MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Vad är sannolikhet? Relativ frekvens vid upprepningar: Om en fabrik tillverkat 000 000 exemplar av en produkt av vilka 505 har något fel så är sannolikheten för en felaktighet 0.005 Andelen fall då ett något förekommer: Om i en urna finns 6 svarta och 4 vita kulor och man slumpmässigt väljer en kula sä är sannolikheten att den är svart 6 6+4 = 0.6. Ett mått på hur troligt man anser något vara: Sannolikheten för hård vind imorgon är 70%. Sannolikhet, händelser, utfallsrum Mängden av alla tänkbara resultat av ett experiment är utfallstummet, ofta betecknat med Ω. Elementen i utfallsrummet, dvs. enskilda resultat av experimentet är elementarhändelser. Händelser är delmängder av utfallsrummet. För varje händelse A Ω finns det en sannolikhet PrA) för denna händelse. Sannolikhetsfunktionen uppfyller följande villkor: 0 PrA) för varje händelse A. PrΩ) =. Pr i= A i) = i= PrA i) om A j A k = då j k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7

Obs Av antagandena ovan följer bla. också att Pr ) = 0. PrA B) = PrA) + PrB) PrA B). PrΩ \ A) = PrA). A B PrA) PrB). Obs! Då Ω innehåller ändligt många element är det naturligt att att alla delmängder av Ω är händelser men i allmänhet är detta inte alltid möjligt eller ens önskvärt och då är Pr en funktion definierad i en σ-algebra A i Ω, dvs en mängd A med följande egenskaper: A A A Ω, Ω A, A A Ω \ A A, A i A, i =,,... i= A i A. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 Oberoende Händelserna A och B är oberoende ifall PrA B) = PrA) PrB), och händelserna A j, j J är oberoende om PrA j A j... A jm ) = PrA j ) PrA j )... PrA jm ) alltid då j k J, k =,..., m, j p j q då p q. Obs! Om händelserna A j, j J är oberoende så är A jp och A jq oberoende då j p j k men om A jp och A jq är oberoende för alla j p j k så behöver inte händelserna A j, j J vara oberoende. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Betingad sannolikhet Den betingande sannolikheten för händelsen A givet händelsen B är PrA B) = PrA B), PrB) då man antar att PrB) > 0. Då händelsen B är given kan man begränsa utfallsrummet från Ω till B och räkna om sannolikheterna för händelserna A B som är delmängder av det nya utfallsrummet. Total sannolikhet Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller n PrB) = PrA j ) PrB A j ). j= Bayes formel Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller PrA k B) = PrA k) PrB A k ) n j= PrA j) PrB A j ). Varför? PrA k B) = PrA k B), PrB) PrA k ) PrB A k ) = PrA k B) och n PrA j ) PrB A j ) = PrB). j= Varför? Eftersom B = B Ω = n j= B A j och B A j ) B A k ) = då j k så är PrB) = n j= PrB A j ) och enligt defintionen är PrA j ) PrB A j ) = PrB A j ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7

Klassisk sannolikhet och kombinatorik PrA) = Antal fall då A inträffar Totala antalet möjliga fall Man antar alltså att varje elementarhändelse är lika sannolik och problemet blir att bestämma hur många element det det finns i utfallsrummet Ω och hur många av dessa hör som till mängden A. Produktprincipen Om i en urvalsprocess finns k steg och i steg j finns n j alternativ, oberoende av vilka val som gjorts i tidigare steg men vilka alternativen är kan bero på valen) så är det totala antalet alternativ n n... n k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Permutationer, binomialkoefficineter etc. Om det i en mängd finns n element kan dessa ordnas på n! = 3... n ) n, olika sätt. Kom ihåg: 0! = ) Om man ur en mängd med n element väljer k element och beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på n n )... n k + ) = n! n k)! olika sätt. Om man ur en en mängd med n element väljer en delmängd med k element, dvs. inte beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på ) n = k n! k!n k)!, olika sätt. I alla dessa fall kan varje element i mängden väljas bara en gång, dvs. om man plockar kulor ur en urna läggs dessa inte tillbaka i urnan. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7 Upprepning av experiment Antag att ett experiment upprepas n gånger så att händelser vid olika gånger är oberoende. Då är sannolikheten för att händelsen A inträffar exakt k gånger ) n PrA) k PrA) ) n k. k G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Slumpvariabler och fördelningsfunktioner En reell) slumpvariabel eller stokastisk variabel) är en funktion X : Ω R alltså inte egentligen en variabel) där Ω är ett utfallsrum för ett experiment i vilken en sannolikhet är definierad och { ω Ω : X ω) x } är en händelse för alla x R. Om X är en reell) slumpvariabel så är dess kumulativa) fördelningsfunktion funktionen F X x) = PrX x) = Pr { ω Ω : X ω) x } ). En funktion F : R [0, ] är en fördelningsfunktion om och endast om 0 F x) F y) då x < y, lim x F x) = 0 och lim x F x) =, lim y x+ F y) = F x) då x R. När F är en fördelningsfunktion för X så gäller dessutom att lim y x F y) = PrX < x), lim y x+ F y) lim y x F y) = PrX = x). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7

Obs! Uttryck som X x och X < x är formellt sett inte händelser dvs. delmängder i Ω) men man skriver oftast PrX x) istället för det längre uttrycket Pr { ω Ω : X ω) x } ). Oberoende slumpvariabler De reella) slumpvariablerna X j, j J definierade i samma utfallsrum är oberoende om händelserna { X j a j }, j J är oberoende för alla a j R, j J. Diskreta slumpvariabler En reell) slumpvariabel X är diskret om det finns en mängd A R och positiva tal f a), a A så att F X x) = f a). a x a A Detta innebär att PrX = a) = f a) då x A och a A f a) = så att PrX / A) = 0 och mängden A innehåller högst numrerbart många element liksom oftast också utfallsrummet Ω. Funktionen f är frekvensfunktionen eller sannolikhetsfunktionen för X. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel är kontiuerlig om fördelningsfunktionen är kontinuerlig, dvs. om PrX = a) = 0 för alla a R. Oftast använder man sig ändå av absolut kontinuerliga slumpvariabler för vilka det finns en täthetsfunktion f så att F X x) = x f t) dt. Detta innebär att f x) 0 och f t) dt =. Väntevärde och varians Om X är en slumpvariabel så är dess väntevärde EX ) = x PrX = x) = xf X x), x x då X är en diskret slumpvariable med frekvensfunktion f X och EX ) = xf X x) dx, då X är en absolut kontinerlig slumpvariabel med täthetsfunktion f X, i båda fallen förutsatt att summan eller integralen existerar i annat fall kan man skriva EX ) = NaN). Om g är en mätbar funktion så är EgX )) = gx)f X x) dx. Om slumpvariabeln X har ett väntevärde så är dess varians X ) ) VarX ) = E EX ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7

Väntevärde och varians, forts. Om X och X är två slumpvariabler så är Ec X + c X ) = c EX ) + c EX ), och om X och X är två oberoende slumpvariabler så är Varc X + c X ) = c VarX ) + c VarX ). Chebshevs olikhet Pr X EX ) k ) VarX ) Varför? x EX ) k VarX ) k, k >. Låt gx) = om och 0 annars. Detta betyder att EgX )) = Pr X EX ) k VarX )). Nu är gx) att Pr X EX ) k ) VarX ) = EgX )) ) E x EX ) k = VarX ) k x EX ) k VarX ) ) så VarX ) VarX ) = k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7 Några viktiga diskreta slumpvariabler och deras fördelningar Jämn diskret fördelning: PrX = x i ) = n, i =,,..., n. Bernoullifördelning: PrX = ) = p, PrX = 0) = p). I detta fall är X ω) = då ω A Ω och X ω) = 0 då ω Ω \ A där PrA) = p. Väntevärdet p och variansen p p). Binomialfördelning X Binn, p): PrX = k) = n k) p k p) n k, k = 0,,..., n, dvs. X är summan av n oberoende Bernoulli-fördelade slumvariabler. EX ) = np och VarX ) = np p). Poissonfördelning X Poissonλ): PrX = k) = e λ λk k!, k = 0,,,.... Fås som gränsvärde av binomialfördelningen då np λ. Väntevärdet och variansen är λ. Två varianter av geometrisk fördelning: Ett experiment upprepas tills händelsen A med sannolikheten p inträffar. X är antalet upprepningar och X är antalet upprepningar innan A inträffar så att X = X +, PrX = k) = p) k p, k och PrX = k) = p) k p, k 0. EX ) = p, EX ) = p p och båda har variansen p p. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Några viktiga kontinuerliga slumpvariabler och deras fördelningar Likformig kontinuerlig fördelning där < a < b < ): { f X x) = b a, a < x < b, 0, x a eller x > b. Väntevärdet är a + b) och variansen b a). Normalfördelning X Nµ, σ ): f x x) = σ x µ) π e σ. Väntevärdet är µ och variansen σ. Exponentialfördelning X Expλ) med λ > 0: { λe λx, x > 0, f X x) = 0, x 0. Väntevärdet är λ och variansen λ. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7

Centrala gränsvärdessatsen Ifall slumpvariablerna X, X,... är oberoende och har samma fördelning så att EX j ) = µ och VarX j ) = σ, j =,,..., så gäller n j= X j nµ σ a N0, ) då n, n dvs. n lim Pr j= X ) j nµ n σ x n Normalapproximation x = F N0,) x) def = π e t dt. Om X är summan av tillräckligt många oberoende slumpvariabler med ändlig varians så är X EX ) ungefär N0, )-fördelad. VarX Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar Ifall Ω är ett utfallsrum på vilket en sannolikhetsfunktion är definierad så är X, Y ) : Ω R en tvådimensionell slumpvariabel med fördelningsfunktion F XY x, y) = PrX x, Y y) förutsatt att { ω Ω : X ω) x, Y ω) y } är en mängd för vilken sannolikheten är definierad. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är diskret och den har frekvensfunktionen f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, x y f XY x, y) = och PrX = x, Y = y) = f XY x, y) för alla x och y. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är kontinuerlig och har täthetsfunktion f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, f XY x, y) dx dy = och F XY x, y) = x y f XY s, t) dt ds för alla x och y. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Marginalfördelningar Ifall f XY x, y) är frekvensfunktionen för den diskreta tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginalfrekvensfunktionerna för slumpvariablerna X och Y Oberoende slumpvariabler Om X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion så gäller X och Y är oberoende f XY x, y) = f X x)f Y y). f X x) = PrX = x) = y f XY x, y) och Om X och Y är oberoende och f och g är mätbara funktioner så gäller f Y y) = PrY = y) = x f XY x, y). Ef X )gy )) = Ef X ))EgY )). Ifall f XY x, y) är täthetsfunktionen för den kontinuerliga tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginaltäthetsfunktionerna för slumpvariablerna X och Y f X x) = f XY x, y) dy och f Y y) = f XY x, y) dx. Kovarians och korrelation Kovarians: CovX, Y ) = E X EX ))Y EY )) ) = EXY ) EX )EY ). Korrelation: CorX, Y ) = CovX, Y ) VarX )VarY ), CorX, Y ). Om X och Y är oberoende så är CovX, Y ) = CorX, Y ) = 0. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7

Betingade fördelningar Ifall X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel med frekvensfunktion f XY x, y) eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion f XY x, y) så är f Y X y x) = f XY x, y), då f X x) > 0, f X x) den betingande frekvensfunktionen respektive täthetsfunktionen för Y givet X = x. { y EY X = x) = yf Y X y x) eller yf Y X y x) dy EY X ) är en slumpvariabel så att EY X )ω) = EY X = X ω)) då ω Ω. EEY X )) = EY ). Den tvådimensionella normalfördelningen Slumpvariabeln X, Y ) sägs vara normalfördelad om varje linär kombination αx + βy är normalfördelad och slumpvariabeln X, Y ) har då, ifall ρ = CorX, Y ) ±, σx = VarX ) > 0 och σ Y = VarY ) > 0, en täthetsfunktion med formen f XY x, y) = πσ X σ Y ρ e ρ ) Då är X Nµ X, σ X ), Y Nµ Y, σ Y ) och f Y X y x) = πσy ρ e x µ X ) σ X ) + y µ Y ) σ Y ρx µ X )y µ Y ) σ X σ Y. y µ Y ρ σ Y σx x µ X ) σ Y ρ ) så att Y X = x) N µ Y + ρ σ Y σ X x µ X ), ρ )σy. Om ρ = 0 är X och Y oberoende. ) G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Obs! Observera att om X, Y ) är en slumpvariabel så att X är normalfördelad och Y är normalfördelad så behöver inte X, Y ) nödvändigtvis vara normalfördelad men om tex. X och Y är oberoende så är också X, Y ) normalfördelad. Ett annat uttryck för täthetsfunktionen då X, Y ) är normalfördelad Ett annat sätt att skriva täthetsfunktionen som gör det lättare att generalisera till det m-dimensionella fallet är f XY x, y) = π detσ) e z µ)t Σ z µ), z = [ ] [ σ där Σ = X ρσ X σ Y, så att Σ = σ ρσ X σ ρ X Y σ Y detσ) = σ X σ Y ρ ). [ ] x, µ = y ρ σ X σ Y ρ σ X σ Y σx [ µx ] µ Y och ], G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7