Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18
2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y) Simultan fördelningsfunktion: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) Simultan sannolikhetsfunktion: p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) Simultan täthetsfunktion: f X,Y (x, y) = Några egenskaper: P[(X, Y) A] = (j,k) A P[(X, Y) A] = p X (j) = k A p X,Y (j, k) p X,Y (j, k) f X,Y (x, y) dxdy 2 x y F X,Y(x, y) Marginell slh.funkt. för X f Y (y) = f X,Y (x, y) dx Marginell täthet för Y Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 2/18
2D stokastisk variabel Fler egenskaper (för täthetsfunktioner) Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y X och Y är oberoende f X Y=y (x) = f X,Y(x, y) f Y (y) f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) för alla (x, y) Satsen om total sannolikhet f Y (y) = f Y X=x (y) f X (x) dx Bayes sats f X Y=y (x) = f Y X=x (y) f X (x) f Y X=z(y) f X (z) dz Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 3/18
Oberoende Summa av två oberoende, Z = X + Y Diskret: p Z (k) = i+j=k p X (i) p Y (j) = k p X (i) p Y (k i) i=0 Kontinuerlig: F Z (z) = f X (x) f Y (y) dxdy = f Z (z) = x+y z f X (x) f Y (z x) dx f X (x) F Y (z x) dx Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 4/18
Oberoende Summor av tärningskast Summa av tärningar 0.2 p X (k) 0.1 0 1 2 3 4 5 6 Antal tärningar 7 8 0 10 20 k 30 40 50 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 5/18
Oberoende : Summa av diskreta stokastiska variabler Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Geometriska stokastiska variabler X och Y? p X (k) = p Y (k) = p(1 p) k, k = 0, 1,..., 0.5 0.4 p X (k) p X+Y (k) 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 k Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 6/18
Oberoende : Summa av kontinuerliga stokastiska variabler Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y Exp(λ), där X och Y är oberoende? { λe λx x > 0 f X (x) = f Y (x) = 0 f.ö. 0.4 0.3 f X (x) f X+Y (x) 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 x Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 7/18
Maximum Störst av två oberoende Z = max(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(max(X, Y) z) = P({X z} {Y z}) =F X (z) F Y (z) Störst av fler oberoende Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F X1 (z)... F Xn (z) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 8/18
Minimum Minst av två oberoende Z = min(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(min(X, Y) z) = 1 P(min(X, Y) > z) =1 P({X > z} {Y > z}) = 1 [1 F X (z)] [1 F Y (z)] Minst av fler oberoende Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 [1 F X1 (z)]... [1 F Xn (z)] Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 9/18
: Tid tills maskin går sönder ( Svagaste länken ) Vi har en komplicerad maskin som består av n stycken delsystem. Maskinen fungerar så länge varje delsystem fungerar. Antag att tiden till att delsystem k går sönder är T k, där T k Exp(λ k ), för k = 1, 2,..., n. Delsystemen går sönder oberoende av varandra. Vad är fördelningen för tiden tills maskinen går sönder? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 10/18
2 Täthetsfunktioner för min och max av exponentialfördelning X, Y max(x,y) min(x,y) 1 0 0 1 2 3 x Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 11/18
1 Täthetsfunktioner för max av 1,10,50,100,250,500 Exp(1) fördelningar 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 12/18
Väntevärden 6 Succesiva medelvärden för 6 tärningar 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Antal tärningskast Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 13/18
Väntevärde, E(X), μ, μ X, m,... Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = x f X(x) dx Kontinuerlig k k p X(k) Diskret Väntevärde av Y = g(x) (OBS! Det är verkligen en sats!) { E(Y) = g(x) f X(x) dx Kontinuerlig k g(k) p X(k) Diskret Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 14/18
: Keno-3 (igen) I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. Låt X = Antal vinstnummer man prickar in och Y = Vinsten (kr). Två vinstnr ger 5 kr och tre vinstnr ger 90 kr. Sannolikhetsfunktionerna är j 0 1 2 3 p X (j) 0.36 0.45 0.17 0.02 k 0 5 90 p Y (k) 0.81 0.17 0.02 Vad är väntevärdet av antal vinstnr, X, resp. vinsten (kr), Y = g(x)? 1 p X (k) 1 p Y (k) 0.8 E(X) 0.8 E(Y) 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 1 2 3 k 0 0 20 40 60 80 k Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 15/18
1. Vad blir väntevärdet E(X) om X Exp(λ)? 0.4 0.3 f X (x) E(X) 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 x 2. Vad blir väntevärdet av a + bx om X Exp(λ)? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 16/18
Varians, V(X), σ 2, σ 2 X Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Variansen är alltid positiv (eller noll). Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Standardavvikelsen har samma dimension som X och E(X). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 17/18
Vad blir variansen V(X) om X Exp(λ)? Vad blir standardavvikelsen D(X) om X Exp(λ)? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 18/18