Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt sats 5..4 är f då automatiskt oändligt deriverbar. Vi kan därför erhålla en differentialekvation med reella koefficienter genom att använda operatorn / z, vilket ger Här är där kallas för Laplaceoperatorn. Vi har alltså f z z =. z z = 4 ( x + y ) = 4 = x + y f = och eftersom har reella koefficienter följer härav att?? och Im f = om vi separerar real- och imaginärdelarna. Definition En funktion u C (Ω) kallas harmonisk om u =. Sats Real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska funktioner. Omvänt är varje reellvärd harmonisk funktion i en cirkelskiva realdelen av en analytisk funktion där. Bevis. Det första påståendet är redan bevisat. Låt u vara en reellvärd harmonisk funktion i Ω = {z C; z < R}. Då är f = u z = u x i u y en analytisk funktion, för f z = u z z = u =. Nu visar potensserieutvecklingen av f att vi kan finna en analytisk funktion F i Ω med F = f. Vi väljer den med F () = u(). Eftersom (Re F ) z = (F (z) + F (z) z = F (z) = f(z) = u z så är differentialen av Re F u lika med, alltså Re F u lika med en konstant som måste vara eftersom vi valt F () = u(). Detta bevisar satsen.
En viktig konsekvens av denna sats är Sats (Gauss medelvärdessats) Om u är harmonisk i en omgivning av cirkelskivan så är u(x, y ) lika med medelvärdet över randen, {(x, y) R ; (x x ) + (y y ) r } u(x, y ) = u(x + r cos θ, y + r sin θ)dθ. Bevis. Vi kan anta att u är reell. Då är u = Re f med f analytisk, och med beteckningen z = x + iy får vi av Cauchys integralformel f(z ) = f(z)dz = f(z + re iθ )dθ. i z z z z =r Om vi tar realdelen så får vi Gauss medelvärdessats. Av denna sats följer genast maximumprincipen för harmoniska funktioner: Sats 3 Om u är reell och kontinuerlig i en kompakt mängd K C och harmonisk i det inre av K så är u(x, y) max u, (x, y) K. K Om likhet gäller i en inre punkt så är u konstant i en omgivning av denna. Bevis. Låt M vara maximum av u i K. Antag att M antas i en inre punkt (x, y ). Enligt medelvärdessatsen har vi då (u(x + r cos θ, y + r sin θ) M)dθ = då r är mindre än avståndet till randen. Integranden är så den måste vara identiskt noll. Alltså är u = M i en cirkelskiva med medelpunkt i (x, y ) som innehåller en randpunkt, så M = max K u och satsen är bevisad. Anmärkning Om f är en analytisk funktion så är log f = Re log f en harmonisk funktion där f. (I ett öppet område där arg f har en entydig kontinuerlig definition är också arg f = Im log f harmonisk.) Det är därför lätt att av sats 3 erhålla maximumprincipen för analytiska funktioner. Beviset för de två satserna är f.ö. ganska lika. Tillsammans med sats 5..4. visar sats 7.. att också harmoniska funktioner är oändligt deriverbara. Eftersom sammansättningen av analytiska funktioner är analytisk får vi slutligen av sats Sats 4 Om u är harmonisk i Ω C och om f är en analytisk funktion i Ω C med värden i Ω, så är sammansättningen u f en harmonisk funktion i Ω. På grund av denna sats kan man reducera studiet av harmoniska funktioner i ganska allmänna områden till studiet av harmoniska funktioner i enhetscirkelskivan. Detta är ämnet för nästa avsnitt. Harmoniska funktioner i enhetscirkelskivan Låt u var en kontinuerlig funktion i slutna höljet av enhetscirkelskivan Ω = {(x, y); x + y < }
som är harmonisk i Ω. Vi vill bestämma u i det inre med hjälp av värdena på randen. Enligt Gauss medelvärdessats gäller för r < Då r får vi u(, ) = u(, ) = eller, om vi inför komplexa beteckningar u() = u(r cos θ, r sin θ)dθ. ζ = u(cos θ, sin θ)dθ, u(ζ)dζ iζ. För att bestämma u i en annan punkt z Ω kan vi använda en Möbiustransformation som avbildar Ω på sig och i z, w = ζ + z + ζz, ζ = w z wz. Enligt sats 4 är U(ζ) = u((ζ + z)/( + ζz)) en harmonisk funktion i Ω, så vi får U(ζ)dζ u(z) = U() = = ( ) u(w) iζ i w z + z dw. wz ζ = Då w = har vi att /w = w, alltså Om vi sätter w = e iθ får vi nu w = w z + z wz = z (w z)( wz) = z w z w. () u(z) = Högerledet kallas för Poissonintegralen och u(e iθ ) z e iθ dθ, z <. () P (z, θ) = kallas för Poissonkärnan. Om vi tar u = i () så får vi Vi kan nu bevisa z e iθ z P (z, θ)dθ =, z <. (3) Sats 5 För varje kontinuerlig funktion u på Ω finns en och endast en harmonisk funktion u i Ω som är kontinuerlig i Ω och har randvärdena u. Bevis. Vi har redan visat att en sådan funktion måste ges av u(z) = u (e iθ )P (z, θ)dθ, z Ω. (4) Av () föjler genast att P (z, θ) är en harmonisk funktion av z, så derivation under integraltecknet visar att u är harmonisk i Ω. Det gäller därför bara att visa att u(z) u (e iψ ) då z e iψ. Enligt (3) har vi u(x) u (e iψ ) = (u (e iθ ) u (e iψ ))P (z, θ)dθ. 3
För givet ɛ > finns en omgivning I till e iψ där u (e iθ ) u (e iψ ) < ɛ. Integralen över I kan uppskattas med ɛ, så u(z) u (e iψ ) < ɛ + max u P (z, θ)dθ. I c Men P (z, θ) likformigt i I c då z e iψ, ty z och z e iθ är nedåt begränsad. Detta bevisar satsen. Sats 5 löser för enhetscirkelskivan Dirichlets problem att finna en harmonisk funktion i ett område med givna värden på randen. Av sats 4 följer att vi genast kan erhålla en lösning av Dirichlets problem för varje område för vilket vi känner en konform avbildning på enhetscirkelskivan. Som exempel tar vi övre halvplanet Im z > som vi betraktar som en del av Riemannsfären, alltså med en randpunkt i. Vi vill föreskriva randvärden på reella axeln som har samma gränsvärde A i ±, och vi söker en harmonisk funktion med de givna randvärdena som dessutom A i. Om Im z > så är w = w w = w z w z en konform avbildning av övre halvplanet på enhetscirkelskivan Ω. Om u är harmonisk i övre halvplanet och vi sätter u(w) = U(w ), så blir U därför harmonisk i Ω, U(w )dw u(z) = U() = iw = ( u (w) w z ) dw = Im z u (w)dw w z w z. Av sats 5 följer alltså att R u(z) = Im z u (w)dw w z. (5) är den enda harmoniska funktionen i det övre halvplanet med de givna randvärdena. (Observera villkoret i oändligheten. Im z är en harmonisk funktion i övre halvplanet som är på reella axeln men den går inte mot i oändligheten.) Vi skall nu komplettera sats 5 med att beräkna den analytiska funktion f i enhetscirkelskivan som har realdelen u och imaginärdelen i lika med. Enligt () har vi Eftersom u = Re u så har u(z) = ( ) e iθ e iθ z + z e iθ u (e iθ )dθ. z f(z) = e iθ + z e iθ z u (e iθ )dθ, z <, (6) realdelen u. Vidare är f() = u() och f är analytisk då z < eftersom integranden är det. Alltså är f den sökta funktionen. Man kallar Im f för den konjugerade harmoniska funktionen till u. Vi skall undersöka dess randvärden på enhetscirkeln. Om r < och ψ [, ) så ger en translation av θ att eftersom Im f(re iψ ) = Här kan vi inte utan vidare låta r, för r sin θ e iθ r u (e i(θ+ψ) )dθ Im eiθ + r e iθ r = Im (eiθ + r)(e iθ r) r sin θ e iθ r = e iθ r. lim r r sin θ e iθ r = sin θ e iθ = sin θ cos θ 4 sin θ 4
är inte en integrerbar funktion. Vi utbyter därför θ mot θ i integralen från till och får Im f(re iψ ) = r sin θ e iθ r (u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ))dθ. Antag nu att u är kontinuerligt deriverbar, u M. Då kan integranden uppskattas med Mθ/ sin θ M/ om < θ < / och med M då / < θ <. Utanför en godtycklig omgivning till (i själva verket också där) konvergerar integranden likformigt mot Vi har alltså cot θ ( ) u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ). Sats 6 Om funktionen u i sats 5 är reellvärd och tillhör C så är den analytiska funktionen f med realdelen u som ges av (6) kontinuerlig i Ω och randvärdet av imaginärdelen då z e iψ är cot θ Man kallar detta för den konjugerade funktionen till u. ( ) u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ) dθ. (7) För fallet av ett halvplan ser man ännu enklare av (5) att den analytiska funktionen med realdelen u vars imaginärdel är i oändligheten ges av f(z) = i Imaginärdelen har på reella axeln randvärdena v(x) = u (w)dw w z. (8) (u (x + w) u (x w))dw, (9) w som alltså är den konjugerade funktionen. Vi kan också skriva (9) i formen u (x w)dw u (w)dw v(x) = lim = lim ɛ w >ɛ w ɛ x w >ɛ (x w). Observera att man tar bort ett symmetriskt intervall kring singulariteten. Man kallar detta för principalvärdet av den egentligen divergenta integralen och skriver v(x) = pv u (w)dw x w. Detta är emellertid bara ett kortare skrivsätt och innebörden är fortfarande att man tar gränsvärdet av integralen med ett litet symmetriskt intervall kring singulariteten borttaget. Om u är en jämn funktion, alltså u (w) = u ( w), så kan vi dela upp integrationen i en integral från till och en från till. Eftersom så får vi då x w + x + w = x x w, v(x) = pv xu (w)dw x w vilket är en udda funktion av x. Om u är udda så får vi på samma sätt v(x) = pv wu (w)dw x w, x. 5
I den fysikaliska litteraturen går dessa samband ofta under benämningen dispersionsrelationer. Om vi i () observerar att /z = z är spegelbilden av z i enhetscirkeln så kan vi uppfatta sats på ännu ett sätt. Betrakta nämligen de analytiska funktionerna f +(z) = u (w)dw, z <, i w = w z f (z) = () u (w)dw, z >. i w z Då är för z < w = u(z) = f +(z) f (z ) u (w) då z w, w =. Om u C så kan f + och f enligt sats 6 utvidgas kontinuerlig till alla z med z respektive z, för w w z = ( ) w + z w z + så med beteckningen i (6) har vi Vi får därför f +(z) = f(z) + u(). Sats 7 Om u C ( Ω) så kan de analytiska funktionerna f + och f som definieras av (6) utvidgas kontinuerligt till alla z med z respektive z. Vi har då f +(w) f (w) = u (w) då w =, och f (z) då z. Dessa egenskaper karakteriserar f + och f. Bevis. Om u är reell så har vi redan visat att f + och f har dessa egenskaper. I annat fall får vi dem genom att dela upp u i real- och imaginärdelen. Antag nu att g + och g har samma egenskaper. Då är och om vi sätter f + f = g + g på Ω, G(z) = { g +(z) f +(z), z, g (z) f (z), z, får vi därför en kontinuerlig funktion i C som i oändligheten och är analytisk utom eventuellt då z =. Nu har vi G(z) = G(w)dw, z < r. i w z w =r Det räcker av kontinuitetsskäl att visa detta då z. Om z > så ger Cauchys integralformel, eftersom G är analytisk utanför enehtscirkeln, att differensen mellan de två leden är lika med samma integral då w = r och < r < z. Av kontinuitetsskäl är denna lika med integralen då w =, och som G är analytisk i det inre av enhetscirkeln är den lika med. På samma sätt inses formeln då z <. Låter vi r nu så får vi G(z) = eftersom G i. Föregående resultat gäller inte bara för enhetscirkeln. Om Γ är en godtycklig sluten C kurva och u en C funktion på Γ så kan vi genom att integrera över Γ i stället för enhetscirkeln i () få en analytisk funktion innanför Γ och en utanför Γ vars randvärden skiljer sig med u. Vi lämnar detta som en övning åt den eventuellt intresserade läsaren och nöjer oss med att peka på motsvarande resultat för reella axeln: Om u är en begränsad C funktion med begränsad derivata på R och u (w) = O(/w) då w, så är f ±(z) = i u (w)dw w z, Im w > <, analytiska funtioner med kontinuerliga randvärden på reella axeln, f +(w) f (w) = u(w), w R. 6
Sats 7 kan uppfattas som en sats om Fourierserier. Vi har nämligen att f +(z) = a nz n, z < ; f (z) = a nz n där a n = u (e iθ )e inθ dθ () kallas Fourierkoefficienterna för u. För beviset observerar vi att för n och r < gäller a n = f +(z)z n dz = f +(re iθ )e inθ r n dθ i medan för n < och r > z =r a n = f (re iθ )e inθ r n dθ. Dessa integraler blir för n < respektive n. Då r får vi för n a n = f +(e iθ )e inθ dθ = vilket bevisa () för n. Beviset är analogt då n <. Om u C så är a n = n (f +(e iθ ) f (e iθ ))e inθ dθ ( ) d u (e iθ ) e inθ dθ = O. dθ n På grund av likformig konvergens av potensserier för f + och f följer nu att f +(e iθ ) = a ne inθ, n= f (e iθ ) = a ne inθ. n= Alltås är u summan av sin Fourierserie u (e iθ ) = a ne inθ. () 3 En sats om minimummodulen För att visa hur man kan kombinera resultatet i detta och föregående kapitel för att studera värdena hos analytiska funktioner skall vi här visa en intressant och användbar sats av Carleman Milloux Schmidt Nevanlinna Beurling: Sats 8 Låt f vara analytisk och f(z) M då z < R, samt antag att min f(z) m, r < R, (3) z =r där m M. Då gäller f(z) m δ(z) M δ(z), δ(z) = arcsin R z R + z. (4) Eftersom δ(z) /3 då z R/3 har vi speciellt alltså f(z) m /3 M /3 då z R/3, m sup f(z) 3 /M. z <R/3 Vi kan alltså finna r så att f är ganska stor då z = r såvida inte f då z < R/3 alltid är mycket mindre än maximum då z < R. 7
Bevis. I beviset för satsen kan vi anta att f är analytisk i en omgivning av {z; z R} och att f på randen, för annars kunde vi betrakta en följd av cirklar med radie som växer mot R och som inte har något nollställe för f på randen. Vidare kan vi anta att R = och M =. Vi väljer µ > så att m < e µ och måste bevisa att f(z) < e µδ(z). f kan bara ha ändligt många nollställen z,..., z m i enhetscirkeln. Vi kan därför med upprepad användning av sats 5.3.. skriva m z z j f(z) = g(z) z jz där g är analytisk, g(z) då z och g(z) då z. Den harmoniska funktioenn u(z) = log g(z) kan representeras med sin Poissonintegral Eftersom och så får vi genast, eftersom u, u(z) = u(e iθ ) z z e iθ dθ. u(e iθ )dθ = u() z + z z z e iθ + z z u() + z z u(z) u() z + z. (5) (Detta kallas Harnacks olikhet.) Nu bildar vi en ny analytisk funtion som bara har nollställen på positiva reella axeln m F (z) = g() +z z z z j z. j z Eftersom så har vi F (z) då z < och vi påstår att Re + z ( + z)( z) = Re = z, z <, z z z F (r) m då r, f(z) F ( z ) då z <. (6) Den första olikheten medför att F uppfyller förutsättningarna i satsen och den andra medför att satsen är bevisad om vi kan bevisa att F ( r) e µδ(r), r. (7) Olikheterna (6) följer av (5) och z ζ z ζ z + ζ, z <, ζ <. (8) z ζ ζz + z ζ För beviset av (8) fixerar vi ζ och betraktar mängden av alla z med z ζ ζz = k där k < också fixeras. Detta är ekvationen för en cirkel med medelpunkten ζ = ζ( k ) k ζ i riktningen ζ. Beviset lämnas åt läsaren. Om radien betecknas med r så har vi r = ζ r, alltså z ζ r, z + ζ r. Detta betyder att ζ z / ζ ligger inuti cirkeln medan ζ z / ζ ligger utanför den, och det är innebörden av (8). 8
Sätt U(z) = log F (tz) där t är ett litet men positivt tal. U är harmonisk i enhetscirkeln uppskuren längs [, ], vi har U överallt och U < µ nära [, ]. För att kunna uppskatta U på negativa reella axeln får vi som i avsnitt 6. en konform avbildning på ett mera välkänt område. Först sätter vi z = ζ, alltså U (ζ) = U(ζ ), ζ, Im ζ. Vi har då U < µ nära [, ] och U överallt; vi intresserar oss för U på imaginära axeln. Sätt nu w = (ζ + ) = ζ + ζ, alltså ζ = w + w. Då övergår övre halvplanet i det undre och det inre av enhetscirkeln i högra halvplanet, så U (w) = U (ζ) = U ( w + w ) är harmonisk i fjärde kvadranten, < µ i en omgivning av och positiva reella axeln samt överallt. Vi skall jämföra U (w) med den harmoniska funktionen w µ( + arg w) som är lika med µ på positiva reella axeln, på negativa imaginära axeln och har värden mellan och µ för övrigt. Den harmoniska funktionen h(w) = U (w) + µ( + arg w) är på negativa imaginära axeln, nära och nära positiva reella axeln. Om vi tillämpar maximumprincipen på ett område begränsat av en stor cirkel, negativa imaginära axeln och en radie nära reella axeln som i figuren så får vi därför av maximumprincipen att h överallt, U (w) µ( + arg w). Då z = r blir ζ = i r och w = ( i r)/(+i r) = ( i r) /(+r), alltså w = och Re w = ( r)/(+r). Detta ger arg w = arccos r r och + arg w = arcsin + r + r, vilket betyder att log F ( t) = U( r) µ vilket ger olikheten (7) då t. Detta fullbordar beviset. arcsin r + r, Det är inte svårt att vända på beviset och verifiera att δ(z) inte kan ersättas med något större tal i (4). 9