STOCKHOLMS UNIVERSITET MT8003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009 Tentamen i Livförsäkringsmatematik II, 14 december 2009 Examinator: Gunnar Andersson Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling som bifogas till tentamen. Valfri miniräknare. För godkänt på kursen (betygen A-E) krävs minst 8 poäng på var och en av de tre delarna. Utöver detta sätts betygen enligt följande gränser. Betyg A B C D E 50p 45p 36p 30p 24p Del 1 Uppgift 1 Antag att vi vill beskriva en enkel försäkring för avgångsbidrag p.g.a. arbetsbrist som även innefattar situationen där en person ofrivilligt tvingas gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist. Vi tänker oss att den här försäkringen kan beskrivas med följande fyra tillstånd: Tillstånd 3: personen arbetar heltid, har ej tidigare varit tvungen att gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist Tillstånd 2: personen arbetar deltid motsvarande andelen a av heltid p.g.a. arbetsbrist Tillstånd 1: personen arbetar heltid, har tidigare varit tvungen att gå ner i arbetstid p.g.a. arbetsbrist
Tentamen Livförsäkringsmatematik II, 14 december 2009 2 Tillstånd 0: personen är uppsagd eller har avslutat försäkringen a) Rita upp tillståndsgrafen som beskriver hur personer kan förflytta sig mellan de olika tillstånden då de enda övergångsintensiteterna som är skilda från 0 är µ 32, µ 30, µ 21, µ 20, µ 12 samt µ 10. b) Antag att µ 30 = µ 21 = µ 10 = µ/2, µ 32 = µ 12 = µ samt att µ 20 = 2µ. Om vi dessutom antar att betalningar sker enligt följande: så länge personen som är försäkrad befinner sig i tillstånd 3 görs premieinbetalningar b, där b > 0, och så länge den försäkrade befinner sig i tillstånd 1 eller 2 görs premieinbetalningar b, där b > 0. Utöver dessa betalningar görs utbetalningar vid förflyttningar mellan tillstånd enligt: Förflyttning 3 0: B kronor betalas ut Förflyttning 3 2: (1 a)b kronor betalas ut Förflyttning 2 0: ab kronor betalas ut Förflyttning 1 0: ab kronor betalas ut där 0 < a < 1. Ställ upp Thieles differentialekvationer för reserverna V i (t), i = 1, 2, 3, under antagandet att räntan är r(t) = r > 0 för alla t. c) Om vi antar att betalningar sker enligt uppgift b) men att µ 32 = µ, µ 20 = 2µ och µ 30 = µ/2 är de enda övergångsintensiteterna som är skilda från 0. Beräkna reserverna V i (t), i = 2, 3, då vi antar att sluttiden T = + och bestäm b så att premien blir rättvis givet start i tillstånd 3 under ovan givna antaganden. Uppgift 2 Vi är nu intresserade av att beskriva en livförsäkring för två liv som beskrivs av följande fyra tillstånd: Tillstånd 3: båda personerna är vid liv Tillstånd 2: person 2 har avlidit, men person 1 är vid liv Tillstånd 1: person 1 har avlidit, men person 2 är vid liv
Tentamen Livförsäkringsmatematik II, 14 december 2009 3 Tillstånd 0: båda personerna har avlidit Förflyttningar mellan de ovan angivna tillstånden sker enligt övergångsintenstiteterna µ 32 (t), µ 31 (t), µ 20 (t) samt µ 10 (t) och övriga intensiteter är 0. a) Rita upp tillståndsgrafen som beskriver försäkringens olika tillstånd. Är systemet markovskt eller semi-markovskt? om du anser att systemet är markovskt, är det i så fall stationärt eller icke-stationärt? Motivera ditt svar tydligt. b) Ställ upp ekvationer för övergångssannolikheterna som beskriver var systemet befinner sig vid t givet att systemet nu, vid s = 0, befinner sig i tillstånd 3. OBS: Ta endast med de övergångssannolikheter som är skilda från 0. Del 2 Uppgift 3 Beskriv vad som menas med försäkringstekniska grunder. Ange också de huvudsakliga frågeställningarna som regleras i de försäkringstekniska grunderna. Inga väsentliga delar skall utelämnas. Uppgift 4 Ange den så kallade Pensionsförsäkringsmatematikens huvudsats samt bevisa dess giltighet. Del 3
Livförsäkringsmatematik II Tentamensuppgifter december 2009 Ett fondförsäkringsbolag säljer en livförsäkringsprodukt som ger försäkringsersättning i form av ett dödsfallsbelopp på tio gånger fondvärdet vid dödsfall före försäkringens slutålder, och fondvärdet tillbaka om den försäkrade överlever till försäkringens slutålder. Försäkringen har löpande premiebetalning i form av en årspremie som betalas i början av året. Den kan återköpas. De avgifter som tas ut av försäkringarna är: En avgift som är proportionell mot premien, en avgift som är proportionell mot premiereserven, en återköpsavgift, samt en riskavgift motsvarande den tekniska dödligheten. 1. Under våren drabbades landet av en allvarlig epidemi av fårinfluensa. Den ledde till att antalet dödsfall under året blivit mycket fler än förväntat, men epidemin gick hastigt över och förväntas inte återkomma. Året är nu slut och du skall rapportera hur det gått under året under följande rubriker a) Värde av nytecknad affär b) Effekt på årets resultat av årets avvikelser från gjorda antaganden c) Effekt på portföljvärdet av årets avvikelser från gjorda antaganden d) Förändringar i portföljvärde orsakade av förändringar i antaganden Vad kan en sådan rapport förväntas innehålla för korta kommentarer under de olika rubrikerna med anledning av fårinfluensaepidemin. 2. Beskriv kortfattat tanken bakom att skapa en modellportfölj som underlag för sina beräkningar av lönsamhet eller reserver för ett försäkringsbestånd. 3. Beskriv hur försäkringsprodukten efterlevandepension fungerar 4. Bifogat är ett utdrag ur en kommutationsfunktionstabell (diskret notation). Beräkna med hjälp av den: a) Engångspremie för en T-försäkring, teckningsålder 45, slutålder 60, försäkringsbelopp 10000 kronor. b) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 55. c) Löpande konstant årlig premie, premiebetalningstid ålder 40-64, för en försäkring som ger 10000 kr årligen i livränta från ålder 65 till 74 och ett engångsbelopp på 50000 vid ålder 75 om försäkringstagaren fortfarande är vid liv då. d) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 70. e) Premiereserven för denna försäkring vid ålder 80.
Ålder 1000qx px lx vx Dx Nx dx Cx Mx Rx 30 0.299 1.000 99 157 0.412 40 851 1 089 242 29.6 12.0 9261.7 446 011 31 0.319 1.000 99 127 0.400 39 650 1 048 390 31.6 12.5 9249.7 436 750 32 0.349 1.000 99 096 0.388 38 483 1 008 741 34.6 13.2 9237.2 427 500 33 0.385 1.000 99 061 0.377 37 349 970 258 38.1 14.2 9224.0 418 263 34 0.429 1.000 99 023 0.366 36 247 932 910 42.5 15.3 9209.8 409 039 35 0.477 1.000 98 980 0.355 35 176 896 663 47.2 16.5 9194.5 399 829 36 0.533 0.999 98 933 0.345 34 135 861 487 52.7 17.9 9178.0 390 634 37 0.591 0.999 98 881 0.335 33 123 827 352 58.4 19.3 9160.1 381 456 38 0.651 0.999 98 822 0.325 32 140 794 228 64.3 20.6 9140.8 372 296 39 0.714 0.999 98 758 0.316 31 183 762 089 70.5 21.9 9120.1 363 156 40 0.792 0.999 98 687 0.307 30 253 730 906 78.2 23.6 9098.2 354 035 41 0.881 0.999 98 609 0.298 29 349 700 652 86.9 25.5 9074.6 344 937 42 0.981 0.999 98 522 0.289 28 469 671 304 96.7 27.5 9049.1 335 863 43 1.094 0.999 98 426 0.281 27 613 642 835 107.7 29.8 9021.6 326 813 44 1.224 0.999 98 318 0.272 26 779 615 222 120.3 32.3 8991.8 317 792 45 1.366 0.999 98 198 0.264 25 967 588 443 134.1 35.0 8959.5 308 800 46 1.519 0.998 98 063 0.257 25 176 562 476 149.0 37.7 8924.6 299 840 47 1.694 0.998 97 914 0.249 24 406 537 299 165.9 40.7 8886.9 290 916 48 1.875 0.998 97 749 0.242 23 655 512 893 183.3 43.7 8846.2 282 029 49 2.058 0.998 97 565 0.235 22 923 489 238 200.8 46.5 8802.5 273 183 50 2.240 0.998 97 365 0.228 22 210 466 315 218.1 49.0 8756.0 264 380 51 2.439 0.998 97 146 0.221 21 514 444 106 236.9 51.7 8707.0 255 624 52 2.655 0.997 96 909 0.215 20 837 422 591 257.3 54.5 8655.3 246 917 53 2.915 0.997 96 652 0.209 20 176 401 755 281.7 58.0 8600.8 238 262 54 3.226 0.997 96 370 0.203 19 531 381 579 310.9 62.1 8542.8 229 661 55 3.581 0.996 96 060 0.197 18 901 362 047 344.0 66.7 8480.7 221 119 56 3.955 0.996 95 716 0.191 18 285 343 146 378.6 71.3 8414.0 212 638 57 4.329 0.996 95 337 0.185 17 682 324 861 412.7 75.4 8342.8 204 224 58 4.730 0.995 94 924 0.180 17 093 307 178 449.0 79.7 8267.3 195 881 59 5.150 0.995 94 475 0.175 16 517 290 085 486.5 83.8 8187.7 187 614 60 5.610 0.994 93 989 0.170 15 953 273 569 527.3 88.2 8103.9 179 426 61 6.088 0.994 93 461 0.165 15 401 257 616 569.0 92.4 8015.7 171 322 62 6.642 0.993 92 892 0.160 14 862 242 214 617.0 97.3 7923.3 163 306 63 7.269 0.993 92 275 0.155 14 333 227 352 670.8 102.7 7826.0 155 383 64 7.969 0.992 91 605 0.151 13 815 213 019 730.0 108.5 7723.4 147 557 65 8.731 0.991 90 875 0.146 13 305 199 205 793.4 114.5 7614.9 139 834 66 9.611 0.990 90 081 0.142 12 805 185 899 865.8 121.3 7500.4 132 219 67 10.600 0.989 89 216 0.138 12 313 173 095 945.7 128.6 7379.2 124 718 68 11.709 0.988 88 270 0.134 11 827 160 782 1033.6 136.5 7250.6 117 339 69 12.930 0.987 87 236 0.130 11 348 148 955 1128.0 144.6 7114.1 110 089 70 14.326 0.986 86 108 0.126 10 875 137 607 1233.6 153.5 6969.5 102 975 71 15.906 0.984 84 875 0.123 10 407 126 731 1350.0 163.1 6816.0 96 005 72 17.708 0.982 83 525 0.119 9 943 116 324 1479.1 173.5 6652.9 89 189 73 19.753 0.980 82 046 0.116 9 483 106 381 1620.6 184.6 6479.4 82 536 74 22.111 0.978 80 425 0.112 9 025 96 898 1778.3 196.6 6294.9 76 057 75 24.863 0.975 78 647 0.109 8 568 87 873 1955.4 209.9 6098.2 69 762 76 28.108 0.972 76 691 0.106 8 112 79 305 2155.6 224.7 5888.3 63 663 77 31.977 0.968 74 536 0.103 7 654 71 193 2383.4 241.2 5663.7 57 775 78 36.429 0.964 72 152 0.100 7 194 63 539 2628.4 258.2 5422.5 52 111 79 41.538 0.958 69 524 0.097 6 730 56 345 2887.9 275.4 5164.3 46 689 80 47.213 0.953 66 636 0.094 6 262 49 616 3146.1 291.3 4888.9 41 525 81 53.618 0.946 63 490 0.091 5 793 43 353 3404.2 306.0 4597.5 36 636 82 60.781 0.939 60 086 0.089 5 323 37 561 3652.1 318.8 4291.5 32 038 83 69.064 0.931 56 434 0.086 4 853 32 238 3897.5 330.3 3972.7 27 747 84 78.505 0.921 52 536 0.083 4 387 27 385 4124.3 339.3 3642.5 23 774 85 89.267 0.911 48 412 0.081 3 925 22 998 4321.6 345.2 3303.1 20 132