Den svenska matematikundervisningen

Den svenska matematikundervisningen under 150 år Thomas Lingefjärd & Mikael Holmquist Göteborgs Universitet Lingefjärd & Holmquist 1

Lingefjärd & Holmquist 2

Folkskolans inrättande Af de timmar, som vederbörande Skolstyrelser kunna finna för godt att hvar för sin socken bestämma till läsetid i småskolorna, bör naturligtvis första stunden dagligen egnas till Bön, efter förutgånget upprop jemte snygghetsmönstring; och för öfrigt bör lämplig del af tiden egnas åt hvarje af skolans naturliga öfningsföremål: a. Hörande af hemlexorna från föregående skoldag. b. Nybörjarnes stafning och renläsning. c. Skrifning. d. Hufvudräkning. e. De försigkomnas välläsning. f. De sistnämdes Räkning på tafla. (Sidan 26-27 ur Svenska Folkskolans praktiska ordnande, 1856) Lingefjärd & Holmquist 3

Tiden innan 1862 års examensförordning Fram till 1832 hade de filosofiska fakulteterna haft mycket fria händer att ordna studentexamen efter eget bevåg: Det berättas att en far just år 1831 sökt upp dekanus med sin femtonåriga son, som skulle undergå prövningen; för sällskaps skull fick en elvaårig son också följa med. När den äldre efter ett kort förhör ansågs ha bevisat sin mogenhet, frågade dekanus den yngre brodern: Vill icke du också blifva student? Efter ytterligare fråga, om ej den yngre sonen läst Cornelius, blef han examinerad, och båda gossarne hemkommo med Studentbref på fickan. Studentexamen 100 år, sid 11. Lingefjärd & Holmquist 4

Ecklesiastikminister Fredrik Ferdinand Carlsson (1811-1887), 1862 års examensstadgas främsta tillskyndare Lingefjärd & Holmquist 5

Lingefjärd & Holmquist 6

Denna examensförordning varade i 100 år! Censorer, 4 betygssteg: Berömlig, Med Beröm Godkänd, Godkänd, Icke Godkänd. I språken fick ordböcker användas och i matematik logaritmtabeller. Direkt i anslutning till uppgifterna om tillåtna hjälpmedel ($5) heter det i ordalag som nästan ordagrant skulle ljuda för alla de studenter (224 482 individer) som genomgick studentexamen under 100 år: Lärljunge, som andra hjelpmedel, än nu medgifwet är, eller annans hjelp anlitar eller hjelp åt annan lemnar, har förwerkat rättigheten att utan ny, i enlighet med föreskrifterna i denna stadga gjord anmälan, afgångsexamen undergå, hwarom det åligger Rektor att lärljungarna erinra. I 1962 års skolstaga bestämdes att skolöverstyrelsen kunde ge fuskande Lingefjärd & Holmquist 7 examinand rätt att fullfölja examen.

Sjöstedt, 1963 Lingefjärd & Holmquist 8

Lingefjärd & Holmquist 9

Lingefjärd & Holmquist 10

Lingefjärd & Holmquist 11

Lingefjärd & Holmquist 12

Uppgift 9, reallinjen 1864 Begäres ekvationen för en rät linje, som skär en 90 graders båge av cirkeln, 2 2 x y 8x 3y 6 0 och går igenom origo. Lingefjärd & Holmquist 13

Lingefjärd & Holmquist 14

Första gången som derivata nämndes explicit i en studentskrivning: VT 1911, uppgift 4. Beräkna första och andra derivatorna till uttrycket y 2x 1 x 2 och konstruera den motsvarande kurvan (Rutat papper tillhandahålles). Lingefjärd & Holmquist 15

Maximi- och minimiproblem hade givits långt tidigare: HT 1864, uppgiftsnumrering okänt. Att dela talet 8 i två sådana delar, att summan av deras kuber utgör ett minimum. Lingefjärd & Holmquist 16

Även direkta maximi-minimiproblem rörande trigonometriska funktioner hade givits, uppenbarligen avsedda att lösas genom omformulering av uttrycket, t. ex: HT 1909, uppgift 6. Beräkna det största värde som sin x + sin ( x + 30º) + sin ( x + 60º) kan antaga? HT 1889, uppgift 3. För hvilka vinklar är aritmetiska mediet mellan sinus och cosinus det största möjliga? Lingefjärd & Holmquist 17

Lingefjärd & Holmquist 18

Anförande av rektor Martin Kolmodin (torsdag 3 jan, 1946) Realskolans kursplan i matematik En kursökning föreslår utredningen, nämligen att funktionsbegreppet får en förberedande behandling i realskolan. Detta begrepp är mycket viktigt för fortsatta studier i matematik, och funktioner få ständigt en allt större användning i det praktiska livet (sid 4-5). Lingefjärd & Holmquist 19

Lingefjärd & Holmquist 20

Lingefjärd & Holmquist 21

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK, KURS E, VÅREN 1998 Avsedd att genomföras utan miniräknare 9. Visa att 6 e 3e i / 3 1 3 i / 3 i Lingefjärd & Holmquist 22

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK, KURS E, VÅREN 1998 Avsedd att genomföras med miniräknare 2 15. Från en punkt P på kurvan y 3x 2ln 2x 2 drar man linjer som är vinkelräta mot x- axeln respektive y-axeln. Dessa linjer avgränsar tillsammans med axlarna en rektangel. a) Teckna ett uttryck för rektangelns omkrets som funktion av x-koordinaten för punkten P. (2p) b) Bestäm omkretsens minsta värde med hjälp av derivata. (3p) Lingefjärd & Holmquist 23

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK, KURS E, VÅREN 1998 Avsedd att genomföras med miniräknare 17. Betrakta differentialekvationen d y dx x 2 x 4, y( 0) 1 a) Redogör för en numerisk metod för bestämning av ett värde på y( 1 ) (2p) b) Bestäm y( 1 ) numeriskt med minst fyra steg. Endast svar fordras (1p) c) Förklara varför den numeriska metoden inte duger till att beräkna y( 3 ) (2p) Lingefjärd & Holmquist 24

Lingefjärd & Holmquist 25

Räknelära för de allmänna läroverken och flickskolor Alfred Berg, 1896 Inledning: Om du vill göra klart för dig, huru många blad din skrifbok innehåller, så måste du räkna dem; när du då räknar blad efter blad, begagnar du dig af tal för att bestämma bladens antal; du tager det första bladet och säger ett, sedan ett blad till och säger två, därpå ett blad till och säger tre och så vidare; häraf finner du, att de hela talen bildas genom att med en enhet öka det föregående talet. (Sidan 1) Lingefjärd & Holmquist 26

Räknebok för Folkskolan av Sandström & Jonsson (Femte årskursen, 1931). Lingefjärd & Holmquist 27

Dagens böcker återkopplar: Matte direkt årskurs 7, sid 98 Lingefjärd & Holmquist 28

Aritmetik och ekvationslära för femåriga realskolor och flickskolor, Hedeström & Öije, 1937: sid 13 Lingefjärd & Holmquist 29

Räkning för Folkskolan (Laurin, Lundholm & Lowe, 1937) Lingefjärd & Holmquist 30

Femmans matematik för grundskolan (Hultman, Kristiansson & Ljung, 1966) Lingefjärd & Holmquist 31

Hedeström & Öije, 1937: sid 223 Lingefjärd & Holmquist 32

Lingefjärd & Holmquist 33

Lingefjärd & Holmquist 34

Standardprov De första standardproven började efter flera års arbete att användas i den svenska folkskolan under vårterminen 1943/1944. Lärarna rekommenderades att använda det frivilliga provet som fanns för klass 2, 4 och 6. Från och med 1949/1950 användes folkskolebetyget som intagningsinstrument till realskolan. Lingefjärd & Holmquist 35

Standardprov Från och med 1955 skulle endast prov för årskurserna 4 och 6 finnas kvar. Proven i räkning bestod både i klass 4 och klass 6 av följande delprov: Antal uppgifter Klass 4 Klass 6 Mekanisk räkning (Mr) 20 18 Tillämpad räkning (Tr) 18 18 Huvudräkning (Hr) 24 24 Sorträkning (Sr) 22 20 Provräkning (Pr) 18 14 Ljung, 2000 Lingefjärd & Holmquist 36

Standardprov Användningen av central utarbetade prov har således en lång tradition i vårt land. Standarproven användes i drygt 50 år och ersattes 1998 med nationella ämnesprov. Lingefjärd & Holmquist 37

Elev 3 klass ht 1944 Lingefjärd & Holmquist 38

Elev 7 klass vt 1949 Lingefjärd & Holmquist 39

Lingefjärd & Holmquist 40

Lingefjärd & Holmquist 41

1946 års skolkommission Tage Erlander - ecklesiastikminister från 1945 - tar initiativ till en parlamentarisk kommitté, kallad 1946 år skolkommission - vilken skulle slutföra den arbete som startat med 1940 års skolutredning. Bakom låg starka politiska och industriella drivkrafter. Se Åke Isling : Kampen för och emot en demokratisk skola Lingefjärd & Holmquist 42

Proposition om skolreform Riksdagen godtog våren 1950 regeringens förslag på skolreform, som bland annat innebar ett principbeslut om en sammansmältning av realskolan och folkskolan till en på 9-årig skolplikt grundad enhetsskola. Denna enhetsskola skulle inte ha någon linjedelning förrän i klass 9, en utbyggnad av gymnasiet med en allmän linje och en förläggning av all lärarutbildning till lärarhögskolor. Lingefjärd & Holmquist 43

Sannolikhetslära och Statistik 1955-1956 införs en ny kurs i det svenska gymnasiet, kallad Sannolikhetslära och Statistik. I Danmark har man infört kursen på försök på några skolor, men i Sverige blir den redan från början obligatorisk. Lingefjärd & Holmquist 44

Grundskolan Sommaren 1960 enas 1957 års skolberedning hur den 9-åriga obligatoriska skolan skulle vara uppbyggd och föreslår namnet grundskola. År 1961 startar SÖ arbetet med att ta fram kursplaner och den 10 november 1962 utkommer 1962 års läroplan. Den svenska grundskolan införs 1962, samma år som 1862 års gymnasieförordning läggas i graven - efter 100 år. Lingefjärd & Holmquist 45

Diskussion Lingefjärd & Holmquist 46

Tidningsurklipp från 1964 Lingefjärd & Holmquist 47

Lingefjärd & Holmquist 48

R III 3 Matematik 1939 En studerande lånade vid början av år 1940 6000 kr på följande villkor: lånet drar ränta på ränta efter 3% de första åren, men tills vidare betalar han ingenting. Först fr. o. m. början av 1945 betalar han årligen 600 kr. men fr. o. m. början av år 1950 skall annuiteten ändras till 1000 kr och samtidigt räntefoten till 5%. När blir lånet slutbetalt? Lingefjärd & Holmquist 49

1939 Lingefjärd & Holmquist 50

Kalkylprogram Lån 6 000 kr Ränta 3% fr o m 1950 5% 1940 6000 6180 1941 6180 6365 1942 6365 6556 1943 6556 6753 1944 6753 6956 1945 6356 6546 1946 5946 6125 1947 5525 5690 1948 5090 5243 1949 4643 4782 1950 3782 3972 1951 2972 3120 1952 2120 2226 1953 1226 1287 1954 287 302 1955-698 -733 Lån (kr) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0-1000 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 Tid (år) Lingefjärd & Holmquist 51

Redan då. P.M. Angående rättning och bedömning av provräkningen i realexamen (Cirkulär 15 april 1952). Då ofullständiga andragradsekvationer lösas, är det av vikt, att lärjungarna konsekvent vänjas vid att utsätta dubbeltecken och först därefter eventuellt utesluta den negativa roten. För det treåriga gymnasiet vållas icke obetydliga olägenheter av att en bristande noggrannhet på denna punkt icke beivras i realskolans avslutningsklass. En svårutrotlig vana kan på sådant sätt grundläggas. Lingefjärd & Holmquist 52

Centrala prov och relativt betygssystem Enligt 1960 år gymnasieutredning tillkom centrala prov som en ersättning för de skriftliga proven i studentexamen och gavs i matematik till att börja med såväl i årskurs 2 och årskurs 3 på de tre- och fyraåriga linjerna. Lingefjärd & Holmquist 53

Centrala prov och relativt betygssystem Sverige införde ett relativt betygssystem i ungdomsskolan - både i grundskolan och gymnasieskolan under mitten av 1960-talet. Det innebar att betygssättningen skulle ske genom att samtliga elever i riket, tillhörande en viss årskull och läsande samma kurs, jämfördes med varandra. Betygen i den femgradiga skalan delades därefter ut enligt följande fördelning: Lingefjärd & Holmquist 54

1 f x e x 2 2 2 2 Ca 38% mellan 2,5 och 3, 5 = betyget 3 X ~ N( ) = N(3, 1) Lingefjärd & Holmquist 55

1 f x e x 2 2 2 2 ca 68% av observationerna inom 1 standardavvikelse från medelvärdet. ca 95% av observationerna inom 2 standardavvikelser från medelvärdet. ca 99.7% av observationerna inom 3 standardavvikelser från medelvärdet. X ~ N( ) = N(3, 1) Lingefjärd & Holmquist 56

Lingefjärd & Holmquist 57

Lingefjärd & Holmquist 58

y = x 2 + 9x + 3, ritad i Derive Lingefjärd & Holmquist 59

Trigonometriska värden från anteckningsblock 1970-talet Lingefjärd & Holmquist 60

I dag.. Lingefjärd & Holmquist 61

Nutida påverkan: Diskret matematik? Multimatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 1999, s 33 Lingefjärd & Holmquist 62

Nutida påverkan: Diskret matematik? Multimatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 1999, s 33 Lingefjärd & Holmquist 63

Nutida påverkan: Diskret matematik? Multimatte (Olsson, Forsbäck & Mårtensson, 1999, s 33 Lingefjärd & Holmquist 64

Matte direkt årskurs 7, sid 39 Lingefjärd & Holmquist 65

Matte direkt årskurs 7, sid 39 Lingefjärd & Holmquist 66

Det finns även ny geometri i dagens läroböcker - exemplet är hämtat från Talriket 6a Lingefjärd & Holmquist 67

Slutsatser: vinster & förluster Idag utbildas alla i matematik. Vissa områden försvinner, andra kommer till. Dagens studenter klarar troligtvis inte alla uppgifter i en studentskrivning från 1864 Dåtidens studenter skulle troligtvis inte klara dagens E-kursprov Läromedlen har utvecklats högst väsentligt. Antagnings- eller examenssystem svarar mot de behov samhället har Lingefjärd & Holmquist 68