Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Klippa gräset Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Måns gör det på 4 timmar. Förberedelser Utifrån en diskussion om vilken didaktisk plattform som medlemmarna i gruppen står på i sitt arbete så beslöts att lektionen skulle vara problembaserad. Lärargruppen hade med sig olika problem från en problembank som finns tillgänglig på skolan (Farsta gymnasium) och i en gemensam diskussion kom gruppen fram till ett problem som man ville arbeta med. Det bör även nämnas att läsandet av boken The Teaching Gap påverkade orienteringen av den allmänna diskussionen, eftersom man inspirerades att använda den japanska metoden som presenterades där. Metoden går kortfattat ut på att läraren ger eleverna ett problem att lösa i par, och eleverna får redovisa olika lösningar för klassen. Lösningarna diskuteras och eleverna får insikter i olika sätt och strategier att ta sig an och lösa problem. Planering av lektionen Lektionen går ut på att lösa ett antal snarlika matematiska problem där bråkräkning kommer in som en väsentlig del av lösningen. Problemen innehåller följande moment: tal i bråkform proportionalitetsbegreppet uppställandet av en ekvation manipulerandet av ekvation med hjälp av algebraiska regler Därefter fortsätter läraren att visa hur man går från ett specifikt problem till ett generellt bevis. Utöver det matematiska innehållet som eleven skall tillgodogöra sig finns följande mål med lektionen: - Att träna eleven i problemlösning i samverkan med en klasskamrat. - Att träna eleven i att reflektera över sina lösningsstrategier. - Att träna eleven i att presentera sina lösningar muntligt och skriftligt inför en grupp. - Att träna eleven i att lyssna på och reflektera över andras lösningar och strategier. - Att träna eleven i att ge och ta emot konstruktiv kritik. Lektionen förbereddes så att olika former av stöd fanns att tillgå.
IT-stöd: Laborativt stöd: Lärarstöd: PowerPoint med animeringar som ska underlätta förståelsen för både uppgiften, lösningen och sedan även fördjupningen. Uppgiften på papper, penna, inplastade kort med ledtrådar i olika färg som också kan användas för att åskådliggöra problemet och dess lösning. Förberedda muntliga ledtrådar som utarbetats och skrivits ner. Utöver detta delades klassen in i grupper utifrån elevernas förutsättningar och förkunskaper. Återkoppling till kursplanen I princip alla kriterier för olika betygssteg inom Matematik A uppfylls genom lektionen. Nedan följer alla mål och kriterier för kursen som lektionen kan uppfylla, åtminstone delvis. De ord som har är skrivna inom parentes är de delmål som ej uppfylls. Mål för Matematik A Eleven skall kunna (formulera), analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning ha fördjupat och vidgat sin taluppfattning till att omfatta reella tal skrivna på olika sätt (med) och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och studieinriktning kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, (formler och funktioner) som krävs för problemlösning i vardagslivet och i studieinriktningens övriga ämnen kunna ställa upp och tolka linjära ekvationer (och enkla potensekvationer) samt lösa dem med för problemsituationen lämplig metod och med lämpliga hjälpmedel Betygskriterier för Matematik A Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att (formulera) och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken.
Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Manus för lektionen Lektionen börjar 10.00. De första fem minuterna används till att presentera dagens uppgift vilken alltså består av lösandet av några matematiska problem samt presentation av lösningarna i grupp. Läraren använder sig här av en PowerPointpresentation tillsammans med uppgiftsbladet som delas ut till hela klassen. Ledtrådskorten ligger redan på borden. 10.05-10.40 De följande 35 minuterna arbetar klassen med de uppgifter som delats ut. Klassen har blivit indelad i grupper efter en mall som läraren tagit fram tidigare. Lärarens roll under dessa 35 minuter är att vandra runt i klassen och se till att ingen grupp fastnar eller börjar vandra för långt i fel riktning. En lista som läraren har tillgång till med olika muntliga ledtrådar till uppgifterna har tagits fram för detta ändamål. Det är viktigt att grupperna har något att presentera inför resten av klassen och lärarens roll är därför att stimulera klassen till att komma fram till så många olika lösningar som möjligt. Runt 10.35 väljer läraren ut fyra grupper och ber dem gå upp till tavlan, (som indelats i fyra sektioner), och skriva upp sin lösning på ett av problemen som de jobbat med. Genom att välja dessa grupper på ett klokt sätt kan läraren lättare orkestrera en gruppdiskussion senare. 10.40-10.55 Eleverna presenterar sina lösningar gruppvis. Läraren för en diskussion i klassen med presentationerna som utgångspunkt. 10.55-11.10 Läraren har en allmän genomgång av det material som delats ut. Problemen som klassen arbetat med har bestått av tre inledningsuppgifter av partikulär karaktär, de tre uppgifterna utgör samma problem fast med olika tal givna i förutsättningarna, samt två frågor av allmän karaktär där eleven ombeds härleda en generell formel för problemet och sedan utveckla problemet till att omfatta tre istället för två personer. De sista frågorna ligger på en högre nivå och det går inte att förvänta sig att samtliga elever ska komma fram till en lösning. Därför använder läraren den sista kvarten av lektionen till en pedagogisk genomgång av hur man ska tänka kring de sista två frågorna samt en presentation av lösningen till ett av dessa problem. Precis som i inledningen av lektionen används en PowerPointpresentation. Naturligtvis försöker läraren även här orkestrera en diskussion så att eleverna deltar aktivt i de resonemang och tankegångar som hon lägger fram. Sista två minuterna går till en kort sammanfattning av vad som gjorts på lektionen och vilka lärdomar eleverna ska ha med sig inför framtiden.
Frågorna som eleverna har arbetat med under lektionen Klippa gräset Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Måns gör det på 4 timmar. a) Hur lång tid tar det om de hjälps åt? b) Sabina hjälper till när Jenny är sjuk. Hon klipper en gräsmatta på 1 timme. Hur lång tid tar det när Måns och Sabina klipper gräsmattan tillsammans? c) När Måns är borta klipper Dragan, som klipper en gräsmatta på 3 timmar. Hur lång tid tar det om Dragan och Jenny klipper tillsammans? d) Säg nu att Jennys syster klipper gräsmattan på a timmar och Måns bror på b timmar. Hur lång tid tar det då om dessa syskon hjälps åt? e) Använd dig av de fall du beräknat i uppgift a), b) och c) och försök se om ni har räknat enligt ett visst mönster. Hur skulle uttrycket se ut om tre personer hjälps åt som klipper på a, b respektive c timmar? Ledtrådarna på korten som låg på bordet Muntliga ledtrådar till uppgifterna - Rita en bild (bilder på bråkcirkel och bråkstav syns på kortet). - Vik ett papper (en bild på ett papper vikt två gånger finns på kortet). - Gör en tabell (en bild på en tabell). - Ställ upp en ekvation (en bild på en ekvation syns svagt). - Hur snabbt klipper de? (En bild med s formeln v = syns svagt på kortet.) t - Dela upp gräsmattan i lika stora delar. - Om Måns har klippt en del, hur många delar har Jenny klippt? - Rita ut Måns och Jennys delar tills hela mattan är fylld/ klippt. - Hur stor del av gräsmattan har då Måns resp. Jenny klippt? - Jenny klippte ju hela gräsmattan på 2 timmar, hur lång tid tar det då att klippa hennes mindre del? Vad gäller för Måns?
Genomförandet av lektionen i klass och filmningen Det som lärargruppen missat inför första lektionen och som fick tidsschemat att brista var följande: inga muntliga ledtrådar hade förberetts för eleverna och man hade inte förberett instruktioner till filmaren. Lärargruppen utgick ifrån att nivån var lagom svår för att eleverna skulle kunna lösa uppgifterna mer eller mindre autonomt på den tid som enligt planeringen avsatts för problemlösande. Till lektion nummer två åtgärdades detta genom att lärargruppen gjorde en lista av ledtrådar som läraren kunde använda sig av för att påskynda lösandet av det givna problemet. Denna lärdom är universell och lärargruppen tog med sig den till de efterföljande lesson study-lektionerna. Angående själva filmningen lärde sig hela gruppen mycket den första lektionen. Skillnaden mellan lektion ett och lektion två var att till lektion två hade lärargruppen gjort ett tydligare manus till filmaren där det angavs exakta klockslag för de olika momenten av lektionen och vilka moment som var högre prioriterade att få med i filmen. Denna åtgärd förbättrade filmningen avsevärt. Filmen som slutresultat Målet med filmen är naturligtvis flerfaldigt. Gruppen har fokuserat på följande mål: Att målet med lektionen skall framkomma i tydligaste mån. Att de olika faserna i lektionen såsom planerats enligt ovan skall synas. Att belysa kraften i användandet av IT och laborativt material i matematikundervisningen. Att filmen skall vara inspirerande för andra lärare. Samtliga mål uppnås väl med filmen. Det enda som gruppen anmärker på är att det inte framgår tydligt i inledningen att det är bråkräkning som lektionen kretsar kring. Detta kommer att åtgärdas med en inledande text som förklarar lite mer ingående vad det är för mål som lektionen försöker uppnå. Slutsatser Lektionen är en bra introduktion till problemlösning och övergången från specifika fall till generella bevis. Efter denna lektion kan man bygga vidare på detta och träna eleverna mer med andra problem. Intressant att notera var att eleverna i de allra flesta fall kunde lösa problemet igen efter sex månader när de utsattes för uppgiften under en matematiktävling. De mindes uppgiften och kunde efter en stunds tänkande komma på hur man löser den. Problemlösningsstrategierna hade med andra ord fastnat. När det gäller utförandet av lesson study som modell för utvecklandet av en lektion kan nämnas att den gemensamma planeringen klart höjde lektionens kvalitet och ambition. Fler hjälpmedel kunde utvecklas (PowerPoint, ledtrådskort och muntliga ledtrådar). Lektionen blev också mer heltäckande och utvecklingsbar som en följd av samarbetet. Filmning är ett bra verktyg för att utveckla en lektion, men filmaren måste få tydliga instruktioner för vad som är mål, mening och tänk, samt detaljerade instruktioner om vad han eller hon ska filma.