Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes.
M3M Problem : Betrakta fyra punkter i R 3 med respektive koordinater (,, ), (,, k), (,, ), (,, ), där k är en reell parameter. Bestäm värden på k, så att de givna fyra punkterna ligger i samma plan. Consider four points in R 3 with respective coordinates (,, ), (,, k), (,, ), (,, ), where k is an unspecified real parameter. Find the value of k, such that the given four points lie on the same plane. Svar /Answer : A: k = /, B: k =, C: k = /3, D: k = 3/, Problem : Betrakta linjen l i R 3 som ges av x = t + l : y = t + z = 6t 6 för alla t R. Bestäm de reella värden på parametern b, så att varje punkt på l ligger i planet 3 x + by + 9 z =. Consider the following line l in R 3 : x = t + l : y = t + z = 6t 6 for all t R. Find the real value of the parameter b, such that every point on l is on the plane 3 x + by + 9 z =.
M3M 3 Svar /Answer : A: b =, B: b =, C: b =, D: b = 3, Problem 3: Betrakta följande matrisekvation: k x k x = 3 x 3 k, där k är en reell parameter. Bestäm alla värden på k, så att den givna matrisekvationen saknar lösning. Consider the following matrix equation: k x k k x = 3 x 3, where k is an unspecified real parameter. Find all values of k, such that the given matrix equation is inconsistent. Svar 3/Answer 3: A: k {, }, B: k R\{, }, C: k =, D: k =, Problem 4: Betrakta mängden S = {u, u, u 3 } där u =, u =, u 3 = och k är en reell parameter. Bestäm alla värden på k, så att u, u och u 3 spänner upp ett plan i R 3. Consider the set S = {u, u, u 3 } with u =, u =, u 3 = 3 k 3 k.,
4 M3M where k is an unspecified real parameter. Find all values of k, such that u, u and u 3 span a plane in R 3. Svar 4/Answer 4: A: k = 8, B: k R\{8}, C: k = D: Inga reella värden på k. No real value of k. Problem 5: Betrakta avbildningen T : R R 3, där T : (x, x ) (x + x, 3x + x, x x ) för alla x, x R. Bestäm värdemängden R T för T. Consider the transformation T : R R 3, such that T : (x, x ) (x + x, 3x + x, x x ) for all x, x R. Determine the range R T of T. Svar 5/Answer 5: A: R T = span {v, v }, v = B: R T = span {v, v }, v = / / C: R T = span {e, e, e 3 }, e = D: R T = R. v = v = e = / / e 3 =
M3M 5 Problem 6: Betrakta den linjära avbildningen T : R 3 R 3, där T speglar varje vektor i R 3 i linjen l som ges av x = t l : y = t z = t för alla t R. Bestäm T (e ), där e = (,, ). Consider the linear transformation T : R 3 R 3, where T reflects every vector in R 3 about the line l given by x = t l : y = t z = t for all t R. Find T (e ), where e = (,, ). Svar 6/Answer 6: A: T (e ) = ( /3, /3, /3), B: T (e ) = (/3, /3, /3), C: T (e ) = (/3, /3, /3) D: T (e ) = ( /3, /3, /3), Problem 7: Vilka av följande påståenden är sanna? Which of the following statements are true? I: Låt T : R n R n vara en inverterbar linjär avbildning med standardmatrisen A och låt T : R n R n vara en inverterbar linjär avbildning med standardmatrisen A. Betrakta nu den sammansatta avbildningen T = T T. Då är A A standardmatrisen för T. I: Let T : R n R n be an invertible linear transformation with standard matrix A and let T : R n R n be an invertible linear transformation with standard matrix A. Consider now the composite transformation T = T T. Then the standard matrix for T is A A.
6 M3M II: Betrakta mängden S = {u, u,..., u p } av p vektorer i R n. Då är mängden S linjärt beroende om p > n. II: Consider a set S of p vectors in R n, namely S = {u, u,..., u p }. The set S is linearly dependent if p > n. III: En linjär avbildning T : R n R m med standard matrisen A är injektiv (-) om och endast om Ax = bara har den triviala lösningen x = R n. III: A linear transformation T : R n R m with standard matrix A is injective (-) on its range if and only if Ax = admits only the zero solution x = R n. IV: Det linjära ekvationssystemet Ax = b där A är en n n matris och b R n saknar lösningar om och endast om det A =. IV: The system of linear equations Ax = b with A an n n matrix and b R n is inconsistent if and only if det A =. Svar 7/Answer 7: A: Alla påståenden är sanna. All statements are true. B: Bara II, III och IV är sanna. Only II, III and IV are true. C: Bara I, III och IV är sanna. Only I, III and IV are true. D: Bara I och II är sanna. Only I and II are true. E: Bara I, II och III är sanna. Only I, II and III are true.