SF1625 Envariabelanalys

Relevanta dokument
SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

6. Samband mellan derivata och monotonitet

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Modul 2 Mål och Sammanfattning

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Växande och avtagande

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Upphämtningskurs i matematik

SF1625 Envariabelanalys

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Läsanvisningar till kapitel

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.

Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

För teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna.

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

2. (a) Skissa grafen till funktionen f(x) = e x 2 x. Ange eventuella extremvärden, inflektionspunkter

6 Derivata och grafer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

x = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

Teorifrå gor kåp

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Tentamen SF e Januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

x 1 1/ maximum

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

20 Gamla tentamensuppgifter

Lipschitz-kontinuitet

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Transkript:

Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017

Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum: Det finns hur många omgasquer som helst Men bara en chans att klara kursen medan den pågår Det här måste man göra: Förbered föreläsning genom film+frågor Efter föreläsning: uppgifter + ev läsning Övningar: Uppgifter modul/semimarie/boken, räkna själva! Klara seminarierna med god marginal

Derivata Derivata: f f (a + h) f (a) f (x) f (a) (a) = lim = lim h 0 h x a x a (om gränsvärdet existerar) Viktigt faktum: Om f är deriverbar i a, så är f kontinuerlig i a. Viktigt exempel: Funktionen x är kontinuerlig men inte deriverbar i 0. Tangent till y = f (x) i punkten (a, f (a)): y = f (a) + f (a)(x a) Linjär approximation: f (x) f (a) + f (a)(x a), för x nära a

Deriveringsregler Om f och g är deriverbara så gäller d dx kf (x) = kf (x) d dx (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) d dx (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) (produktregeln) d f (x) dx g(x) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)) 2 (kvotregeln, g(x) 0) d dx f ((g(x)) = f (g(x))g (x) (kedjeregeln)

Program 1. Vanliga derivator. Vi har tagit fram derivator till de enklaste av de elementära funktionerna. 2. Deriveringsregler. Vi har formulerat och bevisat deriveringsregler som vi nu måste bli bra på att använda. 3. Beräkna derivator. Med hjälp av punkt 1 och 2 ovan kan vi derivera alla elementära funktioner (där de är deriverbara). 4. Tillämpa derivator. Vi ska sedan använda derivator för att avgöra frågor om approximation, växande/avtagande, max/min mm. (Detta kommer vi att jobba med under ett par veckor till)

Några uppgifter om linjär approximation 1. Finn en ekvation för tangenten till kurvan y = x 3 + 1 i den punkt på kurvan som har x-koordinat 2. 2. Finn den linjära approximationen av g(x) = x när x ligger nära 1 och bestäm ett närmevärde till 1.2. 3. Finn den linjära approximationen av h(x) = sin x när x ligger nära 0 och bestäm ett närmevärde till sin 1 10.

En viktig sats Sats. Om f är definierad på ett öppet intervall (a, b) och antar sitt maximum (eller minimum) i en punkt c i (a, b) och f (c) existerar, så är f (c) = 0. Bevis. Se tavlan. Definition. Punkter x sådana att f (x) = 0 kallas kritiska punkter till f eler stationära punkter till f

Växande/avtagande funktioner Definition. Anta att f är definierad på ett intervall I och att de punkter vi refererar till nedan ligger i I. Vi säger att: f är strängt växande på I om x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) f är växande på I om x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) f är strängt avtagande på I om x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ) f är avtagande på I om x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) Varför använder vi inte derivata för att definiera vad vi menar med (strängt) växande och avtagande?

Medelvärdessatsen med följdsatser Sats. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan att f (c) = f (b) f (a). b a Följdsats 1. Om f (x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt växande i I. Följdsats 2. Om f (x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt avtagande i I. Följdsats 3. Om f (x) = 0 för alla x i ett intervall I, så är f konstant i I.

En konkret tolkning av medelvärdessatsen Exempel. Om man kör 100 km på 2 timmar så har man vid någon tidpunkt hållit hastigheten 50 km/h

Medelvärdessatsen med bevis Sats. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan att f (c) = f (b) f (a). b a Bevis. Bilda funktionen g(x) = f (x) f (b) f (a) (x a) b a Då gäller att g(a) = g(b) = f (a). Då måste g anta ett största eller ett minsta värde i en punkt c sådan att a < c < b. Det följer av förra satsen att g (c) = 0. Men g (c) = f (c) f (b) f (a) b a Att detta är 0 var precis vad vi skulle bevisa.

Ett par viktiga exempel Exempel 1: Funktionen f (x) = x 3 är strängt växande på hela reella axeln. (Dvs att derivatan är noll i enstaka punkter gör ingenting, om den är positiv i alla andra punkter) Exempel 2: Funktionen g(x) = x(2 x) är strängt växande på [0, 1] och strängt avtagande på [1, 2]. (Dvs för kontinuerliga funktioner sprider sig växandet/avtagandet till intervallets ändpunkter)

Några uppgifter Uppgift 1. På vilka intervall är funktionen f (x) = x 3 3x 1 strängt växande respektive strängt avtagande? Uppgift 2. På vilka intervall är funktionen g(t) = t sin t strängt växande respektive strängt avtagande?

Högre ordningens derivator Att derivera derivatan: Om f (x) är deriverbar så är f (x) en funktion som talar om hur f (x) förändras. Om f (x) är deriverbar så är f (x) en funktion som talar om hur f (x) förändras. Andraderivatan f (x) skrivs ibland också d 2 f dx 2 Och så vidare! Om f är n gånger deriverbar skrivs den n:te derivatan f (n) (x) eller d n f dx n