±,2 (z = -,2 sträcka) Svar: Tredje sidan är,2 dm. Uppgift nr 12 ntag att hypotenusan är y m. Pythagoras sats ger: 7, 2 + 18 2 = y 2 -y 2 = -7, 2-18 2 -y 2 = -6,2-324 y 2 = 6,2 + 324 y 2 = 380,2 y = ± 380,2 y = ±19, (Även ett negativt tal är lösning till ekvationen. et kan inte accepteras eftersom vi söker längd på en sträcka. Visas så här) (y = -19, sträcka) Svar: Hypotenusan är 19, m. Sid 2
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 13 ntag att hypotenusan är y cm. Pythagoras sats ger: 8,7 2 + 11,6 2 = y 2 -y 2 = -8,7 2-11,6 2 -y 2 = -7,69-134,6 y 2 = 7,69 + 134,6 y 2 = 210,2 y = ± 210,2 y = ±14, (Även ett negativt tal är lösning till ekvationen. et kan inte accepteras eftersom vi söker längd på en sträcka. Visas så här) (y = -14, sträcka) Svar: Hypotenusan är 14, cm. Uppgift nr 14 ntag att hypotenusan är y m. Pythagoras sats ger: 8,4 2 + 11,2 2 = y 2 -y 2 = -8,4 2-11,2 2 -y 2 = -70,6-12,44 y 2 = 70,6 + 12,44 y 2 = 196 y = ± 196 y = ±14 (Även ett negativt tal är lösning till ekvationen. et kan inte accepteras eftersom vi söker längd på en sträcka. Visas så här) (y = -14 sträcka) Svar: Hypotenusan är 14 m. Uppgift nr 1 ntag att tredje sidan är x dm. Triangeln är rätvinklig. å ger Pythagoras sats: x 2 +,4 2 = 9 2 x 2 = 9 2 -,4 2 x 2 = 81-29,16 x 2 = 1,84 x = ± 1,84 x = ±7,2 (x = -7,2 sträcka) Svar: Tredje sidan är 7,2 dm. Uppgift nr 16 ntag att tredje sidan är y cm. Triangeln är rätvinklig. å ger Pythagoras sats: y 2 + 9,2 2 = 11, 2 y 2 = 11, 2-9,2 2 y 2 = 132,2-84,64 y 2 = 47,61 y = ± 47,61 y = ±6,9 (y = -6,9 sträcka) Svar: Tredje sidan är 6,9 cm. Uppgift nr 17 Svar: Trianglarna är likformiga. Uppgift nr 18 Svar: Om två figurer är likformiga, ser de likadana ut, men den ena är en förstoring eller förminskning av den andra. Uppgift nr 19 7 nhet dm 6 Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 6 / 7 = 8 Sidan : 8 = 40 Sidan : 24 / 8 = 3 Svar: Sidan är 3 dm och Sidan är 40 dm. Uppgift nr 20 7 0 24 nhet mm Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 0 / = 10 Sidan : 10 7 = 70 Sidan : 80 / 10 = 8 Svar: Sidan är 8 mm och Sidan är 70 mm. 80 Sid 3
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 21 Uppgift nr 23 Uppgift nr 24 nhet mm nhet cm nhet mm 4 6 44 e d 8 a 96 b 72 d e 9 a 18 7 b 27 Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 44 / 4 = 11 Sidan : 11 6 = 66 Sidan : / 11 = Svar: Sidan är mm och Sidan är 66 mm. Uppgift nr 22 nhet cm Här är trianglarna ritade åt samma håll (den högra spegelvänd). ftersom 2 par vinklar är lika är de likformiga. Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 96 / 8 = 12 Sidan : 12 = 60 Sidan : 72 / 12 = 6 Svar: Sidan är 6 cm och Sidan är 60 cm. Här är trianglarna ritade åt samma håll (den högra spegelvänd). ftersom 2 par vinklar är lika är de likformiga. Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 27 / 9 = 3 Sidan : 3 7 = 21 Sidan : 18 / 3 = 6 Svar: Sidan är 6 mm och Sidan är 21 mm. 8 e 6 d a 20 b 30 Här är trianglarna ritade åt samma håll (den högra spegelvänd). ftersom 2 par vinklar är lika är de likformiga. Sidorna och är motsvarande sidor i trianglarna. Skaltalet blir 30 / 6 = Sidan : 8 = 40 Sidan : 20 / = 4 Svar: Sidan är 4 cm och Sidan är 40 cm. Sid 4
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 2 Uppgift nr 26 Uppgift nr 27 nhet m nhet dm nhet cm y 6 y 17,4 x 6 4 4 14 19,6 20,3 x 2,4 x Δ Δ (Topptriangels.) eteckn. enl. fig. och är motsvarande sträckor i trianglarna. Skaltalet blir 14/ = 2,8 lla sträckor i Δ är 2,8 gånger längre än motsv. sträckor i Δ. x = 2,8 = 2,8 4 = 11,2 y = /2,8 = 19,6/2,8 = 7 Svar: = 11,2 m = 7 m Δ Δ (Topptriangels.) eteckn. enl. fig. och är motsvarande sträckor i trianglarna. Skaltalet blir 17,4/6 = 2,9 lla sträckor i Δ är 2,9 gånger längre än motsv. sträckor i Δ. x = 2,9 = 2,9 = 14, y = /2,9 = 20,3/2,9 = 7 Svar: = 14, dm = 7 dm ftersom är parallell med gäller transversalsatsen Skrivs den = kommer x med figurens beteckningar i täljaren direkt 2,4 6 = x 4 4 2,4 6 = 4 x 4 1,6 = x Svar: är 1,6 cm Sid
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 28 1,6 x nhet cm ftersom är parallell med gäller transversalsatsen = som med figurens beteckningar ger x 1,6 = 2 1,6 x 1,6 = 1,6 2 x = 4 Svar: är 4 cm 2 Uppgift nr 29 7,2 9 y nhet m y(,4) beräknas med Pythagoras` sats (eteckn. se. fig.) 9² = y² + 7,2² y = ± 9² - 7,2² y = +,4 (sträcka) Δ Δ (n vinkel rät, är gemensam) Likformigheten ger skaltalet / = 9/,4 1,667 x Uppgift nr 31 Svar: / I en LIKNT triangel är R TVÅ sidor lika långa. e två vinklar, som INT ligger vid spetsen mellan dessa, är lika stora. / I en LIKSIIG triangel är LL sidor lika långa. lla vinklar är 60. Uppgift nr 32 e givna vinklarna är 14 tillsammans. Tredje vinkeln = 180-14. Svar: Tredje vinkeln är 26. Uppgift nr 33 x /1,667 =,4 / 1,667 e 3,2kända vinklarna är Svar: 3,2 m 90 + 29 = 119 Återstår Uppgift nr 30 180-119 till den sökta vinkeln. Svar: t = 61 Svar: / iguren kallas triangel. / lla vinklar är tillsammans 180. Sid 6
OP-matematik opyright Tord Persson acit - geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 34 Uppgift nr 3 Uppgift nr 37 33 40 w=91 89 6 z=103 77 37 h=63 g 117 26 (ntingen:) nligt yttervinkelsatsen är yttervinkeln lika med summan av de två motstående inre vinklarna. (ller: Vinkelsumman i en triangel ger först w = 91 Yttervinkeln = 180-91 ) Svar: Yttervinkeln v = 89 (ntingen:) nligt yttervinkelsatsen är yttervinkeln lika med summan av de två motstående inre vinklarna. (ller: Vinkelsumman i en triangel ger först z = 103 Yttervinkeln = 180-103 ) Svar: Yttervinkeln y = 77 Uppgift nr 36 (ntingen:) Med yttervinkelsatsen fås vinkeln g ur g + 26 = 117 (ller: örst inses att vinkeln h = 180-117 = 63 Vinkelsumman i en triangel ger sedan storleken på vinkeln g.) Svar: g = 91 107 0 h=73 g (ntingen:) Med yttervinkelsatsen fås vinkeln g ur g + 0 = 107 (ller: örst inses att vinkeln h = 180-107 = 73 Vinkelsumman i en triangel ger sedan storleken på vinkeln g.) Svar: g = 7 Sid 7